Pembelajaran Klasifikasi Geometris dari Transformasi Möbius
|
|
- Harjanti Gunawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Pembelajaran Klasifikasi Geometris dari Transformasi Möbius Suatu Sarana Penyampaian Konsep Grup Iden Rainal Ihsan Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Islam Nusantara Abstrak Grup dalam aljabar merupakan suatu konsep yang abstrak. Pembelajaran konsep grup memerlukan suatu sarana yang dapat menjadi perantara bagi peserta didik untuk memahami konsep tersebut. Pembelajaran klasifikasi transformasi Möbius dapat dijadikan sarana menyampaikan konsep grup. Transformasi Möbius dapat dikelompokkan berdasarkan banyaknya titik tetap. Di bidang kompleks yang diperluas (C ), setiap transformasi Möbius memiliki titik tetap. Selain dari transformasi identitas, transformasi Möbius paling banyak memiliki dua titik tetap. Pengelompokan transformasi Möbius akan dilihat dari dua kasus, yakni memiliki satu titik tetap atau dua titik tetap. Grup transformasi Möbius isomorfis dengan grup PSL 2 (C). Dengan menggunakan konsep mengenai nilai trace dari suatu matriks yang berkorespondensi, transformasi Möbius dapat dikelompokan ke dalam kelas-kelas konjugasi yang dapat menentukan klasifikasi geometrisnya. Berdasarkan nilai dari trace suatu matriks yang berkorespondensi, transformasi Möbius dapat diklasifikasi menjadi transformasi Möbius parabolic, elliptic, hyperbolic, atau loxodormic. Konsep klasifikasi tersebut dapat dijadikan sarana dalam pembelajaran grup pada perkuliahan struktur aljabar, yakni dalam menyampaikan konsep grup, grup kuosien, homomorfisma grup, isomorfisma, dan kelas konjugasi. Kata kunci: grup, klasifikasi geometris, PSL 2 (C), transformasi Möbius. I. PENDAHULUAN Konsep grup merupakan konsep abstrak dalam bidang aljabar. Mahasiswa Strata-1 yang belum terbiasa berpikir abstrak memerlukan pemodelan atau contoh yang sesuai dengan konteks pemahaman mereka. Pemodelan dan contoh seringnya disampaikan berupa sistem bilangan. Hal tersebut cukup tepat dalam pemilihan desain pembelajaran konsep grup, namun terbatas dan tidak memberi ruang untuk mahasiswa berpikir lebih umum. Melalui pembelajaran yang hanya mempelajari atau memperkenalkan sistem bilangan, hanya operasi tambah dan kali saja yang dipelajari, padahal nyatanya grup tidak terbatas pada operasi tersebut. Muncul kekhawatiran mahasiswa berpikir sempit dengan anggapan bahwa grup hanya berlaku di sistem bilangan dengan operasi tambah dan kali saja. Dengan demikian perlu konsep atau khazanah lain dalam menyampaikan konsep grup. Konsep atau khazanah baru tersebut selain dapat menjadi sarana untuk menyampaikan konsep grup harus dapat juga membuka sekaligus memperkaya pandangan dan wawasan mahasiswa mengenai konsep grup. Pada bidang aljabar dan geometri dibahas topik mengenai transformasi geometri.topik mengenai transformasi geometri sangat penting untuk dikaji. Sejalan dengan pendapat pada rujukan [1] yang memaparkan bahwa transformasi geometri merupakan salah satu teknik yang ampuh untuk membuktikan sifat geometri. Kelebihan transformasi di bidang geometri tersebut melengkapi pembahasan transformasi di bidang aljabar. Transformasi yang secara aljabar dapat dibahas mengenai struktur atau sistemnya dapat diperkaya dengan pembahasan representasi geometrisnya. Pembelajaran mengenai Konsep mengenai klasifikasi geometris transformasi MӦbius dipandang alternatif pilihan tepat sebagai sarana dalam penyampaian konsep grup. Konsep transformasi MӦbius dapat memberi ruang dalam memperkaya pemahaman aljabar yang dilengkapi pemahaman yang terintegrasi dengan geometri. Dalam rujukan [2] dinyatakan pula sistem transformasi MӦbius (M, ) dapat dijadikan sarana dalam menjelaskan grup, grup kuosien, homomorfisma dan isomorfisma. 1
2 ISBN II. PEMBAHASAN Bagian ini memaparkan pembahasan yang terintegrasi mengenai klasifikasi geometris dari transformasi MӦbius. Pemabahasan diawali dari pemetaan dasar yang menjadi acuan awal dalam penentuan sifat geometris dari transformasi MӦbius. Kemudian berlanjut pada pembahasan transformasi MӦbius dari sudut pandang aljabar yakni mengenai grup transformasi MӦbius. Pembahasan selanjutnya adalah mengenai klasifikasi geometris dari transformasi MӦbius. Pada akhir pembahasan dipaparkan relevansi pembelajaran klasifikasi geometris dari transformasi MӦbius terhadap pembelajaran konsep grup dalam aljabar. A. Pemetaan Dasar Terdapat hubungan yang erat antara transformasi MӦbius dengan pemetaan dasar. Pemetan dasar akan sangat membantu dalam menentukan klasifikasi geometris dari transformasi MӦbius. Rujukan [3] memaparkan terdapat lima pemetaan dasar. Lima pemetaan dasar tersebut memetakan bilangan kompleks z ke bilangan kompleks yang lainnya(c C). Pemetaan-pemetaan tersebut adalah: 1. z z + A, untuk suatu A C, yang disebut translasi 2. z cz, untuk suatu c R, yang disebut penskalaan 3. z e iθ z, yang disebut rotasi 4. z z, yang disebut konjugasi kompleks 5. z 1, yang disebut inversi z Pada pembahasan ini pembahasan dipusatkan pada pembahasan mengenai perubahan argumen dan modulo dari suatu bilangan kompleks yang dipetakan oleh pemetaan translasi, penskalaan, dan rotasi. Berdasarkan rujukan [3] dengan pemetaan translasi, dalam pemetaan z menjadi z terjadi perubahan besar modulo dan besar argumen. Dalam penskalaan, yang terjadi adalah perubahan modulo, yaitu z = c z. Dalam pemetaan penskalaan, besar argumen dari z sama dengan argumen z. Dengan rotasi, tidak terjadi perubahan modulo, yaitu z = z. Namun dalam pemetaan rotasi, terjadi perubahan besar argumen, yaitu arg(z ) = arg(z) + θ. B. Grup Transformasi MӦbius TransformasiMӦbius dikenal pula dengan istilah homographic transformations, linear fractional transformations, atau bilinear transformations. Sebagai penghormatan dan dedikasi kepada yang pertama kali membahas dan mengedepankannya, yaitu Auguste Ferdinand MӦbius [5], dinamakanlah transformasi MӦbius yang didefinisikan sebagai berikut az + b f(z) = cz + d, a, b, c, d C, Δ = ad bc 0 (1) Terdapat sifat penting mengenai ketidaktunggalan dari koefisien transformasi MӦbius. Misalkan terdapat transformasi MӦbius(z) = az+b, yang disebut koefisien dalam hal ini adalah a, b, c, dan d. c +d Apabila terdapat k C yang tidak sama dengan nol, maka az + b kaz + kb (2) = f(z) = cz + d kcz + kd Dengan sifat ketidaktunggalan ini, transformasi MӦbius dan inversnya dapat direpresentasikan secara tidak unik. Dengan kata lain perkalian scalar dengan koefisien-koefisien transformasi MӦbius sama sekali tidak merubah transformasinya [4]. Berdasarkan definisi, transformasi MӦbius dapat dikatakan sebagai himpunan tak hampa. Hal tersebut dikarenakan kita dapat membentuk transformasi MӦbius dengan memilih a, b, c, d C, ad bc 0. Kemudian pada transformasi MӦbius berlaku juga operasi komposisi fungsi. Dengan demikian transformasi MӦbius dengan operasi komposisi fungsi membentuk sistem matematika, misalkan kita simbolkan (M, ). Sistem tersebut merupakan grup terhadap operasi komposisi dengan unsur identitas e(z) = z dan m(z) = az+b cz+d M m 1 (z) = dz+b cz a M m(z) m 1 (z) = e(z) = m 1 (z) m(z) Terdapat suatu koneksi atau hubungan antara koleksi transformasi MӦbius dengan koleksi matriks bilangan kompleks berorde 2 2 yang memiliki invers(invertible). Matriks bilangan kompleks yang memiliki invers disebut GL 2 (C). Matriks bilangan kompleks yang memiliki determinan sama dengan 1 disebut SL 2 (C). grup kuosien dari grup SL 2 (C) yaitu SL 2 (C)/± atau grup yang diberi nama PSL 2 (C). Berdasarkan rujukan [4] terdapat hubungan sebagai berikut 2
3 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Gambar 1. Hubungan SL 2 (C), PSL 2 (C), dan M Sumber : I.R. Ihsan (2015) [4] Berdasarkan teorema isomorfisma grup, dapat dikatakan grup PSL 2 (C) isomorfis dengan grup M. Sifat isomorfis inilah yang digunakan dalam pembahasan selajutnya, yakni mengenai klasifikasi geometris dari transformasi MӦbius. Hal tersebut karena m M dapat dikaitkan dan disajikan dengan bentuk ±M dengan M PSL 2 (C). Dengan penyajian dalam bentuk matriks, nilai trace dapat digunakan dalam mengklasifikasikan penyajian geometris dari transformasi MӦbius. C. Kelas Konjugasi dari Grup Transformasi MӦbius Suatu transformasi MӦbius memetakan suatu bilangan kompleks menjadi bilangan kompleks. Misal terdapat transformasi MӦbius f, sedemikian sehingga f(z 1 ) = z 2 ; z 1 z 2 C. Pemetaan bilangan kompleks oleh suatu transfomasi MӦbius tidak selalu menjadi bilangan kompleks lainnya. Ada kalanya suatu transformasi MӦbius memetakan suatu bilangan kompleks kembali menjadi bilangan kompleks yang sama. Misalkan terdapat transformasi MӦbius f dan z 0 C, sedemikian sehingga f(z 0 ) = z 0. Dalam hal ini z 0 disebut sebagai titik tetap (fixed point). Misalkan f(z 0 ) = z 0, sehingga az 0+b cz 0 +d = z 0. Apabila proses aljabar dilanjutkan, maka didapat persamaan cz (d a)z 0 b = 0 (3) Karena persamaan (3) adalah persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut memiliki paling banyak dua penyelesaian. Apabila f bukan fungsi identitas, maka f paling banyak memiliki dua titik tetap. Sedangkan apabila f merupakan transformasi identitas, maka f memiliki titik tetap tak hingga banyaknya. Di bidang kompleks yang diperluas, setiap transformasi MӦbius memiliki titik tetap. Terdapat teorema mengenai titik tetap pada transformasi MӦbius. Teorema tersebut adalah sebagai berikut Teorema. Suatu Transformasi MӦbius dapat ditentukan secara tunggal (unik) oleh pemetaan yang dilakukan terhadap tiga titik berlainan di C [4]. Kelas konjugasi transformasi MӦbius adalah suatu kumpulan dari conjugateatau konjugasi dari koleksi atau himpunan transformasi MӦbius. Dua transformasi MӦbius disebut sebagai conjugate atau saling berkonjugasi apabila memenuhi definisi sebagai berikut Definisi. Misalkan terdapat f, g PSL 2 (C) saling berkonjugasi apabila terdapat h PSL 2 (C) sedemikian sehingga f = g h g 1 [4]. Pengelompokkan berdasarkan konjugasi ini bertujuan untuk mengklasifikasikan bentuk geometris dari transformasi MӦbius. Misalkan simbol ~ menyatakan relasi conjugate atau saling berkonjugasi, sehingga untuk transformasi MӦbius f dan g, ekspresi f~g menyatakan f dan g adalah saling berkonjugasi. Relasi ~ merupakan relasi ekivalen yang memenuhi sifat refleksif, simetris dan transitif [4]. Dengan terpenuhinya sifat refleksif, simetris dan transitif, relasi ~ merupakan relasi ekivalen. Dengan demikian untuk setiap transformasi MӦbius g, kita dapat mendefiniskan suatu sub himpunan dari M yang berkaitan dengan g. Subhimpunan tersebut terdiri semua transformasi f M yang mempunyai relasi ~ dengan g atau (f~g), dengan definisi sebagai berikut k(g) = {f f M; f~g} 3
4 ISBN Sub himpunan k(g) disebut kelas ekivalen yang memuat g. Pengelompokan berdasarkan kelas inilah yang akan dibahas dalam klasifikasi dari M. Terdapat suatu kelas konjugasi dari grup transformasi MӦbius yang memuat unsur atau pemetaan identitas (e). Kelas tersebut tidak memuat elemen lain di dalamnya. Hal tersebut karena untuk setiap g M kita miliki g e g 1 = e. Sebagaimana telah dibahas pada bab sebelumnya bahwa transformasi MӦbius memiliki titik tetap. Dalam hal ini titik tetap memiliki peranan penting dalam menentukan klasifikasi dari grup transformasi MӦbius. Misalkan z 0 merupakan titik tetap dari transformasi MӦbius f, maka h(z 0 ) merupakan titik tetap bagi h f h 1 dengan h merupakan suatu transformasi MӦbius. Berdasarkan hubungan tersebut dapat dikatakan bahwa setiap transformasi MӦbius memiliki titik tetap sama banyaknya dengan banyaknya titik tetap yang dimiliki pasangan konjugasinya. Terdapat teorema yang dikedepankan yang menjadi awalan penggunaan titik tetap dalam mengelompokkan transformasi MӦbius. Teorema tersebut adalah sebagai berikut Teorema. Misal f PSL 2 (C) dengan f(z) = az+b cz+d. Jika (a + d)2 4, maka f memiliki dua titik tetap di C. Jika (a + d) 2 = 4 dan f bukan pemetaan identitas, maka f memilliki satu titik tetap [4]. Berdasarkan rujukan [4] dikatakan suatu transformasi MӦbius f saling berkonjugasi f λ. Sehingga secara umum, jika f PSL 2 (C) bukan identitas, maka terdapat beberapa λ C/{0}, sedemikian hingga f saling berkonjugasi dengan f λ PSL 2 (C) yang didefinisikan sebagai berikut [4] λz, λ 0 dan λ 1 f λ (z) = { z + 1, λ = 1 Pembahasan dilanjutkan dengan mengelompokkan transformasi MӦbius berdasarkan penyajian geometrisnya. Pembahasan ini merupakan kelanjutan dari sub bab sebelumnya, karena penyajian geometris memiliki kaitan dengan kelas konjugasi. Pada sub bab ini akan dikaji pembahasan tentang sifat limit dari kelas konjugasi. Sifat tersebut ditentukan dari multiplier atau faktor pengali λ. Misalkan λ = 1, maka transformasi f 1 = z + t, t C memiliki tr 2 = (1 + 1) 2 = 4 dan memiliki sebagai satu-satunya titik tetap. Transformasi yang berkonjugasi dengan f 1 = z + t disebut transformasi MӦbius parabolic. Berikut ini adalah bentuk penyajian secara geometris dari transformasi MӦbius parabolic dengan tanda panah menunjukan arah perpindahan titik. Gambar: Transformasi MӦbius Parabolic Pembahasan dilanjutkan dengan asumsi suatu transformasi MӦbius f memiliki dua titik tetap. Misalkan tr 2 (f) 4 dan f bukan transformasi identitas. Misalkan terdapat f λ PSL 2 (C) dengan λ = 1, sehingga λ = e iθ. Dengan demikian f λ merupakan kelas rotasi dengan nilai 2 λ + 1 λ 2. Sehingga suatu transformasi f merupakan transformasi MӦbius elliptic jika dan hanya jika 0 tr 2 (f) 4. Berikut adalah bentuk penyajian transformasi MӦbius elliptic 4
5 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Gambar: Transformasi MӦbius Elliptic Pembahasan dapat dilanjutkan dengan membahas dua masalah atau kasus yang tersisa. Dua masalah tersebut adalah λ < 1 dan λ > 1. Dapat digeneralisasi bahwa f λ = λz dapat berupa kelas penskalaan dan dilasi. Jika λ R, maka f λ = λz merupakan kelas penskalaan. Pada penskalaan terjadi perubahan modulo namun tidak terjadi perubahan aegumen. Kelas transformasi f λ = λz merupakan transformasi MӦbius hyperbolic tr 2 (f) > 4 yang secara geometris dapat disajikan sebagai berikut Gambar: Transformasi MӦbius Hyperbolic Suatu transformasi MӦbius f λ = λz akan berupa dilasi apabila λ R. Kelas f λ = λz merupakan transformasi MӦbius loxodormic Jika dan hanya jika tr 2 (f) < 0 atau λ R. yang secara geometris dapat disajikan sebagai berikut Gambar: Transformasi MӦbius loxodormic D. Relevansi Pembelajaran Sistem Transformasi MӦbius terhadap Penyampaian Konsep Grup Melalui pembelajaran sistem transformasi MӦbius,berdasarkan rujukan [2] mahasiswa memiliki ruang untuk mempelajari konsep grup. Diawali dari memeriksa suatu operasi koposisi terdefinisi dengan baik atau tidak pada himpunan transformasi MӦbius (M). Pada proses tersebut mahasiswa dapat diarahkan untuk memahami pengertian dari sifat tertutup suatu operasi. Pembelajaran dilanjutkan pada proses pemeriksaan struktur sistem transformasi MӦbius (M, ). Mahasiswa diarahkan memeriksa kevalidan (M, ) sebagai suatu grup. Pembelajaran dilanjutkan pada proses yang sama, namun pada himpunan dan sistem yang berbeda. Pembelajaran dapat dilanjutkan pada pembahasan grup matriks bilangan kompleks berorde 2 2 yang memiliki invers yang disebut GL 2 (C). Pembelajaran berlanjut pada pembahasan grup matriks bilangan kompleks 2 2 yang memiliki determinan sama dengan 1 yakni SL 2 (C) Pada pembelajaran dapat diperkenalkan pula contoh grup kuosien, yakni SL 2 (C)/± atau grup yang diberi nama PSL 2 (C). Setelah proses tersebut, mahasiswa dapat diarahkan untuk mengetahui hubungan (M, ), GL 2 (C), SL 2 (C), dan PSL 2 (C). Dengan proses tersebut, terdapat ruang bagi mahasiswa untuk 5
6 ISBN memahami isomorfisma grup. Kemudin pembelajaran klasifikasi geometris memberi ruang bagi mahasiswa untuk mempelajari konsep kelas konjugasi. III. SIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan pemaparan pembahasan, didapat suatu simpulan yang menjadi jawaban permasalah dalam tulisan ini. Sebagai penutup disampaikan juga saran untuk kajian-kajian atau penelitian-penelitian yang lebih lanjut. A. Simpulan Melalui pembelajaran klasisfikasi transformasi M bius konsep mengenai grup dapat disampaikan kepada mahasiswa. Selain tersampaikannya konsep grup, dalam pembelajaran terdapat ruang bagi mahasiswa untuk dapat mengkonstruksi pemahaman mengenai grup. Mahasiswa mendapat ruang untuk mempelajari grup dari operasi lain, yakni operasi komposisi fungsi dan perkalian matriks. Berdasarkan pembahasan terdapat beberapa konsep grup yang dapat disampaikan melalui pembelajaran mengenai sistem transformasi MӦbius (M, ). Mahasiswa dapat diarahkan untuk memahami sifat ketertutupan dari suatu operasi. Mahasiswa dapat pula diarahkan untuk menunjukan suatu sistem termasuk grup atau bukan. Dengan pengaitan dengan L 2 (C), SL 2 (C), dan PSL 2 (C) mahasiswa dapat diarahkan untuk memahami konsep grup kuosien. Kemudian dengan pengaitan tersebut pula, mahasiswa dapat diarahkan untuk memahami konsep isomorfis. Dengan proses ini mahasiswa memiliki ruang untuk mengembangkan pemahamannya untuk memahami konsep abstrak. Pembelajaran mengenai sistem transformasi MӦbius (M, ) dipandang cocok, karena selain dapat menjadi sarana menyampaikan konsep abstrak, pembelajaran membantu mahasiswa berpikir lebih general, tidak terpaku pada sistem bilangan saja. Mahasiswa diberi ruang untuk mempelajari grup selain dari sistem bilangan. B. Saran Sebagai bahan lanjutan, dapat dilakukan penelitian-penelitian dan kajian-kajian yang dapat memperkaya pembahasan ini. Dapat diteliti ada atau tidakya pengaruh pembelajaran klasifikasi geometris dari transformasi MӦbius terhadap pemahaman mahasiswa mengenai konsep grup. Kemudian dapat dikaji pula secara lebih lanjut agar dapat menjembatani penyampaian konsep grup yang lebih lanjut seperti grup Fushian, grup Modular dan lain sebagainya. DAFTAR PUSTAKA [1] W. Setya-Budhi, Langkah Awal Menuju ke Olimpiade Matematika, Jakarta : C.V. Ricardo, [2] I.R. Ihsan, G.M. Muhammad, Pembelajaran Sistem Transformasi MӦbius (M, ) sebagai Sarana Menyampaikan Konsep Grup, Makalah disampaikan pada seminar nasional pendidik matematika Universitas Islam Nusantara pada tanggal 30 September [3] J. Olsen, The Geometry of MӦbius Transformations, Rochester : University of Rochester, [4] I.R. Ihsan, Klasifikasi Geometris dari Transformasi MӦbius, Tesis, Bandung : Institut Teknologi Bandung, [5] R. Deaux, Introduction to The Geometry of Complex Numbers, New York : Dover Publications Inc, [6] T. Needham, Visual Complex Analysis, Oxford : Oxford University Press, 1997 [7] A. Arifin, Aljabar, Bandung : Penerbit ITB, [8] J.W. Anderson, Hyperbolic Geometry, London : Springer-Verlag, [9] G.A. Jones, D, Singerman, Complex Function : An Algebraic and Geometric Viewpoint, Cambridge : Cambridge University, [10] H, Schwerdtfeger, Complex Numbers: Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry, New York : Dover Publication Inc, [11] D, Tall (Ed), Advance Mathematical Thinking, New York : Kluwer Academic Publisher, 2002 [12] I.M. Yaglom, Complex Numbers in Geometry, London : Academic Press, 1968.,. 6
Pembelajaran Klasifikasi Geometris dari Transformasi Mӧbius Suatu Sarana Penyampaian Konsep Grup
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Pembelajaran Klasifikasi Geometris dari Transformasi Mӧbius Suatu Sarana Penyampaian Konsep Grup PM -45 Iden Rainal Ihsan Program Studi Pendidikan
Lebih terperinciPEMBELAJARAN SISTEM TRANSFORMASI MӦBIUS (M, ) SEBAGAI SARANA MENYAMPAIKAN KONSEP GRUP.
PEMBELAJARAN SISTEM TRANSFORMASI MӦBIUS (M, ) SEBAGAI SARANA MENYAMPAIKAN KONSEP GRUP Iden Rainal Ihsan 1, Guntur Maulana Muhammad 2 1 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Nusantara,
Lebih terperinciPEMBELAJARAN SISTEM TRANSFORMASI MӦBIUS (M, ) SEBAGAI SARANA MENYAMPAIKAN KONSEP GRUP. Guntur Maulana Muhammad * Dan Iden Rainal Ihsan **
PEMBELAJARAN SISTEM TRANSFORMASI MӦBIUS (M, ) SEBAGAI SARANA MENYAMPAIKAN KONSEP GRUP Guntur Maulana Muhammad * Dan Iden Rainal Ihsan ** * Dosen Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Suryakancana
Lebih terperinciIden Rainal Ihsan Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Nusantara, Jln. Soekarno-Hatta No 530 Bandung
Jurnal Euclid, vol.3, No.1, p.485 TITIK TETAP (FIXED POINT) PADA TRANSFORMASI M BIUS Iden Rainal Ihsan Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Islam Nusantara, Jln. Soekarno-Hatta No 530 Bandung
Lebih terperinciTRANSFORMASI MOBIUS 1. Sangadji *
Transformasi Mobius (Sangadji) TRANSFORMASI MOBIUS 1 Sangadji * ABSTRAK TRANSFORMASI MOBIUS. Transformasi Mobius atau bilinear, sudah lama dikenal. Topik ini muncul pada beberapa bidang, misalnya pada
Lebih terperinciBab 2. Teori Dasar. 2.1 Erlanger Program Kongruen
Bab 2 Teori Dasar 2.1 Erlanger Program Erlanger program digunakan untuk menjelaskan geometri. Erlanger program memungkinkan pengembangan yang seragam dan perbandingan geometri yang berbeda. Membandingkan
Lebih terperinciKARAKTERISTIK G-HOMOMORFISMA SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH MEGA PARAMITASARI
KARAKTERISTIK G-HOMOMORFISMA SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH MEGA PARAMITASARI 06 934 013 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG 2011 ABSTRAK Misalkan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pada abad ke-19, Teori Representasi secara umum dipelajari sebagai bagian dari Teori Grup. Himpunan semua endomorfisma invertibel dari ruang vektor V atas
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinci1. PENDAHULUAN 2. METODE PENELITIAN 3. HASIL DAN PEMBAHASAN. Abstrak
Kajian mengenai Konstruksi Aljabar Simetris Kiri Menggunakan Fungsi Linier Sofwah Ahmad Departemen Matematika FMIPA UI Kampus UI Depok 16424 sofwahahmad@sciuiacid Abstrak Aljabar merupakan suatu ruang
Lebih terperinciKONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT
KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT Paridjo Pendidikan Matematika FKIP Universitas Pancasakti Tegal muhparidjo@gmail.com Abstrak Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan sistem bilangan Real
Lebih terperinciGRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI. Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2 Mahasiswa
Lebih terperinciGRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA
GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA 07934028 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG 2011 ABSTRAK Misalkan
Lebih terperinciTEOREMA GOURSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung. M.V.Any Herawati,S.Si.,M.Si. Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma.
PROSIDING ISBN : 978 979 65 TEOREMA GORSAT Konstruksi subgrup dari grup darab langsung A MVAny erawati,ssi,msi Program Studi Matematika niversitas Sanata Dharma Abstrak Darab langsung G dari grup G dan
Lebih terperinciKARAKTER REPRESENTASI S n
Buletin Ilmiah Math, Stat, dan Terapannya (Bimaster) Volume 7, No. (28), hal 33-4. KARAKTER REPRESENTASI S n Megawati June, Helmi, Fransiskus Fran INTISARI Karakter merupakan trace pada setiap matriks
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciTRANSFORMASI BILINEAR
TRANSFORMASI BILINEAR Di susun untuk memenuhi tugas matakuliah Fungsi Kompleks yang dibimbing oleh Ibu Indriati Nurul H. KELOMPOK 7 Anggota: Maharani Kusuma Arumsari (40931413115) Andrie Kurniawan (40931417687)
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ruang vektor adalah suatu grup abelian yang dilengkapi dengan operasi pergandaan skalar atas suatu lapangan. Suatu ruang vektor dapat dikawankan dengan ruang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang masalah, perumusan masalah, maksud dan tujuan, tinjauan pustaka, metodologi penelitian serta sistematika penulisan dari penyusunan skripsi
Lebih terperinciAUTOMORFISME GRAF LENGKAP DENGAN PENDEKATAN TEORI GRUP. Mulyono. Abstrak. ( ), dapat disimpulkan bahwa
6 AUTOMORFISME GRAF LENGKAP DENGAN PENDEKATAN TEORI GRUP Mulyono Abstrak Suatu ) terdiri dari himpunan simpul disimbolkan ) ) dan himpunan jalur disimbolkan ) ) di mana ) Menurut teorema isomorfisme dua
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciGRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN
Saintia Matematika Vol. 1, No. 6 (2013), pp. 591 602. GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal,
Lebih terperinciKeterkaitan Grup Spesial Uniter dengan Grup Spesial Ortogonal
Jurnal Matematika Integratif Volume 12 No. 2, Oktober 2016, pp. 117-124 p-issn:1412-6184, e-issn:2549-903 doi:10.24198/jmi.v12.n2.11928.117-124 Keterkaitan Grup Spesial Uniter dengan Grup Spesial Ortogonal
Lebih terperinciBab 3 Gelanggang Polinom Miring
Bab 3 Gelanggang Polinom Miring Dalam bab ini akan dibahas mengenai Gelanggang Poliom Miring mulai dengan bentuk yang sederhana (satu variabel) sampai ke bentuk yang lebih kompleks (banyak variabel) berikut
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, penjelasan, dan teorema yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang diberikan diantaranya adalah definisi
Lebih terperinciKarakteristik Koproduk Grup Hingga
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Vol. 9 No. 2, Oktober 2013 pp. 31-37 Karakteristik Koproduk Grup Hingga Edi Kurniadi, Stanley P.Dewanto, Alit Kartiwa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,
Lebih terperinciKriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian
Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes 1, Nora Hariadi 2, Kiki Ariyanti Sugeng 3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia rio.yohanes@sci.ui.ac.id,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciBAB 2 KONSEP DASAR 2.1 HIMPUNAN DAN FUNGSI
BAB 2 KONSEP DASAR Pada bab 2 ini, penulis akan memperkenalkan himpunan, fungsi dan sejumlah konsep awal yang terkait dengan semigrup, dimana sebagian besar akan sangat diperlukan hingga bagian akhir dari
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciPEMETAAN MÖBIUS. Gani Gunawan. Jurusan Matematika, UNISBA, Jalan Tamansari No 1, Bandung,40116, Indonesia
Jurnal Matematika Vol6 No Novemer 006 [ : 7 ] PEMETAAN MÖBIUS Jurusan Matematika, UNISBA, Jalan Tamansari No, Banung,406, Inonesia ggan06@yahoocom Astrak Transformasi ilinear apat ikomposisikan ari transformasi
Lebih terperinciPEMBELAJARAN FUNGSI DI SEKOLAH MENENGAH PERTAMA MELALUI PEMBELAJARAN KONTEKSTUAL BERBASIS BUDAYA SUNDA
PEMBELAJARAN FUNGSI DI SEKOLAH MENENGAH PERTAMA MELALUI PEMBELAJARAN KONTEKSTUAL BERBASIS BUDAYA SUNDA Iden Rainal Ihsan 1, Trisna Roy Pradipta 2 1 Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciWARP PADA SEBUAH SEGITIGA
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 3 Hal. 26 33 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND WARP PADA SEBUAH SEGITIGA ABDUL ZAKY, MAHDHIVAN SYAFWAN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciTeorema Jacobson Density
Teorema Jacobson Density Budi Santoso 1, Fitriani 2, Ahmad Faisol 3 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia 1,2,3 E-mail: budi.klik@gmail.com Abstrak. Misalkan adalah ring (tidak harus
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciyang Dibangun oleh Ukuran Bernilai Proyeksi
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Integral pada A - 3 yang Dibangun oleh Ukuran Bernilai Proyeksi Arta Ekayanti dan Ch. Rini Indrati. FMIPA Universitas Gadjah Mada arta_ekayanti@ymail.com
Lebih terperinciFUNGSI KOMPLEKS TRANSFORMASI PANGKAT. Makalah Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fungsi Kompleks. yang diampuh Oleh Ibu Indriati N.H.
FUNGSI KOMPLEKS TRANSFORMASI PANGKAT Makalah Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fungsi Kompleks yang diampuh Oleh Ibu Indriati N.H Kelompok 6:. Amalia Ananingtyas (309324753) 2. Pratiwi Dwi Warih S (3093247506)
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciTE Teknik Numerik Sistem Linear
TE 9467 Teknik Numerik Sistem Linear Operator Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E. Objektif.
Lebih terperinciHASIL KALI TENSOR: KONSTRUKSI, EKSISTENSI DAN KAITANNYA DENGAN BARISAN EKSAK
HASIL KALI TENSO: KONSTUKSI, EKSISTENSI AN KAITANNYA ENGAN BAISAN EKSAK Samsul Arifin samsul_arifin@mail.ugm.ac.id Mahasiswa S Matematika FMIPA UGM alam tulisan ini akan dibahas mengenai konstruksi hasil
Lebih terperinciTinjauan Terhadap Grup Cogenerated secara Hingga
Jurnal Matematika Integratif ISSN 112-618 Volume 10 No 1, April 201, hal 63-67 Tinjauan Terhadap Grup Cogenerated secara Hingga Edi Kurniadi Program Studi Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinciIlustrasi Penggunaan Quaternion untuk Penanggulangan Gimbal Lock
Ilustrasi Penggunaan Quaternion untuk Penanggulangan Gimbal Lock Nikolas Wangsaputra / 13514048 1 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciFUNGTOR KONTRAVARIAN DAN KATEGORI ABELIAN
FUNGTOR KONTRAVARIAN DAN KATEGORI ABELIAN Agus Suryanto, Nikken Prima Puspita, Robertus Heri S. U. Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Diponegoro Jalan Prof. H. Soedarto, SH. Tembalang
Lebih terperinciSILABUS MATAKULIAH. : Setelah mengikuti matakuliah ini mahasiswa diharapkan dapat memiliki pengetahuan dan pemahaman mengenai
SILABUS MATAKULIAH Matakuliah Program Studi : Geometri Transformasi : Pendidikan Matematika Kode Matakuliah : 011-032513 Bobot Semester Mata Kuliah Prasyarat Standar Kompetensi : 3 SKS : VI : Aljabar Linier
Lebih terperinciDiketahui : A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {1,2,3,5,6,12} C = {2,4,8,12,20} (A B) C = {1,3,5,6} {x x ϵ A dan x ϵ B} (B C) = {2,12}
KELAS A =========================================================================== 1. Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {1,2,3,5,6,12}, dan C = {2,4,8,12,20}. Tentukan hasil dari operasi himpunan berikut
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinciTEORI DILASI DALAM RUANG HILBERT DAN RUANG BANACH
TEORI DILASI DALAM RUANG HILBERT DAN RUANG BANACH Annisanti Surachman, Rizky Rosjanuardi 1, Isnie Yusnitha 2 Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: annisanti.surachman@student.upi.edu ABSTRAK.
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinciSyarat Perlu dan Cukup Struktur Himpunan Transformasi Linear Membentuk Semigrup Reguler 1
Syarat Perlu dan Cukup Struktur Himpunan Transformasi Linear Membentuk Semigrup Reguler Karyati Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoocom Abstrak Pada kajian
Lebih terperinciPengantar Topologi - MK : Prinsip Matematika
Pengantar Topologi - MK : Prinsip Matematika Topologi merupakan kajian pemetaan dari suatu obyek dalam ruang baik dalam struktur global maupun dalam struktur lokal yang lebih halus. Dapat dikatakan bahwa
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan mengenai landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya. 2.1 Matriks Sebuah matriks, biasanya dinotasikan dengan huruf kapital tebal seperti A,
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. S, torus, topologi adalah suatu himpunan yang mempunyai topologi, yaitu koleksi dari
BAB II TEORI DASAR Pada skripsi ini, akan dipelajari perbedaan sifat grup fundamental yang dimiliki beberapa ruang topologi, yaitu 2 S, torus, 2 P dan figure eight. Ruang topologi adalah suatu himpunan
Lebih terperinciSOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 103 108 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT RASITA ANAS Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori tentang subhimpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965. Hal ini menginspirasi banyak peneliti lain untuk melakukan penelitian
Lebih terperinciKARAKTERISTIK KOPRODUK GRUP HINGGA
KARAKTERISTIK KOPRODUK GRUP HINGGA Edi Kurniadi, Stanley P. Dewanto, Alit Kartiwa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor 45363 E-mail: edikrnd@gmail.com;
Lebih terperinciSEBUAH TELAAH ELIPS DAN LINGKARAN MELALUI SEBUAH PENDEKATAN ALJABAR MATRIKS
SEBUAH TELAAH ELIPS DAN LINGKARAN MELALUI SEBUAH PENDEKATAN ALJABAR MATRIKS Rahmat Sagara Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan Kebangkitan Nasional Sampoerna School of Education Building Jl. Kapten
Lebih terperinciVariasi Fraktal Fibonacci Word
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Variasi Fraktal Fibonacci Word Kosala Dwidja Purnomo, Reska Dian Alyagustin, Kusbudiono Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember kosala.fmipa@unej.ac.id
Lebih terperinciSEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS PADA HIMPUNAN WORD. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Univeritas Riau Kampus Bina Widya Indonesia
SEMIGRUP BEBS DN MONOID BEBS PD HIMPUNN WORD Novia Yumitha Sarie, Sri Gemawati, Rolan Pane Mahasiswa Program S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan lam Univeritas
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah,
3 II. LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah, definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan penelitian ini. 2.1 Geometri Insidensi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciAPOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika. Volume 2, Nomor 2 Juli 2016 p ISSN BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE
APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika Volume 2 Nomor 2 Juli 2016 p 63-75 ISSN 2407-8840 BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE Moh Affaf Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI BANGKALAN
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai landasan teori penelitian ini yaitu teori grup dan teori graf. Pada bagian pertama akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciHUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP
HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680,
Lebih terperinciBAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 1 OPERASI PADA HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat menggunakan operasi pada himpunan untuk memecahkan masalah dan mengidentifikasi suatu himpunan
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah
Aljabar Linier Kuliah 13 14 15 Materi Kuliah Transformasi Linier dari F n ke F m Perubahan Matriks Basis Matriks dari Transformasi Linier Perubahan Basis untuk Transformasi Linier Matriks-matriks Ekivalen
Lebih terperinciKarakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 05 A - 4 Karakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert Gunawan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Purwokerto gunoge@gmailcom
Lebih terperinciTransformasi Linear dari R n ke R m
TE0967 Teknik Numerik Sistem Linear Transformasi Linear dari R n ke R m Trihastuti gustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember OUTLINE
Lebih terperinciGrup USp(2n,C) 1. Definisi dan Parameterisasi Grup USp ( 2, C )
Grup USp(2n,C) Kevin Frankly Samuel Pardede 1 1 Institut Teknologi Bandung Definisi beserta pembuktian sifat grup USp(2n, C) akan diberikan. Untuk kasus n=1, pembuktian bahwa grup USp(2, C) adalah sebuah
Lebih terperinciMENUNJUKKAN SIFAT SIFAT AFFINITAS PERSPEKTIF DENGAN MENGGUNAKAN PROGRAM CABRI
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 MENUNJUKKAN SIFAT SIFAT AFFINITAS PERSPEKTIF DENGAN MENGGUNAKAN PROGRAM CABRI
Lebih terperinciBeberapa Sifat Ideal Bersih-N
JURNAL FOURIER Oktober 216, Vol. 5, No. 2, 61-66 ISSN 2252-763X; E-ISSN 2541-5239 Beberapa Sifat Ideal Bersih-N Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta, Sekip Utara,
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 1 / 27 Acknowledgements
Lebih terperinciAplikasi Bilangan Kompleks pada Dinamika Fluida
Aplikasi Bilangan Kompleks pada Dinamika Fluida Evita Chandra (13514034) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciHOMOMORFISMA. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
HOMOMORFISMA Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com May 19, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Homomorfisma 3 3 Sifat-sifat Homomorfisma
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh DEVI SAFITRI 10654004470 FAKULTAS
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciMateri Aljabar Linear Lanjut
Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciPEWARNAAN GRAF: POLINOMIAL KROMATIK DAN TEOREMA INVERSI MOBIUS
PEWARNAAN GRAF: POLINOMIAL KROMATIK DAN TEOREMA INVERSI MOBIUS Nurul Miftahul Jannah, Dr. Agung Lukito, M.S. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
Lebih terperinciDefinisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}.
Modul 2 RELASI A. Pendahuluan Definisi 1. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A x B = {(a, b) a A dan b B}. Apabila (a, b) R, maka a dihubungkan dengan b oleh relasi R, ditulis
Lebih terperinciMA Analisis dan Aljabar Teori=4 Praktikum=0 II (angka. 17 Juli
INSTITUT TEKNOLOGI KALIMANTAN JURUSAN MATEMATIKA DAN TEKNOLOGI INFORMASI PROGRAM STUDI MATEMATIKA SILABUS MATA KULIAH KODE Rumpun MK BOBOT (sks) SEMESTER Tgl Penyusunan Aljabar Linear ELementer MA Analisis
Lebih terperinciCATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS. oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si.
ATATAN KULIAH FUNGSI KOMPLEKS oleh Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM 2014 Daftar Isi 1 Bilangan Kompleks
Lebih terperinciBab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Lebih terperinciProtokol Perjanjian Kunci Berdasarkan Masalah Konjugasi Pada Matriks Atas Lapangan Hingga
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Protokol Perjanjian Kunci Berdasarkan Masalah Konjugasi Pada Matriks Atas Lapangan Hingga Agustin Rahayuningsih, M.Zaki Riyanto Jurusan Matematika,
Lebih terperinciOPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 05, No. 1 (2016), hal 9-18 OPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL Dodi Arianto, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciTOPOLOGI RUANG LINEAR
TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Jalan KHA. Dahlan 3 Purworejo e-mail: kurniasih.nila@yahoo.co.id Abstrak Tulisan ini bertujuan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciJurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 5 No.1 Juni 2011: TES FORMAL MODUL PROJEKTIF DAN MODUL BEBAS ATAS RING OPERATOR DIFERENSIAL
Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol 5 No Juni 0: 43-5 TES FORMAL MOUL PROJEKTIF AN MOUL BEBAS ATAS RING OPERATOR IFERENSIAL Na imah Hijriati Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl
Lebih terperinciIsomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil
Vol. 1, No. 1, 1-8, Juli 015 Isomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil Amir Kamal Amir 1 Abstrak Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan identitas 1, adalah suatu
Lebih terperinciBAB II METODE KEKAKUAN
BAB II METODE KEKAKUAN.. Pendahuluan Dalam pertemuan ini anda akan mempelajari pengertian metode kekakuan, rumus umum dan derajat ketidak tentuan kinematis atau Degree Of Freedom (DOF). Dengan mengetahui
Lebih terperinciHimpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit
Lebih terperinci