MASALAH STURM-LIOUVILLE SINGULAR FRAKSIONAL
|
|
|
- Deddy Ari Sugiarto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MASALAH STURM-LIOUVILLE SINGULAR FRAKSIONAL Nurul Qomriyh, Sutrim, dn Supriydi Wibowo Progrm Studi Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Sebels Mret Surkrt Abstrk. Mslh Sturm-Liouville dibgi menjdi tig jenis yitu reguler, periodik, dn singulr. Mslh Sturm-Liouville frksionl merupkn perlusn mslh Sturm-Liouville bis, yitu dengn memperlus order derivtif bult menjdi frksionl (tidk bult). Mslh Sturm-Liouville frksionl dpt dibngun dengn menggnti turunn frksonl pd opertor Sturm-Liouville bis. Pd penelitin ini diselidiki mslh Sturm-Liouville singulr frksionl. Penyelidikn difokuskn pd sift-sift self-djoint, nili eigen, fungsi eigen, dn kesederhnn dri mslh Sturm-Liouville singulr frksionl. Terkhir, diperoleh sift-sift mslh Sturm- Liouville singulr frksionl yitu memut opertor self-djoint, mempunyi nili eigen rel, fungsi eigen dri nili eigen yng berbed ortogonl terhdp fungsi bobot r(x), dn nili eigenny sederhn (simple). Kt kunci: singulr, mslh Sturm-Liouville frksionl, nili eigen, fungsi eigen. 1. Pendhulun Persmn diferensil Sturm-Liouville merupkn persmn diferensil bis dengn orde du. Persmn diferensil Sturm-Liouville yng dilengkpi dengn syrt bts homogen disebut mslh Sturm-Liouville. Mslh Sturm- Liouville dibgi menjdi tig jenis yitu reguler, periodik, dn singulr. Mslh Sturm-Liouville singulr memiliki beberp sift yitu memut opertor yng bersift self-djoint, mempunyi nili eigen rel, dn fungsi eigen dri nili eigen yng berbed ortogonl terhdp fungsi bobot r(x). Permslhn Sturm-Liouville dlh menentukn nili eigen λ dn fungsi eigen y(x) yng bersesuin dengn λ. Penelitin terhdp metode penyelesin mslh Sturm-Liouville msih terus dilkukn smpi dengn st ini. Mislny, Nemty dn Drzi [6] menyelesikn mslh Sturm-Liouville menggunkn Metode Pertubrsi Homotopi (MPH), Al-Mdlll [1] jug telh menyelesikn mslh Sturm-Liouville menggunkn Metode Dekomposisi Adominn (MDA), dn Ertürk [3] menggunkn metode trnsformsi diferensil untuk menyelesikn mslh Sturm-Liouville. Mslh Sturm-Liouville frksionl dlh mslh Sturm-Liouville bis yng berorde frksionl (tidk bult). Persmn diferensil frksionl untuk mslh syrt bts hny dpt dibngun menggunkn turunn frksionl 1
2 Mslh Sturm-Liouville... N. Qomriyh, Sutrim, S. Wibowo knn dn kiri. Dengn menggunkn definisi turunn knn dn kiri Riemnn- Liouville dn Cputo, Zyernouri dn Krnidkis [9] dpt mengonstruksikn persmn diferensil Sturm-Liouville singulr frksionl sebgi L α [y] = D α [p(x)d α +y] + q(x)y = λr(x)y dengn L α dlh sutu opertor diferensil frksionl, p > 0 dn p, q merupkn fungsi kontinu yng bernili rel pd intervl [, b], r disebut fungsi bobot, dn r > 0 untuk setip x (, b]. Dengn menerpkn definisi turunn frksionl Riemnn-Liouville dengn turunn frksionl Cputo kn diperoleh persmn diferensil frksionl Sturm-Liouville singulr. Kemudin, dengn mengcu pd sift-sift yng dimiliki oleh mslh syrt bts Sturm-Liouville singulr kn ditentukn sift-sift dri mslh syrt bts Sturm-Liouville singulr frksionl. 2. Lndsn Teori 2.1. Klkulus Frksionl. Menurut Podlubny [7], klkulus frksionl dlh bidng ilmu mtemtik yng mempeljri tentng teori integrl dn turunn berorde frksionl (tidk bult) yng merupkn perlusn dri integrl dn turunn berorde bult. Mengcu pd Klimek dn Agrwl [5] opertor integrl dn turunn frksionl Riemnn-Liouville didefinisikn sebgi berikut. Definisi 2.1. Diberikn α > 0. Opertor integrl Riemnn-Liouville sisi kiri dn sisi knn berorder α didefinisikn sebgi I+f(x) α = 1 Γ(α) I α f(x) = 1 Γ(α) x x (x t) α 1 f(t)dt, x > (x t) α 1 f(t)dt, x < b, dengn Γ dinotsikn sebgi fungsi gmm Euler. Definisi 2.2. Diberikn α > 0. Opertor turunn Riemnn-Liouville sisi kiri dn sisi knn berorde α didefinisikn sebgi (D α +f)(x) = D(I 1 α + f)(x), x > (2.1) (Df)(x) α = D(I 1 α f)(x), x < b, Definisi 2.3. Diberikn α > 0, dn n = α. Opertor turunn Cputo sisi kiri dn sisi knn berorde α didefinisikn sebgi (D α +f)(x) = (I 1 α + Df)(x), x >. (D f)(x) α = (I 1 α ( D)f)(x), x < b. (2.2)
3 Mslh Sturm-Liouville... N. Qomriyh, Sutrim, S. Wibowo Dengn mengcu pd Kruni [4], berikut diberikn lem tentng klkulus frksionl. Lem 2.4. Opertor turunn yng didefinisikn pd persmn (2.1)-(2.2) memenuhi identits berikut b f(x)d α [g(x)d α +k(x)]dx = b g(x)d α +f(x)d α +k(x)dx f(x)i 1 α + [g(x)d α +k(x)] b Mslh Sturm-Liouville Frksionl. Mengcu pd Rivero et.l [8], mslh Sturm-Louville frksionl dlh mslh Sturm-Liouville dengn turunn frksionl (tidk bult). Menurut Drzi dn Nemty [6], mslh Sturm- Liouville frksionl didefinisikn sebgi D α (p(x)y (x)) + q(x)y(x) + λr(x)y(x) = 0, 0 < α 1, x (, b), (2.3) dengn p(x) > 0, r(x) > 0 untuk setip x [, b], fungsi p(x), q(x), dn r(x) kontinu dlm intervl [, b], r(x) merupkn fungsi bobot, dn D α opertor turunn frksionl berorde α. Nili λ disebut nili eigen. Penyelesin y(x) yng bersesuin dengn nili λ disebut fungsi eigen. Syrt bts dri persmn (2.3) yitu c 1 y() + c 2 y () = 0, d 1 y(b) + d 2 y (b) = 0 dengn c 1, c 2, d 1, d 2 merupkn konstnt rel. 3. Hsil dn Pembhsn 3.1. Mslh Sturm-Liouville Singulr Frksionl. Mslh Sturm-Liouville singulr frksionl dlh persmn diferensil berbentuk L α [y] = D α [p(x)d α +y] + q(x)y = λr(x)y, 1 2 < α 1, x (, b) (3.1) yng dilengkpi dengn syrt bts y() = 0, c 1 y(b) + c 2 I 1 α [p(b)dα +y(b)] = 0 dengn p, D α p(x), q, r merupkn fungsi rel kontinu, p dn r > 0 pd intervl [, b]. Nili eigen dlh nili λ yng menyebbkn persmn (3.1) memiliki penyelesin tidk tunggl (y(x) 0) sedngkn fungsi eigen dlh penyelesin yng bersesuin dengn nili eigen λ yng diperoleh dri persmn (3.1) tersebut dn r disebut fungsi bobot
4 Mslh Sturm-Liouville... N. Qomriyh, Sutrim, S. Wibowo 3.2. Sift-Sift Mslh Sturm-Liouville Singulr Frksionl. Teorem 3.1. Opertor mslh Sturm-Liouville singulr frksionl dlh selfdjoint pd intervl (, b]. Bukti. Misl diberikn y n dn y m dlh fungsi eigen mslh Sturm-Liouville singulr frksionl dengn syrt bts y n () = 0, d 1 y n (b) + d 2 I 1 α [p(b)dα +y n (b)] = 0 (3.2) y m () = 0, d 1 y m (b) + d 2 I 1 α [p(b)dα +y m (b)] = 0. (3.3) Akn dibuktikn bhw L α [y n ], y m = y n, L α [y m ]. (1) Akn ditentukn L α [y n ], y m. L α [y n ], y m = y m (x)d α [p(x)d α +y n (x)]dx + q(x)y n (x)y m (x)dx. (3.4) Jik Lem 2.4 diterpkn pd persmn (3.4) dn disubstitusikn pd syrt bts (3.2) mk diperoleh L α [y n ], y m = (2) Akn ditentukn y n, L α [y m ]. y n, L α [y m ] = p(x)d α +y m (x)d α +y n (x)dx + d 1 d 2 y n (b)y m (b) + q(x)y n (x)y m (x)dx. (3.5) y n (x)d α [p(x)d α +y m (x)]dx + q(x)y n (x)y m (x)dx. (3.6) Jik Lem 2.4 diterpkn pd persmn (3.6) dn disubstitusikn pd syrt bts (3.3) mk diperoleh y n, L α [y m ] = p(x)d α +y n (x)d α +y m (x)dx + d 1 d 2 y m (b)y n (b) + q(x)y n (x)y m (x)dx. (3.7) Kren persmn (3.5) dn persmn (3.7) dlh sm, mk terbukti bhw L α [y n ], y m = y n, L α [y m ]. Dengn kt lin, opertor mslh Sturm-Liouville singulr frksionl dlh self-djoint pd (, b]. Teorem 3.2. Nili eigen dri mslh Sturm-Liouville singulr frksionl dlh rel. Bukti. Misl diberikn λ dlh nili eigen yng bersesuin dengn fungsi eigen y pd opertor mslh Sturm-Liouville singulr frksionl. Beberp persmn yng memenuhi fungsi eigen y dn konjugt kompleks fungsi eigen y yitu y() = 0, L α [y(x)] = λr(x)y(x) (3.8) d 1 y(b) + d 2 I 1 α [p(b)dα +y(b)] = 0 (3.9) L α [y(x)] = λr(x)y(x) (3.10)
5 Mslh Sturm-Liouville... N. Qomriyh, Sutrim, S. Wibowo y() = 0, d 1 y(b) + d 2 I 1 α [p(b)dα +y(b)] = 0 (3.11) Kemudin persmn (3.8) diklikn dengn y(x) dn persmn (3.10) diklikn dengn y(x) sert mengurngkn kedu persmn tersebut diperoleh y(x)l α [y(x)] y(x)l α [y(x)] = (λ λ) y(x) 2 r(x). (3.12) Persmn (3.12) diintegrlkn pd intervl [, b] dn diterpkn pd Lem 2.4 sehingg diperoleh (λ λ) y(x) 2 r(x)dx = y()i 1 α [p()dα +y()] y(b)i 1 α [p(b)dα +y(b)] + y(b)i 1 α [p(b)dα +y(b)] y()i 1 α [p()dα +y()]. (3.13) Persmn (3.9) dn (3.11) disubstitusikn pd persmn (3.13) diperoleh (λ λ) y(x) 2 r(x)dx = 0. (3.14) Kren y(x) dlh penyelesin nontrivil (y(x) 0) dn r(x) > 0 mk persmn (3.14) dpt ditulis sebgi λ λ = 0 λ = λ. Dengn kt lin, nili eigen dri mslh Sturm-Liouville singulr frksionl dlh rel. Teorem 3.3. Fungsi eigen mslh Sturm-Liouville singulr frksionl yng bersesuin dengn nili eigen yng berbed ortogonl terhdp hsil kli dlm < u, v > r = u(x)v(x)r(x)dx. Bukti. Ambil sembrng du fungsi eigen y n, y m yng msing-msing bersesuin dengn nili eigen λ n, λ m dengn λ n λ m. Apbil y n, y m msing-msing disubstitusikn pd mslh Sturm-Liouville singulr frksionl diperoleh beberp persm yitu L α [y n ] = λ n r(x)y n (3.15) y n () = 0, d 1 y n (b) + d 2 I 1 α [p(b)dα +y n (b)] = 0 (3.16) L α [y m ] = λ m r(x)y m (3.17) y m () = 0, d 1 y m (b) + d 2 I 1 α [p(b)dα +y m (b)] = 0. (3.18) Jik persmn (3.15) diklikn dengn y m dn persmn (3.17) diklikn dengn y n sert mengurngkn kedu persmn tersebut mk diperoleh y m L α [y n ] y n L α [y m ] = (λ n λ m )y n y m r(x). (3.19) Persmn (3.19) diintegrlkn pd intervl [, b] dn diterpkn pd persmn (3.1) sehingg diperoleh (λ n λ m )y n y m r(x)dx = (y m D α [p(x)d α +y n ] y n D α [p(x)d α +y m ])dx. (3.20)
6 Mslh Sturm-Liouville... N. Qomriyh, Sutrim, S. Wibowo Jik Lem 2.4 diterpkn pd persmn (3.20) mk diperoleh (λ n λ m )y n y m r(x)dx = y m ()I 1 α [p()dα +y n ()] y m (b)i 1 α [p(b)dα +y n (b)] y n ()I 1 α [p()dα +y m ()] + y n (b)i 1 α [p(b)dα +y m (b)]. (3.21) Persmn (3.16) dn (3.18) disubstitusikn pd persmn (3.21) diperoleh (λ n λ m )y n y m r(x)dx = 0. (3.22) Kren λ 1 λ 2 mk persmn (3.22) dpt ditulis sebgi y n y m r(x)dx =< y n, y m > r = 0. Dengn kt lin, fungsi eigen mslh Sturm-Liouville singulr frksionl yng bersesuin dengn nili eigen yng berbed ortogonl terhdp hsil kli dlmny. Teorem 3.4. Nili eigen dri mslh Sturm-Liouville singulr frksionl dlh sederhn (simple). Bukti. Diberikn λ merupkn nili eigen yng bersesuin dengn fungsi eigen dri mslh Sturm-Liouville singulr frksionl dengn y 1, y 2 merupkn syrt bts y 1 () = 0, c 1 y 1 (b) + c 2 I 1 α [p(b)dα +αy 1 (b)] = 0 (3.23) y 2 () = 0, c 1 y 2 (b) + c 2 I 1 α [p(b)dα +αy 2 (b)] = 0. (3.24) Wronskin pd x = dirumuskn W α [y 1, y 2 ]() = y 1 ()D α +y 2 () y 2 ()D α +y 1 (). (3.25) Jik syrt bts (3.23) dn (3.24) disubstitusikn ke persmn (3.25) mk W α [y 1, y 2 ]() = 0. Jdi y 1 dn y 2 bergntung linier. Kren W α [y 1, y 2 ]() = 0 sert y 1 dn y 2 bergntung linier mk dpt disimpulkn bhw nili eigen dri Sturm-Liouville singulr frksionl dlh sederhn (simple). 4. Penerpn Ksus Contoh 4.1 Diberikn mslh Sturm-Liouville singulr yitu y + λy = 0, x (0, 1) (4.1) dengn syrt bts y(0) = 0, y(1) + y (1) = 0. Persmn (4.1) dpt ditulis kedlm bentuk L 1 y(x) = λy(x). (4.2) Syrt bts dri persmn (4.1) dpt ditulis kedlm bentuk y(0) = 0, y(1) + D 0+y(1) 1 = 0. (4.3)
7 Mslh Sturm-Liouville... N. Qomriyh, Sutrim, S. Wibowo Terliht bhw persmn (4.2) pbil dilengkpi dengn persmn (4.3) merupkn bentuk mslh Sturm-Liouville singulr frksionl dengn orde α = 1. Mengcu pd Boyce dn DiPrim [2] nili eigen yng diperoleh dri persmn (4.1) yitu λ 1 = 4.116, λ2 = 24.14, λ3 = 63.66, dn λn = (2n 1) 2 π 2 /4 untuk n = 4, 5,.... Hl ini menunjukkn bhw nili eigen dri persmn (4.1) dlh rel. Fungsi eigen dri persmn (4.1) yitu y(x) = k n sin λ n x, n = 1, 2,..., (4.4) dengn k n dlh sembrng konstnt, sert sin λ n x bergntung linier jdi nili eigenny simple. Selnjutny, dipilih sembrng nili eigen dn disubstitusikn pd persmn (4.4), sert dengn mengmbil nili k n = 1 diperoleh hsil perhitungn berikut. 1 0 y 1 (x)y 3 (x)r(x)dx = Dri hsil perhitungn tersebut terliht bhw hsilny mendekti nol. Dengn kt lin, fungsi eigen dri nili yng berbed ortogonl terhdp fungsi bobot. Di pihk lin, dny fungsi eigen yng telh diperoleh ini menunjukkn bhw persmn (4.1) mempunyi penyelesin. Grfik penyelesin dri persmn (4.1) ditunjukkn pd Grfik 1. y x Gmbr 1. y 0 (merh), y 1 (biru), y 2 (hiju), dn y 3 (ungu) Contoh 4.2 Diberikn mslh Sturm-Liouville singulr frksionl dengn orde α = 5 8 yitu D 5 4 y(x) = λy(x) (4.5) dengn syrt bts y(0) = 0, y(1) + I D y(1) = 0. (4.6) Nili eigen dri persmn (4.5) yitu λ 1 = 2.749, λ2 = 8.051, λ3 = , dn λ n = 7(2n+1)π 8 untuk n = 4, 5,. Hl ini menunjukkn bhw nili eigen dri persmn (4.5) dlh rel. Mengcu pd Rivero et.l [8], fungsi eigen dri persmn (4.5) yitu y(x) = k n sin(λ 4 5 n x), n = 1, 2,, (4.7)
8 Mslh Sturm-Liouville... N. Qomriyh, Sutrim, S. Wibowo sin(λ n x) bergntung linier jdi nili eigenny simple. Selnjutny, dipilih sembrng nili eigen dn disubstitusikn pd persmn (4.7) sert dengn mengmbil k n = 1 diperoleh hsil perhitungn berikut. 1 0 y 1 (x)y 3 (x)r(x)dx = Dri hsil perhitungn tersebut terliht bhw hsilny mendekti nol. Dengn kt lin, fungsi eigen dri nili yng berbed ortogonl terhdp fungsi bobot. Di pihk lin, dny fungsi eigen yng telh diperoleh ini menunjukkn bhw persmn (4.5) mempunyi penyelesin. Grfik penyelesin dri persmn (4.5) ditunjukkn pd Grfik 2. 1 y x Gmbr 2. y 0 (merh), y 1 (biru), y 2 (hiju), dn y 3 (ungu) 5. Kesimpuln Berdsrkn pembhsn dpt diperoleh kesimpuln bhw mslh Sturm- Liouville singulr frksionl mempunyi sift yng serup dengn mslh Sturm- Liouville singulr. Sift-siftny yitu memut opertor yng bersift self-djoint, mempunyi nili eigen rel, fungsi eigen dri nili eigen yng berbed ortogonl terhdp fungsi bobot r(x), dn nili eigenny sederhn (simple). DAFTAR PUSTAKA 1. Al-Mdlll, Q.M., An Efficient Method for Solving Frctionl Sturm-Liouville Problems, Chos Solitons Frctls 40 (2009), no. 1, Boyce, W.E. nd R.C. DiPrim, Elementry Differentil Equtions nd Boundry vlue problems, John Wiley nd Sons, Inc, United Sttes of Americ, Ertürk, V. S., Computing Eigenelements of Sturm-Liouville Problems of Frctionl Order vi Frctionl Differentil Trnsform Method,, Mth. Comput. Appl 16 (2011), Kruni, N., Mslh Syrt Bts Sturm-Liouville Singulr Frksionl untuk Persmn Bessel, Skripsi Jurusn Mtemtik FMIPA UNS, Surkrt, Klimek, M. nd O. P. Agrwl, On Regulr Frctionl Sturm-Liouville Problem with Derivtives of Order in (0,1), 13th Interntionl Crpthin Control Conference, Vysoke Ttry (2012), Nemty, A. nd R. Drzi., Homotopy Perturbtion Method for Solving Sturm- Liouville Problem of Frctionl Order, Journl Appliction Mth 8 (2011), Podlubny, I., Frctionl Differentil Equtions, Acdemic Press, Sn Diego, Rivero, M., J. Trujillo, nd M.P. Velsco, A Frctionl Approch to Sturm-Liouville Problems, Centrl Europen Journl of Physics 11 (2013), no Zyernouri, M. nd G.E. Krnidkis, Frctionl Sturm-Liouville eigen-problems : Theory nd Numericl Approximtion, Journl of Computtionl Physics 252 (2013),
Masalah Sturm-Liouville Singular Fraksional
Prosiding SI MNIs (Seminr Nsionl Integrsi Mtemtik dn Nili Islmi) Vol., No., Juli 27, Hl. 54-546 p-issn: 258-4596; e-issn: 258-46X Hlmn 54 Mslh Sturm-Liouville Singulr Frksionl Nurul Qomriyh*, Sutrim**,
Teorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
Integral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
PERLUASAN METODE INTEGRASI HASIL-KALI BERTIPE TRAPESIUM. Eko Budiansyah 1 ABSTRACT
PERLUASAN METODE INTEGRASI HASIL-KALI BERTIPE TRAPESIUM Eko Budinsyh Mhsisw Progrm Studi S Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus Binwidy Peknbru (28293), Indonesi eko budinsyh@yhoo.com
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL LINEAR ABSTRACT
METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL LINEAR Azhrr Fortun Drno 1, Symsudhuh 2, Aziskhn 2 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun
14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN
4. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 4. Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Pd bb ini kit kn mempeljri sift-sift dsr integrl Riemnn. Sift pertm dlh sift kelinern, yng dinytkn dlm Proposisi. Sepnjng bb ini, I menytkn
MA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
METODE TRAPESIUM TERKOREKSI KOMPOSIT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA. Fitra Anugrah 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT
METODE TRAPESIUM TERKOREKSI KOMPOSIT UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA Fitr Anugrh 1, Zulkrnin 2 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik
SUKU BANYAK ( POLINOM)
SUKU BANYAK ( POLINOM) Bb 16 Skl 8.Menyelesikn mslh yng berkitn dengn teorem sis tu teorem fktor A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk x x x... x x, dengn 0 dn n { bil. cch} 1 0 disebut dengn Suku bnyk (Polinomil)
METODE ITERASI DUA LANGKAH BERDASARKAN ATURAN KUADRATUR BARU UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Meutia Raya Fitri 1 ABSTRACT
METODE ITERASI DUA LANGKAH BERDASARKAN ATURAN KUADRATUR BARU UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Meuti Ry Fitri Mhsisw Progrm Studi S Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus
matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
PROSIDING ISBN : RUANG LINEAR BERNORMA CESS. Muslim Ansori
PROSIDING ISBN : 978 979 16353 3 RUANG LINEAR BERNORMA C (, L ([, b ] An-1 Muslim Ansori Jurusn Mtemtik FMIPA Universits Lmpung Almt : Jln. Soemtri Brodjonegoro No.1 Bndr Lmpung E-mil: nsomth@yhoo.com
Deret Fourier. (Pertemuan X) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 47 Mtemtik III Deret Fourier (Pertemun X) Dr. AZ Jurusn Teknik Sipil Fkults Teknik Universits Brwijy Pendhulun Deret Fourier ditemukn oleh ilmun Perncis, Jen Bptiste Joseph Fourier (768-83) yng menytkn
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
SOLUSI POLINOMIAL PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL FREDHOLM LINEAR DENGAN KOEFISIEN KONSTAN ABSTRACT
SOLUSI POLINOMIAL PERSAMAAN INTEGRO-DIFERENSIAL FREDHOLM LINEAR DENGAN KOEFISIEN KONSTAN Imm Tufik 1, Symsudhuh, Zulkrnin 1 Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemtik Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun
BAB 4 IMPLEMENTASI HASIL PENELITIAN. Rancangan ini dibuat dan dites pada konfigurasi hardware sebagai berikut :
BAB 4 IMPLEMENTASI HASIL PENELITIAN 4.1 Spesifiksi Hrdwre dn Softwre Rncngn ini diut dn dites pd konfigursi hrdwre segi erikut : Processor : AMD Athlon XP 1,4 Gytes. Memory : 18 Mytes. Hrddisk : 0 Gytes.
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
(1) Pertemuan I: Fungsi bernilai kompleks, lintasan, dan integral lintasan. (2) Pertemuan II: Antiderivatif dan Teorema Cauchy-Goursat.
Bb 4 Integrl Bb 4 ini direncnkn kn dismpikn dlm 4 kli pertemun, dengn perincin sebgi berikut: (1) Pertemun I: Fungsi bernili kompleks, lintsn, dn integrl lintsn. (2) Pertemun II: Antiderivtif dn Teorem
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Smrt Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2013/2014 Disusun Sesui Indiktor Kisi-Kisi UN 2013 Mtemtik SMA (Progrm Studi IPA) Disusun oleh : Pk Anng - Blogspot Pge 1 of 13 5. 2. Menyelesikn sol pliksi
matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng
PAM 252 Metode Numerik Bab 6 Pengintegralan Numerik
PAM 252 Metode Numerik Bb 6 Pengintegrln Numerik Mhdhivn Syfwn Jurusn Mtemtik FMIPA Universits Andls Semester Genp 2013/2014 1 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik Motivsi Pendhulun Motivsi
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
MATEMATIKA INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI. Teknik substitusi aljabar yang telah dipelajari sebelumnya memiliki bentuk
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN 04 Sesi NGAN INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI Teknik substitusi ljbr yng telh dipeljri sebelumny memiliki bentuk n+ n n u [ f ( )] f ( ) u n + + Di mn: u f()
FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan
2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,
MODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
MODUL DETERMINN DN INVERS MTRIKS.. Determinn Definisi. (Determinn) Untuk setip mtriks berukurn n x n, yng dikitkn dengn sutu bilngn rel dengn sift tertentu dinmkn determinn, dengn notsi dri determinn mtriks
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &
PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh
IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
11. PROGRAM LINEAR. A. Persamaan Garis Lurus. (x 2, y 2 ) (0, a) y 2. y 1. (x 1, y 1 ) (b, 0) X. x 1
11. PROGRAM LINEAR A. Persmn Gris Lurus y 1 (x 1, y 1 ) y 2 y 1 (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) (, ) x 1 x 1 x 2 (b, ) b. Persmn gris yng bergrdien m dn mellui titik (x 1, y 1 ) dlh: y y 1 = m(x x 1 ) b. Persmn
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma. Persamaan & Fungsi logaritma. Pengertian Logaritma 10/9/2013
10/9/013 Penyelesin Persmn dengn Logritm Persmn & Fungsi logritm Tim Dosen Mtemtik FTP Logritm dpt digunkn untuk mencri bilngn yng belum dikethui (bilngn x) dlm sebuh persmn, khususny persmn eksponensil
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
Solusi Pengayaan Matematika
Solusi Pengn Mtemtik Edisi pril Pekn Ke-, 00 Nomor Sol: -0 Tentukn bnk psngn bilngn rel, ng memenuhi persmn ot ot Solusi: ot ot tnπ otπ π tnπ tn π π π π k π k 00 k 00 k k 00 k k 00 k k 00 k k 00 Kren k
TRIGONOMETRI I. KOMPETENSI YANG DICAPAI
TRIGONOMETRI I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt : 1. Membuktikn identits trigonometri.. Menghitung hubungn ntr sudut dn sisi segitig dengn Rumus Sinus. 3. Menghitung hubungn ntr sudut dn sisi segitig
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Hl di 9 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 7. Definisi Sebuh mtiks buju sngk dengn ode n n mislkn A, dn sebuh vekto kolom X. Vekto X dlh vekto dlm ung Euklidin dengn sebuh pesmn: n R yng dihubungkn AX X (7.)
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
BAB III METODE METODE DEFUZZYFIKASI
Fuy Logi Metode Metode Deuyiksi BAB III METODE METODE DEFUYFIKASI Seperti yng telh dihs dlm, hw untuk meruh kelurn uy menjdi nili risp mk diperlukn sutu proses yng leih dikenl dengn istilh deuyiksi Dlm
Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
INTEGRAL TAK TENTU. x x x
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Suku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
LINEARISASI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL PADA MODEL EPIDEMI SIR BERDASARKAN KELOMPOK UMUR
LINEARISASI SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL PADA MODEL EPIDEMI SIR BERDASARKAN KELOMPOK UMUR Dwi Lestri 1 nd Widodo 2 1 ) Jurusn Pendidikn Mtemtik UNY Emil: dwilestri@unycid 2 ) Jurusn Mtemtik Universits
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
ANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00
Konstruksi Super Matriks Simetris Persegi Latin
SEMINR NSIONL MTEMTIK DN PENDIDIKN MTEMTIK UNY Konstruksi Super Mtriks Simetris Persegi Ltin T - Hendr Krtik Progrm Studi Pendidikn Mtemtik, Universits Singperbngs Krwng, Jln. H.S. Ronggowluyo Telukjmbe
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
SUKU BANYAK ( POLINOM)
SUKU BANYAK ( POLINOM) B 15 A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk 1 0 x x x x x, dengn 0 dn n { il. cch } n diseut dengn Suku nyk (Polinomil) dlm x erderjt n ( n dlh pngkt tertinggi dri x),,,., diseut keofisien
2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT A. Persmn Kudrt. Bentuk umum persmn kudrt : x + bx + c = 0, 0. Nili determinn persmn kudrt : D = b c. Akr-kr persmn kudrt dpt dicri dengn memfktorkn tupun
LIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Minggu ke 6 LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS) 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001,, 2 + 1/10 n maka :
Minggu ke 6 Modul Mtemtik LIMIT FUNGSI LIMITS OF FINCTIONS). BRISN SEQUENCES) VS. LIMIT FUNGSI LIMITS OF FUNCTIONS) Contoh : Sequence : fn) = + / n,,,,,,,,, + / n mk : Limit dri fungsi f) =, dimn vribel
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift
MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
(c) lim. (d) lim. (f) lim
FMIPA - ITB. MA Mtemtik A Semester, 6-7. Pernytn enr dn slh. () ()! e Solusi. Benr. Fungsi eksonensil (enyeut) memesr leih cet drid fungsi olinom (emilng) sehingg emginny menghsilkn nili Dengn Hoitl s
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X])
![(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X])](/thumbs/52/30257248.jpg "(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X])")
DADU SICHERMAN (Sutu Apliksi dri Fktorissi Tunggl Pd Z[X]) Elh Nurlelh Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Pendidikn Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Pendidikn Indonesi *) ABSTRACT An interesting ppliction
LIMIT FUNGSI. Tapi jika x hanya mendekati 1, f(x) mendekati nilai berapa..? x 0,9 0,99 0,999 0, ,0001 1,001 1,01 1,1
Rinksn Limit Funsi Kels XI IPS SMA Trknit Jkrt LIMIT FUNGSI Limit dlm kt-kt sehri-hri: Mendekti hmpir, sedikit li, tu hr bts, sesutu yn dekt tetpi tidk dpt dicpi. Ilustrsi it = = Funsi ini tk mempunyi
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 Glng Ismu Hndoko 1, M Ntsir 2, Sigit Sugirto 2 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm