Matriks Dan Aljabar Linear

Transkripsi

1 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 0 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui bentuk umum sstem persamaan linear. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam mengerti dan memahami cara penelesaian dari bentuk umum sstem persamaan linear dan apabila diberi suatu persamaan SPL, mahasiswa mampu menelesaikan dengan metode eliminasisubtitusi, metode Gauss-Jordan dengan tepat.

2 Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Pendahuluan Aljabar adalah cabang matematika ang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasana berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohna, mewakili bilangan ang diketahui dan bilangan ang ingin diketahui. Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi, Ia adalah ang pertama kali ang mencetus Al-Jabar dalam bukuna dengan judul Al-kitab al-jabr wa-l-muqabala kitab ini merupakan kara ang sangat monumental pada abad ke-9 M. ia merupakan seorang ahli matematika dari Persia ang dilahirkan pada tahun 94 H/780 M, tepatna di Khawarizm, Uzbeikistan. A. Bentuk umum Suatu persamaan linear ang mengandung n peubah,,,n dinatakan dalam bentuk a + a + + ann = b dengan a, a,, an, b adalah konstanta riil. Dalam hal ini, peubah ang dimaksud bukan merupakan fungsi trigonometri, fungsi logaritma ataupun fungsi eponensial. Contoh : a. + = 4 persamaan linear dengan peubah b. 3 = z + persamaan linear dengan 3 peubah c. log + log = bukan persamaan linear d. e = + 3bukan persamaan linear B. Sistem persamaan linear ( SPL ) Definisi Sistem persamaan linear adalah himpunan berhingga dari persamaan linear Contoh : a. + = + = 6 b. + z = 4 + = 0 Tidak semua sistem persamaaan linear memiliki penelesaian( solusi ), sstem persamaan linear ang memiliki penelesaian memiliki dua kemungkinan aitu penelesaian tunggal dan penelesaian banak. Secara lebih jelas dapat dilihat pada diagram berikut :

3 SPL= Sistem Persamaan Linear. Tidak Memiliki Penelesaian ( tidak konsisten). Memiliki Penelesaian ( Konsisten) a. Solusi Tunggal b. Solusi banak Sebuah pemecahan (solution) persamaan linier a + a +..+ a n n = b adalah sebuah urutan dari n bilangan s, s,.., sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan = s, = s,.., n = s n, Sehingga himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahanna (its solution). Sebuah sistem ang tidak mempunai pemecahan dikatakan tak konsistent (inconsistent). Jika ada stidak-tidakna satu pemecahan, maka sistem persamaan tersebut konsistent (consistent). Sebuah sistem sembarang ang terdiri dari m persamaan linier dengan n bilangan ang tidak diketahui akan dituliskan sebagai Jika ditulis ke dalam bentuk matri adalah sebagai berikut : 3

4 Untuk penelesaian n persamaan dari n variable (A X= B) dapat diselesaikan dengan empat cara, aitu: a. Dengan eliminasi b. Dengan Cara OBE:A B OBE (I X) c. X=A - B d. Aturan Cramer : X j = A j a. Dengan eliminasi Metode ini digunakan dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) salah satu variabelna, sehingga diperoleh sebuah persamaan dengan satu variabel. Contoh soal: Tentukan Himpunan Penelesaian (HP) dari persamaan linear berikut dengan metode eliminasi! + 3 = pers.() 3 + = 5 pers.() Catatan : Jika kita mengeliminasi (menghilangkan) variabel maka ang akan kita dapatkan nantina adalah nilai dari variabel dan sebalikna, jika kita mengeliminasi variabel maka ang akan kita dapatkan nantina adalah nilai dari variabel. Contoh soal Mengeliminasi + 3 = = = = 0 7 = -7 = - 4

5 Mengeliminasi + 3 = +3 = 3 + = = 5-7 = -4 = Jadi, HP = {(, -)} b. Operasi Baris Elementer (OBE) Untuk menentukan solusi dari SPL dilakukan dengan cara membentuk matrik ang diperluas/diperbesar dari SPL dan melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) pada matriks ang diperbesar tersebut. OBE ini didapatkan dalam suatu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematik.. Kalikan persamaan dengan konstanta ang tak sama dengan nol.. Pertukarkan dua persamaan tersebut. 3. Tambahkan kelipatan dari satu persamaan bagi ang lainna. Karena baris (garis horisontal) dalam matriks ang diperbesar beresuaian dengan persamaan dalam sistem ang diasosiasikan dengan baris tersebut, maka ketiga operasi ini bersesuaian dengan operasi berikut pada baris matriks ang diperbesar.. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta ang taksama dengan nol.. Pertukarkanlah dua baris tersebut. 3. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris ang lainna. Sifat-sifat matriks ang berbentuk eselon baris (row-echelon form) dan eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form) :. Jika baris tidak terdiri seluruhna dari nol, maka bilangan taknol pertama dalam baris tersebut adalah. (kita namakan ini utama).. Jika terdapat baris ang seluruhna terdiri dari nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan berama-sama dibawah matriks. 5

6 3. Dalam sebarang dua baris ang berurutan ang seluruhna tidak terdiri dari nol, maka utama dalam baris ang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari utama dalam baris ang lebih tinggi. 4. Masing-masing kolom ang mengandung utama mempunai nol di tempat lain. Dikatakan matriks berada dalam bentuk eselon baris jika memiliki sifat,, dan 3. Prosedur untuk mereduksi menjadi eselon baris tereduksi disebut Eliminasi Gauss-Jordan. Jika memiliki keempat sifat tersebut, maka matriks tersebut berada dalam bentuk eselon baris tereduksi dan prosedurna disebut Eliminasi Gauss.. Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks ang lebih sederhana. Ciri-ciri Eliminasi Gauss a. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama ang tidak nol adalah ( utama) b. Baris nol terletak paling bawah c. utama baris berikutna berada dikanan utama baris diatasna d. Dibawah utama harus nol.. Eliminasi Gaus-Jordan Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilna adalah matriks tereduksi ang berupa matriks diagonal satuan (Semua elemen pada diagonal utama bernilai, elemen-elemen lainna nol). 6

7 Contoh : Carilah solusi dari persamaan dibawah ini dengan menggunakan OBE. + + z = z = z = 0 Penelesaian : Ubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks ang diperbesar kemudian gunakan OBE : Eliminasi Gauss. baris kedua : B + (-)B, baris ketiga : B 3 + (-3)B,. baris kedua : B (/), 7

8 3. baris ketiga : B 3 + (-3)B, 4. baris ketiga : B 3, Eliminasi Gauss-Jordan. baris kedua : B + (-7/)B 3, baris pertama : B + (-B 3 ),. baris pertama : B B, Dari matriks eselon baris tereduksi diatas diperoleh =, = dan z = 3. 8

9 c. A X= B, Dimana: A = Matriks koefisien ( harus matriks bujur sangkar) X = Matriks Variabel (berbentuk matriks Kolom) B =Matriks suku tetap (berbentuk matriks kolom) d. Aturan Cramer Teorema : Jika AX = B adalah sistem ang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga det(a) 0, maka sistem tersebut mempunai pemecahan ang uniq. Pemecahan ini adalah dimana A j adalah matriks ang kita dapatkan dengan menggantikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks. 9

10 C. Homogen Bila diberikan suatu SPL maka akan ada dua kemungkianan terhadap kebenaran solusina, aitu SPL tidak mempunai solusi disebut SPL Tak Konsisten dan SPL mempunai solusi disebut SPL Konsisten. Sebuah sistem persamaan-persamaan linear dikatakan homogen jika memuat konstan sama dengan nol. Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sstem ang konsisten karena = 0, = 0,, n = 0 selalu mempunai solusi.. Solusi tersebut dinamakan solusi trivial (solusi tunggal). Jika ada solusi lain, maka solusi tersebut dinamakan solusi taktrivial (solusi tak hingga). SPL homogen A mn X=0 ( m: Persamaan, n=variabel) a) m > n hana mempunai solusi trivial b) m = n jika A 0 trivial A 0 tidak trivial c) m < n mempunai solusi tidak trivial Contoh : Carilah penelesaian SPL homogen berikut : 3 a + b = 0 m = n A0 a b = 0 0

11 Jawab : 3 a + b = 0 a b = 0 4 a = 0 3 a + b = 0 3(0)+ b = 0 a = 0 b = 0 b = 0 Contoh : (Solusi tak trivial) Carilah penelesaian SPL homogen berikut ini : 3 a + b + c = 0 m < n 5 a b + c = 0 Jawab : b (/3) b ( 5) b ( 3/8) b ( /3) Jadi diperoleh : a = - ¼ c dan b = - ¼ c (solusi umum) Misalkan : c = 4 c = -4 c = c = - a = dan b = a = dan b = a = ¼ dan b = ¼ a = ¼ dan b = ¼ Jadi, Diperoleh solusi tak

12 Daftar Pustaka. Anton, H., 99, Aljabar Linier Elemneter, Erlangga, Jakarta.. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung 3. Gazali,wikaria.005.MATRIKS DAN Transformasi Linear. Yogakarta. Graha Ilmu 4. diakses pada tanggal 0/03/ diakses pada tanggal 0/03/ diakses pada tanggal 0/03/06

13 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Matriks Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 0 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan matriks. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu memahami pengertian matriks, jenis-jenis matriks dan operasina.

14 Matriks A. Definisi Matriks Beberapa pengertian tentang matriks :. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) ang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang. 3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (ang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang ang memuat baris-baris dan kolomkolom. Notasi ang digunakan NOTASI MATRIKS Matriks kita beri nama dengan huruf besar seperti A, B, C, dll. Matriks ang mempunai i baris dan j kolom ditulis A=(a ij ), artina suatu matriks A ang elemen-elemenna a ij dimana indeks I menatakan baris ke I dan indeks j menatakan kolom ke j dari elemen tersebut. Secara umum : Matriks A=(a ij ), i=,, 3,..m dan j=,, 3,., n ang berarti bahwa banakna baris m dan banakna kolom n. Contoh : 3 3 A= B= C= 3 4

15 Ukuran matriks 4 Jumlah baris Jumlah kolom 4 Matriks ang hana mempunai satu baris disebut MATRIKS BARIS, sedangkan matriks ang hana mempunai satu kolom disebut MATRIKS KOLOM. Dua buah matriks A dan B dikatakan SAMA jika ukuranna sama (mn) dan berlaku a ij = b ij untuk setiap i dan j Contoh Matriks A 3X4 = Notasi matriks, Menggunakan huruf besar (kapital). B. Jenis-Jenis Matriks Berikut ini diberikan beberapa jenis matriks selain matriks kolom dan matriks baris a) MATRIKS NOL, adalah matriks ang semua elemenna nol Sifat-sifat :. A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0. A*0=0, begitu juga 0*A=0. b) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks ang jumlah baris dan jumlah kolomna sama. Barisan elemen a, a, a 33,.a nn disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut. Contoh : Matriks berukuran A= 0 3 3

16 c) MATRIKS BUJURSANGKAR ISTIMEWA a. Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujursangkar sedemikian sehingga AB=BA maka A dan B disebut COMMUTE (saing). b. Bila A dan B sedemikian sehingga AB=-BA maka A dan B disebut ANTI COMMUTE. c. Mtriks M dimana M k+ =M untuk k bilangan bulat positif disebut matriks PERIODIK. d. Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga M k+ =M maka M disebut PERIODIK dengan PERIODE k. e. Jika k= sehingga M =M maka M disebut IDEMPOTEN. f. Matriks A dimana A p =0 untuk p bilangan bulat positif disebut dengan matriks NILPOTEN. g. Jika p bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga A p =0 maka A disebut NILPOTEN dari indeks p. d) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujur sangkar ang semua elemen diluar diagonal utamana nol. Contoh : 0 0 A= e) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal ang semua elemen diagonalna adalah. Contoh : 0 0 A=

17 Sifat-sifat matriks identitas :. A*I=A. I*A=A f) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal ang semua elemenna sama tetapi bukan nol atau satu. Contoh : A= g) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar ang semua elemen dibawah diagonal elemenna = 0. 3 A= h) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar ang semua elemen diatas diagonal elemenna = A=

18 i) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar ang elemenna simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks ang transposena sama dengan dirina sendiri. Contoh : 0 0 A= 3 dan A T = j) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks ang trnsposena adalah negatif dari matriks tersebut. Maka A T =-A dan a ij =-a ij, elemen diagonal utamana = 0 Contoh : A= maka A T = k) MATRIKS TRIDIAGONAL, adalah matriks bujursangkar ang semua elemenelemenna = 0 kecuali elemen-elemen pada diagonal utama serta samping kanan dan kirina. Contoh : 0 0 A=

19 l) MATRIKS JODOH Ā, adalah jika A matriks dengan elemen-elemen bilangan kompleks maka matriks jodoh Ā dari A didapat dengan mengambil kompleks jodoh (CONJUGATE) dari semua elemen-elemna. Contoh : +3i i 3i i A= maka Ā= 5 3 i 5 3+i m) MATRIKS HERMITIAN. Matriks bujursangkar A=(a ij ) dengan elemen-elemen bilangan kompleks dinamakan MATRIKS HERMITIAN jika (Ā)'=A atau matriks bujursangkar A disebut hermitian jika a ij = ā ij. dengan demikian jelas bahwa elemen-elemen diagonal dari matriks hermitian adalah bilangan-bilangan riil. Contoh : 5+i 5 i A= 5 i 3 maka 5+i 3 dan Ā'= 5+i 5 i 3 C. Operasi Matriks a) Penjumlahan Matriks Penjumlahan matriks hana dapat dilakukan terhadap matriks-matriks ang mempunai ukuran (orde) ang sama. Jika A=(a ij ) dan B=(b ij ) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(c ij ) dimana (c ij ) = (a ij ) +(b ij ) atau [A]+[B] = [C] mempunai ukuran ang sama dan elemenna (c ij ) = (a ij ) +(b ij ) Contoh : A= B= C= maka A+B= + = =

20 3 A+C= A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilna) karena matriks A dan B mempunai ukuran ang tidak sama. b) Pengurangan Matriks Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hana dapat dilakukan pada matriks-matriks ang mempunai ukuran ang sama. Jika ukuranna berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan. Contoh : A= B= maka A-B = - = = c) Perkalian Matriks Dengan Skalar Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(a ij ) maka matriks ka=(ka ij ) aitu suatu matriks ka ang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalna [C]=k[A]=[A]k dan (c ij ) = (ka ij ) Contoh : 3 A= maka A= 0 5 * * * 3 * 0 * *5 8

21 Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana k(a+b)=ka+kb. Contoh : A= B= dengan k=, maka K(A+B) = (A+B) = A+B (A+B) = + = = A+B = + = d) PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS Beberapa hal ang perlu diperhatikan :. Perkalian matriks dengan matriks umumna tidak komutatif.. Sarat perkalian adalah jumlah banakna kolom pertama matriks sama dengan jumlah banakna baris matriks kedua. 3. Jika matriks A berukuran mp dan matriks pn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(c ij ) berukuran mn dimana c ij = a i b j + a i b j + a i3 b 3j +.+ a ip b pj 9

22 3 Contoh : ) A= 3 dan B= maka 3 A B= 3 (3*3) + (*) + (*0) * = = 3 3 ) A= dan B= maka (3*3) + (*) + (*0) A B = = (*3) + (*) + (*0) 5 Beberapa Hukum Perkalian Matriks :. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C 3. Tidak Komutatif, A*B B*A 4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan (i) A=0 dan B=0 (ii) A=0 atau B=0 (iii) A0 dan B0 5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C 0

23 D. Matriks Transpose Jika diketahui suatu matriks A=a ij berukuran mn maka transpose dari A adalah matriks A T =nm ang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari A T. Beberapa Sifat Matriks Transpose :. (A T ) = A. (A+B) T = A T + B T 3. k(a T ) = (ka) T 4. (AB) T = B T A T Buktikan sifat-sifat transpose diatas! Contoh 3 3 A 4 B 4 t t 3 4 A B 3 4 Latihan Soal.. Diketahui Tentukan?. a b A b c a c B 0 d 0 c Jika A+B t =C maka tentukan d?

24 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. Gazali,wikaria.005.MATRIKS DAN Transformasi Linear. Yogakarta. Graha Ilmu 3. diakses pada tanggal 07 maret 06

25 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Determinan dan Invers Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 03 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui determinan dan Invers matriks. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam memahami perhitungan determinan dalam mencari invers matriks.

26 Determinan dan Invers Matriks Pendahuluan Determinan suatu matriks adalah suatu fungsi skalar dengan domain matriks bujur sangkar. Dengan kata lain, determinan merupakan pemetaan dengan domain berupa matriks bujur sangkar, sementara kodomain berupa suatu nilai skalar. Determinan suatu matriks sering digunakan dalam menganalisa suatu matriks, seperti : untuk memeriksa keberadaan invers matriks, menentukan solusi sistem persamaan linear dengan aturan cramer, pemeriksaan basis suatu ruang vektor dan lain-lain. Determinan adalah satu pokok bahasan ang termasuk dalam Aljabar Linear. Determinan digunakan untuk menelesaikan permasalahan ang berhubungan dengan Aljabar Linear, antara lain mencari invers matriks, menentukan persamaan karakteristik suatu permasalahan dalam menentukan nilai eigen, dan untuk menelesaikan persamaan linear. A. Determinan Jika A = a c b, maka determinan dari matriks A dinatakan Det(A) = d a c b = ad bc d Sifat sifat determinan matriks bujursangkar. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat ang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(a) = 0.. Jika A adalah matriks segitiga n n, maka det(a) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, akni det(a) = a a a nn 3. Misalkan A adalah matriks ang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(a ) = k det(a) 4. Misalkan A adalah matriks ang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(a ) = det(a) 5. Jika A adalah sebarang matriks kuadrat, maka det(a) = det(a t ) 6. Misalkan A, A dan A adalah matriks n n ang hana berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri ang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A, maka det(a ) = det(a) + det(a ) [hasil ang serupa juga berlaku untuk kolom] 7. Jika A dan B adalah matriks kuadrat ang ukuranna sama, maka det(ab) = det(a) det(b)

27 8. Sebuah matriks kuadrat dapat dibalik jika dan hana jika det(a) 0 Jika A dapat dibalik, maka det(a - ) =) det (A ) = det( A) Untuk setiap matriks bujur sangkar A terdapat nilai karakteristik ang dikenal sebagai determinan, biasa ditulis det (A) atau. Determinan matriks A ditulis sebagai. Jika matriks A dengan det (A) = 0, A disebut matriks singular. Sebalikna, jika det (A), A disebut matriks taksingular. Minor dan Kofaktor Jika baris ke-j dan kolom ke-k pada determinan ang disajikan di atas dihilangkan, kemudian dibentuk sebuah determinan dari unsur-unsurna ang tertinggal, akan diperoleh determinan baru ang terdiri atas (n-) baris dan (n-) kolom. Determinan baru ini merupakan minor dari unsur dan dinatakan dengan ungkapan. Sebagai contoh, maka minor unsur adalah, aitu. Jika minor dari dikalikan dengan hasilna dinamakan kofaktor dari dan dinatakan dengan. Jadi,. Untuk menentukan determinan matriks A dapat digunakan ekspansi Laplace ang menatakan bahwa nilai determinan merupakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur pada suatu baris (atau suatu kolom) dengan kofaktor-kofaktor ang bersesuaian. Secara matematis,, untuk sembarang j. Sebagai contoh, kita akan menghitung 3

28 Untuk j =, diperoleh, dengan dan. Jadi,. a. Determinan matriks ordo Matriks berordo ang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo. Misalkan A adalah matriks persegi a b ordo dengan bentuk A = c d Determinan matriks A di definisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau A. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. Berdasarkan definisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai determinan dari matriks A, aitu: a b det A = A = = a d b c = ad bc c d Contoh : A =, maka det A = A = 3 4 =.4.3 = 4 6 = b. Determinan matriks ordo 3 3 Pada bagian ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 3. Misalkan A matriks persegi berordo 3 3 dengan bentuk A = a a a 3 a a a 3 a a a Untuk mencari determinan dari matriks persegi berordo 3 3, akan digunakan suatu metode ang dinamakan metode Sarrus. Adapun langkah-langkah ang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut: 4

29 . Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan tanda determinan.. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain ang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar). Natakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du a a a 3 a a a 3 a a a a a a 3 a a a 3 Du = a a a33 a a3 a3 a3 a a3 3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain ang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Natakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds. a a a 3 a a a 3 a a a a a a 3 a a a 3 Ds = a3 a a3 a3 a3 a a33 a a 4. Sesuai dengan definisi determinan matriks maka determinan dari matriks A adalah selisih antara Du dan Ds aitu Du Ds. a det A = a a 3 a a a 3 a a a a a a 3 a a a 3 = ( a a a33 a a3 a3 a3 a a3 ) - ( a3 a a3 a3 a3 a a33 a a ) Contoh : Diketahui matriks A = Tentukan nilai determinan matriks A. Jawab : det A = = [( 3 ( )) + (4 3 ) + ( 0)] [( ) + 5

30 (0 3 ( 3)) + ( 4)] = ( ) ( + 0 8) = Jadi, nilai determinan matriks A adalah. c. Menelesaikan SPLDV dengan Determinan Determinan Variabel dan Determinan Variabel.. Determinan Utama (D) adalah determinan ang koefisienna dan. Koefisien masing-masing terletak pada kolom pertama, sedangkan koefisien terletak masingmasing di kolom kedua.. Determinan Variabel (D ) adalah determinan ang diperoleh dengan cara mengganti koefisien-koefisien variabel dari determinan utama dengan bilanganbilangan ruas kanan. 3. Determinan Variabel ( D) adalah determinan ang diperoleh dengan cara mengganti koefisien-koefisien variabel dari determinan utama dengan bilangan-bilangan ruas kanan Contoh Pembahasan: 6

31 B. Matriks Invers Definisi: Bila A.B= B.A=I. Maka A dan B saling invers. Notasi invers A adalah A - Sifat-sifat Matriks Invers Jika A dan B non singular, atau invertibel,maka: A.B juga non singular. (A.B) - = B-.A - A n ={A.A.A A} n factor A 0 =I A -n =(A - )n={a -,A -,A -..A - } n factor (A - ) - =A (p.a )- =p -.A - =/pa - A m.a n =A m+n (A n ) m =A n.m Jika pada matriks bujur sangkar A terdapat matriks B sehingga AB = I, dengan I adalah matriks identitas, maka B dinamakan invers matriks A dan ditulis sebagai Jadi, jika A adalah matriks bujur sangkar tak singular berorde-n, maka terdapat satu invers sehingga Invers matriks memiliki sifat, dan Untuk menentukan invers matriks dapat dilakukan dengan dua cara, aitu: metode reduksi baris dan metode determinan. Metode Reduksi Baris Untuk memberi gambaran penerapan metode reduksi baris, diandaikan kita akan menghitung invers matriks A. Dengan mengingat sifat-sifat matriks satuan I, A = IA. Selanjutna, dengan mereduksi A di ruas kiri menjadi I maka ruas kanan akan tereduksi menjadi B sehingga menghasilkan I = AB. Jadi, B adalah invers matriks A. Metode reduksi baris terdiri atas operasi-operasi berikut:. Menukarkan dua baris, 7

32 . Mengalikan sembarang baris dengan sebuah tetapan dan 3. Menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sembarang. Untuk memudahkan penulisan operasi reduksi baris, biasa digunakan notasi dan Notasi pertama menunjukkan baris-j dan baris-k dipertukarkan, sedangkan notas kedua artina baris-j dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan atau dikurangkan dengan b kali baris-k. Contoh: A 3 4 A - =? A.A - =I Misalkan 0 A - = a b a b c d 3 4 c d 0 a c bd 0 3a 4c 3b4d 0, a c 3a 4c 0 b d 0 3b 4d ac a4c 3a4c0 3a4c0 - a a 3a4c0 4c3a 3a 3( ) c c 8

33 bd 0 d 4d 0 3b4d 3b4d b b bd 0 d b b d a b A - = c d Atau A adj( A) A 4 A dimana A 4 3 9

34 Rumus Penelesaian matriks Invers A A I OBE ( AI) ( I A ) A A adj( A) Selain dapat digunakan untuk menentukan invers suatu matriks, determinan juga dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier dengan n bilangan tidak diketahui dan n persamaan linier. Rumus untuk memecahkan sistem persamaan linier dengan menggunakan determinan ini dinamakan aturan Cramer seperti ang dinatakan dalam teorema berikut. C. (Aturan Cramer) Jika AX = B adalah sistem persamaan linier ang terdiri dari n bilangan ang tidak diketahui dan n persamaan linier dan juga det A 0, maka sistem tersebut mempunai pemecahan ang unik aitu, A det, det A A det,..., det A n An det det A di mana A j adalah matriks ang diperoleh dengan mengganti komponen-komponen dalam kolom ke-j dari matriks A dengan komponen-komponen dalam matriks B. Bukti : Misalkan, (Aturan Cramer) Jika AX = B adalah sistem persamaan linier ang terdiri dari n bilangan ang tidak diketahui dan n persamaan linier dan juga det A 0, maka sistem tersebut mempunai pemecahan ang unik aitu, A det, det A A det,..., det A n An det det A di mana A j adalah matriks ang diperoleh dengan mengganti komponenk 0

35 a a... an a a... an... A an an... ann X... n b b. B.. b n diperoleh bahwa sistem persamaan AX = B mempunai pemecahan unik aitu Sedangkan dari teorema kita peroleh, X A B () A det A adj A () Jika kita masukan harga A ini ke dalam persamaan () dan jika C C... Cn Cn Cn... Cn.... adj A Cn Cn... Cnn maka X C C... Cn C C... Cn A B... adj A A B det det A C C... C b b... b n n nn n Cb Cb... Cnbn C b Cb... Cnbn det A C b Cb... C b n n C b Cb... C b n n deṭ A. det A.... C nb Cnb... Cnnbn C nb Cnb... Cnnb n det A

36 Jadi... bc bc... + bc n det A bc bc... bc n deṭ A.. bc bc... bc det A n n n n n n nn () Misalkan A b a... an b a... an..., maka det A bc b C... + b n C n (ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama) bn an... ann A a b... an a b... an..., maka det A bc b C... + b... n C... an bn... a (ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua) nn n dan seterusna sampai, A n a a... b a a... b..., maka det A bc bc... + b C (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-n) an an... bn n n n n nn

37 Selanjutna masukan deta, det A,..., det A n ke dalam persamaan (), akan diperoleh, det A det A det A deṭ A..... n det A n det A atau A det, det A A det det A,..., n An det det A Pecahkanlah sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan aturan Cramer Jawab : Sistem persamaan linier di atas dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks AX = B di mana, A X 3 4 B 4 Ganti komponen-komponen kolom pertama matriks A dengan komponen-komponen matriks B. Selanjutna ganti komponen-komponen kolom kedua dengan komponen-komponen matriks B dan seterusna sampai kolom keempat. Matriks-matriks baru ang diperoleh dengan penggantian komponen-komponen kolom A ini adalah, A 4 0 A

38 A A Selanjutna, hitunglah determinan-determinan matriks A, A, A, A 3, dan A 4 maka akan diperoleh, (hitung sendiri determinan-determinan ini dengan memakai cara apa saja ang saudara anggap paling mudah) 0 det A det A 384 det A det A det A Berdasarkan aturan Cramer, maka pemecahan sistem persamaan linier di atas adalah, det A 384 det A 9, det A 9 det A 9 3 det A3 0 0, det A 9 4 det A3 0 0 det A 9 4

39 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. Gazali,wikaria.005.MATRIKS DAN Transformasi Linear. Yogakarta. Graha Ilmu 3. diakses pada tanggal 7 Maret 06 5

40 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Vektor Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 04 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui vektor. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam memahami pengertian vektor, panjang vektor, vektor melalui dua titik dan operasi penjumlahanna.

41 Vektor Pendahuluan Dalam bidang sains kita telah mengenal istilah besaran ang tidak mempunai arah dan besaran ang mempunai arah. Umumna, besaran ang tidak mempunai arah dikenal dengan istilah besaran skalar. Sedangkan besaran ang mempunai arah disebut besaran vektor atau vektor. A. Definisi Vektor Vektor adalah besaran ang mempunai nilai dan arah. Vektor dinotasikan sebagai ruas garis berarah. contoh: kecepatan, percepatan, gaa, momen gaa, dsb. Suatu partikel bergerak dari titik A ke titik B, maka dapat dikatakan bahwa partikel itu mengalami perpindahan. Secara geometri, vector adalah ruas garis berarah. Karena vector merupak ruas garis maka vector memiliki ukuran panjang dank arena vector memiliki arah maka vector memiliki sudut terhadap sumbu positif. Sebuah vector bisa dinatakan dalam bentuk geometri ang digambarkan sebagai sebuah ruas garis dengan arah tertentu diamana salah satuna merupakan pangkal dan satuna lagi merupakan ujungna. Vektor juga dapat dinatakan dalam bentuk aljabar. Komponen Vektor Vektor dibentuk dari dua buah titik dimana satu tutuk sebagai pangkal dan satu titik laina sebagai ujung. Vector ang berpangkal di titik A(a,a ) dan berujung di titik B(b,b ) memiliki koponen sebagai berikut: AB b a b a

42 Jika suatu vector berpangkal di titik pusat O(0,0) dan berujung di titik A(a,a ) maka vector tersebut cukup dituliskan dalam satu huruf sesuai huruf titikna dan ditulis huruf kecilna. Vektor ang berpangkal di titik pusat O dan berujung di suatu titik disebut vector posisi. Vektor OA dapat dituliskan sebagai berikut. 0 OA a a a 0 a a Notasi Vektor Sebuah vector dapat dituliskan dalam beberapa bentuk notasi. Berikut ini adalah penulisan notasi vector. v v v v v v v v i j v Ketiga memiliki arti ang sama, aitu vector komponen v dan v. B. Operasi Vektor. Penjumlahan vector secara geometris Dari ketiga vector tersebut dapat dijumlahkan dengan cara sebagai berikut: 3

43 Pada penjumlahan vector berlaku hukum a + b = b + a Pada vector berlaku sifat ASOSIATIF (a + b) + c = a + (b + c). Pengurangan Vektor secara geomatris Pengurangan vector dapat dilakuakan dengan menjumlahkan vector dengan lawan vector. C. Perkalian Vektor. Perkalian sebuah konstanta dengan sebuah vektor 4

44 Jika k positif maka arahna sama dengan arah vector a Jika k negatif maka arahna berlawanan dengan vector a. Perkalian dua buah vector dengan hasil berupa skalar Operasi di atas disebut juga dot product Keterangan: a = vector a b = vector b θ = sudut ang dibentuk antara vector a dan vector b 3. Perkalian dua buah vector dengan hasil berupa vector lain Keterangan: a = vector a b = vector b θ = sudut ang dibentuk antara vector a dan vector b 5

45 Sifat - Sifat Operasi Hitung dalam Vektor + = + ( + ) + = + ( + ) + 0 = 0 + = + (- ) = 0 k( ) = (kl) k( + ) = ± (k ± l) = ± Contoh :. Diketahui vektor = (-,, 3), = (-, 0, ) dan = (3, -, -). Hitunglah : a. + b Jawab : a. + = + = + = Jadi + = (-4, 4, 5) b = = - + 6

46 = Jadi = (3,, 3). Buktikan bahwa vektor = (-3, 0, 6) sejajar dengan vektor = (, 0, -). Jawab : Agar dapat membuktikan bahwa vektor = (-3, 0, 6) sejajar dengan vektor = (, 0, -), maka harus mencari k(bilangan real) sehingga = k = k - k = 0 (-3, 0, 6) - k(, 0, -) = (0, 0, 0) (-3, 0, 6) - (k, 0, k) = (0, 0, 0) (-3 - k, 0, 6 + k) = (0, 0, 0) Diperoleh k = 3 sehingga vektor = 3 Jadi, vektor = (-3, 0, 6) sejajar dengan vektor = (, 0, -) 7

47 D. Vektor Khusus. Vektor Nol (0) adalah suatu vector dimana titik awal dan titik ujungna berimpit. 0 Elemen-elemen vector semuana nol. o 0 0. Vektor Satuan adalah vector ang panjangna saja satuan vector. Vektor satuan dari a vector a adalah: e a 3. Vektor posisi adalah vector ang titik pangkalna adalah O. Pentingna untuk diingat, bahwa setiap vector dapat diganti dengan vector posisi, dengan menggunakan prinsip kesamaan dua vector. Jika A(a,a0 suatu titik, maka titik tersebut juga bisa dituliskan sebagai vector posisi, sebagai OA a Jika A=(a,a,a 3 ) dan B=(b,b,b 3 ) adalah: 4. Panjang Vektor b AB OB OA b b a a a 3 Jika a = Jika a a a a a a a a a 3 maka panjang dari vector adalah; maka panjang dari vector a adalah: a = a a a 3 Jika a dan b dua buah vektor maka: ab a b a b 8

48 Latihan Soal dan Pembahasan:. Jika vector 5 4 a, b 4, c 3 Maka vector ab3 c...? Jawab ab3c ( 3) Tunjukkan bahwa bidang dan bidang berpotongan membentuk garis dan tentukan persamaan garis tersebut! Jawab: Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Yordan, SPL: Diselesaikan dan menghasilkan penelesaian: 9

49 Dapat pula ditulis sebagai berikut: Persamaan garis tersebut melalui titik A(-/, 3/, 0) dan mempunai vektor arah 3. Diketahui vektor a = i 6j 3k dan b = 4i + j 4k. Panjang proeksi vektor a pada b adalah.. Jawab : Panjang masing masing vektor, jika nanti diperlukan datana: Proeksi vektor a pada vektor b, namakan c: 0

50 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. Gazali,wikaria.005.MATRIKS DAN Transformasi Linear. Yogakarta. Graha Ilmu 3. file.upi.edu/direktori/fpmipa/prodi.../bab VEKTOR.pdf 4. diakses pada tanggal 09 maret diakses pada tanggal 09 maret diakses pada tanggal 09 maret diakses pada tanggal 09 maret diakses pada tanggal 09 maret 06

51 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Perkalian Titik atau Dot Product Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 05 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui perkalian titik atau dot product. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam memahami operasi perkalian titik dua vector, proeksi antar dua vector serta jarak titik pada sebuah garis linear.

52 Perkalian Titik atau Dot Product Pendahuluan Dua operasi pada vektor, penjumlahan dan perkalian skalar, akan menghasilkan vektor. Pada pembahasan ini kita akan mempelajari operasi vektor ketiga, aitu hasil kali titik. Hasil kali ini tidak menghasilkan suatu vektor, tetapi akan menghasilkan suatu skalar. Oleh karena itu, hasil kali titik sering disebut juga sebagai hasil kali skalar (atau hasil kali dalam). A. Definisi Dot Product Dot ( ) Product adalah bentuk perkalian antara vektor ang akan menghasilkan skalar, ang didefinisikan dalam rumus: ab a b cos Keterangan: adalah sudut ang dibentuk oleh kedua vektor dan. Mengapa hasilna skalar? Masing-masing unsur dari,, dan adalah skalar. Jadi, juga skalar. (Lihat juga pembahasan tentang cross product. Mungkin akan memperjelas. ^^) Mengapa Dot Product didefinisikan seperti itu? Justru itulah masalahna. Si pembuat definisi itu memang sangat kreatif. Mulana, untuk mengalikan vektor dan, maka akan ada tiga unsur ang berperan, aitu panjang, panjang, dan sudut ang dibentuk keduana ( ). Definisi untuk dot diambil unsur ang cos. ^^ Apa arti dari hasil perkalian itu? Kalo ngak *diolah* lebih lanjut, hasil dari.. sesungguhna tidak memiliki arti... hana kumpulan angka-angka saja dan angka itu tidak menunjukkan besaran apapun (bagi saa). Oleh, karena itu dot product harus diolah lagi agar dapat diaplikasikan.

53 Definisi : Jika u dan v adalah vektor-vektor di ruang- dan ruang-3 dan adalah sudut diantara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) atau hasil kali dalam Euclidis (Euclidean inner product) u.v didefinisikan oleh u.v = artina panjang vektor u dan didefinisikan sebagai = (jika di ruang-) dan = (jika di ruang-3). Panjang sebuah vektor juga dikenal dengan nama norma. Secara geometris dapat dilukiskan seperti pada gambar dibawah ini. Gambar : vektor pada ruang- Jika kita perhatikan, vektor u ang melalui titik asal tersebut membentuk segitiga sikusiku terhadap sumbu-. Kita bisa memanfaatkan Rumus Pthagoras aitu = u + u = Gambar : vektor pada ruang-3. Dengan memanfaatkan Rumus Phtagoras juga, diperoleh 3

54 = (OR) + (RP) = (RS) + (OS) + (RP) = (OQ) + (OS) + (RP) = u + u + u 3 = Penting untuk diketahui juga bahwa sifat sifat pada perkalian titik vektor dibawah ini : Misalkan u, v dan w adalah vektor di ruang- atau ruang-3 dan k adalah skalar, maka. v.v = akni = (v.v) / Bukti : Karena vektor v berimpit dengan vektor v itu sendiri maka adalah sudut diantara v dan v adalah 0 0, diperoleh v.v = cos = cos 0 =. Jika u dan v adalah vektor vektor taknol dan adalah sudut di antara kedua vektor tersebut, maka lancip jika dan hana jika u.v > 0 tumpul jika dan hana jika u.v < 0 = jika dan hana jika u.v = 0 Bukti : 4

55 Perlu diingat bahwa akan lancip jika dan hana jika cos > 0, akan tumpul jika dan hana jika cos < 0 dan akan = (siku-siku) jika dan hana jika cos = 0 Karena > 0 dan > 0 serta berdasarkan Definisi Dot Product bahwa u.v = cos, maka u.v memiliki tanda sama dengan cos. Karena 0, maka sudut lancip jika dan hana jika cos > 0, tumpul jika dan hana jika cos < 0, dan = jika dan hana jika cos = 0 3. u.v = v.u Bukti : u.v = (u, u, u 3 ).(v, v, v 3 ) = (u v + u v + u 3 v 3 ) = (v u + v u + v 3 u 3 ) [komutatif bil.riil] = (v, v, v 3 ).(u, u, u 3 ) = v.u 4. u.(v + w) = u.v + u.w Bukti : u.(v + w) = (u, u, u 3 ).[(v, v, v 3 ) + (w, w, w 3 )] = (u, u, u 3 ).(v + w, v + w, v 3 + w 3 ) = (u [v + w ] + u [v + w ] + u 3 [v 3 + w 3 ]) = ([u v + u w ] + [u v + u w ] + [u 3 v 3 + u 3 w 3 ]) [distributif bil.riil] = ([u v + u v + u 3 v 3 ] + [u w + u w + u 3 w 3 ]) = (u v + u v + u 3 v 3 ) + (u w + u w + u 3 w 3 ) = u.v + u.w 5

56 5. k(u.v) = (ku).v = u.(kv) Bukti : k(u.v) = k[(u, u, u 3 ).(v, v, v 3 )] = k(u v + u v + u 3 v 3 ) = (k[u v ] + k[u v ] + k[u 3 v 3 ]) = ([ku ]v + [ku ]v + [ku 3 ]v 3 ) [asosiatif bil.rill] = (ku).v = (u [kv ] + u [kv ] + u 3 [kv 3 ]) [komutatif bil.riil] = u.(kv) 6. v.v > 0 jika v 0 dan v.v = 0 jika v = 0 Bukti : Karena v 0 berakibat = > 0, sehingga v.v = > 0 Karena v = 0 berakibat = = = 0, sehingga v.v = = 0 6

57 Contoh dan Pembahasan. Diketahui di dimensi 3 ( ), terdapat vektor dan. =. Didapat bahwa, ternata: ( ) =. Tentukan besar sudut ang dibentuk antara dan! Jawab: ( ) = =... =. = = Jadi, =. Jika = 4, berapakah? Jawab: =. (kita tahu bahwa vektor dan itu sudutna 0 0 ) = =6 7

58 Karakteristik Dot Product Di sini kita akan bermain-main dengan vektor satuan. Kita akan melihat vektor di dimensi ruang ( ), jadi akan ada 3 vektor basis di sini aitu,, dan. =, =, dan = Sesuai dengan definisi Dot Product, maka didapat karakteristik sebagai berikut. =.. = (ingat bahwa sudut ang dibentuk adalah 0 0 ) =.. = =.. = Selain itu, nilaina adalah nol. Lihat di bawah. =.. = 0 (karena sudut ang dibentuk adalah 90 0 ) =.. = 0 =.. = 0 =.. = 0 =.. = 0 =.. = 0 Sifat ang dimiliki dot product ini adalah komutatif (dibolak-balik hasilna sama..) Dengan melihat karakteristik itu, maka kita dapat mengalikan Lihat penguraian di bawah. tanpa perlu tahu sudutna. = + + = + + 8

59 = ( + + ) ( + + ) = ==== ==== + + = ( )+ ( )+ ( ) ( )+ ( )+ ( )+ ==== ( )+ ( )+ ( ) = + + Contoh Soal: Jika = dan =, berapa sudut ang dibentuk oleh kedua vektor itu? Jawab: = (-)(4)+()( )+(3)(-) =.. -6 =.. -6 = 5,5403 (menggunakan kalkulator) = - 0,386 =,7 0 (menggunakan kalkulator) Ternata dot vektor dapat digunakan untuk menghitung sudut dengan rumus: = 9

60 Proeksi Vektor Di contoh soal di atas, dot product dapat digunakan untuk mencari sudut apit. Namun, sesungguhna dot vektor dapat digunakan untuk kemampuan ang lebih, aitu mencari vektor proeksi. Lihat penjelasan di bawah. Misalkan diberikan vektor dan. adalah proeksi vektor ke, maka dapat digambarkan sebagai berikut. (Sebenarna, pangkal vektor dan tidak harus berhimpit, namun, dianggap demikian supaa lebih mudah dipahami). Pertama, tama kita akan mencoba mencari panjang vektor. Sesuai dengan aturan trigonometri: =... (i) Sesuai dengan operasi dot vektor: =... (ii) Gabungkan kedua persamaan di atas, maka akan kita dapatkan rumus untuk = = Karena dan berhimpit, maka dapat kita simpulkan bahwa vektor satuan dari sama dengan vektor satuan dari. = Ingat rumus untuk vektor satuan sebelumna, maka persamaan di atas menjadi: = 0

61 = = = Karena dan berhimpit, maka dapat kita simpulkan bahwa vektor satuan dari sama dengan vektor satuan dari. = Ingat rumus untuk vektor satuan sebelumna, maka persamaan di atas menjadi: = = Substitusikan nilai, maka didapat: = (vektor proeksi dari ke ) Untuk mencari vektor proeksi dari ke, maka kita tinggal ganti simbol: = (vektor proeksi dari ke )

62 Contoh Soal: Diketahui vektor dan bukan (vektor ang panjangna 0) memenuhi kondisi berikut. = =. Sudut ang dibentuk dan adalah. Tentukan! Jawab: Ini adalah soal vektor ang trick. Mungkin pada awalna kita kesulitan karena bingung memulai dari mana. Tapi, kita bisa memulai dari apa ang ditanakan. selalu berhubungan dengan, maka inilah hal ang pertama kali kita lakukan. = Substitusi nilai = : =. =... (i) Lalu, kita tinggal menentukan untuk mengolah. Supaa lebih mudah, maka sebaikna kita kalikan vektor dengan dirina sendiri. = + 6 ( ) + 9 ( ) = + 6 ( ) + 9 Karena = (diketahui di soal), maka persamaan tersebut menjadi: 6 ( ) = 9 = + 6 ( ) + 9 =... (ii) Substitusikan persamaan (ii) ke (i), maka: = =

63 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. Gazali,wikaria.005.MATRIKS DAN Transformasi Linear. Yogakarta. Graha Ilmu 3. diakses pada tanggal 09 Maret diakses pada tanggal 09 Maret diakses pada tanggal 09 Maret 06 3

64 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Perkalian Kali atau Cross Product Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 06 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui perkalian kali atau cross product. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam memahami operasi perkalian kali dua vector, serta luas segitiga menggunakan perkalian kali.

65 Perkalian Kali atau Cross Product Pendahuluan Kita tahu bahwa dot vektor sangat berperan dalam perhitungan sudut dan vektor proeksi. Keistimewaan dot terletak pada ang membuat perkalian vektor bersudut 90 0 akan bernilai nol, sehingga mempermudah perhitungan. Lalu, bagaimana dengan cross Product? A. Definisi Cross ( ) Product adalah bentuk perkalian antara vektor ang akan menghasilkan vektor ang tegak lurus dengan kedua vektor itu di dalam dimensi 3, ang didefinisikan dalam rumus: =... di sini adalah vektor satuan ang tegak lurus dengan vektor dan tegak lurus dengan vektor. Hasil dari cross product adalah vektor ang tegak lurus dengan vektor dan vektor. Kenapa bisa begitu? Ini karena pengaruh perkalian vektor-vektor satuan lebih jelasna, bisa dilihat di bagian karakteristik cross product. dan. Untuk Sementara, jika kita ingin meng-skalar-kan cross product, maka unsur hilangkan, maka rumusna menjadi: dapat kita =.. Di sini, kita tahu bahwa.. adalah rumus Luas jajargenjang. Wah, ternata kita bisa mencari luas jajargenjang dari sudut pandang vektor! ^^

66 Perkalian silanga A B pada vektor didefinisikan sebagai suatu vektor ang arahna tegak lurus pada bidang dimana vektor A dan B berada dan mengikuti aturan tangan kanan, sementara besarna vektor tersebut sama dengan hasil kali dari besar kedua vektor dengan sinus sudut apit antara kedua vektor tersebut. Secara matematis dirumuskan A B = A sin θ Berikut adalah hal-hal penting dalam perkalian silang dua buah vektor a. Nilia 0º Pada perkalian titik dua vektor berlaku sifat distributif sebagaimana dijelaskan di atas. b. Perkalian silang bersifat anti komutatif A B = -B A c. Jika kedua vektor A dan B saling tegak lurus aitu sudut apit teta = 90º maka A B = AB d. Jika kedua vektor A dan B segaris (teta = 0º) dapat searah atau berlawanan maka A B = 0 Besar Vektor Hasil Perkalian Silang Sesuai rumus di atas, kita dapat menimpulkan besarna hasil perkalian silang vektor A dan B (A B) adalah hasil kali vektor A dengan komponen vektor B ang tegak lurus dan sebidang dengan vektor A. A B = A (B sin θ) = AB sin θ 3

67 Bagaimana kalau kita balik menjadi perkalian silang vektor B dengan vektor A? Kita buat ilustrasina terlebih dahulu seperti gambar di bawah ini Dari gambar di atas perkalian silang antara vektor B dan vektor A adalah hasil kali besar vektor B dengan komponen vektor A ang tegak lurus dan sebidang dengan vektor B. B A = B (A sin θ) = BA sin θ Arah Vektor Hasil Perkalian Silang Sekarang bagaimana menetukan arah dari hasil perkalian silang vektor A B dan B A? Arah Hasil Perkalian Silang A B Seperti disebutkan sebelumna perkalian silang hasilna adalah vektor bukan skalar. Jadi ia juga puna arah. Besarna hasil perkalian sudah kita temukan rumusna di atas, sekarang kita akan belajar bagaimana menentukan arahna. Kita gambar dulu kedua vektor A dan B (vektor A dan B ada bidang datar ang sama) Kita misalkan hasil perkalian silang A B adalah vektor C. Arah vektor C nih tegak lurus dengan bidang vektor A dan B. Untuk menentukan arahna kita bisa menggunakan kaidah tangan kanan. Kita menggunakan tangan dengan empat jari digenggamkan dan ibu jari ang diacungkan. Kita genggamkan jari searah dengan arah dari A ke B (karena perkalian silang A B) sehingga arahna akan berlawanan dengan arah jarum jam. Kita tegakkan ibu jari dan arah ang ditunjukkan oleh ibu jari tersebut adalah arah vektor C. Ibu jari menunjuk ke atas. 4

68 Arah Hasil Perkalian Silang B A Carana seperti sebelumna karena B A maka arah genggaman jari (selain ibu jari) sesuai arah B ke A. Arahna adalah searah dengan arah jarum jam. Maka ibu jari menunjuk kebawah. Simak ilustrasi berikut. Perkalian Silang dengan Vektor Satuan Kita dapat menghitung perkalian silang jika kita mengetahui komponen vektor ang diketahui. Cara dan urutanna mirip pada perkalian titik. Pertama Kita lakukan perkalian silang vektor satuan i, j, dan k. (ingar perkalian silang A B = AB sin θ). Karena ketiga vektor satuan saling tegak lurus maka i i = ii sin 0º = 0 j j = jj sin 0º = 0 k k = kk sin 0º = 0 maka i i = j j = k k = 0 5

69 untuk perkalian silang vektor satuan ang berbeda menggunakan atura siklus berikut Aturanna jika perkalian menurut urutan i -> j -> k maka hasilna positif (sesuai siklus) jika perkalian berkebalikan k-> j -> i maka hasilna adalah negatif (berlawanan siklus) Kedua Kita natakan vektor A dan B dalam komponen-komponenna, menguraikan perkalianna dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuanna. A B = (A ı + A ȷ + A z k ) (B ı + B ȷ + B z k ) A B = A ı B ı + A ı B ȷ + A ı B z k +A ȷ B ı + A ȷ B ȷ + A ȷ B z k +A z k B ı + A z k B ȷ + A z k B z k A B = A B k A B z ȷ A B k + A B z ı + A z B ȷ A z B ı A B = (A B z A z B ) ı + (A z B A B z ) ȷ + (A B A B ) k 6

70 Karakteristik Cross Product Di dimensi 3 terdapat 3 vektor basis sebagai berikut. =, =, dan = Vektor ang tegak lurus ada arah (berlawanan). Supaa konsisten, maka kita tentukan arahna dengan aturan tangan kanan. Ini dilakukan supaa hasilna **konsisten** dan **universal**. Jadi, ini semacam aturan umum saja. (Sebenarna jika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil ang tegak lurus juga, namun hasilna negatif. Sebenarna, ini boleh saja dilakukan). Sesuai dengan definisi di atas, maka didapat karakteristik sebagai berikut. = (karena sudutna 0 0 ) = = = = = = ---- = = Terlihat bahwa perkalian cross product tidak bersifat komutatif.. Sekarang kita coba mengoperasikan = + + = + + 7

71 =( + + ) ( + + ) = ( )+ ( )+ ( )+ ===== ( )+ ( )+ ( ) + ===== ( )+ ( )+ ( ) = ( )+ ===== ( ) =====. + ( )+ = ( ) ( )+ ( ) (Supaa dapat lebih mudah dibaca *dan dihapal*, kita gunakan konsep determinan) = (gunakan cara Sarrus untuk mencari determinan ordo 33) Maka, akan didapat vektor ang tegak lurus dan. Contoh Soal 5: Di, terdapat vektor dan. = dan =. Tentukan dan. Jawab: = = = 8

72 (Determinan 33 di atas dapat diselesaikan dengan cara Sarrus biasa..) = = = dapat kita lihat bahwa: = -( ). Contoh Soal 6: Dari contoh soal 5, berikan 5 contoh vektor ang tegak lurus dengan vektor dan vektor! Jawab: Kita sudah menemukan vektor ang tegak lurus, aitu:, dan. Berikutna, kita tinggal menemukan vektor-vektor ang sejajar dengan vektor itu. Jadi, kita hana mengalikan konstanta sesuka apapun ang kita mau. Misalna: Kalikan dengan, maka hasilna: ==> ini contoh g ke-3 Kalikan dengan 3, maka hasilna: ==> ini contoh ke-4 Kalikan dengan, maka hasilna ==> ini contoh ke-5 Tentuna, akan ada banak jawab. Intina, cukup mengalikan apapun. dengan konstanta Contoh Soal 7: Tentukan persamaan bidang ang melalui titik (0,,) dan terdapat vektor dan di bidang itu! Jawab: 9

73 Pertama, tentukan dulu (kita sudah mendapatkanna di soal nomor 5) Nah, itulah ang disebut dengan vektor normal. Vektor normal adalah karakteristik ang dimiliki oleh bidang. (kalau karakteristik gradien dimiliki oleh garis). Nah, kita tinggal mengikuti rumus persamaan bidang berikut: pers. bidang: Kita sudah mendapat salah contoh vektor normal di contoh nomor 6, aitu. Substitusikan nilai 3 di n, 6 di n, dan -5 di n3. Maka, persamaan bidangna menjadi: Bidang itu melalui titik (0,,). Oleh karena itu, substitusikan nilai 0 di, di dan di 3. Maka persamaanna menjadi: pers. bidang: Contoh soal 8: Tentukan persamaan bidang ang melalui titik A(0,,-3), B (,4,-), dan C(-,3,5)! Jawab: 0

74 Tentukan vektor ang terletak pada bidang. Di sini, kita mencari vektor dan. (Boleh mencari ang lain). = = = = Sekarang kita cari vektor ang tegak lurus dengan kedua vektor ini. Carana? Ya, menggunakan cross product!! = = = Sekarang tinggal memasukkan nilai-nilai itu ke persamaan bidang: Masukkan n=0, n=-0, n3 = 0 Bagi persamaan dengan 0, supaa lebih sederhana. Masukkan titik ang terletak pada bidang. Terserah kalian ingin memasukkan titik A, atau B, ataupun C, karena semua titik akan menghasilkan hasil ang sama. Di sini, kita masukkan titik A (0,,-3). Berarti =0.=. 3=-3. pers bidang: Sifat sifat Khusus Cross Product Kita sudah tahu bahwa cross dan dot product memiliki sifat distributif. Lalu, bagaimana jika sudutna 0. Tentu kita sudah tahu. Di sini, dibahas sifat-sifat ang tidak diberikan secara eksplisit (dan juga jarang terpakai):

75 . =====> Untuk Membutikanna, cukup jabarkan ruas kiri. Lalu ubah menjadi =====>..

76 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. Gazali,wikaria.005.MATRIKS DAN Transformasi Linear. Yogakarta. Graha Ilmu

77 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Garis dan Bidang di Ruang Dimensi 3 Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 07 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui garis dan bidang di ruang dimensi 3. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam memahami kedudukan garis dan bidang serta jarak suatu titik kesatuan bidang dalam ruang dimensi.

78 Garis Dan Bidang di Ruang Dimensi 3 Pendahuluan Materi dimensi tiga berkaitan dengan mempelajari bangun-bangun ruang, ang secara garis besar meliputi penentuan jarak, menentukan panjang proeksi dan menentukan besar sudut. Sebagai trigger sebelum memulai pembelajaran tentang Geometri dimensi tiga bisa saja dikemukakan persoalan-persoalan ang berkaitan dengan geometri semisal:. Bagaimana menentukan jarak antara dua bagian gedung ang satu dengan lainna agar dapat ditentukan misalna kebutuhan kabel untuk keperluan tertentu?. Bagaimana menentukan jarak antara kabel jaringan arus kuat ang melintasi bangunan-bangunan agar medan listrik tidak mengganggu penghunina maupun alat-alat elektronik di dalamna? 3. Bagaimana pula seorang dokter bedah dapat menentukan letak dan jarak antara tumor di dalam batok kepala di luar selaput otak di belakang lintasan saraf-saraf agar arah pembedahanna tepat? Untuk menjawab pertanaan-pertanaan di atas perlu dipahami pengertian dan cara menentukan jarak antara dua benda. Jika membicarkan jarak sering kita dihadapkan pada dua benda. Untuk itulah pembahasan jarak dalam ruang dilakukan idealisasi dan penederhanaan agar sifat-sifat umumna mudah dipahami. Untuk mengembalikanna pada konteks permasalahana, maka cara menentuukan jarak itu mungkin memerlukan pemahaman atau strategi tambahan. A. Kedudukan Titik, Garis, Dan Bidang Dalam Ruang. Pengertian Titik, Garis Dan Bidang Tiga unsur dasar dalam geometri, aitu titik, garis, dan bidang. Ketiga unsur tersebut, dapat juga disebut sebagai tiga unsur ang tak didefinisikan. a. Titik Menurut Stanle R. Clemens et al., (984: 0-), Point : location, no lenght, width or height. A point as a part of a a phsical object. A point as the smallest dot ou can draw. A point is an idea, or abstraction. Since a point cannot be defined using simpler terms, it is anundefined term.

79 Sebuah titik hana dapat ditentukan oleh lokasi/letakna, tidak mempunai ukuran (panjang, lebar, dan tinggi). Sebuah titik merupakan titik terkecil ang bisa digambar. Titik merupakan sebuah ide atau abstraksi. Karena titik tidak dapat didefinisikan dengan istilah sederhana, maka sebuah titik digambarkan menggunakan noktah dan ditulis menggunakan huruf kapital seperti P, Q, M, N, atau O. Titik merupakan komponen bangun ruang ang tidak berbentuk dan tidak mempunai ukuran. Suatu titik digambarkan atau dimodelkan sebagai noktah dan penamaanna menggunakan huruf besar. Contoh : Titik A A Titik M M b. Garis Menurut Stanle R. Clemens et al., (984: 0-), Line : unlimited length, straight, no thickness, no endpoints. A line as part of a phsical situation. A line as the thinnest streak ou can draw. A line is an idea or abstraction. Since a line cannot be defined using simpler term it is an undefined term. Sebuah garis mempunai panjang tak terbatas, lurus, tidak tebal, tidak ada titik akhir. Namun mengingat terbatasna bidang tempat gambar, sebuah garis hana dilukiskan sebagian saja/sangat tipis. Bagian ini disebut wakil garis. Garis hana mempunai ukuran panjang tetapi tidak mempunai ukuran lebar. Garis merupakan sebuah gagasan atau abstraksi. Karena titik tidak dapat didefinisikan dengan istilah sederhana, maka nama sebuah garis dapat dinatakan dengan menebutkan wakil dari garis tersebut menggunakan huruf kecil: l, g, k atau menebutkan nama segmen garis dari titik pangkal ke titik ujung. Garis merupakan komponen bangun ruang ang hana mempunai ukuran panjang. Garis dapat dipandang sebagai himpunan titik-titik. Selain itu untuk memberi nama sebuah garis, dapat memanfaatkan dua buah titik pada garis tersebut, atau dengan sebuah huruf kecil. Cara menuliskanna: CA, BA, BC, AC, AB atau g. Misalna seperti gambar berikut: 3

80 Pada gambar di atas garis g dapat dinatakan sebagai garis CA, atau BA, BCACAB,, karena garis g melalui titik A, titik B, dan titik C. Lambang AB artina garis ang melalui titik A dan titik B, atau garis ang memuat titik A dan titik B. Lambang AC, artina garis ang melalui titik A dan titik C, atau garis ang memuat titik A dan titik C. Lambang BC, artina garis ang melalui titik B dan titik C, atau garis ang memuat titik B dan titik C. Lambang AB dan lambang BA, maknana sama, aitu garis ang melalui titik A dan titik B, atau garis ang memuat titik A dan titik B. c. Bidang Menurut Stanle R. Clemens et al., (984: 0-), Plane : no boundar, continues in all directions, flat, not thickness. A plane as a part of a phsical object. A plane as the thinnest slice ou can cut. Sebuah bidang dapat diperluas seluas-luasna/tidak ada batas, terus kesegala arah, datar, tidak tebal. Pada umumna sebuah bidang hana dilukiskan sebagian saja ang disebut sebagai wakil bidang. Wakil suatu bidang mempunai ukuran panjang dan lebar. Gambar dari wakil bidang dapat berbentuk persegi atau bujur sangkar, persegi panjang, atau jajargenjang. Nama dari wakil bidang dituliskan di sudut bidang dengan memakai huruf α, β, γ atau H, U, V, W atau dengan menebutkan titik-titik sudut dari wakil bidang itu. Sebuah bidang difikirkan sebagai suatu himpunan titik berderet dan berjajar secara rapat dan tak terbatas, tetapi tidak memiliki ketebalan. Sebuah bidang direpresentasikan dengan gambar sebuah jajargenjang, dan nama sebuah bidang dapat menggunakan sebuah huruf capital atau huruf Yunani. Bidang merupakan komponen bangun ruang ang mempunai luas. Bidang dapat dipandang sebagai himpunan titik-titik. Yang disebut bidang di sini adalah bidang datar, aitu bangun ang dapat digambarkan sebagai suatu ang datar dan mempunai luas tidak terbatas. Bidang digambarkan dengan model terbatas ang 4

81 mewakilina. Bidang tersebut dinamakan bidang α atau bidang ABC. Harus diingat, penamaan bidang dengan titik-titik ang dilaluina minimal menggunakan tiga titik. Pada gambar di atas bidang α memuat titik-titik A, B, C, D, E, F, G, (dikatakan ketujuh titik tersebut terletak pada bidang-α); BE dan GC keduana pada bidang- α dan berpotongan di F. HD memotong (menembus) bidang- α di titik D. Dari Gambar tersebut, dapat dituliskan antara lain: A α artina titik A pada bidang - α ; F BE, artina titik F pada BE ; BE α artina BE pada bidang- α; F = BE GC, artina titik F adalah titik potong BE dan GC ; D =α HD, artina titik D adalah titik potong (titik tembus) HD pada bidang α α = bidang ( BE dan GC ), artina bidang α adalah bidang ang memuat BE dan GC, dan sebagaina. B. Kedudukan Garis terhadap Garis lain 5

82 a. Dua garis sejajar adalah apabila keduana tdk mp titik perse- kutuan walaupun diperpanjang contoh : - AB sejajar dg CD - AB sejajar dg EF - AB sejajar dg GH - AD sejajar dg EH b. Dua garis berpotongan adalah apabila grs tsb hana memiliki satu titik persekutuan ( ttk potong ) AB berpot dg AE ( di titik A ) AB berpot dg BF ( di titik B ) BC berpot dg CH ( di titik C ) DE berpot dg DC ( di titik D ) c. Dua garis bersilangan Adalah grs ang tidak sejajar, & tdk terletak pada satu bidang. Contoh : AC bersilangan dg BF, DH, EF, FG, GH, EH. BF bersilangan dg AD, EH, CD, GH C. Kedudukan Garis terhadap Bidang a. Garis terletak pada bidang - AB terletak pd bdg ABCD - BC, AC, BD, AD terletak pd bdg ABCD - BF, BG, BC, FC terletak pd bdg BCFG b. Garis menembus bidang Adl bila grs & bdg itu hana mempunai satu titik tembus ( titik persekutuan ) - AE menembus bdg ABCD di titik A - BF, CG, DH, AG menembus bdg ABCD c. Garis g sejajar dg bidang W Adl bila garis g sejajar dengan garis ang terletak pada bidang W. - AB sejajar dengan CDHG - EF, FG, GH, EH, EG, HF sejajar dengan bidang ABCD 6

83 D. Jarak Pada Bangun Ruang a. Jarak Titik ke Titik Menentukan jarak titik A ke titik B dalam suatu ruang dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan ruas garis AB. Panjang ruas garis AB adalah jarak titik A ke titik B. b. Jarak Titik ke Garis Jarak titik ke suatu garis ada jika titik tersebut terletak di luar garis. Langkah-langkah menentukan jarak titik A ke garis g (titik A tidak terletak pada garis g) adalah sebagai berikut: - Buatlah bidang α ang melalui titik A dan garis - Buatlah garis AP ang tegak lurus dengan garis g pada bidang α - Panjang ruas garis AP = jarak titik A ke garis g. c. Jarak Titik ke Bidang Jarak titik ke suatu bidang ada jika titik tersebut terletak di luar bidang. Langkah-langkah menentukan jarak titik A ke bidang α (titik A tidak terletak pada bidang α) adalah sebagai berikut. a. Buatlah garis g melalui titik A dan tegak lurus bidang α b. Garis g menembus bidang α di titik D c. Panjang ruas garis AD = jarak titik A ke bidang α. 7

84 d. Jarak dua garis sejajar Jarak antara dua garis sejajar (misal garis g dan garis h) dapat digambarkan sebagai berikut. - Buatlah bidang α ang melalui garis g dan garis h (Teorema 4) - Buatlah garis l ang memotong tegak lurus terhadap garis g dan garis h, missal titik potongna berturut-turut di titik A dan B - Panjang ruas garis AB = jarak antara garis g dan garis h ang sejajar. e. Jarak garis dan bidang ang sejajar Jarak antara garis dan bidang ang saling sejajar adalah panjang ruas garis ang masingmasing tegak lurus terhadap garis dan bidang tersebut. Jarak antara garis g dan bidang V ang sejajar dapat digambarkan sebagai berikut: 8

85 . Buatlah titik O pada garis g.. Buatlah garis l ang melalui titik O dan tegak lurus bidang V. 3. Garis l memotong atau menembus bidang V di titik P. 4. Panjang ruas garis OP = Jarak antara garis g dan bidang V ang sejajar. f. Jarak dua bidang sejajar Jarak antara bidang U dan bidang V ang sejajar dapat digambarkan sebagai berikut.. Buatlah titik A pada bidang V.. Buatlah garis k ang melalui titik A dan tegak lurus bidang V. 3. Garis k menembus bidang V di titik B. 4. Panjang ruas garis AB= Jarak antara bidang U dan bidang V ang sejajar. g. Jarak dua garis bersilangan Jarak antara dua garis ang bersilangan (misal garis a dan garis b) dapat digambarkan sebagai berikut Cara I. Buatlah garis a, garis ang sejajar a dan memotong garis b.. Melalui garis a dan garis b dapat dibuat sebuah bidang, aitu bidang α. 3. Menentukan titik A ang terletak pada garis a. 4. Buatlah ruas garis AB ang tegaklurus dengan garis a dan bidang α, titik B terletak pada bidang α. 5. Panjang ruas garis AB merupakan jarak garis a ke bidang α. 6. Buatlah ruas garis A B ang sejajar ruas garis AB, titik A terletak pada garis a dan titik B terletak pada bidang α. 7. Panjang ruas garis A B merupakan jarak garis a ke garis b. 9

86 . Cara ;. Buatlah garis b, garis ang sejajar b dan memotong garis a, sehingga melalui garis b dan garis a dapat ditentukan satu bidang, aitu bidang α.. Buatlah garis a, garis ang sejajar a dan memotong garis b, sehingga melalui garis a dan garis b dapat ditentukan satu bidang, aitu bidang β. 3. Garis a sejajar garis a, garis b sejajar garis b, sehingga bidang α sejajar dengan bidang β. 4. Buatlah ruas garis PQ ang tegaklurus terhadap bidang α dan bidang β, titik P terletak pada bidang α, sedangkan titik Q terletak pada bidang β. 5. Panjang ruas garis PQ merupakan jarak bidang α ke bidang β. 6. Buatlah ruas garis P Q ang sejajar ruas garis PQ, titik P terletak pada garis a dan titik Q terletak pada garis b. 7. Panjang ruas garis P Q merupakan jarak garis a ke garis b. 0

87 Latihan dan pembahasan Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 0 cm. Hitunglah jarak antara : a. Titik A ke H b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang) c. Titik A ke garis CE d. Titik A ke bidang BCGF e. Titik A ke bidang BDHF f. Titik A ke bidang BDE g. Garis AE ke garis CG h. Garis AE ke garis CG i. Bidang ABCD ke EFGH jawab

88 a. Jarak titik A ke H = AH AH = AD DH AD DH b. Jarak titik A ke P = AP = ½ AG = 0 3 cm c.jarak A ke CE = AK Pada segitiga siku-siku CAE L CAE = ½.AC.AE = ½.CE.AK AK 0 0 AK AK 3 0 AK 6 3 d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 0 cm e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD) AR = ½ AC = ½ 0 = 5 cm g. Jarak titik A ke bidang BDE

89 Perhatikan persegi panjang ACGE sbb : Garis AG berpotongan tegak lurus dengan Garis ER dititik T, sehingga jarak A ke Bidang BDE adalah AT. AR AE AT AT AT cm h. Jarak AE ke CG = AC = 0 3 i. Jarak ABCD dan EFGH = AC = 0 cm 3

90 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. Gazali,wikaria.005.MATRIKS DAN Transformasi Linear. Yogakarta. Graha Ilmu 3. Kelas X diakses pada tanggal 09 Maret 06 4

91 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Ruang Vektor Umum Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 09 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui ruang vector umum. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam memahami arti kebebasan linear, ruang baris dan kolom dari matriks rank.

92 Ruang Vektor Umum. Ruang Vektor Umum Definisi Misalkan V sebarang himpunan benda ang dua operasina kita definisikan aitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan tersebut kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, ang mengandung elemen u + v, ang kita namakan jumlah u dan v, dengan perkalian skalar kita artikan setiap benda u pada V ang mengandung elemen ku, ang dinamakan perkalian skalar u oleh k. Jika semua aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor dan benda benda pada V kita namakan vektor : Aksioma - aksioma tersebut adalah sebagai berikut : (). Jika u dan v adalah benda benda pada V kita namakan vektor (). u + v = v + u (3). u + (v + w) = (u + v) + w (4). Ada vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V (5). Untuk setiap u di V, terdapat u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0 (6). Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di V, maka ku berada di V (7). k(u + v )= ku + kv (8). (k + l)u = ku + lu (9). k(lu) = l(ku) (0). u = u Skalar dapat berupa bilangan real atau bilangan kompleks, tergantung pada aplikasina. Ruang vektor dimana scalar -skalarna adalah bilangan kompleks disebut ruang vektor kompleks ( comple vector space, dan ruang vektor dimana skalar-skalarna merupakan bilangan real disebut ruang vektor real (ruang vektor real). Definisi dari suatu ruang vektor tidak menebutkan sifat dan vektor maupun operasina. Objek apa saja dapat menjadi suatu vektor dan operasi penjumlahan dan perkalian skalar

93 kemungkinan tidak memiliki hubungan atau kemiripan apapun dengan operasi-operasi vektor standar pada Rn, asalkan kesepuluh aksioma ruang vektor terpenuhi. Contoh berikut akan memberikan gambaran mengenai kemungkinan keragaman vektor tersebut. Pada setiap contoh, akan diberikan suatu himpunan V tak kosong dan dua operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Kemudian akan dibuktikan bahwa kesepuluh aksioma ruang vektor terpenuhi, sehingga V dapat disebut sebagai suatu ruang vektor dengan melakukan operasi-operasi ang telah ditentukan. Contoh soal : Ruang vektor matriks 3.M = {semua matriks berordo 3}. Operasi penjumlahan pada M adalah operasi penjumlahan matriks. Operasi perkalianna adalah perkalian skalar dari F dengan anggotaanggota M. Apakah M merupakan ruang vektor? Penelesaian : Misalkan matrik A, matrik B, dan matrik C adalah elemen dari M. Aksioma : Maka aksioma terbukti karena A+B adalah matrik berordo 3. 3

94 Maka aksioma terpenuhi. Maka aksioma 3 terpenuhi. Maka aksioma 4 terpenuhi. Maka aksioma 5 terpenuhi. Maka aksioma 6 terpenuhi. 4

95 Maka aksioma 7 terpenuhi. Maka aksioma 8 terpenuhi. Maka aksioma 9 terpenuhi. Maka aksioma 0 terpenuhi. Karena kesepuluh aksioma terpenuhi maka himpunan M merupakan suatu ruang vektor 5

96 . SubRuang (subspace) Definisi Sub himpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut sub ruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar ang didefinisikan pada V. 3. Vektor ang bebas linear dan Tak Bebas Linear Definisi Himpunan m buah vektor (u, u, u m ) disebut tak bebas linier (linearl dependent) bila terdapat skalar skalar,,, m ang tidak semuana nol sedemikian hingga (u, u, u m ) Sebalikna himpunan (u, u, u m ) disebut bebas linier (linearl independent) jika u + u + + m u m = 0 hana dipenuhi oleh = = = m = 0. Catatan :. Jika m=, maka : a. Bila u = 0 (vektor nol), akan tak bebas linier, karena u = 0 0 = 0 terpenuhi juga untuk 0 b. Bila 0, akan bebas linier karena u=0 hana dipenuhi oleh =0. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalna {u, u,,0, u m ) maka himpunan itu tak bebas linier, u + u + + i 0+ + m u m = 0 dipenuhi juga oleh I 0 3. JIka u dan v adalah vektor ang berkelipatan, u = v, maka mereka tak bebas linier. Sebab u = v u - v = 0, artina terdapat 0 pada v + u = 0 a. Kombinasi Linier Definisi Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor vektor (u, u, u m ) bila terdapat skalar skalar,,, m sedemikian hingga v = u + u + + m u m. Contoh. 6

97 a = [,, ], b = [, 0, 3], c = [3,, 5] Kita hendak menatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c Kita hitung, dan ang memenuhi [,, ] = [, 0, 3] + [3,, 5] = + 3 = = Dengan substitusi, diperoleh = - dan = Jadi penulisan ang diminta adalah a = -b + c a. Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur (). Kalau v kombinasi linier dari suatu vektor u, aitu v = u ang mana v adalah kelipatan dari u dengan garis pembawana sama (atau sejajar), v dan u disebut koliner (segaris). (). v kombinasi linier dari vektor u dan u, aitu v = u + u maka v adalah diagonal jajaran genjang ang sisi sisina u dan u. u dan u disebut koplanar (sebidang). (3) v kombinasi linier dari 3 vektor u, u dan u 3, ang tidak sebidang, aitu v = u + u + 3 u 3 maka v adalah diagonal paralelepipedum ang sisi sisina u, u dan 3 u 3. 7

98 4. Dimensi dan Basis Definisi Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v, v,, v r } merupakan himpunan berhingga dari vektor vektor pada S, maka S disebut basis untuk V jika : i. S bebas linier ii. S merentang V Definisi Dimensi sebuah ruang vektor V ang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banakna vektor pada basis untuk V. Contoh: Tentukan dimensi dari ruang vektor ang dibentuk oleh : (i). p = [, -, 3, ] dan q = [, -4, 5, ] (ii). u = [5, 7,, 4] dan v = [0, 4,, 8] Jawab : (i). Kedua vektor pembentuk tidak berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas linier. Berarti dimensi = (ii). Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun v 0, jadi keduana merupakan sistem pembentuk ang bebas linier. Berarti dimensi = 8

99 Latihan:. Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor ang dibentuk oleh : (i). a = [,, ], b= [,, 5], c = [5, 3, 4] (ii). p = [,, ], q = [, 4, 4], r = [, 0, ] (ii) u = [, 0, ], v = [3, 0, 3], w = [, 0, ]. Apakah himpunan himpunan vektor ini merupakan basis R-3? (i). [,, ], [, -, 3] (ii). [, 0, 0], [,, 0], [,, ] (iii). [,, ], [,, 5], [5, 3, 4] 3. Diketahui L dibentuk oleh p = [, 3, ], q= [,, 0], dan r = [ 4, -, ] Ditana : (i) Nilai supaa L berdimensi (ii) Nilai supaa vektor a = [3, -, 4] L{p,q,r} (iii) Koordinat a di atas relative terhadap basis {p,q} 9

100 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. samsulanam.dosen.narotama.ac.id/files/0/.../modul-aljabar-linear.d...di akses pada tanggal April Purwanto, dkk. 005.Aljabar Linier. Jakarta: PT. ERCONTARA RAJAWALI. 4. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta : Erlangga. 0

101 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Basis Ortonormal dan Koordinat Perubah Basis Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 0 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui basis ortonormal dan koordinat perubah basis. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam memahami pengertian basis ortonormal dan koordinat perubah basis.

102 Basis Ortonormal Di dalam banak soal menangkut ruang vector, maka pemilihan sebuah basis untuk ruang tersebut adalah menurut kehendak orang ang memecahkan soal tersebut. Secara alami, maka siasat ang paling baik adalah memilih basis untuk menederhanakan pemecahan soal ang dihadapi. Di dalam ruang perkalian dalam, seringkali kasusna adalah bahwa pilihan terbaik adalah sebuah basis di dalam mana semua vector orthogonal teradam satu sama lain. Di dalam bagian kita memperlihatkan bagaimana basis seperti itu dibangun. Definisi: Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangaan vektor-vektor ang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. sebuah himpunan ortogonal ang setiap vektorna mempunai norma dinamakan ortonormal.

103 Berikut ini diberikan contoh himpunan orthogonal dan himpunan orthonormal. Contoh : S={u,u,u3} dengan u=[,,], u=[,-,], dan u3=[,0,-]. Himpunan S adalah ortogonal pada R 3, karena [u,u]=[u,u3]=[u,u3]=0 Catatan: Jika S = {u, u,,u n } adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika sembarang vektor di V, maka : = [,u ]u + [,u ]u + + [,u n ]u n Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u,u,,u n } himpunan ortonormal Jika W ruang ang dibangun oleh u,u,,u n maka setiap vektor dalam V dapat dinatakan dengan : = v + w dimana : v = [v,u ]u + [v,u ]u + + [v,u n ]u n Proses Gram-Schmidt Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunai sebuah basis ortonormal. Misalkan S={u,u,,u n } basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma untuk menentukan ortonormal B={v,v,,v n } untuk V adalah : Langkah. Ambil, v = u / u Langkah. Hitung, v, dengan rumus : Langkah 3. Hitung, v 3, dengan rumus: u [u,v ]v v u [u, v ]v u 3 [u 3,v ]v [u 3,v ]v v3 u [u,v ]v [u,v ]v Langkah 4. Hitung, v k, dengan rumus : v k u k [u k, v ]v [u k, v ]v... [u k, v k]vk u [u,v ]v [u,v ]v... [u,v ]v k k k k k k 3

104 Teorema 3. Jika S=(v, v,,vn)adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam V,dan u adalah sebarang vector dalam V, maka u= <u, v> v+<u, v> v+ +<u, vn> vn bukti. Karena S = (v, v,,vn)adalah basis, maka vector u dapat dinatakan dalam bentuk u= kv +kv +...+knvn dengan memperlihatkan bahwa k = <u, vi>untuk I =,,.,n. untuk setiap vector vi dalam S kita peroleh <u, vi> =< kv +kv +...+knvn, vi> = k <v,vi>,+k <v, vi>+...+kn <vn, vi> Karena S =(v, v,,vn)adalah himpunan ortonormal maka kita peroleh <vi, vi> = = dan <vi, vj>=0 if j Maka persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi <u, vi> = ki Contoh 6 Misalkan mudah untuk memeriksa bahwa S ={ v, v, v3} adalah basis ortonormal untuk R 3 dengan hasil kali dalam euclidis. Natalah vektor u=(,,) sebagai kombinasi linear vektor-vektor S. Pemecahan Sehingga, menurut teorema 3 Yakni, 4

105 Teorema 4. Jika S =(v, v,,vn)adalah himpunan orthogonal vector taknol dalam ruang hasil kali dalam, maka S bebas linear. Bukti. Anggaplah kv +kv +...+knvn=0 untuk mendemostrasikan bahwa S =(v, v,,vn)bebas linear, maka kita harus membuktikan bahwa k= k= = kn=0. Untuk setiap vi dalam S, bahwa <kv +kv +...+knvn, vi > =<0, vi>=0 Dari ortogonalitas S,<vj, vi> = 0 bila j sehingga ki<vj, vi>=0 karena vector-vektor S dianggap taknol, maka,<vj, vi> menurut aksioma kepositifan untuk hasil kali dalam. Maka ki =0. Karena indeks tikalas I sebarang, maka kita peroleh k= k= = kn=0.; jadi S bebas linear. Teorema 5. Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan (v, v,,vr)adalah himpunan ortonormal dari vector-vektor V. jika W menatakan ruang ang direntang oleh (v, v,,vr)maka setiap vector u dalam V dapat diungkapkan dalam bentuk u= w+w dimana w terletak di W dan w ortogonal terhadap W dengan memisalkan w =<u, v> v +<u, v> v + +<u, vr> vr w= u-v> v -<u, v> v - -<u, vr> vr Teorema 6. Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunai sebuah basis ortonormal. 5

106 Teorema 7. (teorema proeksi) jika W adalah subruang ang berdimensi berhingga dari ruang hasil kali dalam V, maka setiap vector u pada V dapat dinatakan persis mempunai satu cara aitu, u= w+w dimana w terletak di W dan w ortogonal terhadap W. Teorema 8. (teorema Aproksimasi terbaik). Jika W adalah subruang ang berdimensi berhingga dari ruang hasil kali dalam V dan jika u adalah vector di V maka adalah aproksimasi terbaik bagi u dari W dengan pengertian bahwa Untuk setiap vector w ang berbeda dari pro u. Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam himpunan vektor tersebut adalah ortogonal aitu jika : v i. v j = 0 ketika i j untuk i, j =,,.., k Basis standar {e, e,.., e n } dalam R n adalah himpunan ortogonal. Contoh : Tunjukkan bahwa {v, v, v 3 } adalah himpunan ortogonal dalam R 3 jika : 0 v, v, v Jawab : Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal v. v = (0) + () + ( )() = 0 6

107 v. v 3 = 0() + ( ) +()() = 0 v. v = () + ( ) +( )()= 0 Kesimpulan : {v, v, v 3 } adalah himpunan ortogonal Teori. Jika {v, v,.., v k } adalah himpunan vektor bukan nol ang ortogonal, maka vektorvektor tersebut adalah bebas linier. Bukti : Jika c, c,., c k adalah skalar sehingga : c v + + c k v k =0 kemudian (c v + + c k v k ). v i = 0. v i = 0 Atau hal ang sama : c (v. v i )+.. +c i (v i. v i )+ + c k (v k. v i ) = 0 Karena {v, v,.., v k } adalah himpunan ortogonal, semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol kecuali (v i. v i ), sehingga persamaan dapat diringkas menjadi : c i (v i. v i ) = 0 Dengan hipotesa : v i 0 sehingga v i. v i 0, oleh karena itu ang harus memiliki nilai = 0 adalah c i. Hal ini juga berlaku untuk semua i =,.. k, sehingga disimpulkan bahwa {v, v,.., v k } adalah bebas linier. Basis Ortogonal Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari R n adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal. Contoh soal : Cari basis ortogonal dari subruang W dari R 3 aitu : W : z 0 z 7 Subruang W adalah bidang ang berada pada R 3, dari persamaan bidang diperoleh : = z. Maka W terdiri dari vektor dengan bentuk : z - z 0 z 0 Jadi vektor u = dan v adalah basis W, namun tidak 0 = - 0

108 ortogonal. Untuk memenuhi sarat ortogonal, diperlukan vektor bukan nol lain dalam W ang ortogonal pada salah satu vektor tersebut. Anggap w adalah vektor dalam W ang ortogonal z dengan u. Karena w dalam bidang W : +z = 0, maka u.w = 0 diperoleh persamaan : + = 0. Dengan menelesaikan SPL : +z = 0 + = 0 Didapatkan : = z dan = z Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk : -z w z z Jika diambil - w dengan mudah dapat dibuktikan bahwa [u,w] adalah himpunan ortogonal dalam W, sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W=. Koordinat; Perubahan Basis KOORDINAT; PERUBAHAN BASIS Terdapat hubungan erat di antara pemahaman basis dengan sistem koordinat. Pada bagian ini kita kembangkan gagasan tersebut dan juga kita bahas hasil-hasil mengenai perubahan basis untuk ruang vektor. Dalam ilmu ukur analitik bidang, kita asosiasikan sepasang koordinat (a,b) dengan titik P pada bidang dengan menggunakan dua sumbu koordinat tegak lurus. Akan tetapi, koordinat tersebut dapat juga kita kenal tanpa acuan terhadap sumbu koordinat dengan menggunakan vektor-vektor. Misalna, sebagai ganti pengenalan sumbu koordinat seperti pada Gambar 4.5a, tinjaulah dua vektor tegak lurus vdan v, masing-masing panjangna, dan mempunai titik awal O ang sama. (vektor-vektor ini membentuk basis untuk R). Dengan 8

109 menarik garis tegak lurus dari titik P terhadap garis-garis ang ditentukan oleh vdan v, maka kita peroleh vektor-vektor av, dan bv sehingga OP av bv Gambar 4.5 (Gambar 4.5b). Jelaslah, bilangan a dan b ang baru kjita peroleh adalah seperti koordinat P ang relatif terhadap sistem koordinat pada Gambar 4.5a. jadi, kita dapat meminjam koordinat P sebagai bilangan ang diperlukan untuk mengungkapkan vektor dalam vektor basis vdan v. Untuk tujuan mengaitkan koordinat-koordinat terhadap titik pada bidang itu, tidak perlu kirana bahwa vektor basis vdan vharus slaing tegak lurus atau mempunai panjang ; sebarang basis untuk Rdapat kita gunakan. Misalna, dengan menggunakan vektor basis v dan vpada Gambar 4.6, kita dapat 9

110 mengaitkan sepasang koordinat unik terhadap titik P dengan memproeksikan P sejajar dengan vektor-vektor basis untuk membuat merupakan diagonal bujursangkar ang ditentukan oleh vektor av, dan bv, jadi OP av bv Kita dapat menjabarkan (a,b) sebagai koordinat P ang relatif terhadap basis {v, v}. Pengertian koordinat ang digeneralisasi ini penting karena pengertian tersebut dapat diperluas untuk ruang vektor ang lebih umum. Tetapi mula-mula kita akan membutuhkan beberapa hasil pendahuluan Gambar 4.6 Misalkan S = { v, v,, vn } adalah basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga V. karena S merentang V, maka setiap vektor di V dapat dinatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor S. disamping itu, sifat bebas linear S memastikan bahwa hana ada satu cara untuk menatakan vaktor sebagai kombinasi linear vektor-vektor S. Untuk melihat mengapa halna demikian, misalkan vektor v dapat kita tulis sebagai 0

111 v = cv+ cv CnVn dan juga v = kv+ kv KnVn Dengan mengurangkan persamaan kedua dari ang pertama maka akan memberikan 0 = (c- k)v+ (c- k)v (cn kn)vn Karena ruas kanan persamaan ini adalah kombinasi linear dari vektor S, maka sifat bebas linear dari S berarti bahwa (c- k) = 0, c= k (c k) = 0, c= k (cn kn) = 0, cn= kn sebagai ikhtisar, maka kita peroleh hasil berikut. Teorema: Jika S = { v, v,, vn } adalah basis untuk ruang vektor V ang berdimensi berhingga, danv = cv+ cv cnvn adalah pernataan untuk v dalam basis S, maka scalar c, c,, cn dinamakan koordinat v relatif terhadap basis S. Vektor koordinat v relatif terhadap S dinatakan oleh (v)s danmerupakan vektor Rnang didefinisikan oleh(v)s= (c, c,, cn) Matriks koordinat v relatif terhadap S ang dinatakan oleh [v]ssedangkan matriks n didefinisikan oleh c c n c Teorema 9. Jika S =(v, v,,vr)adalah basis untuk ruang vector V, maka setiap vector v ang terletak di V dapat dinatakan dalam bentuk v= cv, cv,, cnvn persis mempunai satu cara. Jika S==(v, v,,vn)adalah basis untuk ruang vector V ang berdimensi berhingga dan v= cv, cv,, cnvn

112 adalah pernataan untuk v dalam basis S, maka skalar c, c,, cn dinamakan koordinat relative terhadap basis S. vector koordinat dari v relative terhadap S dinatakan oleh v dan merupakan vector ang didefinisikan oleh (v)s= (c, c,, cn) Matriks koordinat v relative terhadap S ang dinatakan oleh [v], sedangkan matriks didefinisikan oleh Teorema 30. Jika S adalah basis ortonormal untuk ruang hasil kali dalam berdimensi n dan jika (u)s= (u, u,, un) dan (v)s= (v, v,, vn) Maka (a) (b) (c) Teorema 3. Jika P adalah matriks transisi dari basis ke basis B, maka (a) (b) P dapat dibalik adalah matriks transisi dari B ke Teorema 3. Jika P adalah matriks transisi dari satu basis ortonormal ke baris ortonormal ang lain untuk sebuah ruang hasil kali dalam, maka = Definisi. Sebuah matriks A kuadart ang mempunai sifat = Kita katakana matriks orthogonal.

113 Teorema 33. Yang berikutekivalen satu sama lain: (a) A adalah orthogonal (b) Vektor-vektor baris dari A membentuk himpunan ortonormal dengan hasil kali dalam Euclidis (c) Vektor-vektor kolom A membentuk himpunan ortonormal dengan hasil kali dalam Euclidis. Contoh 75 Tinjaulah matriks Pemecahan Vektor-vektor baris A adalah Relatif terhadap hasil kali dalam euclidis, sehingga diperoleh Dan Sehingga vektor-vektor baris A membentuk himpunan ortonormal pada R 3. Jadi A ortogonal dan 3

114 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. Gazali,wikaria.005.MATRIKS DAN Transformasi Linear. Yogakarta. Graha Ilmu Janasari, Riri, Comelta, ati, dkk. 03. Aljabar Linear elementer tentang ruang vector. Universitas mahaputra Nuhammad Yamin. 4

115 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Transformasi Linear dan Sifat Transformasi Linear Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui transformasi linear dan sifat transformasi linear. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam memahami pengertian transformasi linear dan sifat- sifatna serta memahami proses transformasina.

116 Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi ang mengasosiasikan sebuah vektor ang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F memetakan V ke dalam W,dan kita menuliskan F : V W. Lebih lanjut lagi, jika F mengasosiasikan vektor wdengan vektor v, maka kita menuliskan w= F(v) dan kita mengatakan bahwa w adalah baangan dari v di bawah F. Untuk melukiskanna, maka jika v= (,) adalah sebuah vektor di dalamr, maka rumus F(v) = (, +, - ) mendefinisikan sebuah fungsi ang memetakan Rke dalam R3. Khususna, jika v= (,), maka = dan =, sehingga baangan dari v di bawah F adalah F(v) = (,, 0). Definisi. Jika F : V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dinamakan transformasi linear jika : (i) F(u+ v) = F(u) + F(v) untuk semua vektor u dan v di dalam V. (ii) F(ku) = k F(u) untuk semua vektor udi dalam V dan semua skalar k. Untuk melukiskanna, misalkan F : R R3 adalah fungsi ang didefinisikan oleh Jika u= (, ) dan v= (, ), maka u+ v= ( +, + ), sehingga : F(u+ v) = (+, [+ ] + [+ ], [+ ] -[+ ]) = (, +, -) + (, +,-) F(u+ v) = F(u) + F(v) Juga, jika k adalah sebuah skalar, k u= (k, k), sehingga F(k u) = (k, k+k, k-k) = k (, +,-) = k F(u)

117 jadi F adalah sebuah transformasi linear. Jika F : V W adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v dan v di dalam V dan sebarang kdan k, kita memperoleh : F(kv+ kv) = F(kv) + F(kv) = kf(v) + kf(v) Demikian juga, jika v, v,..., vn adalah vektor-vektor di dalam V dan k, k,..., kn adalah skalar, maka : F(kv+ kv knvn) = kf(v) + kf(v) knf(vn) Contoh : Misalkan A adalah sebuah matriks m n ang tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di dalam Rmdan Rn, maka kitadapat mendefinisikan sebuah fungsi T: Rn Rmdengan : T() = A Perhatikan jika bahwa adalah sebuah matriks n, maka hasil kali A adalah matriks m ; jadi T memetakan Rn ke dakam Rm. Lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalna u dan vadalah matriks n dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalaian matriks, maka kita mendapatkan : A (u+ v) = A u+ A vdan A (k u) = k (A u) atau secara ekivalen : T(u+ v) = T(u) + T(v) dan T(k u) = k T(u) Kita akan menamakan transformasi linear di dalam contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks. Contoh Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumna, misalna V = R3 mempunai perkalian dalam Euclidis. Vektor-vektor w= (, 0, 0) dan w= (0,, 0) membentuk sebuah basis 3

118 ortonormal untuk bidang. Jadi, jika v= (,, z) adalah sebarang vektor di dalam R3, maka proeksi ortogonal dari R3 pada bidang diberikan oleh : T(v) = <v, w>w+ <v, w>w = (, 0, 0 ) + (0,, 0) = (,, 0) 4

119 Contoh 3 Misalkan V adalah sebuah ruang perkalian dalam dan misalkan v0adalah sebarang vektor tetap di dalam V. Misalkan T : V R adalah transformasi ang memetakan sebuah vektor v ke dalam perkalian dalamna dengan v0; akni : T(v) = <v, v0> Dari sifat-sifat perkalian dalam, maka : T( u+ v) = <u+ v, v0 >= <u, v0>+ <v, v0>= T(u) + T(v) dan T(k u) = <ku, v0>= k <u, v0>= k T(u) sehingga T adalah transformasi linear. Contoh 4 Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumna, misalkan θ adalah sebuah sudut tetap, dan misalkan T : R R adalah perkalian oleh matriks : Jika v adalah vector maka Secara geometrik, maka T(v) adalah vektor ang dihasilkan jika v dirotasikan melalui sudut θ. Untuk melihat ini, maka misalkan φ adalah sudut di antara v dan sumbu positif, dan mislakan : 5

120 adalah vektor ang dihasilkan bila v dirotasikan melalui sudut θ kita akan memperlihatkan bahwa v = T(v). Jika r menatakan panjangna v, maka : = r cos φ = r sin φ Demikian juga, karena v mempunai panjang ang sama seperti v, maka kita memperoleh : = r cos(θ + φ) = r sin(θ + φ) Transformasi linear di dalam contoh ini dinamakan rotasi dari R melalui sudut Θ Contoh 5 Misalkan V dan W adalah sebarang dua vektor. Pemetaan T : V W sehingga T(v) = 0 untuk tiap-tiap v di dalam V adalah sebuah transformasi linear ang dinamakan transformasi nol. Untuk melihat bahwa T linear, perhatikanlah bahwa : T(u + v) = 0, T(u) = 0, T(v) = 0 dan T(k u) = 0 Maka T(u + v) = T(u) + T(v) dan T(k u) = k T(u) 6

121 Sifat Transformasi Linear Pada bagiaan ini kita mengembangkan beberapa sifat dasar transformasi linear. khususuna, kata memperlihatkan bahwa sekali baangan vektor basis di bawah transformasi linear telah diketahui, maka mungkin mencaari baangan vektor ang selabihna dalam ruang tersebut. Teorema. Jika T:V W adalah transformasi linear, maka : a) T ( 0 ) = 0 b) T ( - V ) = T (v) untuk semua v di V c) T ( v W ) = T (v) T (W) untuk semua v dan w di V Bukti, misalkan v adalah sebarang vektor di V. Karena 0v = 0 maka kita peroleh T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0 Yang membuktikan (a) Juga T(-v) = T[(- )v] = (- ) = T (v) T(v),ang membuktikan (b). T (v w ) =T(v + ( - ) w) =T(v) + ( - ) T(w) =T(v) - T(w) Definisi. jika T:V W adalah transformasi linear, maka himpunan vektor di V ang di petakan T kedalam 0 kita namakan kernel ( ruang nol ) dari T : himpunan tersebut dinatakan oleh ( T ). Himpunan semua vektor di W ang merupakan baangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di V kita namakan jangkauan dari T : himpunan tersebut dinatakan oleh R ( T) Teorema. jika Jika T:V W adalah transformasi linear, maka : a Kernel dari T adalah subruang dari V. b Jangkauan dari T adalah subruang dari W. Bukti 7

122 (a) Untuk memperlihatkan bahwa ker(t ) adalah subruang, maka kita harus memperlihatkan bahwa ker(t ) tersebut tertutup di bawah pertambahan dan perkalian skalar. Misalkan v dan v adalah vektor vektor dalam ker(t ), dan misalkan k adalah sembarang skalar. Maka T (v + v ) =T(v ) + T( v ) =0 + 0 = 0 Sehingga v + v berada dalam ker(t ). juga, T (kv ) =kt(v ) = k0 = 0 Sehingga kv berada dalam ker(t ). (b) Misalkan W + W adalah vektor dalam jangkauan T. untuk membuktikan bagian ini maka harus kita perlihatkan bahwa W + W dan kw berada dalam jangkauan T untuk sebarang skalar k : akni, ;.Kita harus mencari vektor a dan b di V sehingga T(a = W + W dan T(b) = KW Karena T(a ) = W dan W berada dalam jangkauan T. maka ada vektor a dan a dalam V sehingga T(a ) = W dan T(a ) = W. misalkan a = a dan b = ka. maka T(a) = T(a + a ) =T (a ) + T (a ) = w + w Dan T ( b) = T ( ka ) = Kt (a ) = kw Contoh Tinjaulah basis S = {v, v, v3 } untuk R 3, di mana v =(,, ), v =(,,0 ), v3 =(, 0,0) dan misalkan T:R 3 R adalah transformasi linear sehingga T (v ) = (,0 ) T (v ) = (, -) T (v 3 ) = ( 4, 3 ) Carilah rumus untuk {,, 3 ) : kemudian gunakan rumus ini untuk menghitung T (, -3,5 ). Pemecahan. pertama kita natakan = {,, 3 ) sehingga kombinasi linear dari v =(,, ), v =(,,0 ), dan v3 =(, 0,0).jika kita tulis (,, 3 ) = k (,, ) + k (,,0 ) + k 3 (, 0,0) 8

123 Kemudian menamakan komponen komponen ang bersesuaian, kita peroleh K + K + K 3 = X K + K = X K = X 3 Yang menghasilkan k = 3, k = 3, k3 = sehingga (,, 3 ) = 3 (,, ) + ( - 3 )(,,0 ) +( ) (, 0,0) = 3 v + ( 3 )v + ( - )v 3 Jadi T (,, 3 ) = 3 T( v ) + ( - 3 )T ( v) +( ) T (v3) = 3 (,0 ) + ( - 3 ) (, -) +( ) (4,3) = ( 4 3, ) Dari rumus ini kita peroleh T (, -3,5 ) = ( 9, 3) Definisi,. jika Jika T:V W adalah transformasi linear, maka : dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T, dan dimensi kernel dinamakan nulitas ( nullit) T. Contoh Misalkan T : R n R adalah perputaran dari R melalui sudut /4. jelaslah bahwa jangkauan T secara geometris semuana adalah R dan kernel T adalah { 0}. maka, T mempunai rank = dan nulitas = 0. Contoh 3 Misalkan T : R n R adalah perkalian oleh sebuah maktriks A ang berukuran m n. pada contoh 4 kita amati bahwa Jangkauan T adalah ruang kolom dari A Kernel T adalah ruang pemecahan A = 0 Jadi, berikutna bahwa Rank ( T ) dim ( ruang kolom A ) = rank ( A) Nulitas ( T) = dim ( ruang pemecahan A = 0 ) 9

124 Teorema 3. (Teorema Dimensi). Jika T:V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V ang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka (rank dari T) + (nulitas dari T) = n Dengan kata lain, teorema ini menatakan bahwa rank + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainna. Dalam kasus khusus dima V = R n W = R m, dan T : V W merupakan perkalian oleh sebuah matriks A ang berukuran m n, berikutna dari dan Contoh 7 bahwa rank (A) + dim(ruang pemecahan A = 0) = n Jadi, kita punai teorema berikut. Teorema 4. Jika A adalah matriks m n maka dimensi ruang pemecahan dari AX = 0 adalah n rank(a) Jelasna, teorema ini menatakan bahwa dimensi ruang pemecahan A = 0 sama dengan jumlah kolom A kurang rank A. Contoh 4 Misalkan T:V W adalah transformasi nol. Karena T memetakan tiap-tiap vektor ke dalam 0, maka ker (T) = V. Karena 0 adalah satu-satuna baangan ang mungkin di bawah T, maka R(T) terdiri dari vektor nol. Misalkan T:Rn Rm adalah perkalian oleh Kernel dari T terdiri dari semua 0

125 Yang merupakan vektor pemecahan dari sistem homogen Jangkuan dari T terdiri dari vektor-vektor Sehingga sstem

126 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. diakses pada tanggal 5 April diakses pada tanggal 5 April diakses pada tanggal 5 April 06

127 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Transformasi Linear dari R-n ke R-m serta matriks transformasi Linear Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui transformasi linear dari R-n ke R-n serta matriks transformasi linear. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam memahami bentuk transformasi linear dari ruang dimensi n ke ruang dimensi m serta memahami matriks transformasina.

128 Transformasi Linear dari R-n ke R-m Fungsi dalam bentuk w=f() dengan vector di R n disebut variabel independen dan vector w di R m disebut variabel dependen. Kasus khusus fungsi tersebut disebut transformasi linear. Transformasi linear merupakan konsep dasar dalam mempelajari aljbar linear dan memiliki aplikasi dalam keteknikan. Fungsi f; Aturan ang menghubungkan tiap elemen dalam himpunan A ke satu elemen dalam himpunan B. Transformasi f: R n R m ( f memetakan R n ke R m ) Kasus Khusus: f: R n R m disebut operator

129 Transformasi T; R n R m didefinisikan dengan persamaan dalam bentuk Notasi : T(,, n _=(w,w..w m ) Transformasi T; R n R m didefinisikan dengan persamaan dalam bentuk Notasi matriks: W=A T() = A 3

130 Referentasi Geometris dari Transformasi Linear T; R n R m mentransformasikan titik ( vector) ke dalam titik 9 vektor) baru Pemetaan Satu-Satu Transformasi linear T; R n R m disebut pemetaan satu-satu jika T memetakan vector ( titik) ang berbeda-beda di R n pada vector ( titik) ang berbeda-beda di R m. 4

131 Teorema pemetaan satu-satu Transformasi linear T: R n R m merupakan perkalian dengan matriks A (nn). A dapat dibalik. Range transformasi adalah Rn 3. T merupakan pemetaan satu-satu T: R n R m merupakan pemetaan satu-satu dengan matriks A ( nn) dapat dibalik, maka T A- : R n R m merupakan operator linear disebut invers T A Sudut pandang geometris pemetaan satu- satu W adalah image dari menutur transformasi linear T. T A - ( w) = T A - (T A ())= 5

132 sifat linearitas dari transformasi Tranformasi T: R n R m adalah linear jika dan hana jika relasi berikut terpenuhi untuk semua vector u dan v di R n dan scalar k. Jika: T: R n R m adalah transformasi linear dan e,e, e n merupakan vector basis standar untuk Rn, maka matriks standar untuk T adalah Contoh Transformasi linear T: R 4 R 3 didefinisikan dengan persamaan: Dapatkan : a) Notasi matriks transformasi b) Matirks standar transformasi linear c) Image dari titik (,-,0,3) 6

133 Penelesaian: a) Notasi matriks transformasi b) Matirks standar transformasi linear c) Image dari titik (,-,0,3) 7

134 Transformasi Linear. Fungsi merupakan aturan f ang menghubungkan tiap elemen dalam himpunan A (domain dari f) dengan datu dan hana satu elemen dalam himpunan b ( kodomain dari f). Bila domain fungsi f adalah Rn dan kodomain adalah Rm ( m dan n mungkin sama), maka f disebut pemetaan atau transformasi dari R n ke R m. 3. Operator dalam transormasi ang memetakan elemen di R n ke R m. Matriks Transformasi Linear Di dalam bagian ini kita memperlihatkan bahwa v dan W adalah ruang vector berdimensi berhingga (tidak perlu Rn dan Rm), maka dengan sedikit kepintaran, setiap transformasi linear T; V W dapat dipandang sebagai transformasi matriks. Pemikiran dasarna adalah memilih basis untuk V dan W dan bekerja dengan matriks kordinat relative terhadap basis ini dan bukan bekerja dengan vector itu sendiri. Secara spesifik misalkan V berdimensi n dan W berdimensi m. Jika kita memilih basis B dan B untuk V dan W, maka untuk setiap di dalam V, matriks kordinat [] B akan merupakan sebuah vector di dalam Rn dan matriks kordinat [T()] B akan meupakan suatu vector di dalam Rm. Jadi di dalam proses pemetaan ke dalam T(), transformasi linear T menghasilkan sebuah pemetaan dari Rn ke Rm dengan mengirimkan [] B ke dalam [T()] B. Dapat diperlihatkan bahwa pemetaan ang dihasilkan ini selalu merupakan [T()] B. Dapat diperlihatkan bahwa pemetaan ang dihasilkan ini selalu merupakan transformasi linear. Dengan ini maka pemetaan tersebut dapat dilangsungkan dengan menggunakan matriks A standar untuk transsformasi ini; akni [] B = [T()] B. 8

135 Jika, bagaimanapun, kita dapat mencari matriks A, maka seperti ang diperlihatkan di dalam gambar. T () dapat dihitung di dalam tiga langkah menurut prosedur tak langsung berikut:. Hitunglah matriks kordinat [] B. kalikanlah [] B di sebelah kiri dengan A untuk menghasilkan [T()] B. 3. bangunlah kembali T() dari matriks kordinatna [T()] B. Perhitungan langsung T() Kalikan dengan A [] B [T()] B. Ada dua alasan utama mengapa prosedur tak langsung ini penting. Pertama: prosedur tersebut menediakan cara efisien untuk melakukan transformasi linear pada computer digital. Alasan kedua bersifat tearitis, tetapi dengan konsekuensi praktis ang penting. Matriks A bergantung pada basis-basis B dan B. Biasana kita kaan memilih B dan B untuk membuat perhitungan matriks kordinat semudah mungkin. Akan tetapi, sebagai gantina kita dapat mencoba memilih basis B dan B untuk membuat matriks A sesederhana mungkin, katakanlah dengan banak nol. Bila hal ini dilakukan dengan cara ang benar maka matriks A dapat menediakan informasi penting mengenai transformasi linear T. kita akan terus mempelajari pemikiran ini di dalam bagian ang kemudian. 9

136 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. Gazali,wikaria.005.MATRIKS DAN Transformasi Linear. Yogakarta. Graha Ilmu 3. Kelas X diakses pada tanggal 09 Maret 06 0

137 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Nilai Eigen dan Vector Eigen Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 3 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui nilai Eigen dan vector Eigen Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam memahami pengertian nilai eigen, vector Eigen serta memahami proses diagonalisasi orthogonal.

138 Nilai Eigen Definisi Sebuah matriks bujur sangkar dengan orde n n misalkan A, dan sebuah vektor kolom X. Vektor X adalah vektor dalam ruang Euklidian persamaan: n R ang dihubungkan dengan sebuah AX X (7.) Dimana adalah suatu skalar dan X adalah vektor ang tidak nol Skalar dinamakan nilai Eigen dari matriks A. Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor X dalam persamaan (7.) adalah suatu vektor ang tidak nol ang memenuhi persamaan (7.) untuk nilai eigen ang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor X mempunai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu. Istialah eigen di dalam bahasa Jerman mempunai arti asli ( proper ). Beberapa penulis menamakan nilai eigen dengan nilai asli (proper value), nilai karakteristik (characteristie value), atau akar laten (latent root). Untuk menentukan nilai eigen λ dari matriks A ang berukuran n n, kita tinjau kembali A = λ sebagai A = λi ang dapat ditulis dengan (λi A) = 0 Bentuk terakhir ini dapat dipandang sebagai sstem persamaan linear ang homogen. Karena adalah vektor eigen, maka bernilai tidak nol. Ini berarti sistem persamaan linear homogen di atas harus mempunai penelesaian tidak nol. Hal ini dapat diperoleh jika dan hana jika det(λi A) = 0 Persamaan ini dinamakan persamaan karakteristik dari A. Jika ruas kiri diekspansikan, maka det(λi A) adalah sebuah polinomial di dalam λ ang kita namakan polinomial karakteristik dari A. Teorema : Jika A adalah sebuah matriks n n, maka pernataan-pernataan ang berikut ekivalen satu sama lain. (a) λ adalah nilai eigen dari A (b) Sistem persamaan (λi A) = 0 mempunai penelesaian ang tak trivial. (c) Ada sebuah vektor tak nol di dalam Rn sehingga A = λ. (d) λ adalah penelesaian real dari persamaan karakteristik det (λi A) = 0

139 3 Contoh. Misalkan Sebuah vektor X dan sebuah matriks bujur sangkar orde A, Apabila matriks A dikalikan dengan X maka: AX = = = 8 4 Dimana: 8 4 = 4 = X Dengan konstanta 4 dan = 4 Memenuhi persamaan (7.). Konstanta 4 dikatakan nilai eigen dari matriks bujur sangkar A Contoh. Sebuah vektor X dan matriks A. Matriks A dikalikan X didapat: AX = = = 3 3 3

140 3 3 3 = 3 = = X dengan 3 adalah nilai eigen matriks A Perhitungan nilai eigen Kita tinjau perkalian matriks A dan X dalam persamaan (7.) apabila kedua sisi dalam persamaan tersebut dikalikan dengan matriks identitas didapatkan: IAX = I X AX = IX I AX 0 (7.) Persamaan (7.) terpenuhi jika dan hana jika: det I A (7.3) Dengan menelesaikan persamaan (7.3) dapat ditentukan nilai eigen ( ) dari sebuah matriks bujur sangkar A tersebut/ Contoh 3. Dapatkan nilai eigen dari matriks A = 3 Jawab: Dari persamaan (7.3) maka: det 3 = 0 ( )( ) 3 0 4

141 Dengan menggunakan rumus abc didapatkan:, = 4 ( 4) 4.. = = = 4 3 = 3 Maka penelesaian adalah: 3 dan 3. Nilai eigen matriks A = 3 adalah: 3 dan 3 3 Contoh 4. Dapatkan nilai eigen dari A = 0 3 Jawab: Nilai eigen ditentukan dari persamaan: det I A 0 det 3 = 0 5

142 ( ) ( 3)( ) 0 Penelesaian persamaan tersebut adalah: dan Jadi nilai eigen matriks A = 0 3 adalah 3 dan. Vektor Eigen Perhitungan Vektor Eigen Kita tinjau kembali persamaan AX X dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol ang memenuhi persamaan tersebut. Dalam persamaan 7. telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A( ), pada subbab ini kita bahas vektor ang memenuhi persamaan tersebut ang disebut vektor eigen(vektor karakteristik) ang sesuai untuk nilai eigenna. Kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde berikut: A = a a a a Persamaan AX X dapat dituliskan: 6

143 a a a a (7.4) Persamaan (7.4) dikalikan dengan identitas didapatkan: 0 0 a a a a 0 = 0 a a a a 0 = 0 a a a a = 0 (7.5) Persamaan (7.5) dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: ( a a ) ( a a ) 0 0 (7.6) Persamaan (7.6) adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang R n ang tidak nol didapatkan jika dan hana jika persamaan tersebut mempunai solusi non trivial untuk nilai eigen ang sesuai. Contoh. 5 Dapatkan vektor eigen dari matriks A = 0 3 Jawab: Pada contoh 4 nilai eigen didapatkan dan 3, vektor eigen didapatkan dengan persamaan: 3 ( ) Untuk maka: 0 0 7

144 3 0 0 Solusi non trivial sistem persamaan ini adalah: Misalkan r maka r Vektor eigen matriks A = 0 3 untuk adalah: X r r dimana r adalah bilangan sembarang ang tidak nol. Untuk 3 maka: Solusi non trivial sistem persamaan tersebut adalah: Misalkan s maka vektor eigen untuk 3 adalah: s X dimana s adalah senbarang bilangan ang tidak nol. s 8

145 Contoh 6. Dapatkan vektor eigen dari A = Jawab: Nilai eigen dari matriks didapatkan dari persamaan det I A 0 ( 4) det 0 ( ) ( ) ( 4) ( ) ( ) 0 ( )( 4) 0 ( ) ( ) ( )( )( 3) 0 Nilai eigen matriks tersebut adalah: Vektor eigen didapatkan dari persamaan: (4 ) 0 ( ) 0 0 ( )

146 0 Untuk Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: Solusi non trivialna adalah: Vektor eigen ang sesuai adalah: 3 0 X Misalkan p maka vektor eigena adalah: p p X 3 0 dengan p adalah bilangan sembarang ang tidak nol. Untuk Sistem persamaan linier ang sesuai adalah: Solusi non trivialna adalah: 3 Vektor eigen ang sesuai adalah:

147 X Misalkan s maka vektor eigenna adalah: s s s X dengan s bilangan sembarang ang tidak nol. Untuk 3 Sistem persamaan linierna adalah: Solusi trivialna adalah: Vektor eigen ang sesuai adalah: X Misalkan t maka t t t X dengan t bilangan sembarang ang tidak nol.

148 Latihan. Dapatkan nilai eigen dari A = Dapatkan nilai eigen dari A = Dapatkan Nilai eigen dari A = Dapatkan vektor eigen dari matriks A = Dapatkan vektor eigen dari A =

149 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. nuralif.staff.umm.ac.id/files/00/06/aljab7.doc diakses pada tanggal 8 april 06 3

150 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Aplikasi Aljabar Linear pada Persamaan Differensial Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 4 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui aplikasi aljabar linear pada persamaan differensial. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam menggunakan vector pada persamaan differensial, dan deret Fourier.

151 Persamaan Diferensial Pada umumna dikenal dua jenis persamaan difrensial aitu Persamaan Difrensial Biasa PDB dan Persamaan Difrensial Parsial PDP. Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persamaan difrensial itu dapat dilihat dalam definisi berikut. Definisi Persamaan Difrensial Suatu persamaan ang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas disebut Persamaan Difrensial. Selanjutna jika turunan fungsi itu hana tergantung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Berdasarkan banakna variabel bebas, Persamaan Differensial dapat dibedakan menjadi dua macam, aitu:. Persamaan Differensial Biasa, aitu persamaan differensial ang mengandung hana satu variabel bebas Contoh :. d d k. 3 sin Persamaan Differensial Parsial, aitu persamaan differensial ang mengandung lebih dari satu variabel bebas. Contoh :. z z z. z 0

152 Definisi : Tingkat (Ordo) suatu PD adalah tingkat turunan tertingi ang terlibat dalam PD tersebut. Derajat (degree) suatu PD adalah pangkat dari turunan ordo tertinggi jika PD tersebut ditulis sebagai polinomial dalam turunan. Contoh : d d. k PD tingkat derajat. 3 sin PD tingkat derajat 3. ( ) PD tingkat derajat 4. PD tingkat derajat Definisi :Suatu persamaan ang tidak lagi memuat turunan dan memenuhi satu persamaan differesial disebut penelesaian persamaan differensial. Contoh : Persamaan C merupakan selesaian dari PD: 3 sebab dan sehingga ( ) 3. Penelesaian suatu persamaan diferensial dibedakan menjadi aitu : a. Penelesaian Umum Persamaan Differensial (PUPD), adalah selesaian PD ang masih memuat memuat konstanta penting (konstanta sebarang). b. Penelesaian Partikulir/Khusus Persamaan Differensial (PPPD/PKPD), adalah selesaian PD ang diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta penting dengan konstanta ang memenuhi sarat awal atau sarat batas. Contoh : d PD 0 d d d ditulis 0 d d sehingga d d 0d. d Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh d d d 0 d sehingga d C. d Persamaan terakhir diubah bentuk menjadi d Cd. 3

153 Dengan mengintegralkan kembali kedua sisi diperoleh PUPD : C C, dengan C dan C konstanta sebarang. Jika PD tersebut memenuhi untuk 0 dan 4 untuk akan diperoleh C = 3 dan C =. Diperoleh PPPD : = 3 +. Persamaan Differensial Terpisah Dan Mudah Dipisah Bentuk Umum PD dengan variable terpisah : f() d + g() d = 0 Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh PUPD : f ( ) d g( ) d C Contoh: Selesaikan PD:. 3 d + ( )d = 0 e. e d + 0 e d Penelesaian : 3. Dengan mengintegralkan kedua ruas d ( ) d C, diperoleh PUPD : 4 ( 4 ) C. Bentuk terakhir disajikan pula dengan PUPD : ( ) C.. Dengan mengintegralkan kedua ruas e e d + d C, diperoleh e d( e e d + C e ) sehingga PUPD : e ln( e ) C. 4 Bentuk Umum PD dapat dipisah: f()g() d + p()q() d = 0 Penelesaian PD tersebut adalah membagi kedua ruas dengan g() p(), sehingga diperoleh 4

154 f ( ) d p( ) q( ) d 0 g( ) Dengan mengintegralkan didapat PUPD : f ( ) q( ) d d C p( ) g( ) Contoh : Selesaikan PD :. 4 d + d = 0. ( + ) d + ( ) d = 0 Penelesaian :. Membagi kedua ruas dengan, diperoleh d d 0. Dengan mengintegralkan 4 kedua ruas d d C diperoleh PUPD : 4ln ln C. Bentuk terakhir 4 dapat diubah ke bentuk PUPD : 4 ln lnc. Selanjutna dapat pula disederhanakan menjadi PUPD : 4 C.. Jika kedua ruan dibagi dengan ( + ).( ) PD menjadi d d 0. Kedua ruas diintegralkan d d C. Untuk memperoleh hasilna, diubah menjadi d d C. Bentuk ini diubah menjadi ( ) d d C ( ), diperoleh PUPD : ( ) ln ( ) ln C. Untuk selanjutna penulisan persamaan diferensial dalam bab ini disajikan sebagai : M(,) d N(,) d 0. 5

155 Persamaan Differensial Homogen Untuk dapat menelesaikan sebuah persamaan diferensial homogen/non homogen, terlebih dahulu harus difahami pengertian fungsi homogen. Fungsi f (, ) dikatakan homogen berderajat n, jika memenuhi n f (, ) f (, ), dengan suatu konstanta. Contoh :. Fungsi f (, ) merupakan fungsi ang homogen berderajat, sebab f (, ) ( ) ( )( ) ( ) = = ( ) = f (, ). Fungsi f (, ) sin cos merupakan fungsi homogen berderajat, sebab f (, ) ( )sin ( ) cos = sin cos = f (, ) 3. Fungsi f (, ) sin bukan fungsi homogen sebab f (, ) ( )( ) sin( )( ) 6

156 = sin n f (, ) Persamaan Differensial M (, ) d N(, ) d 0 dikatakan suatu PD homogen jika M (, ) dan N (, ) masing-masing merupakan fungsi homogen berderajat sama. Penelesaian PD homogen dapat dilakukan dengan subtitusi : = v dan d vd dv pada persamaan M (, ) d N(, ) d 0. Dari substitusi ini akan didapatkan PD dengan variabel dan v ang dapat dipisah, sehingga dapat dicari penelesaianna. 3 3 Contoh : Selesaikan PD ( ) d d 0. Penelesaian : Dapat ditunjukkan bahwa berderajat dan merupakan fungsi-fungsi ang homogen Misalkan v sehingga d vd dv PD menjadi : ( v ) d v ( vd dv) 0 ( 3 3 v 3 v 3 3 ) d v 4 dv 0 3 ( v 3 ) d v 4 dv 0 Kedua ruas dibagi v ), diperoleh d dv ( v v ang merupakan PD 7

157 terpisah. Dengan mengintegralkan diperoleh PUPD: ln ln v 3 ln A. 3 Bentuk ini dapat diubah nmenjadi : ( v 3 3 ) A Jadi PUPD : ( ) A, dapat dituliskan sebagai : ( ) A. 3 Persamaan Differensial Eksak Suatu persamaan diferensial tingkat satu derajat satu ang berbentuk : M (, ) d N(, ) d 0 disebut Persamaan Differensial Eksak, jika dan hana jika : M (, ) N (, ) Contoh : Selidikilah apakah persamaan diferensial ( ln ) d d 0 merupakan persamaan eksak Penelesaian : M (, ) ln N(, ) M (, ) N(, ) Karena M (, ) N (, ), makapd tersebut Eksak. 8

158 Penelesaian Persamaan Diferensial Eksak Pandang Persamaan F(, ) C, dengan C konstanta sebarang. Differensial total dari ruas kiri adalah d F (, ) aitu : F(, ) F(, ) df(, ) d d Karena diferensial ruas kanan adalah dc = 0, diperoleh F(, ) F(, ) d d 0 Jika bentuk di atas dianalogkan dengan M (, ) d N(, ) d 0, diperoleh : F(, ) M (, ) F(, ) dan N(, ) sehingga PUPD Eksak : M (, ) d N(, ) d 0 berbentuk F(, ) C. Akibatna, penelesaian PD eksak tersebut dapat diperoleh dari kedua bentuk di atas, aitu : F(, ) a. M (, ) Jika kedua ruas diintegralkan terhadap, maka F (, ) M (, ) d g( ) (Catatan : menatakan bahwa dalam integral tersebut, dipandang sebagai konstanta, dan g() adalah konstanta sebarang hasil pengintegralan ang harus dicari). Untuk mencari g(), bentuk F(,) di atas didiferensialkan ke-, aitu : 9

159 0 d dg d M F ) ( ), ( ), ( atau ) '( ), ( ), ( g d M F Karena ), ( ), ( N F, maka ), ( ) '( ), ( N g d M sehingga d M N g ), ( ), ( ) ( Karena ) '( ) ( g d dg merupakan fungsi saja, maka dengan pengintegralan terhadap akan diperoleh ) ( g. b. Cara lain untuk mencari penelesaian persamaan () adalah dengan mengambil ), ( ), ( N F sehingga g d N F ) ( ), ( ), ( Bentuk di atas dideferensialkan terhadap untuk mendapatkan g(), aitu d dg d N F ) ( ), ( ), ( atau

160 ) ( ), ( ), ( g d N F Karena ), ( ), ( M F, maka d N M g ), ( ), ( ) ( Karena g () adalah fungsi saja, maka dengan mengintegralkan terhadap akan dapat diperoleh g(). Contoh : Selesaikan PD : 0 ) ( ) ( d d Penelesaian : Terlebih dahulu akan diuji apakah PD diatas Eksak/bukan. M ), ( N ), ( M N Karena N M, maka PD diatas Eksak. Salah satu cara berikut dapat digunakan untuk menentukan penelesaian PD tersebut. a. Jika diambil M F ), ( ), (, maka g d F ) ( ) ( ), ( ) ( g ) '( ), ( g F

161 Karena N F ), ( ), (, maka g ) ( ' g ) ( ' ) ( d g Jadi PUPD : C, dapat pula ditulis K. b. Jika diambil N F ), ( ), (, maka g d F ) ( ) ( ), ( ) ( g ) ( ), ( g F Karena M F ), ( ), (, maka g ) ( g ) ( ) ( d g Jadi PUPD : C, dapat pula ditulis K.

162 Daftar Pustaka. Mukhtar, ghozali sumanang. 00. Aljabar Liniear. Bandung. Gazali,wikaria.005.MATRIKS DAN Transformasi Linear. Yogakarta. Graha Ilmu 3. di akses April 06 3

163 MODUL PERKULIAHAN Matriks Dan Aljabar Linear Aplikasi Aljabar Linear pada Bentuk Kuadrat Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Fakultas Ilmu Teknik Informatika MK5009 Komputer 5 Abstract Modul ini memberikan gambaran secara umum pembahasan dalam mengetahui aplikasi aljabar linear pada bentuk kwadrat. Kompetensi Mahasiswa diharapkan mampu dalam menggunakan vector pada bentuk kwadrat.

164 Bentuk Kuadrat A. Bentuk bentuk Kuadrik Pada bahasan diskusi pembelajaran modul ang kedua, kita telah mendefinisikan sebuah persamaan linear dalam n variabel,. 3,..., n ang dapat dinatakan dalam bentuk: a + a ann = b. Ruas kiri persamaan ini, aitu a + a ann merupakan sebuah fungsi dalam n variabel (fungsi peubah n), ang dinamakan bentuk linear. Pada bahasan pembelajaran ang sekarang ini, kita akan mendiskusikan beberapa fungsi ang dinamakan bentuk kuadrat ang suku sukuna adalah kuadrat dari variabel atau hasil kali dua variabel. Bentuk kuadrat timbul dalam berbagai penerapan seperti dalam getaran, relativitas, geometri, statistika, mekanis dan berbagai rekaasa elektris. Sebuah persamaan ang berbentuk a + b + c + d + e + f = 0..(5) dengan a, b, c,, f adalah bilangan bilangan real dengan a, b, dan c tidak sekaligus nol, dinamakan sebuah persamaan kuadrat dalam dan. Sedangkan pernataan a + b + c... (6) dinamakan bentuk kuadrat terasosiasi (associated quadratic form) atau bentuk kuadrat dalam variabel. Contoh. Berikut adalah beberapa bentuk kuadrat dalam dan a) (a =, b = 3, c = 7). b) 4 5 (a = 4, b = 0, c = 5). c) (a = 0, b =/, c = 0) Jika pada matriks tanda kurung dihilangkan, maka (6) dapat kita tulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: a + b + c = a b b c... (7) Silakan Anda buktikan dengan mencoba mengalikan matriks matriks tersebut. Perhatikan bahwa matriks pada persamaan (7) ternata adalah matriks simetris

165 dengan unsur unsur diagonal utamana adalah koefisien suku suku ang dikuadratkan, sedangkan unsur unsur diagonal lainna adalah setengah koefisien suku hasil kali. Bentuk kuadrat berikut tidak terbatas pada dua variabel a) = 3 b) b) 4 5 = 4 0 c) c) = Bentuk kuadrat ang lebih umum didefinisikan sebagai berikut: Definisi. Bentuk kuadrat dalam n variabel,,..., n adalah suatu ekspresi ang dapat ditulis sebagai berikut: (,,..., n) A =... (8) n dengan A adalah suatu matriks n n ang simetris. Jika kita misalkan matriks = n maka (7) bisa ditulis secara lebih ringkas dalam bentuk t A... (9) Matriks A ang simetris ini dinamakan matriks dari bentuk kuadrat t A. Matriks matriks simetris berguna, namun tidak begitu penting untuk menajikan bentuk kuadrat dalam notasi matriks. Misalna, untuk bentuk kuadrat pada contoh. 6a, aitu + 6 7, kita boleh memisalkan menguraikan koefisien suku suku hasil kali aitu 6 menjadi 5 + atau 4 +, dan menuliskan sebagai berikut: 3

166 + 6 7 = 5 atau = 4 7 Namun matriks matriks simetris biasana memberikan hasil ang paling sederhana, sehingga kita akan selalu menggunakanna. Jadi, jika kita menatakan suatu bentuk kuadratik dengan t A akan dipahami bahwa A simetris, walaupun tidak dinatakan secara eksplisit. Jika kita menggunakan fakta bahwa A adalah simetris, aitu A = A t, maka (9) dapat dinatakan dalam bentuk hasil kali dalam Euclid dengan menuliskan t A = t A t = (A) t = <, A >... (0) Contoh Berikut adalah sebuah bentuk kuadrat dalam,, dan 3: = Perhatikan bahwa koefisien dari suku suku kuadrat tampil pada diagonal utama matriks 3 3, sedangkan koefisien dari suku hasil kali dipisahkan setengah setengah dan disimpan pada posisi posisi bukan diagonal, aitu seperti berikut: Koefisien dari 3 3 Kedudukan dalam matriks A a dan a a3 dan a3 a3 dan a3 B. Penerapan pada Bagian Kerucut (Konik) Dalam bahasan diskusi pembelajaran ini kita akan melihat bagaimana menghilangkan suku hasil kali dari sebuah bentuk kuadrat, aitu dengan cara mengganti variabel, dan 4

167 kita akan menggunakan hasilna untuk mengkaji grafik bagian kerucut (irisan atau penampang kerucut, atau conic section). Misalkan t A = a a a n a a an.. () n a a a n n nn n adalah bentuk kuadrat dengan A berupa matriks simetris. Dari Teorema. 4 pada Modul kita mengetahui bahwa ada suatu matriks ortogonal P ang mendiagonalisasi A, aitu D = P A P = n... () dengan λ, λ,..., λn adalah nilai nilai eigen A. Jika kita misalkan n dengan,,..., n adalah variabel variabel baru, dan jika kita melakukan substitusi = P pada (), maka akan kita dapatkan t A = (P ) t A P = t P t A P = t D Namun t D = (,,..., n) n n = λ + λ λn n 5

168 ang merupakan bentuk kuadrat tanpa suku suku hasil kali. Secara ringkas uraian pembelajaran di atas dapat kita tulis dalam bentuk teorema berikut: Teorema.. Misalkan t A adalah bentuk kuadrat dalam variable variabel,,..., n dengan A simetris. Jika P mendiagonalkan A secara ortogonal dan jika variabelvariabel baru,,..., n didefinisikan oleh persamaan = P, maka dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam t A menghasilkan t A = D = λ + λ + + λn n dengan λ, λ, λn adalah nilai nilai eigen dari A dan D = Pt A P. Matriks P pada teorema ini dinamakan mendiagonalkan secara ortogonal bentuk kuadrat atau mereduksi bentuk kuadrat menjadi suatu jumlah kuadrat. Contoh 3 Carilah penggantian variabel ang mereduksi bentuk kuadrat + menjadi sebuah jumlah kuadrat, dan natakan bentuk kuadrat itu dalam variabel variabel ang baru. Penelesaian Bentuk kuadrat tersebut dapat dituliskan seperti berikut t A = (Dari (6) dan (7)) Persamaan karakteristik dari matriks A adalah det (λ I A) = 0 det = λ 4 λ + 3 = 0 sehingga nilai nilai eigen A adalah λ = dan λ = 3. Vektor eigen ang bersesuaian dengan λ = didapat dari penelesaian (λ I A) =

169 + = 0 = = t = t t t t Dengan proses Gram Schmidt kita dapatkan basis ortonormal v Demikian pula untuk λ = 3, kita dapatkan = 0 = = t = t t t t Dengan proses Gram Schmidt kita dapatkan basis ortonormal v Jadi bentuk P ang mendiagonalisasi matriks simetris A secara ortogonal adalah P Selanjutna substitusikan = P ang menghilangkan suku suku hasil kali adalah 7

170 Bentuk kuadrat ang baru adalah = + 3. Selanjutna bahasan diskusi pembelajaran sekarang akan menerapkan kerja kita tentang bentuk bentuk kuadrat untuk mengkaji persamaan persamaan kuadrat dalam dan dan bentuk bentuk kuadratna. Bentuk bentuk ini telah kita tulis sebagai persamaan (5) dan (6). Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel dan, aitu a + b + c + d + e + f = 0.. (5) grafikna dinamakan bentuk bentuk kerucut atau konik (conics), atau dikenal pula sebagai irisan kerucut atau penampang kerucut, atau bagian kerucut (conic section). Irisan irisan kerucut ang paling penting adalah ellips, lingkaran, hiperbola, dan parabola. Irisan irisan kerucut ini disebut irisan irisan kerucut ang tidak mengalami degenerasi (nondegenerate conics). Jika benda dalam posisi standar (standard position) relatif terhadap sumbu sumbu koordinat (Gambar. 4). Irisan irisan kerucut sisana disebut mengalami degerasi (degenerate) ang mencakup titik titik tunggal dan pasangan pasangan garis. Contoh 4 a) Persamaan mempunai bentuk 4 9 k dengan k = dan l = 3. Jadi grafikna berupa ellips pada posisi standar ang memotong sumbu di titik (, 0) dan (, 0), dan memotong sumbu di titik (0, 3) dan (0, 3). b) Persamaan 8

171 8 + 6 = 0 dapat ditulis dalam bentuk 6 Grafikna berupa hiperbola pada posisi standar ang memotong sumbu pada (0, - ) dan (0, ). c) Persamaan 5 + = 0 bisa ditulis ulang dalam bentuk 5 atau = k dengan k = 5 Karena k < 0, grafikna berupa parabola pada posisi standar ang membuka ke bawah dengan sumbu simetri adalah sumbu. 9

172 Gambar 5. 0

173 Jika kita amati irisan kerucut pada posisi standar ternata persamaanna tidak memuat suku suku hasil kali (suku suku ). Keberadaan suku suku dalam persamaan irisan kerucut ang tidak mengalami degenerasi, menunjukkan bahwa irisan kerucut itu diputar (dirotasikan dari posisi standarna). (Gambar. 5a). Juga tidak ada irisan kerucut dalam posisi standar ang sekaligus memuat suku dan atau suku suku dan secara bersamaan. Jika tidak ada suku hasil kali, munculna kedua pasangan ini dalam persamaan suatu irisan kerucut nondegenerate menunjukkan bahwa irisan kerucut itu dipindahkan atau digeser (ditranslasikan) dari posisi standar (Gambar. 5b). (a) Diputar (rotasi) (b) Digeser (translasi) (c) Diputar dan digeser Gambar 5. Bagaimana untuk mengidentifikasi grafik bentuk irisan kerucut ang tidak mengalami degenerasi tetapi tidak berada pada kedududkan standar? Hal ini bisa terjadi disebabkan oleh rotasi dan translasi sumbu sumbu koordinat untuk mendapatkan suatu sistem koordinat ang relatif terhadap irisan kerucut ini berada dalam posisi standar. Begitu ini dikerjakan, maka persamaan irisan kerucut pada sistem akan berbentuk salah satu di antara ang diberikan dalam Gambar. 4, sehingga dengan mudah kita kenali.