MODEL EPIDEMIK DUA PENYAKIT DALAM SATU POPULASI

Transkripsi

1 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: MODEL EPIDEMIK DUA PEYAKIT DALAM ATU POPULAI Yuni Yulid, Fisl, Dewi Anggrini Progrm tudi Mtemtik FMIPA Unlm Universits Lmbung Mngkurt Jl. Jend. A. Yni km. 35,8 Kmpus Unlm Bnjrbru Emil: y_yulid@yhoo.com ABTRAK Pd tulisn ini disjikn model epidemik penyebrn du penykit dlm stu populsi. elnjutny, model tersebut diselidiki eksistensi dn kestbiln titik ekuilibrium bebs penykit dn endemikny. Kt kunci: Model epidemic, titik ekuilibrium, nlisis kestbiln ABTRACT This pper considers epidemic model for spred of two diseses in popultion. From the model we study existence nd stbility of two equilibrium sttes: n infectious free equilibrium nd n endemic equilibrium. Key words: Epidemic model, equilibrium stte, stbility nlysis 1. PEDAHULUA Model epidemik IR pertm kli diperkenlkn oleh Kermck & Mckendrick pd thun 1927 dlm buku A Contribution to the Mthemticl Theory of Epidemics. Model ini disusun secr deterministik untuk menggmbrkn sift penyebrn penykit yng berbentuk persmn diferensil. Bnyk model-model mtemtik yng telh dikembngkn, bertujun untuk mempeljri penulrn penykit, untuk mengevlusi penyebrn dri epidemik, dpt mencegh dny penykit tu untuk meminimlisir penyebrn penykit. Dlm kurun wktu yng pnjng, memhmi perilku penykit kn membntu untuk mengethui pkh epidemik kn menghilng tu tetp berd dlm sutu populsi[2]. Terdpt bnyk model-model mtemtik yng menjelskn perilku sutu penykit. Ad jug yng memberikn model dengn du penykit seperti AID dn kencing nnh tu menjelskn du virus dlm stu penykit berd dlm sutu populsi, mislny influenz dn tobercolusis[2]. Dlm hl ini berrti kemungkinn individu dlm sutu populsi dpt terjngkit du penykit sekligus. Model mtemtik yng dibhs dlh model mtemtik du penykit yng berd dlm stu populsi. Kemudin kn diselidiki titik ekuilibrium dn kestbilnny. 31

2 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: TIJAU PUTAKA 2.1 istem Persmn Diferensil, Titik Ekuilibrium dn Kestbilnny Diberikn sistem persmn diferensil sebgi berikut: x = f(x) (1) dengn x = x 1, x 2,, x n T E R n, f = f 1, f 2,, f n T dn kondisi wl x t = x = x 1, x 2,, x n E. otsi x t = x(x, t) menytkn solusi istem (1) yng mellui x. elnjutny, diberikn definisi titik ekuilibrium istem (1) sebgi berikut. Definisi 1 [7] Titik x R n disebut titik ekuilibrium istem (1) jik f x =. Definisi 2 [9] Titik ekuilibrium x R n pd istem (1) diktkn: ) tbil jik untuk setip terdpt sedemikin sehingg untuk setip solusi istem (2.3) x(t) yng memenuhi x t x < δ mk berkibt x t x < ε untuk setip t t. b) tbil simtotik jik titik ekuilibrium x R n stbil dn terdpt bilngn sehingg untuk setip solusi istem (2.3) x(t) yng memenuhi x t x < δ mk berkibt lim x( t) x. ˆ t c) Tidk stbil jik titik ekuilibrium x R n tidk memenuhi (). Diberikn sistem persmn diferensil homogen sebgi berikut: x = Ax (2) dengn x = x 1, x 2,, x T n E R n dn A mtriks ukurn n n. Berikut ini diberikn sistem persmn diferensil yng linier x = f(x) (3) dengn x E R n, f = f 1, f 2,, f T n dn f E R n R n fungsi kontinu pd E. istem (3) disebut sistem persmn diferensil nonliner jik terdpt fungsi f i pd istem (3) yng nonliner dn tidk dpt dinytkn dlm bentuk istem (2). Definisi 3[5] Diberikn fungsi f = f 1, f 2,, f T n pd istem (3) dengn f i C E, i = 1, 2,, n.mtriks f 1 (x) x 1 f 2 (x) f 1 (x) x 2 f 2 (x) f 1(x) x n f 2(x) J f x = x 1 x 2 x n f n (x) f n (x) f n (x) x 1 x 2 x n dinmkn mtriks Jocbin dri f di titik x. (4) 32

3 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: Definisi 4 [7] Diberikn mtriks Jcobin J f x pd (4). istem linier disebut linierissi istem (3) di sekitr titik x. x = J f x x ift kestbiln lokl titik ekuilibrium ˆx dpt dikethui, slkn titik tersebut hiperbolik. Berikut diberikn definisi titik ekuilibrium hiperbolik.. Definisi 5 [7] Titik ekuilibrium x disebut titik ekuilibrium hiperbolik dri istem (3) jik tidk d nili eigen dri J f x yng mempunyi bgin rel nol. Teorem 6 (6) Diberikn mtriks Jcobin J f x dri istem (3) dengn nili eigen. ) Jik semu bgin rel nili eigen mtriks J f x berhrg negtif, mk titik ekuilibrium ˆx dri istem (3) stbil simtotik lokl. b) Jik terdpt pling sedikit stu nili eigen mtriks J f x yng bgin relny positif, mk titik ekuilibrium ˆx dri istem (3) tidk stbil 2.2. Teorem Routh-Hurwitz Berdsrkn Teorem 6, untuk mengnlisis sift kestbiln lokl diperlukn perhitungn untuk menentukn nili-nili eigen dri mtriks Jcobin di titik ekuilibrium. ebgi lterntif untuk menentukn bgin riil dri nili eigen bernili negtif tu positif digunkn Teorem Routh-Hurwitz. Diberikn polinomil berikut n n1 P() z z 1z n. (5) Definisi 7 [3] Diberikn polinomil (5), dengn positif dn k bilngn rel, k=1,2,3,,n. Mtriks Hurwitz untuk persmn (5) didefinisikn sebgi mtriks bujur sngkr berukurn n yng berbentuk sebgi berikut H n1 n2 n. Determinn Hurwitz tingkt ke-k, dinotsikn dengn k; k 1,2,..., n, yng dibentuk dri mtriks Hurwitz (6), didefinisikn sebgi berikut. (6) 33

4 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: 31-42, , ,..., n n1 Teorem 8 [4] Pembut nol dri Polinomil (5) mempunyi bgin rel negtif jik dn hny,,,,. (7) Model Epidemik IR klsik n Model epidemik IR klsik menggmbrkn penyebrn sutu penykit. Pd model epidemik IR klsik ini, populsi disumsikn dibgi menjdi tig kelompok populsi yitu uceptible () dlh kelompok individu yng seht tetpi rentn terhdp penykit, Infected (I) dlh kelompok individu yng skit dn dpt sembuh dri penykit dn Recovered (R) yitu kelompok individu yng telh sembuh dn kebl terhdp penykit. Totl populsi disumsikn konstn kren tidk terdpt kelhirn, kemtin tupun migrsi. Jdi =+I+R. Berikut model epidemik IR klsik dlm bentuk persmn diferensil d di dr = αi, = αi βi dn = βi. dt dt dt Individu pd kelompok usceptible dpt terinfeksi penykit mellui kontk dengn lju infeksi α. Individu pd kelompok Infected dpt sembuh dri penykit dengn lju kesembuhn β. 2.4 Rsio Reproduksi umbers Untuk mengethui tingkt penyebrn sutu penykit diperlukn sutu prmeter tertentu. Prmeter yng bis digunkn dlm mslh penyebrn penykit dlh Rsio Reproduksi umbers tu Bsic Reproduksi umbers. Rsio Reproduksi merupkn rsio yng menunjukkn jumlh individu susceptible yng dpt menderit penykit yng dikibtkn oleh stu individu infected. Rsio Reproduksi umber (R ) untuk Model Epidemik IR klsik dpt ditentukn dri lju pertumbuhn Infected. Penykit kn menyebr jik lju pertumbuhn Infected terhdp wktu lebih dri nol dn penykit tidk kn menyebr jik lju pertumbuhn Infected (kelompok yng terinfeksi) terhdp wktu kurng dri nol. elnjutny, Rsio Reproduksi umber untuk Model Epidemik IR klsik dlh R = α β. Jdi Penykit kn menyebr jik R < 1 dn penykit tidk kn menyebr jik R > 1. n2 n 34

5 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: METODE PEELITIA Metode yng digunkn dlm penelitin ini dlh studi litertur. Adpun prosedur pd penelitin ini dlh mempeljri mteri yng berhubungn dengn model penyebrn penykit (model IR), istem Persmn Diferensil Liner dn nonliner sert kestbiln lokl sutu titik ekuilibrium, membut sumsi-sumsi pd populsi mnusi, mendefinisikn prmeter yng digunkn pd model. etelh itu, membut digrm trnsfer model penyebrn penykit berdsrkn sumsi-sumsi. Dri digrm trnsfer tersebut diperoleh model epidemik du penykit dlm sutu populsi. elnjutny menentukn titik-titik ekuilibrium model tersebut sert mengnlisis sift kestbiln lokl titik-titik ekuilibrium 4. HAIL DA PEMBAHAA Model epidemik du penykit dlm sutu populsi dibentuk berdsrkn model IR. Model IR ini direduksi menjdi model I dengn sumsi individu yng telh sembuh dri skit tidk mempunyi kekebln, sehingg individu tersebut kn menjdi rentn kembli. Dlm populsi disumsikn terdpt du penykit mislny penykit 1 dn penykit 2. Jumlh populsi mnusi pd st t dilmbngkn dengn (t), yng kemudin dibgi menjdi 4 (empt) subpopulsi yitu usceptible (=(t)) yitu jumlh individu yng rentn terhdp penykit pd st t, Infected 1(I D = I D (t)) yitu jumlh individu yng terinfeksi penykit 1 pd st, Infected 2 (I d = I d (t)) yitu jumlh individu yng terinfeksi penykit 2 pd st t dn Infected 12 dilmbngkn dengn (I dd = I dd (t)) yitu jumlh individu yng terinfeksi penykit 1 dn penykit 2 secr bersmn pd st. Jdi jumlh populsi mnusi dpt dinytkn sebgi ( t) ( t) ID( t) Id ( t) IdD( t). Asumsi-sumsi yng digunkn untuk membentuk model ini dlh setip individu dpt terinfeksi oleh stu tu du penykit sekligus, tidk terdpt kekebln tubuh (rtiny individu sembuh dri stu penykit bis terinfeksi penykit lin tu penykit yng sm), semu individu yng menyebbkn populsi bertmbh msuk ke subpopulsi uceptibles, kedu penykit dpt menyebbkn kemtin, pelung individu yng Infected menjdi Infected dengn penykit lin dlh sm dengn pelung individu yng uceptible menjdi Infected dengn penykit itu. Berikut ini prmeter-prmeter yng digunkn dlm model imbol Keterngn B Bnykny pertmbhn populsi (migrsi dn kelhirn) μ Lju kemtin lmi α Lju penulrn infected 1 (penykit 1) β Lju penulrn infected 2 (penykit 2) σ D Lju kemtin kibt infected 1(penykit 1) σ d Lju kemtin kibt infected 2 (penykit 2) 35

6 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: r D Lju kesembuhn dri infected 1 (penykit 1) r d Lju kesembuhn dri infected 2 (penykit 2) r dd Lju kesembuhn dri infected 12 (penykit 1 dn 2 secr bersm). elnjutny dpt didefinisikn bhw pelung individu menjdi infected 1 dn 2 berturut-turut α(1 β) dn β(1 α). edngkn pelung individu menjdi infected 12 dlh αβ. Lju kemtin untuk infected 12 dlh penjumlhn dri lju kemtin kren infected 1 dn infected 2 yitu (σ D + σ d ). Berdsrkn sumsi-sumsi dn pemprn di ts berikut diberikn digrm lir model epidemik Gmbr 1. Digrm lir model epidemik du penykit Dri Gmbr 1 dpt dituliskn model dlm bentuk sistem persmn diferensil nonliner sebgi berikut d = B μ α 1 β I dt dd αi D β 1 α I dd βi d di D dt di d dt di dd dt αβi dd + r DI D + r d I d + r dd I dd = α 1 β I dd + αi D σ I D + μ + r D I D βi D dd βi I d d = β 1 α I dd + βi d σ I d + μ + r d I d αi d dd αi I d D = (α+β)i D I d + αi d + βi D I dd σ D + σ d + μ + r dd I dd. + αβi dd (8) (8b) (8c) (8d) 4.1 Rsio Reproduksi umber pd Model Rsio Reproduksi umber Untuk penykit 1, ditinju Persmn (8b), yitu di D dt αi D σ D + μ + r D I D > >, kren hny memperhtikn penykit 1 sj mk diperoleh α > σ D + μ + r D Penykit kn menyebr bergntung pd prmeter α σ D + μ + r D > 1. α σ D +μ +r D. Mislkn prmeter α tersebut ditulis R 1 = sebgi Rsio reproduksi number untuk penykit 1. σ D +μ +r D Untuk penykit 2, ditinju Persmn (8c), dengn cr yng sm diperoleh 36

7 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: β R 2 =, sebgi Rsio reproduksi number untuk penykit 2. elnjutny σ d +μ +r d yng berhubungn dengn penykit 12 pd Persmn (8d), Rsio reproduksi numberny dlh R 3 = αβ σ D +σ d +μ +r dd. 4.2 Titik Ekuilibrium dn Kestbiln Model Titik ekuilibrium pd model terdiri dri du jenis, yitu titik ekuilibrium bebs penykit dn titik ekuilibrium endemik. Titik ekuilibrium bebs penykit terjdi jik populsi terbebs dri penykit, sedngkn titik ekuilibrium endemik terjdi ketik terdpt penykit di dlm populsi (stu tu du sekligus). Titik ekuilibrium disimbolkn dengn E i =, I D, I d, I dd, Titik ekuilibrium berdsrkn Definisi 1 hrus memenuhi: B μ α 1 β I dd αi D β 1 α I dd βi d αβi dd + r DI D +r d I d + r dd I dd = (9) α 1 β I dd + αi D β 1 α I dd + βi d α + β I D I d σ D + μ + r D I D β I d + I dd I D = σ d + μ + r d I d α I D + I dd I d = + αi d + βi D I dd σ D + σ d + μ + r dd I dd + αβi dd = Titik Ekuilibrium Model Titik ekuilibrium bebs penykit tercpi jik I d = I D = I dd =, jik disubstitusi ke Persmn (9) mk diperoleh = B. Jdi diperoleh titik μ ekuilibrium bebs penykit, yitu E 1 = B μ,,,. Pd model ini, titik ekulibrium endemik dlh 1. Jik penykit 1 eksis (I D ) dn tidk terdpt penykit yng lin, mk titik ekuilibriumny dlh E 2 =, I D,, dengn = + I D, B σ = D +μ+r D B α σ dn I σ D r D σ 2 D +ασ D +αμ μσ D = D μ r D, slkn R D σ D r D σ 2 D +ασ D +αμ μσ 1 > 1. D 2. Jik penykit 2 eksis (I d ) dn tidk terdpt penykit yng lin, mk titik ekuilibriumny dlh E 3 =,, I d, dengn = + I d, B σ = d +μ+r d B β σ dn I σ d r d σ 2 d +βσ d +βμ μσ d = d μ r d, slkn R d σ d r d σ 2 d +βσ d +βμ μσ 2 > 1. d (9b) (9c) (9d) 3. Penykit 1 dn 2 eksis (I D, I d dn I dd ), peneliti terkendl dlm penyelesin sistem persmn (9), ini dpt dijdikn bhn dikusi untuk penelitin lnjutn Kestbiln Model Mtriks Jcobin dri Model (8) dlh 37

8 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: J = μ α I D β αβ + α I dd β I d β + r d β I D α 1 β I dd + α I D β 1 α I dd + β I d αβi dd β σ D + μ + r D α I D+I dd α + β I D + α I dd α + r D α σ D + μ + r D β I d +I dd α + β αβ + r dd α I d α + β I d + β I dd α 1 β β I D β 1 α α I d α I d + β I D + αβ σ D + σ d + μ + r dd Kestbiln titik ekuilibrium Bebs Penykit Mtriks Jcobin di titik ekuilibrium bebs penykit diperoleh J E 1 = μ α + r D α (σ D + μ + σ d ) β + r d α + β αβ + r dd α 1 β β σ D + μ + r D β 1 α αβ σ D + σ d + μ + r dd Dri Mtriks J E 1 diperoleh persmn krkteristik sebgi berikut J E 1 λi = μ λ α σ D + μ + σ d λ β σ D + μ + r D λ αβ σ D + σ d + μ + r dd λ = (1) Dri Persmn (1) diperoleh λ 1 = μ < λ 2 = α σ D + μ + σ d <, jik α < σ D + μ + σ d λ 3 = β σ D + μ + r D <, jik β < σ D + μ + r D α σ D +μ +σ d < 1 R 1 < 1. β σ D +μ +r D < 1 R 2 < 1. λ 4 = αβ σ D + σ d + μ + r dd <, jik αβ < σ D + σ d + μ + r dd αβ σ D + σ d + μ + r < 1 R 3 < 1. dd Berdsrkn Definisi 5 titik ekuilibrium bebs penykit dlh titik ekuilibrium hiperbolik, sehingg nlisis kestbilnny dpt dijelskn. Berdsrkn Teorem 6 dpt disimpulkn bhw titik ekuilibrium bebs penykit E 1 stbil simtotik lokl slkn R j < 1, j = 1, 2, 3 dn tidk stbil jik R j > 1, j = 1, 2, Kestbiln titik ekuilibrium Endemik Mtriks Jcobin untuk Model (8) di titik ekuilibrium E 2 =, I D,, dlh sebgi berikut. 38

9 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: μ α I D α + r D β + r d J E 2 = α I D α σ D + μ + r D β I D β σ D + μ + r D α I D α + β I D α + β αβ + r dd α 1 β β I D β 1 α β I D + αβ σ D + σ d + μ + r dd Dri Mtriks J E 2 diperoleh persmn krkteristik sebgi berikut J E 2 λi = β σ D + μ + r D α I D λ β I D + αβ σ D + σ d + μ + r dd λ α + β I D β 1 α μ α I D λ α σ D + μ + r D λ α I D α + r D = Jdi diperoleh β σ D + μ + r D α I D λ β I D + αβ σ D + σ d + μ + r dd λ α + β I D tu β 1 α μ α I D λ α σ D + μ + r D λ α I D Dri Persmn (12) dpt ditulis menjdi λ 2 + λ α + α I D + σ D + 2μ + r D + = (11) α + r D =. (12) μα α2 I D + μ σ D + μ + r D + α 2 I D α I D r D + α σ D + μ + r D I D = tu λ λ + 2 = (13) dengn = 1, 1 = α σ D r D, dn 2 = r D α σ D μ r D. 39

10 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: elnjutny untuk mengethui bgin rel dri nili eigen bernili negtif tu bukn, Persmn (13) berdsrkn Definisi 7 dpt dibentuk mtriks Hurwizt sebgi berikut H = 1 3 = elnjutny berdsrkn Teorem 8 bgin rel dri nili eigen kn bernili negtif jik 1 = 1 > dn 2 = > = 1 = 1 = α σ D r D > jik α > σ D + r D (kren R 1 >1) = = 1 2 >. Untuk membuktikn 1 2 >, kren 1 >, kn dibuktikn bhw 2 >. ili 2 = r D α σ D μ r D > jik R 1 > 1. Jdi diperoleh bhw 1 > dn 2 > slkn R 1 > 1. Kren 1 > dn 2 > mk bgin rel dri nili eigenny bernili negtif. elnjutny menentukn bgin rel dri nili eigen yng dpt diperoleh dri Persmn (11) β σ D + μ + r D α I D λ β I D + αβ σ D + σ d + μ + r dd λ λ λ + 2 =, dengn = 1 α + β I D β 1 α = 1 = β + σ D + μ + r D + α I D β I D αβ + σ D + σ d + μ + r dd = β α σ D + μ + r D + σ D + μ + r D + α σ D μ r D β α α σ D μ r D β σ D + μ + r D + σ D + σ d + μ + r dd = α β + α α β αβ + αβ R 2 R 1 R 1 R 3 = α(1 1 ) + β( 1 1) +αβ αβ. R 1 R 2 R 3 R 1 2 = β 2 I D + αβ2 2 β σd + σ d + μ + r β σ dd D + μ + r I D D αβ σ D + μ + r D + σ D + μ + r D σ D + σ d + μ + r dd α + β β 1 α I D = α + β R R 2 α 2 + αβ 1 1 R 3 + β R 2 1 αβ + α R 3 α 1 1 R 1 + β R 2. Berdsrkn Kreteri Routh Hurwizt titik ekuilibrium E 2 =, I D,, bgin rel dri nili eigenny benili negtif jik f = α(1 1 R 1 ) + β( 1 R 2 1) +αβ R 3 αβ R 1 g = α + β R R 2 α 2 + αβ 1 1 R 3 > dn + β R 2 1 αβ + α R 3 α 1 1 R 1 + β R 2 >. 4

11 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: Jdi Titik ekuilibrium endemik E 2 pd istem (8) d jik R 1 > 1 dn tbil simtotik lokl jik f > dn g > terpenuhi. elnjutny untuk menentukn kestbiln E 3 =,, I d, nlog dengn E 2 =, I D,,, diperoleh kesimpuln bhw titik ekuilibrium endemik E 3 =,, I d, d (eksis) jik R 2 > 1 dn stbil simtotik lokl jik memenuhi = β(1 1 ) + α( 1 1) +αβ αβ >, dn R 2 R 1 R 3 R 2 i = β + α + 1 β 2 + αβ α 1 αβ R 1 R 1 R 3 R 1 + β β α >. R 1 R 3 R 2 ebgi bhn diskusi lnjutn dlh untuk titik ekuilibrium endemik penuh, bifurksi dn simulsi numerikny. 5. KEIMPULA Kesimpuln yng diperoleh, yitu: 1. Titik Ekulibrium yng diperoleh dri model dlh. 1.Titik ekuilibrium bebs penykit E 1 = B μ,,, b. Titik Ekuilibrium endemik E 2 =, I D,, dengn = + I D dn B σ = D +μ+r D B α σ, I σ D r D σ 2 D +ασ D +αμ μσ D = D μ r D slkn R D σ D r D σ 2 D +ασ D +αμ μσ 1 > 1. D c. Titik Ekuilibrium endemik E 3 =,, I d, dengn = + I d dn B σ = d +μ+r d B β σ, I σ d r d σ 2 d +βσ d +βμ μσ d = d μ r d slkn R d σ d r d σ 2 d +βσ d +βμ μσ 2 > d 2. Kestbiln titik ekuilibrium. Titik ekuilibrium bebs penykit E 1 = B,,, pd Model (8) ini tbil μ simtotik lokl jik R j < 1, j = 1, 2, 3 dn tidk stbil jik R j > 1, j = 1, 2, 3stbil simtotik lokl b. Titik Ekuilibrium endemik E 2 =, I D,, pd Model (8) ini tbil simtotik lokl jik f > dn g > terpenuhi c. Titik Ekuilibrium endemik E 3 =,, I d, pd Model (8) ini tbil simtotik lokl jik > dn i > terpenuhi. 6. DAFTAR PUTAKA [1] Anton, H. dn Rorres,C., 24, Aljbr Liner Elementer Versi Apliksi, Edisi Kedelpn, lih bhs oleh Indrisri, R. dn Hrmen I., Erlngg, Jkrt. [2] Blyuss, B.K. & Kyrychko.Y., 25, On Bsic Model of Two-Disese Epidemic, Applied Mthemtics nd Computtion, 16 hl [3] Gntmcher, F.R., 1959, The Theory of Mtrices, Chelse Publishing Compny, ew York. [4] Hnh, W., 1967, tbility of Motion, pringer- Verlg, ew York. [5] Kock, H. & Hole, J.K, 1991, Dynmic nd Bifurction, pringer-verlg, ew York. 41

12 Jurnl Mtemtik Murni dn Terpn Vol. 5 o.1 Juni 211: [6] Olsder, G. J., 1994, Mthemticl ystem Theory, Delftse Uitgevers Mtschppij, etherlnds. [7] Perko, L., 1991, Differentil Equtions nd Dynmicl ystems, pringer- Verlg, ew York. [8] Verhulst, F., 199, onliner Differentil Equtions nd Dynmicl ystems, pringer-verlg, Berlin. [9] Wiggins,., 199, Introduction to Applied onliner Dynmicl ystems nd Chos, pringer-verlg, ew York. 42