SigitNugroho. Prodi Magister Statistika, JurusanMatematika FMIPA Universitas Bengkulu, Bengkulu

Transkripsi

1 Prosiding Semirt015 idng MIPA BKS-PTN Brt Universits Tnjungpur Pontink Hl ANALISIS KERAGAMAN PERCOBAAN TERSARANG DENGAN MENGGUNAKAN MATRIKS RANCANGAN TERPARTISI (ANALYSIS OF VARIANCE OF NESTED EXPERIMENTS USING PARTITIONED DESIGN MATRICES) SigitNugroho Prodi Mgister Sttistik, JurusnMtemtik FMIPA Universits Bengkulu, Bengkulu ABSTRACT This pper presents how to clculte the sums of squres, to determine the degrees of freedom, to clculte the mens of squres, nd to clculte the test sttistics of the source of vrition for the nested experiments using prtitioned mtrices. Using such mtrices re esier to compute rther thn using full design mtrix, since the prtitioned design mtrices re hving full column rnk. Keywords: Prtitioned Design Mtrices, Nested Experiments, Anlysis of Vrince. ABSTRAK Artikel ini menyjikn gimn menghitung jumlh kudrt, menentukn derjt es, menghitung kudrt tengh dn menghitung sttistik uji dri sumer kergmn percon tersrng dengn menggunkn mtriks terprtisi. Penggunn mtriks semcm ini kn mempermudh perhitungn dripd menggunkn mtriks rncngn penuh, kren mtriks rncngn terprtisiny memiliki rnk kolom penuh. Ktkunci:Mtriks Rncngn Terprtisi, Percon Tersrng, Anlisis Kergmn. 1. PENDAHULUAN Dekomposisi QR tk dpt digunkn untuk penghitungn Jumlh Kudrt komponen-komponen sumer kergmn sutu rncngn percon pil nykny ris mtriks rncngn yng jug menytkn nykny mtn tu respon leih kecil dri jumlh seluruh prmeter yng digunkn. Metode mtriks rncngn terprtisi erdsrkn komponen kergmn dpt menjdi solusi penghitungn Jumlh Kudrt terseut [5]. Dlm percon erfktor tu percon fktoril, terminology fktoril ini merujuk pd kels tertentu yng perlkun-perlkunny dientuk dengn mengli silngkn trf-trf msing-msing fktor. Tip trf dri setip fctor muncul dengn setip trf fctor linny. Interksi du tu leih fctor umumny menjdi telhn dlm penelitin. Sehingg untuk stu ulngn kn terdpt sejumlh hsil kli silng 47

2 Prosiding Semirt015 idng MIPA BKS-PTN Brt Universits Tnjungpur Pontink Hl seluruh trf perlkun yng digunkn, yng jug menytkn nykny stun percon yng hrus dipersipkn untuk stu ulngn [4]. Jik tip trf fktor A menckup eerp trf fktor B, mk didefinisikn hw fktor B tersrng didlm fktor A. Sutu percon dengn du tu leih fktor yng memenuhi definisi ini diseut dengn percon fctor tersrng (Nested Fctor Experiment). Trf-trf fktor tersrng tidk hrus muncul dlm semu kominsi, nmun trf-trf fktor eruh untuk setip kominsi fktor-fktor linny. Dengn tidk menglisilngkn trf-trf fktor yng digunkn, kit tidk dpt mengevlusi interksi ntr fktor yng digunkn [4]. Dlm percon tersrng, fktor-fktor mementuk seuh hirrki. Dri tipfktor yng dipilih pd thp pertm, dipilih eerp trf fctor thp kedu, dn seterusny.oleh krenny, percon tersrng jug sering diseut dengn percon hirrki tu percon su-smpling. Mislkn A dlh fctor pertm yng terdiri dri trf, fktor B terdiridri trf yng tersrng di dlm tip trf fktor A, dn sejumlh c smpel dimil pd tip trf fktor B. Percon ini sering diseut dengn percon tersrng (du) thpdn model rncngn percon ini dlh [1] : Yijk i j( i) k ( ij ) ; i 1,, j 1,, k 1,, c dimn Y ijk dlh nili pengmtn ke-k yng tersrng pd fktor B trf ke-j dn fktor A trf ke-i, μ dlh rtn umum, α i dlh pengruh fktor A trf ke-i, β j(i) merupkn pengruh fktor B trf ke-j yng tersrng pd fktor A trf ke-i dn ε k(ij) dlh komponen glt pengmtn ke-(ijk). Asumsi untuk model dits dengn fktor A ersift tetp : (1) jumlh semu pengruh perlkun sm dengn nol, ; () fktor B erdistriusi Norml dengn rt-rt nol dn vrin tertentu, ; (3) glt pengmtn jug ~N (0, ) j() i erdistriusi norml dengn rt-rt nol dn vrin tertentu, ; (4) fktor B ~N (0, ) k ( ij ) dn glt pengmtn sling es. Bil fctor A ersift ck, sumsi pertm dignti dengn ~ (0, ), sert fktor A sling es terhdp fktor B dn glt pengmtn. i N Sedngkn untuk percon tersrng 3 (tig) thp, segi pengemngn dri percon tersrng (du) thp, notsi ljr is penghitungn jumlh kudrtny dlh seperti erikut[1]: Y i 1,,... j 1,,... k 1,,..., c l 1,,..., r ijkl i j ( i) k ( ij ) l ( ijk ) Y ijkl pengmtn ke-l pd fktor C trf ke- k yng tersrng pd fktor B trf ke-j dn fktor A trf ke-i, μ rtn umum, α i pengruh fktor A trf ke-i, β j (i) pengruh fktor B trf ke-j yng tersrng pd fktor A trf ke-i, γ k ij pengruh fktor C trf ke- k yng 48

3 Prosiding Semirt015 idng MIPA BKS-PTN Brt Universits Tnjungpur Pontink Hl tersrng pd fktor A trf ke- i dn fktor B trf ke- j, ε l ijk komponen glt pengmtn ke-(ijkl). Asumsi modelny jug mirip dn merupkn pengemngn dri percon tersrng du thp. Generlissi model dits tu sering diseut dengn Percon Tersrng Multithp seimng (lnced multi-stge nested experiment) dpt dituliskn segi erikut : Y... ij... tu 1i j ( i) pt ( ij...) u( ij... t ) i 1,,..., k ; j 1,,..., k ; ;...; u 1,,..., n; N nk 1 Dengn derjt es sumer kergmn (perlkun) pd thp ke-i dlh k 1 k...(k i -1). Nili Hrpn Kudrt Tengh (Expected Men Squre) untuk percon tersrng multithp memiliki entuk umum seperti erikut :untuk thpn ke-i nili hrpn kudrt p N tenghny dlh m m mi kl l1 p i1 i. NOTASI ALJABAR BIASA Jumlh kudrt merupkn sutu ukurn yng proporsionl dengn kergmn dri sutu sumer kergmn. Untuk percon tersrng du thp, sumer kergmn Totl tu sumer kergmn respon dipilh menjdi sumer kergmn fktor A, sumer kergmn fktor B yng tersrng didlm A, dn sumer kergmn Glt pengmtn. Secr geometri sumer kergmn totl merupkn resultn dri jumlh kudrt fktor-fktor A, B yng tersrng didlm A, dn glt pengmtn dimn merek sling ortogonl stu sm lin. Dlm notsi ljr is,untuk percon tersrng (du) fktor, jumlh kudrt jumlh kudrt terseut dpt dituliskn seperti erikut [1][4]: JK [ Totl] c i1 j1 k1 Y ijk Y c 1 JK[ A] c i1 Y i.. Y c (1) 1 Y JK [ B ( A)] Yij. JK [ A] c i1 c JK [ Glt] JK [ Totl] JK [ A] JK [ B( A)] Sedngkn untuk percon tersrng 3 (tig) thp, perhitungn jumlh kudrtny menggunkn formul erikut[1][4]: 49

4 Prosiding Semirt015 idng MIPA BKS-PTN Brt Universits Tnjungpur Pontink Hl JK Totl = JK A = 1 cn JK B A = 1 cn JK C B(A) = 1 n c n i=1 j =1 k=1 l=1 i=1 i=1 j =1 c Y i i=1 j =1 k=1 Y ij.. Y ijkl Y. cn 1 cn Y ijk. 1 cn Y. cn i=1 Y i i=1 j =1 Y ij.. JK Glt = JK Totl JK A JK B A JK C B(A) () Selnjutny, dpt diut generlissi formul Jumlh Kudrt untuk percon tersrng multi-thp. Pengujin hipotesis dny pengruh thp ke-i dpt dilkukn dengn menggunkn KT[ Thp ke i] sttistic uji F KT [ Thp ke ( i 1)] yng menyer menurut sern F dengn derjt es k 1 k...(k i -1) dn k 1 k...k i (k i+1-1). Untuk thpn ke-p nili k p+1 = n. 3. PENGGUNAAN NOTASI ALJABAR MATRIKS Dengn menggunkn notsi ljr mtriks, model percon tersrng du thp, yng merupkn slh stu model linier, dpt dituliskn menjdi: Y n 1 = X n (1++ ) β ε n 1 Dengn Y n 1 dlh vektor mtn erukurn n 1, X n 1++ dlh mtriks rncngn erukurn n yng diprtisi menjdi 1 μ A B dengn 1 μ dlh vektor 1 yng erukurn n 1, Adlh mtriks A n = 1 n 1 I 1 1, Bdlh mtriks B n = 1 n 1 I, sert β dlh vektor prmeter model erukurn t , sedngkn β = (μ, α 1,, α, β 1 1,, β 1, β 1,, β,, β ) dn ε n 1 dlh vektor glt percon erukurn n 1. Untuk model percon tersrng tig thp, notsi dlm entuk ljr mtriksny dlh: Y cn 1 = X cn (1++ +c ) β 1++ +c 1 + ε cn 1 50

5 Prosiding Semirt015 idng MIPA BKS-PTN Brt Universits Tnjungpur Pontink Hl Dengn Y cn 1 dlh vektor mtn erukurn cn 1, X cn 1++ +c dlh mtriks rncngn erukurn cn c yng diprtisi menjdi 1 μ A B C dengn 1 μ dlh vektor 1 yng erukurn cn 1, A dlh mtriks A cn = 1 n 1 I 1 c 1, Bdlh mtriks B cn = 1 n 1 (I 1 c 1 ), Cdlh mtriks C cn c = 1 n 1 I c c sert β 1++ +c 1dlh vektor prmeter model t erukurn c 1, sert vector β c = (μ, α 1,, α, β 1 1,, β, γ 1 11,, γ k ij ) dn ε cn 1 dlh vektor glt percon erukurn cn 1. Berikut ini dlh teorem-teorem yng erkitn dengn distriusi entuk kudrt: Teorem1 Andikn vector ck Y n 1 ~N(0, I), dn mislkn U = Y t Y. Mk U erdistriusi kikudrt dengn derjt es n[]. Teorem Andikn vector ck Y n 1 ~N(0, I). Bentuk kudrt Y t AY erdistriusi ki-kudrt dengn derjt es K jik hny jik A dlh mtriks simetrik idempoten dengn rnk (A) = K. [] Teorem3 Andikn vektor ck Y n 1 ~N(μ, Σ), dimn Σ menpunyi rnk n. Jik AΣB = 0, mk kedu entuk kudrt Y t AY dn Y t BY sling es []. Secr umum, rnk mksimum dri mtriks A erukurn n p dlh min (n, p) [6]. Sehingg dpt diktkn hw rnk dri seuh vector erukurn n 1 dlh min n, 1 = 1. Menurut Hrville [3], mtriks A erukurn n n diktkn nonsingulr jik hny jik rnk(a) = n. Slh stu sift umum dri kronecker product dlh rnk A B = rnk A rnk(b)[6]. Berikut ini eerp teorem dn lemm yng erkitn dengn rnk: Teorem4 rnka =rnk A = r sehingg rnk ris sm dengn rnk kolom [7]. Teorem5 51

6 Prosiding Semirt015 idng MIPA BKS-PTN Brt Universits Tnjungpur Pontink Hl Jik A merupkn mtriks erukurn n n, mk det A = 0 jik hny jik rnk A < n. [7] Teorem6 Jik A merupkn mtriks erukurn m n dengn rnk m, mk A = A (AA ) 1 dn AA = I. Jik rnk dri mtriks A dlh n, mk A = (A A) 1 A dn A A = I[]. Teorem7 Jik mtriks A simetris dn idempotent dengn rnk r, mk rnk A = tr A = r[6]. Lemm 8 Stu-stuny mtriks idempotent erukurn n n dengn rnk n dlh mtriks identits I n [3]. Formul Jumlh Kudrt dlm notsi ljr mtriks segimn pd persmn (1) untuk percon tersrng du thp dpt dituliskn segi erikut : JK Totl = Y t Y Y t 1 μ 1 t μ 1 1 μ 1 t μ Y JK A = Y t A A t A 1 A t Y Y t 1 μ 1 t μ 1 1 μ 1 t μ Y JK B A = Y t B B t B 1 B t Y Y t A A t A 1 A t Y JK Glt = Y t Y Y t B B t B 1 B t Y Dengn A dlh mtriks A n = 1 n 1 I 1 1 B n = 1 n 1 I. (3) dn B dlh mtriks Mislkn L = 1 μ 1 t μ 1 1 μ 1 t μ, M = A A t A 1 A t, dn N = B B t B 1 B t, dimn mtriks-mtriks L, M, dn N erukurn n n, dpt ditunjukkn dengn mudh hw mtriks-mtriks L, M,dn Ndlh mtriks-mtriks yng simetris dn idempoten. Jug dpt diperlihtkn hw mtriks-mtriks ML = LM = L, MN = NM = M, dn LN = NL = L yng selnjutny erkit hw M L,N M dn I N jug simetris dn idempoten. Dengn demikin rnk M L = 1, rnk N M = ( 1), dn rnk I N = (n 1). Dri rgumentsi dits, menurut Teorem, distriusi dri Y t M L Y dlh ki-kudrt dengn derjt es 1, distriusi dri Y t N M Y dlh ki-kudrt dengn derjt es ( 1), dn distriusi dri Y t I N Y dlh ki-kudrt dengn derjt es (n 1). Selnjutny dpt dengn mudh diperlihtkn hw N M I I N = 0dn M L I N M = 0. Menurut Teorem 3, (Y t N M Y) dn (Y t I N Y) sling es, 5

7 Prosiding Semirt015 idng MIPA BKS-PTN Brt Universits Tnjungpur Pontink Hl mk distriusi rsio (Y t N M Y)/( 1 ) terhdp (Y t I N Y)/( n 1 ) dlh F dengn derjt es 1 dn n 1, dn (Y t M L Y) dn (Y t N M Y) sling es, sehingg distriusi rsio (Y t M L Y)/( 1) terhdp (Y t N M Y)/ ( 1 ) dlh F dengn derjt es 1 dn 1. Formul Jumlh Kudrt dlm notsi ljr mtriks segimn pd persmn () untuk percon tersrng tig thp dpt dituliskn segi erikut : JK Totl = Y t Y Y t 1 μ 1 t μ 1 1 μ 1 t μ Y JK A = Y t A A t A 1 A t Y Y t 1 μ 1 t μ 1 1 μ 1 t μ Y JK B A = Y t B B t B 1 B t Y Y t A A t A 1 A t Y (4) JK C B(A) = Y t C C t C 1 C t Y Y t B B t B 1 B t Y JK Glt = Y t Y Y t C C t C 1 C t Y Dengn A dlh mtriks A cn = 1 n 1 I 1 c 1, B dlh mtriks B cn = 1 n 1 (I 1 c 1 ), C dlh mtriks C cn c = 1 n 1 I c c. Mislkn L = 1 μ 1 t μ 1 1 μ 1 t μ, M = A A t A 1 A t, N = B B t B 1 B t dnp = C C t C 1 C t, dimn mtriks-mtriks L, M, N dn P erukurn cn cn, dpt ditunjukkn dengn mudh hw mtriks-mtriks L, M, N dn P dlh mtriks-mtriks yng simetris dn idempoten. Jug dpt diperlihtkn hw mtriks-mtriks ML = LM = L, MN = NM = M, PN = NP = N, MP = PM = M dn LN = NL = L yng selnjutny erkit hw M L,N M, P N dn I P jug simetris dn idempoten. Dengn demikin rnk M L = 1, rnk N M = ( 1), rnk P N = (c 1) dn rnk I P = c(n 1). Dri rgumentsi dits, menurut Teorem, distriusi dri Y t M L Y dlh ki-kudrt dengn derjt es 1, distriusi dri Y t N M Y dlh ki-kudrt dengn derjt es ( 1), distriusi dri Y t P N Y dlh ki-kudrt dengn derjt es (c 1) dn distriusi dri Y t I P Y dlh ki-kudrt dengn derjt es c(n 1). Selnjutny dpt dengn mudh diperlihtkn hw P N I I P = 0 N M I P N = 0 dn M L I N M = 0. Menurut Teorem 3, (Y t P N Y)dn (Y t I P Y) sling es, mk distriusi rsio (Y t P N Y)/( c 1 ) terhdp (Y t I P Y)/(c n 1 ) dlh F dengn derjt es c 1 dn c n 1,(Y t N M Y) dn (Y t P N Y) sling es, mk distriusi rsio (Y t N M Y)/( 1 ) terhdp (Y t P N Y)/( c 1 ) dlh F dengn derjt es 1 dn c 1, dn (Y t M L Y) dn (Y t N M Y) sling es, sehingg 53

8 Prosiding Semirt015 idng MIPA BKS-PTN Brt Universits Tnjungpur Pontink Hl distriusi rsio (Y t M L Y)/( 1) dengn derjt es 1 dn 1. terhdp (Y t N M Y)/( 1 ) dlh F 4. PENUTUP Penggunn Mtriks Rncngn Terprtisi secr opersionl mempermudh perhitungn jumlh kudrt komponen sumer kergmn kren rnk mtriks prtisi sumer kergmnny erpngkt penuh, sehingg cukup digunkn invers mtriks is. Komponen formul perhitungn jumlh kudrt memiliki entuk umum Y t Z Z t Z 1 Z t Y dengn Z dlh elemen prtisi mtriks rncngn yng erkitn dengn thpn penyrngn.z untuk penyerngn thp pertm, kedu, ketig dn seterusny menggunkn notsi A, B, C dn seterusny. Untuk fktor koreksi Z = 1 μ 1 t μ 1 1 μ 1 t μ. Untuk percon tersrng du thp, A n = 1 n 1 I 1 1 dn B n = 1 n 1 I dengn pengturn elemen vektor pengmtn Y disesuikn. Sedngkn untuk percon tersrng tig thp, A cn = 1 n 1 I 1 c 1, B cn = 1 n 1 (I 1 c 1 ), dn C cn c = 1 n 1 I c c dengn pengturn elemen vektor pengmtn Y disesuikn. 5. UCAPAN TERIMAKASIH Terimksih sy ucpkn kepd Renny Alvionit yng telh memntu dlm mencri hn referensi sert menguji eerp persyrtn tentng kesimetrisn dn keidempotenn mtriks yng dipki sehingg dpt dipergunkn didlm skripsiny. Terimksih jug diucpkn kepd Pepi Novinti yng jug telh memntu memeriks p yng telh dilkukn Renny Alvionit segi gin dri skripsiny. 6. PUSTAKA [1]. Den A, Voss D. Design nd Anlysis of Experiments. New York: Springer; []. Gryill, FA. Theory nd Appliction of The Liner Model. Cliforni: Wdsworth Pulishing Compny; [3]. Hrville, DA. Mtrix Alger From Sttisticin s Perspective. New York: Springer; 008. [4]. Lentner M, Bishop T. Experimentl Design nd Anlysis.Blcksurg: Vlley Book Compny;

9 Prosiding Semirt015 idng MIPA BKS-PTN Brt Universits Tnjungpur Pontink Hl [5]. Nugroho, S. Metode Mtriks Rncngn Terprtisi Untuk Penghitungn Jumlh Kudrt Percon Tig Fktor.Sury: Konferensi Nsionl Mtemtik XVII ITS; 014. [6]. Rencher AC, SchljeGB. Liner Models in Sttistics. Second Edition. New Jersey: John Wiley & Sons;008. [7]. Seer, GAF. A Mtrix Hndook for Sttisticins. John Wiley & Sons. New Jersey