Paradox Vaksinasi dalam Model Epidemic SI

Transkripsi

1 Mtemtik: Journl Teori dn Terpn Mtemtik Vol Edisi Khusus): 5-5 Prdox Vksinsi dlm Model Epidemic S Asep K Supritn & Desie Muliningtis Jurusn Mtemtik, Universits Pdjdjrn Km Jtinngor, fx: , Sumedng NDONESA Abstrk Beberp litertur memperlihtkn bhw secr teoritis sutu prdox dpt muncul sebgi efek dri pelksnn vksinsi pd penykit yng penyebrnny melibtkn vektor indirect trnsmission) Dlm pper ini diperlihtkn bhw prdox yng sm jug dpt terjdi pd pelksnn vksinsi untuk penykit yng disebrkn secr lngsung direct trnsmission) Prdox ini muncul dengn sumsi bhw dlm beberp hl vksinsi mempunyi efek yng negtif jik dilkukn pd individu yng sudh terinfeksi dengn penykit yng bersngkutn Hl ini mengindiksikn bhw dlm pelksnn progrm vksinsi perlu dilkukn screening untuk memstikn bhw individu trget vksinsi sesui seperti yng dihrpkn Pendhulun Beberp pertnyn yng bis dibhs dlm epidemiologi dintrny pkh penyebrn penykit berkibt pd terjdiny epidemik? Jik terjdi epidemik, berp lju pertmbhn yng terserng penykit selm epidemik tersebut? Kermk & McKendrick 97) dlh beberp dintr peneliti yng pertm menjwb pertnyn tersebut mellui sutu model mtemtik dn menemukn epidemic threshold eqution dn finl size eqution Setelh itu mkin bnyk perhtin peneliti dlm mslh spek mtemtis dri penyebrn penykit menulr tersebut yng dikitkn dengn berbgi kompleksits Secr umum terjdi tu tidk terjdiny epidemik dpt diidentifiksi oleh sutu besrn yng dinmkn the bsic reproductive rtio of epidemic, R, yng menunjukkn bnykny penderit bru yng disebbkn oleh seorng penderit selm ms hidupny Anderson & My, 993; Diekmnn & Heesterbeek,) Jik R <, setip penderit hny dpt menyebrkn penykit kepd rt-rt kurng dri stu penderit bru, sehingg pd khirny penykit kn hilng Di lin pihk, pbil R > mk setip penderit dpt menyebrkn penykit kepd rt-rt lebih dri stu penderit bru, sehingg pd khirny terjdi penyebrn penykit secr melus Dlm pper ini kn dibhs mengeni efek vksinsi pd penyebrn penykit dengn meliht pengruh vksinsi ini terhdp perubhn besrn R Model yng digunkn dlh model penyebrn S yng membgi populsi menjdi du subpopulsi, yitu populsi susceptible S) dn subpopulsi infectious ), seperti yng dibhs oleh Abul-Rub ) Pd bgin berikut kn dilkukn review untuk model Abul-Rub tersebut Model Abul-Rub Newborn Vccintion) Dlm Abul-Rub ) sebuh populsi terbgi ke dlm du subpopulsi, yitu sub-populsi susceptibles S) dn sub-populsi infectious ) Pertm, sumsikn bhw pertumbuhn susceptible dlh mengikuti pertumbuhn logistik, ykni S S ) K dengn dlh konstnt positif yng menytkn intrinsic growth rte dn K dlh bnykny individu yng bis ditmpung pd sutu hbitt crrying cpcity) Persmn ) dits dpt ditulis dlm bentuk sederhn dengn melkukn penghilngn dimensi Lkukn penskln dengn SS/K tu S KS kemudin substitusikn nili tersebut ke persmn ) sehingg diperoleh K KS S ) Tnp menuliskn notsi, mk diperoleh bentuk persmn tnp dimensi, yitu S S) ) Jik lju perubhn dri yng belum terinfeksi menjdi terinfeksi proporsionl terhdp S dengn konstnt kesebndingn, mk setelh dilkukn penskln bru diperoleh:

2 S S) S S S S 3) dlm hl ini S merupkn tingkt pertumbuhn dri populsi yng belum terinfeksi susceptible) dn S dpt dirtikn sebgi kompetisi ntr individu yng belum terifeksi Dengn mengsumsikn bhw orng yng terinfeksi penykit kn mempunyi tingkt kemtin b dengn < b <, mk model untuk pertumbuhn orng yng terinfeksi dlh S b, sehingg diperoleh model untuk perkembngn penykit sebgi berikut : S S S F S, ) ) S b G S, ) 5) Selnjutny kn dicri titik tetp untuk kedu persmn di ts Titik Tetp untuk Model S Titik tetp diperoleh pbil Dri diperoleh tu S b Dri dn diperoleh S tu S, yng memberikn du disese-free equilibrium, yitu S, ),) dn S, ),) Demikin pul dri dn S b, diperoleh b yng memberikn endemic equilibrium S, ) b, b R ) ), dengn R Besrn R disebut the bsic reproductive rtio of Jik R <, S b mk hny d du titik tetp, yitu disese-free equilibrium S, ),) dn S, ),) Dlm hl ini setip penderit hny dpt menyebrkn penykit kepd rt-rt kurng dri stu penderit bru, sehingg pd khirny penykit kn hilng Di lin pihk, pbil R > mk setip penderit dpt menyebrkn penykit kepd rt-rt lebih dri stu penderit bru, sehingg pd khirny terjdi penyebrn penykit dengn endemic equilibrium b, b ) ) S, ) R Secr forml hl ini dpt diperlihtkn dengn menguji kestbiln dri ketig titik tetp dits Kestbiln Titik Tetp Kestbiln ketig titik tetp kn diuji dengn memki neighbourhood stbility nlysis Mtriks Jcobin untuk sistem persmn diferensil ) dn 5) dlh F F S S S 6) M mij ) G G S b S yng mempunyi persmn krkteristik λ + λ + dengn trcem m + m ) dn det M mm mm Sebuh titik tetp kn stbil pbil > dn > Nisbet & Gurney, 98) Kren < b <, mk pengujin hny kn dilkukn pd ksus R > Kestbiln di S, ),) M, sehingg diperoleh : b trcem b det M b < Dengn demikin dpt disimpulkn bhw S, ) tidk stbil b Kestbiln di S, ),) M, sehingg diperoleh : b trcem + )) b det M < 3

3 Dengn demikin dpt disimpulkn bhw S, ) tidk stbil c Kestbiln di S, ) b, b R ) ) b b R ) b M, sehingg diperoleh : b R ) trcem b b R )) > det M b R ) > Dengn demikin dpt disimpulkn bhw S, ) stbil Model ini menytkn bhw endemik stte merupkn titik tetp stbil Artiny penykit kn sellu d dn jumlh penderit stbil sebnyk [liht Gmbr ] Pd bgin berikut kn dibhs bgimn pengruh vksinsi terhdp kestbiln titik tetp ini 3 Pengruh Vksinsi pd Titik Tetp Jik pd individu dlm populsi tersebut dilkukn vksinsi, dengn lju vksinsi sebesr v, mk jumlh orng yng belum terinfeksi kn berkurng sebesr vs Dengn demikin mk persmn ) kn berubh menjdi v) S S S ) Titik tetp untuk sistem dengn vksinsi ini dpt dicri sebgi berikut Dri, diperoleh v tu S v b Dri v S tu S v v dn diperoleh v yng memberikn du disese-free equilibrium v S v, v ),) dn Sv, v ),) Demikin pul dri dn S v b, diperoleh b v yng memberikn endemic equilibrium S b v v, v ), ) dengn R v R Dri b v terliht bhw pd khirny tidk kn d penderit pbil ) v, yng berrti R v ) v Secr umum p v dinmkn sebgi R criticl vccintion level, yng mempunyi interpretsi yng sngt penting dlm menentukn strtegi pelksnn progrm vksinsi Apbil kriteri keberhsiln progrm vksinsi dlh musnhny v penykit ditunjukkn oleh ), mk tingkt vksinsi hrus dits p v, ykni v [liht Gmbr ] Jik v, mk endemik equilibrium kn hilng dn berubh menjdi disese-free equilibrium, ykni v v b, b v) b,) b,) b,) Dlm hl ini, dpt ditunjukkn bhw disese-free equilibrium bersift stbil node Abul-Rub, ) Di lin pihk, pbil kriteri keberhsiln progrm vksinsi dlh terkontrolny proporsi penderit ditunjukkn oleh mk tingkt vksinsi hrus sm dengn Dlm hl ini, Abul-Rub ) memberikn threshold α α v α, untuk α << ), p α, ykni v α v α Apbil b α msih dits threshold ini, mk msih memungkinkn dlm perjlnn mencpi α ini terjdi ledkn epidemik yng berulng ditndi dengn kestbiln spirl dri v untuk b vα < ) [liht Gmbr 3] b Sedngkn jik α dibwh threshold ini, mk vα menyebbkn kestbiln node dri v, sehingg vksinsi menyebbkn terhindr dri epidemik yng berulng 5 6

4 3 Pengruh Vksinsi pd R Kit perhtikn bhw jumlh penderit v pd endemic equilibrium S b v b v, v ), ) dpt ditulis sebgi v R Dengn R v demikin dpt kit simpulkn bhw jik v di ts criticl vccintion level, ykni v mk efek dri vksinsi ini dlh mereduksi R menjdi b R R R v Gmbr : Solusi sistem persmn diferensil dengn dny vksinsi untuk nili-nili,55 dn b,5 seperti pd Gmbr dengn v,5 dn α Gmbr : Solusi sistem persmn diferensil tnp dny vksinsi untuk nili-nili,55, b,5, yng memberikn R, >, dengn S,5 dn, Gmbr 3: Solusi sistem persmn diferensil dengn dny vksinsi untuk nili-nili,55 dn b,5 seperti pd Gmbr dengn v,5 dn α,3 7 8

5 3 Model Older Susceptible Vccintion Model yng dikembngkn oleh Abul-Rub ) secr implisit mengsumsikn bhw vksinsi diberikn kepd byi yng bru lhir newborn), sehingg efekny tidk lngsung terliht pd st interksi dengn subpopulsi penderit Pd bgin ini kn dikembngkn sebuh model dimn vksinsi diberikn kepd individu yng lebih tu dimn kesemptn untuk berinterksi dengn subpopulsi penderit lebih bnyk Mislkn sebnyk w proporsi subpopulsi susceptible ini diberi vksinsi dengn efektifits sebesr ε Dengn sumsi ini mk persmn untuk penderit diberikn oleh S S wε) S ) Titik tetp untuk sistem dengn vksinsi ini dpt dicri sebgi berikut Dri b, diperoleh w tu S w Dri dn w wε diperoleh S tu S yng memberikn du disese-free equilibrium w w S w, w ),) dn S w, w ),) Demikin pul dri dn S w b wε b w yng memberikn wε), diperoleh R wε) ) b b w w ε dn wε wε) / ε Supritn & Muliningtis to pper) endemic equilibrium S, ), R w ) ) criticl vccintion level p w memperlihtkn bhw endemic equlibrium ini stbil lokl jik w pw Dlm hl ini efek dri vksinsi ini dlh mereduksi R menjdi R wε ) R R Prdox pd Model Older Susceptible Vccintion Model pd bgin 3 di ts mengsumsikn bhw vksinsi dilkukn terhdp sebgin dri subpopulsi susceptible Nmun pd kenytnny d beberp penykit yng sush diidentifiksi secr tept, pkh seseorng itu bgin dri subpopulsi susceptible tu infective, mislny pd penykit demm berdrh Soewono & Supritn, 3) Pd bgin berikut ini kn disumsikn bhw vksinsi ditujukn pd subpopulsi susceptible, tetpi dlm prktekny d pelung sm besr bhw pelksnn vksinsi tersebut slh ssrn, ykni terken pd subpopulsi infective Pelung seorng individu yng slh ssrn vksinsi untuk menjdi kondisiny lebih buruk tetp skit tu lebih bersift menulrkn penykit) mislkn p, mk persmn sebgi model vksinsi di ts diberikn oleh S S wε) S 7) wε ) S b + wps 8) Model ini memberikn du buh disese-free equilibrium, persis seperti pd Bgin 3 di ts dn memberikn sebuh endemic equilibrium b b S, ), + w p ε) R ) + ) + )) Criticl w w wε wp wε w p ε vccintion level pd model ini dlh / ε p) Dlm hl ini efek dri vksinsi ini dlh mereduksi R menjdi R3 + w p ε )) R Apbil p < ε, ykni pelung seorng individu yng slh ssrn vksinsi untuk menjdi kondisiny semkin buruk lebih kecil dri efektifits vksin, mk the bsic reproductive rtio of epidemic, R, kn mengecil menjdi R 3 ni berrti vksinsi berhsil menekn lju penyebrn penykit Nmun, seblikny pbil p > ε mk R kn membesr menjdi R 3 Bhkn semkin besr tingkt vksinsi, semkin besr pul pertmbhn yng terjdi pd R ni berrti penyebrn penykit semkin pest Jels ini merupkn sutu prdox yng bertentngn dengn tujun vksinnsi p w 9

6 Penutup Dlm pper ini telh dibhs model vksinsi untuk du sumsi yng berbed Asumsi pertm dlh individu yng divksin tidk dpt lngsung melkukn kontk dengn penderit terisolsi sementr, mislny vksinsi terhdp byi dimn kontkny dengn duni lur tidk begitu intensif) dn sumsi yng kedu dlh individu yng divksin dpt lngsung kontk dengn penderit mislny vksinnsi untuk nk usi sekolh dimn intensits kontk dengn duni lur cukup intensif) Untuk setip model dengn sumsi tersebut dihitung strtegi vksinsi yng berup tingkt vksinnsi minimum yng hrus dilkukn Telh dibuktikn bhw model dengn sumsi yng kedu menghsilkn sutu prdox yng dpt muncul sebgi efek dri pelksnn vksinsi pbil d sumsi tmbhn bhw dlm beberp hl pelksnn bis slh trget dn vksinsi mempunyi efek yng negtif jik dilkukn pd individu yng sudh/sedng terinfeksi dengn penykit yng bersngkutn Sebgi penutup, dlm hl ini dpt disrnkn bhw pd pelksnn progrm vksinsi perlu dilkukn screening untuk memstikn bhw individu trget vksinsi sesui seperti yng dihrpkn Dftr Pustk Abul-Rub, MS ) Vccintion in Model of n Epidemic nternt J Mth & MthSci 3, No 6 :5-9 Anderson, R & R My 993) nfectious Disese of Humns: Dynmics nd Control Oxford University Press, Oxford, UK Diekmnn, O & JAP Heesterbeek ) Mthemticl Epidemiology of nfectious Disese Johm Wiley & Sons, New York,USA Kermck, WO & AG McKendrick 97) Contribution to the mthemticl theory of epidemics, prt Proc Roy Lond A 5: 7-7: Reprinted s Bull Mth Biol 99), 53: Nisbet, RM & C Gurney 98) Modelling Fluctuting Popultions John Willey, Brisbne, Austrli Soewono, E & AK Supritn ) A Two-dimensionl Model for the Trnsmission of Dengue Fever Disese Bull Mly Mth Sc Soc ):9-57 Soewono, E & AK Supritn 3) A Prdox of Vccintion Predicted by Single Host-Vector Epidemic Model ndin Mthemticl Society Journl submitted) Supritn, AK & D Muliningtis to pper) Prdox of Vccintion rising in simple S model