MODEL PENYAKIT MENULAR DENGAN PERIODE LATENT DAN RELAPSE ABDI SUKAMTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

Transkripsi

1 MODEL PENYAKIT MENULAR DENGAN PERIODE LATENT DAN RELAPSE ABDI SUKAMTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model Penyakit MenuIar dengan Periode Latent dan Relapse adalah karya saya sendiri dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan dalam teks dan dicanturnkan dalam Dafiar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Juli 2009 Abdi Sukamto NRP. G

3 ABSTRACT ABDI SUKAMTO. Modeling of lnfected Diseases with Latent and Relapse Supervised by PAIAN SIANTURI and ALI KUSNANTO. The spread of infected diseases are usually caused by direct contect between those considered as susceptible and those already infected. In this study, both the relapse and the latent factors were considered. The relapse factor is associated with a condition where the disease might be occurred again, while the latent related with the condition that the germ were being inactive in the body. We applied this model to study the spread of the disease considering that the members of population in the exposed class were distributed on a manner of negative exponentially distribution or step function. The basic reproduction number was studied and applied to stability. All the models gave results that as the birth rate or remove rate was bigger then the proportion of susceptible population increase, while proportion of infected population and recovers decrease. On the other hand, if the contact rate and recurrence to return increase then the susceptible population decrease, while the proportion of infected population and recovers increase. Keywords: Infected diseases, mathematical model, probability, basic reproduction number.

4 ABDI SUKAMTO. Model Penyakit Menular dengan Periode Latent dan Relapse. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO. Seseorang yang terinfeksi oleh penyakit menular, berarti kuman tersebut berada di dalam tubuh dalam bentuk tidak aktif sampai jangka waktu tertentu, ha1 ini dikarenakan sistem kekebalan tubuh mampu mengontrol kurnan tersebut. Dengan melakukan pengobatan, maka orang tersebut mungkin akan sembuh. Pengobatan yang tidak sempurna mungkin akan mengakibatkan kambuhnya kembali penyakit tersebut. Dalam tulisan ini akan dikaji jenis penyakit yang bersifat relapse, yaitu peristiwa karnbuh kembali setelah sembuh dan memiliii periode latent, yaitu masa bersembunyinya penyakit tersebut di dalam tubuh ketika sistem kekebalan tubuh dalam kondisi baik. Penelitian sebelumnya telah dilakukan oleh Driessehe dan Zou (2007) untuk mengkaji model relapse pada penyakit infeksi, dan Feng et al. (1999) membuat aturan periode latent pada model matematika untuk TBC. Disini pemodelan terhadap penyebaran penyakit yang bersifat latent dan relapse dipelajari. Salah satu penyakit yang memiliki ciri-~iri latent dan relapse adalah tuberculosis (TBC). Pemodelan penyakit menular ini dilakukan untuk melihat dinarnika masing-masing populasi yaitu populasi rentan, populasi menular dan populasi sembuh. Selain itu model asumsi juga diterapkan gum membandmgkan terhadap model asli dengan cara malakukan analisis kestabilan dengan menggunakan metode Routh-Hurwitz dan menguji teori tersebut melalui simulasi dengan menggunakan software computer Mathematica 7.0. Hasil simulasi yang telah dilakukan terhadap ketiga model yaitu model asli, model asumsi eksponensial negatif, dan asumsi fungsi tangga diperoleh dua titik tetap yaitu : P(S,I,R) = (l,o,o) dan P'(s',I*,R') dengan S* adalah proporsi manusia rentan, I* proporsi manusia menular, dan R' proporsi manusia sembuh. Analisis kestabilan titik tetap tersebut bergantung pada nilai R,,, dengan 4 adalah bilangan reproduksi dasar. Jika R,, c 1, maka titik tetap bebas penyakit P bersifat stabil sedangkan pada titik tetap endemik~' bersifat stabil jika R,, >l. Selanjutnya dari hasil simulasi untuk kasus R,, > 1, diperoleh informasi tentang pengaruh kelahiran (b), koefisien pemindahan (P), infeksi kembali penyakit tersebut (a), dan laju kesembuhan (y). Semakin besar tingkat kelahiran maka proporsi populasi rentan meningkat, sedangkan proporsi populasi menular dan sembuh berkurang. Semakin besar tingkat kontak (koefiien pemindahan) maka proporsi populasi rentan berkurang, sedangkan proporsi populasi menular dan proporsi populasi sembuh meningkat. Semakin besar tingkat kambuh kembali maka proporsi popuhsi rentan krkurmg dan proporsi menglar dw sembuh meningkat. Semakin besar laju kesembuhan maka proporsi populasi rentan meningkat dan proporsi populasi menular dan sembuh berkurang. Semakin besar

5 bilangan reproduksi maka semaki cepat masing-masing populasi untuk mencapai kestabilannya. Kata kunci : Penyakit menular, model maternatika, peluang, bilangan reproduksi.

6 O Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi undang-undang I. Dilarang mengutip sebagian atair seltmih hasil kalya tttlis ini tanpa mencantumkan atair menyebiitkan suniber. a. Penprtipan hanya tintuk kepentingan pendidikan, penelitian, penzilisan kalya ilmiah, penyustinan laporan, penulisan kritik, atatr tiizjauan stratu masalah b. Pengzitipan tidak menigikan kepentingan yang wajar Institzrt Pertanian Bogor. 2. Dilarang niengunuimkan dun memperbanyak sebagian atau selirnih kaiya ttrlis dalam bentuk apaptin tanpa izin Instittrt Pertanian Bogor.

7 MODEL PENYAKIT MENULAR DENGAN PERIODE LATENT DAN RELAPSE ABDl SUKAMTO Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOEAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

8 Judul Tesis Nama NRP Program Studi : Model Penyakit Menular Dengan Periode Latent dan Relapse : Abdi Sukamto : G : Matematika Terapan Disetujui, Koinisi Pembimbing Dr. Paian Sianturi Ketua Drs.Ali Kusnanto M.Si Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan olah Pasca Sarjana IPB &i- Dr.Ir.Endar.H.Nugrahani,MS airil A. Notodiputro, M.S. I Tanggal Ujian : 18 Juli 2009 Tanggal Lulus : Juli JI!L 2909.

9 PRAKATA Puji dan syukur kepada Allah SWT yang telah memberikan karunianya sehingga telah dapat menyelesaikan karya tulis ini. Judul yang saya teliti adalah : Model Penyakit Menular dengan Periode Latent dan Relapse yang telah saya pilih dalam penelitian ini sejak bulan Desember Terima kasili penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Paian Sianturi dan Bapak Drs. Ali Kusnanto M.Si selaku pembimbing yang telah banyak membimbing dan mengarahkan serta Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku penguji yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia terhadap beasiswa yang diberikan dan kepada rekan-rekan mahasiswa yang telah memberikan motivasi dan sarannya. Semoga Allah memberikan balasan yang lebih baik bagi kita semua. Terzkhir kepada abang, kakak, serta istri dan anak-anak yang tercinta yang bersedia melepaskan kepergian saya dengan penuh keyakinan dan kesabaran dalam kerangka menuntut ilmu pengetahuan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Juli 2009 Abdi Sztkamto

10 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Pangkalan Berandan pada tanggal 23 Maret 1969 dari ayah Salijo dan ibu Painem. Penulis merupakan putra kesebelas dari dua belas bersaudara. Tahun I990 penulis lulus dari SMU Muhammadiyah-4 Pangkalan Berandan Sumatera Utara dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IAN Medan melalui seleksi masuk IAIN. Penulis memilih jurusan Tadris Matematika Fahltas Tarbiyah. Kesempatan untuk melanjutkan program magister pada program studi Matematika Terapan dan pada perguruan tinggi IPB diperoleh pada tahun Penulis adalah Guru Madrasah Aliyah Negeri ( MAN ) di Kabupaten Langkat sejak Mata pelajaran yang diajarkan adalah matematika.

11 DAFTAR IS1 Halaman.. DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR... xi11 DAFTAR LAMPIRAN , , xiv I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan Penelltian Metode... 2 I1 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Titik Tetap Bilangan Reproduksi Dasar (& )... 7 I11 MODEL MATEMATIKA 3.1 Model Matematika Asumsi Peluang Tetap Tinggal di Kelas Exposed Menyebar Eksponensial Negatif Asumsi Peluang Tetap Tinggal di Kelas Exposed Merupakan Fungsi Tangga IV HASIL DAN PEMBAHASAN Penentuan Titik Tetap , 4.2 Analisis Kestabilan Perilaku di Sekitar Titik Tetap P (1,0,O) pada Model Asli Perilaku di Sekitar Titik Tetap P' (s*, I', R') pada Model Asli Perilaku di Sekitar Titik Tetap P' (s*, I*, R') dengan Asumsi Eksponensial Negatif Perilaku di sekitar Titik Tetap P* (S', I*, R' ) dengan Asumsi Fungsi Tangga I8 4.3 Simulasi Model Nilai-nilai Parameter I Hasil Simulasi Model XII

12 V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 32

13 DAFTAR TABEL Halaman 1. Perbandingan titik tetap antara model asli dengan model asurnsi sebagai fungsi eksponensial negatif dan fungsi tangga Perbandingan ketiga titik tetap bebas penyakit dan bilangan Reproduksi...'26 3 Perbandingan ketiga titik tetap endemik dan bila~gan reproduksi Hubungan antara model asli dengan parameter Hubungan antara model eksponensial negatif dengan parameter Hubungan antara model fungsi tangga dengan parameter xii

14 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Diagram flow untuk model SEIRI Proporsi populasi rentan (5'). menular (4. dan sembuh (R) dari model asli dengan titik tetap bebas penyakit (DFE) untuk Ro = Tipe kestabilan titik tetap bebas penyakit (DFE) dari model asli Proporsi populasi rentan (9. menular (4. dan sembuh (R) dari model asli dengan titik tetap endemik (EE) untuk Ro = Tipe kestabilan titik tetap endemik (EE) dari model asli Proporsi populasi rentan (S). menular (4. dan sembuh (R) dari model Asumsi eksponensial negatif dengan titik tetap bebas penyakit (DFE) Untuk Ro = Tipe kestabilan DFE dari model ssumsi eksponensial negatif Proporsi populasi rentan (S). menular (4. dan sembuh (R) dari model Asumsi eksponensial negatif dengan EE untuk Ro = Tipe kestabilan EE dari model asumsi eksponensial negatif Proporsi populasi rentan (S). menular (I). dan sembuh (R) dari model Asumsi fungsi tangga dengan DFE untuk Ro = Tipe kestabilan DFE dari model asumsi fungsi tangga Proporsi populasi rentan (S). menular (4. dan sembuh (R) dari model Asumsi fungsi tangga dengan EE untuk Ro = Tipe kestabilan EE dengan asumsi hngsi tangga Plot gabungan Proporsi populasi rentan ( S ). proporsi populasi Menular (I). dan sembuh ( R ) dari titik tetap bebas penyakit Tipe kestabilan DFE dengan model gabungan Plot gabungan Proporsi populasi rentan ( S ). proporsi populasi Menular (I). dan sembuh ( R ) dari titik tetap endemik Tipe kestabilan EE dengan model gabungan xiii

15 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Mencari titik tetap dan bilangan reproduksi dari model asli Mencari titik tetap dan bilangan reproduksi dari model asumsi eksponensial negative Mencari titik tetap dan bilangan reproduksi dari model asumsi fungsi tangga Menganalisis kestabilan titik tetap bebas penyakit pada model asli Menganalisis kestabilan titik tetap endemik pada model asli Menganalisis kestabilan titik tetap endemik pada model asumsi eksponensial negatif Pembuktian mencari r ( t ) pada model asli Pembuktian mencari E'( t ) pada model asli Pembuktian mencari?( t ) pada asumsi eksponensial negatif Pembuktian mencari T( t ) pada asumsi fungsi tangga Mencari nilai N=l pada persamaan (8) Program untuk simulasi model asli Program untuk simulasi model asumsi eksponensial negatif Program untuk simulasi model asumsi fungsi tangga Program untuk simulasi model gabungan Mencari Bilangan reproduksi Tabel 4 hubungan antara model asli dengan parameter Tabel 5 hubungan antara model eksponensiai negatif dengan parameter Tabel 6 hubungan antara model fungsi tangga dengan parameter xiv

16 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu permasalahan yang dihadapi di dalam kehidupan sehari-hari adalah menyebarnya suatu penyakit pada suatu rnasyarakat dengan tingkat penyebaran yang lebih cepat dari biaanya. Jenis penyakit tersebut biasanyz digolongkan ke dalam penyakit menular. Hal ini disebabkan oleh kuman ymg dapat berupa virus, bakteri, amuba ataupun jamur. Cara penularannya ada bermacam-macam, salah satu di antaranya melalui kontak langsung antara orang yang sehat dengan si penderita. Seseorang yang terinfeksi oleh penyakit, berarti kuman berada di dalam tubuh dalam bentuk tidak aktif sampai waktu tertentu, ha1 ini dikarenakan sistem kekebalan tubuh mampu mengontrol kuman tersebut, tetapi jika sistem kekebalan tubuh lemah maka menyebabkan aktifnya kuman tersebut sehingga dapat menularkan kepada orang lain. Dengan melakukan pengobatan, maka seseorang tersebut akan menjadi sembuh. Pada manusia, pengobatan yang tidak sempurna akan mengakibatkan kambuh kembali (Driessche et al. 2007). Dalam tulisan ini akan dikaji jenis penyakit yang bersifat relapse, yaitu adanya kambuh kembali setelah sembuh dari penyakit dan memiliki periode latent, yaitu masa bersembunyinya penyakit tersebut di dalam tubuh ketika sistem kekebalan tubuh dalam kondisi aktif7 kuat. Penelitian sebelumnya telah dilakukan oleh Driessche dan Zou (2007) untuk mengkaji model relapse pada penyakit infeksi, dan Feng et a1.(1999) membuat aturan periode latent pada model matematika untuk TBC. Dengan melakukan pemodelan terhadap penyebaran penyakit yang bersifat latent dan relapse akan mempermudah dalam memahami dinamika penyebaran penyakit dalam suatu populasi. Salah satu penyakit yang memiliki ciri-ciri tersebut adalah tubercu2osis (TBC).

17 1.2 Tujuan Penelitian 1 Mengkaji model penyebaran penyakit menular yang bersifat latent1 exposed dan kemungkinan relapse. 2 Melakukan analisis kestabilan. 3 Mengimplementasikan model dalam pemrograman berbasis fungsional 4 Membandingkan perilaku model asli dan model asumsi. 1.3 Metode Langkah-langkah yang digunakan dalam metode tersebut adalah : 1 Merekonstruksi model penyebaran penyakit menular yang bersifat latent /exposed dan kemungkinan relapse. 2 Mengkaji model dengan cara menentukan titik tetap serta menganalisis kestabilan di titik tetapnya guna mengetahui perilaku di sekitar titik tetap, dengan inenggunakan kriteria Routh-Hunvitz. 3 Mengkaji model yang menggunakan asumsi, yaitu : a Peluang tetap tinggal di kelas exposed diasumsikan menyebar secara eksponensial negatif. b Peluang tetap tinggal di kelas exposed diasumsikan fungsi tangga.

18 11. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 [ Sistem Persamaan Diferensial Linear (SPDL) ] Jika suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : x=ax+b,x(0)=x0,x~%" (1) dengan A adalah matriks koefisien berukuran n x n dan vektor konstan b E W, maka sistem tersebut dinamakan SPD linear orde 1 dengan kondisi awal x(0) =no. Sistem ini disebut homogen jika b = 0, dan non homogen jika b # 0. Definisi 2 [ Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear ] dengan Suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan sebagai berikut : [Tu x =f(t,x) (2) J;(t,xl>x,,...>x,,) X= ["?';&nf(t,x) =[ ]fhgsi tak linear pada ~.-...,xn. x,, (t) ~,(~>x,,x,,...,x") Sistem ini disebut sebagai sistem persamaan diferensial tak linear. Defiisi 3 [ Sistem Persamaan Diferensial Mandiri ] berikut : [Braun Misalkan suatu sistem persamaan diferensial (SPD) dinyatakan sebagai x= f(x), XE%~ (3) dengan f merupakan fungsi kontinu bemilai real dari x dan mempunyai tumnan parsial kontinu. Persamaan ini disebut sebagai persamaan diferensial mandiri (autonomous), jika tidak memuat t secara eksplisit di dalarnnya. [Tu 19941

19 P- Definisi 4 [ Sistem Persamaan Diferensial Delay (DDE) ] Persamaan diferensial delay dapat ditulis sebagai berikut : dn(t) - f (N(t), N(t - z), dengan z > 0. dt N(t) adalah total populasi pada waktu t, z adalah delay/ tunda dann(t-z) (4) merupakan total populasi pada periode exposed. 2.2 Titik Tetap Defiiisi 5 1 Titik Tetap ] Diberikan SPD [ Murray 1989 ] Titik x' disebut titik tetap jika f (x*) = 0. Titik tetap disebut juga titik kritis atau kesetimbangan. [Tu Definisi 6 [ Titik Tetap Stabil] Misalkan x adalah titik tetap sebuah persamaan diferensial dan x(t) adalah solusi dengan kondisi awal x(0) =xo, dimana xo z 2. Titik x dikatakan titik tetap stabil, jika untuk setiap E > 0, terdapat r z 0, sedemikian sehingga Ino - X I < r, maka lx(t) -xi < E untuk t > 0. [ Vershult Definisi 7 [ Analisis Kestabilan Titik Tetap ] Analisis kestabilan titik tetap yang berbeda untuk setiap nilai eigen yaitu : 1 Sistem x = Ax adalah stabil asimtotik global jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A bagian realnya bernilai negatif. 2 Sistem x = Ax adalah stabil netral jika dan hanya jika setiap nilai eigen dari A mempunyai bagian real yang tidak positif dan sekurangkurangnya satu nilai eigen mempunyai bagian real nol. 3 Sistem.t = Ax adalah tidak stabil jika dan hanya jika beberapa nilai eigen dari A bagian realnya bernilai positif. [Borrelli dan Coleman 19981

20 Definisi 8 [ Komunitas Multi-Spesies dan Kriteria Routll-Hurvvitz ] Suatu model populasi dengank spesies yang berinteraksi dalam komunitas dapat dituliskan dalam bentuk persamaan : atau dapat ditulis dalam notasi vektor denganx = (x,,x,,..., x,), f = (f;, f,,..., f,) fungsi tak linear pada x,,x2,..., x, Kestabilan sistem tersebut dapat ditentukan dengan urutan sebagai berikut : 1 Menentukan titik tetap (x) yang memenuhi f (x) = 0 2 Pelinearan dengan menentukan matriks Jacobi pada titik tetap, yaitu : af - J = -(x) ax atau 3 Menentukan nilai eigen, dengan menyelesaikandet (21 - J) = 0. Nilai eigen(2) ini akan memenuhi persamaan karakteristik berikut : 2" +alln-i +a,/z"-, +...+ak =O. Selanjutnya untuk melihat kestabilan.&em kriteria Routh-Hunvitz berikut : dapat dilakukan menggunakan

21 Kriteria Routh-Hurwitz Diberikan persamaan karakteristik : A" + a,an-' + a2anm ak =; 0. Selanjutnya didefmisikan matriks sebagai berikut : HI = (a,), H, = i i '21-m untuk 0 < 21 - m 5 k, Misalkan H, = (h,) dengan h, = 1 untuk 21 = 7n, 0 untuk 21 < Tn atau 21 > k + m. Titik tetap x stabil jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Routh- Hurwitz bernilai positif, yaitu : det H, > 0 Catatan : Kriteria Routh-Hurwitz untuk k = 2,3,4 disebutkan bahwa titik tetap ; stabii jika dan hanya jika : k = 2,3,4 k=2, a, >O, a, >O k=3, k = 4, a,>o, a3>0, a,a,>a3 2 2 a, >0, a, >O, a, >O, a,a2a3 > a, +a, a, Detinisi 9 [ Fungsi Eksponensial Negatif ] pdelstein-keshet Suatu peubah acak kontinu x disebut fungsi eksponensial negatif dengan parameter A > 0, jika fungsi kepekatannya diberikan sebagai berikut : Ae-*, t > 0 f (t) = F '(t) = 0,t<O [Ghahramani 20051

22 2.3 Definisi 10 ( Bilangan Reproduksi Dasar ( Ro )) Bilangan reproduksi dasar ditulis R,, adalah nilai harapan dmi kasus kedua yang dihasilkan pada suatu populasi yang seluruhnya rentan oleh suatu jenis individu yang terinfeksi/ menular. Kondisi yang akan timbul adalah : 1 Jika R, < 1, berarti setiap individu yang menular akan menginfeksi kurang dari satu individu ham, dan penyakit tidak akan berkembangl punah. 2 ria&> 1, berarti setiap individu yang menular akan menginfeksi lebih dari satu individu bam, dan penyakit tersebut dapat menyerang populasi sehingga menjadi wabah. [Driessche clan Watmou&2005]

23 I11 MODEL MATEMATIKA 3.1 Model Matematika Populasi individu dibagi ke dalam empat kelas yaitu: Susceptible (S), Exposed (E), Infected (I), Recovered (R). Susceptible yaitu populasi yang rentan terhadap penyakit, Exposed/ Laten adalah populasi yang terinfeksi penyakit tetapi tidak menular, Infected adalah populasi yang terinfeksi oleh penyakit dan meaular, serta Recovered adalah populasi yang sembuh dari penyakit tetapi suatu saat mungkin kambuh kembali dan masuk ke kelas Infected. Misalkan saja ada populasi rentan sebagian di antaranya melakukan kontak dengan populasi menular, maka ketika itu sebagian populasi rentan sudah dikatakan terinfeksi. Saat itu, populasi yang terinfeksi tadi masuk ke dalam kelas E. Populasi yang berada di kelas E akan tetap berada di kelas ini sampai selang waktu tertentu, dan akan berpindah ke kelas I jika sistem kekebalan tubuh lemah. Dengan melakukan proses pengobatan, mungkin populasi tersebut akan sembuh. Kesembuhan ini bisa menjadi sembuh total jika pengobatan berjalan secara sempurna, tetapi mun&n kambuh kembali jika pengobatan tidak sempurna. Secara skematis, pola penyebaran penyakit dapat digambarkan dalam diagram flow berikut ini : Gambar 1 Diagram flow untuk model SEIRI

24 Laju perubahan S tergantung pada laju kelahirar dan kematian yang diasumsikan sama yakni b. Sebagian populasi yang rentan (S) akan masuk kelompok E, artinya populasi sehat mungkin akan beresiko tertular penyakit. Proporsi ini tergantung nilai P (koefisien pemindahan) dan total populasi N. Banyaknya populasi kelase tergantung pada laju kematian yakni b. Laju perubahan ini juga dipengaruhi oleh proporsi populasi S yang terkonversi ke kelas E, serta dipengamhi oleh P(t), yakni peluang individu masih bertahan di kelas E. Laju perubahan I tergantung pada laju kematian b, laju kesembuhan y, dan laju kambuh kembali a, serta adanya pengamh P(t). Laju perubahan R tergantung pada laju kematian b. dan dipengaruhi juga dari sebagian populasi I yang sembuh (3. Sebagian populasi yang sembuh (R) akan masuk kembali ke kelompok I, artinya sebagian populasi sembuh mungkin akan kanlbuh kembali. Misalkan bahwa P(t) merupakan peluang populasi E masih tetap tinggal di kelas exposed pada waktu t. Nilai P(t) memenuhi sifat berikut ini : P :[O,m)+[ 0,l ] adalah tidak naik, kontinu sepotong-sepotong dengan keterbatasan dan banyak loncatan serta memenuhi P(O')=l, limp(t)=o dengan I-+m m I~(u)dzt positif dan terbatas, 0 Dari penjelasan diagram, diperoleh model matematika yang disebut model SEIRI berikut : I(t) S '(t) = bn - PS(t) - - bs(t) N dengan N = S(t) + E(t) + I(t) + R(t) N total populasi manusia, b laju kelahiran yang diabsikan sama dengan laju kematian,,b koefisien pemindahan, a laju kambuh kembali populasi yang sembuh, y laju kesembuhan populasi yang terinfeksi (I), S(t) populasi yang

25 rentan terhadap penyakit, E(t) populasi yang terinfeksi oleh penyakit, I(t) populasi yang menular, R(t) populasi yang sembuh dari penyakit, P(t) peluang tetap bertahannya populasi di kelas exposed. Dengan menggunakan penskalaan yaitu : persamaan (1) menjadi : S '(t) = b - PS(t)I(t) - bs(t) Laju perubahan E(t) dan I(t) diperoleh sebagai turunannya terhadap waktu yakni, Selanjutnya dirubah menjadi model umum yaitu S, I dan R ditulis : S'(t) = b - ps(t)i(t) - bs(t) I yt) =-~PS(()I(()~~~(~'~,P( ()d( +ar(t) ( y + b)i(t) 0 R '(t) = yi(t) -(a + b)r(t) Dalam tulisan ini juga akan ditarnpilkan model lain dengan beberapa asumsi terhadap hngsi tersebut, yaitu : (9) Asumsi Peluang Tetap Tinggal di Kelas Exposed Menyebar Eksponensial Negatif. Individu yang berada di kelas enposed semakin lama semakin berkurang seiring berjalannya waktu, ha1 ini disebabkan sistern kekebalan tubuh yang lemah sehingga populasi tersebut masuk ke kelas menular (I). Peluang individu tetap bertahan di kelas exposed diasumsikan menyebar eksponensial negatif dengan persamaan P(t) = e-'',& > 0, sehingga didapatkan model seperti di bawah :

26 S '(t) = b -,DS(t)I(t) - bs(t) I'(t) =ar(t) + ~ (1 -S(t) - I(t) -R(t)) -(y +b)i(t) (10) R '(t) = yi(t) -(a + b)r(t) Selanjutnya E1(t) =,DS(t)I(t) - (E + b)e(t) didapat dari persamaan (8) Asumsi Peluang Tetap Tinggal di Kelas Exposed Merupakan Fungsi Tangga. Ada dua kondisi yang pertama bahwa kuinan dalam posisi tidak aktif sampai beberapa tahun karena mampu dikontrol oleh sistem kekebalan tubuh dan yang kedua kuman muncul ke pennukaan dari persembunyiannya dikarenakan tubuh dalam kondisi lemah. Hal ini dijelaskankan seperti adanya loncatan, maka dibuatlah asumsi mempakan fungsi tangga yang menggunakan waktu delay/ tundaan. Dengan persamaan : 1, IELO,~I P ( t ) = {,, dengan -r adalah waktu delay/ tundaan. Untuk t~[o,z] S'(t) = b -,BS(t)I(t) - bs(t) I'(t) =ar(t) - (y + b)i(t) R'(t) = yi(t) -(a + b)r(t) E'(t) =,DS(t)I(t) - be(t) Dari model (11) menggambarkan bahwa kuman tersebut masih dalam kondisi bersembunyi dan tidak aktif, karena mampu dikontrol oleh sistem kekebalan tubuh, ha1 ini terlihat dari laju perubahan pada E'(t)danI1(t) tidak adanya tundaan sehingga mengakibatkan populasi tersebut hanya terinfeksi. Untuk t>r Model (12) menggambarkan bahwa kuman dalam kondisi sudah aktif bekeja dan siap menyerang sistem pertahanan tubuh, ini terlihat dari laju pembahan pada E'(t)danI'(t)memiliki waktu tunda sehingga sebagian populasi tersebut mengalami gejala, dan siap untuk menular.

27 IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Penentuan Titik Tetap Untuk menentukan titik tetap pada sistem persamaan diferensial (9) yang.. ds dl dr merupakan model asli, dzpat dican dengan menentukan - = 0,- = 0,- = 0. dt dt dt Dari hasil analisis didapat dua jenis titik tetap, yaitu titik tetap bebas penyakit (Disease-free equilibrium-dfe) yang memuat I = 0 dan R = 0 serta titik tetap endemik yang memuat I # 0 dan R + 0. Titik tetap tersebut yaitu P(S, I, R) = (l,o,o) yang merupakan titik tetap bebas penyakit, dan P'(s*,I*,R') = b a+b merupakan titik tetap endemik dengan n = S({)I({) dan R - O-PQ b(a+y+b) merupakan bilangan reproduksi dasar (lihat pada lampiran I), deagan Q=-r I ~rn f e - b"-s)dl~(t -{)d5 =I - bk E (0,l) adalah bagian yang mempertahan l+m 0 kan kelas E, dan a+b b(a+y+b) adalah rata-rata lamanya kematian setiap individu di kelas I, serta I = lim e-b" ~(u)dzc merupakan rata-rata lamanya individu I-+= 0 tinggal di kelas E sebelum menular ataupun mati. Selanjutnya untuk menentukan titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik berdasarkan asumsi yang ada, didapat yaitu : Asumsi 1 : Jika peluang individu yang masuk dan masih bertahan di kelas exposed diasumsikan menyebar eksponensial negatif maka titik tetap bebas penyakit diambil dari persamaan (10) yaitu (1,0,0) dan titik tetap endemiknya yaitu :

28 RO (a + b) =8(&)(b(a+u+b)), untuk~ merupakan parameter dari fungsi " eksponensial negatif, dan Q = bagian yang mempertahankan kelas E. Asumsi 2 : Jika peluang individu yang masuk dm masih bertahan di kelas E diasumsikan sebagai fungsi tangga, maka dari persamaan (12) didapat yaitu (1,0,0) yang merupakm titik tetap bebas penyakit, dan titik tetap endemiknya yaitu : denganc=s(t - z)i(t - z), =,Be-h (a +b), dan Q = e-br, dengan z adalah b(a+y+b) periode E (lihat pada lampiran 1). Secara ringkas, perbandingan titik tetap bebas penyakit dan titik tetap endemik dari model asli dan asumsi yang ada ditampilkan pada tabel berikut ini : BEBAS PENYAKIT P(S,I,R) ENDEMIK P*( s*, I*,R* ) MODEL ASLI (1,0,0) b ASUMSI EKSPONENSlAL NEGATIF ( 1,03 0 ) 1 b ASUMSI SEBAGAI FUNGSI TANGGA (LO, 0 b a+b Tabel 1. Perbandingan titik tetap antara model asli dengan model asumsi sebagai fungsi eksponensial negatif dan fungsi tangga.

29 Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa baik pada model asli maupun pada model yang menggunakan asumsi sebagai fungsi eksponensial negatif dan fbngsi tangga memiliki titik tetap bebas penyakit yang sama, yaitu populasi total hanya terdiri dari individu yang rentan(s), sedangkan individu pada kelas populasi lainnya tidak ada Analisis Kestabilan Perilaku di Sekitar Titik Tetap P(l,O,O) pada Model Asli Misalkan sistem persamaan (9) ditulis sebagai berikut : f (S, I, R) = b - PS(t)I(t) - bs(t) Dengan - melakukan pelinearan pada persarnaan (16) dan mensubsitusi titik tetap (1,0,O) ke persamaan tersebut, diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut : Sistem ini akan stabil jika nilai eigen pada matriks Jacobi bernilai negatif. Dengan menyelesaikan det (11 - J) = 0 pada persamaan (l7), didapat : /2+b P 0 0 A+B(/Z)+y+b -a 0 -Y /2+a+b =O (/2+b)[(;l+ B(A)+ y+b)(/l+a+b)-ay] = 0 (18) Dari persamaan (1 8) dapat diketahui bahwa A, = -b. Untuk mencari 4, yaitu : h,(/2):=h2+(a+yt2b);l+b(a+y+b)+(;l+a+b)b(;l)=0 (19) Selanjutnya dengan memisalkan g = a + y + 2b, dan r = a + y + b diperoleh :

30 Ill2 +gll+brl=ill+a+bll~(ll)is1ll+a+b/~~ Ill2 + gll + bri2 _< (PQ)' Ill +a + br (20) Jika pada persamaan (20) dimisalkanll=x + yi untuk x 2 0, dengan mas kiri F, (x, y) serta mas kanan F2 (x, y),inaka didapat : 2 ~,(x,y)=1;1~+gll+br/ =y4+[2x2+2gx+r2+b2]y2+[x2 +gx+bri2 F,(x,Y) =(pel2 l(a + a + b)/2 =(PQ)'[(x + (Y + b12 + y2 I (21) Dan persamaan (20) dan (21), diketahui bahwa F, (x, y)s F2 (x, y). Selanjutnya dengan asumsi bahwa 4 < 1, dan bilangan reproduksi 4 = PQ maka didapat PQ b(a+y+b) = a+b b(a+y+b) a+b &<. Selanjutnya didapat : a+b b(a+y+b) (a + b)' 4 (x, y) 2 [((a + b)' {2x2 + 2gx + r2 + b2}y2 + (a + b)' (x2 + gx + br)' 2 [br]' y2 + [brx + b(a + b)ri2 =[bri2[(x+a+b)' + y2] (23) Jadi hasil pada persamaan (23) ini kontradiksi dengan persamaan (22) di atas. Oleh karena itu berdasarkan asumsi x > 0, maka seharusnya bagian real x kurang dari no1 (x < 0). Sehingga DFE Stabil Asimtotik Lokal untuk R,, Perilaku di Sekitar Titik Tetap P'(s',I*,R') Pada Model Asli Berdasarkan persarnaan (9) pada titik tetap P', maka diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut : Jika nilai eigen yang diperoleh mempunyai bilangan real negatif, maka solusi terhadap titik tetap akan stabil. Selanjutnya dengan menerapkan det ( AI - J) = 0, maka didapat :

31 Dengan melakukan proses seperti pada persamaan (18), untuk Ro > 1 didapat : (;l+npi$ +b)((,i+~(;l)+y+b)(a+a+b)-q)=0 (25) dengan A, =- (np& + b) < 0 Untuk mencari 4, dilakukan dengan cara kriteria Routh-Hdtz, yaitu : Dengan mengambil nilai-nilai koefisien, didapat : c, =a+2b+y+b(;1)>0 Hal ini sangat sesuai dengan criteria Routh-Hurwitz pada landasan teori persamaan (6) sehingga menyebabkan 4, < 0. Jadi kesimpulannya bahwa titik keseimbangan endemik stabil Perilaku di Sekitar Titik Tetap P'(S', I', R') dengan Asumsi Eksponensial Negatif. Dengan melakukan pelimearan seperti pada persamaan (16) dan menentukan matriks jacobinya pada persamaan (17), didapat :

32 Dari persamaan (27) dapat ditulis sebagai : P ((A + b&)(a + E + y + b)(a + a + b)) - ((A + b&)(-y)(& - a) + (A +a + b)(-)(&)) (28) & Dengan menyederhanakan persamaan di atas, didapat : dengan nilai koefisien yakni : a, =a+2b+e++y+br0>o =,541 &'(ba+b2 +yb+yb2 +b2a+b3)-p(a+b) 4' l>o Sesuai dengan kriteria Routh-Hunvitz bahwa titik tetap akan stabil jika : a,a2 - a, > 0 pada persamaan : A" +all"1 + a2;l"-' +...+a, = 0 dengan k = 3 a,a2 -a3 =(a+2b+s+y+b&)[&a+&b+cy+ sb'2-ep+by+ba+ & b2 karena kriteria di atas terpenuhi, maka disimpulkan bahwa titik tetap tersebut stabil asimtotik global dengan & > 1.

33 4.2.4 Perilaku di Sekitar Titik Tetap P'(S*, 1', R') dengan Asumsi Fungsi Tangga. Dengan melakukan pelinearan dan untuk menentukan kestabilan seperti pada persamaan (16) dan (17) didapat : Dari persamaan (30) dapat ditulis sebagai : PS * n + r + b - ps * (3 0) -Y il+a+b 4(il):=i13 +a,i12 +a2il+a3 +(a4i12 +asil+a,)e-"' =O (3 1) Dengan nilai koefisien a, =r+b(l+&),a, =br(l+&)+02&,a, =b2r&,a4 =-,Be-"~*=-k,r a, = -pe-k~ untuk r=a+y+b b a+b * (a +2b) = -k4(a + 2b)r, a, = -b2r, k, = - < 1 (32) Dengan mengganti il = 0 pada persamaan (31), didapat : h,(o)=b2r(&-1)>0 (33) Selanjutnya jika persamaan (31) diganti z = 0, maka didapat : h,(il) =i13 +(ai +a4)i12 +(a2 +a,)il+a3 +a, (34) Untukcl=a,+a,,c2=a2+a,,c3=a,+a,, h, (il)=i13 + cl;lz + c2;1 + c3. Sehingga dapat digunakan Kriteria Routh- Hurwitz. Karena semua pembuat no1 dari h(;l)rnempunyai bagian real negative untuk z = 0, sehingga mengakibatkan persamaan tersebut akan stabil. Misalkan ;l = io dengan w > 0, disubsitusikan ke persamaan (31) maka akan menghasilkan :

34 Pada persamaan (35) jika y = w2, rnaka akan menjadi : untuk : ~(Y):=Y3+q!Y2+~2Y+4~=0 (37) q!=a! -2a2-a4, q2=a2-2ap,+2a4a,-a,,q,=a, -a, (38) Dengan mensubsitusikan persamam (32) ke persamaan (38) akan menghasilkan : q, =r2[1-(k4)z]+b2[1+&2]>0 q2 =((a+ b)2&2 = b2)(k4r)z fb4h2 > 0 q3 = b4r2 (4' - 1) > 0 Ini mengakibatkan h, (y) = 0 tidak mempunyai akar real negatif. Sehingga semua akar dari h, (A) = 0 mempunyai bagian real negatif untuk semua z > 0 sepanjang -.. & > 1. Sehingga stabil asimtotic global. 4.3 Simulasi Model Untuk meliiat bagaimana perilaku dari kedua jenis titik tetap perlu dilakukan dinamika tersebut dengan parameter yang sudah diketahui Nilai-nilai parameter Model asli maupun yang menggunakan asumsi eksponensial negatif dan asumsi fungsi tangga untuk titik tetap endemik mempunyai nilai parameter yang sama sebagai acuan, yakni parameter b merupakan laju kelahiran diasurnsikan sama dengan kematian, yakni 0.1, y merupakan laju kesembuhan populasi yang terinfeksi ( I ), yakni 6/12 = 0.5 sesuai dengan masa penyembuhan paling cepat selama 6 bulan dengan satuan waktu dalam bulan. Parameter a merupakan laju kambuh populasi manusia diasumsikan sama dengan laju sembuh, yakni a = 6/12 = 0.5. ParameterP merupakan koefisien pemindahan antara populasi. -. S dengan I. Pada asumsi fungsi tangga menggunakan z yang merupakan periode exposed yaitu 9 bulan, sehingga z= 9/12 = 0.75 ( Driessche et al. 2007).

35 4.3.2 Hasil Simulasi Model Pada simulasi ini akan dilakukan untuk kedua kasus yaitu 4 < 1 dan & > 1. Proporsi awal populasi yang rentan adalah S(0) = 0.9, populasi yang menularkan penyakit I(0) = 0.1, dan populasi yang sembuh R(0) = 0. a. Plot Pada Model Asli Di bawah ini plot model asli dengan b = 0.5, a = 0.5, y = 0.5,P = 0.6 S I I (a) (b) (c) Gambar 2 Proporsi populasi rentan (8, meiiular (I), dan sembuh (R) dari model asli dengan titik tetap bebas penyakit (DICE) untuk Ro = Berdasarkan pada gambar 2, terlihat bahwa proporsi awal populasi rentan ( S ) adaiah 0.9. Seiring berjalamya waktu, kurva menuju nilai stabil yakni 1. Artiiya ketika penyakit sudah tidak ada, populasi nantinya akan menjadi rentan. Proporsi awal populasi yang menularkan penyakit ( I ) adalah 0.1, dan menuju stabil pada nilai 0. Artinya bahwa penyakit akan punah. Proporsi awal populasi yang sembuh ( R ) adalah 0. Ini berarti bahwa tidak akan ada lagi populasi yang sembuh, karena penyakit tidak ada. Untuk melihat hubungan ketiga kelompok populasi tersebut, dengan diagram fase tiga dimensi seperti di bawah :

36 Gambar 3 Tipe kestabilan titik tetap bebas penyakit (DFE) dari model asli. Dari gambar 3 tersebut, terlihat bahwa dinamika populasi akan mengarah kepada kestabian pada satu titik maksimum. Selanjutnya untuk mengetahui bagaimana kestiibilan di titik tetap endemik dengan b = 0. I, a = 0.5, y = 0.5,,5 = 0.6, dan dapat diiihat seperti di bawah : (a> (b) (c) Gambar 4 Proporsi populasi rentan (9, menular (I), dan sembuh (R) dari model asli dengan titii tetap endemik (EE) untuk Ro = 1.37 Berkkan pada gambar 4, proporsi awal populasi rentan adalah 0.9. Seiring berjalannya waktu populasi tersebut akan konvergen ke nilai Begitu juga pada populasi menular menuju stabil dengan konvergen ke nilai 0.23 dan pada individu sembuh akan konvergen ke nilai 0.18.

37 Gambar 5 Tipe kestabilan titik tetap endemik (BE) dari model asli b. Plot Pada Asumsi Eksponeusial Negatif Untuk inelihat bagaimana hasil plot gambar dari model yang menggunakan asumsi menyebar eksponensial negatif dengan b = 0.5, a = 0.5, y = 0.5, p = 0.6 dan E = 0.75, dapat dilihat gambar 4 di bawah : S I r (a) Cb) (4 Gambar 6 Proporsi populasi rentan (8, menular (I), dan sembuh (R) dari model asumsi eksponensial negatifdengan titik tetap bebas penyakit (DFE) untuk Ro = Pada gambar di atas terlihat bahwa adanya kemiripan dengan model asli yaitu sama-sama memiliki nilai yang konvergen ke titik (1, 0, 0) pada masing- masing populasi yakni populasi rentan@), menular (I), dan sembuh (R), tetapi sebenamya memiliki perbedaan yaitu masing-masing populasi dari model asumsi eksponensial negatiflebi lambat mencapai stabil. Untuk melihat bagaimana hubungan ketiga populasi dengan menggunakan diagram phase tiga dimensi, maka dapat diliiat pada gambar 7 di bawah :

38 Gambar 7 Tipe kestabilan DFE dari model asumsi eksponensial negatif Untuk melihat hasil plot titik tetap endemik pada model asumsi eksponensial negatif dengan E= 0.75, b = 0.1, a = 0.5, y = 0.5,,D = 0.6, dapat dilihat pada gawbar di bawah : (a) (b) (c) Gambar 8 Proporsi populasi rentan (S), menular (I), dan sembuh (R) dari model asumsi eksponensial negatif dengan EE untuk Ro = Berdasarkan gambar di atas dapat diketahui bahwa proporsi populasi rentan akan menuju stabil pada nilai 0.35, populasi menular menuju stabil pada nilai 0.31, dan populasi sembuh akan stabil pada nilai Sehiiga dari gambar di atas diketahui bahwa titik tetap endemik P' (S', I', R') = P0(0.35,0.31,0.26).

39 Gambar 9 Tipe kestabilan EE dari model asumsi eksponensial negatif. c. Plot Pada Asumsi Fungsi Tangga Untuk melihat kestabilan titik tetap bebas penyakit menggunakan asumsi fungsi tangga dengan nilai b = 0.5, a = 0.5, y = 0.5, P = 0.6, 2 = 0.75, seperti (a) Co) (c) Gambar 10 Proporsi populasi rentan (9, menular (I), dan sembuh (R) dari model asumsi fungsi tangga dengan DFE untuk Ro = Selanjutnya untuk meliiat bagaimana hasil plot 3 dimensi dapat dilihat pada gambar 11 di bawah :

40 Gambar 11 Tipe kestabilan DFE dari model asumsi hgsi tangga. Untuk meliiat bagaimana kestabilan pada titik tetap endemik dengan b=0.1, a=0.5, y=0.5, /J=0.6,r=0.75, dapat dilihat pada gambar 12 di bawah : Gambar 12 Proprsi populasi rentan (9, menular (I), dan sembuh (R) dari model asumsi fungsi tangga dengan EE untuk Ro = Berdawkan gambar di atas terlihat bahwa proporsi populasi rentan akan konvergen menuju stabil pada nilai 0.33, proporsi populasi menular akan stabil menuju nilai 0.34, dan proporsi populasi sembuh akan stabil menuju nilai dengan titik teap endemiknya P'(s*, I*, R') = P* (0.33,0.34,0.28). Untuk melihat hasil plot tiga dimensi dapat dilihat pada gambar di bawah :

41 Gambar 13 Tipe kestabilan EE dengan asurnsi fungsi tangga. Dari hasil simulasi pada ketiga model di atas, didapat perbandingan terhadap titik tetap dan bilangan reproduksi yaitu : a. Titik Tetap Bebas Penyakit ( DFE ) No Model Titik Tetap Bebas Penyakit S* I* R* Bilangan Reproduksi (%) 1 Asli Eksponensial Negatif Fungsi Tangga Tabel 2 Perbandingan ketiga titik tetap bebas penyakit dan bilangan reproduksi. b. Titik Tetap Endemik ( EE ) No Model 1 Asli 2 Eksponensial Negatif 3 Fungsi Tangga S* Titik Tetap Endemik I* R* Bilangan Reproduksi ( R,, ) Tabel 3 Perbandingan ketiga titik tetap endemik dan bilangan reproduksi.

42 Dari tabel 2 dan 3 di atas diketahui bahwa semakin tinggi bilangan reproduksi maka semakin cepat pula mencapai kestabilannya. Untuk melihat hasil plot gabungan dari ketiga titik tetap seperti dibawah : s i r I.OO tidin1 t din. t Ulnl Gambar 14 Plot gabungan proporsi populasi rentan ( S), proporsi populasi menular ( I ), dan sembuh ( R ) dari titik tetap bebas penyakit. Untuk melihat hasil plot tiga dimensi dapat dilihat pada gambar di bawah : Gambar 15 Tipe kestabilan DFE dengan model gabungan,

43 Untuk melihat bagaimana kestabilan titik tetap endemik dapat dilihat sebagai berikut : Gambar 16 Plot gab~mgan proporsi populasi rentan ( S ), proporsi populasi menular (I ), dan sembuh ( R ) dari titik tetap endemik. = Asumsi Eksponensial Negatif Untuk melihat hasil plot gabungan dari ketiga titik tetap endemik seperti dibawah (js,r) phase plot Gambar 17 Tipe kestabilan EE dengan model gabungan.

44 Dari gambar (14) pada titik tetap endemik di atas diketahui bahwa masing-masing populasi menuju stabil. Dengan nilai parameter yang sama diberikan temyata yang mencapai kestabilan lebih dahulu adalah model dengan asumsi fungsi tangga, selanjutnya pada asumsi fungsi eksponensial negatif dan diikuti dengan model asli, ha1 ini terbukti dari bilangan reproduksi untuk fungsi tangga adalah 3.04 lebih tinggi dari kedua model yang lain yaitu eksponensial negatif 2.89 dan model asli yaitu Jadi semakin besar bilangan reproduksi maka akan semakin stabil populasi tersebut, artinya penyakit tersebut akan semakin cepat untuk menjadi wabah.

45 V SIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil pembahasan, dapat disimpulkan bahwa hasil analisis yang telah dilakukan terhadap model asli dan asurnsi terhadap model penyakit dengan periode latent dan relupe diperoleh dua titik tetap yaitu P(S, I, R) = (1,0,0) dan P'(S', I., R'). Analisis kestabilan titik tetap tersebut bergantung pada nilai 4, yakni bilangan reproduksi dasar. J'ia 4 < 1, rnaka titik tetap P bersifat stabil. Pada titik tetap P' bersifat stabil jika 4 > 1 Selanjutnya dari hasil simulasi untuk kasus 4 > 1, diperoleh informasi tentang pengaruh kelahii-an(b), koefisien pemindahan(p), infeksi kembali penyakit tersebut(a), dan laju kesembuhan(y) sebagai berikut : 1 Semakin besar tingkat kelahiran maka proporsi populasi rentan semakin banyaklmeningkat, sedangkan proporsi populasi menular dan sembuh akan semakin berkurang. 2 Semakin besar tingkat kontakkoefisien pemindahm maka proporsi populasi rentan semakin berkurang, sedangkan proporsi populasi menular dan sembuh semakin meningkat. 3 Semakin besar tingkat kambuh kembali maka proporsi populasi rentan akan semakii berkurang dan proporsi menular dan sembuh akan semakin meningkat. 4 Semakii besar faktor kesembuhan maka proporsi populasi rentan akan semakin meningkat dan proporsi populasi menular dan sembuh akan semakii berkurang. 5 Semakin besar bilangan reproduksi maka masing-masing populasi semakin cepat mencapai kestabilannya. 5.2 Saran Dalam penulisan thesis ini pengamh obat dan vaksinasi diabaikan karena itu penelitian lebih lanjut dapat dilakukan dengan memperhatikan pengaruh tersebut.

46 DAFTAR PUSTAKA Borelli RL, Coleman CS Dzfferential Equations. USA: John Wiley and Sons, Inc. Braun M D~fferential Equations and Their Applications. New York : Springer-Verlag. Driessche PVD, Watmough J Reproduction Numbers and Sub-Threshold Endemic Equilibria for Compartemental Models of Disease Transmission. Math. Biosci : Driessche PVD, Wang L, Zou X Modeling Diseases with Latency and Relapse. Mathematical Biosciences and Engineering 4: Driessche PVD, Zou X Modelmg Relapse in Infectious Diseases. Mathematical Biosciences 207: Edelstein-Keshet L Mathematical Models in Biology. New York: Random House. Feng Z, Castilo-Chavez C, Huang W On the Role Variable Latent Periods in Mathematical Models for TB. IMA Preprint Series 1612: Ghahramani S Fundamentals of Probability with Stochastic Prochesses. America: Pearson Education. Murray JD Mathematical Biology. New York: Springer-Verlag. Tu PNV Dynamical Systems. An Introduction with Applications in Economics and Biology. New York: Springer-Verlag. Vershult F Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Berlin: Springer-Verlag.

47

48 Lampiran ( 1) Mencari Titik Tetap dan Bilangan Reproduksi dari Model Asli Dari persamaan (9) pada model asli diketahui : Untuk mencari titik tetap dari model tersebut dapat dilakukan dengan cara menyelesaikan S1(r) = 0, I '(t) = 0, Rt(t) = 0. Sehingga persamaan di atas menjadi : I dengan w = -/~~(<)l({)e-*"-"d, ~ (- <)d<. t 0 Selanjutnya dengan melakukan pemfaktoran yakni :.. Untuk mencari titik tetap dari persamaan (9) dengan cara : T,:S+O,I=O,R=O, b b (--/?I-b)=O+-=b+S=l. S S Sehingga didapat titik tetap bebas penyakit yaitu : T,(l,O,O) Untuk mencari titik tetap endemik dari persamaan (9) yaitu : T,:S+O,I+O,R+O, b w ar YI (--PI-b)=O,(-+--(y+b))=O, (--(a+b))=o S I I R Dengan menyederhanakan persamaan (10) didapat :

49 Dengan mensubsitusikan R ke I pada persamaan (1.5) didapat : I w(a + b) I= dengan w = -[,B~({)l({)e-~"-"d, ~ (- {)d{. t b(a+y+b) 0 Misalkann = S({)I(<)pada persamaan (1.6), sehingga didapat : a+b I = S({)I({)Ro = nro dengan Ro = PQ b(a+y+b)' Selanjutnya dengan mensubsitusi persamaan (1.5) dan (1.6) didapat : R =- yn Ro, (a + 6) b dan S = n~~o+b' b Jadi titik tetap endemik yaitu : T2(, nro, - yn Ro). npro + b (a + b) Lampiran (2) Mencari Titik Tetap dan Bilangan Reproduksi Model Asumsi Eksponensiai Negatif. Dari persamaan (10) pada model asli dietahui : Untuk mencari titik tetap dari sestem persamaan (13) dapat diakukan dengan cara yang sama seperti persamaan (8), selanjutnya didapat : Dengan mensubsitusikan S ke E dan R ke I pada persamaan (1.8) akan didapat : be(& + b) I= (1.9) P(b - EE - be) I= &E(a + b) (ab + yb + bz) Dengan mensubsitusi kedua persamaan (1.9) dan (1.10) didapat : E= P~b(a + b) - b ( ~ /?&(a + b )(~ + b) Mensubsitusi persamaan (1.I 1) ke (1.lo) akan mendapatkan : b I* = -(4-1) dengan 4 = P P + b)(ab + yb + b2) (1.11) E. (1.12)

50 Selanjutnya dengan mensubsitusi persamaan(l.12) ke S dan ke R pada persamaan (1.8) didapat : 1 S =-dm R * = yb (4-1). Sehingga didapat titik endemik yaitu : Ro P(a + b) Lampiran (3) Mencari Titik Tetap dan Bilangan Reproduksi dari Model Asumsi Fungsi Tangga. Diketahui persamaan (1 1) dan (12) dari model asli yaitu : a.untuk t E [O,z] S1(t) = b - ps(t)i(t) - bs(t) I '(t) = ar(t) - (y + b)i(t) R '(t) = yz(t) - (a + b)r(t) E '(t) = ps(t)i(t) - be(t) Untuk mencari titik tetap pada persamaan (1.13) dan (1.14) dapat dilakukan seperti persamaan (1.2) yakni : Dengan mernisallcan m = e-br~(t - z)i(t - z), didapat : Dengan rnensubsitusikan R ke I pada persamaan (1.16) &an didapat :

51 I* = ero,dengan e=s(t - r)i(t - z). dengan 4 =,Be-h (a + b). (1.17) b(a+y+b) Selanjutnya dengan mensubsitusi persamaan (1.l7) ke S dan ke R didapat : * - b S = dan R* =- ye Ro,dengan c=s(t - r)l(t - 7). (b +,mi, a+b Sehingga didapat titik tetap endemik yaitu : b, cro, - Ro) a+b Lampiran (4) MENGANALISIS I(ESTAB1LAN TITIK TETAP BEBAS PENYAKIT PADA MODEL ASLI. Titik Keseimbangan Bebas Penyakit IDiseade Free Equilibriurn(DFE) dengan (1,o,o Misalkan sistem pada (2.1) dirubah menjadi : f (&',I) = b - ps(t)i(t) - bs(t) I f (S,I,R) = -~~~({)l({)e-~"-"dt~(t -5)d{ +ar(t) -(y +b)i(t) 0 f (I$) = yi(t) - (a + b)r(t) (2.2) Untuk menyelidiki kestabilan titik keseimbangan dilakukan linearisasi terhadap persamaan non linear di atas :

52 Untuk titik keseimbangan di ( S,I,R ) = (l,o,o),diperoleh matriks Jacobian dari persamaan (2.3). il J = 0 Y -P -(B(A)+(y + b)) -(a + b) Sehingga diperoleh sistem linear dengan det(a1- J) = 0

53 dengan menentukan determinan, dapat ditulis seperti : Dimana B(1) = limj,de-(b+z)(1-6)dt ~ (- nd< t untuk (A + b)h, (A) = 0,+m 0 h,(a):=(a+b(a)+y+b)(a+a+b)-ay,i2 +aa+ba+ab(a)+ab(a)+bb(/z)+ya+ay+by+ba+ba+b2 -ay l2 +aa+ y3. +ba+ ba+ ba + by +b2 +AB(;l) +ab(a)+ bb(/z) A2+(a+y+2b)A+b(a+y+b)+(/Z+a+b)~(;1) Karena hl(?) = 0, sehingga dapat ditulis seperti : b,(/2):=a2 +(a+y+2b)/lib(a+y+b)+(a+a+b)b(a)=o ;t2 +(a+y+2b);l+b(a+y+b)=-(a+a+b)b(a) karena x 2 0 maka1;12+(a+y+2b)~+b(a+y+b)l=1;1+a+bll~(~)i$1/2+a+bl~~ 1;12+(a+y+2b);l+b(a+y+b)12 <(p~)~i~+a+bl~ Misalkan di ruas kiri F,(x,y) dan ruas kanan Fz(x) maka4(x7y)<f,(x,y) Misalkan? = x + iy, maka /x2+2xyi-y2 +(a+y+2b)(x)+(a+y+2b)(iy)+b(a+y+b)12 Dengan mengabaikan bagian imaginer ( i ), didapat :

54 dengan melakukan penyederhanaan didapht F,(x,y) = Dari rumus bilangan reproduksi Ro =,BQ PQ di dapat : a+b Ro = pq b(a+y+b) PQ = PQ= b(a+y+b) RO a+b b(a+y+b) b(a+y+b) Ro < a+b a+b a+b b(a+y+b) untuk Ro < 1, sehingga Oleh karena itu : (c~+b)~e;(x,y) ~(a+b)~f~(x,y)<[b(a+y+b)]~[(x+a+b)~+y~] (a+b)21;;(x>~) 2 [(a + b)' (2x2 + 2(a + y + 2b)x + (a + y + b)2 + b2)ly2 +[(a + b)(x2 + (a+y+2b)x+b(a+y+b))l2 2 [b(a + y + b)12 y2 +[(a + b)(a + y + 2b)x + b(a + b)(a + y + b)12 2[b(a+ y+b)12y2 +[b(a+y+b)x+b(a+b)(a+y+b)12 =[b(a+y+b)~~[(x+a+b)~ +y2] Ini kontradiksi dengan ( *). Oleh karena itu bagian real x < 0, dan ini menunjukkan bahwa DFE adalah stabil asimtotic local untuk Ro<l.

55 Lampiran (5) MENGANALISIS KESTABILAN TITIK TETAP ENDEMIK PADA MODEL ASLI Untuk menganalisis kestabilannya maka dapat dilakukan dari model persamaan ketiga(9) seperti di bawah : dengan titik keseimbangan endemik yaitu : Selanjutnya dapat ditulis seperti di bawah : dan dilakukan proses pelinearan sebagai berikut : f (S, I) = b - ps(t)i(t) - bs(t) f (S,I,R) = -j/3~({)i(()e-~('-<)dtp(t -{)d{+ar(t)-(y +b)i(t) O f (123 = YW) -(a +b)r(t) Untuk menyelidiki kestabilan titik keseimbangan dilakukan linearisasi terhadap persamaan non linear di atas :

56 af (S>I,R) dl I a(-jps(()~(t)e-~('-~jdtp(t -()dt + a ~(t) -(y + b)r(t)) - 0 di = -B(z) - (y + b) = -(B(z) + (y + b)) bp npro+b det 0 A+B(;l)+y+b -a =O 0 -Y A+a+b \ 1 dari persamaan (3.4) di atas didapat penyederhanaan yaitu (A+np&+b)((A+B(;l)+y+b)(A+a+b)-ay)=O dengan 4 = -(np& + b). Untuk mencari 4, seperti di bawah : h,(a):=((a+b(a)+y+b)(;l+a+b)-q)=0 ;lz + aa + b;l + AB(A) + ab(;l) + bb(a) + y;l + ya + yb+b;l+ba+bz -ay=o ;12+(a+2b+~(;l)+y);l+a~(A)+bB(;l)+yb+ba+bZ =O Sesuai dengan kriteria Routh-Hurwitz didapat masing-masing koefisien bernilai lebih besar dari nol, yaitu : c, =a+2b+y+b(a)>o c, =ab(;l)+bb(a)+yb+ba+b2 >O sehingga 4, < 0. Hal ini menyebabkan stabil. 0

57 Lampiran (6) Menganalisis Kestabilan Titik Tetap Endemik pada Model Asumsi Ekesponensial Negatif. - Titik Keseimbangan Endemik yaitu : Untuk menganalisis kestabilannya dapat dilakukan dari model persamaan (10) seperti di bawah : S '(t) = b - ps(t)z(t) - bs(t) Z'(t) = ar(t) + ~ (1- S(t) - Z(t) - R(t)) -(y + b)z(t) R '(t) = yz(t) -(a + b)r(t) Sistem persamaan d5ensial pada persamaan (4.2) dapat ditulis menjadi : f (S, I) = b - ps(t)z(t) - bs(t) f (S, I, R) = ar(t) + ~ (1- S(t) - Z(t) - R it)) -(y + b)z(t) (4.3) f (13) = yi(t) -(a + b)r(f) Untuk menyelidiki kestabilan titik keseimbangan dilakukan linearisasi terhadap persamaan non linear di atas :