PENGEMBANGAN MODEL PENYEBARAN PENGGUNA NARKOBA WHITE-COMISKEY LESTARI

Transkripsi

1 PENGEMBANGAN MODEL PENYEBARAN PENGGUNA NARKOBA WHITE-COMISKEY LESTARI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

2

3 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Pengembangan Model Penyebaran Pengguna Narkoba White-Comiskey adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2012 Lestari NRP G

4

5 ABSTRACT LESTARI. The Development of White-Comiskey Model on Drug Users Dynamics. Under direction of TONI BAKHTIAR and ALI KUSNANTO. This thesis aims to discuss and analyze mathematical models of the spread of drug users based on the model of White and Comiskey (2007). In this model, population is divided into three classes, namely susceptibles, drug users, and drug users undergoing treatment. The model has three equilibrium points, i.e. one drug free and two endemic points. The stability of those points are determined according to the eigenvalues of the Jacobian matrices. The existence of the drug users are then controlled by a basic reproduction number. If the basic reproduction number is less than one, then the number of drug users will gradually decrease and disappear from the population. On the other hand, if the basic reproduction number is greater than one, then the number of drug users will gradually increase so that a number of drug users will stay in the population. In this thesis, the dynamical analysis of interaction between drug users and susceptible and the simulation was performed by varying the probability of becoming a drug user (β 1 ) and the portion of drug users who enter treatment (ρ). In the former case, decreasing of β 1 can be undertaken by government through law enforcement, no-drug campaign, etc. While in the later case, increasing of ρ can be done by improving government, family, and society initiative for saving drug users. Keywords: White-Comiskey model, drug users, basic reproduction number.

6

7 RINGKASAN LESTARI. Pengembangan Model Penyebaran Pengguna Narkoba White- Comiskey. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan ALI KUSNANTO. Pemodelan matematika dapat dipandang sebagai alat utama dalam perencanaan epidemik dan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Salah satu masalah yang ada di dalam kehidupan nyata adalah peningkatan penyebaran penggunaan narkotika, psikotropika, dan bahan berbahaya lainnya (narkoba). Narkoba dikatakan berbahaya jika penggunaannya tidak tepat. Oleh karena itu, penggunaan, pembuatan, dan peredarannya diatur dalam undang-undang. Penyalahgunaan narkoba berdampak negatif terhadap kesehatan, ekonomi, dan sosial, termasuk kriminalitas, tidak saja penyalahguna dan keluarga, tetapi dalam skala besar juga masyarakat, bangsa, dan negara. Dalam tulisan ini model yang dikaji adalah pengembangan model penyebaran pengguna narkoba yang didasarkan pada model White dan Comiskey (2007). Pada model ini, populasi individu dibagi menjadi tiga kelas, yakni individu yang rentan menjadi pengguna narkoba, individu pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan, dan individu pengguna narkoba dalam masa pengobatan. Tujuan dari penelitian ini adalah mengembangkan model penyebaran pengguna narkoba dari White dan Comiskey dengan menambahkan asumsi ada proporsi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba dan ada proporsi pengguna narkoba dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba. Selanjutnya dari model tersebut dianalisis kestabilan model, serta dibuat simulasi numerik dari model yang dikembangkan. Dari hasil analisis model diperoleh tiga titik tetap yaitu: satu titik tetap bebas narkoba dan dua titik tetap endemik di mana kestabilannya ditentukan oleh nilai eigen dan bilangan reproduksi dasar (R o ). Jika R o <1 maka jumlah pengguna narkoba akan semakin berkurang dan pada saat tertentu akan menjadi tidak ada. Sedangkan jika R o >1 maka jumlah pengguna narkoba akan bertambah sehingga penyebaran narkoba dapat terjadi. Simulasi model dilakukan dengan memberikan nilai yang berbeda untuk parameter β 1 (peluang individu menjadi pengguna narkoba) dan ρ (proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan). Dua parameter ini dipilih karena dianggap berpengaruh dalam menekan laju penyebaran pengguna narkoba. Dari hasil simulasi, diperoleh informasi, jika peluang individu menjadi pengguna narkoba menurun dari peluang semula, ini dapat terjadi karena individu tersebut telah mengetahui dan menyadari akibat buruk yang ditimbulkan dari penyalahgunaan narkoba, maka populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan meningkat, sedangkan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan turun. Dan jika proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan meningkat dari proporsi semula, hal ini dapat melalui usaha pemerintah meningkatkan upaya pengobatan bagi pengguna narkoba, maka populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan naik, sedangkan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan turun. Dari hasil simulasi juga diperoleh informasi ketika bilangan reproduksi dasar kurang dari satu maka kurva stabil di titik tetap bebas narkoba atau di T 1. Hal ini

8 berarti jumlah pengguna narkoba akan semakin berkurang dan pada saat tertentu akan menjadi tidak ada. Tetapi ketika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu maka kurva stabil di titik tetap endemik atau di T 2. Hal ini berarti jumlah pengguna narkoba akan semakin bertambah sehingga penyebaran narkoba dapat terjadi. Kata kunci: model White dan Comiskey, pengguna narkoba, bilangan reproduksi dasar

9 Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2012 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

10

11 PENGEMBANGAN MODEL PENYEBARAN PENGGUNA NARKOBA WHITE-COMISKEY LESTARI Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

12 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.

13 Judul Tesis Nama NIM Program Studi : Pengembangan Model Penyebaran Pengguna Narkoba White-Comiskey : Lestari : G : Matematika Terapan Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. Ketua Drs. Ali Kusnanto, M.Si. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr. Tanggal Ujian: 31 Agustus 2012 Tanggal Lulus:

14

15 Karya ini aku persembahkan untuk: Ibuku Hj Suparni Suamiku Ali Masrokan, M.Pd. dan anak-anakku tercinta: Laila Nurhasanah dan Muhammad Al Jabbar

16

17 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Penelitian ini diberi judul Pengembangan Model Penyebaran Pengguna Narkoba White- Comiskey. Terimakasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. dan Bapak Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku pembimbing, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Disamping itu, penulis mengucapkan terimakasih kepada Kementerian Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada ibu, kakak-kakakku, suami, anak-anakku, rekan-rekan seperjuangan di S2 angkatan 2009, dan keluarga besar MTs As-Syafi iyah 01 Jakarta, serta berbagai pihak yang tak dapat penulis sebutkan satu per satu, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2012 Lestari

18

19 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 03 Agustus 1980 dari Bapak (Alm) H Suliyo dan Ibu Hj Suparni. Penulis merupakan anak keenam dari enam bersaudara. Pendidikan sarjana ditempuh di Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA Universitas Negeri Jakarta, lulus pada tahun Tahun 2005 penulis menjadi staf pengajar di Madrasah Tsanawiyah As-Syafi iyah 01 Jakarta. Pada tahun 2009 penulis lulus seleksi masuk Program Magister pada Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Kementerian Agama Republik Indonesia.

20

21 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL.... xiii DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... xiv xv I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian... 3 II TINJAUAN PUSTAKA Sistem Persamaan Diferensial Titik Tetap Pelinearan Sistem Persamaan Taklinear Nilai Eigen dan Vektor Eigen Kestabilan Titik Tetap Bilangan Reproduksi Dasar... 8 III MODEL MATEMATIKA Model SIRS Model Dasar Penyebaran Pengguna Narkoba Model yang Dikembangkan Metode Penelitian 13 IV HASIL DAN PEMBAHASAN Penentuan Titik Tetap Analisis Kestabilan Titik Tetap Kestabilan Titik Tetap T Kestabilan Titik Tetap T V SIMULASI MODEL Nilai Parameter Hasil Simulasi Simulasi untuk R o <1 dengan Nilai β 1 Berbeda Simulasi untuk R o <1 dengan Nilai ρ Berbeda Simulasi untuk R o >1 dengan Nilai β 1 Berbeda Simulasi untuk R o >1 dengan Nilai ρ Berbeda VI SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran.. 32 DAFTAR PUSTAKA. 33 LAMPIRAN 35

22

23 DAFTAR TABEL Halaman 1 Nilai parameter model dalam simulasi numerik Simulasi untuk R o <1 dengan nilai β 1 berbeda Simulasi untuk R o <1 dengan nilai ρ berbeda Simulasi untuk R o >1 dengan nilai β 1 berbeda Simulasi untuk R o >1 dengan nilai ρ berbeda. 26

24

25 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Model SIRS Model dasar penyebaran pengguna narkoba Model pengembangan penyebaran pengguna narkoba 12 4 Dinamika populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba (S) (atas) dan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan) (U 1 ) (bawah) terhadap waktu t untuk kondisi R o <1 dengan nilai β 1 berbeda 21 5 Dinamika populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba (S) (atas) dan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan (U 1 ) (bawah) terhadap waktu t untuk kondisi R o <1 dengan nilai ρ berbeda Dinamika populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba (S) (atas) dan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan (U 1 ) (bawah) terhadap waktu t untuk kondisi R o >1 dengan nilai β 1 berbeda 25 7 Dinamika populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba (S) (atas) dan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan (U 1 ) (bawah) terhadap waktu t untuk kondisi R o >1 dengan nilai ρ berbeda.. 27

26

27 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Penurunan persamaan (3.2) dari model yang dikembangkan Penentuan titik tetap 38 3 Simulasi untuk R o <1 dengan nilai β 1 berbeda Simulasi untuk R o <1 dengan nilai ρ berbeda Simulasi untuk R o >1 dengan nilai β 1 berbeda Simulasi untuk R o >1 dengan nilai ρ berbeda... 43

28

29 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pemodelan matematika dapat dipandang sebagai alat utama dalam perencanaan epidemik dan salah satu alat yang dapat membantu mempermudah penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata. Salah satu masalah yang ada di dalam kehidupan nyata adalah peningkatan penyebaran penggunaan narkotika, psikotropika, dan bahan berbahaya lainnya (narkoba) (BNN 2002). Narkoba dikatakan berbahaya jika penggunaannya tidak tepat. Oleh karena itu, penggunaan, pembuatan, dan peredarannya diatur dalam undang-undang. Menurut UU RI No 22/1997, narkotika adalah zat atau obat yang berasal dari tanaman atau bukan tanaman baik sintetis maupun semi sintetis yang dapat menyebabkan penurunan atau perubahan kesadaran, hilangnya rasa, mengurangi sampai menghilangkan rasa nyeri, dan dapat menimbulkan ketergantungan. Narkotika terdiri atas tiga golongan: 1. Golongan I: Narkotika yang hanya dapat digunakan untuk tujuan pengembangan ilmu pengetahuan, dan tidak digunakan dalam terapi, serta mempunyai potensi sangat tinggi mengakibatkan ketergantungan, contoh: heroin, kokain, ganja. 2. Golongan II: Narkotika yang berkhasiat pengobatan digunakan sebagai pilihan terakhir dan dapat digunakan dalam terapi dan/atau untuk tujuan pengembangan ilmu pengetahuan serta mempunyai potensi tinggi mengakibatkan ketergantungan, contoh: morfin, petidin. 3. Golongan III: Narkotika yang berkhasiat pengobatan dan banyak digunakan dalam terapi dan/atau tujuan pengembangan ilmu pengetahuan serta mempunyai potensi ringan mengakibatkan ketergantungan, contoh: kodein. Sedangkan menurut UU RI No 5/1997, psikotropika adalah zat atau obat, baik alamiah maupun sintetis bukan narkotika, yang berkhasiat psikoaktif melalui pengaruh selektif pada susunan saraf pusat yang menyebabkan perubahan khas pada aktifitas mental dan perilaku. Psikotropika terdiri atas empat golongan: 1. Golongan I: Psikotropika yang hanya dapat digunakan untuk tujuan ilmu pengetahuan dan tidak digunakan dalam terapi, serta mempunyai potensi amat kuat mengakibatkan ketergantungan, contoh: ekstasi.

30 2 2. Golongan II: Psikotropika yang berkhasiat pengobatan dan dapat digunakan dalam terapi dan/atau untuk tujuan ilmu pengetahuan serta mempunyai potensi kuat mengakibatkan ketergantungan, contoh: amphetamine. 3. Golongan III: Psikotropika yang berkhasiat pengobatan dan banyak digunakan dalam terapi dan/atau untuk tujuan ilmu pengetahuan serta mempunyai potensi sedang mengakibatkan ketergantungan, contoh: pentobarbital. 4. Golongan IV: Psikotropika yang berkhasiat pengobatan dan sangat luas digunakan dalam terapi dan/atau untuk tujuan ilmu pengetahuan serta mempunyai potensi ringan mengakibatkan ketergantungan, contoh: diazepam. Yang termasuk bahan berbahaya lainnya adalah zat psiko aktif yaitu zat/ bahan lain bukan narkotika dan psikotropika yang berpengaruh pada kerja otak. Jenis ini tidak tercantum dalam perundang-undangan tentang narkotika dan psikotropika. Zat psiko aktif yang sering disalahgunakan antara lain: 1. Alkohol, terdapat pada berbagai jenis minuman keras. 2. Inhalansia (gas yang dihirup) dan solven (zat pelarut) yaitu gas atau zat yang mudah menguap terdapat pada berbagai barang keperluan rumah tangga, kantor, dan pabrik. Yang sering disalahgunakan adalah lem, tiner, penghapus cat kuku, bensin. 3. Nikotin yang terdapat pada tembakau. 4. Kafein, pada kopi. Hasil penelitian Badan Narkotika Nasional (BNN) bekerjasama dengan Pusat Penelitian Kesehatan Universitas Indonesia (PPKUI), menunjukkan kejadian penyalahgunaan narkoba mendunia. Survei rumah tangga di Amerika Serikat tahun 2000 menunjukkan tiga di antara 100 penduduk menggunakan narkoba dalam setahun terakhir, survei di Australia tahun 2007 menunjukkan 13 di antara 100 penduduk dewasa menggunakan setidaknya satu jenis obat-obatan terlarang dalam setahun terakhir (BNN dan PPKUI 2010). Sedangkan di Indonesia jumlah pengguna narkoba diperkirakan sekitar 3,1 juta sampai 3,6 juta orang pada tahun 2008 yang terdiri atas 26% coba pakai, 27% teratur pakai, 40% pecandu bukan suntik, dan 7% pecandu suntik (BNN dan PPKUI 2008). Definisi operasional pengguna narkoba dibagi menjadi tiga tingkatan, yaitu coba pakai, teratur pakai, dan pecandu. Pecandu dipilih menurut faktor resiko,

31 3 yaitu pecandu bukan suntik dan pecandu suntik. Kelompok coba pakai adalah mereka yang pernah menggunakan jenis narkoba apapun maksimal sebanyak lima kali dalam seumur hidupnya. Kelompok teratur pakai adalah mereka yang pernah menggunakan narkoba jenis apapun (selain cara suntik) dimana frekuensi untuk jumlah pakai narkoba kurang dari 49 kali dalam setahun terakhir. Sedangkan pecandu adalah mereka yang pernah menggunakan narkoba jenis apapun dengan frekuensi lebih dari 49 kali dalam setahun terakhir (pecandu bukan suntik) atau pernah menggunakan narkoba dengan cara suntik dalam setahun terakhir (pecandu suntik) (BNN dan PPKUI 2008). Seperti penyakit kronis lainnya, kecanduan narkoba dapat diobati. Pengobatan bagi pengguna narkoba memerlukan sebuah prosedur yang membutuhkan biaya sangat besar dan merupakan beban yang berat dalam sistem kesehatan di banyak negara (Mulone dan Straughan 2009). Biaya ekonomi dan sosial akibat penyalahgunaan narkoba yang terjadi di Indonesia diperkirakan sebesar Rp32,4 triliun pada tahun 2008, dan diperkirakan akan terus meningkat menjadi Rp57 triliun pada tahun 2013 (BNN dan PPKUI 2008). Penyalahgunaan narkoba berdampak negatif terhadap kesehatan, ekonomi, dan sosial, termasuk kriminalitas, tidak saja penyalahguna dan keluarga, tetapi dalam skala besar juga masyarakat, bangsa, dan negara. Pemerintah telah melakukan berbagai upaya dan daya melalui kebijakan dan tindakan penanggulangan masalah narkoba, termasuk menghentikan atau mengurangi peredaran gelap narkoba dan mencegah penyalahgunaan narkoba di masyarakat. Dalam tulisan ini akan dibahas dan dianalisis model matematika penyebaran pengguna narkoba yang didasarkan pada model White dan Comiskey (2007). Dalam model ini, populasi individu dibagi menjadi tiga kelas, yakni individu yang rentan menjadi pengguna narkoba, individu pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan, dan individu pengguna narkoba dalam masa pengobatan. 1.2 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian ini ialah: 1. Merekonstruksi model penyebaran pengguna narkoba dari White dan Comiskey.

32 4 2. Mengembangkan model White dan Comiskey dengan menambahkan asumsi ada proporsi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba dan ada proporsi pengguna narkoba dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba. 3. Menganalisis kestabilan model penyebaran pengguna narkoba. 4. Membuat simulasi numerik model penyebaran pengguna narkoba.

33 II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 (Sistem Persamaan Diferensial Linear) Persamaan diferensial orde-1 yang dinyatakan sebagai (2.1) dengan a(t) dan adalah fungsi dari waktu t disebut persamaan diferensial linear. Bila a(t) = A adalah suatu matriks berukuran n n dengan koefisien konstan dan dinyatakan sebagai vektor konstan b maka diperoleh bentuk (2.2) disebut sistem persamaan diferensial linear. Definisi 2 (Sistem Persamaan Diferensial Taklinear) Sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai dengan (Farlow 1994) (2.3) Jika F(t,x) fungsi taklinear pada, maka sistem ini disebut sebagai sistem persamaan diferensial taklinear dan jika F linear maka sistem persamaan diferensial (2.3) disebut linear. (Braun 1983) Definisi 3 (Sistem Persamaan Diferensial Mandiri) Perhatikan sistem persamaan diferensial (SPD) linear dengan dua persamaan dan dua variabel x dan y berikut: (2.4) dengan F dan G adalah fungsi kontinu dari x dan y, dengan turunan parsial pertama kontinu, dengan laju perubahan x dan y dinyatakan dengan fungsi eksplisit dari x dan y sendiri dan tidak mengandung t di dalamnya. Sistem

34 6 persamaan diferensial di atas disebut sebagai sistem persamaan diferensial mandiri (autonomous). (Farlow 1994) 2.2 Titik Tetap Definisi 4 (Titik Tetap) Diberikan sistem persamaan diferensial mandiri (2.5) dengan. Suatu titik x * yang memenuhi F(x * ) = 0 disebut titik tetap atau titik kritis atau titik kesetimbangan dari sistem (2.5). (Keshet 1988) Definisi 5 (Titik Tetap Stabil) Titik x * adalah titik tetap sebuah sistem persamaan diferensial dan x(t) adalah solusi yang memenuhi kondisi awal x(0) =, di mana Titik x * dikatakan titik tetap stabil jika terdapat yang memenuhi sifat berikut: untuk setiap, terdapat, sedemikian sehingga jika maka untuk setiap t > 0. (Verhulst 1990) Definisi 6 (Titik Tetap Takstabil) Misalkan adalah titik tetap sebuah SPD mandiri dan x(t) adalah sebuah solusi SPD mandiri dengan nilai awal x(0) = dengan Titik dikatakan titik tetap takstabil jika terdapat radius > 0 dengan ciri sebagai berikut: untuk sebarang r > 0 terdapat posisi awal memenuhi, berakibat solusi x(t) memenuhi, untuk paling sedikit satu t > 0. (Verhulst 1990) 2.3 Pelinearan Sistem Persamaan Taklinear Analisis kestabilan sistem persamaan diferensial taklinear dilakukan melalui pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial taklinear: (2.6) dengan Dengan menggunakan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap, maka persamaan (2.6) dapat ditulis sebagai berikut:

35 7 + (2.7) Persamaan (2.7) merupakan sistem persamaan diferensial taklinear dengan adalah matriks Jacobi, yang dapat ditulis sebagai (2.8) dan adalah suku berorde tinggi yang bersifat Selanjutnya pada persamaan (2.8) disebut pelinearan dari sistem taklinear persamaan (2.7) dan ditulis dalam bentuk:. (2.9) (Tu 1994) 2.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Jika A adalah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x di dalam disebut vektor eigen dari A, jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x; yaitu: Ax = λx, (2.10) untuk suatu skalar λ. Skalar disebut nilai eigen dari A, dan x disebut sebagai vektor eigen dari A terkait dengan Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks persamaan (2.10) dapat ditulis kembali sebagai: (A λi) x = 0, (2.11) dengan I matriks identitas. Persamaan (2.11) mempunyai solusi taknol jika dan hanya jika (2.12) Persamaan (2.12) disebut persamaan karakteristik dari matriks A. (Anton 2000) 2.5 Kestabilan Titik Tetap Analisis kestabilan di setiap titik tetap adalah sebagai berikut: 1. Sistem adalah stabil jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A bernilai negatif. 2. Sistem adalah tidak stabil jika dan hanya jika minimal satu nilai eigen dari A bernilai taknegatif. (Borelli dan Coleman 1998)

36 8 2.6 Bilangan Reproduksi Dasar (R o ) Bilangan reproduksi dasar ditulis R o adalah nilai harapan terjadinya infeksi per satuan waktu. Infeksi ini terjadi pada suatu populasi yang seluruhnya rentan yang dihasilkan oleh satu jenis individu yang sudah terinfeksi. (Diekmann dan Heesterbeek 2000) Kondisi yang akan timbul, yaitu: 1. Jika R o <1, jumlah pengguna narkoba akan semakin berkurang dan pada saat tertentu akan menjadi tidak ada. 2. Jika Ro>1, jumlah pengguna narkoba akan semakin bertambah sehingga penyebaran narkoba dapat terjadi.

37 9 III MODEL MATEMATIKA 3.1 Model SIRS Model dasar yang digunakan untuk menggambarkan penyebaran pengguna narkoba adalah model SIRS. Model ini dikemukakan oleh Kermac dan McKendric (1927) sebagai model dasar dari pengembangan pemodelan epidemiologi (Keshet 1988). Model ini mempunyai tiga kompartemen yang menggambarkan proses penyebaran penyakit pada suatu populasi. Kompartemen-kompartemen tersebut adalah susceptible (S), menyatakan kelompok awal populasi yang rentan terkena penyakit, infective (I) menyatakan lanjutan dari S yang terinfeksi penyakit, dan terakhir removed (R) menyatakan populasi yang telah sembuh dari sakit. Hubungan kompartemen-kompartemen tersebut diberikan pada Gambar 1. γ δn β S I R ν δ δ δ Gambar 1 Model SIRS. Pada model ini N menyatakan jumlah keseluruhan populasi. Beberapa definisi parameter yang digunakan pada model SIRS adalah sebagai berikut: β menyatakan rata-rata penyebaran virus, ν menyatakan rata-rata populasi yang sembuh, δ menyatakan rata-rata kelahiran atau kematian populasi, menyatakan rata-rata populasi yang rentan kembali terkena penyakit. 3.2 Model Dasar Penyebaran Pengguna Narkoba Model yang akan dibahas adalah model penyebaran penggunaan narkoba berdasarkan model White dan Comiskey (2007). Total populasi manusia, dinotasikan dengan N, dibagi menjadi tiga kelas, yaitu kelas individu yang rentan (susceptible) menjadi pengguna narkoba dinotasikan dengan S, kelas individu pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan dinotasikan dengan U 1, dan kelas individu pengguna narkoba dalam masa pengobatan dinotasikan dengan U 2.

38 10 Dapat dituliskan, N=S+U 1 +U 2. Model dasar penyebaran pengguna narkoba dapat digambarkan pada Gambar 2 berikut: Gambar 2 Model dasar penyebaran pengguna narkoba. Dari Gambar 2 dapat dijelaskan: 1. Laju individu yang rentan menjadi pengguna narkoba adalah jumlah individu dalam populasi yang memasuki populasi rentan dikurangi hasil bagi antara peluang individu menjadi pengguna narkoba dengan total populasi manusia dikurangi dengan laju kematian alami, ditulis: 2. Laju individu pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan adalah hasil bagi antara peluang individu menjadi pengguna narkoba dengan total populasi manusia dikurangi dengan proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan ditambah hasil bagi antara peluang pengguna narkoba dalam masa pengobatan yang kambuh menggunakan narkoba dan tidak diobati dengan total populasi manusia dikurangi laju kematian pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan, ditulis: 3. Laju individu pengguna narkoba dalam masa pengobatan adalah proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan dikurangi hasil bagi antara peluang pengguna narkoba dalam masa pengobatan yang kambuh menggunakan narkoba dan tidak diobati dengan total populasi manusia dikurangi laju kematian pengguna narkoba dalam masa pengobatan, ditulis:

39 11 Keterangan parameter yang ada pada model di atas: Λ = jumlah individu dalam populasi yang memasuki populasi rentan, yaitu semua individu berusia tahun (orang), µ = laju kematian alami dari populasi (per satuan waktu), δ 1 δ β β = tambahan laju kematian pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan (per satuan waktu), = tambahan laju kematian pengguna narkoba dalam masa pengobatan (per satuan waktu), = peluang individu menjadi pengguna narkoba, = peluang pengguna narkoba dalam masa pengobatan yang kambuh menggunakan narkoba dan tidak diobati, ρ = proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan, Beberapa asumsi yang digunakan dalam model di atas: 1. Total populasi N dianggap konstan dalam periode waktu pemodelan dan diasumsikan, 2. Ada sebuah proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan di setiap periode waktu pemodelan, 3. Pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan dapat menginfeksi individu yang rentan dan pengguna narkoba dalam masa pengobatan, 4. Pengguna narkoba dalam masa pengobatan dapat menjadi kambuh jika melakukan kontak dengan pengguna narkoba yang tidak dalam pengobatan, 5. Pengguna narkoba dalam masa pengobatan tidak dapat menginfeksi individu yang rentan, 6. Seluruh individu dalam populasi diasumsikan sama-sama rentan terhadap kecanduan narkoba. Karena dan konstan maka sistem persamaan dari model di atas ditulis menjadi:

40 12 Untuk menganalisis persamaan di atas, sederhanakan persamaan di atas dengan mendefinisikan variabel baru yaitu: dengan sehingga diperoleh persamaan: Dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan di atas menjadi: Setelah disederhanakan, akhirnya diperoleh persamaan: 3.3 Model yang Dikembangkan Model yang akan dibahas dalam karya tulis ini adalah pengembangan model White dan Comiskey (2007). Dalam model ini diasumsikan ada proporsi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba (γu 1 ) dan ada proporsi pengguna narkoba dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba (αu 2 ). Berdasarkan asumsi di atas maka model penyebaran pengguna narkoba dapat digambarkan pada Gambar 3 berikut: U2 Gambar 3 Model pengembangan penyebaran pengguna narkoba.

41 13 Analog dengan model White dan Comiskey diperoleh persamaan berikut: (3.1) Setelah disederhanakan, akhirnya diperoleh persamaan: (3.2) di mana dengan Penurunan persamaan (3.2) dapat dilihat pada Lampiran Metode Penelitian Metode yang diterapkan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Langkahlangkah yang dilakukan untuk mencapai tujuan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Merekonstruksi ulang model penyebaran pengguna narkoba yang selanjutnya disebut dengan model dasar, 2. Mengembangkan model dasar dengan menambahkan asumsi ada proporsi pengguna narkoba yang tidak dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba dan ada proporsi pengguna narkoba dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba. Model ini selanjutnya disebut model pengembangan, 3. Menganalisis model pengembangan dengan menentukan titik tetap, nilai eigen, dan kestabilannya, 4. Melakukan simulasi model pengembangan dengan menetapkan nilai-nilai parameter yang mendekati kondisi nyata.

42 14

43 IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Penentuan Titik Tetap Untuk menentukan titik tetap pada sistem persamaan diferensial dari model pada persamaan (3.2), dicari dengan menentukan, dan dengan syarat sehingga sistem persamaan (3.2) dapat ditulis sebagai berikut: (4.1) Dari hasil analisis didapat tiga jenis titik tetap yaitu titik tetap bebas narkoba (drug-free equilibrium) T 1 (s,u 1 ) = (1,0) dan dua titik tetap endemik (endemic equilibrium) yaitu: T2(s,u 1 ) = T3(s,u 1 ) = dengan ). Penentuan titik tetap ini dapat dilihat pada Lampiran 2. Salah satu titik tetap endemik ini, yaitu T 3, memiliki nilai u 1 negatif sehingga titik tetap endemik yang akan dibahas adalah T Analisis Kestabilan Titik Tetap Misalkan dari sistem persamaan (4.1) didefinisikan fungsi-fungsi berikut: (4.2) Dengan melakukan pelinearan persamaan-persamaan di atas akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut:

44 Kestabilan Titik Tetap T 1 (4.3) Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik T1 terlebih dahulu dilakukan pelinearan di sekitar titik tetap T 1 sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik det akan diperoleh nilai-nilai eigen dari dari matriks, yaitu:. Karena semua parameter yang terlibat bernilai positif maka. Berdasarkan Borelli dan Coleman (1998) titik tetap T 1 bersifat stabil jika kondisi berikut terpenuhi: dengan (4.4) disebut bilangan reproduksi dasar. Dengan kata lain, syarat terjadinya kondisi bebas narkoba adalah bilangan reproduksi dasar harus kurang dari satu.

45 Kestabilan Titik Tetap T 2 Untuk memperoleh kestabilan sistem di titik T2 terlebih dahulu dilakukan pelinearan di sekitar titik tetap T 2 sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut: dengan Dengan menyelesaikan persamaan karakteristik diperoleh persamaan: det dengan

46 18 sehingga diperoleh nilai-nilai eigen dari dari matriks, yaitu: T 2 stabil jika: dan maka akan bernilai negatif. dan maka akan bernilai negatif. T 2 sadel jika: dan maka akan bernilai negatif. dan maka akan bernilai positif.

47 19 V SIMULASI MODEL 5.1 Nilai Parameter Untuk melakukan simulasi maka diperlukan beberapa parameter yang mendukung, parameter ditetapkan berdasarkan data-data sekunder yang diperoleh dari Nyabadza dan Musekwa (2010). Nilai-nilai parameter dapat dilihat pada Tabel 1 berikut. Tabel 1 Nilai parameter model dalam simulasi numerik Parameter Notasi Kisaran Nilai Laju kematian alami dari populasi per satuan waktu µ Tambahan laju kematian pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan per satuan waktu δ Tambahan laju kematian pengguna narkoba dalam masa pengobatan per satuan waktu δ Peluang individu menjadi pengguna narkoba β1 0 1 Peluang pengguna narkoba dalam masa pengobatan yang kambuh menggunakan narkoba dan tidak diobati β2 0 1 Proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan ρ Proporsi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba γ Proporsi pengguna narkoba dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba α Hasil Simulasi Dinamika populasi yang dianalisis adalah untuk kondisi R o <1 dan R o >1. Dalam hal ini, R o adalah bilangan reproduksi dasar (persamaan 4.4). R o adalah hasil bagi antara peluang individu yang menjadi pengguna narkoba dengan jumlah proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan, laju kematian alami dari populasi, tambahan laju kematian pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan serta proporsi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan berhenti menggunakan narkoba. Untuk menganalisis dinamika populasi, dilakukan dengan memberikan nilai yang berbeda untuk parameter β1 (peluang individu menjadi pengguna narkoba) dan ρ (proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan). Dua parameter ini dipilih karena dianggap berpengaruh dalam menekan laju penyebaran pengguna narkoba. Sedangkan untuk nilai parameter lainnya dipilih berdasarkan Tabel 1.

48 20 Proporsi awal individu yang rentan menjadi pengguna narkoba adalah S(0) = 0.9, dan proporsi populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan adalah U 1 (0) = 0.1. Simulasi model dilakukan dengan menggunakan program Mathematica. Program ini dapat dilihat pada Lampiran 3 sampai Lampiran 6. Berikut adalah simulasi untuk melihat dinamika populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba dan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan yang dilakukan dengan mengubah nilai β1 dan ρ untuk R o <1 dan R o > Simulasi untuk R o <1 dengan Nilai 1 Berbeda Simulasi untuk Ro<1 dengan nilai β 1 berbeda dilakukan untuk menggambarkan dinamika bebas narkoba dari model penyebaran pengguna narkoba. Nilai-nilai parameter yang dipilih diberikan pada Tabel 2 sehingga diperoleh R o <1. Dari hasil simulasi akan terlihat bahwa pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan semakin berkurang serta pada saat tertentu menjadi tidak ada dan masuk ke kelas individu yang rentan menjadi pengguna narkoba, dengan demikian tidak terjadi penyebaran narkoba. Tabel 2 Simulasi untuk R o <1 dengan nilai β 1 berbeda Parameter Nilai µ δ δ α γ ρ β β Ro

49 s Hasil simulasi diberikan pada gambar berikut: 0.98 β 1 = β 1 = t u β 1 = β 1 = t Gambar 4 Dinamika populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba (S) (atas) dan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan (U 1 ) (bawah) terhadap waktu t untuk kondisi R o <1 dengan nilai β 1 berbeda. Gambar 4 (atas) menunjukkan jika peluang individu menjadi pengguna narkoba menurun dua kali lipat dari peluang semula maka populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan naik, sedangkan Gambar 4 (bawah) menunjukkan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan turun. Gambar 4 juga menunjukkan bahwa kurva S naik dan stabil menuju satu, sedangkan pada kurva U 1 turun dan stabil ke nol atau kurva stabil di titik tetap

50 22 bebas narkoba (drug free equilibrium). Hal ini berarti bahwa jumlah pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan sermakin berkurang dan pada saat tertentu akan menjadi tidak ada (nol) sehingga seluruh populasi manusia akan menjadi rentan menjadi pengguna narkoba dengan demikian tidak terjadi penyebaran narkoba. Kurva dengan β 1 = 0.1 lebih cepat stabil dibandingkan dengan kurva dengan β 1 = 0.2 hal ini karena bilangan reproduksi dasar yang dihasilkan semakin lebih kecil dan kurang dari satu. Jadi semakin kecil bilangan reproduksi dasar maka kestabilan kurva akan semakin cepat Simulasi untuk R o <1 dengan Nilai Berbeda Simulasi untuk Ro<1 dengan nilai ρ berbeda dilakukan untuk menggambarkan dinamika bebas narkoba dari model penyebaran pengguna narkoba. Nilai-nilai parameter yang dipilih diberikan pada Tabel 3 sehingga diperoleh R o <1. Dari hasil simulasi akan terlihat bahwa pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan semakin berkurang serta pada saat tertentu menjadi tidak ada dan masuk ke kelas individu yang rentan menjadi pengguna narkoba, dengan demikian tidak terjadi penyebaran narkoba. Tabel 3 Simulasi untuk R o <1 dengan nilai ρ berbeda Parameter Nilai µ δ δ α γ β β ρ Ro

51 23 s Hasil simulasi diberikan pada gambar berikut: = ρ = u t = = t Gambar 5 Dinamika populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba (S) (atas) dan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan (U 1 ) (bawah) terhadap waktu t untuk kondisi R o <1 dengan nilai ρ berbeda. Gambar 5 (atas) menunjukkan jika proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan meningkat tiga kali lipat dari proporsi semula maka populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan naik, sedangkan Gambar 5 (bawah) menunjukkan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan turun. Gambar 5 juga menunjukkan bahwa kurva S naik dan stabil menuju satu, namun pada kurva U 1 turun dan stabil ke nol. Ini berarti bahwa kurva stabil di titik tetap bebas narkoba (drug free equilibrium) dan jumlah pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan semakin berkurang serta pada saat tertentu

52 24 akan menjadi tidak ada (nol) sehingga seluruh populasi manusia akan menjadi rentan menjadi pengguna narkoba dengan demikian tidak terjadi penyebaran narkoba. Kurva dengan ρ = 0.3 lebih cepat stabil dibandingkan dengan kurva dengan ρ = 0.1 hal ini karena bilangan reproduksi dasar yang dihasilkan semakin lebih kecil dan kurang dari satu. Jadi semakin kecil bilangan reproduksi dasar maka kestabilan kurva akan semakin cepat. Dari Gambar 4 dan Gambar 5 dapat disimpulkan, ketika bilangan reproduksi dasar kurang dari satu maka kurva stabil di titik tetap bebas narkoba atau di T1(s,u 1 ) = (1,0) Simulasi untuk R o >1 dengan Nilai 1 Berbeda Simulasi untuk Ro>1 dengan nilai β 1 berbeda dilakukan untuk menggambarkan dinamika populasi terjadinya endemik narkoba di suatu daerah karena adanya kontak antara pengguna narkoba tidak dalam pengobatan dengan individu yang rentan menjadi pengguna narkoba. Nilai-nilai parameter yang dipilih diberikan pada Tabel 4 sehingga diperoleh R o >1. Dari hasil simulasi akan terlihat bahwa pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan berkurang dan individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan bertambah. Namun narkoba tetap akan ada dalam populasi karena kondisi R o >1 terpenuhi dengan demikian dapat terjadi penyebaran narkoba. Tabel 4 Simulasi untuk R o >1 dengan nilai β 1 berbeda Parameter Nilai µ δ δ α γ ρ β β Ro

53 25 s 1.0 Hasil simulasi diberikan pada gambar berikut: β 1 = β 1 = t 0.7 u1 β 1 = β 1 = t Gambar 6 Dinamika populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba (S) (atas) dan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan (U 1 ) (bawah) terhadap waktu t untuk kondisi R o >1 dengan nilai β 1 berbeda. Gambar 6 (atas) menunjukkan jika peluang seorang individu menjadi pengguna narkoba menurun dua kali lipat dari peluang semula maka populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan naik, sedangkan Gambar 6 (bawah) menunjukkan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan turun.

54 26 Pada Gambar 6 (atas) menunjukkan bahwa kurva S dengan β 1 = 0.4 akan turun dan stabil menuju , sedangkan pada Gambar 6 (bawah) kurva U 1 akan naik dan stabil menuju Artinya bahwa kurva stabil di titik tetap endemik atau di T 2 (s,u 1 ) = (0.1868; ). Begitu pula untuk kurva dengan β 1 = 0.2, kurva akan stabil di titik tetap endemik atau di T 2 (s,u 1 ) = (0.4062; ). Hal ini berarti jumlah pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan bertambah dan seiringnya waktu akan stabil ke titik endemik sehingga penyebaran narkoba dapat terjadi dan meluas menjadi wabah sedangkan jumlah individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan berkurang. Kurva dengan β1 = 0.4 lebih cepat stabil dibandingkan dengan kurva dengan β 1 = 0.2 karena bilangan reproduksi dasar yang dihasilkan semakin besar dan lebih dari satu. Jadi semakin besar bilangan reproduksi dasar maka kestabilan kurva akan semakin cepat Simulasi untuk R o >1 dengan Nilai Berbeda Simulasi untuk Ro>1 dengan nilai ρ berbeda dilakukan untuk menggambarkan dinamika populasi terjadinya endemik narkoba di suatu daerah karena adanya kontak antara pengguna narkoba tidak dalam pengobatan dengan individu yang rentan menjadi pengguna narkoba. Nilai-nilai parameter yang dipilih diberikan pada Tabel 5 sehingga diperoleh R o >1. Tabel 5 Simulasi untuk R o >1 dengan nilai ρ berbeda Parameter Nilai µ δ δ α γ β β ρ Ro

55 27 s Hasil simulasi diberikan pada gambar berikut: ρ = ρ = t u1 ρ = ρ = t Gambar 7 Dinamika populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba (S) (atas) dan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan (U 1 ) (bawah) terhadap waktu t untuk kondisi R o >1 dengan nilai ρ berbeda. Gambar 7 (atas) menunjukkan jika proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan meningkat dua kali lipat dari proporsi semula maka populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan naik, sedangkan Gambar 7 (bawah) menunjukkan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan turun. Pada Gambar 7 (atas) menunjukkan bahwa kurva S dengan ρ = 0.1 akan turun dan stabil menuju , sedangkan pada Gambar 7 (bawah) kurva U 1 akan naik dan stabil menuju Artinya bahwa kurva stabil di titik tetap

56 28 endemik atau di T 2 (s,u 1 ) = (0.1868; ). Begitu pula untuk kurva dengan ρ = 0.2 kurva akan stabil di titik tetap endemik atau di T 2 (s,u 1 ) = (0.2684; ). Hal ini berarti jumlah pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan bertambah dan seiringnya waktu akan stabil ke titik endemik sehingga penyebaran narkoba dapat terjadi dan meluas menjadi wabah sedangkan jumlah individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan berkurang. Kurva dengan ρ = 0.1 lebih cepat stabil dibandingkan dengan kurva dengan ρ = 0.2 hal ini karena bilangan reproduksi dasar yang dihasilkan semakin besar dan lebih dari satu. Jadi semakin besar bilangan reproduksi dasar maka kestabilan kurva akan semakin cepat. Dari Gambar 6 dan Gambar 7 dapat disimpulkan, ketika bilangan reproduksi dasar lebih dari satu maka titik tetap endemik bersifat stabil. Dari Gambar 4 dan Gambar 6 disimpulkan penyebab turunnya peluang individu menjadi pengguna narkoba (β ) terjadi karena individu tersebut telah 1 mengetahui dan menyadari akibat buruk yang ditimbulkan dari penyalahgunaan narkoba. Dalam buku Benteng Remaja Menolak Narkoba, akibat buruk yang dapat ditimbulkan antara lain: 1. Akibat buruk terhadap fisik pemakainya yaitu anggota tubuh atau organ-organ fisiknya akan mengalami kerusakan bahkan sampai menyebabkan kematian. 2. Akibat buruk terhadap kejiwaan pemakainya, bisa terlihat dari adanya tingkah laku yang tidak wajar yang dilakukan oleh si pemakai, antara lain rasa kepercayaan dirinya hilang, apatis (sikap masa bodoh), penghayal, sering tegang, gelisah, sulit berkosentrasi, cenderung menyakiti diri, perasaan tidak aman, bahkan bisa melakukan bunuh diri. Sedangkan dari Gambar 5 dan Gambar 7 dapat disimpulkan meningkatnya proporsi individu pengguna narkoba yang masuk pengobatan dapat terjadi karena pemerintah meningkatkan upaya pengobatan bagi penguna narkoba. Dalam Bab IV Undang-Undang No. 23 Tahun 1992 tentang Kesehatan dinyatakan bahwa pemerintah bertugas menyelenggarakan upaya kesehatan yang merata dan terjangkau oleh masyarakat. Upaya kesehatan yang merata dan terjangkau oleh masyarakat adalah merata dalam arti tersedianya sarana pelayanan di seluruh wilayah sampai daerah terpencil yang mudah terjangkau oleh seluruh masyarakat,

57 29 termasuk fakir miskin, orang terlantar, dan orang kurang mampu. Dalam hubungannya untuk meningkatkan upaya pengobatan bagi pengguna narkoba, hendaknya pengobatan yang diberikan dilakukan dengan pendekatan pemeliharaaan, peningkatan kesehatan (promotif), pencegahan penyakit (preventif), penyembuhan penyakit (kuratif), dan pemulihan kesehatan (rehabilitatif) yang dilakukan secara menyeluruh, terpadu, dan berkesinambungan (Ali dan Duse 2007).

58 30

59 VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan Berdasarkan hasil pembahasan, dari pengembangan model penyebaran pengguna narkoba diperoleh tiga titik tetap, yaitu satu titik tetap bebas narkoba dan dua titik tetap endemik. Analisis kestabilan titik tetap tersebut bergantung pada nilai R o, yakni bilangan reproduksi dasar. Jika R o <1, maka titik tetap bebas narkoba T 1 bersifat stabil artinya jumlah pengguna narkoba akan semakin berkurang dan pada saat tertentu akan menjadi tidak ada. Pada titik tetap endemik T 2 bersifat stabil jika R o >1 artinya jumlah pengguna narkoba akan semakin bertambah sehingga penyebaran narkoba dapat terjadi. Selanjutnya dari hasil simulasi numerik dapat dilihat, bahwa: a. Jika peluang individu menjadi pengguna narkoba menurun dari peluang semula maka populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan meningkat, sedangkan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan turun. Penyebab turunnya peluang individu menjadi pengguna narkoba terjadi karena individu tersebut telah mengetahui dan menyadari akibat buruk yang ditimbulkan dari penyalahgunaan narkoba. b. Jika proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan meningkat dari proporsi semula maka populasi individu yang rentan menjadi pengguna narkoba akan naik, sedangkan populasi pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan turun. Meningkatnya proporsi individu pengguna narkoba yang masuk pengobatan terjadi karena pemerintah meningkatkan upaya pengobatan bagi penguna narkoba. Artinya pengobatan yang diberikan dilakukan dengan pendekatan pemeliharaan, peningkatan kesehatan (promotif), pencegahan penyakit (preventif), penyembuhan penyakit (kuratif), dan pemulihan kesehatan (rehabilitatif) yang dilakukan secara menyeluruh, terpadu, dan berkesinambungan. c. Peluang individu menjadi pengguna narkoba harus dibatasi serendah mungkin agar bilangan reproduksi dasar yang diperoleh kurang dari satu sehingga akan timbul kondisi dimana jumlah pengguna narkoba tidak dalam masa pengobatan akan semakin berkurang dan pada saat tertentu akan menjadi tidak ada.

60 Saran 1. Upaya pencegahan penyalahgunaan narkoba, upaya pengobatan, dan rehabilitasi untuk pengguna narkoba harus lebih digalakkan oleh seluruh pihak agar peluang individu menjadi pengguna narkoba semakin kecil. 2. Proporsi pengguna narkoba yang masuk pengobatan harus lebih besar dari peluang individu menjadi pengguna narkoba. Langkah itu dapat dicapai melalui upaya pengobatan yang maksimal bagi pengguna narkoba, memerangi dan memberantas peredaran narkoba secara menyeluruh serta pemberian sanksi hukuman yang tegas tanpa pandang bulu dari pemerintah bagi penyalahguna narkoba.

61 DAFTAR PUSTAKA Ali MAP, Duse I Narkoba Ancaman Generasi Muda. Kalimantan Timur: DPD Kaltim, BNP Kaltim, PemKab Kutai Kartanegara, GERPANA Kaltim kerjasama dengan PustakaTimur. Anton H Elementary Linear Algebra. Eighth Edition. USA: Lehigh Press Inc. [BNN] Badan Narkotika Nasional Kamus Narkoba. go. id/ portal/index.php [22 April 2011]. [BNN] Badan Narkotika Nasional, [PPKUI] Pusat Penelitian Kesehatan Universitas Indonesia Laporan Survei Penyalahgunaan Narkoba di Indonesia Tahun [13 Agustus 2011]. [BNN] Badan Narkotika Nasional, [PPKUI] Pusat Penelitian Kesehatan Universitas Indonesia Survei Narkoba Rumah Tangga Tahun pdf [28 Juli 2011]. Borelli RL, Coleman CS Differential Equations. USA: John Wiley and Sons, Inc. Braun M Differential Equations and Their Applications. New York: Springer-Verlag. Diekmann O, Heesterbeek JAP Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases. USA: John Wiley and Son, Ltd. Dodo RW Benteng Remaja Menolak Narkoba. Jakarta: Nobel Edumedia. Farlow SJ An Introduction to Differential Equation and Their Applicantions. New York: McGraw Hill. Keshet L Mathematical Models in Biology. New York: Random House. Mulone G, Straughan B A Note on Heroin Epidemics. Mathematical Biosciences 218 : Nyabadza F, Musekwa SDH From Heroin Epidemics to Methamphetamine Epidemics: Modelling Substance Abuse in A South African Province. Mathematical Biosciences 225 : Tu PNV Dynamical Systems. An Introduction with Applicants in Economics and Biology. New York: Springer-Verlag.

62 34 [DPR] Dewan Perwakilan Rakyat Undang-Undang Narkotika dan Psikotropika Beserta Penjelasannya. Jakarta: Restu Agung. Vershult F Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Berlin: Springer-Verlag. White E, Comiskey C Heroin Epidemics, Treatment and ODE Modelling. Mathematical Biosciences 208 :

63 L A M P I R A N

64

65 36 Lampiran 1. Penurunan persamaan (3.2) dari model yang dikembangkan Diketahui persamaan (3.1) adalah: dengan dan didefinisikan variabel baru yaitu: Kemudian substitusikan skala di atas ke dalam persamaan (3.1) sehingga diperoleh persamaan (1), (2), (3), (4). (1) (2) (3)

66 37 (4) dengan mensubstitusikan persamaan (5), (6), (7), dan (8). ke dalam persamaan (2) dan (3) diperoleh (5) (6) (7) Persamaan (6) dan (8) diatas merupakan sistem persamaan (3.2) dari model yang dikembangkan. Sehingga diperoleh sistem persamaan: (8) (i) (ii)

67 38 Lampiran 2. Penentuan titik tetap Penentuan titik tetap bebas narkoba Dari sistem persamaan (3.2) model yang dikembangkan (i) (ii) Titik tetap akan diperoleh dengan menetapkan dan. Dari persamaan (ii) dapat disederhanakan sehingga diperoleh nilai atau atau atau atau Dari persamaan (i) Ketika nilai maka akan diperoleh titik tetap bebas narkoba. Sekarang substitusikan nilai ke persamaan (i) maka akan diperoleh nilai. Diperoleh titik tetap bebas narkoba yaitu T 1 (1,0).

68 39 Penentuan titik tetap endemik dengan program Mathematica Program: Diperoleh titik tetap endemik sebagai berikut : T 2 (s,u 1 )= ( ). T 3 (s,u 1 ) = ( ). Titik tetap T 2 dan T 3 dapat disederhanakan menjadi T2 (s,u 1 ) =, T3 (s,u 1 ) = dengan nilai A, B, dan C sebagai berikut: ).