MEMBANGUN MODEL PENYEBARAN HAMA DAN PENYAKIT PADA BAWANG MERAH PALU (Allium ascalonicum L.)

Transkripsi

1 JIMT Vol. 4 No. Desember 7 (l - ) ISSN : X MEMBANGUN MODEL PENYEBARAN AMA DAN PENYAKIT PADA BAWANG MERA PALU (Allium sclonicum L.) M. Mutminnh, R. Rtiningsih dn N. Ncong,, Progrm Studi Mtemtik Jurusn Mtemtik FMIPA Universits Tdulko Jln Soekrno-tt Km. 9 Tondo, Plu 948, Indonesi. mhznii@gmil.com, rtiningsih@yhoo.com, nsri_ncong@gmil.com ABSTRACT Cterpillr leves (spodopter exigue) nd fungi ltenri porri re plnt distrctor orgnism tht become fctor of some problems fced on onion (llium sclonicum l.) cultivtion. The objectives of this reserch is to govern mthemticl model of the pest nd disese spred of Plu onion. The model divides the onion popultion into 6 sub popultions re, popultion of Plu onion tht potentilly be infected by pests nd disese S, popultion of Plu onion tht potentilly infected by cterpillr leves I, popultion of Plu onion tht potentilly infected by ptches leves I P, popultion of Plu onion tht is free of pest nd disese R. The other popultion to be considered to the model re popultions of cterpillr tht potentilly cretes pests U, popultion of fungi tht potentilly cretes disese J. The constructed model is nonliner differensil system equtions, tht its stbility is nlyzed t every criticl point using lineriztion method. There re three obtined criticl points. The first one shows tht the Plu onion popultion is free of pest nd disese. Tht criticl point is not stble, it mens tht ll popultions of cterpillr leves, fungi ltenri porri nd the Plu onion re extinct. The second criticl point shows tht the Plu onion popultion is free of pest. Tht criticl point is stble under requirement, it mens tht number of cterpillr leves infection is not llowed to exceed the number of ptches leves disese. The third criticl point shows tht the Plu onion popultion is endemic. The nlysis of the stbility interpretes tht both unstble criticl points will not sty in the popultion, while the free pest criticl point will remin. Key words : Allium Asclonicum L., Altenri Porri, Lineriz tion, Spodopter Ex igue, Stbility. ABSTRAK Ult dun (spodopter exigue ) dn jmur ltenri porri merupkn orgnisme penggnggu tumbuhn yng menjdi fktor dri beberp mslh yng dihdpi dlm budidy bwng merh (Allium sclonicum L.). Penelitin ini bertujun untuk mendptkn model mtemtik penyebrn hm dn penykit pd bwng merh Plu, dengn membgi menjdi 6 sub populsi, yitu U sub populsi ult yng berpotensi menyebrkn hm, J populsi jmur yng berpotensi menyebrkn penykit, S populsi bwng merh Plu yng berpotensi terken hm dn penykit, I pupulsi bwng merh Plu yng terinfeksi hm ult dun, I P populsi bwng merh Plu yng terinfeksi penykit berck dun, R populsi bwng merh Plu yng bebs hm dn penykit. Model yng dibngun berup sistem persmn differensil tk liner, kemudin dinlis kestbilnny di setip titik kritis dengn metode linerissi. Dri hsil penelitin didptkn tig titik kritis. Pertm, titik kritis yng memperlihtkn bwng merh Plu bebs hm dn penykit. Titik kritis tersebut tidk stbil sehingg seluruh populsi ult dun, jmur ltenri pori, dn bwng merh Plu kn hbis. Kedu, titik kritis

2 kedu memperlihtkn bwng merh Plu bebs hm. Titik kritis tersebut stbil dengn syrt yng memberi rti bhw tingkt serngn hm ult dun tidk boleh melebihi tingkt serngn penykit berck dun. Ketig, Titik kritis memperlihtkn bwng merh Plu yng endemik. Titik kritis tersebut tidk stbil yng memberi rti bhw titik kritis tersebut kn ditingglkn. sil nlis kestbiln tersebut disimpulkn bhw, kedu titik kritis yng tidk stbil tersebut, tidk bersift menetp. Sedngkn titik kritis bebs hm kn menetp dlm populsi. Kt Kunc i : Allium Asclonicum L., Altenri Porri, Lineris s i, Spodopter Ex igue, Kes tbiln. I. PENDAULUAN Bwng merh Plu (Allium sclonicum L.) merupkn slh stu komodits ungguln yng memberikn kontribusi cukup tinggi terhdp perkembngn ekonomi wilyh, sehingg pengush budidy bwng merh telh menyebr dihmpir semu provinsi di Indonesi. Serngn Orgnisme Penggnggu Tumbuhn (OPT) yng semkin bertmbh merupkn slh stu fktor dri beberp mslh yng dihdpi dlm budidy bwng merh. m yng bnyk menyerng tnmn bwng merh Plu dlh ult dun (spodopter exigue), sedngkn penykitny dlh berck dun yng disebbkn oleh Alternri porri Ell. Serngn ult dun kn diikuti dengn serngn berck dun mengkibtkn pnen bwng merh Plu turun 4%. Ult dun muli menyerng tnmn setelh berumur kurng dri 4 hri, sedngkn berck dun muli menyerng setelh tnmn berumur 5 hri. Bwng merh Plu dipnen setelh berumur 65 smpi 7 hri (Mskr dkk, 999). Dlm penelitin ini, model yng dikji menggmbrkn dinmik perkembngn dri bnykny populsi bwng merh yng rentn terhdp hm dn penykit (suscepted), ke dlm populsi bwng merh yng terinfeksi hm dn penykit (infected), dn populsi bwng merh yng telh bebs hm penykit (recovered). Slh stu model penyebrn penykit yng sering dikenl model tipe SIR (Suscepted Infected Recovered) klsik (Kermck, Mc Kendrick, 97). Dri model tersebut dibngun model bru yng melibtkn fktor hm dn penykit berck dun. Penyebrn hm dn penykit tersebut kn dikji mellui kestbiln titik kritis sistem yng mempresentsiknny. Kestbiln dri titik kritis dpt diperoleh dengn menggunkn metode linerissi dn kriteri Routh -urwitz (Subiono, ). II. METODE PENELITIAN Penelitin dilkukn dengn mengkonstruksi model dinmik penyebrn hm dn penykit pd bwng merh Plu yng dibngun dri komprtemen penyebrnny. Titik kritis dri sistem persmn diferensil yng telh dibngun, selnjutny dinlis kestbilnny dengn melkukn linerissi sistem disekitr titik kritis, sehingg menghsilkn persmn krkteristik untuk det J I menentukn nili eigen (Anton, 998). Nili eigen diperoleh dri, dimn J dlh mtriks Jcobi (Perko, :). 4

3 III. ASIL DAN PEMBAASAN.. Konstruksi Model Penyebrn hm dn penykit dlm penelitin ini dinlogikn sebgi mslh penyebrn penykit menulr. Penyebrn penykit menulr dpt digmbrkn secr sistemtis oleh model-model komprtemen SIR yng mengcu pd susceptible, infected, dn recovered. Penyebrn hm dipengruhi oleh pertumbuhn populsi ult dun sedngkn penyebrn penykit dipengruhi oleh jmur ltenri porri. Keduny menginfeksi tnmn bwng dlm internl wktu yng berbed. Berdsrkn fenomen tersebut dikonstruksi komprtemen penyebrn hm dn penykit pd bwng merh kot Plu sebgi berikut. Gmbr : Konstruksi Model Penyebrn m dn Penykit pd Bwng Merh Plu Diperoleh sistem persmnny sebgi berikut: du U U K dj J J K ds S B U J I IP di I S V dip IPS V I dr I IP R U J S I IP R B V V () () () (4) (5) (6).. Menentukn Titik Kritis Titik kritis dri sistem Persmn () (6) dpt diperoleh dengn meninju pd du dj ds di di kedn stgnn, yitu dengn menentukn,,, P dr,,. Titik kritis pertm Titik kritis pertm yng menggmbrkn kondisi populsi bwng merh Plu bebs hm dn penykit T,,,,,.. Titik Kritis kedu Titik kritis kedu yng menggmbrkn kondisi populsi bwng merh Plu bebs V B K K B K K hm T KK,,,,,. 5

4 Eksistensi titik kritis T, dpt tercpi jik U, J, S, I, IP, R bernili non negtif. Mengingt U K, J K, V S B, dn K K I P yng non negtif, mk eksistensi bgi T membutuhkn syrt B K K sehingg B K. Syrt tersebut menginterpretsikn bhw eksistensi T terpenuhi jik tinggkt kemtin lminy terbtsi oleh fktor rekruitmen dri bwng merh Plu, lju infeksi hm, lju infeksi penykit, dn dy tmpung populsi bwng sebgi sumber mknn bgi ult dun dn jmur ltenri porri.. Titik Kritis ketig Titik kritis ketig yng menggmbrkn kondisi populsi bwng merh terserng hm V BK K V V dn penykit, T KK,,,, V V B K K, B K K V V V V V V Eksistensi titik kritis T, tercpi jik U, J, S, I, IP, R bernili non negtif. Mengingt U K, J K, dn V S bernili positif, mk jminn eksistensi T dipenuhi jik I, I, P dn R yng bernili non negtif. Agr I, I, P dn R tidk negtif, mk hrus dipenuhi B KK V V. Sehingg disimpulkn bhw syrt V V eksistensi bgi T dlh dn B K. Syrt tersebut memberi rti bhw tingkt kemtin lmi bwng merh Plu hrus dibtsi... Anlisis Kestbiln Titik Kritis... Kestbiln Titik Kritis T Titik kritis pertm dlh titik kritis yng menggmbrkn kedn populsi bwng merh plu yng bebs hm dn penykit. Kestbiln di titik kritis tersebut diperoleh berdsrkn nili eigen dri linerissi sistem mellui mtriks Jcobi yng dievlusi pd T sehingg diperoleh,,,,, B A V V Nili eigen A diperoleh dri det A I B V V 6

5 Mengingt dn mk kestbiln sistem di titik kritis T dpt ditentukn dri kedu nili eigen tersebut yng bernili positif. Dpt disimpulkn bhw T dlh tidk stbil.... Kestbiln Titik Kritis T Titik kritis kedu dlh titik kritis yng menggmbrkn kedn populsi bwng merh plu yng bebs hm. Mengingt titik kritis kedu V B K K B K K T KK,,,,, bukn titik kritis nol, mk nlis kestbiln titik kritis tersebut dilkukn dengn mentrnsformsi vribel U, J, S, I, I, dn R terlebih dhulu, sehingg Persmn () (6) dinlis di titik kritis P,,,,, dlm sisitem koordint bru. Sehingg diperoleh persmn bru dlm ( Z, Y, X, I, W, T ) : dz K Z K Z K dy b K Y K Y K dx V c X B K Z K Y I di d I X V V B K K dw BK K V e W X V I dt BK K B K K f I W T W (7) (8) (9) () () () Selnjutny dpt dibentuk mtriks Jcobi dri Persmn (7) () yng di evlusi dititik kritis T sehingg didpt: A,,,,, V B K K V V V V V Nili eigen A diperoleh dri det A I V V (6) Dri Persmn (6) diperoleh nili eigen yitu,, V V, 4, dn 5,6 i. Mengingt,, 4 bernili negtif, sedngkn 5 dn 6 memiliki bgin riil bernili nol, mk kestbiln sistem 7

6 di titik T ditentukn oleh nili. Sehingg syrt kestbiln untuk T dlh, yitu V V yng memberikn V. Syrt tersebut memberikn rti bhw tingkt kemtin lmi bwng merh Plu hrus dibtsi. Syrt lin yng hrus dipenuhi dlh yng memberi rti tingkt serngn penykit berck dun tidk boleh melebihi tingkt serngn hm ult dun.... Kestbiln Titik Kritis T Titik kritis ketig dlh titik kritis yng menggmbrkn kedn populsi bwng merh plu yng endemik. Seperti hlny titik kritis kedu, titik kritis ketig V BK K V V T KK,,,, V V B K K, B K K V V V V V V bukn titik kritis nol, mk nlis kestbiln titik kritis tersebut dilkukn dengn mentrnsformsi vribel U, J, S, I, I, dn R terlebih dhulu. Sehingg diperoleh persmn bru dlm ( Z, Y, X,Q, W, T ) : dz K Z K Z K dy K Y b K Y K dx V c X B K Z K Y B K K V V V V B K K V V W B K K V V V V P Q dq d Q V X V dw B K K W V e V V X V BK K V V V V Q () (4) (5) (6) (7) 8

7 dt B K K V V f Q V V B K K W V V B K K V V V V Selnjutny dpt dibentuk mtriks Jcobi dri Persmn () (8) yng di evlusi dititik kritis T, sehingg diperoleh:,,,,, V V V V B K K V V A V V V B K K V V V Nili eigen A diperoleh dri det A I, yitu V V B K K V V V V BK K V V V B K K V V B K K V V V V T V V V V V V Persmn (9) dpt disederhnkn menjdi V (8) (9) () Persmn () memberikn nili negtif pd, dn, sehingg kestbiln titik kritis T ditentukn oleh persmn krkteristik () Tnd dri nili eigen yng diperoleh pd persmn () ditentukn mellui polinomil berderjt tig dlm pd persmn () yng dinytkn dlm Tbel Routh-urwitz sebgi berikut. Tbel : Routh-urwitz 9

8 b c b Syrt kriteri Routh-urwitz memerlukn pemeriksn terhdp setip koefisen dn tidk dny perubhn tnd pd kolom pertm. Mengingt, mk perlu diperiks b, dn c. Mengingt,,, V,,, V, dn dlh positif V mk V. Sehingg menunjukn terjdiny perubhn tnd pd kolom pertm tbel Routh-urwitz. Disimpulkn bhw T dlh tidk stbil. IV..4. Sim ulsi Simulsi model penyebrn hm dn penykit pd bwng merh Plu dilkukn menggunkn perngkt lunk Mple dengn memberikn nili nili wl kelompok populsi ult (U) = 4 ekor, populsi jmur (J) = 556 dun, populsi bwng merh Plu yng rentn (S) = 4448 rumpun, populsi bwng merh Plu yng terinfeksi hm (I ) = rumpun, populsi bwng merh Plu yng terinfeksi penykit (I P ) = 556 rumpun, dn bwng merh Plu bebs hm dn penykit (R) = 78 rumpun. Dengn nili nili prmeterny yitu, lju kelhirn ult dun =58,85, lju kelhirn jmur =58,85, tingkt rekruitmen bwng merh Plu (B) =68,4, lju infeksi hm ke bwng merh Plu yng rentn =,5, lju infeksi jmur ke bwng merh Plu yng rentn =,5, lju kemtin lmi bwng merh Plu =,5, trnsmisi hm ult dun =,5, trnsmisi penykit berck dun =,5, lju trnsisi yng terinfeksi hm =,5, kemtin lmi bwng merh Plu yng terinfeksi hm V terinfeksi penykit V =,7, kemtin lmi bwng merh Plu yng =,6, lju penyembuhn bwng merh plu yng terinfeksi hm =,4, dn lju penyembuhn bwng merh plu yng terinfeksi penykit =4,8. Intervl wktu pengmtn dibut dlm thun. KESIMPULAN Berdsrkn penelitin yng telh dilkukn dpt disimpulkn bhw, kestbiln pd titik kritis bwng merh Plu bebs hm dn penykit yng diekspresikn sebgi T,,,,, menunjukn bhw sistem tidk stbil. Titik kritis tersebut kn mengkibtkn seluruh populsi ult dun, jmur ltenri porri, dn bwng merh Plu kn hbis. Untuk kestbiln pd titik kritis bwng merh Plu bebs hm yng diekspresikn sebgi V B K K B K K T KK,,,,, menunjukn bhw sistem stbil dengn syrt V memberi rti tingkt serngn penykit berck dun tidk boleh melebihi tingkt serngn hm ult dun. Sedngkn kestbiln pd titik kritis bwng merh Plu yng

9 V endemik diekspresikn sebgi B K K V V T KK,,,, V V B K K, B K K V V menunjukn bhw sistem V V V V tidk stbil. Ketidk stbiln T memberi rti bhw titik kritis tersebut kn ditinglkn. DAFTAR PUSTAKA []. Anton,., Aljbr Liner Elementer: Terjemhn oleh Pntur Silbn, Erlngg, 998, Jkrt. []. Kermck, W. O. nd McKendrick, A. G., A Contribution to the Mthemticl Theory of Epidemics, 97, Royl Society, 5: 7-7. []. Mskr., Sumrni, A. Kdir., dn Chtidjh., Pengruh ukurn bibit dn jrk tnm terhdp hsil pnen bwng merh vriets lokl Plu, Bli Pengkjin Teknologi Pertnin Sulwesi Tengh, 999, Plu, hlm [4]. Perko, L., Differentil Equtions nd Dynmicl Systems, rd, Springer:, New York. [5]. Subiono., Sistem liner dn Kontrol Optiml, Institut Teknologi Sepuluh Nopember,, Surby.