PENDUGAAN PARAMETER MODEL NONLINIER JERAPAN FOSFOR MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINEAR DAN NONLINIER MARQUARDT-LEVENBERG NUNUNG NURJANAH

Transkripsi

1 PENDUGAAN PARAMETER MODEL NONLINIER JERAPAN FOSFOR MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINEAR DAN NONLINIER MARQUARDT-LEVENBERG NUNUNG NURJANAH DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 9

2 RINGKASAN NUNUNG NURJANAH. Pendugaan Parameter Model Nonlinier Jerapan Fosfor Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil Linier dan Nonlinier Marquardt-Levenberg. Dibimbing oleh MOHAMMAD MASJKUR dan FARIT MOCHAMAD AFENDI. Ketersediaan fosfor (P) bagi tanaman sering bermasalah, bentuk fosfor yang tersedia dalam tanah sangat mudah bereaksi dengan komponen tanah lainnya membentuk fosfor terikat sehingga diperlukan pendugaan kapasitas jerapan tanah. Secara umum model yang digunakan antara jumlah P yang ditambahkan dengan P yang dijerap tanah adalah model nonlinier Langmuir dan Freundlich. Pendugaan parameter kedua model nonlinier tersebut dapat menggunakan metode kuadrat terkecil linier dengan transformasi linier terhadap model nonlinier dan menggunakan metode kuadrat terkecil nonlinier Marquardt-Levenberg. Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan metode kuadrat terkecil linier dengan metode kuadrat terkecil nonlinier Marquardt-Levenberg dan menentukan model jerapan P yang paling baik. Data yang digunakan yaitu data isoterm jerapan P pada tanah smektitik dan kaolinitik, masing-masing sebanyak tiga lokasi. Hasil pendugaan parameter menggunakan metode kuadrat terkecil linier dan nonlinier Marquardt-Levenberg masih belum memenuhi asumsi. Namun metode kuadrat terkecil nonlinier Marquardt-Levenberg lebih baik dibanding dengan metode kuadrat terkecil linier. Nilai jumlah kuadrat sisaan dari persamaan nonlinier Langmuir dan Freundlich yang dihasilkan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil nonlinier Marquardt-Levenberg lebih kecil. Model nonlinier yang lebih baik untuk jerapan P pada masing-masing lokasi tanah smektitik dan kaolinitik adalah model nonlinier Langmuir. Nilai MAPE, AIC dan RMSE pada persamaan nonlinier Langmuir lebih kecil dibanding persamaan nonlinier Freundlich, serta nilai korelasi antara nilai amatan dengan nilai dugaannya lebih besar. Kata kunci: metode kuadrat terkecil nonlinier, prosedur Marquardt-Levenberg, model nonlinier Langmuir, model nonlinier Freundlich

3 PENDUGAAN PARAMETER MODEL NONLINIER JERAPAN FOSFOR MENGGUNAKAN METODE KUADRAT TERKECIL LINIER DAN NONLINIER MARQUARDT-LEVENBERG NUNUNG NURJANAH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 9

4 Judul : Pendugaan Parameter Model Nonlinier Jerapan Fosfor Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil Linier dan Nonlinier Marquardt-Levenberg Nama : Nunung Nurjanah NRP : G444 Menyetujui : Pembimbing I, Pembimbing II, Ir. Mohammad Masjkur, M.S Farit Mochamad Afendi, S.Si., M.Si NIP NIP Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Dr. Drh. Hasim, DEA NIP Tanggal Lulus :

5 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tasikmalaya pada tanggal Agustus 986 dari pasangan Bapak Dindin Jaenudin dan Ibu Sadiah. Penulis merupakan putra ketiga dari lima bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan dasar di SD Negeri Cilingga tahun 9, kemudian menyelesaikan pendidikan menengahnya di SLTP Negeri Tasikmalaya dan SMU Negeri Tasikmalaya masing-masing pada tahun dan. Pada tahun penulis diterima sebagai mahasiswa di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Pada tahun 6, penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB dengan Minor Ekonomi dan Studi Pembangunan. Penulis pernah menjadi asisten dosen Mata Kuliah Metode Statistika pada tahun 7, Mata Kuliah Rancangan Percobaan dan Analisis Regresi I pada tahun 8. Selain itu penulis aktif di beberapa kegiatan yang diselenggarakan Himpunan Profesi Mahasiswa Gamma Sigma Beta dan menjadi anggota Serum-G. Pada bulan Februari-April 9 penulis mengikuti kegiatan Praktik Lapang di Badan Meteorologi, Klimatologi dan Geofisika (BMKG), Jakarta.

6 i PRAKATA Alhamdulillah, segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas rahmat, karunia dan nikmatny-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada Rasulullah SAW, keluarga, sahabat, dan umatnya hingga akhir zaman. Karya ilmiah ini berjudul Pendugaan Parameter Model Nonlinier Jerapan Fosfor Menggunakan Metode Kuadrat Terkecil Linier dan Nonlinier Marquardt-Levenberg. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Ir. Mohammad Masjkur, M.S dan Farit Mochamad Afendi, S.Si, M.Si selaku pembimbing yang memberikan arahan, saran dan bimbingan kepada penulis. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada semua Keluarga (Mama, Papa, Bubung, Nanang, Cucu dan Akmal) yang selalu mendoakan, memberi dukungan dan menjadi penyemangat penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada dosen-dosen atas semua ilmu yang diberikan dan kepada semua staff Departemen Statistika IPB atas bantuannya. Terakhir penulis ucapkan terima kasih kepada Melisa, Dini, Arie, Miu, Viar, Pritha, Gocenk, Icha, Embi, Tri, Saeli dan Dauz serta teman-teman statistika 4 atas persahabatan, kebersamaan, dukungan, semangat, dan pengalaman hidup yang menyenangkan. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini masih banyak kekurangan. Mudah-mudahan tulisan ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Bogor, Agustus 9 Penulis

7 ii DAFTAR ISI Halaman PRAKATA... i DAFTAR ISI... ii DAFTAR TABEL... iii DAFTAR LAMPIRAN... iv PENDAHULUAN... Latar Belakang... Tujuan... TINJAUAN PUSTAKA... Model Linier... Metode Kuadrat Terkecil Linier... Model Nonlinier... Metode Kuadrat Terkecil Nonlinier... Prosedur Marquardt-Levenberg... Model Nonlinier Langmuir dan Freundlich... Pengujian Asumsi... Kehomogenan ragam sisaan... Kebebasan sisaan... Kenormalan sisaan... 4 Koefisien Determinasi (R )... 4 Akaike s Information Criterion (AIC)... 4 Mean Absolute Error (MAPE)... 4 Root Mean Square Error (RMSE)... 4 Korelasi... 4 BAHAN DAN METODE... Bahan... Metode... HASIL DAN PEMBAHASAN... Persamaan Linier Langmuir dan Freundlich... Pendugaan Parameter MKT Linier... 7 Pendugaan Parameter MKT Nonlinier ML... 8 Perbandingan MKT Liner dengan MKT Nonlinier ML... Pemilihan Model Terbaik... KESIMPULAN... DAFTAR PUSTAKA... LAMPIRAN...

8 iii DAFTAR TABEL Halaman. Penambahan konsentrasi P (ppm).... Hasil Uji Runtunan sisaan persamaan linier Langmuir Hasil Uji Runtunan sisaan persamaan linier Freundlich Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov sisaan persamaan linier Langmuir Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov sisaan persamaan linier Freundlich Nilai dugaan parameter model nonlinier Langmuir menggunakan MKT linier Nilai dugaan parameter model nonlinier Freundlich menggunakan MKT linier Nilai dugaan parameter model nonlinier Langmuir menggunakan MKT nonlinier ML Nilai dugaan parameter model nonlinier Freundlich menggunakan MKT nonlinier ML Hasil Uji Runtunan sisaan persamaan nonlinier Langmuir Hasil Uji Runtunan sisaan persamaan nonlinier Freundlich Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov sisaan persamaan nonlinier Langmuir.... Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov sisaan persamaan nonlinier Freundlich...

9 iv DAFTAR LAMPIRAN Halaman. Plot pencaran antara peubah respon dengan peubah penjelas model linier Langmuir.... Plot pencaran antara peubah respon dengan peubah penjelas model linier Freundlich.... Persamaan linier Langmuir dan Freundlich Plot sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan linier Langmuir.... Plot sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan linier Freundlich Plot sisaan dengan urutan sisaan persamaan linier Langmuir Plot sisaan dengan urutan sisaan persamaan linier Freundlich Plot peluang kenormalan sisaan persamaan linier Langmuir Plot peluang kenormalan sisaan persamaan linier Freundlich.... Plot sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan nonlinier Langmuir.... Plot sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan nonlinier Freundlich.... Plot sisaan dengan urutan sisaan persamaan nonlinier Langmuir.... Plot sisaan dengan urutan sisaan persamaan nonlinier Freundlich Plot peluang kenormalan sisaan persamaan nonlinier Langmuir.... Plot peluang kenormalan sisaan persamaan nonlinier Freundlich Asumsi MKT linier yang tidak terpenuhi Asumsi MKT nonlinier ML yang tidak terpenuhi Jumlah kuadrat sisaan hasil pendugaan parameter MKT linier dan MKT nonlinier ML Nilai indikator pemilihan model terbaik Plot nilai amatan dengan nilai dugaan model nonlinier Langmuir dan Freundlich... 9

10 PENDAHULUAN Latar Belakang Fosfor (P) merupakan unsur hara penting dalam tanah. Ketersediaan P bagi tanaman sering bermasalah, bentuk fosfor yang tersedia atau jumlah yang dapat diambil oleh tanaman hanya sebagian kecil dari jumlah yang ada didalam tanah. Fosfor yang terlarut hasil dekomposisi mineral primer dan sumber fosfor lainnya seperti pupuk sangat mudah bereaksi dengan komponen tanah lainnya membentuk fosfor terikat (bentuk senyawa dan adsorpsi) yang sukar diambil tanaman. Ketersediaan fosfor bagi tanaman dapat diketahui dengan melihat kapasitas jerapan tanah. Cara yang umum digunakan untuk menduga kapasitas jerapan tanah adalah mengukur jumlah P dijerap oleh tanah pada penambahan P berbeda dan menyusun isoterm jerapan P (Masjkur 8). Model yang sering digunakan antara jumlah P yang ditambahkan dengan P yang dijerap tanah adalah model nonlinier Langmuir dan Freundlich. Model nonlinier Langmuir dan Freundlich merupakan model nonlinier yang secara intrinsik linier (intrinsically linear) yaitu model nonlinier yang dapat ditransformasi menjadi model linier. Kondisi tersebut menunjukkan bahwa pendugaan parameter model dapat dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil linier. Namun transformasi model nonlinier menimbulkan beberapa permasalahan diantaranya sisaan menjadi tidak normal, ragam pada data transformasi jarang sama dan hubungan antara peubah bisa berubah. Hal ini mengakibatkan asumsi-asumsi dalam metode kuadrat terkecil linier jadi tidak terpenuhi. Alternatif lain yang digunakan untuk menduga parameter model nonlinier Langmuir dan Freundlich yaitu dengan menggunakan metode kuadrat terkecil nonlinier. Prosedur ini dilakukan secara iteratif sampai didapatkan parameter yang konvergen. Salah satu prosedur yang sering digunakan dalam metode kuadrat terkecil nonlinier yaitu prosedur Marquardt- Levenberg yang merupakan pengembangan dari prosedur Gauss-Newton. Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah:. Membandingkan metode kuadrat terkecil linier dengan metode kuadrat terkecil nonlinier Marquardt-Levenberg pada model nonlinier jerapan P.. Menentukan model nonlinier jerapan P yang paling baik. TINJAUAN PUSTAKA Model Linier Model linier merupakan bentuk hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas. Maksud dari model linier disini yaitu linier dalam parameter. Secara umum model linier ditulis sebagai berikut: y X dengan : y = vektor peubah respon berordo nx X = matrix peubah penjelas berordo nxp β = vektor parameter berordo px ε = vektor sisaan berordo nx ε diasumsikan saling bebas dan menyebar normal dengan nilai tengah nol dan ragam σ. Metode Kuadrat Terkecil Linier Metode kuadrat terkecil linier (MKT linier) merupakan metode pendugaan parameter yang dilakukan dengan cara meminimumkan: SSE ' dengan: y X Jumlah kuadrat sisaan diminimumkan dengan harapan didapatkan pengepasan model terbaik. Penduga kuadrat terkecil diperoleh dengan cara: y X ' y X ˆ sehingga didapat: X' Y X' X ˆ. Persamaan kuadrat terkecil normal secara umum dituliskan sebagai berikut: X ' X ˆ X ' Y. Jika matriks X berpangkat penuh, maka: ˆ X ' X X ' Y. Model Nonlinier Model nonlinier merupakan bentuk hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas yang tidak linier dalam parameter. Model nonlinier ada dua yaitu model yang secara intrinsik linier (intrinsically linear) dan model yang secara intrinsik nonlinier (intrinsically nonlinear). Model yang secara intrinsik linier yaitu model nonlinier yang dapat ditransformasi menjadi bentuk linier sedangkan model yang secara intrinsik nonlinier yaitu model yang tidak bisa ditransformasi menjadi bentuk linier (Draper

11 & Smith 98). Secara umum model nonlinier ditulis sebagai berikut: yi f xi, i ( i,,..., n) dengan: f(.) = fungsi nonlinier y i = pengamatan ke-i x i = peubah penjelas pada pengamatan ke-i β = parameter ε i = sisaan ke-i ε i diasumsikan saling bebas dan menyebar normal dengan nilai tengah nol dan ragam σ. Metode Kuadrat Terkecil Nonlinier Metode kuadrat terkecil nonlinier (MKT nonlinier) merupakan pendugaan parameter yang dilakukan dengan cara meminimumkan: n SSE y f, ˆ i. i x i Dalam model nonlinier, untuk mendapatkan nilai dugaan kuadrat terkecil hanya bisa diselesaikan melalui proses iterasi. Salah satu prosedur yang sering digunakan dalam MKT nonlinier adalah prosedur Gauss-Newton. Prosedur ini memerlukan nilai awal untuk menduga parameter. Misalkan ',,,,..., p, adalah vektor nilai dugaan awal. Model nonlinier yi f x i, diuraikan menjadi deret i Taylor di sekitar dan hanya mempertahankan bentuk linier. Sehingga: f x ~ i, f x i, f x i,,... f x, i p p, p (i =,,..., n). Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk model linier yaitu sebagai berikut: f x ~ i, f xi, w i w i... pwpi i,,..., n dimana f x, i w adalah ji j turunan dari fungsi nonlinier terhadap parameter ke-j pada semua nilai awal dan. Sisi kiri persamaan () sebagai j j j, sisaan yi f ( x i, ) dimana parameter diganti oleh nilai awal. Pada model linier w ji berperan sebagai peubah penjelas dan γ j berperan sebagai koefisien model linier. Hasilnya prosedur Gauss-Newton mempunyai struktur regresi linier: y ~ i f xi, wi wi... pw pi i,,..., n. Nilai dugaan dari setiap parameter dicari dengan melakukan proses iteratif berikut:. Duga,,..., dalam model () p dengan menggunakan metode kuadrat terkecil linier. Penduga dari iterasi pertama dinyatakan sebagai ˆ, ˆ,..., ˆ,, p,... Hitung ˆ ˆ j, j, (j=,,...,p). j, ˆ ˆ,, ˆ,,..., p adalah nilai dugaan iterasi, pertama.. Nilai ˆ dari langkah menjadi nilai awal model (). 4. Kembali ke langkah, kemudian hitung ˆ, ˆ,..., dan ˆ, ˆ,..., ˆ. ˆ,, p,,, p,. Lakukan terus proses ini sampai konvergen. Konvergen tercapai apabila dalam s iterasi, jumlah kuadrat sisaan dan penduga parameter tidak lagi berubah nilainya. Pada setiap iterasi, ˆ j merupakan kenaikan yang ditambahkan kepada penduga dari iterasi sebelumnya seperti dalam langkah. Vektor penduga pada iterasi ke s terkait dengan iterasi ke s-, secara formal dapat dinyatakan sebagai berikut : ' ˆ ˆ ' W W W y f ˆ s s s s s s ˆ s ˆ s dimana W s- adalah matriks nxp dengan unsur (i,j) adalah f x i, dan j ˆ s s y f adalah vektor sisaan dari fungsi, dalam hal ini vektor berdimensi n mengandung ˆ s ˆ s f yang diperiksa pada (Myers ). Menurut Draper & Smith, prosedur Gauss- Newton memiliki kelemahan untuk masalahmasalah tertentu yaitu:. Proses kekonvergenannya mungkin berjalan sangat lambat, dengan kata lain dibutuhkan langkah iterasi yang sangat banyak sebelum solusinya stabil, meskipun jumlah kuadrat sisaan terus turun.. Adakalanya solusinya berosilasi, terus berganti-ganti arah, dan sering menaikturunkan jumlah kuadrat sisaan tersebut walau pada akhirnya solusinya mencapai kestabilan.. Dapat pula terjadi proses iterasi itu tidak konvergen sama sekali atau bahkan divergen sehingga jumlah kuadrat sisaan itu naik terus tanpa batas.

12 Prosedur Marquardt-Levenberg Prosedur Marquardt-Levenberg (ML) merupakan pengembangan prosedur Gauss- Newton yang digunakan untuk menghitung vektor perubahan kenaikan. Struktur dari vektor kenaikan untuk iterasi ke-s adalah solusi ˆ s terhadap persamaan: ' ' W W I ˆ W y f ˆ 4 s s p s s dengan nilai λ lebih dari nol. Marquardt menyatakan bahwa λ dapat memperbaiki kekonvergenan (Myers ). Nilai λ dapat menangani situasi ketika pangkat matriks W tak penuh dan matriks W W menjadi singular (Lourakis ). Pemilihan λ dalam prosedur ML disesuaikan pada masing-masing iterasi untuk meyakinkan pengurangan sisaan. Jika nilai λ dimulai dengan nilai besar, prosedur ML mengubah langkah ˆ dekat arah turunan tercuram. Jika nilai λ kecil, prosedur ML mendekati prosedur Gauss-Newton. Nilai λ dikendalikan dengan cara dinaikkan atau diturunkan jika satu tahap gagal untuk mengurangi sisaan. Dengan cara ini prosedur ML mampu untuk menyesuaikan diri dengan cara mendekati turunan tercuram ketika jauh dari sisaan yang minimum dan cepat konvergen ketika di sekitar sisaan yang minimum (Lourakis ). Model Nonlinier Langmuir dan Freundlich Model nonlinier Langmuir dan Freundlich sering digunakan pada data isoterm jerapan. Secara umum bentuk persamaan nonlinier Langmuir ditulis sebagai berikut: Q = βκ C/(+ κc) dengan: Q = P jerap tanah (mg/kg) C = kosentrasi P dalam larutan keseimbangan (mg/l) β = parameter jerapan maksimum (mg/kg) κ = parameter energi ikatan (L/kg) dan bentuk persamaan nonlinier Freundlich: Q = βc κ dengan Q, C, β, dan κ mempunyai arti yang sama dengan persamaan Langmuir (Houng & Lee 8). Model nonlinier Langmuir dan Freundlich merupakan model nonlinier yang secara intrinsik linier. Bentuk persamaan linier Langmuir ditulis sebagai berikut: C/Q = /βκ + C/β dengan: C/Q = peubah respon C = peubah penjelas /βκ = intercept /β = slope s dan bentuk persamaan linier Freundlich: log Q = log β + κ log C dengan: log Q = peubah respon log C = peubah penjelas log β = intercept κ = slope (Borling et al. ). Pengujian Asumsi Kehomogenan ragam sisaan Asumsi kehomogenan ragam memiliki peran yang sangat penting dalam pendugaan parameter dengan metode kuadrat terkecil. Konsekuensi dari ketidakhomogenan ragam mengakibatkan beberapa pengamatan mengandung informasi yang lebih, pengamatan tersebut seharusnya mendapatkan bobot yang lebih besar dibandingkan pengamatan yang lain. Hal tersebut akan mengakibatkan presisi atau kecermatan dari penduga metode kuadrat terkecil menjadi lebih kecil (Rawlings et al. 8). Kehomogenan ragam sisaan dideteksi secara eksplorasi dengan melihat plot antara sisaan dengan nilai dugaan. Kebebasan Sisaan Sisaan saling bebas apabila antar sisaan tidak saling berkorelasi atau korelasinya hampir mendekati nol. Sisaan yang saling berkorelasi mengakibatkan berkurangnya presisi penduga metode kuadrat terkecil, sama dengan pengaruh dari ketidakhomogenan ragam (Rawlings et al. 8). Kebebasan sisaan dapat dideteksi secara eksplorasi dan uji formal. Secara eksplorasi dapat dilihat dari plot sisaan dengan urutan sisaan tersebut. Uji formal untuk mendeteksi kebebasan sisaan yaitu Uji Runtunan. Hipotesis yang di uji: H : Sisaan saling bebas H : Sisaan tidak saling bebas. Statistik ujinya ialah u yaitu jumlah runtunan dengan: nn, n n nn ( nn n n ) ( n n ) ( n n ), µ dan σ merupakan nilai tengah dan ragam bagi sebaran u yang diskret. ( u ) z. Nilai z merupakan suatu simpangan normal. n : jumlah amatan tipe satu : jumlah amatan tipe lainnya. n

13 4 Sisaan saling bebas pada taraf nyata α jika nilai-p pada tabel uji runtunan lebih besar dari taraf nyata α untuk statistik uji u, n, dan n (Draper & Smith 98). Kenormalan Sisaan Asumsi bahwa sisaan menyebar normal tidak terlalu penting dalam pendugaan parameter dan pemisahan total keragaman. Kenormalan hanya diperlukan pada waktu pengujian hipotesis dan penyusunan selang kepercayaan bagi parameter (Rawlings et al. 8). Kenormalan sisaan dapat dideteksi secara eksplorasi dan uji formal. Secara eksplorasi dapat dilihat dari plot peluang kenormalan sisaan. Uji formal untuk mendeteksi kenormalan sisaan yaitu Uji Kolmogorov-Smirnov. Hipotesis yang di uji: H : Sisaan menyebar normal H : Sisaan tidak menyebar normal. Statistik uji yang digunakan : D sup S( x) F ( x) x dengan: S(x) : sebaran kumulatif contoh F (x): sebaran kumulatif normal. Sisaan menyebar normal pada taraf nyata α jika nilai D < D (- α, n) pada tabel nilai kritis uji Kolmogorov-Smirnov atau nilai-p lebih besar daripada taraf nyata(daniel ). Koefisien Determinasi (R ) Koefisien determinasi merupakan ukuran keragaman peubah respon yang mampu diterangkan oleh model. Formula dari statistik ini adalah: JKR R JKT dengan: R = koefisien determinasi JKR = jumlah kuadrat regresi JKT = jumlah kuadrat total. Semakin besar R suatu model maka semakin terandalkan model tersebut. Akaike s Information Criterion (AIC) AIC digunakan untuk membandingkan model dalam metode pendugaan komponen ragam. Persamaannya adalah: SSE AIC n ln p n dengan: AIC = Akaike s Information Criterion SSE = jumlah kuadrat sisaan n = banyaknya data p = banyaknya parameter. Model dengan nilai AIC terkecil dipilih sebagai model terbaik. Mean Absolute Error (MAPE) MAPE digunakan untuk menentukan model yang paling sesuai atau efisien untuk masing-masing pendekatan. Persamaannya adalah: n yi yˆ i MAPE n i yi dengan: MAPE = Mean Absolute Error y i = nilai amatan ŷ i = nilai dugaan n = banyaknya data. Nilai MAPE yang kecil menunjukkan model lebih baik. Root Mean Square Error (RMSE) RMSE digunakan untuk memperoleh gambaran keseluruhan standar deviasi yang muncul saat menunjukkan perbedaan antar kelompok atau hubungan yang dimiliki. Secara umum dirumuskan sebagai berikut: RMSE SSE n p dengan: RMSE = Root Mean Square Error SSE = jumlah kuadrat sisaan n = banyaknya data p = banyaknya parameter. Nilai RMSE yang besar menunjukkan model tersebut kurang baik dan nilai RMSE yang kecil menunjukkan model tersebut baik. Korelasi Korelasi merupakan nilai yang menunjukkan keeratan hubungan linier antara dua peubah (Draper & Smith 98). Nilai korelasi yang dicari dalam penelitian ini yaitu hubungan antara nilai amatan dan nilai dugaan. Secara umum dirumuskan sebagai berikut: ( xi x)( yi y) r ( xi x) ( yi y) dengan: r = koefisien korelasi x i = nilai amatan ke-i y i = nilai dugaan ke-i x = rata-rata nilai amatan y = rata-rata nilai dugaan. Nilai korelasi berkisar antara - dan. Hubungan linier antara nilai amatan dengan nilai dugaan akan semakin erat jika nilai korelasi mendekati atau -. Sedangkan nilai

14 korelasi yang mendekati menggambarkan hubungan linier lemah. BAHAN DAN METODE Bahan Penelitian ini menggunakan data isoterm jerapan P pada tanah smektitik dan kaolinitik. Tanah smektitik yang digunakan berasal dari tiga lokasi di Jawa Timur yaitu Demangan, Tirtobinangun, dan Kedungrejo. Sedangkan tanah kaolinitik yang digunakan berasal dari tiga lokasi di Lampung yaitu Purworejo, Purworejo dan Simbarwaringin. P yang dijerap tanah sebagai peubah respon dan jumlah P dalam larutan keseimbangan sebagai peubah penjelas pada model nonlinier. Pengambilan data dilakukan dengan cara sampel tanah lapisan atas (- cm) diambil dari lokasi percobaan lapangan. Sampel tanah dikering-udarakan, dihaluskan dan diayak dengan saringan mm. Sampel tanah pada masing-masing lokasi disuspensikan ke dalam ml media. M CaCL. Inkubasi dilakukan selama 6 hari sambil dikocok x menit/hari (pagi dan siang). Setelah ekuilibrasi selesai, suspensi disentrifusi untuk mendapatkan cairan jernih. Kadar P dalam supernatan diukur dengan menggunakan spektrofotometer. Perbedaan antara jumlah P yang tinggal dalam larutan dengan jumlah P yang diberikan adalah jumlah P yang dijerap oleh tanah. Konsentrasi P yang ditambahkan pada masing-masing tanah adalah sebagai berikut: Tabel Penambahan konsentrasi P (ppm) Tanah Smektitik Tanah Kaolinitik Metode Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:. Melakukan pendugaan parameter model nonlinier Langmuir dan Freundlich pada masing-masing lokasi tanah smektitik dan kaolinitik dengan menggunakan MKT linier dan MKT nonlinier ML.. Mencari indikator pemilihan model terbaik dari model nonlinier Langmuir dan Freundlich. Indikator pemilihan model terbaik yang digunakan yaitu nilai AIC, MAPE dan RMSE serta nilai korelasi antara nilai amatan dengan nilai dugaan.. Membandingkan nilai indikator pemilihan model terbaik. 4. Menentukan model nonlinier jerapan P yang paling baik. Tahap-tahap yang dilakukan dalam pendugaan parameter MKT linier adalah:. Transformasi data P yang dijerap tanah dan konsentrasi P dalam larutan keseimbangan sehingga didapatkan data peubah respon dan peubah penjelas pada model linier Langmuir dan Freundlich.. Membuat plot antara peubah respon dengan peubah penjelas model linier Langmuir dan Freundlich.. Mencari persamaan linier Langmuir dan Freundlich. 4. Melakukan pemeriksaan asumsi.. Transformasi balik nilai dugaan intercept dan slope pada model linier Langmuir dan Freundlich untuk mendapatkan nilai dugaan parameter pada model nonlinier Langmuir dan Freundlich. Tahap-tahap yang dilakukan dalam pendugaan parameter MKT nonlinier ML adalah:. Menentukan nilai dugaan awal pada masing-masing parameter. Nilai dugaan awal yang dicoba sama yaitu.,.,.,,, dan.. Menentukan nilai λ. Nilai awal λ yang ditetapkan yaitu -7, untuk iterasi selanjutnya jika nilai SSE s+ < SSE s maka λ=λ/ dan jika nilai SSE s+ > SSE s maka λ=λ.. Menentukan nilai dugaan parameter akhir dari hasil iterasi yang sudah konvergen. 4. Melakukan pemeriksaan asumsi. Software yang digunakan dalam penelitian ini adalah Software statistika dan Microsoft Excel 7. HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan Linier Langmuir dan Freundlich Model linier hasil transformasi diperiksa dengan melihat plot pencaran antara peubah respon dengan peubah penjelas. Plot pencaran model linier Langmuir hasil transformasi data isoterm jerapan P dapat dilihat pada Lampiran

15 6. Berdasarkan plot pencaran yang dihasilkan terlihat bahwa hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas hasil transformasi mempunyai hubungan linier yang positif. Pada lokasi Tirtobinangun plot pencarannya cukup merata membentuk garis yang sedikit melengkung. Plot pencaran pada lokasi Demangan, Kedungrejo, dan Simbarwaringin terlihat dapat membentuk garis lurus namun terdapat beberapa titik pengamatan yang akan sedikit jauh dari dugaan garis lurus. Pada lokasi Purworejo dan Purworejo, plot pencarannya terlihat lebih tegas membentuk garis lurus. Model linier Freundlich hasil transformasi pada data isoterm jerapan P diperiksa dengan melihat plot pencaran antara peubah respon dengan peubah penjelas yang terdapat pada Lampiran. Plot pencaran menunjukkan bahwa hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas memiliki hubungan linier yang positif. Pada lokasi Demangan, Kedungrejo, Purworejo, Purworejo dan Simbarwaringin, plot pencaran terlihat membentuk garis yang sedikit melengkung. Plot pencaran yang berbentuk garis lurus hanya terlihat pada lokasi Tirtobinangun. Plot pencaran antara peubah respon dengan peubah penjelas pada model linier hasil transformasi menunjukkan bahwa pendugaan parameter model nonlinier Langmuir dan Freundlich dapat dilakukan dengan MKT linier. Persamaan linier Langmuir dan Freundlich yang dihasilkan dengan menggunakan MKT linier dapat dilihat pada Lampiran. Nilai R persamaan linier Langmuir pada lokasi Purworejo dan Purworejo tinggi yaitu diatas 9% sesuai dengan plot pencarannya yang membentuk garis lurus secara tegas. Pada lokasi Tirtobinangun, nilai R dari persamaan yang dihasilkan cukup tinggi yaitu sebesar 8.8%. Sedangkan pada lokasi lainnya kurang terlalu bagus apalagi pada lokasi Simbarwaringin, nilai R dari persamaan yang dihasilkan kurang dari % yaitu 47.9%. Persamaan linier Freundlich yang dihasilkan pada lokasi Tirtobinagun mempunyai nilai R yang paling tinggi yaitu sebesar 98%, plot pencarannya juga memperlihatkan bentuk garis lurus yang lebih tegas dibanding dengan lokasi yang lainnya. Nilai R persamaan linier Freundlich pada lokasi lainnya juga cukup tinggi, nilainya lebih dari %. Nilai dugaan intercept dan slope dari persamaan linier yang dihasilkan dengan menggunakan MKT linier akan tidak bias dan efisien jika asumsi MKT linier terpenuhi. Pemeriksaan asumsi dilakukan dengan melihat plot sisaan dan melakukan uji formal terhadap sisaan dari persamaan yang telah dihasilkan. Pada asumsi kehomogenan ragam tidak dilakukan uji formal, pemeriksaan asumsi hanya dilihat secara visual. Kehomogenan ragam sisaan Plot antara sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan linier Langmuir dapat dilihat pada Lampiran 4. Plot sisaan pada lokasi Demangan dan Purworejo menunjukkan suatu pola dari besar menjadi kecil, sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan pada lokasi tersebut tidak homogen. Ragam sisaan pada lokasi lainnya homogen, plot sisaan tidak menunjukkan suatu pola. Plot antara sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan linier Freundlich dapat dilihat pada Lampiran. Plot sisaan pada lokasi Tirtobinangun menunjukkan suatu pola dari besar menjadi kecil, sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan tidak homogen. Ragam sisaan pada lokasi lainnya homogen, plot sisaan tidak menunjukkan suatu pola. Kebebasan sisaan Plot antara sisaan dengan urutan sisaan persamaan linier Langmuir dapat dilihat pada Lampiran 6. Plot sisaan pada semua lokasi menunjukkan suatu pola naik turun, semakin naik atau semakin turun sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan tidak saling bebas. Hasil tersebut didukung oleh hasil Uji Runtunan yang terdapat pada Tabel. Tabel Hasil Uji Runtunan sisaan persamaan linier Langmuir Lokasi Nilai p Smektitik Demangan. Tirtobinangun. Kedungrejo. Kaolinitik Purworejo. Purworejo.6 Simbarwaringin. Nilai p yang dihasilkan pada masing-masing lokasi kurang dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaan tidak saling bebas.

16 7 Plot antara sisaan dengan urutan sisaan persamaan linier Freundlich dapat dilihat pada Lampiran 7. Plot sisaan pada semua lokasi menunjukkan bahwa sisaan tidak saling bebas. Plot sisaan dari persamaan yang dihasilkan membentuk suatu pola naik turun dengan titik balik urutan sisaan ke-,, dan. Hasil tersebut didukung oleh hasil Uji Runtunan yang terdapat pada Tabel. Nilai p yang dihasilkan pada masing-masing lokasi kurang dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaannya tidak saling bebas. Tabel Hasil Uji Runtunan sisaan persamaan linier Freundlich Lokasi Nilai p Smektitik Demangan. Tirtobinangun. Kedungrejo. Kaolinitik Purworejo. Purworejo. Simbarwaringin. Kenormalan sisaan Plot peluang kenormalan sisaan persamaan linier Langmuir dapat dilihat pada Lampiran 8. Pada lokasi Demangan, Purworejo dan Simbarwaringin, plot peluang kenormalan sisaan tidak terlalu mengikuti garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan tidak normal. Plot peluang kenormalan sisaan pada lokasi Tirtobinangun, Kedungrejo dan Purworejo cukup mengikuti garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa sisaannya normal. Hasil tersebut didukung oleh hasil Uji Kolmogorov- Smirnov yang terdapat pada Tabel 4. Tabel 4 Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov sisaan persamaan linier Langmuir Lokasi Nilai p Smektitik Demangan <. Tirtobinangun.8 Kedungrejo >. Kaolinitik Purworejo <. Purworejo.6 Simbarwaringin <. Nilai p yang dihasilkan pada lokasi Demangan, Purworejo dan Simbarwaringin kurang dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaannya tidak normal. Nilai p yang dihasilkan pada lokasi Tirtobinangun, Kedungrejo dan Purworejo lebih dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaannya normal. Plot peluang kenormalan sisaan persamaan linier Freundlich dapat dilihat pada Lampiran 9. Pada lokasi Demangan, Purworejo dan Purworejo, plot peluang kenormalan sisaan tidak terlalu mengikuti garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan tidak normal. Plot peluang kenormalan sisaan pada lokasi Tirtobinangun, Kedungrejo dan Simbarwaringin cukup mengikuti garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan normal. Hasil tersebut sesuai dengan hasil Uji Kolmogorov-Smirnov yang terdapat pada Tabel. Tabel Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov sisaan persamaan linier Freundlich Lokasi Nilai p Smektitik Demangan <. Tirtobinangun.9 Kedungrejo >. Kaolinitik Purworejo.6 Purworejo.48 Simbarwaringin.8 Nilai p yang dihasilkan pada lokasi Demangan, Purworejo dan Purworejo kurang dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaan tidak normal. Nilai p yang dihasilkan pada lokasi Tirtobinangun, Kedungrejo dan Simbarwaringin lebih dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaan normal. Pendugaan Parameter MKT Linier Persamaan linier Langmuir dan Freundlich yang dihasilkan digunakan untuk menduga parameter model nonlinier. Nilai dugaan parameter yang dicari terlebih dahulu pada model nonlinier Langmuir yaitu parameter jerapan maksimum dengan cara transformasi balik nilai slope yang dihasilkan dari persamaan linier Langmuir. Setelah parameter jerapan maksimum didapatkan, nilai intercept persamaan linier Langmuir ditransformasi

17 8 balik untuk mendapatkan nilai dugaan parameter energi ikatan. Nilai dugaan parameter model nonlinier Langmuir terdapat pada Tabel 6. Tabel 6 Nilai dugaan parameter model nonlinier Langmuir menggunakan MKT linier Lokasi β κ Smektitik Demangan Tirtobinangun Kedungrejo Kaolinitik Purworejo Purworejo.4.8 Simbarwaringin Hasil dugaan parameter model nonlinier Langmuir dengan menggunakan MKT linier menunjukkan bahwa nilai dugaan parameter jerapan maksimum pada masing-masing lokasi tanah smektitik relatif lebih tinggi dibanding tanah kaolinitik. Nilai dugaan parameter energi ikatan yang dihasilkan pada masing-masing lokasi tanah smektitik lebih rendah dibanding tanah kaolinitik. Pendugaan parameter model nonlinier Freundlich menggunakan MKT linier dilakukan dengan melihat nilai slope persamaan linier Freundlich untuk menduga parameter energi ikatan dan transformasi balik nilai intercept untuk mencari nilai dugaan parameter jerapan maksimum. Nilai dugaan parameter model nonlinier Freundlich terdapat pada Tabel 7. Tabel 7 Nilai dugaan parameter model nonlinier Freundlich menggunakan MKT linier Lokasi β κ Smektitik Demangan Tirtobinangun Kedungrejo Kaolinitik Purworejo Purworejo Simbarwaringin Nilai dugaan parameter jerapan maksimun untuk model nonlinier Freundlich dengan menggunakan MKT linier pada masingmasing lokasi tanah smektitik relatif lebih rendah dibanding tanah kaolinitik. Nilai dugaan parameter energi ikatan yang dihasilkan pada masing-masing lokasi tanah smektitik relatif lebih tinggi dibanding tanah kaolinitik. Pendugaan Parameter MKT Nonlinier ML Pendugaan parameter model nonlinier Langmuir dan Freundlich dicari juga dengan menggunakan MKT nonlinier ML. Berdasarkan beberapa nilai dugaan awal yang dicoba, diperoleh nilai dugaan parameter yang konvergen. Banyaknya iterasi yang diperlukan sampai ditemukan nilai dugaan parameter yang konvergen berbeda-beda tergantung pada nilai dugaan awal. Rata-rata banyaknya iterasi yang diperlukan pada model nonlinier Langmuir sampai ditemukan nilai dugaan parameter yang konvergen lebih sedikit dibanding model nonlinier Freundlich. Nilai dugaan parameter model nonlinier Langmuir yang dihasilkan dengan menggunakan MKT nonlinier ML terdapat pada Tabel 8. Nilai dugaan parameter jerapan maksimum model nonlinier Langmuir pada masing-masing lokasi tanah smektitik relatif lebih tinggi dibanding tanah kaolinitik. Nilai dugaan parameter energi ikatan yang dihasilkan pada masing-masing lokasi tanah smektitik lebih rendah dibanding tanah kaolinitik. Tabel 8 Nilai dugaan parameter model nonlinier Langmuir menggunakan MKT nonlinier ML Lokasi β κ Smektitik Demangan Tirtobinangun 9.. Kedungrejo Kaolinitik Purworejo..6 Purworejo Simbarwaringin Nilai dugaan parameter model nonlinier Freundlich yang dihasilkan dengan menggunakan MKT nonlinier ML terdapat pada Tabel 9. Nilai dugaan parameter jerapan maksimum model nonlinier Freundlich pada masing-masing lokasi tanah smektitik relatif

18 9 lebih rendah dibanding tanah kaolinitik. Nilai dugaan parameter energi ikatan pada masingmasing lokasi tanah smektitik relatif lebih tinggi dibanding tanah kaolinitik. Tabel 9 Nilai dugaan parameter model nonlinier Freundlich menggunakan MKT nonlinier ML Lokasi β κ Smektitik Demangan Tirtobinangun Kedungrejo Kaolinitik Purworejo Purworejo Simbarwaringin Pada MKT nonlinier ML juga dilakukan pemeriksaan asumsi dengan melihat plot sisaan dan melakukan uji formal terhadap sisaan dari persamaan yang telah dihasilkan. Sama halnya dengan MKT Linier, asumsi kehomogenan ragam sisaan pada MKT nonlinier ML hanya dilihat secara visual. Kehomogenan ragam sisaan Plot antara sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan nonlinier Langmuir dapat dilihat pada Lampiran. Plot sisaan pada semua lokasi tersebar secara acak dan tidak membentuk suatu pola sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan homogen. Plot antara sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan nonlinier Freundlich dapat dilihat pada Lampiran. Plot sisaan pada semua lokasi tersebar secara acak dan tidak membentuk suatu pola sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan homogen. Kebebasan sisaan Plot antara sisaan dengan urutan sisaan persamaan nonlinier Langmuir dapat dilihat pada Lampiran. Plot sisaan pada semua lokasi menunjukkan suatu pola semakin naik atau semakin turun sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan tidak saling bebas. Hasil tersebut didukung oleh hasil Uji Runtunan yang terdapat pada Tabel. Nilai p yang dihasilkan pada masing-masing lokasi kurang dari. sehingga disimpulkan bahwa sisaannya tidak saling bebas. Tabel Hasil Uji Runtunan sisaan persamaan nonlinier Langmuir Lokasi Nilai p Smektitik Demangan, Tirtobinangun, Kedungrejo, Kaolinitik Purworejo, Purworejo, Simbarwaringin, Plot antara sisaan dengan urutan sisaan persamaan nonlinier Freundlich dapat dilihat pada Lampiran. Pada lokasi Tirtobinangun, plot sisaan acak dan tidak membentuk suatu pola sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan saling bebas. Plot sisaan pada lokasi lainnya menunjukkan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan tidak saling bebas. Plot sisaan yang dihasilkan membentuk pola plot sisaan yang semakin turun dan pola naik turun dengan titik balik urutan sisaan ke-,, dan. Hasil tersebut didukung oleh hasil Uji Runtunan yang terdapat pada Tabel. Tabel Hasil Uji Runtunan sisaan persamaan nonlinier Freundlich Lokasi Nilai p Smektitik Demangan, Tirtobinangun,6 Kedungrejo, Kaolinitik Purworejo, Purworejo, Simbarwaringin, Nilai p yang dihasilkan pada lokasi Tirtobinangun lebih dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaan saling bebas. Nilai p yang dihasilkan pada lokasi lainnya kurang dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaan tidak saling bebas. Kenormalan sisaan Plot peluang kenormalan sisaan persamaan nonlinier Langmuir dapat dilihat pada Lampiran 4. Pada lokasi Purworejo, plot peluang kenormalan sisaan tidak terlalu mengikuti garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang

19 dihasilkan tidak normal. Plot sisaan pada lokasi lainnya cukup mengikuti garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan normal. Hasil tersebut didukung oleh hasil Uji Kolmogorov- Smirnov yang terdapat pada Tabel. Tabel Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov sisaan persamaan nonlinier Langmuir Lokasi Nilai p Smektitik Demangan >. Tirtobinangun >. Kedungrejo.68 Kaolinitik Purworejo >. Purworejo. Simbarwaringin >. Nilai p yang dihasilkan pada lokasi Purworejo kurang dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaannya tidak normal. Nilai p yang dihasilkan pada lokasi lainnya lebih dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaannya normal. Plot peluang kenormalan sisaan persamaan nonlinier Freundlich dapat dilihat pada Lampiran. Pada lokasi Demangan, plot peluang kenormalan sisaan tidak terlalu mengikuti garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan tidak normal. Pada lokasi lainnya, plot sisaan cukup mengikuti garis lurus sehingga dapat dikatakan bahwa sisaan dari persamaan yang dihasilkan normal. Hasil tersebut sesuai dengan hasil Uji Kolmogorov- Smirnov yang terdapat pada Tabel. Tabel Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov sisaan persamaan nonlinier Freundlich Lokasi Nilai p Smektitik Demangan.7 Tirtobinangun >. Kedungrejo.46 Kaolinitik Purworejo >. Purworejo >. Simbarwaringin >. Nilai p yang dihasilkan pada lokasi Demangan, kurang dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaan tidak normal. Nilai p pada lokasi lainnya lebih dari. sehingga dapat disimpulkan bahwa sisaan normal. Perbandingan MKT Linier dengan MKT Nonlinier ML Pendugaan parameter MKT linier dan MKT nonlinier ML masih belum memenuhi asumsi. Pelanggaran asumsi dari persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan MKT linier dan MKT nonlinier ML masing-masing dapat dilihat pada Lampiran 6 dan Lampiran 7. Asumsi kehomogenan ragam sisaan terpenuhi pada semua persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan MKT nonlinier ML. Pada persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan MKT linier, terdapat beberapa yang tidak memenuhi asumsi kehomogenan ragam sisaan. Asumsi kebebasan sisaan tidak terpenuhi pada semua persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan MKT linier dan MKT nonlinier ML kecuali pada persamaan nonlinier Freundlich dari lokasi Tirtobinangun dengan menggunakan MKT nonlinier. Asumsi kenormalan sisaan banyak tidak terpenuhi pada persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan MKT linier. Rawlings et al. (8) menyatakan bahwa asumsi kenormalan sisaan tidak terlalu penting dalam pendugaan parameter. Selain itu menurut Gujarati (6) pelanggaran asumsi kebebasan dan kehomogenan ragam sisaan menghasilkan nilai dugaan yang bias namun tidak efisien, sehingga persamaan nonlinier yang dihasilkan tetap terandalkan. Nilai dugaan parameter model nonlinier Langmuir menggunakan MKT linier dan MKT nonlinier ML memberikan kesimpulan yang sama. Nilai dugaan parameter jerapan maksimum pada masing-masing lokasi tanah smektitik relatif lebih tinggi dan nilai dugaan energi ikatannya lebih rendah. Nilai dugaan parameter model nonlinier Freundlich menggunakan MKT linier dan MKT nonlinier ML juga memberikan kesimpulan yang sama. Nilai dugaan parameter jerapan maksimum pada masing-masing lokasi tanah smektitik relatif lebih rendah dan nilai dugaan energi ikatannya lebih tinggi. Namun untuk mendapatkan nilai dugaan parameter dengan menggunakan MKT linier perlu transformasi terlebih dahulu sehingga tidak memberikan jumlah kuadrat sisaan terkecil bagi P yang dijerap tanah. Jumlah kuadrat sisaan yang dihasilkan pada persamaan linier merupakan

20 jumlah kuadrat sisaan terkecil bagi peubah respon pada model linier hasil transformasi model nonlinier. Jumlah kuadrat sisaan dari persamaan nonlinier hasil pendugaan parameter MKT linier dan MKT nonlinier ML dapat dilihat pada Lampiran 8. Nilai jumlah kuadrat sisaan dari persamaan yang dihasilkan dengan menggunakan MKT nonlinier ML lebih kecil dibanding MKT linier baik itu pada model nonlinier Langmuir maupun Freundlich. Berdasarkan hasil tersebut maka dapat dikatakan bahwa MKT nonlinier Marquardt- Levenberg lebih baik digunakan untuk menduga parameter pada model nonlinier jerapan P. Pemilihan Model Terbaik Penentuan model terbaik dicari dengan menggunakan nilai dugaan parameter hasil MKT nonlinier ML. Persamaan nonlinier Langmuir dan Freundlich yang dihasilkan dipilih yang paling baik bagi jerapan P berdasarkan indikator pemilihan model terbaik. Nilai indikator pemilihan model terbaik yang dihasilkan dapat dilihat pada Lampiran 9. Pada masing-masing lokasi tanah smektitik dan kaolinitik, nilai MAPE, AIC dan RMSE yang dihasilkan dari persamaan nonlinier Langmuir lebih kecil dibanding persamaan nonlinier Freundlich. Nilai korelasi antara nilai amatan dengan nilai dugaan yang dihasilkan dari persamaan nonlinier Langmuir lebih besar dibanding persamaan nonlinier Freundlich. Hasil indikator pemilihan model terbaik didukung oleh plot pencaran antara nilai amatan dengan nilai dugaan persamaan nonlinier Langmuir dan Freundlich yang terdapat pada Lampiran. Plot pencaran pada masing-masing lokasi menunjukkan nilai dugaan persamaan nonlinier Langmuir lebih mendekati nilai amatan dibanding nilai dugaan persamaan nonlinier Freundlich. Berdasarkan hasil tersebut maka dapat dikatakan bahwa model nonlinier Langmuir lebih baik dibanding model nonlinier Freundlich. KESIMPULAN Pendugaan parameter model nonlinier Langmuir dan Freundlich jerapan P lebih baik menggunakan metode kuadrat terkecil nonlinier Marquardt-Levenberg dibanding metode kuadrat terkecil linier. Model nonlinier yang lebih baik untuk jerapan P pada masing-masing lokasi tanah smektitik dan kaolinitik adalah model nonlinier Langmuir. DAFTAR PUSTAKA Borling, K., E. Otabbong, and E. Barberis (). Phosphorus Sorption in Relation to Soil Properties in Some Cultivated Swedish Soils. Nutr. Cycl. Agr. 9: Daniel, W W.. Applied Nonparametric Statistics Second Edition. Boston: PWS- KENT Publishing Company. Draper, N. and Smith, H. 98. Analisis Regresi Terapan Edisi Kedua. Sumantri B, penerjemah. Jakarta: Gramedia. Terjemahan dari: Applied Regression Analysis. Gujarati, D. N. 6. Dasar-Dasar Ekonometrika. Mulyadi, J. A; penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari : Basic Econometrics. Houng, K. H., and D. Y. Lee. 8. Comparison of Linier and Nonlinier Langmuir and Freundlich Curve-Fit in the study of Cu, Cd, and Pb adsorption on Taiwan Soils. Soil Sci. 6: -. Lourakis, Manolis I. S.. A Brief Description of the Levenberg-Marquardt Algorithm Implemened. Institut of Computer Science. lourakis/levmar/l evmar/pdf. [6 Mei 9] Masjkur, M. 8. Korelasi Parameter Jerapan Fosfor Tanah Kaolinitik dan Smektitik dengan Serapan Fosfor Padi Sawah. Departemen Statistika, Institut Pertanian Bogor. Myers, Raymond H.. Classical And Modern Regression With Application. Boston: PWS-KENT Publishing Company. Rawlings, John O., Pantula, Sastry G. and Dickey, David A. 8. Applied Regression Analysis. New York: Springer-Verlag.

21 L A M P I R A N

22 Lampiran Plot pencaran antara peubah respon dengan peubah penjelas model linier Langmuir DEMANGAN PURWOREJO,,6,4,,, C/Q, C/Q,8,6,,4,,,,,4,6 C,8,,,4,,,,,,4 C,,6,7,8 TIRTOBINANGUN PURWOREJO,,,,4, C/Q,4, C/Q,,,,,,,, C,,,,,,,,,4, C,6,7,8,9,, KEDUNGREJO, SIMBARWARINGIN,7,, C/Q, C/Q,,,7,,,,,4,6 C,8,,,,,4,6 C,8,,,4

23 Lampiran Plot pencaran antara peubah respon dengan peubah penjelas model linier Freundlich,8 DEMANGAN,7 PURWOREJO,6,,4, LOG Q, LOG Q,,,7,8,,6 -,6 -,4 -, -, -,8 -,6 LOGC -,4 -,, -, -, -, LOGC -,, TIRTOBINANGUN PURWOREJO,8,8,6,6,4,4 LOG Q, LOG Q,,,,8,8,6 -, -,7 -, -, LOGC,,,,6 -, -, -, LOGC -,, KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN,8,8,6,6,4,4 LOG Q, LOG Q,,,,8,8,6 -,6 -,4 -, -, -,8 LOGC -,6 -,4 -,,,6 -,4 -, -, -,8 -,6 LOGC -,4 -, -,

24 4 Lampiran Persamaan linier Langmuir dan Freundlich Lokasi Langmuir R (%) Freundlich R (%) Smektitik Demangan C/Q = C 6. LOG Q = LOG C 79.9 Tirtobinangun C/Q = C 8.8 LOG Q = LOG C 98. Kedungrejo C/Q = C 64.7 LOG Q = LOG C 79.8 Kaolinitik Purworejo C/Q =. +.8 C 9.6 LOG Q =. +. LOG C 68. Purworejo C/Q = C.4 LOG Q = LOG C 78. Simbarwaringin C/Q = C 47.9 LOG Q = LOG C 8.9

25 Lampiran 4 Plot sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan linier Langmuir DEMANGAN PURWOREJO 4 - -,,,,7,,, -,,,4,6,8,,,4,6 TIRTOBINANGUN PURWOREJO ,,,4,4,, -,,,,, KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN ,,7,,,,7,,8,,,4,6,8,,

26 6 Lampiran Plot sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan linier Freundlich DEMANGAN PURWOREJO ,6,8,,,4,6,8,,,4,6,8, TIRTOBINANGUN PURWOREJO ,6,8,,,4,6,8,,,,,4,,6,7,8,9 KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN ,8,,,4,6,8, -,6,8,,,4,6,8,

27 7 Lampiran 6 Plot sisaan dengan urutan sisaan persamaan linier Langmuir DEMANGAN PURWOREJO TIRTOBINANGUN PURWOREJO KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN

28 8 Lampiran 7 Plot sisaan dengan urutan sisaan persamaan linier Freundlich DEMANGAN PURWOREJO TIRTOBINANGUN PURWOREJO KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN

29 9 Lampiran 8 Plot peluang kenormalan sisaan persamaan linier Langmuir DEMANGAN PURWOREJO TIRTOBINANGUN PURWOREJO KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN

30 Lampiran 9 Plot peluang kenormalan sisaan persamaan linier Freundlich DEMANGAN PURWOREJO TIRTOBINANGUN PURWOREJO KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN SIMBARWARINGIN

31 Lampiran Plot sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan nonlinier Langmuir DEMANGAN PURWOREJO TIRTOBINANGUN PURWOREJO,, -,,,, -, - -, -, 4 4 KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN

32 Lampiran Plot sisaan dengan dugaan peubah respon persamaan nonlinier Freundlich DEMANGAN PURWOREJO TIRTOBINANGUN PURWOREJO KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN

33 Lampiran Plot sisaan dengan urutan sisaan persamaan nonlinier Langmuir DEMANGAN PURWOREJO TIRTOBINANGUN PURWOREJO,, -,,,, -, - -, -, 4 4 KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN

34 4 Lampiran Plot sisaan dengan urutan sisaan persamaan nonlinier Freundlich DEMANGAN PURWOREJO TIRTOBINANGUN PURWOREJO KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN

35 Lampiran 4 Plot peluang kenormalan sisaan persamaan nonlinier Langmuir DEMANGAN PURWOREJO TIRTOBINANGUN PURWOREJO KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN

36 6 Lampiran Plot peluang kenormalan sisaan persamaan nonlinier Freundlich DEMANGAN PURWOREJO TIRTOBINANGUN PURWOREJO KEDUNGREJO SIMBARWARINGIN

37 7 Lampiran 6 Asumsi MKT linier yang tidak terpenuhi Lokasi Langmuir Freundlich Smektitik Demangan kehomogenan, kebebasan, kenormalan kebebasan, kenormalan Tirtobinangun kebebasan kehomogenan, kebebasan Kedungrejo kebebasan kebebasan Kaolinitik Purworejo kehomogenan, kebebasan, kenormalan kebebasan, kenormalan Purworejo kebebasan kebebasan, kenormalan Simbarwaringin kebebasan, kenormalan kebebasan Lampiran 7 Asumsi MKT nonlinier ML yang tidak terpenuhi Lokasi Langmuir Freundlich Smektitik Demangan kebebasan kebebasan, kenormalan Tirtobinangun kebebasan Kedungrejo kebebasan kebebasan Kaolinitik Purworejo kebebasan kebebasan Purworejo kebebasan, kenormalan kebebasan Simbarwaringin kebebasan kebebasan