Barisan Aritmetika dan deret aritmetika

Transkripsi

1 BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika da deret geometri 3. Memecahka masalah yag berkaita dega barisa da deret B. Idikator. Mejelaska pegertia barisa aritmetika. Meetuka rumus suku ke- barisa aritmetika 3. Mejelaska pegertia barisa geometri 4. Meetuka rumus suku ke- barisa aritmetika jumlah suku pertama deret aritmetika 7. Meghitug ilai suku ke da jumlah suku yag pertama deret aritmetika 8. Mejelaska pegertia deret geometri 9. Meetuka rumus suku ke- da julmlah suku yag pertama deret geometri 0. Meetuka sifat-sifat deret aritmetika da deret geometri. Megguaka sifat-sifat deret aritmetika da geometri utuk meyelesaika masalah Barisa Aritmetika da deret aritmetika. Barisa Aritmetika Barisa aritmetika serig juga disebut barisa hitug adalah barisa bilaga yag setiap sukuya diperoleh dari suku sebelumya dega meambah atau meguragi dega suatu bilaga tetap. Bilaga tetap tersebut diamaka pembeda, (biasaya disimbolka dega b). Jadi pembeda merupaka selisih atara

2 dua suku yag berturuta. Suku pertama barisa aritmetika ditulis u, sedagka suku ke- dari suatu barisa bilaga aritmetika dituliska sebagai u. Cotoh: ) Barisa aritmetika : 3, 7,, 5,... Suku pertamaya u = 3. Selisih atara dua suku yag berturuta adalah 7-3 = -7 = 5- = 4. Jadi pembedaya adalah 4. ) Barisa bilaga: 6, 3, 9, 6,... Suku pertamaya u = 6. Selisih atara dua suku yag berturuta adalah 3-6 = 9-3 = 6-9 = -3. Jadi pembedaya adalah -3.. Rumus suku ke- dari barisa aritmetika Utuk meetuka suku ke- suatu barisa bilaga aritmetika dimaa relatif besar tetuya aka sulit jika kita harus meuliska seluruh aggota barisa bilaga tersebut. Utuk itu diperluka cara utuk meetuka suku ke- dari suatu barisa bilaga aritmetika dega sembarag bilaga asli. Misal suku pertama suatu barisa aritmetika adalah a dega pembeda b, maka barisa aritmetika tersebut dapat dituliska sebagai berikut : atau dapat dituliska a, a + b, a + b + b, a + b + b + b,. a, a + b, a + b, a + 3b, Dari barisa di atas, jika suku- ditulis u, suku ke- ditulis u,.dst maka diperoleh barisa u u,..., u3 Selisih atara dua suku yag berturuta Sehigga dapat dibuat tabel berikut: u u u = u u =... = b u u 3 u 4 u... 5 a a + b a + b a +3b a +5b? a+(-)b a+(-)b a+(3-)b a+(4-)b a+(6-)b... a + (-)b 3 u Jadi rumus suku ke- dari barisa aritmetika adalah: atau u = a + ( ) b

3 u = u + ( ) b Keteraga : u = suku ke- u = suku pertama a = suku pertama b = pembeda Cotoh :. Tetuka suku ke- dari barisa aritmetika : 7, 5, 3,, Peyelesaia: Diketahui a = 7, b = -, da =, maka U = 7 + (-)(-) = -3. Diketahui suku ke- dari barisa aritmetika adalah 6 da suku kelimaya 8, tetuka pembedaya. Peyelesaia: Diketahui a = 6, da U 5 = 8 U = a + ( ) b U 5 = 6 + (5 ) b 8= 6 + 4b 4b = b = 3 Jadi pembedaya adalah 3. Barisa aritmetika yag bilaga-bilagaya semaki besar ilaiya disebut barisa aritmetika aik, sedagka barisa aritmetika yag bilaga-bilagaya semaki kecil ilaiya disebut barisa aritmetika turu. Pembeda pada barisa aritmetika aik berilai positif, sedagka pembeda pada barisa aritmetika turu adalah egatif. Cotoh: ), 5, 8,, 4,.., pembedaya adalah 3 (positif), jadi barisa tersebut merupaka barisa aik. ) 45, 43, 4, 39,.., pembedaya adalah - (egatif), jadi barisa tersebut merupaka barisa turu. 3

4 3. Rumus Suku Tegah Barisa Aritmetika Pada barisa aritmetika, suku yag terletak di tegah jika bayakya suku gajil diamaka suku tegah. Misalya diberika barisa aritmetika tegahya adalah u t maka berlaku ut + = u + = a + b + + Jadi suku tegah barisa aritmetika adalah u t = ( u + u ) = a b = a + b = ( a + ( ) b) = ( u + ) u, u, u3... u dega gajil da suku 4. Suku sisipa Misalka diberika dua bilaga p da q, kemudia disisipka k buah bilaga diatara kedua bilaga tersebut sehigga membetuk barisa aritmetika dega beda b sebagai berikut: p, (p + b), (p +b),..., (p+kb), q maka beda b dari barisa tersebut dapat ditetuka sebagai berikut: u b = u u = q ( p + kb) b = q p kb kb + b = q p b( k + ) = q p q p b = k + Jadi beda barisa aritmetika yag terbetuk adalah Soal Latiha q p b =. k +. Suku pertama barisa aritmetika adalah 34 da suku ke-6 adalah 9, tetuka suku ke-3.. Suku pertama barisa aritmetika adalah 54 da suku ke-4 adalah 4, tetuka suku ke Pada suatu barisa aritmetika suku ke- adalah 5 da suku ke-6 adalah 30, tetuka suku ke-4 4. Suku keempat suatu deret aritmetika adalah 9 da jumlah suku keeam da kedelapa adalah 30. Tetuka suku ke 0 4

5 5. Ai memiliki tabuga awal Rp ,00. Setiap hari ia meambah tabugaya sebesar Rp 000,00. a. Berapa besar tabuga Ai setelah 0 hari? b. Berapa besar tabuga ai setelah tahu? c. Setelah berapa lama tabuga Ai mejadi juta? 3. Deret Aritmetika Perhatika barisa aritmetika 3, 5, 7, 9,. Dari barisa aritmetika tersebut dapat dibuat suatu deret aritmetika : S = Dega demikia jika diketahui suatu barisa bilaga aritmetika : u, u,, u 3,, u maka dapat dibuat suatu deret aritmetika: S = u + u + u u Bagaimaakah cara meetuka rumus S? Perhatika bahwa u = a, u = a + b u 3,= a+b. u = a + (-)b Maka diperoleh S = a + (a + b) + (a + b) + (a + 3b) +.+.(a + (-)b) S = (a + (-)b) + (a + (-)b) +.+ a S = (a + (-)b) + (a + (-)b) +. + (a + (-)b) atau : S = (a + ( )b jadi : + S = (a + ( )b) atau S = (a + u ) Rumus di atas meyataka jumlah suku pertama dari deret aritmetika. 5

6 Utuk setiap deret aritmetika berlaku : S S = u dimaa (u = suku ke dari deret aritmetika) Pada suatu deret aritmetika, jika pembeda barisa positif maka deret yag terbetuk disebut deret aritmetika aik da jika pembeda barisa egatif maka deret yag terbetuk disebut deret aritmetika turu. Utuk lebih jelasya, perhatika cotoh-cotoh berikut : Cotoh :. Diketahui deret aritmetika a. Tetuka suku ke 34 b. Tetuka S 6 c. Selidiki apakah deret tersebut termasuk deret aik atau deret turu! Peyelesaia: a. Diketahui deret berarti a = 3 da b = 4 Suku ke-34 adalah u = 3 + (34 ) 4 = = 35. b. S = (a + ( ) b) 6 S 6 = (.3 + (6 )4) = 8 (6 + 60) = 8 (66) = c. Karea pembedaya b = 4 positif, maka termasuk deret aik.. Diketahui deret aritmetika a. Tetuka suku ke 6 b. Tetuka S 8 c. Selidiki apakah deret tersebut termasuk deret aik atau deret turu! Peyelesaia: 6

7 a. Diketahui deret berarti a = 48 da b = -3 Suku ke-34 adalah u 6 = 48 + (6 )( 3) = 48 + (5).(-3) = -7. b. S = (a + ( ) b) 8 S 8 = (96 + (8 )( 3)) = 9(96 5) = 9 (45) = 405. c. Karea pembedaya b = -3 egatif, maka termasuk deret turu. Soal Latiha. Diketahui deret aritmetika sebagai berikut : (k + 5 ) + (k + 9) +(k + 3)+ a. Tetuka pembeda pada deret tersebut! b. Tetuka suku ke 8 da ke 6 pada deret tersebut! c. Hitug jumlah eam suku pertama pada deret tersebut!. Pada taggal Maret Desta diberi hadiah dua maik-maik oleh kakakya. Hari berikutya diberi 4 maik-maik. Setiap hari yag berturuta Desta diberi maikmaik dega jumlah bertambah. a. Berapa bayakya maik-maik yag diterima Desta pada taggal 3 Maret? b. Berapa jumlah maik-maik yag dimiliki Desta sampai dega taggal 3 Maret? 3. Pak Hardi membeli beras 30 kg utuk persediaa di tokoya. Hari pertama terjual 5 kg beras, hari kedua terjual 0 kg. Setiap hari yag berturuta terjual 5 kg lebih besar dari pada hari sebelumya. Dalam berapa hari beras pak Hardi habis terjual? 4. Pak Haru bekerja di sebuah perusahaa swasta yag memberika bous akhir tahu pada karyawaya sebesar 0 % gaji utuk tahu pertama. Akhir tahu kedua karyawa berhak meerima bous kali lipat bous tahu pertama. Akhir tahu 7

8 ketiga meerima bous tiga kali lipat bous tahu pertama da seterusya. Jika gaji pak Haru pada tahu 005 adalah juta perbula, maka : a. Berapakah bous yag diterima pak Haru akhir tahu 008? b. Berapakah bous yag diterima pak Haru pada akhir tahu 00? c. Berapakah bayakya bous yag aka diterima pak Haru selama 0 tahu?. Barisa Geometri Barisa geometri atau barisa ukur adalah barisa bilaga yag tiap sukuya diperoleh dari suku sebelumya dega megalika dega suatu bilaga tetap yag tidak sama dega ol. Bilaga tetap tersebut diamaka pembadig atau rasio, (biasaya disimbolka dega p). Pada barisa geometri berlaku: suku ke = suku ke suku ke 3 suku ke suku ke =... suku ke ( ) = p dalam hal ii p disebut pembadig. Utuk meetuka suku ke- pada barisa geometri, maka harus ditetuka hubuga atara masig-masig suku dega betuk bilaga berpagkat. Utuk lebih jelasya, perhatika cotoh berikut : Diketahui barisa geometri: 9, 7, 8, 43 Maka u = 9 = 9 x 3 - u = 7 = 9x 3 - u 3 = 8 = 9 x 3 3- u 4 = 43 = 9 x 3 4-.dst Jadi, u = 9 x 3 - Perhatika bahwa, jika a adalah suku pertama da p adalah pembadig, maka barisa geometri dapat ditulis sebagai: a, ap, ap, ap 3, Dari barisa di atas, jika suku- ditulis u, suku ke- ditulis u,.dst diperoleh barisa u, u, u3... 8

9 Sehigga dapat dituliska u u u 3 u 4 u 5 a ap ap ap 3 ap 4.. a a x p a x p 3- a x p 4- a x p 5-.. a x p - u? Jadi rumus suku ke- dari barisa geometri adalah u = a p atau Keteraga : u = suku ke- u = suku ke- a = suku pertama p = pembadig Cotoh. Carilah suku ke- dari barisa, 6, 8, Peyelesaia: Diketahui a = da p = 6 = 3, maka diperoleh u = a p u = 3 0 u = 3 = = Jika suku ke- dari satu barisa geometri adalah 7 da suku ke-4 sama dega, tetuka pembadigya! Peyelesaia: Diketahui a = 7, da u 4 =, maka diperoleh u = a p u = u p 9

10 = 7 p = 7 p p = = = Jadi p =. 3 Soal Latiha. Dalam kejuaraa basket tigkat asioal putara pertama diikuti oleh 8 team. Putara kedua diikuti oleh 64 team da putara berikutya 3 team, 6 team da seterusya. Tuliska atura utuk mejelaska barisa bilaga tersebut da carilah tiga suku berikutya!. Tetuka pembadig da suku ke-4 dari barisa geometri berikut. a. 64, 6, 4,,. b., 6, 8, 54,. c. 8, 7, 9, 3,. d. 78, -36, 8, -9,. e., -4, 8, -6, 3. Tetuka pembadig da suku ke-0 dari barisa geometri jika diketahui. a. suku pertama 8 da suku ke-6 adalah 4 b. suku pertama 3 da suku ke-5 adalah 43 c. suku ke-3 adalah da suku ke-6 adalah 96 e. suku ke-4 adalah 6 da suku ke-6 adalah Diketahui barisa geometri suku pertamaya 3 da suku ketigaya -8.Tetuka suku ke- barisa tersebut. 5. Pada suatubarisa geometri diketahui suku ke-9 adalah 3, sedagkasuku ke- adaalah 7. Tetuka dua ilai yag mugki dari suku ke-0.. Deret Bilaga 0

11 Secara umum, deret diartika sebagai jumlah dari suku-suku suatu barisa bilaga da biasaya disimbolka dega u, u, u3,..., u, maka secara matematis dapat dituliska : S. Jika diketahui barisa dega suku-suku S = u + u + u u Beberapa pegertia tetag deret Deret berhigga adalah deret yag bayakya suku berhigga, atau disebut jumlah suku pertama dari barisa berhigga. Deret berhigga diyataka dega S. Cotoh : Barisa, 4, 6, 8, 0 adalah barisa higga yag terdiri dari 5 suku. Maka, deret S =, S = + 4 = 6 S 3 = = S 4 = = 0 da S 5 = = 30 disebut deret higga dari barisa, 4, 6, 8, 0. Deret tak berhigga adalah deret yag diperoleh dari suatu barisa tak higga, atau disebut jumlah sampai tak higga suku-suku barisa tak higga. Deret tak higga diotasika dega S.. Deret Geometri Perhatika barisa geometri, 4, 8, 6,.Jika suku-suku dari barisa geometri tersebut dijumlahka maka aka diperoleh deret geometri. Jadi dalah deret geometri. Secara umum dapat dikataka bahwa, jika diketahui suku yag pertama dari suatu barisa geometri, maka jumlah suku yag pertama diartika sebagai deret geometri. Jika a, ap, ap, ap 3,., ap - adalah barisa geometri, maka S = a + ap + ap + ap ap - adalah deret geometri Jumlah suku yag pertama barisa geometri

12 Bagaimaakah cara utuk meetuka jumlah suku pertama deret geometri? Perhatika bahwa: U = a, ap, ap, ap 3,., ap - S = a + ap + ap + ap ap - p S = ap + ap + ap ap - + ap S ( p) = a ap - S a ap = p sehigga diperoleh : S = p a p Rumus tersebut berlaku utuk 0 < p <. Sedagka utuk p yag lai berlaku S = a p p Cotoh :. Diketahui deret aritmetika a. Tetuka pembadig deret tersebut b. Tetuka suku ke- dari deret tersebut c. Tetuka jumlah 9 suku pertama suku pertama dari deret tersebut Peyelesaia: a. Pembadig deret tersebut adalah: 3 b. Diketahui deret berarti a = da p = 3 Suku ke- adalah =. 3 u = c. S 9 = = = Soal Latiha

13 . Diketahui deret berikut : a. Tetuka suku ke 8 pada deret tersebut! b. Tetuka jumlah 8 suku yag pertama pada deret tersebut!. Bakteri berkembag biak dega membelah diri setiap 30 meit. Jika bayakya bakteri adalah 00, hitug bayakya bakteri yag aka tumbuh setelah jam da setelah 4 jam! E.Ragkuma. Barisa Bilaga () Barisa aritmetika a, a + b, a + b, a + 3b, adalah Rumus suku ke- barisa aritmetika adalah u = a + ( ) b, dega a suku pertama, b adalah pembeda. () Barisa geometri : a, ap, ap, ap 3, Rumus susku ke- barisa geometri adalah a adalah suku pertama, p adalah pembadig. II. Deret Bilaga u = a p, dega () Dari barisa bilaga aritmetika u, u, u3,... u dapat dibetuk deret bilaga u + u + u u 3. Berati dari barisa aritmetika a, a + b, a + b, a + 3b,, a +(-)b diperoleh deret aritmetika a+( a + b) +( a + b) + ( a + 3b)+ a +(-)b () Rumus jumlah suku deret aritmetika adalah S = (a + ( ) b atau S = ( a + u ). (3) Dari barisa bilaga geometri : u, u, u3,... u dapat dibetuk deret bilaga u + u + u u 3. 3

14 Berati dari barisa aritmetika: a, ap, ap, ap 3,,ap - diperoleh deret geometri : a + ap + ap + ap ap - (4) Rumus jumlah suku deret geometri adalah S p = a p atau S = a p p. 4