MENENTUKAN NILAI KETIDAKTERATURAN GRAF KEMBANG API YANG DIPERUMUM. Edy Saputra, Nurdin, dan Hasmawati

Transkripsi

1 MENENTUKAN NILAI KETIDAKTERATURAN GRAF KEMBANG API YANG DIPERUMUM Edy Saputra, Nurdin, dan Hasmawati Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin (UNHAS), Jln Perintis Kemerdekaan Km 10 Makassar 905, Indonesia Abstrak : Pelabelan-k tidak teratur dari suatu graf G adalah pelabelan sisi pada G dengan range {1,,,, k} sedemikian sehingga setiap dua titik berbeda Pelabelan-k total tidak teratur sisi dari suatu graf G adalah pelabelan sisi dan titik pada G dengan range {1,,,, k} sedemikian sehingga setiap dua sisi berbeda Pelabelan-k total tidak teratur titik dari suatu graf G adalah pelabelan sisi dan titik pada G dengan range {1,,,, k} sedemikian sehingga setiap dua titik berbeda Nilai ketidakteraturan dari G adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan-k tidak teratur Nilai total ketidakteraturan sisi dan titik dari G adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan-k total tidak teratur sisi dan titik Penelitian ini bertujuan menentukan nilai ketidakteraturan, nilai total ketidakteraturan sisi dan nilai total ketidakteraturan titik graf kembang api Hasil penelitian diperoleh nilai ketidakteraturan graf F m,, nilai total ketidakteraturan titik graf F m,n dan nilai total ketidakteraturan sisi graf F m,n Sebagai berikut : s F m, = m + 1 tvs F m,n = maks d 1+1 tes F m,n = maks E +, d 1+1+d, d 1+1+d +d kata kunci : graf kembang api, nilai ketidakteraturan, nilai total ketidakteraturan sisi, nilai total ketidakteraturan titik, pelabelan tidak teratur, pelabelan total tidak teratur sisi, pelabelan total tidak teratur titik 1 Pendahuluan Pelabelan graf merupakan salah satu materi graf yang berkembang dan mendapat perhatian saat ini Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan asli yang disebut label Menurut, Gallian (011) menyatakan bahwa pelabelan graf adalah pemberian label bilangan bulat tak negatif (Z + ) pada titik atau sisi atau keduanya dengan memenuhi aturan-aturan tertentu Konsep pelabelan tidak teratur pada suatu graf pertama kali diperkenalkan oleh Chartrand dkk pada tahun 1986 Namun, makalah mereka Irregular network baru terbit pada tahun 1988 Pada tahun 00, Bača dkk memperkenalkan pelabelan tidak teratur lainnya yang didasarkan pada pelabelan total, yaitu pelabelan total tidak teratur sisi dan pelabelan total tidak teratur titik Topik penelitian ini adalah pelabelan tidak teratur, pelabelan total tidak teratur titik dan pelabelan total tidak teratur sisi pada graf kembang api (firecrackers) Tinjauan Pustaka Definisi 1 Graf kembang api adalah suatu graf yang diperoleh dari concatenasi graf bintang dengan titik concatenasinya adalah daun Gambar Graf kembang api 1

2 Definisi Misalkan G = V, E adalah suatu graf yang tidak memuat sisi terisolasi atau dua titik terisolasi Fungsi f E 1,,, k disebut pelabelan-k tidak teratur (irregular k-labeling) pada G, jika untuk setiap x, u V dengan x u, berlaku wt(x) wt(u) di mana, wt x = xy E f xy dan wt u = uv E f uv Definisi Nilai ketidakteraturan (irregularity strength) dari G, dinotasikan dengan s G, adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan-k tidak teratur Definisi Misalkan G = (V, E) adalah suatu graf Fungsi f: V E 1,,, k disebut pelabelan-k total tidak teratur sisi (edge irregular total k-labeling) pada G, jika untuk setiap dua sisi xy dan uv yang berbeda dalam E dengan xy uv, berlaku wt(xy) wt(uv) di mana, wt xy = f x + f xy + f(y) dan wt uv = f u + f uv + f(v) Definisi 5 Nilai total ketidakteraturan sisi (total edge irregularity strength) dari G, dinotasikan dengan tes G, adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan-k total tidak teratur sisi Definisi 6 Misalkan G = (V, E) adalah suatu graf Fungsi f: V E 1,,, k disebut pelabelan-k total tidak teratur titik (vertex irregular total k-labeling) pada G, jika untuk setiap x, u V dengan x u, berlaku wt(x) wt(u) di mana, wt x = f x + xy E f xy dan wt u = f u + uv E f(uv) Definisi 7 Nilai total ketidakteraturan titik (total vertex irregularity strength) dari G, dinotasikan dengan tvs G, adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian sehingga G mempunyai suatu pelabelan-k total tidak teratur titik Hasil dan Pembahasan 1 Pelabelan tidak teratur graf kembang api Lemma 1 Misalkan F m, adalah suatu graf kembang api yang memiliki m daun,maka s F m, m + 1 Bukti Karena F m, memiliki m daun dan m + titik berderajat dua, apabila bobot titik diurutkan dengan titik m derajat satu mempunyai bobot terkecil seterusnya ke bobot titik berderajat dua, maka bobot terbesar dari titik yang berderajat dua tidak kurang dari m + Karena m + adalah jumlah dari dua bilangan asli maka label yang terbesar yang digunakan tidak kurang m + dari Dengan demikian, diperoleh s F m, m + 1 Lemma Misalkan F m, adalah suatu graf kembang api yang memiliki m daun,maka s F m, m + 1 Bukti Untuk membuktikan bahwa s F m, m + 1,akan dikonstruksi fungsi pelabelan pada F m, λ y i y i,j = i, 1 i m, j = 1 λ x i y i = m, 1 i m 1 λ x m y m = m + 1, λ x 1 x = m, λ x m 1 x m = m + 1, Perhatikan bahwa dengan menggunakan pelabelan λ, diperoleh bobot titik-titik dari F m,n adalah sebagai berikut

3 1 Untuk 1 i m, j = 1, diperoleh wt y i,j = λ y i y i,j = i Untuk 1 i m 1, j = 1, diperoleh wt y i = λ y i y i,j + λ x i y i = i + m Untuk j = 1, diperoleh wt y m = λ y m y m,1 + λ(x m y m ) = m + (m + 1) wt x 1 = λ x 1 x + λ x 1 y 1 = m + m 5 wt x m = λ x m 1 x m + λ(x m y m ) = m m + 1 Selanjutnya untuk menentukan fungsi pelabelan dan bobot titik yang tersisa, akan dikontruksi bobot sementara pada titik x i untuk i =,, m Namun sebelumnya, panjang i dibagi menjadi dua buah yaitu i 1 dan i Sebagai berikut 1 Misalkan m genap dimana i 1 =,, m 1 dan i = m,, m, diperoleh λ x i1 x i1 +1 = m i, 1 i 1 m 1 Untuk 1 i m, diperoleh Misalkan i ganjil, misalkan i = 1, maka λ(x 1 x 1+1 ) = λ x m 1 x m untuk i =, maka λ(x x +1 ) = λ x 1 x untuk i = 5, maka λ(x 5 x 5+1 ) = λ x x +1 + untuk i = m, maka λ(z m ) = wt x (m )x (m )+1 + Misalkan i genap misalkan i =, maka λ(x x +1 ) = λ x 1 x untuk i =, maka λ(x x +1 ) = λ x x +1 + untuk i = 6, maka λ(x 6 x 6+1 ) = λ x x +1 + untuk i = m, maka λ(z m ) = wt x (m )x (m )+1 + Misalkan m ganjil i 1 =,, m dan i = m,, m, diperoleh λ x i 1 x i1 +1 = m i, 1 i 1 m 1 Untuk 1 i m, diperoleh Misalkan i ganjil, maka misalkan i = 1, maka λ(x 1 x 1+1 ) = λ x m 1 x m 1 +1 untuk i =, maka λ(x x +1 ) = λ x 1 x untuk i = 5, maka λ(x 5 x 5+1 ) = λ x x +1 + untuk i = m, maka λ(z m ) = wt x (m )x (m )+1 + Misalkan i genap misalkan i =, maka λ(x x +1 ) = λ x 1 x untuk i =, maka λ(x x +1 ) = λ x x +1 + untuk i = 6, maka λ(x 6 x 6+1 ) = λ x x +1 + untuk i = m, maka λ(z m ) = wt x (m )x (m )+1 + Dari hasil-hasil tersebut, secara keseluruhan diperoleh, wt y i,j < wt y i+1,j < < wt y m,j < wt y i+1 < < wt y m 1,j < wt x p < wt y q < wt x q < wt x < wt x p < wt x m 1

4 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa label terbesar yang digunakan adalah m + 1 Perhatikan bahwa untuk 1 i m, j = 1, diperoleh λ y i y i,j = i < i + 1 m + 1 λ y m y m,nm = m < m + 1 λ x 1 x = m < m + 1 λ x m 1 x m = m + 1 m + 1 Karena itu F m,n memiliki suatu pelabelan-k total tidak teratur titik, dimana k = m + 1 dengan demikian S(F m, ) m + 1 Dari lemma 1 dan lemma diperoleh, Teorema: Misalkan F m, adalah suatu graf kembang api, maka s F m, = m + 1 Pelabelan total tidak teratur titik graf kembang api Lemma 1 Misalkan F m,n adalah suatu graf kembang api yang mempunyai d i titik berderajat i, dengan i = 1,, maka tvs F m,n maks d 1 + 1, d d, d d + d Bukti Karena F m,n memiliki d 1 titik berderajat satu, maka bobot terkecil dari titik-titik tersebut tidak kurang dari, dan bobot terbesarnya tidak kurang dari d 1 +1 Karena bobot setiap titiktitik tersebut merupakan jumlah dari dua bilangan bulat positif, maka label terbesar pada F m,n yang dapat digunakan tidak kurang dari d 1 +1 Selain titik berderajat satu, F m,n juga mempunyai titik berderajat dua sebanyak d Apabila bobot titik diurutkan dengan titik d 1 derajat satu mempunyai bobot terkecil seterusnya ke bobot titik berderajat dua, maka bobot terbesar dari titik yang berderajat dua tidak kurang dari d 1 + d + 1 Karena bobot ini merupakan jumlah dari tiga bilangan asli, maka label terbesar yang digunakan tidak kurang dari d 1+d +1 Akan tetapi F m,n juga mempunyai titik berderajat tiga Apabila bobot titik diurutkan dengan titik berderajat satu mempunyai bobot terkecil dan titik berderajat tiga mempunyai bobot terbesar, maka bobot terbesar dari titik tersebut tidak kurang dari d 1 + d + d + 1 Karena bobot tersebut merupakan jumlah dari empat bilangan asli maka label yang digunakan tidak kurang dari d 1+d +d +1 Dengan demikian, diperoleh tvs G maks d 1 +1, d 1+1+d, d 1+1+d +d Lemma Misalkan F m,n adalah suatu graf kembang api yang mempunyai d i titik berderajat i, dengan i = 1,, maka tvs F m,n maks d 1 + 1, d d Bukti Untuk membuktikan bahwa tvs G maks d 1+1, d d + d, d 1+1+d dikonstruksi suatu pelabelan total tidak teratur titik pada F m,n m Definisikan c 0 = 0 dan c m = i=1 (n i ) Dengan demikian diperoleh pelabelan total pada F m,n sebagai berikut λ y i,j = j +c i 1 λ y i y i,j = j +c i 1+1 λ x i y i = maks d 1+1, 1 i m, 1 j n i, 1 i m, 1 j n i, d 1+1+d, d 1+1+d +d, i = 1,, m, d 1+1+d +d maka akan

5 λ x i x i+1 = maks d 1+1, d 1+1+d, d 1+1+d +d, i = 1,, m 1 Perhatikan bahwa dengan menggunakan pelabelan λ, diperoleh bobot titik-titik dari F m,n adalah sebagai berikut 1 Untuk 1 i m, 1 j n i, diperoleh, wt y i,j = λ y i,j + λ y i y i,j = j +c i 1 + j +c i 1+1 Untuk titik yang lain, yaitu titik x i dan y i untuk setiap i = 1,,m, dilakukan dengan cara sebagai berikut Definisikan bobot sementara titik x i dan y i yaitu 1 Untuk i m 1, diperoleh w x i = λ b i b i 1 + λ(x i y i ) + λ b i b i+1 = k + k + k = k w x 1 = λ x 1 y 1 + λ x 1 x = k + k = k w x m = λ x m y m + λ x m 1 x m = k + k = k Untuk 1 i m, 1 j n i, diperoleh w y i = λ x i y i + dimana k = maks d 1+1 n i i=1 = k + b n i j =1, d 1+1+d λ y i y i,j, d 1+1+d +d, b = j +c i 1 +1 Selanjutnya mengurutkan bobot titik sementara w z 1 w z w z w z m Definisikan λ(z 1 ) = maks{wt y m,nm + 1 w z 1, 1} wt z 1 = w z 1 + λ(z 1 ) Untuk i =,,m, diperoleh λ(z i ) = maks{wt z i w z i, 1} wt z i = w z i + λ(z i ) Maka diperoleh, urutan bobot semua titik di F m N adalah sebagai berikut wt y 1,1 < wt y 1, < < wt y 1,n1 < wt y,1 < < wt y,n < < wt y m,1 < wt y m, < wt y m,nm < wt z 1 < wt z < < wt z m Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa label terbesar yang digunakan adalah maks d 1+1, d 1+1+d, d 1+1+d +d Perhatikan bahwa untuk 1 i m, 1 j n i 1, diperoleh λ y i,j = j +c i 1 maks d 1+1 < (n m 1)+1+c i 1 λ y mnm = n maks d 1+1, d 1+1+d = n, d 1+1+d +d, d 1+1+d, d 1+1+d +d Perhatikan bahwa untuk 1 i m, 1 j n i 1, diperoleh λ y i,j y j = i+c j 1+1 < (n m 1)+1+c i 1 +1 = n+1

6 maks d 1+1, d 1+1+d Perhatikan bahwa untuk i = m dan j = n m, diperoleh λ y m,nm y nm = n+1 maks d 1+1, d 1+1+d +d, d 1+1+d, d 1+1+d +d Karena itu F m,n memiliki suatu pelabelan-k total tidak teratur titik, dimana k = maks d 1+1, d 1+1+d, d 1+1+d +d dengan demikian tvs(t n,m ) maks d 1+1, d 1+1+d, d 1+1+d +d Dari lemma 1 dan lemma diperoleh, Teorema: Misalkan F m,n adalah suatu graf kembang api yang mempunyai d i titik berderajat i, dengan i = 1,, maka tvs F m,n = maks d 1+1, d 1+1+d, d 1+1+d +d Pelabelan total tidak teratur sisi graf kembang api Lemma 1 Misalkan F m,n adalah suatu graf kembang api, maka tes F m,n maks E + Bukti Jika setiap titik di V diberi label dengan bilangan 1 dan setiap sisi secara berurutan diberi 1,,,, E maka setiap dua sisi yang berbeda akan mempunyai bobot yang berbeda Oleh karena itu, tes E Selanjutnya, misalkan λ merupakan pelabelan total tak teratur sisi pada G, maka bobot sisi pada G, maka bobot sisi pada G secara berurutan adalah,, 5,, E + Karena E + merupakan jumlah dari tiga buah bilangan bulat positif, sedikitnya terdapat satu label dengan nilai tidak kurang dari E + Kemudian misalkan = (G) merupakan derajat maksimum titik dari G dan titik x mempunyai derajat Misalkan λ adalah suatu pelabelan total tak teratur sisi pada G dan e 1, e, e,, e merupakan sisi yang terkait dengan titik x Misalkan y i merupakan titik ujung yang lain pada sisi e i, atau e i = xy i Karena wt e i = λ x + λ e i + λ y i berbeda untuk setiap i, dengan 1 i, semua nilai λ e i + λ y i harus berbeda Akibatnya, λ e i atau λ y i harus bernilai tidak kurang dari ( +1) Lemma untuk suatu i {1,,, } Dengan demikian diperoleh tes F m,n maks E + Misalkan F m,n adalah suatu graf kembang api, maka tes F m,n maks Bukti Untuk membuktikan bahwa tes G maks E + pelabelan total tidak teratur pada F m,n Untuk i = 1, dan j = 1,,, n 1, pelabelan pada F m,n adalah sebagai berikut λ y i,j = j +c i 1+1, λ y i y i,j = j +c i 1+ Untuk i m, 1 j n i, dimana i genap diperoleh λ y i = k, λ y i,ni = k dimana k = maks E i +, i+1 E +, maka dikonstruksi suatu, λ y i = 1, λ x i y i = 1, λ x i = 1 Kasus I jika λ y i = E i + Jika n i = k 1, maka = k 1

7 λ y i,j = j, untuk 1 j n i 1 λ y i y i,j = E i + k 1, untuk 1 j n i Jika n i < k, maka λ y i y i,j = E i + k 1, untuk 1 j n i Untuk 1 j n i 1, diperoleh j = n i 1, maka λ y i, ni 1 = k 1 1 j = n i, maka λ y i, ni = λ y i, ni 1 1 j = 1, maka λ y i,1 = λ y i, 1 Jika n i > k, maka λ y i,j1 = 1, untuk 1 j 1 n i k 1 Untuk n i k 1 1 j n i 1, diperoleh j = n i k 1 1, maka λ y i, ni k 1 1 = 1 j = n i k , maka λ y i, ni k = j = n i 1, maka λ y i, ni 1 = k 1 1 λ y i y i,j = E i + k 1, untuk n i k 1 1 j n i Untuk 1 j 1 n i k 1, diperoleh j 1 = n i k 1, maka λ y i y i, ni k 1 = k j 1 = (n i k 1 ) 1, maka λ y i y i,( ni k 1 ) 1 = λ y i y i, ni k 1 1 j 1 = 1, maka λ y i y i,1 = λ y i y i, 1 λ x i y i = λ y i,1 λ x i = λ y i y i,1 1 Kasus II jika λ y i = i+1 = k Jika n i = k, maka λ y i,j = j, untuk 1 j n i 1 λ y i y i,j = k, untuk 1 j n i Jika n i < k, maka λ y i y i,j = k, untuk 1 j n i Untuk 1 j n i 1, diperoleh j = n i 1, maka λ y i, ni 1 = k 1 j = n i, maka λ y i, ni = λ y i, ni 1 1 j = 1, maka λ y i,1 = λ y i, 1 Jika n i > k, maka λ y i,j1 = 1, untuk 1 j 1 n i k Untuk n i k 1 j n i 1, diperoleh j = n i k 1, maka λ y i, ni k 1 = 1

8 j = n i k 1 + 1, maka λ y i, ni k 1 +1 = j = n i 1, maka λ y i, ni 1 = k 1 λ y i y i,j = k, untuk n i k 1 j n i Untuk 1 j 1 n i k, diperoleh j 1 = n i k, maka λ y i y i, ni k = k + 1 j 1 = (n i k ) 1, maka λ y i y i, (ni k ) 1 = λ y i y i, ni k 1 j 1 = 1, maka λ y i y i,1 = λ y i y i, 1 λ x i y i = λ y i,1 λ x i = λ y i y i,1 1 Untuk i m, 1 j n i, dimana i ganjil diperoleh λ y i = λ x i = k λ y i,ni = k 1 dimana k = maks E i +, i+1 Kasus I jika λ y i = E i + Jika n i = k 1, maka = k 1 λ y i,1 = 1, λ y i y i,1 = E i + k 1 1 λ y i,j = j 1, untuk j n i 1 λ y i y i,j = E i + k 1, untuk j n i Jika n i < k 1, maka λ y i y i,j = E i + k 1, untuk 1 j n i Untuk 1 j n i 1, diperoleh j = n i 1, maka λ y i, ni 1 = k 1 j = n i, maka λ y i, ni = λ y i, ni 1 1 j = 1, maka λ y i,1 = λ y i, 1 Jika n i > k, maka λ y i,j1 = 1, untuk 1 j 1 n i k 1 1 Untuk n i k 1 j n i 1, diperoleh j = n i k 1, maka λ y i, ni k 1 = 1 j = n i k 1 + 1, maka λ y i, ni k 1 +1 = j = n i 1, maka λ y i, ni 1 = k 1 λ y i y i,j = E i + k 1, untuk n i k 1 j n i Untuk 1 j 1 n i k 1 1, diperoleh j 1 = n i k 1 1, maka λ y i y i, ni k 1 1 = k 1 + 1

9 j 1 = n i k 1 1 1, maka λ y i y i, ni k = λ y iy i, ni k j 1 = 1, maka λ y i y i,1 = λ y i y i, 1 λ x i y i = E i + k 1 Kasus II jika λ y i = i+1 Jika n i = k, maka = k λ y i,1 = 1, λ y i y i,1 = k 1 λ y i,j = j 1, untuk j n i 1 λ y i y i,j = k, untuk j n i Jika n i < k, maka λ y i y i,j = k, untuk 1 j n i Untuk 1 j n i 1, diperoleh j = n i 1, maka λ y i, ni 1 = k j = n i, maka λ y i, ni = λ y i, ni 1 1 j = n i, maka λ y i, ni = λ y i, ni 1 j = 1, maka λ y i,1 = λ y i, 1 Jika n i > k, maka λ y i,t = 1, untuk 1 t n i k Untuk n i k j n i 1, diperoleh j = n i k, maka λ y i, ni k = 1 j = n i k + 1, maka λ y i, ni k +1 = j = n i k +, maka λ y i, ni k + = j = n i 1, maka λ y i, ni 1 = k λ y i y i,j = k, untuk n i k j n i Untuk 1 j 1 n i k 1, diperoleh j 1 = n i k 1, maka λ y i y i, ni k 1 = k + 1 j 1 = n i k 1 1, maka λ y i y i, ni k 1 1 = λ y iy i, ni k 1 1 j 1 = 1, maka λ y i y i,1 = λ y i y i, 1 λ x i y i = k Berdasarkan definisi bobot sisi tersebut, telah ditunjukkan bahwa setiap bobot sisi berbeda wt x 1 y 1 < wt y 1 y 1,j < wt y 1 y 1,j +1 < wt y 1 y 1,n1 < wt x is x is < wt x is y is < wt y is y is,j < wt y is y is,j +1 < < wt y is y is,n i < wt x it x it < wt x it y it < wt y it y it,j < wt y it y it,j +1 < wt y it y it,j +1 < < wt y it y it,n j < wt x it y it dimana s = genap t = ganjil

10 Sehingga dapat disimpulkan bahwa bobot setiap sisi pada F m,n berbeda Maka λ merupakan suatu pelabelan tidak teratur pada F m,n Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa label terbesar yang digunakan adalah maks E + Perhatikan bahwa untuk i = 1, 1 j n i 1, diperoleh λ y i = 1 < maks E +, + 1 Perhatikan bahwa untuk i m, 1 j n i, dimana i genap diperoleh λ y i = maks E i +, i + 1 maks E +, + 1 λ y i y i,ni = maks E i +, i + 1 maks E +, + 1 Perhatikan bahwa untuk i m, 1 j n i, dimana i ganjil diperoleh λ y i = maks E i +, i + 1 maks E +, + 1 λ x i = maks E i +, i + 1 maks E + Karena itu F m,n memiliki suatu pelabelan-k total tidak teratur sisi, dimana k = maks E + dengan demikian tvs(t n,m ) maks E + Dari lemma 1 dan lemma diperoleh, Teorema: Misalkan F m,n adalah suatu graf kembang api maka Kesimpulan dan Saran tes F m,n = maks E +, + 1, + 1, Kesimpulan Dengan menggunakan pelabelan tidak teratur, pelabelan total tidak teratur titik dan pelabelan total tidak teratur sisi pada F m,n tersebut diperoleh nilai ketidakteraturan graf F m,, nilai total ketidakteraturan titik graf F m,n dan nilai total ketidakteraturan sisi graf F m,n Sebagai berikut s F m, = m + 1 tvs F m,n = maks d 1+1 tes F m,n = maks E +, d 1+1+d, + 1, d 1+1+d +d Saran Pembahasan mengenai pelabelan tidak teratur ini masih terbuka bagi peneliti lain untuk melanjutkan penelitian ini dan bisa juga mengadakan penelitian yang sejenis dengan jenis-jenis graph yang berbeda

11 DAFTAR PUSTAKA [1] A Ahmad and M Bača, On vertex irregular total labelings, to appear in Ars Combinatoria [] A Joseph, Gallian, A Dynamic Survey of Graph Labeling (011) [] JA Bondy, & Murty USR: Graph Theory Springer (008) [] K Wijaya dan Slamin, Total Vertex Irregular Labelings of Wheels, Fans, Suns, and Friendship Graphs, Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, 56 (008) [5] M Bača, J Jendroľ, M Miller, and J Ryan, On irregular total labellings, Discrete Math, 07 (007) [6] Nurdin, On The Total Vertex Irregularity Strengths Of Quadtrees And Banana Trees, 18 (01) 1-6 [7] Nurdin, ET Baskoro, ANM Salman, NN Gaos, On total vertex-irregular labellings for several types of tree, Util Math, 8,77-90 (010) [8] S Kamran, On edge irregularity strength of subdivision of star Sn(01) [9] S Kamran, A Deeba, On tvs of Subdivision of Star Sn(011) [10] W C Chen, H I L u, and Y N Yeh, Operations of interlaced trees and graceful trees, Southeast Asian Bull Math, 1 (1997) 7 8