VEKTOR DAN SKALAR VEKTOR PADA BIDANG (DEMENSI 2)

Transkripsi

1 VEKTOR DAN SKALAR Pd eerp idng kit sudh engenl istilh wktu suhu ss dn volue ng sing-sing epuni esr pnjng tu nili. Hl itulh ng dikenl dengn sklr ng dinotsikn dengn lower cse itlic letter isln c dst. Selin itu d jug eerp esrn ng sudh kit kenl ntr lin keceptn perceptn g oentu edn gnet edn listrik dst ng tidk hn epuni esr tetpi jug epuni rh. Besrn terseut ng dikenl dengn esrn vector. Vektor dinotsikn dengn lowercse oldfce letter isln u v w dst. Ad eerp uku ng enggunkn notsi vector seperti isln u tu. Tetpi pd odul ini kit sepkti ers hw untuk enotsikn vector dengn lo dwercse oldfce letter. VEKTOR PADA BIDANG DEMENSI Colh enggr sepsng gris ng sling tegk lurus dn erpotongn di titik O ng selnjutn diseut titik pust/origin. Gris ng horiontl diseut suu sedngkn gris ng verticl diseut suu. Suu dn suu ers-s diseut suu koordint sert kedun eentuk sste koordint krtesius. Grkn pd ler jwn erikut! Y P X Sekrng kit pilih seuh titik pd suu ng terletk di knn titik O dn seuh titik pd suu di ts titik O untuk enetpkn titik pd suu dn ng ernili positip. Setip titik P pd idng dlh psngn erurutn dri ilngn rel ng selnjutn diseut dengn koordint. Titik P dengn koordint dintkn dengn Ptu Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

2 Mislkn A = dengn dn dlh ilngn rel. Sehingg X dlh rus gris errh dengn pngkl O dn ujung P. Gris errh dri O ke P dintkn dengn OP ; O diseut pngkl dn P diseut ujung. Definisi. Seuh Vektor pd Bidng dlh triks erukurn = Dengn R Atu vector dpt kit definisikn vector dlh rus gris errh ng pnjng dn rhn tertentu. Kren vector dlh seuh trik k vector = Contoh : dn = diktkn s = jik dn hn jik dn Vektor 3 dn 6 dlh s jik : + = -6 = = - = -/ Jdi du vektor terseut s jik = -8 dn = - ¼ OPERSASI VEKTOR PENJUMLAHAN VEKTOR Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

3 Misl: = dn dlh : + = + dn = = dlh vektor dl idng R k julh dn perklin sklr dn vektor didefisikn : t = t Contoh: jik t dlh serng sklr k = t t tu t = t t Mislkn p = 5 7 dn q = 6 k p + q = = 3 Secr Geoetri penjulhn vektor difrkn segi erikut : p q k p + q dlh : p u=p+q p u = p + q tu q q lngkhn dlh segi erikut : Sehingg p+q dlh vector ng diwkili oleh segen gris errh ng pngkln eripit dengn pngkl q dn ujungn eripit dengn ujung p ng telh dipindhkn sedeikin sehingg pngkl p eripit dengn ujung q. sedngkn jik vektor p dikurngi vektor q k grn segi erikut: Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 3

4 -q v = p-q p PERKALIAN TITIK Perklin titik vector dn dituliskn dic dot dn didefinisikn segi erikut. cos θ θ dlh sudut ntr dn Berdsrkn definisi perklin sclr du vector terseut jik i j k erturutturut dlh vector stun dengn rh suu dn k: i. i j. j k. k i. j i. k j. k 0 Teore erikut kn engurikn eerp sift penting dri hsil kli titik. Definisi. Teore. Jik uv dn w dlh vector-vektor di rung- tu rung-3 dn k dlh sclr k. u. v = v. u. u. v + w = u.v + u.w c. ku.v = ku.v = u. kv d. v.v > 0 jik v 0 dn v.v = 0 jik v = 0 Definisi.53 Jik p u u u... u dn q v v v... v dlh vektor dl deensi n 3 n 3 n R n k hsil kli dl/perklin titik didefinisikn dengn : p. q u v u v u v... u v 3 3 n n PERKALIAN CROSS Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

5 Dl nk penerpn vector untuk sol-sol geoetri fisik dn teknik kit perlu eentuk vector di rung deensi 3 R 3 ng tegk lurus terhdp du vector ng dierikn. Disini kn dijelskn tentng perklin vector terseut Definisi.6 Jik p u u dn q v v dlh vektor dl deensi 3 R 3 u3 v3 k hsil perklin cros didefinisikn dengn : pq uv3 u3v u3v uv3 uv uv Atu dl entuk diterinn : pq u v u v 3 3 u v u v 3 3 u v u v 3 Atu terdpt pol ng dpt digunkn untuk eperudh pengerjn itu triks 3 u v u v u v 3 3 Din entri ris pert dlh koponen fctor pert p dn entri ris kedu dlh koponen fctor kedu q k deterinn dl koponen pert p q dpt diperoleh dengn cr encoret kolo pert triks terseut deterinn dl koponen kedu kit dptkn dengn cr encoret kolo kedu dri triks terseut sedngkn deterinn dl koponen ketig kit dptkn dengn cr encoret kolo ketig dri triks Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 5

6 terseut. Contoh : Tentukn p q jik dikethui p = -5 dn q = -9-? Jw : p X q = u v u v u v 3 3 = = = -8 0 Sehingg dpt diliht hw hsil kli cross ntr du uh vector dlh vector. D. Vektor dl deensi du R : Vektor stun dlh vektor ng esrn stu stun dn rhn sesui dengn suu ut kni : i dlh vektor stun ng serh suu sis j dlh vektor stun ng serh suu ordint Y j 0 i u = i + j X u = i + j dengn segi koponen suu dn koponen rh suu dn sering ditulis dengn : u = E. Vektor dl deensi Tig R 3 : Vektor stun dlh vektor ng esrn stu stun dn rhn sesui dengn suu ut kni : Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 6

7 i dlh vektor stun ng serh suu sis j dlh vektor stun ng serh suu ordint k dlh vektor stun ng serh suu plikt u = i + j + k dengn segi koponen rh suu dn koponen rh suu dn dlh koponen rh suu. Bentuk tulisn vektor u = i + j + k dn leih sering dituliskn dl u = Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 7

8 DEMENSI SATU R A. Siste Koordint Stu Deensi Kit dpt enghuungkn eleen ljr itu hipunn ilngn Rel dengn eleen geoetri itu titik-titik pd gris lurus. Huungn itu diseut korespondensi stu-stu rtin untuk setip ilngn Rel tertentu di huungkn dengn titik tertentu pd sutu gris lurus. Bentuk Koordint stu deensi dlh segi erikut : Jrk titik dl koordint stu deensi: Jrk ntr titik dn = - sedngkn jrk dn 0 = 0 - sedeikin sehingg jrkl terseut sellu positip. Sehuungn dengn hl terseut perlu didefinisikn hrg utlk sulut sutu ilngn Rel. Hrg utlk dri sutu ilngn Rel didefinisikn segi : jik > 0 = - jik < 0 0 jik = 0 Dengn deikin jrk ntr dn dlh - = - Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 8

9 DEMENSI DUA R A. Siste Koordint Du Deensi R Slh stu konsep ng penting dl tetik dlh huungn tu ketergntungn ntr du hipunn ilngn. Nili kedu ilngn ng erhungn dpt dipndng segi psngn ilngn. Siste koordint du deensi enggunkn huungn ntr titik dengn psngn ilngn. Untuk itu perlu kit perhtikn definisi produk Crtesin dri du hipunn. Secr siolis produk Crtesin ditulis segi erikut : R R = { / ε R dn ε R} Sisti ng sering digunkn untuk enghuungkn tip titik pd idng dtr dengn psngn ilngn Rel erurutn dlh Siste Koordint Crtesin tegk lurus. N Siste Koordint Crtesin segi penghrgn kepd peneu siste terseut itu Rene Descrtes thun 637. Bentuk koordint Crtesin du deensi Adel segi erikut : 0 Y P Kedu suu koordint terseut egi idng koordint enjdi gin ng diseut dengn Kwdrn. Adpu peginn segi erikut : Kwdrn Asis Ordint Kwdrn II Kwdrn I I + + II - + Kwdrn III Kwdrn IV III - - IV + - Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 9

10 Contoh sol : Tentukn titik-tik diwh ini terletk di kwdrn ke rp? Jw : terletk pd kwdrn ke II kren < 0 dn >0. -9 terletk pd kwdrn ke VI kren >0 dn < terletk pd kwdrn ke III kren <0 dn <0. 70 terletk pd kwdrn ke I kren >0 dn >0 B. Jrk Antr Du Titik Dl Siste Deensi Du R P Jrk ntr du titik P dn P dpt diliht dri d - gr disping. Dengn enggunkn dli Pthgors P k : d tu d Contoh : Tentukn jrh ntr du titik erikut ini :. -8 dn dn dn --5 Jw :. -8 dn 7-9 d tu d d d 7 8 d d dn Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 0

11 d tu d d d d d dn --5 d tu d 5 3 d d 3 d 8 83 d C. Siste Koordint Polr Kutu Dl siste ini kit epuni titik tetp ng diseut segi Pole kutu dn gris errh horisontl 0A ng diseut segi Suu Polr suu kutu θ r P r θ = 0 A X Hungn koordint crtesin dn koordint kutu: Dri gr dits terliht hw : Titik P epuni koordint dl siste koordint Crtesin dn rθ dl koordint polr kutu. Dri gr terseut kit is enentukn : Sin θ = r r.sin dn Cos θ = r.cos r Perhtikn gr disping: Koordint polr dri serng titik P pd idng dtr ditulis Prθ din r dlh jrk OP dn θ Adel sudut AOP.Sudut θ positip jik diukur dri OA ke OP erlwnn rh jru j dn sudut θ negtip jik diukur dri OA ke OP serh jru j Sedngkn : r = Contoh :. Ntkn titik erikut ini dl koordint kutu :. P -. Q Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

12 . Ntkn dl koordint crtesin. R 5 5 o. S 9 35 o Jw :.. P - = - dn = titik erd di kudrn II r = 8 tg α = rc. tg 35 o Jdi P 35 o. Q = - 3 dn = - titik erd di kudrn III r = 3 tg α =.. R 5 5 o 3 rc. tg 3 3 Jdi P 0 o r = 5 dn α = 5 o 3 k : = r Cos α = 5 Cos 5 o = 5. = r Sin α = 5 Sin 5 o = 5. 5 Jdi R. S 9 35 o r = 9 5 dn α = 35 o = o 5 = k : = r Cos α = 9 Cos 35 o = 9. - = r Sin α = 9 Sin 35 o = 9. 9 = 9 = - Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

13 Jdi R D. Jrk Antr Du Titik Pd Siste Koordint Polr Jrk Pr α dn Q r β dpt ditentukn segi erikut : Q r β r Pr α Perhtikn gr disping: Dengn enggunkn Ruus Cosinus: β - α β α 0 Contoh : Tentukn jrk titik P3 30 o dn titik Q760 o? Jw : r Jrk PQ = r r r r cos Jrk PQ = r r r r cos = cos = cos = 9 9 Cos30 0 = SOAL LATIHAN. Tentukn letk titik-titik : A3 B-5 C6 dn -3 dl sste koordint stu deensi?. Tentukn letk titik-titik ng korrrdintn eenuhi : = - - = 3 - = dn + = 3. Tentukn loksi titik-titik ng koordintn eenuhi ketidksn diwh ini :. >. 3 < 0 c d. 0. Tentukn jrk ntr titik-titik diwh ini : Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 3

14 . A- dn B5 c. P- dn Q-7. R9 dn S-6 d.m7 dn N 5. Selidiki secr geoetris letk titik-titik ng koordintn eenuhi ketidksn diwh ini :. <. -5 c Teletk di kwdrn erp titik erikut ini :. A3. B-5 c. C- d.d Tentukn sis dn ordint dri titi-titik erikut ini :. A3. B-5 c. C- d.d Grlh dl koordint Crtesin deensi du titik diwh ini :. P35 o. Q590 o ` c. R60 o d. S330 o 9. Tentukn jrk ntr titik-titik erikut ini :. M35 o dn Q590 o. R60 o dn S330 o c. Q590 o dn S330 o d. P35 o dn R60 o 0. Ntkn dl koordint kutu titik erikut ini :. A3. B-5 c. C- d.d- -3. Ntkn dl koordint Crtesin titik erikut ini :. P35 o. Q590 o ` c. R60 o d. S330 o F. Pegin Segen Gris Dl Perndingn Tertentu Perhtikn gr diwh ini : A R B Dengn cr opersi pd vektor 0A AR 0R dikethui koordint titik A pq dn B rs kit is encri koordint titik R jik AR perndingn RB n Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge AR 0 R 0A dn 0R RB 0B RB 0 B 0R

15 p p OA p 0 i q 0 j AR p i q j q q r OR 0 i 0 j RB r i s j s r OB r 0 i s 0 j s p p AR 0 R 0A = q q dn r r RB 0 B 0R = s s AR RB n n p q AR = n RB r s n np r n nq s n AR = RB np n np = r - n + = np+r = n n nq = s - n+=nq+s = np Jdi koordint R = n Contoh : r nq n s r nq s n Dikethui titik P-7 dn titik Q5. Titik R terletk dintr titik P dn titik Q sehingg : Jw : PR RQ 3 7 Tentukn koordint titik R? Dri sol dikethui : = 3 n = 7 p = - q = 7 r = 5 dn s= np Jdi koordint titik R = n r nq n s = 7 3 n 3. Bgin jik terletk diperpnjngn gris AB tu gris BA? 8 = Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 5

16 Ars Bpq R Dikthui AB : RB = : n 0 A AR 0R 0R RB 0B AR 0 R OA RB 0 B OR 0 AR 0R OA 0 AB 0 r 0 r s 0 s RB 0B OR p 0 0 p RB q 0 0 q Kren : AR RB n n AR RB n nr p n ns q Sehingg : r p n s q n nr = p - n+ = p+nr = p nr n q ns n ns = q n+ = q+ns = n p nr q ns Jdi Koordint R = n n Contoh : Dikethui titik A --3 dn titik B 5. Pd perpnjngn AB terdpt titik R sedeikin rup sehingg AR : RB = 8 : 3. Tentukn koordint titik R? Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 6

17 Jw : Dikethui : p = - q = -3 r = s = 5 = 8 dn n = 3 Tentukn koordint titik R? Koordint R = p nr n q ns n = = SOAL LATIHAN. Dikethui titik P -97 dn Q 5. Tentukn :. Titik tengh rus gris PQ?. Titik R di ntr PQ sehingg PR : RQ = 7 : 5? c. Titik R diperpnjngn gris PQ sehingg PR : RQ = 5 : 5? d. Titik R diperpnjngn gris QP sehingg QR : RP = : 7?. Dikethui segitig ABC dengn titik sudut A - B7 dn C5- Tentukn :. Titik tengh sisi-sisin?. Titik pust segitig terseut? Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 7

18 GRADIEN KOEFISIEN ARAH DAN PERSAMAAN GARIS LURUS A. Grdien Koefisien Arh Gris Lurus Perhtikn gr erikut ini : Y Y α β O X O X Sudut α dlh sudut lncip ng dientuk oleh suu positip dn gris terseut. Α diseut sudut inklinsi gris terseut. Besr sudut inklinsi seuh gris lurus = α ± k.π untuk k = Dl hl gris sejjr dengn suu sudut inklinsi = 0. Sudut inklinsi diil dri sudut ng terkecil dri α. Definisi : Tngen sudut inklinsi sutu gris lurus diseut Koefeisien rh gris lurus terseut. Dengn entkn koefisien rh dengn huruf definisi dits dpt ditulis secr siolis : = tg α Jik α = 0 k = 0 ini errti koefisien rh gris lurus ng sejjr dengn suu X s dengn nol. Jik α = k = tg α tidk epuni rti rittik tidk diwkili oleh ilngn rtin koefisien rh gris luirus terseut ggl dn. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 8

19 Y B Koefisien rh gris lurus ellui titik A dn B dlh : A θ - - tg θ = tu tg θ= θ Contoh : Tentukn Grdien koefisien rh gris lurus ng ellui titik-titik erikut ini:. A-3 7 dn B 9 0. M- -8 dn N 0-3 Jw :. = tg θ = tu : = tg θ =. = tg θ = tu : = tg θ = B. Persn Slope/koefisien Rus Gris Lurus. Persn Gris Lurus ng ellui titik dn epuni grdien = Perhtikn gr erikut ini : B -c A0c θ θ Dri gr disping : c = tg θ = c c... Inilh persn uu gris ng epuni grdien = dn elelui titik Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 9

20 Contoh : Tentukn persn gris ng ellui titik -96 dn eiliki grdien = -7? Jw : = + c kren grdien = -7 k persn gris ; = -7 + c dn ellui -9 6 k : 6 = c c = =- 57 jdi persn gris terseut : = Dpt pul dicri dengn cr erikut : B A θ - - Dri gr disping : = Dengn enggunkn ruus kit dpt enelesikn contoh sol dits Persn Gris Yng Mellui Du Buh Titik P 0 θ Q - Grdien gris disping dlh : = Sehingg ruus enjdi: tu...3 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 0

21 Contoh : Tentukn persn gris ng ellui :. Titik pust dn titik -9 6?. Titik -6 dn 7-5? Jw : = = Jdi persn gris terseut : = = 7 9 Jdi persn gris terseut : Cr encri persn gris lurus ng ellui du titik dengn deter inn trik: Contoh : Tentukn persn gris lurus ng ellui titik -97 dn 8? = -9 7 = = = Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

22 C. Sudut Antr Du Gris Lurus α β Ω Gris β α gris Cttn :. Jik du gris sejjr k Ω = 0 o Sehingg : Tg Ω = 0 0. Jdi srt du gris sejjr : =. Jik du gris sling tegk lurus k Ω = 90 o Sehingg : Tg Ω =. Hl ini hn ungkin jik peneutn = 0 +. = 0. = - Jdi srt du gris sling tegk lurus :. = - Contoh : 3 Tentukn sudut ntr gris : dn 3? 7 Jw : 3 dn 7 Dri gr disping : Grdien gris = tg β = Grdien gris = tgα = Sudut ntr gris dn gris = Ω Ω = β - α tg tg Tg Ω = tg β - α= tg. tg Atu Tg β-α=. Kren ng diil sudut lncip k: Tg Ω =. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

23 3 tg tg Tg Ω = Ω = 5 o Jdi sudut ntr du gris terseut dlh = 5 o 8 3 D. Gris lurus segi kurv derjt stu Y Y A0 = = O X O A0 X gr : gr : Bentuk uu gris lurus Bentuk uu grsi lurus segi kurv derejt stu dlh : A + B + C = 0. Jik A = 0 Mk B + C = 0 = C B Grfik sejjr dengn suu dn ellui titik 0 -C/B Grfikn terliht pd gr dits.. Jik B = 0 Mk A + C = 0 = C A Grfikn sejjr dengn suu dn ellui titik -C/A 0 Grfikn terliht pd gr dits. 3. Jik C = 0 Mk persn gris : A + B = 0 A = B Grfik ellui titik O 00 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 3

24 Y O = A B X Cttn : Jik = A B iring ke knn Jik = A B iring ke kiri 0 0 k grfik k grfik Contoh :. Grlh grfik dri :. = -3. = c. = - d. = 3 e. = f. + 3 = -. Tentukn Grdien dri gris sol no. dits? Jw :.. Y c. Y O X = = -3-0 O X. Y d. Y 0 = = 3 O X O 30 X e. = Y = X Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

25 f. + 3 = /3 0 Y +3=- -0 O X 0-/3 E. Persn gris ng eentuk sudu β dengn suu dn suu dn ellui titik. Yng eentuk sudut β dengn suu l Y l β β 80-β O X Perhtikn gris l : = tg β dn ellui titik k: persn gris l : - = tg β. Persn gris l : = tg 80-β = - tg β dn ellui - = -tg β. : Jik persn dn digung k : Persn gris ng eentuk sudut β dn ellui dlh - = ±tg β Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 5

26 . Persn gris lurus ng eentuk sudut β terhdp suu Y β φ l β φ θ O θ β l Persn gris l : = tg θ = tg90 o -β= ctg β dn ellui X - = ctg β. Persn gris l : = tg90 o -β = -ctg β - = -ctg β Jik dn digung k persn gris ng eentuk sudut β terhdp suu dlh : - = ± ctg β 3. Persn gris lurus ng entuk sudut β dengn gris lin ng erpotongn dn ellui titik Y l l3 α β l θ β l φ=α β Persn gris l islkn epuni grdien = tg α Grdien gris l3= 3 = tg Ω =tgα - β grdien gris l3 = 3= tg φ = tg α + β O β α Ω Jdi Persn gris l3 : - = tgα - β- dn persn gris l : - = tg α + β- Contoh : Tentukn persn gris ng ellui titik -3 dn :. Sejjr dengn suu?. Sejjr dengn suu? c. Mepuni grdien = -3? d. Meentuk sudut 30 o terhdp suu? e. Meentuk sudut 5 o terhdp suu? f. Meentuk sudut 5 o terhdp gris = 8? Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 6

27 Jw :. Asis dri titik -3 dlh = -3. Jdi gris ng diksud dlh = -3. Ordint dri titik -3 dlh =. Jdi gris ng diksud dlh = c. Gris lurus ng ellui titik -3 dn epuni grdien = -3: = - = = -3 9 = -3-5 d. Gris lurus ng eentuk sudut 30 o terhdp suu : Grdien = = tg β = tg 30 o = Sehingg gris terseut dlh : - = ±tg β - = ± e. Gris lurus ng eentuk sudut 5 o terhdp suu : Grdien = = ctg β = ctg 5 o = Sehingg grius terseut dlh : - = ±ctg β = ± +3 = ± + 3 f. Gris lurus ng eentuk sudut 5o terhdp gris = 8 : tg 5 o = = 8 = -8 Jdi = tg α = Gris l3 : 3 tg tg tg α - β = tg. tg. 3 - = tgα - β- = = = 0 Gris l tg tg 3 tg α + β = 3 tg. tg. Jdi persn l : = tgα + β Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 7

28 - = = 0 SOAL LATIHAN. Tentukn persn gris lurus ng :. Mellui titik 9-3 dn sejjr suu?. Mellui titik -89 dn sejjr suu? c. Mellui titik -3 dn sejjr suu? d. Mellui tiitk -3 5 dn sejjr suu? e. Mellui titik -9 dn epuni grdien = 7? f. Mellui titik 00 dn epuni grdien = -5? g. Mellui titik 3 dn eentuk sudut 60 o terhdp suu? h. Mellui titik -- dn eentuk sudut 30 o terhdp suu? i. Mellui titik 3 dn eentuk sudut 60 o terhdp suu? j. Mellui titik -- dn eentuk sudut 30 o terhdp suu? k. Mellui titik 09 dn eentuk sudut 30 o terhdp gris -3- =3? l. Mellui titik -9 dn eentuk sudut 30 o terhdp gris = 5?. Tentukn persn gris lurus ng :. Mellui titik potong gris = 8 dn + 3 = 3 dn epuni grdien = -?. Mellui titik potong gris 3 = 8 dn suu dn epuni grdien =? c. Mellui titik potong gris 3 = 3 dn suu dn epuni grdien = -? d. Mellui titik potong gris 3 = 8 dn 5 = -7 dn eentuk sudut 30 o terhdp suu? e. Mellui titik potong gris + = 9 dn 5 = dn eentuk sudut 60 o terhdp gris 6 + = -? f. Mellui titik potong gris 3 - = dn 5 = 8 dn eentuk sejjr dengn gris 6 + = -? g. Mellui titik potong gris + = 0 dn 5 = 9 dn eentuk tegk lurus dengn gris 6 + = -? F. Persn Norl Hesse O Y N l M d θ Perhtikn gr disping : OM = d dlh jrk titik O ke gris l. Θ dlh sudut ntr OM dn suu positip. Dn OM tegk lurus dengn gris l. Gris ON diseut dengn gris norl dri gris l terseut Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 8

29 Koefisien rh gris norl = tg θ. Kren gris ON tegk lurus dengn gris l k koefisien rh dri gris l dlh = - tg jdi persn gris l dlh : = - Dri gr dits: sin θ = d.sin d cos θ = d.cos d sehingg persn njdi : = - tg tg cos d.sin θ = - cos sin.sin θ d. sin θ = - cos θ + cos θ cos θ + sin θ = dcosθ + sinθ cos θ + sin θ d = 0.. Persn diseut dengn persn norl Hesse. Contoh : Lukislh gris-gris dn tulis persn norl Hesse jik dikethui :. d = 5 dn θ = 30 o?. d = 6 dn θ = 0 o? Jw :. Y o 0 o O X Persn norl Hesse gris-gris dits dlh :. cos 30 o + sin 30 o - 5 = 0 tu Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 9

30 . cos 0 o + sin 0 o - 6 = 0 tu G. Jrk seuh titik ke gris lurus Untuk eneukn jrk ntr titik P dengn gris l cos θ + sin θ d = 0 dlh segi erikut liht gr diwh ini : Y p d θ P l l cos θ + sin θ d = 0 Trik gris l ellui titik P sejjr l. Ntkn jrk ntr gris l dn titik P dengn p. Mk peresn norl dri l dlh l cos θ + sin θ d+p = 0 kren l // l. Titik P terletk pd l k: cos θ + sin θ d+p = 0 p = cos θ + sin θ - d.. Ruus dlh ruus jrn titip P terhdp gris l H. Perntn persn uu gris lurus dl entuk persn norl Ailh A + B + C = 0 dn cos θ + sin θ d = 0 sing-sing segi persn uu dn persn norl Hesse dri sutu gris lurus serng. Kren kedu persn ini ewkili stu gris lurus k kedun ekwivlen kitn : cos sin d k A B C ka Cos kb Sin dn kc d... Untuk eperoleh hrg k kit kwdertkn dn thkn kedu persn pert dri k : ka kb Cos Sin k A B k A B A A Jdi Cos θ = dn Sin θ = k A B C -d kc A B B k B sert : A B Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 30

31 Jik A + B + C diklikn k k: ka + B + C = A B C cos sin d 0 A B errti : A B C 0. A B Persn ini erupkn persn norl gris lurus. Jrk ntr gris dn titik P dlh : p = A B C A B Ruus ini erupkn ruus jrk titik P dn gris A + B + C = 0 Contoh : Tentukn Jrk titik P-3 9 dengn gris = 0 Jw : p = A B C = A B kren jrk sellu positip k : p = I. Berks Gris Berks gris dlh hipunn gris-gris ng ellui stu titik. Perhtikn gr erikut ini : X Pd gr disping terliht P seu gris selin suu koordint ellui titik P. O X Bentuk uu persn erks gris dlh : A + B + C + P + Q + R = 0 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 3

32 Contoh : Dikethui gris =- 0 dn gris = 0 erpotongn di Titik M. Tentukn persn gris ng ellui S dn tegk lurus dengn gris : 5 - = 0? Jw: Untuk enjw sol terseut selin dengn ng kit peljri seelun jug is dikerjkn dengn ruus erks gris = = 0 7 Gris epuni koefisien rh = 3 5 Gris ke tig epuni koefisien rh = Kedu gris sling tegk lurus jik. = - 7. = = = 9 = - Jdi persn gris ng dicri dlh : = = = 0 Contoh : Dikethui erks gris : β3 + + θ 9 = 0 Buktikn hw gris : =0 dlh slh stu nggot erks gris terseut? Bukti : β3 + + θ 9 = 0 3β + θ +β-θ + -β - 9θ = 0 Jik = 0 dlh slh stu nggot erks k kit dpt enentukn perndingn β dn θ sedeikin sehing ekwivlen dengn = 0.. Jik ekwivlen dengn k : Dri persn Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 3

33 Kit sustitusikn 7 8 ke persn diperoleh: 3β + θ +β-θ + -β - 9θ = Kren =0 dn tidk ekwivlen k =0 ukn nggot erks gris terseut. SOAL SOAL LATIHAN. Tentukn koordint titik potong gris : -9 = 0 dn = 0?. Persn sisi-sisi AB BC dn AC sutu segitig erturut-turut : -3-5= = 0 dn = 0. Tentukn koordint titik-tik sudutn? = 0 dn + = 0 erupkn du sisi dri jjrn genjng dn = 0 erupkn persn slh stu digonln. Tentukn koordint ke ept titik-tik sudutn?. Sisi-sisi sutu segitig terletk pd gris gris : X = 0 3 = 0 dn = 0 Crilh lus segitig terseut? 5. Lus sutu segitig ABC = 8 stun lus. Du titik sudutn itu : A- 3 dn B3-. Titik sudut C terletk pd gris + - = 0. Tentukn koordint C? 6. Tentukn koefisien rh dn titik potong dengn suu dn dri gris erikut ini : = 7 c. 3 = = 9 d. 3 = - 7. Dikethui gris 9 = 0. Tentukn koefisien rh gris ng :. sejjr dengn gris terseut?. Tegk lurus dengn gris terseut? 8. Ditentukn gris 5 8 = 0. Tulislh persn dri gris lurus ng ellui titik P - - ng :. Sejjr dengn gris terseut?. tegk lurus pd gris dits? 9. Crilh persn gris lurus ng ellui titik Q ng tegk lurus Pd segen gris PQ jik P - dn Q -5 -? 0. Tentukn sudut ntr gris gris erikut ini : = 0 dn + = 0 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 33

34 = - dn + 7 = 0. Crilh persn gris ng eentuk sudut 5 o dengn suu?. Crilh persn gris lurus ng eentuk sudut 75 o dengn suu 3. Crilh persn gris ng eut sudut 60o dengn gris = 0 dn ellui titik M?. Tentukn hrg dn sehingg gris : - - = 0 dn 6 = 0. epuni stu titik perseketun?. sejjr? c. eripit? 5. Tentukn entuk persn norl Hesse dri gris-gris erikut ini. 3 0 = 0 c. + 3 = = 0 d. 5 = 0 6. Tentukn jrk titik dn gris diwh ini :. A - dn = 0. B0-3 dn 5-3 = 0 c. Q- - dn = 0 7. Tentukn nggot erks gris = 0 ng. ellui titik P 3 -?. ellui titik sl? c. sejjr dengn suu? d. sejjr dengn suu? e. sejjr dengn gris = 0? f. tegk lurus pd gris = 0? 8. Tentukn persn gris ellui titik potong 7 8 = = 0 dn eentuk sudut 5o dengn gris = 0? J. Trnsforsi Geoetri Trnsforsi geoetri digunkn untuk eindhkn sutu titik tu ngun pd sutu idng. Trnsforsi geoetri dlh gin dri geoetri nlit ng ehs tentng peruhn letk entuk penjin ng didsrkn dengn gr dn triks. Trnsforsi pd idng terdiri dri c:. Pergesern Trnslsi. Pencerinn Refleksi 3. Perputrn Rotsi. Perklin Diltsi Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 3

35 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 35. Pergesern Trnslsi Perpindhn ttik-titik pd idng dengn jrk dn rh tertentu ng diwkili oleh rus gris errh vektor PQ tu dengn sutu psngn ilngn q p Trnslsi T = q p eetkn titik A ke titik A = q p ng dinotsikn dengn : T = ' : q p A A q p Dl entuk triks : q p ' ' Contoh : Tentukn ngn titik P-3 8 oleh trnslsi 7? Jw : T = ' : q p A P q p = ' 38 : 7 A P = 75 ' 38 : 7 A P Atu dengn enggunkn triks : 5 7 ' ' ' ' ' ' q p Jdi ngn titik P -3 8 oleh trnslsi T = 7 dlh P Contoh : Tentukn ngn gris 7-5= 0 oleh trnslsi T = 5? Jw : Bngn titik oleh trnslsi T= 5 dlh :

36 ' ' p ' q ' 5 = + ' = - 5 '5 Dengn ensustitusi kedl 7-5= 0 kit peroleh : = = 0 Jdi ngn gris 7-5= 0 oleh trnslsi T= dlh : = 0 ' dn '5 Secr Uu ngn gris + + c = 0 oleh trnslsi T= p q = + p ' p = + q ' q' Kit sustitusi ke gris + + c = 0 kit peroleh: - p + q + c = 0 p + q + c = 0 + = p + q c. p Jdi ngn gris + + c = 0 oleh trnslsi T= dlh : q + = p + q c.... Dengn ruus contoh is diselesikn dengn cept : 7-5= 0 oleh trnslsi T = 5 = = -7 c = -5 p = dn q = -5 Jdi ngnn dlh : + = p + q c. 7 = = 0 Contoh 3 : Tentukn ngn ellips : 5 oleh trnslsi T=? 5 7 Jw : ' p ' 5 ' q ' 7 dlh : Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 36

37 = 5 '5 = - 7 '7' ' 5 ' 7 5 Jdi ngn oleh trnslsi T= ' 5 ' 7 5 Yng tidk lin dlh ellips dengn pust -5-7 dlh. Pencerinn Refleksi Pencerinn dlh Trnsforsi ng eindhkn titik-titik dengn enggunkn sift ngn oleh sutu cerin. Gr: pencerinn terhdp suu dn suu. Pencerinn terhdp suu X dilngkn dengn M M = A A' ' ' A' Dl entuk etric : ' 0 M = ' 0. Pencerinn terhdp suu Y dilngkn M M = A A' ' ' A' Dl entuk etric : Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 37

38 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 38 M = 0 0 ' ' c. Pecencerinn terhdp titi sl O00 dilngkn Mo M = ' ' ' ' A A A Dl entuk etric : M = 0 0 ' ' d. Pencerinn terhdp gris = dilngkn M= M== ' ' ' ' A A A Dl entuk etric : M = 0 0 ' ' Gr : Pencerinn terhdp gris = dn = - e. Pencerinn terhdp gris = - dilngkn M=- M=- = ' ' ' ' A A A Dl entuk etric :

39 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 39 M = 0 0 ' ' f. Pencerinn terhdp gris = h dilngkn M=h M=h= ' ' ' ' h A A A h ' ' g. Pencerinn terhdp gris = k dilngkn M=k M=k = ' ' ' ' k A A A k ' ' Gr : Pencerinn terhdp gris = - dn gris = h. Pencerinn terhdp titik dilngkn M M = ' ' ' ' A A A ' ' Contoh : Tentukn ngn titik A- 7 jik dicerinkn terhdp gris = dn dilnjutkn oleh trnslsi T= 7 5?

40 Jw : Dicerinkn terhdp gris = k : A A' ' ' A' = A -7 M=- = Dilnjutkn trnslsi T= 5 7 k : " ' p " 7 5 " " ' q " " 8 Contoh : Tentukn ngn gris jik di cerinkn terhdp suu dn dilnjutkn dicerinkn terhdp gris = -? Jw : Dicerikn terhdp suu k : M = A A' ' ' A' Dilnjutkn dicerinn terhdp gris = - k : M=- = A' ' ' A" " " A" ' ' A" Jdi ngn lingkrn 9 jik di cerinkn terhdp suu dn dilnjutkn dicerinkn terhdp gris = - dlh : Putrn Rotsi Rotsi dlh eindhkn titik-titik dengn eutr titik-titik terseut sejuh terhdp titik pust Rotsi. Sutu rotsi dengn pust A dn sudut Rotsi dinotsikn : RA. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 0

41 Gr : Rotsi serh jru j dn erlwnn rh jru j. Rotsi terhdp titik pust O 00 dilngkn RO Jik titik A dirotsikn seesr erlwnn rh dengn jrus j terhdp titik pust O00 k diperoleh ngn : A. RO = A P = P cos - sin sin + cos Persn triksn : ' cos ' sin sin cos Untuk = 90 o. -90 o 80 o 70 o -70 o dengn esukkn nili tersut diperoleh tle segi erikut : Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

42 ROTASI MATRIK BAYANGAN RO 90 o RO -90 o RO 80 o RO 70 o RO -70 o Rotsi terhdp titik pust P Jik sutu titik P diputr sejuh erlwnn rh jru j terhdp titik pust A k ngn n dlh P dengn : = - cos - - sin = - sin + - cos persn triksn : ' cos ' sin sin cos Contoh : Titik P 6 0 diputr dengn rh erlwnn jru j sejuh 5 enghsilkn titik P'. Tentukn koordint dri titik P'. Pehsn Rotsi seuh titik dengn sudut seesr α Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

43 Sehingg:. Perklin Diltsi Diltsi dlh Trnsfosi ng enguh jrk titik-titik dengn fctor pengli tertentu terhdp sutu titik tertentu Perklin tu diltsi ini ditentukn oleh fctor skl k dn pust diltsi.. Diltsi terhdp titik pust O 00 Peetnn : O. k P P' k k Persn trikn : ' k ' 0 0 k k k Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 3

44 Gr : Diltsi terhdp O00. Diltsi terhdp titik pust A Titik P di diltsi terhdp titik pust P dengn fctor skl k diperoleh ngn : = k dn = k - Persn triksn : ' k 0 ' 0 k Contoh :. Tentukn ngn persegi pnjng ABCD dengn A B- C-- dn D- jik dilkukn trnsforsi Diltsi pust O dn skl 3? jw : Jdi hsiln A'66 B'-66 C'-6-6 dn D'6-6. Tentukn ngn gris = 0 oleh DO? Jw : Trnsforsin dlh Diltsi dengn pust O00 dn skl Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge

45 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 5 ' ' dn Jdi Bngnn dlh : 0 3 ' ' dengn enghilngkn tnd ksen dn englikn dengn k ngn / pet / hsiln dlh - - = 0 3. Tentukn ngn gris = - 3 kren diltsi fktor skl dengn pust A dlh... Jw : ' 8 ' ' ' tu dpt ditulis enjdi 6 ' 3 ' sehingg ngnn dlh : 5 ' ' 3 3 ' 6 ' Jdi ngnn dlh : = + 5 tu = 0 5. Trnsforsi oleh sutu triks Sutu titik A ditrnsforsikn oleh triks d c enjdi A Huungn dits dpt dituliskn dl persn : ' ' d c Contoh : Tentukn hsil trnsforsi triks 5 3 terhdp titik B -3? Jw : ' ' = 9 8 Jdi B -8-9

46 6. Koposisi Trnsforsi Gungn dri eerp trnsforsi diseut koposisi trnsforsi. Trnsforsi T dilnjutkn dengn T dpt diwkili oleh trnsfors tunggl ng ditentukn oleh : Dl entuk gn urutn trnsforsi dpt diperhtikn segi erikut : T T P P P Pengerjn trnsforsi ini dpt ditulis : To T T o T P P. Koposisi du trnslsi Jik trnslsi T c d dn T c d Koposisi trnslsi T dilnjuitkn T dpt diwkili oleh trnslsi tunggl ng ditentukn oleh : c To T = + = d Sift-sift Koposisi trnslsi :. Untuk du trnslsi erurutn erlku : To T= To T Kouttif. Untuk tig trnslsi erurutn erlku : To T ot3 = To T ot3 Asositif Contoh : Titik B trnslsikn oleh T ngn titik dlh Jw : 3 T = To T = + = 6 " 6 = " 6 0 Jdi ngnn dlh 60 3 keudin dilnjutkn dengn T. Koposisi Refleksi. Koposisi du refleksi terhdp suu-suu sejjr.. Sejjr dengn suu Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 6

47 Jik titik P dlh hsil pencerinn terhdp gris = dn titik P dlh hsil pencerinn titik P terhdp gris = liht gr : Y P = P P = P P - = = P - P - = - +. Sejjr terhdp suu Jik titik P dlh hsil pencerinn terhdp gris = dn titik P dlh hsil pencerinn titik P terhdp gris = liht gr Y P P P = = = P P - = P - P -- c. Koposisi du refleksi terhdp suu-suu sling tegk lurus Jik titik P dlh hsil pencerinn titik P terhdp gris = dsn titik P dlh hsil pencerinn titik P terhdp gris =. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 7

48 Y P P = P = Y Mk : P P = = P P - - d. Koposisi rotsi Du rotsi erurutn ng sepust ekivlen dengn rotsi sejuh julh kedu sudut rotsin terhdp pust ng s Jdi : Jik R = RO dn R = RO k : R o R = RO + e. Koposisi Trnsforsi dengn Mtriks Jik T dlh trnsforsi ng ersesuin dengn triks M = c dn T dlh trnsforsi ng ersesuin d e f dengn triks M = k koposisi trnsforsi : g h. ToT dlh perklin trik M. M e f M. M = g h c d. T o T dlh perklin triks M. M e f M. M = c d g h Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 8

49 f. Lus derh ngun hsil trnsforsi Jik triks trnsforsi T = c d ngun A enjdi A k : Lus Bngun A = lus ngun A det.t entrnsforsikn det.t dinkn fctor peesrn lus erupkn nili utlk deterinn triks T RANGKUMAN TRANSFORMASI NO TRANSFORMASI NOTASI MATRIKS Trnslsi Pencerinn terhdp suu 3 Pencerinn terhdp suu Pencerinn terhdp titik sl 5 Pencerinn terhdp gris = 6 Pencerinn terhdp gris = - 7 Pencerinn terhdp gris = h 8 Pencerinn terhdp gris = k 9 Pencerinn terhdp gris titik 0 Rotsi terhdp O00 RO erlwnn rh jru j Rotsi terhdp titik pust P RP P P ++ P P - P P - P P -- P P P P -- P P h- P P k- P P - - P P cos sin cos sin sin + cos sin cos - =-cos - -sin -=-sin + -cos cos sin sin cos Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 9

50 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 50 erlwnn rh jru j Diltsi terhdp titik pust O00 ' : k k P P k O k k Diltsi terhdp titik pust A - = k- - = k- k k 0 0 SOAL LATIHAN. Tentukn ngn gris = -3 + ng dicerinkn terhdp gris =?. Tentukn persn ngn kurv = -3 oleh rotsi O 80 o keudin dilnjutkn pencerinn terhdp = -? 3. Tentukn persn ngn lingkrn : = 0 oleh trnsforsi ng erkitn dengn trik 0 0?. T dn T dlh trnsforsi ng sing-sing ersesuin dengn 3 dn ditentukn T = T o T k trensforsi T ersesuin dengn triks. 5. Ditentukn triks trnsforsi T = dn T = 0 0. Hsil trnsforsi titik - terhdp T dilnjutkn T dlh.. 6. Persn ngn gris = -8 + kren trnsforsi oleh trik 3 keudin dilnjutkn dengn triks dlh.. 7. Persn ngn prol = + kren rotsi dengn pust O00 sejuh 80 o dlh. 8. Titik P dn titik Q sing-sing ditrnsforsikn ke titik P 3 dn ke titik Q 0 oleh triks A =. Mk koordint titik Q dlh 9. Persn ngn gris = 0 oleh trnsforsi ng ersesuin dengn triks A = 0 0 dilnjutkn triks B = dlh.. 0. Bngn kurv = -3 jik dicerikn terhdp suu dilnjutkn dengn diltsin pust O dn fktor skl 3 dlh..

51 . Pencerinn gris = -7 7 terhdp gris = -3 enghsilkn gris... Vektor dicerinkn terhdp gris = keudin hsiln diputr terhdp titik sl O seesr > 0 serh jru j enghsilkn vektor. Jik = A. k triks A =. 3. Jik M = A 3 dn A = 3 3 k M.... Segitig ABC dengn A0 B0- dn C-- diputr 60 derjt erlwnn rh dengn jru j terhdp titik pust O00. Hsil trnsforsi terseut dlh. 5. Titik A 3 diputr terhdp titik B- - dengn rh erlwnn putrn jru j seesr 5 derjt. Bngn titik A dlh. 6. Segitig ABC dengn A0 B0 dn C3 diputr erlwnn rh jru j seesr 80 derjt dengn pust P. Apil diperoleh ngn segitig A B C dengn A -- B rs C3 k koordint B dlh.. 7. Bngn titik A oleh pencerinn terhdp = dilnjutkn dengn pencerinn terhdp gris = - dlh. 8. Bngn titik P-3 oleh pencerinn terhdp = dilnjutkn pencerinn terhdp gris = - dlh.. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 5

52 IRISAN KERUCUT A. BENTUK-BENTUK IRISAN KERUCUT Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 5

53 B. PERSAMAAN LINGKARAN. Definisi Lingkrn : Lingkrn dlh tept kedudukn titik-titik pd idng ng erjrk s terhdp sutu titik tertentu. Titik tertentu itu diseut Pust Lingkrn sedngkn jrk titik terhdp pust linkrn diseut jri-jri. Gr diwh ini enunjukkn lingkrn dengn pust P dn jri-jri r. Persn Lingkrn ng Berpust di titik O00 dn Berjri-jri = r Kren titik P serng k persn r erlku untuk seu titik sehingg persn lingkrn dengn pust O dn jri-jri r dlh : r Mislkn titik P dlh serng titik ng terletk pd keliling lingkrn. TitikP dlh proeksi titik P d suu sehingg OPP dlh segitig siku-siku di P Dengn enggunkn dlil Pthgors pd OPP k : OP' PP' OP = Sustitusi OP = r OP = dn PP = r = r Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 53

54 3. Persn Lingkrn ng Berpust di M dn erjri-jri r Mislkn titik P dlh serng titik terletk pd keliling lingkrn. But gris g ellui pust M dn sejjr dengn suu. Proeksi P pd gris g dlh P sehingg APP dlh segitig siku-siku di P dengn AP = - PP = - dn AP = r Dengn enggunkn dlil Pthgors pd APP diproleh : AP AP' PP' r r Jdi Persn lingkrn dengn pust M dn erjri-jri = r dlh : r... Bentuk Uu Persn Lingkrn Bentuk uu persn lingkrn dintkn dengn : Atu A A A B C 0 untuk A B C nggot ilngn Rel B C D 0 untuk A B C D nggot ilngn Rel A 0 Menentukn titik pust dn jri-jri entuk uu persn lingkrn : A A B B A C B A B A B C...3 Berdsrkn persn dri persn 3 diperoleh : Pust lingkrn A B A B dn jri-jri = C Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 5

55 5. Persn Gris Singgungg Lingkrn. Persn gris singgung lingkrn sutu titik P pd lingkrn ng ellui r Gris singgung dpt ditentukn segi erikut :. Grdien OP =. Kren OP gris singgung k :. Jdi persn gris singgung lingkrn di titik P pd lingkrn dlh : r 0. Persn gris singgung lingkrn titik P pd lingkrn r di Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 55

56 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 56 Persn gris singgung ng ellui P dn grdien Kren P pd lingkrn r k :... r r r Dri persn dn diperoleh : r Gris singgung dpt ditentukn segi erikut : Grdien AP = Kren OP gris singgung k :.

57 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge r r Persn 3 dlh persn gris singgung lingkrn r di titik P pd lingkrn c. Persn Gris Singgung Lingkrn dengn Grdien Dikethui Persn gris singgung lingkrn r dengn grdin Persn gris lurus dengn grdien dlh = +n Sustitusi = + n ke persn lingkrn r Diperoleh : 0 r n r D r n r n n D r n r n n D r n n D c D r n n r n n r n Kren eninggung errti D= 0 0 r n r 0 r n n r r n r Sustitusi r n ke persn gris = + n diperoleh : = r Jdi ruus persn gris singgung lingkrn r dengn grdien dlh : = r. Persn gris singgung lingkrn r dengn grdien Persn gris dengn grdien dlh = +n

58 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 58 Sustitusi = +n ke persn lingkrn r diperoleh : 0 0 r n n n r n n n r n Nili diskriinn : r n n n D c D Kren gris eningung lingkrn k : 0 0 r n n n c D 0 r n n n 0 r n n n r n r n r n r n r n n n r n n r n n n n n Sustitusi persn kedl = +n diperoleh : r r 3. Persn gris singgung lingkrn ng ellui seuh titik dilur lingkrn terseut. Cr untuk enentukn persn-persn gris singgung ng terletk dilur lingkrn dpt dilkukn ellui lngkh-lngkh segi erikut : Lngkh : Persn gris ellui P dengn grdin dlh : - = - Lngkh : Sustitusikn persn ke persn lingkrn sehingg diperoleh persn kudrt gungn. Keudin dihitung diskriinn dri persn kudrt terseut.

59 Lngkh 3: Kren gris singgung eninggung lingkrn k D= 0. Dri srt D = 0 kn diperoleh nili-nili dri. Nili-nili dri ini selnjutn di sustitusikn ke persn gris : Perhtikn gr erikut ini : Contoh : Tentukn persn lingkrn ng erpust di O00 dn ellui titik A-35? Jw : Lingkrn erpust di O00 dn ellui A-35 jri-jri lingkrn r = Persn ng diksud dlh : r 3 Contoh : Tentukn pust dn jri-jri lingkrn Jw : A = B= -0 C = 3 Pust lingkrn A B 0 = = -5 A B C 0.3 jri-jri r = 6 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 59

60 Contoh 3 : Tentukn persn gris singgung lingkrn : + = 3 ng ellui titik -3? Jw : Titik -3 kit sustitusi ke lingkrn terseut k + = = 3 errti titik -3 terletk pd lingkrn. Jdi persn gris singgung ng ellui titik -3 pd lingkrn dlh : r Contoh : Tentukn persn gris singgung lingkrn = 5 ng ellui titik 7? Jw : Jik titik 7 kit sustitusikn ke persn lingkrn terseut : = = 5 Jdi titik 7 terletk pd lingkrn sehingg persn gris singgungn : Contoh 5 : r Tentukn persn gris singgung pd lingkrn + = 6 jik dikethui epuni grdien = 3? Jw : Ruus persn gris singgung lingkrn grdien dlh : = r Jdi persn gris singgung terseut dlh : r dengn = r = = 3 ±6 0 = dn = Contoh 6: Tentukn persn gris singgung lingkrn - ++ =9 ng epuni grdien = 5/ Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 60

61 Jw : Persn gris singgung n : r Jdi persn gris singgungn dlh : 5 +0 = 0 dn = 0 6. Berks Lingkrn Definisi Berks Lingkrn Berks lingkrn dlh serng lingkrn ng diut ellui du uh titik potong dri du lingkrn. Misln lingkrn L dn L erpotongn di titik A dn B k persn erks lingkrn ng ellui titik A dn B dlh L+λ L=0 tu L+λh = 0 tu L+λh = 0 din gris h dlh gris potong L dn L Contoh : Tentukn persn lingkrn ng ellui kedu titik potong L + = 5 dn L + = 3 sert ellui titik 76? Jw : Persn erks lingkrn dlh : L+λ L= λ + 3 = 0.. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 6

62 kren ellui titik 76 k : λ + 3 = λ = λ.5 = 0 λ = 60 5 Kit sustitusikn λ kedl persn kit peroleh : = 0 kit klikn = = 0 + = 75 Contoh : Pd gr di wh ini lingkrn erwrn erh L + = 6 Lingkrn erwrn hiju L =0 dn lingkrn ng erwrn iru seun erpotongn di titik A dn B.. Tentukn persn gris ng ellui titik A dn B. Tentukn persn dri seu lingkrn ng erwrn iru c. Slh stu lingkrn iru L3 ellui titik sl tentukn persnn Jw :. Tentukn persn gris ng ellui titik A dn B Titik A dn B dlh titik potong kedu lingkrn erh L dn lingkrn hiju L Persn gris ellui kedu titik potong lingkrn dlh gris potong. Lngkh pert kit cri gris potong dri L dn L : L - L = = = 0 7+ =0 ng erupkn gris potong h. Tentukn persn dri seu lingkrn ng erwrn iru Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 6

63 Persn lingkrn ng ellui titik potong kedu lingkrn dlh erks lingkrn dri kedu lingkrn itu. Persn erks lingkrnn dlh : L + λh = λ7+ = λ + λ λ 6=0 c. Slh stu lingkrn iru L3 ellui titik sl tentukn persnn Lingkrn iru L3 dlh slh stu erks lingkrn jdi persnn : + + 7λ + λ λ 6=0 Untuk encri nili λ kit sustitusikn titik sl 00 ke erks lingkrn : λ + λ λ 6= λ0+λ0 λ 6=0 λ=6 λ= 8 Jdi persn lingkrnn dlh : + + 7λ + λ λ 6= = 0 8 6=0 Contoh 3 : Pd gr di wh ini lingkrn erh L =0 lingkrn iru L =0 lingkrn coklt L3 dn lingkrn hiju L dn L5 seun erpotongn di titik A dn B Tentukn:. Persn L3 L dn L5 dl preter λ. Jik lingkrn L3 erpust di suu Y k tentukn Persnn? c. Jik lingkrn L dn L5 erjri-jri 3 k tentukn persnn? Jw : Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 63

64 . Persn L3 L dn L5 dl preter λ L3 L dn L5 dlh nggot erks lingkrn: L =0 L =0 Persn gris potong kedu lingkrn L - L = = = 0 persn gris ellui A dn B Persn erks lingkrn n : L+λh = λ + 8-3= λ + 8 λ -3 λ=0 persn erks lingkrn ellui L dn L. Jik lingkrn L3 erpust di suu Y k tentukn persnn. L3 dlh slh stu erks lingkrn ng epuni persn : λ + 8 λ -3 λ=0 + + λ 6 +8 λ λ=0 Persn lingkrn + + A+ B + C = 0 pustn A/ B/ sehingg pust dri lingkrn dlh Pust lingkrnn Kren pustn pd suu k sisn = 0 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 6

65 6 0 Sustitusikn k persn enjdi : + + λ 6 +8 λ λ = = = 0 c. Jik lingkr n L dn L5 erjri-jri = 0 k tentukn persnn L dn L5 dlh slh stu erks lingkrn ng epuni persn : + + λ 6 +8 λ λ=0-6 + λ λ = 3 λ λ λ λ λ = 3 λ λ λ = λ λ + 3 λ λ λ = 65 λ + 7 λ + 8 Kren jri-jrin dlh 3 k : 65λ +7λ+8= 3 65λ +7λ+8 = 3 60 λ + 8λ+9 = 0 λ+30λ+9 = 0 9 λ = tu λ= 30 Sustitusikn nili dri λ ng didpt ke persn lingkrn terkhir : λ λ = 65 λ + 7 λ λ = k 3 5 persn L λ= k persn L r Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 65

66 SOAL LATIHAN. Tentukn persn lingkrn ng ellui titik potong kedu lingkrn + =5 dn =00 sert ellui titik A00?. Tentukn persn lingkrn ng ellui du titik potong lingkrn + =35 dn + - = sert ellui titik - 3? 3. Tentukn persn lingkrn ng erpust pd gris + = 0 dn ellui titik potong kedu lingkrn + =3 dn =0?. Tentukn persn lingkrn ng eninggung lingkrn = 0 di titik 35 sert ellui -53?! 5. Tentukn persn lingkrn ng ellui kedu titik potong lingkrn + 00=0+-00=0 dn + +88=0+-+88=0 sert erjri-jri 0 6. Tentukn persn lingkrn ng ellui titik potong kedu lingkrn =7 dn =0 sert eninggung gris = 3? 7. Lingkrn L =0 dn L =0 erpotongn di titik A dn B. Tentukn persn lingkrn ng erdieter rus gris B? C. PARABOLA. Definisi Prol Dierikn sutu titik tertentu f dn gris tertentu d dl idng. Sutu prol dlh hipunn seu titik sedeikin sehingg jrk ntr f dn s dengn jrk ntr d dn. Titik f diseut segi fokus prol dn gris d diseut segi direktriks. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 66

67 . Prol Dengn Punck O00 Persn uu dri sutu prol dpt diperoleh dengn engkoinsikn definisi di ts dn ruus jrk. Dengn tidk engurngi keuun kit dpt engnggp prol ng ditunjukkn pd gr di ts eiliki titik punck di 0 0 dn eiliki titik fokus di 0 p. Seperti ng ditunjukkn oleh gr di wh prol ng diksud eiliki direktriks dengn persn = p sehingg seu titik pd d dpt dituliskn segi p. Dengn enggunkn ruus jrk dn enerpkn definisi hw d = d kit endptkn Persn terkhir di ts diseut persn entuk fokus-direktriks dri sutu prol vertikl dengn titik punck di 0 0. Jik prol di ts diputr sehingg teruk ke knn k kit kn endptkn sutu prol horiontl dengn titik punck di 0 0 dn persnn dlh ² = p. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 67

68 Istilh-istilh ng erhuungn dengn prol: s = FD = suu sietri P = Punck Prol F = Fokus titik pi d = direktriks GH = tliusur KL = Tliusur fokus AB = Ltus rectu FC = Jri-jri fokus Sift prol dengn persn = p. dlh:. Fokus Fp 0. Direktriks d: = -p c. Suu sietri - = o suu d. Punck o 0 0 titik pngkl e. Jik p pos itif. prol euk ke knn dn jik p negtif Contoh prol euk ke kiri. Crilh persn sederhn prol ng epuni fokus 0 - dn punckn o 0 0. Keudin seutkn seu sift tentng prol ini? Jw : Fokus F0 - dn punck o 0 0 errti p = - sehingg persn prol ng dicri dlh = - = -8. Contoh : Ditentukn prol dengn persn - 5 = 0. Crilh persn ltus rectu dn koordint titik ujung dri ltus rectu ini!. Bicrkn d skets grfikn! Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 68

69 Penelesinn:. Ltus reectu ilh tliusur fokus tegk lurus suu sietri. Jdi ltus rectu ini ellui fokus F dn tegk lurus suu sietri. Persnn kit cri segi erikut: Klu kit ndingkn dengn prol = p k p = 5 tu 5 5 p = Jdi fokus F 0 dn suu segi suu sietrin. 6 6 Untuk encri koordint titik-titik ujung ltus rectu k kit hrus ingt hw titik-titik ujung ini terletk pd prol. dengn kt lin koordintn eenuhi persn prol. Kit cri segi erikut: = = = 6 = 50 6 = 50 6 = 8 5 Jdi titik titik ujung ltus rectu dlh: dn Mksud "icrkn" dl hl ini ilh enentukn sift-sift dri prol itu encri fokus direktriks suu sietri punck ltus rectu dn titik-titik ujung ltus rectu. Dri persn 5 = dn dri hsil k kit peroleh: 6 5 Fokus F Direktriks d: = Suu sietri = o suu Punck o Persn ltus rectu = dn titik-titik ujungn: Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 69

70 dn Prol euk ke - knn 7 Grfikn liht gr... Prol dengn Punck dn suu sietri sejjr suu koordint Bginkh persn prol ng erpunck pd titik P. suu sietrin sejjr suu dn jrk dri fokus ke direktriksn dlh /p/? Berrti fokusn dlh F + p. dn direktriksn dlh d: = - p. Agr leih jels iklh kit gr dulu sketsn! Liht gr.5. Mislkn T pd prol k jrk T d = /TF/ p p - + P = - - p = p - Jdi prol ng erpunck di P dn erfokus F + p. eiliki persn: - = p - Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 70

71 Cr ng s seperti di ts untuk punck di P dn suu sietrin sejjr suu k kn kit peroleh persn prol: - = p -. Klu kit perhtikn prol - = p -. = - p + p p dn engingt fungsi kudrt = f = + + c secr ljr k jelslh hw grfik fungsi kudrt dlh erup prol dengn siftsiftn dpt ditentukn fokus. punck. ltus rectu dn segin. Contoh Crilh persn prol ng erpunck di titik P 3 dn fokus F 3! Jw : Punck P 3 k = dn = 3. Fokus F 3 = F + 3 errti p = dn suu sietri sejjr suu dn direktriks d: = - = 0. Kit thu hw. jik punck P dn fokus F + p k persn proln: - = p -. Jdi persn prol ng dicri dlh: - 3 = = 8 -. Cttn: Cr lin untuk persn prol dengn fokus dn direktriksn dikethui ilh dengn enggunkn konsep tept kedudukn. Contoh Bicrknlh prol = 0. Jw: = 0 + = + + = ¼ +. Klu kit ndingkn dengn persn prol - = p - k : = -. = - dn p = ¼. Sift-sift dri prol: - =. ¼ + dlh. Punck P- -. Fokus F- - + = F- -3¾ c. Direktriks d: - - ¼ = -¼ d. Suu sietri = - e. Ltus rectu = -3¾ dn titik-titik ujungn dlh - -3¾ dn -½ -3¾ f. Titik potong dengn suu di -3 0 dn 0 Titik potong dengn suu di 0-3. g. Prol euk ke ts Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 7

72 3. Gris singgung terhdp Prol Kit kn encri persn gris singgung dengn grdien s terhdp prol = p. Mislkn gris dengn grdien s eiliki persn g: = s + k. Perpotongn g dengn prol = p dicri segi erikut: p s k Mk : s + k = p s + ks - p + k = 0 dengn deskriinn: D = ks - p - k s Jik D < 0 gris g tidk eotong prol Jik D > 0 gris g eotong prol pd du titik Jik D = 0 gris g eotong prol pd stu titik. errti g eninggung prol. Jdi srt gr gris g eninggung prol dlh: ks - p - k s = 0 k s - 6ksp + 6p - k s = 0 k = Jdi persn gris singgung dengn grdien s terhdp prol: = p dlh = s + Bgin jik persn proln = p? Dengn cr seperti di ts k kn kit peroeh hw persn gris singgung dengn grdien s terhdp prol = p dlh: p s p s = s - ps Silkn nd uktikn! Jik proln - = p k persn gris singgung dengn grdien s terhdp prol ini dlh: - = s - + p s Dn jik proln : - = p - k : persn gris singgungn dlh: - = s - - ps dn jik proln Contoh Crilh persn gris singgung dengn grdien terhdp prol = 8 dn terhdp prol - 3 = Keudin crilh titik singgungn dn skets grfik Jw : Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 7

73 Persn gris singgung dengn grdien gris s terhdp prol = p dlh = s + p s. Dengn engunkn ruus ini k persn gris singgung dengn grdien s = terhdp prol = 8 dlh = + = +. Dengn enggunkn ruus persn gris singgung dengn grdien s terhdp prol - = p -. itu: - = s - ps k: persn gris singgung dengn grdien terhdp prol: - 3 = -6 + tu - 3 = - + = = dlh: Titik singgung gris = + terhdp prol = 8 dicri segi erikut: 8 Mk: + = 8 = ½. Jdi titik singgungn dlh T ½. Dengn cr ng s seperti di ts k titik singgung gris = - terhdp prol - 3 = -6 + dlh T skets grfikn : Contoh Buktikn hw gris singgung di titik pd prol = p dlh l = p +. Keudin crilh persn gris singgung di titik l l pd prol = p.. Bukti: Gris singgung ellui titik dn islkn grdienn s k persnn dpt ditulis g: = s -. Perpotongn gris g dengn prol = p dlh segi erikut: Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 73

74 s s s p Mk s = p s - p + p - ps = 0 s Agr gris g eninggung k: D = 6p - spl - ps = 0 p - pls + pls = 0. s - s + p = 0 s s p p p. ng p n p 0 p Deikin kren pd prol sehingg - p = 0 dn l = P p Sustitusi s = pd persn g: - l = s k kit peroleh persn gris singgung g: l = p +.. Mislkn grdien singgung dlh s k persn gris singgung dpt ditulis - = s - = + s - s. Perpotongn prol = p dengn gris = l + s - s dlh segi erikut: = p = + s - s Mk: p s s ps p ps 0 Agr - gris eninggung prol dlh: D = 6p s - ps - p = 0 p s ps + p = 0 ps s + = 0 s p p p Cttn: Kren pd prol k = p tu - p = 0 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 7

75 Sustitusi s = p pd persn gris - = s - k kit peroleh persn gris singgung terhdp prol = p di titik itu = p +. Rngkun Prol dengn persn sederhn = p eiliki sift:. Fokus Fp 0. Direktriks d: = -p c. Suu sietri s: = 0 suu d. Punck O00 e. Jik p positif prol euk ke knn dn jik p negtif prol euk ke kiri. Prol dengn persn sederhn = p eiliki sift:. Fokus F0 p. Direktriks d: = -p c. Suu sietri s : = 0 suu d. Punck O 0 0 e. Jik p positif prol euk ke ts dn jik p negtif prol euk ke wh. 3 Prol dengn persn - = p - eiliki sift:. Punck P. Fokus F + p c. Suu s ietri s: = d. Direktriks d: = - p e. Ltus rectu : = + p Prol dengn persn - = p - eiliki sift:. Punck P. Fokus F + p c. Suu sietri s: = d. Direktriks d: = p e. Ltus rectu : = + p 5 Gris singgung dengn grdien s terhdp prol:. p = p eiliki persn = s + s. = p eiliki = s - ps c. - = p - eiliki persn - = s - + s p d. - = p - eiliki persn - = s - - ps 6 Gris singgung di titik pd prol:. = p eiliki persn l = p +. = p eiliki persn = p + Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 75

76 SOAL LATIHAN Crilh persn sederhn prol ng eenuhi srt-srt:. Fokus 0 3 dn Punck O. Fokus - 0 dn Punck O c. Fokus terletk pd suu dn kurvn ellui 8-3. Crilh persn ltus rectu dn koordint titik ujungn untuk prol: = = 0 c. - 3 = 8 + d. + = - 3 Bicrkn dn skets grfikn:. - 5 = 0. = c. - = 6-3 Crilh persn prol dl entuk - = p -- tu. - = p - ng eenuhi srt-srt:. P- 3 segi punck dn F0 3 segi fokusn.. Punck - dn direktriks = 7. 5 Crilh persn gris singgung dengn grdien terhdp psol = 8 dn terhdp prol - 3 = Keudin crilh koordint titik singgungn dn skets grfikn? C. ELLIPS. Definisi Ellips Ellips dlh tept kedudukn titik-titik sedeikin hingg julh jrkn dri psngn du titik tertentu ng ered dlh konstn. Du titik tertentu di ts diseut titik fokus foci. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 76

77 Untuk enurunkn persn kurv ellips diislkn kedu fokus erd pd suu- dn suu- enjdi isektor tegk lurus segen ng enghuungkn kedu fokus. Mislkn jrk ntr kedu fokus dlh c sehingg titik fokusn dlh Fc 0 dn F c 0 perhtikn gr di wh ini. Jik P dlh serng titik ng erd pd ellips k enurut definisi kn erlku PF + PF = konstn. Pd st titik P erd di suu k PF + PF = + c + c = Sehingg konstnt tertentu itu dlh k dengn enggunkn ruus jrk untuk entkn PF dn PF diperoleh: c... Pd st titik P erd di suu k Segitig F PF erupkn segitig s kki sehingg PF = PF. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 77

78 PF = PF dn PF + PF = k : PF = PF = Sedngkn dl segitig OPF ng n titik P erd di suu Y k erlku dlil Pthgors : PF = OP + OF c c dengn srt <.3 Dri persn dn 3 : c... din < Persn di ts diseut persn ellips entuk ku. Jik fokus ellips dlh titik-titik 0 c dn 0 c ng erd di suu gr di wh k persn ellips entuk ku dlh. din >.. 5 Dl hl ini ilngn ng leih esr dlh erd di wh suku. Krkteristik ut sutu ellips persn ditunjukkn pd gr di wh. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 78

79 Perhtikn Gr Ellips dits :. Ellips sietris dengn suu- dn suu-.. Ellips eotong suu- di titik 0 dn 0 dn eotong suu- di titik 0 dn 0. c. Gris ng ellui kedu fokus dinkn suu ut ellips. d. Krkteristik ellips dengn persn erentuk : din > suu- enjdi suu ut ellips. Titik potong ellips dengn suu utn diseut punck. Jdi untuk ellips dl persn punckn dlh A 0 dn A 0. 3 Titik pd suu ut ng terletk di tengh-tengh kedu punck ellips dinkn pust ellips. Pust ellips dengn entuk persn dlh eripit dengn titik sl. Segen gris ng enghuungkn kedu punck diseut suu or suu pnjng ellips dengn pnjng stun dn kit ktkn hw dlh stun pnjng setengh pnjng suu or. 5 Pd ellips ini segen gris ng enghuungkn titik potong ellips dengn suu- itu titik 0 dn 0 diseut suu inor suu pendek ellips. Pnjng suu inor dlh stun sehingg dlh stun pnjng setengn suu inor. 6 Titik-titik tetp F dn F terletk pd suu or dn diseut fokus segin telh diseutkn pd definisi dlh erjrk c dri pust ellips. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 79

80 e. Krkteristik dri ellips dengn persn 5 secr essensil dlh s. Pd kentnn ellips dengn entuk persn dn 5 dlh identik dl entuk dn ukurn hn ered dl posisi. Contoh : Selidiki dn ut skets grfik dri persn = 5 Jw: Pert ntkn persn ng dierikn ke dl entuk ku dengn egi sing-sing rus dengn 5 dn diperoleh entuk ku: Dl hl ini = 5 = 9 dn c = = 5 9 = 6 tu = 5 = 3 c =. Jdi persn di ts dlh ellips ng erpust di 0 0 punck 5 0 dn titik fokus 0. Suu or sejjr dengn suu- dn pnjngn 0 stun dn suu inor pnjngn 6 stun. Skets grfik dpt diliht di gr di wh. Contoh : Tentukn persn ellips dengn pust 0 0 slh stu punck 0 3 dn slh stu titik fokus 0. Jw: Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 80

81 Punck 0 3 errti suu or sejjr dengn suu- dengn = 3 pnjng suu or = 6 dn kren fokus di 0 errti c =. pnjng suu inor dpt dicri dengn ruus = c = 3 = 69 = 5 Jdi = 5. Bentuk ku dri persn ellips ng dicri dlh 69 5 Contoh 3: Sutu kelengkungn erentuk setengh ellips dengn ler ls 8 eter dn tinggi 0 eter. Berp ler kelengkungn itu pd ketinggin 0 eter dri ls? Jw: Gr di ts eperlihtkn skets lengkungn dn suu-suu koordint dpt dipilih sedeikin hingg suu- terletk pd ls dn titik sl dlh titik tengh ls. Mk suu ut ellips terletk sepnjng suu- pustn di titik sl = ½8 = = 0. Persn ellips erentuk Pd ketinggin 0 eter errti untuk nili = 0 kn diperoleh ng entkn ler setengh lengkungn pd ketinggin 0 eter. Jdi sehingg diperoleh: = 3 = 3 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 8

82 Dengn deikin pd ketinggin 0 eter dri ls ler kelengkungn dlh AB = 3 eter. 3. Persn Uu Ellips. Bentuk uu persn Ellips dlh : A + B + C = 0 Kit kn enelidiki persn A + B + C = 0 dengn A dn B ertnd s dn tidk nol.. Jik C 0 dn erlinn tnd dengn A dn B A + B + C = 0 A + B = -C C C A B Kren C erlinn tnd dengn A dn B k A dn B positif dn kit islkn C A dn C B dengn dn positif. Kit peroleh: Ini dlh persn sederhn elips ng erpust di O 0 0 dn eiliki fokus pd slh stu suu koordint. tergntung pd nil dn. Jik > k fokus pd suu. suu dlh suu pnjng dn jik < k fokus pd suu suu dlh suu pnjng. Selnjutn = rel untuk n d = rel untuk Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 8

83 Elips dpt diut grfikn dn diseut elips rel.. Jik A = B dn C 0 erlinn tnd dengn A dn B A + B + C = 0. enjdi A + A = -C C A C A + = Bentuk ini dlh persn strdr lingkrn dengn pust O o o dn jri-jri r =. 3. Jik C = 0 Persn A + B + C = 0 enjdi A + B = 0. Grfikn hn terdiri dri stu titik rel itu O 0 0. Persn ini diseut elips titik tu lingkrn titik dengn r = 0. Kdng-kdng diseut jug elips tidk enr tu lingkrn tidk enr.. Jik A B dn C ertnd s Persn A + B + C = 0 C C A B C A C B = = ijiner ijiner Ternt tidk d psngn ng rel ng eenuhi persn elips di ts k persn ini diseut persn elips ijiner el ips Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 83

84 khl tu jik A = B diseut lingkrn khl dengn pust nt titik pngkl 0.. Gris Singgung Terhdp Elips Kedudukn seuh gris terhdp elips dpt diselidiki segi erikut: Mislkn gris itu dlh g: = s + k dn elips potong ntr g dn elips diperoleh dri: = Asis titik s k s + + sk + k - = 0 dengn diskriinn D = s + - k Jik D < 0 k g tidk eotong elips jik D > 0 k g eotong elips pd du titik ng nt dn erlinn Jik D = 0 k g eninggung elips Jdi srt gr g eninggung elips ilh D = s + - k = 0 s + - k = 0 k = s Sustitusi k = s ke persn gris g : = s + k k kit peroleh persn gris singgung dengn grdien s terhdp elips kni: = s s Jik titik l pd elips k persn gris singgung di titik l pd elips dlh:. Contoh Crilh persn gris singgung dengn grdien terhdp elips 3 Jw : Lngsung sj kit gunkn ruus persn gris singgung dengn grdien s terhdp elips. Dl hl ini s = ½ = dn = 3 k Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 8

85 persn gris singgung ng dicri dlh: = ½ 3 ± Jdi d du gris singgung kni = ½ + dn = ½ - = ½ Contoh Gris = eotong elips = 0 pd du titik. Crilh persn gris singgung di titik-titik potong ini pd elips. Jw : 6 Koordint titik potong gris dengn elips dicri segi erikut: = 5 tu = = 0 = dn = 5 5 dn = = 0 + = 6 = Jdi titik potong ntr gris = dengn elips dh di titik titik Persn gris singgung di titik dn di 6 pd elips = 0 tu 6 6 dlh = 0 dn persn gris singgung di titik - 5 = 5 6 dlh + 6 = -0 Contoh 3 Dri titik P 5 ditrik gris-gris singgung terhdp elips 6. Crilh persn gris-gris singgung terseut. Jw : Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 85

86 Mislkn gris singgung ng dicri dlh g : = s + k. Kren g gris singgung k g: = s s 6 g ellui titik P5 k = 5s s 6-5s = 6-0 s + 5s = s + 6 s - 0s = 0 ss - 0 = 0 s = 0 dn s = 0 s 6 Untuk sl = 0 k g: = = -A tidk dii kren tidk eenuhi/ tidk ellui P Untuk s = 0 k g: 0-6 Tnd tidk diil kren tidk eenuhi/ tidk ellui P D. HIPERBOLA. Pengertin Hiperol Hiperol dlh hipunn seu titik pd idng sedeikin hingg selisih positif jrk titik terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus foci dlh tetp. Untuk enentukn persn hiperol islkn kit pilih titik-titik fokus F dn F terletk pd suu-. Sedngkn suu- diletkkn di tengh-tengh segen gris FF. Mislkn kit tentukn titik fokusn dlh F -c 0 dn Fc 0 sedngkn selisih jrk konstn tertentu dlh. liht gr di wh ini. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 86

87 Jik erepresentsikn titik pd hiperol k dri definisi diperoleh c + c + = c c + c = c c Pd st titik P erd pd suu k : Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 87

88 Dl segitig PFF terliht hw < c < c c > 0 Kren c dlh positif k is dignti dengn ilngn positif lin seut sehingg din = c. Ini erupkn entuk ku persn hiperol. Kedu suu koordint suu- dn suu- dlh suu sietri pd hiperol dn 0 dlh titik-titik potong dengn suu-. Dl hl ini tidk eotong suu- se untuk = 0 diperoleh ng n tidk d ilngn rel ng eenuhi persn di ts. Suu- ng eut du titik dri hiperol diseut suu trnversl trnsverse is dn suu- diseut suu sekwn conjugte es. Titik potong hiperol dengn suu trsversl diseut titik ujung dl hl ini 0 dn perpotongn kedu suu sietri diseut pust hiperol. Jrk ntr kedu titik ujung dlh dn diseut suu or dn esrn diseut suu inor. Dl hl ini pnjng suu or tidk hrus leih esr dri suu inor. Hl ini ered pd persn ellips. Skets grfik persn hiperol dn posisi titik-titik 0 c 0 dn 0 dpt diliht pd gr erikut. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 88

89 Gris = 0 diseut persn gris sitot dri hiperol Contoh : Selidiki dn ut skets grfik dri persn Jw: Jik kit perhtikn terliht hw = 9 = 6 dn c = + = 5. Hiperol ini epuni pust 0 0 titik-titik ujung 3 0 dn titik fokus 5 0. Persn gris sitotik hiperol di ts dlh 3 = 0. Pnjng suu or = 6 sejjr suu- dn pnjng suu inor = 8. Skets grfik dpt diliht pd gr diwh ini. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 89

90 Contoh : Selidiki dn ut skets grfik persn = 0. Jw: Kit uh persn = 0 ke dl entuk ku itu = = 6 9 Dri persn terkhir terliht hw = 6 = 9 dn c = + = 5. Hiperol ini epuni pust 0 0 titik-titik ujung 0 dn titik fokus 0 5. Persn gris sitotik hiperol di ts dlh 3 = 0. Pnjng suu or = 8 sejjr suu- dn pnjng suu inor = 6. Skets grfik dpt diliht pd gr diwh ini. Contoh 3: Tentukn persn hiperol ng fokus 0 dn titik-titik ujung 0. Jw: Kren fokus ng dierikn terletk pd suu- k entuk ku dri persn hiperol ng dicri seperti pd teore. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 90

91 Dri titik fokus ng dierikn k diperoleh c = titik ujung diperoleh = dn = c = 6 =. Jdi persn ng dicri dlh 3 = Untuk eperoleh persn hiperol ng leih uu islkn didkn trnslsi pust suu koordint ke titik h k k diperoleh persn hiperol enjdi Untuk c = + persn di ts dlh persn hiperol dengn pust di h k titik-titik fokus h c k dn titik-titik ujung h k Hl ini dintkn dl teore erikut: Teore : Titik erd pd hiperol ng epuni pust h k fokus h c k dn titik-titik ujung h k jik dn hn jik eenuhi persn dengn = c liht gr di wh ini. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 9

92 Teore : Titik erd pd hiperol ng epuni pust h k fokus h k c dn titik-titik ujung h k jik dn hn jik eenuhi persn dengn = c liht gr di wh ini. Contoh : Seuh hiperol epuni persn = 0 Tentukn pust titik ujung titik fokus dn gr grfik hiperol terseut. Jw: Kit uh entuk persn di ts ke dl entuk ku seperti pd teore 3 tu teore = = = = 36 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 9

93 + 9 = 36 Dri persn terkhir diperoleh inforsi h = k = = 9 dn =. Dengn deikin c = + = 9 + = 3. Menurut teore dptlh disipulkn hw hiperol ng terjdi erpust di titik-titik ujungn + 3 = dn 3 = titik fokusn dlh + dn. Contoh 3 Crilh persn sederhn hiperol ng-slh stu punckn 0 6 dn direktriksn = -. Keudin tentukn sift-siftn dn skets grfikn. Jw: Punck pd suu itu v 0 6 = v 0 k = 6. Direktriks = - errti direktriks ng stu lgi dlh d : = suu segi suu nt. Dri direktriks = = dn = 6 k eksentrisits e = e ½6. Fokus F 0 c = F 0 e k F 0 6. Jdi hiperol ng hrus kit cri persr eiliki slh stu fokus F 0 6 direktriks d : = dn eksentrisits e = ½6. Mislkn titik P pd hiperol. Mk P F jrk P. d e PF = e kli jrk p d Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 93

94 Jdi persn sederhn hiperol ng dicri dlh Klu lngsung kit gunkn ruus tu entuk persn sederhn hiperol dengn suu segi suu nt. kni: dn dl hl ini = 6 c = e = 6½6 = 6 dn = c = 3 k persn hiperol terseut dlh 6 3 Sift-sift prol dlh:. Pust o 0 0. Fokus F 0 c = F 0 6 dn F 0 -c = F 0-6 c 6 3. Eksentrisits e = = = ½6 6 Direktriks d : = e = dn d : = - 6 e = - 5 Suu segi suu iginer dengn ukurn = 3 dn suu segi suu nt dengn ukurn = Punck v 0 = v 0 6 dn v 0 - = v Ltus rectu = 6 dn = -6 dengn titik-titik ujung dn -6-6 Rngkun Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 9

95 Hiperol didefinisikn segi tept kedudukn titik-titik. sehingg perndingn j rk dri titik ini ke titik tertentu fokus dengn jrk ke gris tertentu direktriks dlh tetp s dengn e dn e > e = eksentrisits. Atu hiperol dpt pul didef inisikn segi tept kedudukn titik-titik ng selisih jrkn terhdp du titik tertentu fokusfokusn dlh tetp s dengn ukurn suu nt. Hiperol dengn persn sederhnn Pust o 0 0 Fokus F c 0 dn F-c 0 c Terdpt huungn c = + d Eksentrisits c e Direktriks d : = f dengn c > Jels c = e e dn d : = - e - = eiliki sift Suu segi suu nt dengn ukurn dn suu segi suu igines dengn ukurn. g Punck v 0 dn v - 0 h Ltus rectu = c dn = -c i Asitot + = 0 dn - = 0 SOAL LATIHAN Titik F dn gris d tertentu. Sedngkn titik P ergerk pd idng dengn srt: PF k jrk P d Lintsn tu tept kedudukn titik P kn erup seuh hiperol jik k s dengn.. Jik ukurn suu nt p ukurn suu igine -q dn jrk kedu fokus hiperol r k ntr p q dn r terdpt huungn Hiperol dengn fokus 0 dn ukurn suu nt 6 eiliki persn..... Hiperol dengn eksentrisits e = 3 dn slh stu fokusn 0 eiliki persn Slh stu sitot hiperol 9 eiliki persn Jik seuh hiperol eiliki punck 0. 5 dn ukurn suu khl k direktriks dri hiperol ini-eiliki persn..... Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 95

96 7 Persn ltus rectu - = dlh Selisih pnjng jri-jri fokus dri titik pd hiperol dlh Slh stu sitot dlh = persn sederhn hiperol ini dlh = dn slh stu punckn 0 5 k. Hiperol Sekwn dn Hiperol S sisi Tinju persn - = -. Persn ini dpt ditulis - =. Segin telh kit kethui hw ini jug dlh persn hiperol dengn suu segi suu nt suu segi suu iginer dn sitotn = ini. Silhkn And perinci! sert sift-sift linn ng diiliki oleh hiperol Hiperol ini didpt dengn jln sling enukr - =. Hiperol dinkn du hiperol sekwn. - dn = dn hiperol Asitot kedu hiperol sekwn dlh s itu = dri hiperol: - =. Oleh kren keept punck dri kedu hiperol ini dlh 0 dn 0 k keept gris singgung di punck-punck ini eentuk sutu persegi pnjng ng sisin sejjr dengn kedu suu koordint sedngkn titik-titik sudutn terletk pd kedu sitot. Liht gr. Sekrng kit tinj u persn hiperol - =. Bil = k persn hiperol enjdi - = - =. Hiperol ini diseut hiperol ssisi. Ukurn suu nt s dengn ukurn suu iginer itu s dengn. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 96

97 Asitot dri hiperol ssisi ini dlh - = 0 dn + = 0. Kedu sitot ini sling erpotongn tegk lurus kenp?. Hiperol ng epuni sitot sling tegk lurus diseut hiperol ortogonl. Jdi hiperol ssisi dlh jdi hiperol ortogonl. Grfik hiperol sekwn ssisi - = dn - = diperlihtkn dl gr.. Gr. Contoh: Mnkh dri psngn hiperol erikut ng sekwn dn nkh dri ng sekwn itu jug ssisi Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 97

98 Jw : Tidk sekwn Sekwn 3 Sekwn Sekwn dn ssisi 3. Peicrn Persn A + B + C = 0 Disusikn hw kit epuni persn A + B + c = 0 dengn A dn B erlwnn tnd dn tidk nol dn C 0. Mk A + B + C = 0 C A + C B = Kren A dn B erlwnn tnd k = tnd. Jik C A positif k C B C A dn C B erlwnn negtif. Sehingg persnn C A C B erentuk. Selikn jik negtif k positif. Sehingg persn erentuk. Dl hl ini kit C islkn = C dn = dengn dn tidk nol. A B Kedu persn di ts dlh persn sederhn hiperol ng kedu fokusn terletk pd slh stu suu koordint. pust eripit dengn titik pngkl dn suu dn suu segi suu suu fun. Jik A = -B. k A + B + C = 0 dlh hiperol ssisi kenp?. Segi contoh = 0 dn = 0 dlh hiperol-hiperol ssisi. Sekrng kit susikn hw C = 0 k persn A + B + C = 0 enjdi A + B = 0 + A B = 0. Kren A dn B erlwnn tnd k A B negtif dn - A B positif. Sehingg X + A B = 0 -- A B = 0 Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 98

99 + + B - A B A B = 0 A = 0 tu - B A = 0 Bentuk persn ng terkhir erupkn persn du gris lurus. Jdi untuk C = 0 persn hiperol eruh enjdi du gris ng erpotongn dn hiperol ini diseut hiperol tidk enr. Contoh Bicrknlh persn = 0 Jw : Mksud "icrknlh" di sini ilh enentukn sift-siftn dn eut skets grfikn. Untuk persn = 0 errti A = 9 B = - dn C = -8. Kit uh kedl entuk persn sederhn itu: = Berrti = 9 = 9 = -8 = 8 dn c = + = 90. k = 3 = 9 dn c = 30. Jdi e = c = 0 dn sift-sift hiperol terseut dlh: Pust o 0 0 fokus F3 0 0 dn F-30 0 direktriks d : = dn d : = suu segi suu nt dn suu segi suu iginer punck 3 0 dn -3 0 sitot 3 - = 0 dn 3 + = 0 dn ltus rectu sert ujung-ujungn?. Persn Preter Hiperol Tinju persn preter sutu kurv erentuk = sec dn = tg. 3 0 = sec sec sec = tg. tg tg sec tg = Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 99

100 Persn terkhir di ts dlh persn hiperol dengn suu segi suu ut suu nt dn suu segi suu thn suu iginer. Kren titik-titik dri hiperol dpt dintkn oleh persn = sec = tg k persn ini diseut persn preter hiperol. Cttn: is dl rdin upun dl derjt. 5. Gris Singgung Terhdp Hiperol Seperti pd elips kedudukn gris g: = s + k terhdp hiperol dpt kit selidiki segi erikut: Asis-titik potong ntr g dn hiperol diperoleh dri s k s - + sk + k + + = 0 dengn diskriinn D = - s + + k Agr krn ker dengn rti lin gr gris eninggung hiperol srtn ilh D = 0 k diperoleh: k = s - k = s. Jdi persn gris singgung dengn grdien s terhdp hiperol dlh: s s Untuk encri persn gris singgung di titik l pd hiperol dpt digunkn cr seperti ng telh dipki untuk gris singgung sutu elips tu prol. Hsiln dlh segi erikut: Persn gris singgung di titik l l pd hiperol dlh Contoh Crilh persn gris singgung ng sejjr gris 6 - = 8 terhdp hiperol - = 8 Jw: Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 00

101 Hiperol - = 8-8 = = dn = 8 Mislkn s dlh grdien gris singgung ng diint. Kren gris ini hrus sejjr terhdp gris 6 - = 8. k s = 6. Dengn enggunkn ruus persn gris singgung dengn grdien terhdp hiperol kni = s s k persn gris g singgung ng hrus dicri dlh = 6 Contoh Gris = + 3 eotong hiperol - 5 = pd du titik. Tentukn persn gris singgung di titik-titik potong ini pd hiperol Jw: Titik potong ntr gris dn hiperol. dicri segi erikut: - 5 = + 3 = Mk = = 0 = -5 ± 0 Untuk = k = Untuk = k = Berrti titik potong ntr gris dn hiperol dlh: dn Jdi persn gris singgung di titik-titik ini dlh: dn Rngkun Hiperol dn hiperol sekwn eniliki sitot ng s kni = dlh du hiperol Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 0

102 - = dlh persn hiperol ssisi = dengn sitot = ng erpotongn sling tegk lurus. Hiperol ortogonl ilh hiperol ng sitot-sitotn erpotongn tegk lurus. 3 Persn A + B + C = 0 dengn A dn B erlwnn tnd engtkn persn hiperol dn Jik c 0 k hiperol enr Jik c = 0 k hiperol tk enr Jik A = -B k hiperol s sisi Persn preter hiperol Adlh { = sec = tg dengn preter 5 Persn gris singgung dengn grdien s terhdp hiperol dlh = s s 6 Persn gris singgung di titik l l pd hiperol dlh SOAL LATIHAN Crilh persn hiperol s sisi ng erpust di o 0 0 dn ellui titik - Mnkh dri psngn erikut ng erupkn psngn hiperol sekwn = = = 0-36 = 0 c = = 0 d. + 3 = = 0 e = 0 - = -8 3 Bicrkn setip persn kurv erikut dn skets grfikn = = 0 c. - 3 = 0 Uhlh persn hiperol erikut. = 3 sec Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 0

103 = tg enjdi persn sederhn = 0 enjdi persn preter 5 Crilh persn gris singgung terhdp hiperol - = jik. grdienn. ellui titik 0. 6 Hiperol ortogonl ng erpust O 0 0 dn fokus 0 eiliki persn Persn p + Q + R = 0 entkn hiperol tk enr Jik Slh stu fokus dri hiperol = 0 dlh Eksentrisits hiperol 6-9 = dlh Asitot-sitot hiperol = eiliki persn Persn preter dri hiperol ¼ = dlh..... Jik persn preter hiperol { = tg = sec diuh ke dl persn sederhn enjdi Kedudukn gris = terhdp hiperol = 0 dlh.... Gris singgung terhdp hiperol T = 0 dlh..... dn sejjr dengn gris 5 Persn gris singgung dengn grdien terhdp hiperol q p. Adlh Persn gris singgung di titik pd hiperol - = dlh..... Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 03

104 DEMENSI TIGA R 3 A. Siste Koordint Tegk Lurus Deensi Tig R 3 Sutu siste koordint tegk lurus siste koordint Crtesin di dl rung ditentukn dengn eilih sutu stun pnjng sert tig uh gris lurus ng sing-sing sling tegk lurus dn erpotongn di stu titik. Ketig gris terseut diseut dengn suu-suu koordint dn ditentukn pul oleh hipunn seu triple-triple terurut dri ilngn Rel Perhtikn gr erikut ini: Didl rung deensi tig R3 rung tergi enjdi delpn gin. Msing-sing gin dsiseut Oktn dn kn dsieri noor enurut turn segi erikut : Oktn Nili X Nili Y Nili Z I > 0 positip >0 positip >0 positip II < 0 negtip >0 positip >0 positip III < 0 negtip <0 negtip >0 positip IV > 0 positip <0 negtip >0 positip V > 0 positip >0 positip <0 negtip VI < 0 negtip >0 positip <0 negtip VII < 0 negtip <0 negtip <0 negtip VIII > 0 positip <0 negtip <0 negtip Dengn eliht tel dits kit dopt elentukn letk titik dl R3. Geoetri nlit itu udh dn enenngkn[tpe tet] Pge 0