SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Waktu : 210 Menit

Transkripsi

1 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Waktu : 0 Meit KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH ATAS TAHUN 00

2 SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 00 MATEMATIKA SMA/MA Petujuk utuk peserta :. Tes terdiri dari dua bagia. Tes bagia pertama terdiri dari 0 soal isia sigkat da tes bagia kedua terdiri dari 5 soal uraia.. Waktu yag disediaka utuk meyelesaika semua soal adalah 0 meit. 3. Tuliska ama, kelas da asal sekolah Ada di sebelah kaa atas pada setiap halama. 4. Utuk soal bagia pertama : (a) Masig-masig soal bagia pertama berilai (satu) agka. (b) Beberapa pertayaa dapat memiliki lebih dari satu jawaba yag bear. Ada dimita memberika jawaba yag palig tepat atau persis utuk pertayaa seperti ii. Nilai haya aka diberika kepada pemberi jawaba palig tepat atau palig persis. (c) Tuliska haya jawaba dari soal yag diberika. Tuliska jawaba tersebut pada kotak di sebelah kaa setiap soal. 5. Utuk soal bagia kedua : (a) Masig-masig soal bagia kedua berilai 7 (tujuh) agka (b) Ada dimita meyelesaika soal yag diberika secara legkap. Selai jawaba akhir, Ada dimita meuliska semua lagkah da argumetasi yag Ada guaka utuk sampai kepada jawaba akhir tersebut. (c) Jika halama muka tidak cukup, guaka halama sebalikya. 6. Jawaba hedakya Ada tuliska dega megguaka tita, buka pesil. 7. Selama tes, Ada tidak diperkeaka megguaka buku, catata da alat batu hitug. Ada juga tidak diperkeaka bekerja sama. 8. Mulailah bekerja haya setelah pegawas memberi tada da berhetilah bekerja segera setelah pegawas memberi tada. 9. Selamat bekerja.

3 SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 00 MATEMATIKA SMA/MA BAGIAN PERTAMA. Nilai j j 0 i 0 j j i 8 i. Pada segitiga ABC dimisalka a, b, da c berturut-turut merupaka pajag sisi BC, CA, da AB. Jika a b ta A ta B si A si B Maka ilai adalah cos A cos B 3. Diberika poliomial P() 4 a 3 b c d dega a, b, c, da d kostata. Jika P() 0, P() 0, da P(3) 30, maka ilai P( ) P( 8) 0 4. Misalka S {,, 3, 4, 5}. Bayakya fugsi f : S S yag memeuhi f(f()) utuk setiap S adalah 5. Jika a, b, da c meyataka pajag sisi-sisi suatu segitiga yag memeuhi (a b c)(a b c) 3ab, maka besar sudut yag meghadapi sisi dega pajag c adalah 6. Bilaga eam digit abcdef dega a > b > c d > e > f ada sebayak 7. Bilaga prima p sehigga p 73 merupaka bilaga kubik sebayak 8. Diberika segitiga ABC siku-siku di C, AC 3, da BC 4. Segitiga ABD siku-siku di A, AD da titik-titik C da D letakya berlawaa terhadap sisi AB. Garis sejajar AC melalui D memotog perpajaga CB di E. Jika DE m DB dega m da bilaga bulat positif yag relatif prima, maka m 9. Pada suatu ligkara terdapat titik yag berbeda. Dega megguaka titik tersebut aka dibuat 6 tali busur yag tidak berpotoga. Bayakya cara ada sebayak

4 0. Bayakya aggota himpua S {gcd( 3, 3 9) Z} adalah. Persamaa kuadrat p p 0 mempuyai dua akar real α da β. Jika α 3 β 3 6, maka hasil tambah semua ilai p yag memeuhi adalah. Pada suatu bidag terdapat titik yag berkoordiat pasaga bilaga bulat. Nilai terkecil agar terdapat dua titik yag titik tegahya juga berkoordiat pasaga bilaga bulat adalah 3. Utuk sebarag bilaga real didefiisika sebagai bilaga bulat terbesar yag kurag dari atau sama dega dega. Bilaga asli sehigga persamaa mempuyai tepat 00 solusi real positif adalah 4. Dua ligkara (tidak sama besar) bersigguga di luar. Titik A da A terletak pada ligkara kecil; sedagka B da B pada ligkara besar. Garis PAB da PA B, merupaka garis siggug persekutua dari kedua ligkara tersebut. Jika PA AB 4, maka luas ligkara kecil adalah 5. Dua puluh tujuh sisiwa pada suatu kelas aka dibuat mejadi eam kelompok diskusi yag masig-masig terdiri dari empat atau lima siswa. Bayakya cara adalah 6. Seseorag meulis surat beratai kepada 6 orag. Peerima surat ii diperitahka utuk megirim surat kepada 6 orag laiya. Semua peerima surat membaca isi surat lalu beberapa orag melaksaaka periatah yag tertulis dalam surat, sisaya tidak melajutka surat beratai ii. Jika terdapat 366 orag yag tidak melajutka surat beratai ii, maka bayakya orag yag berada dalam sistem surat beratai ii adalah Jumlah suku kosta dari ( 3 ) adalah 8. Bayak bilaga bulat positif < 00, sehigga persamaa 3y y mempuyai solusi pasaga bilaga bulat (, y) adalah 9. Diketahui, y, da z adalah bilaga-bilaga real yag memeuhi sistem persamaa y z y z yz Nilai terkecil y z adalah 0. Segitiga ABC memiliki pajag sisi BC 5, AC, da AB 3. Titik D pada AB da titik E pada AC. Jika DE membagi segitiga ABC mejadi dua bagia dega luas yag sama, maka pajag miimum D adalah

5 SELEKSI TINGKAT PROVINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 00 MATEMATIKA SMA/MA BAGIAN KEDUA. Diberika segitiga ABC. Adaika P da P titik-titik pada BC, Q pada CA, da R pada AB, sedemikia rupa sehigga CP AR RB BP PC CQ QA P B Misalka G titik berat segitiga ABC da K AP RQ. Buktika, bahwa titik-titik P, G, da K koliier (terletak pada satu garis). Diketahui k adalah bilaga bulat positif terbesar, sehigga dapat ditemuka bilaga bulat positif, bilaga prima (tidak harus berbeda) q, q, q 3,, q k, da bilaga prima berbeda p, p, p 3,, p k yag memeuhi 7 qq Lqk L p p pk 00 Tetuka bayakya yag memeuhi. 3. Tetuka ilai k da d sehigga tidak ada pasaga bilag real (, y), yag memeuhi sistem persamaa 3 y 3 y k d 4. Diketahui adalah bilaga asli kelipata 00. Tujuka, bahwa persamaa y 3z mempuyai tepat pasaga solusi (, y, z) dega, y, da z merupaka bilaga bulat tak egatif. 5. Diketahui suatu papa catur seperti pada gambar. Dapatkah suatu biji catur kuda beragkat dari suatu petak melewati setiap petak yag lai haya satu kali da kembali ke tempat semula? Jelaska jawab ada!

6 Pejelasa : Lagkah catur kuda berbetuk L, yaitu dari kotak asal : (a) (dua) kotak ke kaa/kiri da (satu) kotak ke depa/belakag; atau (b) (dua) kotak ke depa/belakag da (satu) kotak ke kaa/kiri.

7 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusu oleh : Eddy Hermato, ST

8 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Pertama BAGIAN PERTAMA. ( ) 0 i. Maka 0 i 0 i j j i 8 (8 ) j 9 j i 0 i j j i j 8 9 (9 ) 0 j 0 j i 0 i j 0 j j j i 8 0 j 0 j i 0 i j Jadi, j i 0 8. j 0 j i 0 i b. a ta A ta B () Dalil sius a b si A si B () Badigka persamaa () dega () didapat cos A cos B 4 cos A cos B (3) si A si B cos A cos B si A si B 3 cos A cos B 5 Nilai cos A cos B cos A cos B si A si B cos A cos B adalah cos A cos A cos A 4 cos A 3. P() 4 a 3 b c d P() 0, P() 0, P(3) 30 Misalka Q() P() 0 Karea P() 0, P() 0, P(3) 30 maka Q() Q() Q(3) 0 Q() P() 0 4 a 3 b c 0 d yag juga merupaka poliomial dega derajat 4 serta,, da 3 merupaka akar-akar Q() 0 Jadi, Q() ( )( )( 3)( k) P() Q() 0 P() ( )( )( 3)( k) 0 990( k) 0 P( 8) ( 8 )( 8 )( 8 3)( 8 k) (8 k) 80 P() P( 8) (990( k) 0) (990(8 k) 80) P( ) P( 8) P( ) P( 8) SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

9 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Pertama 4. Jika dipetaka ke f() lalu hasilya dipetaka oleh f() kembali ke maka fugsi tersebut yag memeuhi adalah f(), f() k, f() da f(). Karea f : S S maka fugsi yag memeuhi haya f() da f() 6 Bayakya fugsi yag memeuhi ada. 5. (a b c)(a b c) 3ab (a b) c 3ab a b c ab ab cos C ab cos C C 60 o Besar sudut yag meghadap sisi dega pajag c adalah 60 o. 6. Karea a > b > c d > e > f maka ada kasus Jika a > b > c > d > e > f Bayakya bilaga yag memeuhi sama dega bayakya cara memilih 6 agka dari 0 agka berbeda, yaitu 0 C 6 0 Jika a > b > c d > e > f Bayakya bilaga yag memeuhi sama dega bayakya cara memilih 5 agka dari 0 agka berbeda, yaitu 0 C 5 5 Maka bayakya bilaga abcdef yag memeuhi a > b > c d > e > f Bayakya bilaga eam agka yag memeuhi tersebut sama dega Misalka p 7 3 k 3 dega k suatu bilaga asli. p (k 7)(k 7k 49) Karea p bilaga prima da jelas bahwa k 7 < k 7k 49 maka kesamaa tersebut haya terjadi jika k 7 da k 7k 49 p sehigga didapat k 8 k 7k (8) p sehigga p 3 Jadi, ilai p bilaga asli yag memeuhi adalah p 3 Maka bayakya bilaga prima p yag memeuhi ada. 8. Jelas bahwa AB 5 sehigga BD 3. Karea DE sejajar AC maka DE juga tegak lurus CE. SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

10 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Pertama DE DB si DBD si (80 o ( DBA ABC)) si ( DBA ABC) DE DB si DBA cos ABC cos DBA si ABC DE m DB Maka m 63 da 65 Jadi, m Jika dua titik pada ligkara dihubugka maka ligkara aka terbagi mejadi dua daerah. Misalka sebelah kaa da kiri. Agar tidak ada tali busur yag memotog tali busur tersebut maka bayakya titik pada ligkara di sebelah kiri da kaa tali busur tersebut haruslah geap. Jika terdapat titik maka bayakya talibusur yag memeuhi ada. Jika jumlah titik ada pasag Perhatika salah satu titik. Bayakya cara meghubugka dega titik-titik lai ada kasus, yaitu sebelah kiri ada 0 pasag da sebelah kaa ada pasag atau sebalikya. Bayakya cara ada Jika jumlah titik ada 3 pasag Perhatika salah satu titik. Bayakya cara meghubugka dega titik-titik lai ada 3 kasus, yaitu sebelah kiri ada 0 pasag da sebelah kaa ada pasag, sebelah kiri ada pasag sebelah kaa ada pasag atau sebelah kiri ada pasag da sebelah kaa ada 0 pasag. Bayakya cara 5 cara. Jika jumlah titik ada 4 pasag Perhatika salah satu titik. Bayakya cara meghubugka dega titik-titik lai ada 4 kasus, yaitu sebelah kiri ada 0 pasag da sebelah kaa ada 3 pasag, sebelah kiri ada pasag sebelah kaa ada pasag, sebelah kiri ada pasag sebelah kaa ada pasag atau sebelah kiri ada 3 pasag da sebelah kaa ada 0 pasag. Bayakya cara cara. Jika jumlah titik ada 5 pasag Dega cara yag sama bayakya cara cara. Jika jumlah titik ada 6 pasag Bayakya cara cara. Bayakya cara ada sebayak S {FPB( 3, 3 9) Z}. Misalka d FPB( 3, 3 9). Karea 3 da 3 9 tidak mugki keduaya geap utuk bilaga bulat maka d tidak mugki geap. Maka d ( 3 ) da d ( 3 9) d (( 3 9) ( 3 )) 3 9 Karea d ( 3 9) da d (3 9 ) maka d (3( 3 9) (3 9 )) 8 Karea d 8 da d tidak mugki geap maka ilai d yag mugki adalah atau 7. Jika maka FPB( 3, 3 9) FPB(, 3) Jika 5 maka FPB( 3, 3 9) FPB(6, 49) 7 Jadi, FPB( 3, 3 9) atau 7 utuk semua ilai bilaga bulat. Bayakya aggota dari himpua S yag memeuhi adalah. SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

11 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Pertama. p p 0 akar-akarya α da β α 3 β 3 6 (α β) 3 3αβ(α β) 6 p 3 3 (p)(p) 6 p 3 6p 6 0 Maka jumlah semua ilai p yag memeuhi sama dega 6. Jumlah semua ilai p yag memeuhi sama dega 6.. Misal koordiat titik A(, y ) da B(, y ) dega titik tegah A da B adalah X. Maka koordiat X adalah (½( ), ½(y y )). Jika X memiliki koordiat bilaga bulat maka haruslah da y y geap. Syarat itu terjadi haruslah da memiliki paritas yag sama da y da y juga memiliki paritas yag sama. Kemugkia jeis koordiat (dalam bahasa lai disebut paritas) suatu titik letis pada bidag haya ada 4 kemugkia yaitu (geap, geap), (geap, gajil), (gajil, gajil) da (gajil, geap). Agar dapat dipastika bahwa ada aggota X yag memiliki koordiat bilaga bulat maka sesuai Pigeo Hole Priciple (PHP) maka haruslah terdapat sekurag-kuragya 5 buah titik letis. Nilai terkecil yag memeuhi adalah 5. Jika bulat maka ruas kiri sedagka ruas kaa <. Maka tidak mugki bulat. Jika 0 < < 0 sehigga 3. () Karea, da bulat maka merupaka bilaga rasioal. a Misalka ka b yag merupaka pecaha palig sederhaa dega a, b da k bilaga asli da b < a serta a sebab aka meyebabka bulat yag meyebabka ruas kiri persamaa () sama dega. k ka Jadi, ka b Aka didapat k ub da ua sehigga a dega a. Misalka adalah bilaga asli dega r buah faktor positif maka bayakya ilai a yag memeuhi ada r yag meyebabka ada sebayak r ilai yag memeuhi. Jika > 0 sehigga Karea, da bulat maka merupaka bilaga rasioal. mpq Misalka p yag merupaka pecaha palig sederhaa dega p, q da m bilaga asli da q < p serta p sebab aka meyebabka bulat. m SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

12 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Pertama mp Jadi, mp q Aka didapat m vq da vp sehigga p dega p. Misalka adalah bilaga asli dega r buah faktor positif maka bayakya ilai p yag memeuhi ada r yag meyebabka ada sebayak r ilai yag memeuhi. Agar didapat ada sebayak 00 bilaga real positif yag memeuhi maka bayakya faktor positif dari adalah r 006. Ada tak terhigga bayakya bilaga asli yag memiliki faktor positif sebayak adalah ilai terkecil yag memeuhi, Maka ada tak terhigga bayakya ilai yag memeuhi dega ilai miimal Misalka jari-jari ligkara r da jari-jari ligkara besar R. Titik M da N berturut turur meyataka pusat ligkara kecil da besar. Berdasarka kesebagua segitiga didapat r R 4 8 sehigga R r () MN 4 (NB MA) (R r) 4 (R r) 4Rr 6 r 4 πr π Luas ligkara kecil π. 5. Misalka kelompok 3 terdiri dari 5 orag da kelompok 4 6 terdiri dari 4 orag. Bayakya cara memilih dari 7 orag utuk masuk ke kelompok 7 C 5. Bayakya cara memilih dari orag utuk masuk ke kelompok C 5. Bayakya cara memilih dari 7 orag utuk masuk ke kelompok 3 7 C 5. Bayakya cara memilih dari orag utuk masuk ke kelompok 4 C 4. Bayakya cara memilih dari 8 orag utuk masuk ke kelompok 5 8 C 4. Bayakya cara memilih dari 4 orag utuk masuk ke kelompok 6 4 C 4. Jadi, bayakya cara memilih 7 orag utuk masuk ke kelompok -6 7 C 5 C 5 7 C 5 C 4 8 C 4 4 C 4. Tetapi perhituga di atas memperhitugka hal sebagai berikut : misalka,, 3, 4, 5 masuk ke kelompok ; 6, 7, 8, 9, 0 masuk ke kelompok da 7 orag lai terbagi dalam kelompok lai. Kasus ii diaggap berbeda jika,, 3, 4, 5 masuk ke kelompok ; 6, 7, 8, 9, 0 masuk ke kelompok da 7 orag lai terbagi dalam kelompok lai yag sama dega kasus. Padahal kedua kasus tersebut sebearya adalah sama. Maka ada perhituga gada dari perhitugka sebelumya. Jadi, perhitugka sebelumya harus dibagi dega 3! 3!. Jadi, bayakya cara memilih 7 orag utuk dibagi dalam kelompokkelompok yag terdiri dari 7 C5 C atau 5 orag adalah 5 C C C C 7! 3! 3! ( ) ( ) 3 ( ) 3. 3! 4! 5! 7! Bayakya cara adalah ( ) ( ) 3 ( ) 3. 3! 4! 5! SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

13 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Pertama 6. Misalka dari 6 peerima surat pertama sebayak (6 k ) meeruska surat tersebut. Dari (6 6k ) peerima surat ke- sebayak (6 6k k ) meeruska surat tersebut. Dari (6 3 6 k 6k ) peerima surat ke-3 sebayak (6 3 6 k 6k k 3 ) meeruska surat. da seterusya higga Dari (6 6 - k 6k - ) peerima surat ke- semuaya tidak meeruska surat tersebut. k k k 3 (6 6 - k 6k - ) (6 - )k (6 - )k (6 )k () Misalka jumlah orag yag berada dalam sistem sama dega p. p 6 (6 6k ) (6 3 6 k 6k ) (6 6 - k 6k - ) p ( ) ( )k ( )k (6 6)k - 6k - 6( 6 ) 6( 6 ) 6( 6 ) 6( 6 ) p k k 6( 6 ) k p 5 6 (6 (6 - )k (6 - )k (6 )k - ) Subtitusika persamaa () didapat p 5 6 (366 ) p 439 Bayakya orag yag berada dalam sistem surat beratai tersebut sama dega k ( ) ( 3 ) 8 C 0 ( 5 ) 8 ( ) C r ( 5 ) r ( 3 ) 8 r Agar didapat kostata maka 5r 3(8 r) 0 r 3 Nilai kostata tersebut adalah 8 C 3 ( 5 ) 3 ( 3 ) 5 56 ( ) 5 79 Jadi, ilai kotata tersebut sama dega 79 Jika yag ditayaka adalah jumlah koefisie maka jumlah koefisie aka didapat jika. Jumlah koefisie ( ) 8. Kostata tersebut sama dega 79 da jumlah koefisie sama dega. 3y 8. y ekivale dega (3 )(3y ) 3 Jika 3k utuk k bilaga bulat 3 da 3y keduaya habis dibagi 3 sehigga ruas kiri habis dibagi 9 sedagka ruas kaa dibagi 9 bersisa 3. Jadi, tidak ada ilai 3k yag memeuhi. Jika 3k utuk k bilaga bulat 3 (3k ) 3 3(3k 4k ) Maka da 3(3k 4k ) merupaka faktor dari 3 Jika 3 da 3y 3(3k 4k ) dega 3k maka aka didapat pasaga bilat bulat (, y) yag memeuhi. Jadi, utuk setiap 3k aka didapat pasaga (, y) yag memeuhi. Jika 3k utuk k bilaga bulat 3 (3k ) 3 3(3k k ) Maka da 3(3k k ) merupaka faktor dari 3. SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

14 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Pertama Jika 3 da 3y 3(3k k ) utuk (mod 3) Karea 3(3k k ) (mod 3) maka aka didapat pasaga bulat (, y) yag memeuhi. Jadi, utuk setiap 3k aka didapat pasaga (, y) yag memeuhi. Maka haya betuk 0 (mod 3) saja yag membuat tidak ada pasaga (, y) bulat yag memeuhi. Maka bayakya bilaga bulat positif < 00 yag memeuhi ada sebayak y z y z yz Megigat yz maka y y z yz z Jadi, y z y y z yz z ( y z) ( y ) z y z (y z yz) ( y z y z ) yz y z (y z yz) ( y z) y z Karea y z y z yz maka y z y z Karea, y da z tidak mugki egatif maka sesuai ketaksamaa AM-HM maka y z 3 3 y z ( y z )( ) 9 y z Karea y z da y z 0 maka y z y z 3 ( y z) (y z yz) 3 0 ( y z) ( y z) 3 0 ( y z )( y z 3) 0 y z 3 atau y z y z 3 atau y z Jika ilai y z maka y z Karea y z y y z yz maka y z yz da karea yz maka, y z da z merupaka akar-akar persamaa p 3 p p 0 (p )(p ) 0 Maka (, y, z) (,, ) da permutasiya yag memeuhi kesamaa awal pada soal. Nilai miimal y z. SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

15 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Pertama 0. Mugki maksud soal tersebut adalah pajag DE miimum. Misalka pajag AD da pajag AE y 5 Luas ABC (5)() 30 da si A serta cos A 3 3 Luas ADE y si A 5. Maka y 78. Sesuai dalil cosius pada ADE maka : DE y y cos A y 44 DE ( y) y 44 DE ( y) DE aka miimum sama dega jika y 78 DE miimum 3 SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

16 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN KEDUA Disusu oleh : Eddy Hermato, ST

17 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Kedua BAGIAN KEDUA. Misalka AR BP CQ CP RB PC QA k P B Alteratif : BP BR Aka didapat BC BA k Karea P BR CBA maka ABC sebagu dega RBP. Jadi, RP aka sejajar dega AC. RP k AC AQ Karea RP sejajar dega AQ da AKQ RKP serta RP AQ maka RP K kogrue dega AQK dega AK KP. Misal perpajaga garis berat AG memotog sisi BC di S. Jelas bahwa S adalah pertegaha sisi BC da juga sisi PP. Maka AG juga garis berat APP dega titik G juga titik berat APP sebab perbadiga AG dega GS tetap :. Karea K adalah pertegaha sisi AP maka PK adalah juga garis berat APP. Karea PK adalah garis berat APP maka PK juga aka melalui titik G. Jadi, titik P, K da G aka berada pada satu garis lurus (koliier). Terbukti bahwa titik-titik P, G da K koliier (terletak pada satu garis). Alteratif : Tapa meguragi keumuma misalka koordiat A(0, 0) da B(k, 0) serta C(b, c). k b 0 c kb k kc c Koordiat P ( b ) k, k P ( ) k, k Koordiat P ( b k c k k b c ) k, k k, k b c Koordiat Q ( ) k P ( ), k k Koordiat R(k, 0) Koordiat G ( k b, c ) 3 Persamaa garis AP. c y () k k b Persamaa garis QR y 0 k c k 0 b k k 3 c y ( k) () b k k Perpotoga garis AP da QR di titik K( K, y K ) SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

18 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Kedua c k k b K c ( b k K k) k (b k k) K (k k b)( K k) k(k ) K k(k k b) k k b c K ( k ) da y K ( k k k b ( k k ) b c ) ( k ) k k b c Maka koordiat K( ( k ), ( k ) ) Kemiriga garis KG m KG Kemiriga garis GP m GP c c ( ) k 3 k k b k b ( k ) 3 c kc 3 k k b kb k 3 k c kc k k b kb c kc k k b kb Karea m GP m KG maka ketiga garis P, G da K berada pada satu garis lurus. Terbukti bahwa titik-titik P, G da K koliier (terletak pada satu garis). L 7 qqlqk. p p pk (p p 3 p k p p 3 p k p p p k- ) p p p k (7 q q q k ) p i tidak membagi (p p 3 p k p p 3 p k p p p k- ) sebab ada tepat satu bagia dari (p p 3 p k p p 3 p k p p p k- ) yag tidak megadug p i. Jadi, haruslah p i membagi Karea p i utuk i,,, k semuaya berbeda maka k 4. p p p 3 p maka 7 q q q 3 q 4 07 q q q 3 q yag merupaka perkalia 6 bilaga prima. Karea q, q, q 3 da q 4 adalah 4 bilaga prima yag boleh sama maka merupaka perkalia dua faktor prima dari 00. Nilai yag mugki adalah, 3, 5, 7, 3 5, 3 7, 5 5 da 5 7. Bayakya yag memeuhi ada y 3 y k d 3 (k d) 3 ( k 3 ) 3 (3dk ) (3d k) d 3 0 Karea poliomial berderajat gajil aka memiliki sedikitya satu akar real maka poliomial di atas harus diubah mejadi poliomial berderajat geap. Jadi, k maka 3d 3d d 3 0 Agar tidak ada ilai real yagmemeuhi maka (3d ) 4(3d)(d 3 ) < 0 3d 4 4d 4 8d < 0 d(d )(d d 4) > 0 d d 4 defiit positif sehigga d(d ) > 0 Nilai d yag memeuhi adalah d < 0 atau d > Nilai k yag memeuhi adalah k da ilai d < 0 atau d >. SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

19 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Kedua 4. y 3z dega 00. y 3z Karea y 0 maka 0 z 3 Jika z geap maka z k dega k bilaga bulat tak egatif Maka 3z 6k yag merupaka bilaga geap. Karea 0 k 3 maka 0 k 6 y 6k yag merupaka bilaga geap sehigga geap. Misalka m 6k m y utuk m bilaga bulat tak egative. 6k Bayakya pasaga (m, y) bulat tak egatif yag memeuhi utuk setiap ilai k. 6k Maka bayakya pasaga (, y) bulat tak egatif yag memeuhi. Misalka bayakya pasaga (, y) bulat tak egatif yag memeuhi t 6 6 6k t 3k yag merupaka deret aritmatika dega beda 3, k 0 k 0 bayakya suku 6, suku pertama da suku terakhir. t ( )( ( ) ) Jika z gajil maka z k dega k bilaga bulat tak egatif Maka 3z 6k 3 yag merupaka bilaga gajil. Karea k 3 < 3 sebab 3 geap. 0 k 6 y 6k 3 yag merupaka bilaga gajil sehigga gajil. Misalka m 6k m y dega m bilaga bulat tak egatif 6k Bayakya pasaga (m, y) bulat tak egatif yag memeuhi utuk setiap ilai k. 6k Maka bayakya pasaga (, y) bulat tak egatif yag memeuhi. Misalka bayakya pasaga (, y) bulat tak egatif yag memeuhi t t 6 6k 6 3k yag merupaka deret aritmatika dega beda 3, k 0 k 0 bayakya suku 6, suku pertama da suku terakhir. t ( )( ( ) ) Jadi, bayakya tripel (, y, z) yag memeuhi t t ( 4 ) ( 4 ) Terbukti bayakya tripel (, y, z) bilaga bulat tak egatif yag memeuhi SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST

20 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provisi 00 Bagia Kedua 5. Warai petak-petak tersebut seperti pada papa catur. Pada gambar di atas aka didapat jumlah petak wara hitam da putih berselisih satu. Lagkah kuda dari petak putih ke petak hitam atau sebalikya. Karea kuda tersebut harus kembali ke petakya semula maka petak terakhir sebelum kembali ke petak semula haruslah berbeda wara dega petak semula tersebut. Jadi, haruslah jumlah petak wara hitam sama dega jumlah petak wara putih. Tetapi teryata jumlah petak wara hitam da putih berselisih satu. Kotradiksi. Maka biji catur kuda tidak dapat kembali ke petakya semula. Biji catur kuda tidak dapat kembali ke petakya semula. SMA Negeri 5 Begkulu Eddy Hermato, ST