BAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi suatu ring serta

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai defiisi suatu rig serta beberaa sifat yag dierluka dalam embahasa oliomial ermutasi Pejelasa megeai rig dimulai dega defiisi dari suatu sistem matematika Defiisi 21 Jika R suatu himua tak kosog da terdaat suatu emetaa i : R R R, maka ( R, i) disebut sistem matematika Jika ada R didefiisika dua oerasi + da i maka ditulis ( R, +, i) (Achmad Arifi, 2001, halama 1) Defiisi 22 Suatu sistem matematika ( R, i) disebut gru jika : a memeuhi sifat asosiatif, yaitu utuk setia x, yz, R berlaku x i( yiz) = ( xiy) iz b memiliki eleme idetitas, diotasika sebagai e, sedemikia sehigga berlaku x ie = eix = x utuk setia x R Poliomial Permutasi, Rif'atul Mahmudah, FMIPA UI,

2 6 c memiliki ivers utuk setia x R, diotasika sebagai 1 x, sedemikia sehigga berlaku 1 1 x ix = x ix = e (I N Herstei, 1996, halama 41) Defiisi 23 Suatu gru ( R, i) yag memiliki sifat utuk setia x, y R berlaku x iy = yix disebut gru abelia atau komutatif (I N Herstei, 1996, halama 43) Bermula dari defiisi gru yag megguaka satu buah oerasi, selajutya aka dibahas suatu sistem matematika dega dua buah oerasi yag disebut sebagai rig beserta sifat-sifatya Defiisi 24 Sistem matematika ( R, +, i) disebut rig jika memeuhi : a ( R,+) meruaka gru komutatif b ( R, i) memeuhi sifat asosiatif, yaitu x i( yiz) = ( xiy) iz utuk setia x, yz, R c ( R, +, i) memeuhi sifat distributif, yaitu x i ( y + z) = xiy + xiz da ( y + z) i x = yix + zix utuk setia x, yz, R (I N Herstei, 1996, halama 126) Poliomial Permutasi, Rif'atul Mahmudah, FMIPA UI, 2008

3 7 Rig daat dibedaka mejadi dua jeis berdasarka bayak elemeya, yaitu rig tak higga da rig higga Rig tak higga adalah rig yag memiliki tak berhigga eleme sedagka rig higga adalah rig yag memiliki sejumlah berhigga eleme Cotoh dari rig tak higga adalah himua bilaga bulat dega oerasi ejumlaha da erkalia umum ada bilaga bulat, diotasika (, +, ) Sedagka utuk memberika cotoh dari rig higga, terlebih dahulu aka diberika defiisi megeai kelas modulo Defiisi 25 Kumula semua bilaga bulat yag memuyai sisa a jika dibagi disebut kelas dari a modulo, diotasika sebagai [ a ] { } [ a] = a+ k k (Alexader Bogomoly, 1996) Sifat yag berlaku ada kelas modulo dijelaska ada sifat di bawah ii Poliomial Permutasi, Rif'atul Mahmudah, FMIPA UI, 2008

4 8 Sifat 26 [ a ] da [ ] b dikataka ekivale, diotasika [ ] = [ ] a b, jika da haya jika habis membagi a b, atau terdaat suatu bilaga bulat k sedemikia sehigga a b = k Bukti : ( ) Diketahui [ ] = [ ] a b, maka aka ditujukka terdaat suatu bilaga bulat k sedemikia sehigga a b = k [ ] = [ ] a b berarti utuk setia c, c di [ a ] maka c juga di [ b ] Dega memadag c di [ a ], c daat diyataka sebagai c = a+ l, utuk suatu bilaga bulat l (21) Tetai jika memadag c di [ b ], c diyataka sebagai c = b+ l, utuk suatu bilaga bulat l (22) Dari ersamaa (21) da (22) dieroleh a b = l l, atau a b = k, utuk suatu bilaga bulat k = l l Jadi, terbukti jika diketahui [ ] = [ ] sedemikia sehigga a b = k a b maka terdaat suatu bilaga bulat k ( ) Diketahui a b = k, utuk suatu bilaga bulat k, maka aka ditujukka [ ] = [ ] a b Poliomial Permutasi, Rif'atul Mahmudah, FMIPA UI, 2008

5 9 [ a] = { a+ l l } {( ) } = b+ k + l l, utuk suatu bilaga bulat k { b ( k l) l } = + + { } = b+ k k, dega k = k + l [ b ] = Sehigga terbukti bahwa [ ] = [ ] a b Dega demikia Sifat 26 terbukti modulo, Sekarag adag [ ] { }, 1 dega oerasi : [ a] [ b] [ a b ] + : + = + = a a yaitu kumula bilaga bulat i : [ ] i [ ] = [ ] a b ab Kemudia aka ditujukka bahwa oerasi + da i di terdefiisi dega baik, yaitu dega meujukka jika [ a ] = [ a ] da [ b ] = [ b ] maka [ a + b ] = [ a + b ] da [ ] = [ ] Utuk [ ] = [ ] [ ] = [ ] ab a b a a maka habis membagi a a Sedagka utuk b b maka juga habis membagi b b Poliomial Permutasi, Rif'atul Mahmudah, FMIPA UI, 2008

6 10 Karea ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) a b a b a a b b, da habis membagi a a da b b, maka juga habis membagi ( a+ b) ( a + b ) atau daat dikataka [ + ] = [ + ] Begitu juga karea ( ) = ( ) + ( ) ab a b a a b a b b, a b a b da habis membagi a a da b b maka juga habis membagi ( ab a b ) atau daat dikataka [ ] = [ ] dega baik ab a b Dega demikia terbukti bahwa oerasi + da i di terdefiisi berikut : Sistem matematika (, +, i) a (,+) meruaka gru komutatif b (, i) c (, +, i) memeuhi sifat asosiatif memeuhi sifat distributif Karea himua berisi [ ] eleme dari adalah eleme Dega demikia (, +, i) adalah rig karea memeuhi sifat-sifat { = 0,, 1 } a a, maka bayakya meruaka suatu rig higga Poliomial Permutasi, Rif'atul Mahmudah, FMIPA UI, 2008

7 11 Berikut aka diberika sifat ada rig higga (, +, i) dalam embahasa megeai oliomial ermutasi di rig yag terkait Sifat 27 Jika [ a] sembarag aggota di da sembarag bilaga bulat maka berlaku sifat berikut : a [ a] = [ a ] b [ ] Bukti : ( ) a = a a [ a] = [ a] + [ a] + [ a] + + [ a ] b [ ] sebayak kali = a + a+ a+ + a sebayak kali = [ a ] ( a ) = [ a] i [ a] i i [ a ] sebayak kali = aa a sebayak kali = a Dega demikia terbukti bahwa [ a ] = [ a ] da [ ] ( ) a = a Poliomial Permutasi, Rif'atul Mahmudah, FMIPA UI, 2008

8 12 Sifat 28 Jika [ a ] di dega a, bilaga gea ositif da a = maka 2 berlaku dua hal berikut : a [ ] = [ 0] a utuk bilaga gea, da b [ ] = [ ] Bukti : a a utuk bilaga gajil a Berdasarka Sifat 27, [ ] = [ ] [ ] = [ 0] a a, maka aka ditujukka a atau habis membagi a 0 = a Karea meruaka bilaga gea maka daat diyataka sebagai = 2 a = k = k 2 k utuk suatu bilaga bulat k Sehigga ( 2 ) Dega demikia habis membagi a b Aalog dega embuktia bagia a, dega demikia aka ditujukka [ a ] = [ a ] atau habis membagi = ( 1 ) a a a Karea meruaka bilaga gajil maka daat diyataka sebagai = 2k + 1 utuk suatu bilaga bulat k, sehigga 1= 2k Sehigga 2 ( 1) a = ( 2k) = k Dega demikia habis membagi ( 1) a Jadi kedua sifat tersebut telah terbukti Poliomial Permutasi, Rif'atul Mahmudah, FMIPA UI, 2008