Graf Ajaib (Super) dengan Sisi Pendan

Transkripsi

1 54 Bab IV Graf Ajaib (Super) dengan Sisi Pen Pada bab ini disajikan metode untuk membentuk graf ajaib (super) baru dari graf ajaib (super) yang sudah diketahui. Berdasarkan metode tersebut diperoleh graf ajaib (super) baru, beberapa di antaranya berupa graf pohon yang memberikan dukungan atas kebenaran Konjektur III.1 atau Konjektur III.. Membentuk graf ajaib (super) baru dapat dilakukan dengan berbagai cara. Salah satunya adalah dengan menghapus sisi dari graf ajaib (super) tertentu, seperti dinyatakan pada dua lemma berikut. Lemma IV.1 (Baca et al., 001) Misalkan G adalah graf ajaib dengan f adalah pelabelan ajaib pada G. Jika ada e E(G) dengan f(e) = 1, maka G e merupakan graf ajaib. Lemma IV. (Muntaner-Batle, 001) Misalkan G merupakan graf ajaib super dengan p titik f : V (G) {1,, 3,..., p} adalah pemetaan yang dapat diperluas ke suatu pelabelan ajaib super pada G. Jika u, v, u, v V (G) sehingga f(u) + f(v) = maks{f(x) + f(y) xy E(G)} f(u ) + f(v ) = min{f(x) + f(y) xy E(G)}, maka G uv G u v merupakan graf ajaib super. Jika dua hasil diatas berkaitan dengan penghapusan sisi, maka hasil berikut berkaitan dengan penambahan sisi.

2 55 Lemma IV.3 (Muntaner-Batle, 001) Misalkan G suatu graf ajaib super dengan p titik f : V (G) {1,, 3,..., p} adalah pemetaan yang dapat diperluas ke suatu pelabelan ajaib super pada G. Jika u, v, u, v V (G) sehingga f(u) + f(v) = maks{f(x) + f(y) xy E(G)} + 1 f(u ) + f(v ) = min{f(x) + f(y) xy E(G)} 1, maka G + uv G + u v merupakan graf ajaib super. Membentuk graf ajaib (super) baru tidak hanya dapat dilakukan dengan menambah atau menghapus sisi dari suatu graf yang sudah diketahui ajaib (super), tetapi dapat juga dilakukan dengan cara menambah titik sisi sekaligus. Pada bagian ini, kami menyajikan metode membentuk graf ajaib (super) baru melalui operasi corona. Jika G suatu graf H = nk 1, maka G H sama dengan membentuk suatu graf baru dengan cara menambahkan n buah sisi pen ke setiap titik di G. Di samping itu, kami juga akan membentuk graf ajaib (super) baru dengan cara menambahkan n buah sisi pen ke beberapa titik (tidak semua titik) dari graf ajaib (super) G yang pelabelannya memiliki sifat tertentu. Berdasarkan metode tersebut, kami mendapatkan kelas graf ajaib (super) baru. Beberapa di antara kelas graf tersebut berupa graf pohon. Operasi corona pada graf sudah dikaji oleh beberapa peneliti, misalnya Figueroa- Centeno et al. (00) Baskoro et al. (005). IV.1 Graf ajaib dengan sisi pen Pada dua teorema berikut ditunjukkan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n, G nk 1 merupakan graf ajaib jika G adalah graf ajaib yang pelabelannya mempunyai sifat tertentu.

3 56 Teorema IV.1 Misalkan G suatu graf dengan p titik q sisi, dimana q = p atau q = p 1 p ganjil, p 3. Jika f 1 adalah pelabelan ajaib pada G sedemikan sehingga semua titik di V (G) mendapat label ganjil {f 1 (x) + f 1 (y) xy E(G)} = {3p q + 1, 3p q + 3,..., 3p 1}, (IV.1) maka G nk 1 merupakan graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n. Bukti: Misalkan V (G) = {x i 1 i p}. Misalkan pula f 1 adalah pelabelan ajaib pada G yang memenuhi syarat pada Teorema IV.1. Maka, konstanta ajaib dari f 1 adalah k = 3p + 1. Asumsikan bahwa f 1 (x i ) = i 1 untuk setiap bilangan bulat i, 1 i p. Selanjutnya misalkan V (G nk 1 ) = V (G) {z j i 1 i p 1 j n}, E(G nk 1 ) = E(G) {x i z j i 1 i p 1 j n}. Sekarang definisikan pelabelan total f : V (G nk 1 ) E(G nk 1 ) {1,, 3,..., np + p + q} sehingga f (x) = f 1 (x) untuk setiap titik x di V (G), f (z j i ) = jp + p + i, untuk 1 i p 1 1 j n, jp p + i, untuk p+1 i p 1 j n. Dapat diperiksa bahwa semua titik di V (G nk 1 ) mendapat label ganjil. Untuk setiap j, 1 j n, misalkan S j = {f (x i ) + f (z j i ) 1 i p}. Maka, m j = min(s j ) = jp + p + 1, 1 j n, M j = maks(s j ) = jp + 3p 1, 1 j n. Perhatikan bahwa m 1 = 3p + 1, M n = np + 3p 1 m j+1 = M j + untuk setiap 1 j n 1. Di samping itu untuk setiap 1 j n, S j membentuk

4 57 barisan aritmatika dengan beda. Jadi himpunan {f (x)+f (y) xy E(G nk 1 )} membentuk suatu barisan aritmatika dengan suku pertama 3p q + 1 beda. Jika didefinisikan f (uv) = np + 3p + 1 f (u) f (v), untuk setiap uv E(G nk 1 ), maka f adalah pelabelan ajaib pada G nk 1 dengan konstanta ajaib np + 3p + 1. Dapat ditunjukkan bahwa kelas-kelas graf berikut mempunyai pelabelan ajaib yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV mc n untuk m n ganjil,. P n untuk n ganjil, 3. mc n P n untuk m genap n ganjil. Di samping itu beberapa kelas dari graf pohon berikut juga mempunyai pelabelan yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV Caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m sisi pen, dengan m genap, ke setiap titik dari graf lintasan P k+1, k 1 (caterpillar seperti itu dinotasikan dengan P 1 k+1,m ), 5. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m 1, m 1, sisi pen ke satu titik dari graf lintasan P k m sisi pen ke titik yang lain dari P k, k 1 (dinotasikan dengan P k,m ), 6. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m 1 sisi pen ke setiap titik dari P k+1, k 1, kecuali satu titik yang berderajat satu (dinotasikan dengan P 3 k+1,m ), 7. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan satu sisi pen ke t 1 titik dari P t, t (dinotasikan dengan P 4 t,1), 8. Pk+1 T, pohon-seperti-lintasan dengan jumlah titik ganjil. Berdasarkan Teorema IV.1 didapatkan akibat berikut.

5 58 Akibat IV.1 Pernyataan berikut adalah benar. 1. Lobster P 1 k+1,m nk 1 adalah graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n,. lobster P k,m nk 1 adalah graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n, 3. lobster P 3 k+1,m nk 1 adalah graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n, 4. lobster P 4 t,1 nk 1 adalah graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n, 5. P T k+1 nk 1 adalah graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n. Akibat IV.1 memberikan dukungan atas kebenaran Konjektur III.1. Sebagai ilustrasi dari Teorema IV.1, perhatikan Gambar IV.1. Gambar IV.1. (a) pelabelan titik dari P 1 5, graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.1, (b) pelabelan titik dari P 4 6,1 graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.1.

6 59 Jika syarat semua titik di V (G) mendapat label ganjil dalam Teorema IV.1 diabaikan, maka kesimpulannya tidak seluruhnya benar. Sebagai contoh, perhatikan graf H pada Gambar IV.(a). Jika H mempunyai pelabelan ajaib yang memenuhi syarat (IV.1), maka semua titik di V (H) harus mendapat label genap (karena himpunan (IV.1) hanya memuat bilangan genap H adalah graf terhubung). Hanya ada dua pelabelan seperti itu yang mungkin, seperti ditunjukkan pada Gambar IV.(b) IV.(c). Selanjutnya akan dibuktikan bahwa H nk 1 merupakan graf ajaib jika hanya jika n = 1 (tidak untuk setiap n). Misalkan H nk 1 (H mempunyai pelabelan seperti pada Gambar dengan konstanta ajaib k. Maka, (5n + 5)k = 6n + (n + ) + 8(n + 1) + 4(n + ) + 10n + k = 10n n + 5. IV.(b)) mempunyai pelabelan ajaib 10n+10 i=1 i, atau Karena k bilangan bulat maka n = 1. Sebaliknya jika titik-titik pen yang menempel pada titik-titik dengan label, 4, 6, 8, 10 berturut-turut diberi label 7, 9, 1, 3, 5, maka pelabelan titik tersebut dapat diperluas ke suatu pelabelan ajaibsuper dari H K 1. Oleh karena itu syarat bahwa semua titik di V (G) mendapat label ganjil pada Teorema IV.1 adalah penting. Gambar IV.. Graf H pelabelan titiknya. Jika teorema di atas mensyaratkan semua titik di V (G) mendapat label ganjil, teorema berikut mensyaratkan semua titik di V (G) mendapat label genap. Teorema IV. Misalkan G suatu graf dengan p titik p sisi, dimana p ganjil, p 3. Jika G mempunyai pelabelan ajaib g 1 sedemikian sehingga semua titik di V (G) mendapat label genap {g 1 (x) + g 1 (y) xy E(G)} = {p + 3, p + 5,..., 3p + 1}, (IV.) maka G nk 1 merupakan graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n.

7 60 Bukti: Misalkan himpunan titik himpunan sisi dari G nk 1 dinotasikan seperti pada Teorema IV.1. Karena semua label titik di V (G) genap, maka dapat dimisalkan g 1 (x i ) = i untuk setiap i = 1,,..., p, dengan V (G) = {x i 1 i p}. Selanjutnya definisikan pelabelan total g : V (G nk 1 ) E(G nk 1 ) {1,, 3,..., np + p} sebagai berikut. g (x) = g 1 (x) untuk setiap titik x di V (G), g (z j i ) = jp + p + i + 1, untuk 1 i p 1 1 j n, jp p + i + 1, untuk p+1 i p 1 j n, g (uv) = np + 3p + g (u) g (v), untuk setiap uv E(G nk 1 ). Dengan cara yang sama seperti pada bukti Teorema IV.1, dapat dibuktikan bahwa g adalah pelabelan ajaib pada G nk 1 dengan konstanta ajaib np+3p+. Dapat ditunjukkan bahwa graf siklus C n dengan n ganjil mempunyai pelabelan yang memenuhi syarat pada Teorema IV.. Begitu juga syarat semua titik di V (G) mendapat label genap pada Teorema IV. tidak dapat diabaikan. Untuk menunjukkan hal ini, perhatikan lagi graf H pada Gambar IV.1(a). Graf H hanya mempunyai dua pelabelan yang memenuhi syarat (IV.) (lihat Gambar IV.4(a) and IV.4(b)). Dapat dibuktikan bahwa H nk 1 merupakan graf ajaib jika hanya jika n = 1 (tidak untuk semua n). Gambar IV.3. Pelabelan titik dari H. Pembentukan graf ajaib baru dari suatu graf ajaib dengan cara menambahkan sisi pen ke setiap titiknya kecuali ke titik dengan label terbesar ditunjukkan pada teorema berikut.

8 61 Teorema IV.3 Misalkan G suatu graf dengan p titik q = p atau q = p 1 sisi, dengan p genap, p. Jika G mempunyai pelabelan ajaib h 1 sedemikian sehingga semua titik di V (G) mendapat label ganjil {h 1 (x) + h 1 (y) xy E(G)} = {3p q, 3p q +,..., 3p 4, 3p }, (IV.3) maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pen ke setiap titik di V (G) kecuali titik dengan label terbesar merupakan graf ajaib untuk setiap bilangan bulat positif n. Bukti: Misalkan V (G) = {x i 1 i p}. Misalkan h 1 adalah pelabelan ajaib pada G yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV.3. Maka, konstanta ajaib dari h 1 adalah k = 3p. Karena semua titik di V (G) mendapat label ganjil, maka dapat dimisalkan bahwa h 1 (x i ) = i 1 untuk setiap bilangan bulat 1 i p. Misalkan H suatu graf dengan himpunan titik V (H) = V (G) {y j i 1 i p 1 1 j n}, himpunan sisi E(H) = E(G) {x i y j i 1 i p 1 1 j n}. Dengan cara yang sama seperti pada bukti Teorema IV.1 dapat dibuktikan bahwa h : V (H) E(H) {1,, 3,..., n(p 1) + p + q} yang didefinisikan dengan h (x) = h 1 (x), untuk setiap x V (G), h (y j i ) = j(p ) + p + i 1, untuk 1 i p 1 j n, j(p ) p + i + 1, untuk p+ i p 1 1 j n, h (xy) = (n + 3)p n h (x) h (y), untuk setiap xy E(H), merupakan pelabelan ajaib pada H dengan konstanta ajaib (n + )(p 1) + p +.

9 6 Dapat ditunjukkan bahwa beberapa graf berikut mempunyai pelabelan ajaib yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV Lintasan P k untuk k 1,. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan m 1 sisi pen ke setiap titik dari P k, k 1 (dinotasikan P 5 k,m ), 3. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan satu sisi pen ke setiap titik dari P k+1, k 1 (dinotasikan dengan P 6 k+1,1 ), 4. caterpillar yang dibentuk dengan menambahkan satu sisi pen ke satu titik berderajat satu m 1 sisi pen ke titik yang lain dari P k+1, k 1 (dinotasikan dengan P 7 k+1,m ), 5. Pk T, pohon-seperti-lintasan dengan jumlah titik genap. Selain itu graf siklus dengan jumlah titik ganjil satu sisi pen yang ditambahkan ke sebuah titiknya juga mempunyai pelabelan yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV.3. Misalkan L k, L5 k,m, L6 k+1,1, L7 k+1,m, P k T berturut-turut menyatakan graf pohon yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.3 pada P k, P 5 k,m, P 6 k+1,1, P 7 k+1,m, P T k. Berdasarkan Teorema IV.3 didapatkan akibat berikut. Akibat IV. L k, L5 k,m, L6 k+1,1, L7 k+1,m, P k T merupakan graf ajaib. Akibat IV. juga memberikan dukungan atas kebenaran Konjektur III.1. Pelabelan titik dari P 6 5,1 graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.3 ke P 6 5,1 berturut-turut ditunjukkan pada Gambar IV.4 (a) (b). Jika syarat semua titik di G mendapat label ganjil pada Teorema IV.3 diabaikan, maka kesimpulannya tidak berlaku. Sebagai contoh, perhatikan graf G pada Gambar IV.5(a). Jika G mempunyai pelabelan ajaib yang memenuhi syarat (IV.3), maka semua titik di G harus mendapat label genap (karena (IV.3) hanya memuat bilangan

10 63 Gambar IV.3 IV.4. Pelabelan titik dari P 6 5,1, graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema genap G terhubung). Hanya ada dua pelabelan seperti itu yang mungkin (lihat Gambar IV.5(b) IV.5(c)). Misalkan H adalah graf yang terbentuk dengan menambahkan n sisi pen ke setiap titik di V (G) kecuali titik dengan label 1 (label titik terbesar). Jika H adalah graf ajaib, maka konstanta ajaibnya adalah 10n , yang bukan merupakan bilangan bulat untuk semua n. Akibatnya 5n+6 H tidak ajaib untuk semua n. Gambar IV.5. Graf G pelabelan titiknya. Masalah Terbuka IV.1 Tentukan kelas graf lain yang mempunyai pelabelan ajaib yang memenuhi syarat pada teorema-teorema di atas. IV. Graf ajaib super dengan sisi pen Jika pada subbab sebelumnya telah disajikan metode membentuk graf ajaib baru, pada subbab ini disajikan metode membentuk graf ajaib super baru dari graf ajaib super tertentu. Pembentukan graf ajaib super baru dengan cara menambahkan sisi pen pada setiap titik dari graf ajaib super tertentu kecuali pada titik-titik dengan label terbesar ditunjukkan pada teorema berikut.

11 64 Teorema IV.4 Misalkan G suatu graf dengan p titik, dimana p ganjil, p 3. Jika G mempunyai pelabelan ajaib super f sedemikian sehingga maks{f(x) + f(y) xy E(G)} = 1 (3p 1), maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pen ke setiap titik di V (G) kecuali titik u v dengan f(u) = p 1 f(v) = p merupakan graf ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n. Bukti: Misalkan f adalah pelabelan ajaib super pada G yang memenuhi syarat yang ditetapkan pada Teorema IV.4. Maka, konstanta ajaibnya adalah k = 1 (5p + 1). Karena G adalah graf ajaib super, dapat diasumsikan bahwa f(x i ) = i untuk setiap 1 i p, dimana V (G) = {x i 1 i p}. Selanjutnya misalkan H adalah graf yang mempunyai himpunan titik himpunan sisi sebagai berikut. V (H) = V (G) {y j i 1 i p, 1 j n}, E(H) = E(G) {x i y j i 1 i p, 1 j n}. Perhatikan pelabelan titik g : V (H) {1,, 3,..., (n +1)p n} yang didefinisikan dengan g(x) = f(x), untuk setiap x V (G), g(y j i ) = j(p ) + p i +, untuk 1 i p 1 1 j n, j(p ) + p i, untuk p+1 i p 1 j n. Akan ditunjukkan bahwa g dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H. Untuk setiap j, 1 j n, misalkan S j = {g(x i ) + g(y j i ) 1 i p }. Maka, m j = min(s j ) = j(p ) + 1 (p + 5), 1 j n,

12 65 M j = maks(s j ) = j(p ) + 1 (3p 1), 1 j n. Perhatikan bahwa m 1 = 1(3p + 1), M n = n(p ) + 1(3p 1) m j+1 = M j + 1 untuk 1 j n 1. Di samping itu untuk setiap 1 j n, S j adalah himpunan bilangan bulat berurutan. Berdasarkan Lemma III.4, g dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H dengan konstanta ajaib k + n(p ). Dapat ditunjukkan bahwa beberapa kelas graf pohon berikut mempunyai pelabelan yang memenuhi syarat pada Teorema IV P 1 k+1,m, P k,m, P 3 k+1,m, P 4 n,1, P T k+1,. lobster yang dibentuk dari caterpillar P n+1 K 1 dengan menambahkan sebuah sisi pen ke setiap titik pen dari P n+1 K 1 (dinotasikan L n+1,1 ), 3. lobster yang dibentuk dari caterpillar P n K 1 dengan menambahkan sebuah sisi pen ke setiap titik pen dari P n K 1 kecuali titik pen paling kanan atau kiri (dinotasikan L n,1 ), 4. graf bintang ganda yang didapatkan dari menghubungkan center dari dua graf binatang K 1,n K 1,n+1 (dinotasikan S n,n+1 ). Misalkan graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.4 pada P 1 k+1,m, P k,m, P 3 k+1,m, P 4 n,m, P T k+1 berturut-turut dinotasikan dengan L1 k+1,m, L k,m, L 3 k+1,m, L4 n,m, Tk+1 T. Misalkan pula graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.4 pada L n+1,1, L n,1, S n,n+1 berturut-turut dinotasikan dengan T n+1,1, T n,1, L n,n+1. Maka diperoleh akibat berikut. Akibat IV.3 L 1 k+1,m, L k,m, L3 k+1,m, L4 n,m, T T k+1, T n+1,1, T n,1, L n,n+1 merupakan graf ajaib super. Akibat IV.3 memberikan dukungan atas kebenaran Konjektur III.1 III.. Beberapa kelas graf ajaib super berikut juga memenuhi syarat pada Teorema IV.4. P m K 1,1 untuk 4 m 1, 3 (mod 4) (Figueroa-Centeno, 005, Teorema 10), P K 1,n untuk n 0 (mod ) (Figueroa-Centeno, 005, Teorema 5), P m K 1, untuk 4 m (mod 4) (Figueroa-Centeno, 005, Teorema 10), C n K 1

13 66 untuk n 0 (mod 4) (Figueroa-Centeno, 00, Teorema 9). Lintasan dengan jumlah titik ganjil juga mempunyai pelabelan ajaib super seperti yang disyaratkan pada Teorema IV.4. Pelabelan titik pada graf L 5,1 P 6 K 1, yang memenuhi syarat Teorema IV.4 graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.4 pada kedua graf tersebut berturut-turut ditunjukkan pada Gambar IV.6 (a) (b). Gambar IV.6. Pelabelan titik dari graf L 5,1 P 6 K 1, yang memenuhi Teorema IV.4 graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.4. Pembentukan graf ajaib super baru dengan menambahkan sisi pen pada setiap titik dari suatu graf ajaib super dengan pengecualian pada titik-titik yang mendapat label terkecil ditunjukkan pada tiga teorema berikut.

14 67 Teorema IV.5 Misalkan G suatu graf dengan p titik dengan p genap, p >. Jika G mempunyai pelabelan ajaib super f sedemikian sehingga maks{f(x) + f(y) xy E(G)} = 1 (3p + ), maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pen ke setiap titik di G kecuali titik u dengan f(u) = 1 merupakan graf ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n. Bukti: Misalkan pelabelan f dalam Teorema IV.5 mempunyai konstanta ajaib k. Dapat diasumsikan bahwa f(x i ) = i untuk setiap i, 1 i p, dimana V (G) = {x i 1 i p}. Notasikan V (H) = V (G) {y j i i p, 1 j n}, E(H) = E(G) {x i y j i i p, 1 j n}. Selanjutnya definisikan pelabelan titik g : V (H) {1,, 3,..., p + (p 1)n} sedemikian sehingga g(x) = f(x) untuk setiap titik x V (G), g(y j i ) = 1 (i + p) + j(p 1), untuk i p 1 j n, 1 (i + p) + j(p 1), untuk p + 1 i p 1 j n. Dapat ditunjukkan bahwa semua titik pen mendapat label berurutan paling sedikit p + 1. Dengan argumen yang sama seperti pada bukti Teorema IV.4, dapat ditunjukkan bahwa pelabelan titik g dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H dengan konstanta ajaib k + n(p 1). Pelabelan titik dari graf P 8 K 1,3 yang memenuhi Teorema IV.5 graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.5 pada graf P 8 K 1,3 ditunjukkan pada Gambar IV.7 (a) (b).

15 68 Gambar IV.7. Graf ajaib super P 8 K 1,3 graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.5. Teorema IV.6 Misalkan G suatu graf dengan p = (c+1)(m+1)+1 titik, dimana m, c 1. Jika G mempunyai pelabelan ajaib super f sehingga maks{f(x) + f(y) xy E(G)} = (m + 1)(c + 1) + 1, maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pen ke setiap titik di G kecuali titik-titik dengan label 1,, 3,..., m(c + 1) c 3 merupakan graf ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n. Bukti: Misalkan G suatu graf yang memenuhi syarat pada Teorema IV.6 dengan V (G) = {x i 1 i p}. Definisikan pelabelan ajaib super f dengan konstanta ajaib k sehingga f(x i ) = i untuk setiap 1 i p. Selanjutnya definisikan graf H sebagai berikut: V (H) = V (G) {y j i m(c + 1) c i p, 1 j n}, E(H) = E(G) {x i y j i m(c + 1) c i p, 1 j n}. Dengan cara yang sama seperti pada bukti Teorema IV.4 dapat dibuktikan bahwa pelabelan titik h : V (H) {1,, 3,..., p + (c + 5)n} yang didefinisikan dengan h(x) = f(x), untuk setiap x V (G), h(y j i ) = a + i + c + 3, untuk b c i b 1 1 j n, a + i c, untuk b i p 1 j n, dimana a = j(c + 5) b = m(c + 1), dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H dengan konstanta ajaib k + n(c + 5).

16 69 Graf P m K 1,3, untuk m 0 (mod 4), mempunyai pelabelan yang memenuhi syarat Teorema IV.5, graf K 1,m K 1,n, untuk n kelipatan m + 1, mempunyai pelabelan seperti yang diminta pada Teorema IV.6 (lihat, Figueroa-Centeno et al., 005, Teorema 10 Teorema 5). Contoh pembentukkan graf ajaib super baru seperti dinyatakan dalam Teorema IV.6 ditunjukkan pada Gambar IV.8. Gambar IV.8. Graf ajaib super K 1,8 K 1,3 graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.6. Teorema IV.7 Misalkan G adalah graf dengan t titik, dengan t ganjil, t > 1. Jika G mempunyai pelabelan ajaib super g sedemikian sehingga maks{g(x) + g(y) xy E(G)} = 1 (7t + 1), maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pen pada t titik yang mendapat label t + 1, t +,..., t, merupakan graf ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n. Bukti: Misalkan g suatu pelabelan ajaib super pada G dengan konstanta ajaib k. Asumsikan g(x i ) = i untuk setiap bilangan bulat i dengan 1 i t, V (G) = {x i 1 i t}. Selanjutnya misalkan

17 70 V (H) = V (G) {z j i t + 1 i t 1 j n}, E(H) = E(G) {x i z j i t + 1 i t 1 j n}. Misalkan h : V (H) {1,, 3,..., t+tn} adalah pelabelan titik pada H sedemikian sehingga h(x) = g(x) untuk setiap titik x di G, h(z j i ) = (j + 4)t + (1 i), untuk t + 1 i 3t+1 1 j n; (j + 5)t + (1 i), untuk 3t+3 i t 1 j n. Dengan cara yang sama seperti pada bukti Teorema IV.4 dapat dibuktikan bahwa h dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H dengan konstanta ajaib k + nt. Graf Petersen diperumum P (n, 1) P (n, ), untuk n 3, (lihat (Fukuchi, 001) (Ngurah Baskoro, 003)) mempunyai pelabelan ajaib super yang memenuhi syarat Teorema IV.7. Graf Petersen diperumum P (9, 3) juga memenuhi syarat tersebut (lihat Gambar IV.9). Namun demikian, untuk n > 9 ganjil, kami belum dapat menentukan apakah graf Petersen diperumum P (n, 3) memenuhi syarat pada Teorema IV.7. Gambar IV.9. Pelabelan titik pada graf P (9, 3). Masalah Terbuka IV. Untuk n ganjil, n > 9, tentukan apakah graf Petersen diperumum P (n, 3) mempunyai pelabelan yang memenuhi syarat pada Teorema IV.7.

18 71 Pada teorema berikut ditunjukkan pembentukan graf ajaib super baru dengan cara menambahkan sisi pen hanya pada tiga titik (yang mendapat 3 label terbesar) dari suatu graf yang diketahui ajaib super. Teorema IV.8 Misalkan G suatu graf dengan p 3 titik. Jika G mempunyai pelabelan ajaib super f sedemikian sehingga maks{f(x) + f(y) xy E(G)} = p 1, maka graf H yang dibentuk dengan menambahkan n sisi pen ke titik di G yang mendapat label p, p 1, p, merupakan graf ajaib super untuk setiap bilangan bulat positif n. Bukti: Misalkan V (G) = {x i 1 i n}. Definisikan pelabelan ajaib super f pada G dengan konstanta ajaib k sedemikian sehingga f(x i ) = i untuk i = 1,,..., p. Selanjutnya definisikan graf H sebagai berikut: V (H) = V (G) {z j i p i p 1 j n}, E(H) = E(G) {x i z j i p i p 1 j n}. Kemudian perhatikan pelabelan titik g : V (H) {1,, 3,..., p + 3n} sedemikian sehingga g(x) = f(x) untuk setiap titik x di G, g(z j i ) = p + 3j 1, untuk i = p 1 j n; p + 3j, untuk i = p 1 1 j n; p + 3j, untuk i = p 1 j n. Untuk menunjukkan bahwa g dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H, perhatikan himpunan berikut: S p = {g(x p ) + g(z j p) 1 j n} = {p + 3j 1 1 j n}, S p 1 = {g(x p 1 ) + g(z j p 1) 1 j n} = {p + 3j 3 1 j n}, S p = {g(x p ) + g(z j p ) 1 j n} = {p + 3j 1 j n}.

19 7 Jelas bahwa, S p S p 1 S p adalah himpunan bilangan bulat berurutan dengan suku pertama p. Berdasarkan Lemma III.4, g dapat diperluas menjadi suatu pelabelan ajaib super pada H dengan konstanta ajaib 6n + k. Beberapa kelas graf diketahui memenuhi syarat Teorem IV.8, misalnya graf kipas F n, untuk n 6, graf bintang K 1,n, untuk setiap n (Figueroa-Centeno, 001), K 1,n + K 1 untuk setiap n (Chen, 001). Sebagai contoh Teorema IV.8, perhatikan Gambar IV.10. Gambar IV.10. Graf ajaib super K 1,8 graf yang dihasilkan dengan menerapkan Teorema IV.8. Masalah Terbuka IV.3 Tentukan kelas graf lain yang mempunyai pelabelan ajaib super yang memenuhi syarat pada teorema-teorema di atas.