MATEMATIKA. Sesi TRANSFORMASI 1. A. TRANSFORMASI a. Definisi. b. Transformasi oleh Matriks 2x2

Transkripsi

1 MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 3 Sesi NGAN TRANSFORMASI A. TRANSFORMASI a. Definisi Transformasi berarti perubahan kedudukan titik oleh suatu operasi tertentu. Operasi tertentu disini bisa oleh suatu matriks tertentu, translasi, rotasi, dilatasi, refleksi atau gabungan dari beberapa operasi. b. Transformasi oleh Matriks a Suatu titik A (, y) ditransformasikan oleh M c a b c d dapat dituliskan A(,y) M A (,y) b d ke titik A (, y). transformasinya Di mana A adalah titik asal, A adalah titik bayangan. Bentuk persamaan transformasinya adalah: A = M. A y = a b c d( y )

2 CONTOH SOAL. Suatu Titik A (6, -3) ditransformasikan oleh ke A (, y). Maka A adalah transformasi: A( 6,3) A (,y) : y = -3( 3 6 ) ( y ) = ( 5-3 ) Maka, titik bayangannya adalah A (5, -3) Titik P (, y) ditransformasikan oleh... ke titik Q (, -). Maka koordinat titik P adalah 4 3 P(, y) Q (,-) Q= P 4 3 = 4 3 y Kita gunakan sifat invers matriks 4 3 = y 4 3 = y 3 y = = 5 y 6 Sehingga titik P (5, -6).

3 3. Suatu titik A (, 4), B (, 3) ditransformasikan oleh matriks M menghasilkan bayangan A (6, 4) dan B (4, 9). Maka matriks M adalah... AB M AB AB = M AB 6 4 = M Maka dengan sifat matriks M = M = M = = M 6 4 = M Bayangan garis + 3y = oleh transformasi matriks adalah y= (, y) (, y ) Persamaan transformasi = 5 3 y? 3

4 Dengan sifat matriks y = 5 3 y y 3 5 = y 3 5y = y + y Maka = 3 5y ; y =- + y Persamaan garis + 3y = berubah menjadi 3 ( 5y ) + 3( + y ) = 6 0y 3 + 6y = 3 4y = Maka, persamaan bayangannya 3 4y = 5. Persamaan bayangan garis l oleh transformasi garis adalah... 3 adalah 3y = 0. Persamaan 3? 3y = 0 ( y, ) (, y ) = 3 y + 3y = + y Sehingga = + 3y; y = + y 4

5 maka persamaan bayangannya 3y = 0 memiliki persamaan asal: ( + 3y) 3( + y) = 0 + 6y 3 6y= 0 = = 0 Suatu titik P (, y) ditransformasikan oleh matriks A dilanjutkan B menghasilkan Q (, y ). transformasinya adalah: Di mana persamaan transformasinya A B Py (, ) Q (, y ) Q= B A P = B A y y Di mana B.A dinamakan matriks tranformasi gabungan cara membaca operasinya terbalik, tranformasi A kemudian transformasi oleh B. CONTOH SOAL 3 4. Bayangan titik (3, ) ditransformasikan oleh dilanjutkan oleh adalah ,, y 4 = = = 6 y 58 Maka titik bayangannya (3, ) adalah (6, 58). 5

6 . Diketahui Matriks M dan N 4 5 Persamaannya 4 = N M 5 3 = = 4 y 5 = 3 3 3, maka bayangan (4, 5) oleh NoM adalah... 0 Maka, bayangannya adalah (-3, 3) B. TRANSLASI a Translasi berarti pergeseran. Suatu titik A (, y) ditranslasikan oleh matriks T b ke titik bayangan A (, y ). Konstanta a berarti pergeseran horizontal, bila a > 0, A bergeser ke kanan a satuan, bila a < 0, A bergeser ke kiri a satuan. Konstanta b berarti pergeseran vertikal, bila b > 0 maka A bergeser ke atas b satuan, bila b < 0 maka A bergeser ke bawah b satuan. transformasinya T a b A, y A, y a = b + y 4. Bayangan titik (5, 7) oleh T adalah... CONTOH SOAL 6

7 = = 9 6 Maka, bayangan titik (5, 7) adalah (9, 6). 3. Bayangan titik Q(, y) oleh 5 3 Qy (, ) 5 Q ( 4, ) adalah (, 4). Maka koordinat Q adalah... Persamaan Transformasinya 3 = y 3 = y Maka 3 = = 5 y + 5 = 4 y = - Sehingga koordinat sebelum translasi adalah (5, -) Bayangan kurva y = + - oleh translasi adalah... 3 y= +? ( y, ) (, y ) = 3 + y + 3 = y 7

8 Maka = +3 atau = 3 y = y atau y = y + Sehingga kurva bayangan y = + adalah ( y + ) = ( 3) + ( 3) y + = y = Maka persamaan bayangan kurvanya y = a. Tranformasi Gabungan untuk Translasi Persamaan transformasi gabungan untuk translasi hanya bisa dibentuk bila dua atau lebih translasi yang digabungkan. Akan tetapi bila salah satu transformasi selain translasi, maka persamaan tranformasi tidak bisa digabungkan. Translasi T a T c b d y,, y Persamaan transformasi gabungan c a = d + b + y transformasi T a b M y, (, y ), y Persamaan transformasi pertama M = Persamaan transformasi kedua = T + y 8

9 CONTOH SOAL. Suatu titik A (5, ) ditranslasikan oleh T bayangan... 3 dilanjutkan oleh T menghasilkan 5 A 5, A, y = = 7 4 Maka bayangannya (7, 4). 3. Bayangan titik (-, 7) oleh transformasi dilanjutkan oleh translasi ( 3 7 ) 4, (, y ), y adalah... Persamaan transformasi Persamaan transformasi = " 3 7 = 3 + y" 4 y = 5 " = 3 y" " = y" 8 Sehingga bayangannya adalah (, -8). 3. Bayangan kurva y = 4 oleh transformasi adalah... dilanjutkan dengan translasi 9

10 y= 4?? ( y, ) (, y ) ( ", y" ) = y y = = y y y = y y Maka = y dan y = y Sehingga bayangan yang pertama dari y = 4 y = 4( y ) 3 y = Persamaan transformasi kedua " = 3 + y" 4 y " 3 = y" + 4 Maka 3 = atau = + 3 y + 4 = y atau y = y 4 sehingga persamaan bayangan kedua setelah persamaan bayangan 3 y = adalah 3( " + 3) ( y" 4) = 3" y" + 6 = 0 Sehingga bayangannya 3 y + 6 = 0 0

11 C. DILATASI Dilatasi berarti perpanjangan atau pemendekan jarak suatu titik terhadap suatu titik acuan. Titik acuan ini dinamakan pusat dilatasi. Perpanjangan atau pemendekan jarak tergantung pada suatu konstanta k. Bila k > atau k < - maka jarak titik diperpanjang terhadap titik pusat dilatasi, selainnya jarak titik diperpendek. dilatasi sebagai berikut: ( ) D a, b, k ( y, ), y k 0 0 k Matriks transformasinya: a k = b 0 0 a k y b Dimana D ((a, b), k) dibaca dilatasi dengan pusat (a, b) degan faktor skala k. CONTOH SOAL. Bayangan titik (, 5) oleh dilatasi pusat (0, 0) dengan skala 3 adalah... ( ) D 00,, 3 ( 5, ) (, y ) = = 3 5 Maka bayangannya (3, 5). Bayangan titk (-, 5) oleh dilatasi skala pada titik (-, 4) adalah...

12 ( ) (, y ) D 4,, ( 5, ) 0 0 ( ) = = = 4 Maka + = - = -3 y 4 = y = 6 sehingga bayangannya adalah (-3, 6) 3. Bayangan titik P (a, b) oleh dilatasi pada titik (3, 5) dengan skala ½ adalah (-, 4). Titik P adalah... P D 35,, a,b 4, 0 0 ( ) 3 0 = a b 5 a 3 4 = b 5

13 Maka a 3 = 4 a 3 = 8 a = 5 b 5 = b 5 = b = 3 Maka, titik asalnya (-5, 3). 4. Bayangan Kurva y = + oleh dilatasi skala 4 pada titik O adalah... Titik O (0, 0), alurnya y= + D 04,? ( y, ) 4 0, y 0 4 = y = 4 4y Maka = 4 atau = y = 4y atau y = 4 4 y Sehingga persamaan bayangan y = + adalah y = y = y = Sehingga persamaan bayangannya y=

14 5. Persamaan bayangan kurva y = f () dengan dilatasi D ((,), 3) adalah y = + 5. Kur va y = f () adalah... ( ) y= f D y =,, ( y, ) 3 0 (, y ) 0 3 = y 3 3 = 3y 3 Maka = 3 3 = 3 y = 3y 3 y = 3y sehingga kurva awal dari kurva bayangan y = + 5 adalah ( 3y )= ( 3 ) + 5 3y = y= 9 + y= a. Dilatasi Gabungan Titik P (, y) dapat didilatasikan lebih dari satu kali, atau digabungkan dengan jenis transformasi yang lain. Hanya saja persamaan transformasi gabungan dilatasi bisa dibentuk bila dilatasinya memiliki pusat yang sama. Apabila dilatasi tidak memilki pusat yang sama, maka penyelesaiannya dilakukan dalam persamaan terpisah. Perhatikan alur dan persamaan transformasi berikut: A, y ( ) D a, b, k D a, b, k k 0 k 0 0 k 0 k ( ) A (, y ) 4

15 Persamaan transformasi gabungannya a k = b 0 0 k k 0 0 a k y b A, y ( ) D a, b, k D c, d, k (, y ) k 0 k 0 0 k 0 k Persamaan transformasi ( ) A" ( ", y" ) a k = b 0 0 a k y b Persamaan transformasi " c k = y" d 0 0 c k y d Sedangkan untuk operasi dilatasi dengan transformasi matriks M, bisa digabungkan bila dilatasi memiliki pusat (0, 0). A, y M a D( ( 00, ), k ) c b d A, y a = c b k d 0 0 k y Selainnya persamaan harus dipisah. CONTOH SOAL. Bayangan titik (5, 6) oleh dilatasi D ((,), 3) dilanjutkan dilatasi D ((, ), -) adalah... 5

16 ( ) ( ) (, y ) D,, 3 D,, ( 56, ) Persamaan transformasi gabungan = = = 4 y 4 Maka = 4 = -3 y = -4 y = - sehingga bayangannya (-3, -).. Bayangan garis + 4y = 5 oleh dilatasi D (0, ) dilanjutkan transformasi matriks adalah y= 5 D 0 M ( y),?, 0, y 0 3 = y = y = 4 y 6 4 y 4 y 6

17 4 y = 4 y 6 + 4y 4 Maka = y 3 y= + y Sehingga persamaan bayangan dari + 4y = 5 adalah: 3 y 4 y = y 6 + 4y = y = 5 Sehingga persamaan bayangannya y = 5 3. Bayangan kurva y = 3 oleh translasi... 4 dilanjutkan dengan dilatasi (0, 4) adalah y= 3 4? D( 04, )? ( y, ) (, y ) 4 0 ",y" 0 4 Persamaan transformasi = + 4 y = y + 4 Maka = = + y + 4 = y y = y 4 Sehingga persamaan bayangan pertama dari y = 3 adalah 7

18 y 4= 3( + ) y 4= 3( + + ) y = Persamaan transformasi kedua " = y" y " = y" 4 4y Maka 4 = " = " 4 4y = y" y = y" 4 Sehingga persamaan bayangan selanjutnya setelah y = adalah y" = 3 " 6 " y" = " + " y" = " +6" Maka persamaan bayangan akhirnya adalah y= LATIHAN SOAL. Jika garis y ditransformasikan oleh maka petanya adalah... 3 A. 4 7y = B y = C y = D y = E. 7 4y = 8

19 . Sebuah kurva dengan persamaan y = 4 ditransformasi secara berturut-turut dengan 0 dan, maka persamaan dari peta kurva adalah A. y y = 4 B. y y = C. 3y y = 36 D. y + y = 4 E. y y = 3. Peta dari garis y = 5 oleh translasi T = 3 diteruskan T = 5 adalah... A. y = 5 B. y = 6 C. y = 7 D. y = 8 E. y = 9 4. Jika parabola y = 3 + didilatasi oleh [0, ] maka petanya adalah... A. y = 3 + B. y= + C. y= + D. y = 3 E. y= 5. Jika garis y = + dilatasi oleh [A (,), 3] maka petanya adalah... A. y = B. y= + 3 C. y = + D. y = + 6 E. y = + 9 9

20 0 6. Jika parabola y = ditransformasi oleh maka petanya adalah... 3 A. y = + 3 B. y = 3 C. y = + 3 D. y = 3 E. y = Jika T = 4 ; T = 5 dan A (, 7) maka (T ο T ) (A) adalah... A. (, 0) B. (, 4) C. (3, 4) D. (3, 0) E. (9, 4) 8. Bayangan garis + 5y 0 = 0 oleh translasi... A. + 5y + 3 = 0 B. + 5y 3 = 0 C. + 5y 33 = 0 D. + 5y 30 = 0 E. + 5y + 43 = 0 3 diikuti dengan translasi 4 adalah 7 9. Sebuah lingkaran + y = didilatasi dengan pusat (, ) dan faktor skala mempunyai bayangan... A. ( + ) + (y + ) = B. ( + ) + (y + ) = 4 C. ( ) + (y ) = D. ( ) + (y ) = 4 E. ( + ) + (y + ) = 0

21 0. Diketahui titik A(-, 3) dan B(, 0). Jika hasil transformasi oleh T diperoleh A(5, 9) dan B(, 3), maka matriks transformasi tersebut adalah A. B. C. D. E