LINEARISASI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL PADA MODEL EPIDEMI SIR BERDASARKAN KELOMPOK UMUR

Transkripsi

1 LINEARISASI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL PADA MODEL EPIDEMI SIR BERDASARKAN KELOMPOK UMUR Dwi Lestri 1 nd Widodo 2 1 ) Jurusn Pendidikn Mtemtik UNY Emil: dwilestri@unycid 2 ) Jurusn Mtemtik Universits Gdjh Md Yogykrt Indonesi Abstrk Model Epidemi SIR berdsrkn kelompok umur berbentuk sistem persmn diferensil prsil dengn vribel umur dn wktu sebgi vribel bebs Model ini memiliki distribusi umur stedy stte trivil dn non trivil berbentuk fungsi yng bergntung pd vribel umur Selin itu model berbentuk sistem nonliner sehingg diperlukn linerissi untuk mengethui perilku solusi sistem nonliner mellui sistem liner Linerissi dilkukn dengn deret Tylor tupun perturbsi di sekitr distribusi umur stedy stte Kt kunci: linerissi sistem persmn diferensil prsil A Pendhulun Mslh yng dijumpi dlm kehidupn sehri-hri dpt dimodelkn dlm bentuk model mtemtik Sebgin besr model mtemtik yng muncul berbentuk non liner Untuk mendptkn solusi mslh yng berbentuk sistem non liner tidklh mudh Nmun demikin hl ini tidk menjdi mslh kren bentuk model mtemtik khususny yng berbentuk sistem persmn diferensil non liner dpt diliht perilku solusiny mellui sistem persmn diferensil liner dengn syrt bgin rel kr krkteristik tidk nol Linerissi dilkukn untuk mendptkn sistem liner dri sistem non liner Pd pper ini kn dibhs mengeni model epidemi berbentuk SIR dengn memperhtikn kelompok umur Umur dpt dirtikn sebgi wktu dri msuk ke dlm kels populsi rentn (susceptibles) kels terjngkit (infective) tu kels bebs penykit (recovered) Contoh yng relevn dlh pd model penyerpn obt dlm drh Pemodeln epidemi berdsrkn umur berkitn dengn model populsi berdsrkn distribusi umur Beberp penykit seperti ccr ir (mesles) influenz tipe A koler gondong (mumps) tubercoluses AIDS dn SARS penting untuk diperhtikn vribel umur individuny dlm pemodeln penykit Dlm hl ini model yng kn dibhs dlh model SIR berdsrkn kelompok umur Model Epidemi SIR berdsrkn kelompok umur berbentuk sistem persmn diferensil prsil dengn vribel umur dn wktu sebgi vribel bebs Model yng berbentuk sistem non liner tidk mudh diselidiki perilku solusiny Oleh sebb itu perilku solusi sistem diselidiki mellui bentuk sistem linerny Untuk mendptkn sistem liner dri sistem non liner perlu dilkukn linerissi Linerissi yng dilkukn menggunkn Deret Tylor

2 B Linerissi Persmn Diferensil Prsil Untuk mempeljri perilku sistem dinmik non liner dilkukn mellui linerissi di sekitr titik ekuilibrium Diberikn sistem dx = dt dy f ( x y) = g( x y) dt dengn titik ekuilibrium ( b); f ( b) = g( b) = Pendektn liner fungsi f(xy) di sekitr (b) diperoleh dengn menderetkn fungsi f(xy) sebgi berikut f ( x y) f ( b) + ( b)( x ) + ( b)( y b) +Θ f (2) y Sedngkn Deret Tylor fungsi g(xy) di sekitr (b) dlh dengn g g g( x y) g( b) + ( b)( x ) + ( b)( y b) +Θg y Θ f dn Θ g suku-suku non liner yng selnjutny dpt dihilngkn Dri (1) dn (2) diperoleh pendektn liner untuk Sistem (1) ykni dx = ( b)( x ) + ( b)( yb) dt y (4) dy g g = ( b)( x ) + ( b)( yb) dt y Persmn (4) dpt dituliskn sebgi mtriks (1) (3) dx ( b) ( b) dt y ( x ) = dy g g ( yb) ( b) ( b) dt y (5) Substitusi u= x dn v= y b diperoleh persmn yng lebih sederhn yitu du ( b) ( b) dt x y u = dv g g v ( b) ( b) dt y (6)

3 ( b) ( b) y dengn J= g g ( b) ( b) y dikenl sebgi mtriks Jcobin Sistem (1) pd titik (b) Diberikn x = ( x1 x2 x n ) vribel bebs dn u merupkn fungsi yng bergntung pd n vribel x1 x2 x n ykni fungsi u : R R dengn n x R Secr umum sistem persmn diferensil prsil berbentuk F ( x u u u u u ) = 1 2 x1 xn x1 x2 xi xn F ( x u u u u u ) = x1 xn x1x2 xi xn F ( x u u u u u ) = n x1 xn x1x2 xi xn (7) Sistem persmn diferensil prsil du vribel orde stu berbentuk sebgi berikut: + = = 2 2 n n + = f ( ) 1 u f ( ) 2 u (8) : : f ( u ) n dengn u = ( u1 u2 u n ) dn nili wl u = ( u1 u2 un) Solusi Sistem (8) dengn nili wl u = u( x t ) dinytkn sebgi u ( xt ) = u ( u x t ) Vektor u disebut distribusi umur stedy stte Sistem (8) jik u berikut(bruer 28) du1 = dx 1 du2 = f dx f [ u ] 2 [ u ] (9) : memenuhi Sistem

4 du n = f dx n [ u ] Andikn Sistem (9) dengn nili wl yng diberikn misl u () = u memiliki solusi u kestbiln distribusi umur stedy stte tersebut dpt diselidiki dengn melkukn linerissi Sistem (8) Selnjutny linerissi sistem persmn diferensil prsil di sekitr kondisi stedy stte u = [ u u ] sebgi berikut Diperhtikn du persmn wl pd Sistem (8) ykni + = 1 1 Diberikn trnsformsi + = 2 2 f ( u u ) 1 f ( u u ) (1) 2 v ( x = [ v ( x v ( x ] = [ u ( x u u ( x u ] Dengn mengmbil deret Tylor f 1 dn 1 2 f 2 Sistem (1) diperoleh v v + f ( u ) + ( u )[ u u ] + ( u )[ u u ] + Θ ( u ) v + ( u ) v v v + f ( u ) + ( u )[ u u ] + ( u )[ u u ] + Θ ( u ) v + ( u ) v dengn Θ1 Θ 2 suku suku non liner sehingg dpt dibikn Hsil linerissi Sistem (1) ykni v v f f + = ( u ) v + ( u ) v v v f f + = ( u ) v + ( u ) v (11) C Model Epidemi SIR Berdsrkn Kelompok Umur Pembentukn model epidemi SIR didsri oleh dny penykit menulr yng memiliki ms inkubsi singkt Mislny populsi yng diberikn dibgi ke dlm tig kels ykni kels populsi

5 rentn (susceptibles) kels populsi terinfeksi (infectious) dn kels populsi bebs penykit (recovered) Perhtikn digrm lir perubhn kedn sutu populsi kibt dny penyebrn penykit λ ( b( ) S( γ I( ρ S( I( R( µ ( ) S( µ ( ) I( µ ( ) R( Gmbr 31 Bgn Alir Model Epidemi SIR Kels populsi yng dibgi menjdi tig dinotsikn sebgi S( I( dn R( yng merupkn fungsi densits pelung yng berkitn dengn kelompok umur Mislny ρ bnykny kelhirn b() dn γ prmeter yng menggmbrkn lju kontk dn lju kesembuhn Selin itu β merupkn fktor skl trnsmisi dn µ ( ) lju kemtin yng tidk dipengruhi oleh penykit Pd model ini lju kontk ntr individu rentn berumur dn stu individu terinfeksi berumur sebnding dengn b()b( ) Oleh kren itu didefinisikn lju serngn infeksi pd st t ykni λ ( Dlm hl ini perubhn populsi pd tip kels msing-msing bergntung pd vribel wktu t dn umur Oleh kren itu diperoleh sistem integro-diferensil yng berup sistem persmn diferensil prsil orde stu Berdsrkn Asumsi (311) perubhn populsi menurut Gmbr 31 dirumuskn sebgi berikut S( S( + =λ ( b( ) S( µ ( ) S( (12) I ( I ( + = λ( b( ) S( [ γ + µ ( ) ] I( (12b) R( R( + = γ I ( µ ( ) R( (12c) λ( = β b( ') I ( ' d ' (12d) S( ) S ( ) I( ) = I ( ) R( ) = R ( ) (12e) = S( = = ρ e 1 M ( ') d ' M ( ) µα ( ) dα =

6 I ( = R( = (12f) Persmn (12) (12c) menytkn perubhn populsi rentn populsi terinfeksi dn populsi S( sembuh terhdp umur dn wktu tertentu t Misl menytkn perubhn populsi rentn S( yng bertmbh umurny menjdi lebih tu sedngkn menytkn perubhn populsi rentn S( S( terhdp wktu t Oleh kren itu bis dinggp bhw + menytkn lju perubhn populsi rentn terhdp wktu t Persmn (12d) merupkn lju serngn infeksi Persmn (12) dipndng sebgi mslh nili wl dn syrt bts ykni Persmn (12e) sebgi syrt wl dn Persmn (12f) sebgi syrt bts D Linerissi Persmn Diferensil Prsil pd Model Epidemi SIR Berdsrkn Kelompok Umur Beberp teknik yng dpt digunkn untuk mengnlis distribusi umur stedy stte ykni dengn linerissi menggunkn deret Tylor didefinisikn lebih dhulu S( = S ( ) + ξ( (13) I ( = I ( ) + η( (14) ( ( λ = λ + θ (15) dengn ξ( η( θ ( regngn tu displcement Selnjutny Persmn (13) (15) disubstitusikn ke Persmn (12) dn (12b) diperoleh ξ( ξ( + = λ + θ( b( ) S ( ) + ξ ( µ ( ) S ( ) + ξ( =λ b( ) S ( ) λ b( ) ξ( θ( b( ) S ( ) ( b( ) ( ( ) S ( ) µ ( ) ξ( θ ξ µ =λ b( ) S ( ) µ ( ) S ( ) λ b( ) ξ( ( b( ) S ( ) θ( b( ) ξ ( µ ( ) ξ( θ Kren λ b( ) S ( ) µ ( ) S ( ) = dn θ( b( ) ξ( suku non liner mk diperoleh ξ( ξ( Selnjutny linerissi persmn (12b)ykni + =λ ξ θ b( ) ( ( b( ) S ( ) µ ( ) ξ(

7 η( η( + = λ + θ( b( ) S ( ) + ξ( [ γ + µ ( ) ] I ( ) + η( = λ b( ) S ( ) + λ b( ) ξ( + θ( b( ) S ( ) ( b( ) ( I ( ( ) I ( ) µ ( ) η( + θ ξ γ γη µ = λ b( ) S ( ) γ I µ ( ) I ( ) + λ b( ) ξ( + θ( b( ) S ( ) + θ( b( ) ξ( γη ( µ ( ) η( Kren λ b( ) S ( ) γ I µ ( ) I ( ) = dn θ( b( ) ξ ( suku non liner diperoleh η( η( + = λ ξ + θ + Dri linerissi Persmn (12) dn (12b) diperoleh dengn ξ( ξ( [ ] b( ) ( ( b( ) S ( ) γ µ ( ) η( + =λ ξ θ η( η( b( ) ( ( b( ) S ( ) µ ( ) ξ( (16) + = λ ξ + θ + [ ] b( ) ( ( b( ) S ( ) γ µ ( ) η( (17) θ( = β b( ) η( d (18) ξ( = η( = (19) ξ = η ( ) = I ( ) I ( ) (2) ( ) S( ) S ( ) Disumsikn Persmn (16) (18) mempunyi solusi yng bentukny ξ( = ξ( ) e pt (21) η( = η( ) e pt (22) pt θ( = θ e sehingg dipenuhi persmn berikut θ = konstnt (23) pt ξ( ) pt ξ( ) pt pt pt e + pe =λ b( ) ξ( ) e θ e b( ) S ( ) µ ( ) ξ( ) e dn ξ( ) ξ( ) + p =λ b( ) ξ( ) θ b( ) S ( ) µ ( ) ξ( ) (24)

8 pt η( pt η( pt pt pt e + pe = λ b( ) ξ( e + θ( e b( ) S ( ) [ γ + µ ( ) ] η( e η( η( + p = λ b( ) ξ ( + θ ( b( ) S ( ) [ γ + µ ( ) ] η( (25) Persmn (24) dn (25) merupkn mslh nili eigen p Selnjutny kn dicri penyelesinny pd kondisi stedy stte ykni d ξ ( ) = λ b( ) ξ ( ) θ b( ) S ( ) µ ( ) ξ ( ) d [ λ b( ) + µ ( ) ] ξ ( ) = θ b( ) S ( ) d ξ ( ) + (26) d dn dη( ) = λ b( ) ξ ( ) + θ b( ) S ( ) [ γ + µ ( ) ] η( ) d dη( ) + [ γ + µ ( ) ] η( ) = λ b( ) ξ ( ) + θ b( ) S ( ) (27) d Persmn (26) dn (27) dengn Syrt bts (19) memiliki penyelesin ( ) ( ) λ bσ + µσ dσ λ b( σ ) + µσ ( ) dσ ξ( ) =e θb( α) S ( α) e α dα λ B ( ) M ( ) p ( α ) ρθ e + = b( α) e dα dn [ ( )] γ + µ σ dσ [ ( )] γ + µ σ dσ η( ) = e λ b( ) ξ( ) + θ b( α) S ( α) e α dα [ ( )] ' γ + µσ dσ [ ( )] γ + µσ dσ ( ) ( ) ( ) ( ) λ B M ( ) ( ') p( ') λ B M + + e b e b e d ' b ( ) α = λ ρθ + θ αρe e dα ' M ( ) ( p )( ') B( ') p( ' ) ρθ e b( ') e γ λ + + = 1 λ b( α) e α dα d ' (28)

9 dengn B( ) b( α) dα = M ( ) = µα ( ) dα dn θ= β b( ) η( ) d (29) Persmn (28) disubstitusikn ke Persmn (29) diperoleh ' M ( ) ( ' ) B( ') p( ') p( ) b( ) e b( ') e γ λ + θ= β ρθ e λ b( α) e α dα d ' d ' M ( ) ( ') B ( ') p ( ') p ( ) b( ) e b( ') e γ λ + θβ ρθ e λ b( α) e α dα d ' d= ' M ( ) ( ') B( ') p( ') p( ) 1 b( ) e b( ') e γ λ θ β ρ + e λ b( α) e α dα d ' d = Persmn (3) mempunyi kr θ= tu θ jik dipenuhi persmn krkteristik Lotk untuk p ykni ' M ( ) ( ') B( ') p( ') p( ) 1 b( ) e b( ') e γ λ + = β ρ e λ b( α) e α dα d ' d Menurut Teorem dlm ([4] dn [5]) jik semu kr Persmn (31) memiliki bgin rel negtif mk semu solusi Persmn (21)-(23) menuju nol untuk t Dengn menggunkn kriteri mbng bts yng diberikn pd Persmn (12) untuk (3) (31) λ > tidk d nili p non negtif yng memenuhi Persmn (31) Untuk mempeljri sift dri kr kr Persmn (31) sngt sulit Nmun demikin untuk ksus khusus dpt ditentukn secr numerik bhw hl ini berkorespondensi dengn distribusi umur stedy stte non trivil yng stbil simtotik lokl Untuk distribusi umur stedy stte trivil ykni λ = persmn (31) menjdi 1 = β ( ) ρ ( ') ' M ( ) ( ') p( ') b e γ b e d d (32) Jik Persmn (12) tidk dipenuhi mk krkter monoton dri integrn pd Persmn (32) berkibt mempunyi kr rel tunggl p dn p = hny pd kriteri mbng bts

10 Teorem 1 (i) Jik λ = dn 1 lokl (ii) Jik λ = dn R > 1 mk tidk stbil Bukti: Liht [3] R mk distribusi umur stedy stte trivil Sistem (12) stbil simtotik E Penutup Pd sistem persmn diferensil nonliner dpt diselidiki perilku solusiny mellui sistem liner dengn linerissi Proses linerissi dpt dilkukn dengn Deret Tylor dri fungsi non liner Model epidemi SIR berdsrkn kelompok umur berbentuk sistem persmn diferensil prsil non liner Linerissi dilkukn untuk mendptkn sistem liner sehingg dpt diselidiki perilku solusi sistem non liner mellui sistem liner dengn syrt titik ekuilibrium berup titik ekuilibrium hiperbolik F Dftr Pustk [1] Bruer F dkk 28 Mthemticl Epidemiology Springer-Verlg Berlin-Heidelberg- New York [2] Chvez dkk 1989 Epidemiologicl Models with Age Structure Proportionte Mixing nd Cross- immunity Journl of Mthemticl Biology 27: [3] D Lestri 21 Model Epidemi SIR Berdsrkn Kelompok Umur Thesis UGM Yogykrt [4] Olsder GJ 1994 Mthemticl Systems Theory Delftse Uitgevers Mtschppij bv [5] Wiggins 199 Introduction to Applied Nonliner Dynmicl Systems nd Chos Springer- Verlg Berlin-Heidelberg- New York [6] Zuderer E 1989 Prtil Differentil Equtions of Applied Mthemtics JohnWiley nd Sons Inc New York