2. Menentukan model nonlinier jerapan P yang paling baik. PENDAHULUAN

Transkripsi

1 PENDAHULUAN Latar Belakang Fofor (P) merupakan unur hara pentng dalam tanah. Keteredaan P bag tanaman erng bermaalah, bentuk fofor yang tereda atau umlah yang dapat dambl oleh tanaman hanya ebagan kecl dar umlah yang ada ddalam tanah. Fofor yang terlarut hal dekompo mneral prmer dan umber fofor lannya epert pupuk angat mudah bereak dengan komponen tanah lannya membentuk fofor terkat (bentuk enyawa dan adorp) yang ukar dambl tanaman. Keteredaan fofor bag tanaman dapat dketahu dengan melhat kapata erapan tanah. Cara yang umum dgunakan untuk menduga kapata erapan tanah adalah mengukur umlah P derap oleh tanah pada penambahan P berbeda dan menyuun oterm erapan P (Makur 8). Model yang erng dgunakan antara umlah P yang dtambahkan dengan P yang derap tanah adalah model nonlner Langmur dan Freundlch. Model nonlner Langmur dan Freundlch merupakan model nonlner yang ecara ntrnk lner (ntrncally lnear) yatu model nonlner yang dapat dtranforma menad model lner. Kond terebut menunukkan bahwa pendugaan parameter model dapat dlakukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecl lner. Namun tranforma model nonlner menmbulkan beberapa permaalahan dantaranya aan menad tdak normal, ragam pada data tranforma arang ama dan hubungan antara peubah ba berubah. Hal n mengakbatkan aum-aum dalam metode kuadrat terkecl lner ad tdak terpenuh. Alternatf lan yang dgunakan untuk menduga parameter model nonlner Langmur dan Freundlch yatu dengan menggunakan metode kuadrat terkecl nonlner. Proedur n dlakukan ecara teratf ampa ddapatkan parameter yang konvergen. Salah atu proedur yang erng dgunakan dalam metode kuadrat terkecl nonlner yatu proedur Marquardt- Levenberg yang merupakan pengembangan dar proedur Gau-Newton. Tuuan Tuuan dar peneltan n adalah:. Membandngkan metode kuadrat terkecl lner dengan metode kuadrat terkecl nonlner Marquardt-Levenberg pada model nonlner erapan P.. Menentukan model nonlner erapan P yang palng bak. TINJAUAN PUSTAKA Model Lner Model lner merupakan bentuk hubungan antara peubah repon dengan peubah penela. Makud dar model lner dn yatu lner dalam parameter. Secara umum model lner dtul ebaga berkut: y X dengan : y = vektor peubah repon berordo nx X = matrx peubah penela berordo nxp β = vektor parameter berordo px ε = vektor aan berordo nx ε daumkan alng beba dan menyebar normal dengan nla tengah nol dan ragam σ. Metode Kuadrat Terkecl Lner Metode kuadrat terkecl lner (MKT lner) merupakan metode pendugaan parameter yang dlakukan dengan cara memnmumkan: SSE y X Jumlah kuadrat aan dmnmumkan dengan harapan ddapatkan pengepaan model terbak. Penduga kuadrat terkecl dperoleh dengan cara: y X y X ehngga ddapat: X Y X X. Peramaan kuadrat terkecl normal ecara umum dtulkan ebaga berkut: X X X Y. Jka matrk X berpangkat penuh, maka: X X X Y. Model Nonlner Model nonlner merupakan bentuk hubungan antara peubah repon dengan peubah penela yang tdak lner dalam parameter. Model nonlner ada dua yatu model yang ecara ntrnk lner (ntrncally lnear) dan model yang ecara ntrnk nonlner (ntrncally nonlnear). Model yang ecara ntrnk lner yatu model nonlner yang dapat dtranforma menad bentuk lner edangkan model yang ecara ntrnk nonlner yatu model yang tdak ba dtranforma menad bentuk lner (Draper

2 & Smth 98). Secara umum model nonlner dtul ebaga berkut: y f x, (,,..., n) f(.) = fung nonlner y = pengamatan ke- x = peubah penela pada pengamatan ke- β = parameter ε = aan ke- ε daumkan alng beba dan menyebar normal dengan nla tengah nol dan ragam σ. Metode Kuadrat Terkecl Nonlner Metode kuadrat terkecl nonlner (MKT nonlner) merupakan pendugaan parameter yang dlakukan dengan cara memnmumkan: n SSE y f,. x Dalam model nonlner, untuk mendapatkan nla dugaan kuadrat terkecl hanya ba deleakan melalu proe tera. Salah atu proedur yang erng dgunakan dalam MKT nonlner adalah proedur Gau-Newton. Proedur n memerlukan nla awal untuk menduga parameter. Malkan,,,,..., p, adalah vektor nla dugaan awal. Model nonlner y f x, durakan menad deret Taylor d ektar dan hanya mempertahankan bentuk lner. Sehngga: f x ~, f x, f x,,... f x, p p, p ( =,,..., n). Peramaan data dapat dnyatakan dalam bentuk model lner yatu ebaga berkut: f x ~, f x, w w... pwp,,..., n dmana f x, w adalah turunan dar fung nonlner terhadap parameter ke- pada emua nla awal dan. S kr peramaan () ebaga, aan y f ( x, ) dmana parameter dgant oleh nla awal. Pada model lner w berperan ebaga peubah penela dan γ berperan ebaga koefen model lner. Halnya proedur Gau-Newton mempunya truktur regre lner: y ~ f x, w w... pw p,,..., n. Nla dugaan dar etap parameter dcar dengan melakukan proe teratf berkut:. Duga,,..., dalam model () p dengan menggunakan metode kuadrat terkecl lner. Penduga dar tera pertama dnyatakan ebaga,,...,,, p,... Htung,, (=,,...,p).,,,,,..., p adalah nla dugaan tera, pertama. 3. Nla dar langkah menad nla awal model (). 4. Kembal ke langkah, kemudan htung,,..., dan,,...,.,, p,,, p, 5. Lakukan teru proe n ampa konvergen. Konvergen tercapa apabla dalam tera, umlah kuadrat aan dan penduga parameter tdak lag berubah nlanya. Pada etap tera, merupakan kenakan yang dtambahkan kepada penduga dar tera ebelumnya epert dalam langkah. Vektor penduga pada tera ke terkat dengan tera ke -, ecara formal dapat dnyatakan ebaga berkut : W W W y f dmana W - adalah matrk nxp dengan unur (,) adalah f x, dan y f adalah vektor aan dar fung, dalam hal n vektor berdmen n mengandung 3 f yang dperka pada (Myer 99). Menurut Draper & Smth, proedur Gau- Newton memlk kelemahan untuk maalahmaalah tertentu yatu:. Proe kekonvergenannya mungkn beralan angat lambat, dengan kata lan dbutuhkan langkah tera yang angat banyak ebelum olunya tabl, mekpun umlah kuadrat aan teru turun.. Adakalanya olunya berola, teru bergant-gant arah, dan erng menakturunkan umlah kuadrat aan terebut walau pada akhrnya olunya mencapa ketablan. 3. Dapat pula terad proe tera tu tdak konvergen ama ekal atau bahkan dvergen ehngga umlah kuadrat aan tu nak teru tanpa bata.

3 3 Proedur Marquardt-Levenberg Proedur Marquardt-Levenberg (ML) merupakan pengembangan proedur Gau- Newton yang dgunakan untuk menghtung vektor perubahan kenakan. Struktur dar vektor kenakan untuk tera ke- adalah olu terhadap peramaan: W W I W y f 4 p dengan nla λ lebh dar nol. Marquardt menyatakan bahwa λ dapat memperbak kekonvergenan (Myer 99). Nla λ dapat menangan tua ketka pangkat matrk W tak penuh dan matrk W W menad ngular (Lourak 5). Pemlhan λ dalam proedur ML deuakan pada mang-mang tera untuk meyaknkan pengurangan aan. Jka nla λ dmula dengan nla bear, proedur ML mengubah langkah dekat arah turunan tercuram. Jka nla λ kecl, proedur ML mendekat proedur Gau-Newton. Nla λ dkendalkan dengan cara dnakkan atau dturunkan ka atu tahap gagal untuk mengurang aan. Dengan cara n proedur ML mampu untuk menyeuakan dr dengan cara mendekat turunan tercuram ketka auh dar aan yang mnmum dan cepat konvergen ketka d ektar aan yang mnmum (Lourak 5). Model Nonlner Langmur dan Freundlch Model nonlner Langmur dan Freundlch erng dgunakan pada data oterm erapan. Secara umum bentuk peramaan nonlner Langmur dtul ebaga berkut: Q = βκ C/(+ κc) Q = P erap tanah (mg/kg) C = koentra P dalam larutan keembangan (mg/l) β = parameter erapan makmum (mg/kg) κ = parameter energ katan (L/kg) dan bentuk peramaan nonlner Freundlch: Q = βc κ dengan Q, C, β, dan κ mempunya art yang ama dengan peramaan Langmur (Houng & Lee 998). Model nonlner Langmur dan Freundlch merupakan model nonlner yang ecara ntrnk lner. Bentuk peramaan lner Langmur dtul ebaga berkut: C/Q = /βκ + C/β C/Q = peubah repon C = peubah penela /βκ = ntercept /β = lope dan bentuk peramaan lner Freundlch: log Q = log β + κ log C log Q = peubah repon log C = peubah penela log β = ntercept κ = lope (Borlng et al. ). Penguan Aum Kehomogenan ragam aan Aum kehomogenan ragam memlk peran yang angat pentng dalam pendugaan parameter dengan metode kuadrat terkecl. Konekuen dar ketdakhomogenan ragam mengakbatkan beberapa pengamatan mengandung nforma yang lebh, pengamatan terebut eharunya mendapatkan bobot yang lebh bear dbandngkan pengamatan yang lan. Hal terebut akan mengakbatkan pre atau kecermatan dar penduga metode kuadrat terkecl menad lebh kecl (Rawlng et al. 998). Kehomogenan ragam aan ddetek ecara ekplora dengan melhat plot antara aan dengan nla dugaan. Kebebaan Saan Saan alng beba apabla antar aan tdak alng berkorela atau korelanya hampr mendekat nol. Saan yang alng berkorela mengakbatkan berkurangnya pre penduga metode kuadrat terkecl, ama dengan pengaruh dar ketdakhomogenan ragam (Rawlng et al. 998). Kebebaan aan dapat ddetek ecara ekplora dan u formal. Secara ekplora dapat dlhat dar plot aan dengan urutan aan terebut. U formal untuk mendetek kebebaan aan yatu U Runtunan. Hpote yang d u: H : Saan alng beba H : Saan tdak alng beba. Stattk unya alah u yatu umlah runtunan nn, n n nn ( nn n n ) ( n n ) ( n n ), µ dan σ merupakan nla tengah dan ragam bag ebaran u yang dkret. ( u ) z. Nla z merupakan uatu mpangan normal. n : umlah amatan tpe atu : umlah amatan tpe lannya. n

4 4 Saan alng beba pada taraf nyata α ka nla-p pada tabel u runtunan lebh bear dar taraf nyata α untuk tattk u u, n, dan n (Draper & Smth 98). Kenormalan Saan Aum bahwa aan menyebar normal tdak terlalu pentng dalam pendugaan parameter dan pemahan total keragaman. Kenormalan hanya dperlukan pada waktu penguan hpote dan penyuunan elang kepercayaan bag parameter (Rawlng et al. 998). Kenormalan aan dapat ddetek ecara ekplora dan u formal. Secara ekplora dapat dlhat dar plot peluang kenormalan aan. U formal untuk mendetek kenormalan aan yatu U Kolmogorov-Smrnov. Hpote yang d u: H : Saan menyebar normal H : Saan tdak menyebar normal. Stattk u yang dgunakan : D up S( x) F ( x) x S(x) : ebaran kumulatf contoh F (x): ebaran kumulatf normal. Saan menyebar normal pada taraf nyata α ka nla D < D (- α, n) pada tabel nla krt u Kolmogorov-Smrnov atau nla-p lebh bear darpada taraf nyata(danel 99). Koefen Determna (R ) Koefen determna merupakan ukuran keragaman peubah repon yang mampu dterangkan oleh model. Formula dar tattk n adalah: JKR R JKT R = koefen determna JKR = umlah kuadrat regre JKT = umlah kuadrat total. Semakn bear R uatu model maka emakn terandalkan model terebut. Akake Informaton Crteron (AIC) AIC dgunakan untuk membandngkan model dalam metode pendugaan komponen ragam. Peramaannya adalah: SSE AIC n ln p n AIC = Akake Informaton Crteron SSE = umlah kuadrat aan n = banyaknya data p = banyaknya parameter. Model dengan nla AIC terkecl dplh ebaga model terbak. Mean Abolute Percent Error (MAPE) MAPE dgunakan untuk menentukan model yang palng eua atau efen untuk mang-mang pendekatan. Peramaannya adalah: n y y MAPE n y MAPE = Mean Abolute Percent Error y = nla amatan ŷ = nla dugaan n = banyaknya data. Nla MAPE yang kecl menunukkan model lebh bak. Root Mean Square Error (RMSE) RMSE dgunakan untuk memperoleh gambaran keeluruhan tandar deva yang muncul aat menunukkan perbedaan antar kelompok atau hubungan yang dmlk. Secara umum drumukan ebaga berkut: RMSE SSE n p RMSE = Root Mean Square Error SSE = umlah kuadrat aan n = banyaknya data p = banyaknya parameter. Nla RMSE yang bear menunukkan model terebut kurang bak dan nla RMSE yang kecl menunukkan model terebut bak. Korela Korela merupakan nla yang menunukkan keeratan hubungan lner antara dua peubah (Draper & Smth 98). Nla korela yang dcar dalam peneltan n yatu hubungan antara nla amatan dan nla dugaan. Secara umum drumukan ebaga berkut: ( x x)( y y) r ( x x) ( y y) r = koefen korela x = nla amatan ke- y = nla dugaan ke- x = rata-rata nla amatan y = rata-rata nla dugaan. Nla korela berkar antara - dan. Hubungan lner antara nla amatan dengan nla dugaan akan emakn erat ka nla korela mendekat atau -. Sedangkan nla

5 5 korela yang mendekat menggambarkan hubungan lner lemah. BAHAN DAN METODE Bahan Peneltan n menggunakan data oterm erapan P pada tanah mekttk dan kaolntk. Tanah mekttk yang dgunakan beraal dar tga loka d Jawa Tmur yatu Demangan, Trtobnangun, dan Kedungreo. Sedangkan tanah kaolntk yang dgunakan beraal dar tga loka d Lampung yatu Purworeo, Purworeo dan Smbarwarngn. P yang derap tanah ebaga peubah repon dan umlah P dalam larutan keembangan ebaga peubah penela pada model nonlner. Pengamblan data dlakukan dengan cara ampel tanah lapan ata (- cm) dambl dar loka percobaan lapangan. Sampel tanah dkerng-udarakan, dhalukan dan dayak dengan arngan mm. Sampel tanah pada mang-mang loka dupenkan ke dalam ml meda. M CaCL. Inkuba dlakukan elama 6 har ambl dkocok x3 ment/har (pag dan ang). Setelah ekulbra elea, upen dentrfu untuk mendapatkan caran ernh. Kadar P dalam upernatan dukur dengan menggunakan pektrofotometer. Perbedaan antara umlah P yang tnggal dalam larutan dengan umlah P yang dberkan adalah umlah P yang derap oleh tanah. Konentra P yang dtambahkan pada mang-mang tanah adalah ebaga berkut: Tabel Penambahan konentra P (ppm) Tanah Smekttk Tanah Kaolntk Metode Langkah-langkah yang dlakukan dalam peneltan n adalah:. Melakukan pendugaan parameter model nonlner Langmur dan Freundlch pada mang-mang loka tanah mekttk dan kaolntk dengan menggunakan MKT lner dan MKT nonlner ML.. Mencar ndkator pemlhan model terbak dar model nonlner Langmur dan Freundlch. Indkator pemlhan model terbak yang dgunakan yatu nla AIC, MAPE dan RMSE erta nla korela antara nla amatan dengan nla dugaan. 3. Membandngkan nla ndkator pemlhan model terbak. 4. Menentukan model nonlner erapan P yang palng bak. Tahap-tahap yang dlakukan dalam pendugaan parameter MKT lner adalah:. Tranforma data P yang derap tanah dan konentra P dalam larutan keembangan ehngga ddapatkan data peubah repon dan peubah penela pada model lner Langmur dan Freundlch.. Membuat plot antara peubah repon dengan peubah penela model lner Langmur dan Freundlch. 3. Mencar peramaan lner Langmur dan Freundlch. 4. Melakukan pemerkaan aum. 5. Tranforma balk nla dugaan ntercept dan lope pada model lner Langmur dan Freundlch untuk mendapatkan nla dugaan parameter pada model nonlner Langmur dan Freundlch. Tahap-tahap yang dlakukan dalam pendugaan parameter MKT nonlner ML adalah:. Menentukan nla dugaan awal pada mang-mang parameter. Nla dugaan awal yang dcoba ama yatu.,.,.5,, 5, dan.. Menentukan nla λ. Nla awal λ yang dtetapkan yatu -7, untuk tera elanutnya ka nla SSE + < SSE maka λ=λ/ dan ka nla SSE + > SSE maka λ=λ. 3. Menentukan nla dugaan parameter akhr dar hal tera yang udah konvergen. 4. Melakukan pemerkaan aum. Software yang dgunakan dalam peneltan n adalah Software tattka dan Mcrooft Excel 7. HASIL DAN PEMBAHASAN Peramaan Lner Langmur dan Freundlch Model lner hal tranforma dperka dengan melhat plot pencaran antara peubah repon dengan peubah penela. Plot pencaran model lner Langmur hal tranforma data oterm erapan P dapat dlhat pada Lampran