Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP Babak 1 Persiapan Olimpiade Sains Provinsi dan Nasional

Transkripsi

1 Pembahasan Soal Olimpiade Matematika SMP Babak Persiapan Olimpiade Sains Provinsi dan Nasional. Diketahui dan y merupakan bilangan real positif yang memenuhi sistim persamaan berikut y y a b Jika, maka nilai a b c =. c A. 0 B. C. D. Kuadratkan persamaan y menjadi y. y 9 Lalu eliminasi dengan persamaan () y. y 9 y y y. y y.. y y y Lalu eliminasi dengan persamaan () y y Karena bilangan real positif, maka Jadi diperoleh a =, b = 7 dan c =, maka a + b + c = = ( C ) /

2 . Diketahui fungsi f memenuhi f() + f( + y) + 5y = f( y) untuk semua bilangan real dan y. Nilai f(0) adalah. A. 57 B. 6 C. 76 D. 95 Substitusikan = 0 dan y = 5 diperoleh f ( 0) f (5) 50 f (5) 000 Sehingga f ( 0) 76 ( C ). Nilai dari adalah. A. 6 B. 6 7 C. 6 5 D. 6 Ingat identitas n n ( n ).( n ( n ).( n n ) n ) Sehingga diperoleh (B). Diketahui segitiga ABC dimana D merupakan titik tengah BC; E merupakan titik tengah CA dan F merupakan titik tengah AB. Garis bagi sudut FDE dan sudut FBD berpotongan di titik P Jika sudut BAC = 7 o dan sudut CBA = 85 o, maka besar sudut BPD adalah. A. 57 o B. 59 o C. 6 o D. 6 o /

3 A F P E B D C Segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEF ( karena D, E, F titik tengah) FD sejajar AC dan DE sejajar AB Sudut BDF = sudut BCA = 80 o 7 o 85 o = 58 o Sudut FDE = sudut BAC = 7 o Sudut BPD = 80 o sudut PBD sudut PDB = o o o 85 7 o o Jadi besar sudut BPD = 6 o ( C ) 5. Diketahui dan y bilangan real positif yang memenuhi y. y y Nilai dari + y =. A. B. 5 C. 6 D. 7 Dengan menjabarkan persamaan kedua diperoleh 9.. y 6.. y.. y.. y 9.. y 6.. y.. y y, maka 9.. y 6.. y Karena y.. y (. y) 6.(. y) /

4 Sehingga diperoleh. y dan. y Karena, y bilangan real positif, maka. y y y. y. 6 ( C ) 6. Sisa pembagian ketika... 0 dibagi 0 adalah A. 006 B. 008 C. 00 D. 0 Ingat 0 ketika dibagi 0 akan bersisa Perhatikan bahwa (006).(0) (006). 006 Jadi sisa pembagian... 0 jika dibagi 0 adalah 006 ( A ) 7. Nilai dari adalah. A. 00 B. 0 C. 0 D ( D ) Diketahui dan y bilangan real dimana y P merupakan jumlah deret geometri dengan suku pertama adalah dan rasio/pembandingnya adalah y. T merupakan jumlah deret geometri dengan suku pertama adalah y dan rasio/pembandingnya adalah. Jika P = T, maka nilai + y =. A. 0 B. C. D /

5 Karena merupakan barisan geometri dimana y maka P y dan T y Karena P = T maka y y y y y ( y) 0 y.( y) ( y) 0 ( y ).( y) 0 y y sedangkan = y ( tidak mungkin karena Jadi nilai + y = ( D ) 9. Jika f ( ).. dan i, maka f ( i)... A. 8. i B. 8. i C. 8. i D. 8. i i i i i Perhatikan bahwa ( i) i i i i Sehingga diperoleh f ( i). i. i 8 i.( i) ( i).(i) ( i) ( A ) 0. Sebuah kotak berisi bola dan bola-bola tersebut dinomori,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0,. Jika 6 buah bola diambil secara acak, peluang jumlah angkaangka dari bola yang diambil tersebut merupakan bilangan ganjil adalah A. B. C. D. Jawab : Kotak berisi 6 bola bernomor ganjil yaitu,, 5, 7,9, dan 5 bola bernomor genap yaitu,, 6, 8, 0 Berdasarkan paritas, jumlah angka-angka merupakan bilangan ganjil jika /

6 ( i ) ganjil dan 5 genap ( ii ) ganjil dan genap ( iii ) 5 ganjil dan genap Banyaknya kejadian yang mungkin terjadi adalah 6 C. 5 C 5 6 C. 5 C 6 C 5. 5 C 6 Banyaknya semua kejadian adalah C 6 6 Jadi peluang jumlah angka-angka dari bola yang diambil merupakan bilangan ganjil adalah 6 8 ( C ) Nilai dari... tak (dan seterusnya sampai berhingga) adalah A. 6 5 B. 6 7 C. 6 9 D, 6 Perhatikan bahwa n ( n ) ( n ).( n ) ( n ).( n ) A B n n A.( n ) B.( n ) Untuk n = diperoleh B dan untuk n diperoleh A Dengan mempergunakan prinsip telescoping Sehingga saling menghilangkan dan diperoleh jumlahnya adalah. ( A ) /

7 .. Banyak faktor prima dari 8 8 adalah. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Dengan memfaktorkan 8 8 diperoleh Jawab : Jadi faktor prima dari 8 8 adalah 5, 7, 9, 577, 009 Banyak factor prima dari 8 8 adalah 5 (A). Nilai minimum (terkecil) dari.. y y. 6. y adalah. A. B. C. D. Jawab : Dengan melengkapkan kuadrat sempurna diperoleh.. y. y. 6. y.( y ).( y ) y.( y ) Nilai minimum terjadi ketika y 0 dan y 0 Jadi nilai minimumnya adalah (A) 0 y. Jika f, maka jumlah semua nilai yang memenuhi f ( ) 7 adalah. A. B. 9 C. 0 D. 9 Misal a maka substitusikan a ke f, f ( a) 9. a. a berarti f ( ) /

8 Sehingga diperoleh f () 9.(9 ).() 7 Karena f ( ) 7 maka (9 ) 0 Berarti = 0 atau 9 Jumlah semua nilai yang memenuhi f ( ) 7 adalah 0 ( D ) Titik A dan B terletak pada parabola y Titik ( 0, 0 ) merupakan titik tengah garis yang menghubungkan titik A dan B Jarak titik A dan B adalah. A. B. C. 7 D. 7 : Y O A(a,b) X B(-a,-b) Misalkan titik A ( a, b ) dan titik B ( - a, - b ) Karena titik A dan B terletak pada parabola y maka diperoleh b a b a 0 a a a a Untuk a =, maka b = Untuk a = -, maka b = /

9 Jadi jarak titik A dan B adalah ( ) ( ) 68 7 ( D ) 6.. Diketahui bilangan real dengan, maka nilai =. A. 7 B. 96 C. 85 D ( B ) 7. Diketahui persegi ABCD Titik X terletak pada sisi BC dan titik Y terletak pada sisi CD. Panjang XY =, AX = dan AY = 5 Panjang sisi persegi ABCD adalah. 6 A. 7 7 B. 5 5 C. 0 D. Y D C X A B Karena AX + XY = AY ( memenuhi Phytagoras) maka sudut AXY = 90 o Akibatnya sudut YXC + sudut AXB = 90 o Sudut XAB + sudut AXB = 90 o Sehingga sudut XAB = sudut YXC /

10 Berarti segitiga ABX sebangun dengan segitiga XCY, dan berlaku perbandingan AB XC XC. AB BX BC XC AB AB AB Phytagoras : AB AB 6 AB Jadi panjang sisi persegi ABCD adalah 7 7 ( A ) 8. Nilai a yang memenuhi sistim persamaan berikut adalah. a b c d 0 a b c d 0 a b c d 00 a b c d 0 A. 00 B. 0 C. 0 D. Tambahkan semua persamaan sehingga diperoleh 5a 5b 5c 5d 805 a b c d 609 Eliminasi a b c d 0 dan a b c d 609 Sehingga diperoleh a = 0 ( B ) 9. Dua bilangan real positif dan y memenuhi + y = dan + y = 7 8 A. B. maka nilai. y adalah. C. 6 D /

11 Perhatikan bahwa y y.. y.. y. y Karena dan y bilangan real positif, maka. y ( B ) 0. Diketahui segitiga ABC. AD merupakan garis bagi sudut BAC BE merupakan garis tinggi dari B terhadap D Titik F merupakan titik tengah AB. Jika AB = 8, BC =, CA = 7, maka panjang EF adalah. A. 7 B. 9 C. D. Segitiga ABE merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di E Karena titik F merupakan titik tengah sisi miring segitiga ABE, maka titik A, E dan B terletak pada lingkaran yang sama dengan pusat F sehingga AF, EF dan BF merupakan jari-jari lingkaran berarti EF = BF = AF = Jadi panjang EF = ( D ). merupakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan Contoh :,5,6 n! n.( n ).( n )... Contoh : 5! 5...!... 5! 5.! /

12 Nilai dari 0! 009! 0! 00! adalah. A. 009 B. 00 C. 0 D. 0 0! 009! 0! 00! ! 0.0 Karena nilai maka nilai dari ! ! 009! = 0 ( C ) 0! 00! Jumlah semua nilai yang memenuhi dimana bilangan bulat adalah. 0 A. B. 5 C. 7 D ( I ).( ) 0 ( ii ) 0 Karena harusbilangan genap maka yang memenuhi (iii) X yang memenuhi adalah = 0,,, - Jumlah semua nilai yang memenuhi adalah = ( A ). Lima orang ( termasuk Adi dan Budi), duduk mengelilingi meja bundar.. Banyak cara duduk jika Adi dan Budi tidak pernah duduk bersebelahan adalah A. 0 B. C. 5 D /

13 Cara lima orang duduk mengelilingi meja bundar adalah (5 )! =! =...= Cara Adi dan Budi duduk bersebelahan adalah!. = Cara Adi dan Budi tidak duduk bersebelahan adalah = ( B ). Nilai dari adalah. A. 6 5 B. 5 C. 5 D. 6 5 Misal : 0... Dengan rumus abc dan > 0, diperoleh 5 5 Misal y y y y y 0... Dengan rumus abc dan y > 0, diperoleh y 5 Sehingga diperoleh 6 5 y ( D ) 5. f ( a, b) merupakan penjumlahan bilangan bulat dari a sampai dengan b Contoh : Jika nilai f (,5) 5 5 f (,6) f (, 5) K, maka jumlah digit-digit penyusun bilangan K adalah. A. B. C. 6 D /

14 Misal : a = a + ( a + ) + + ( a ) = 0000.a (0000) K = 5 = ( ) = = 5 Jumlah digit-digit penyusun bilangan K adalah () = 6 ( C ) 6. Suatu fungsi memenuhi f 0. f 0 0 bilangan real. Nilai dari f (0) adalah. A. B. 0 C. D. Dengan mensubstitusikan diperoleh ( 0) f 0 0 f ( ) Dengan mensubstitusikan diperoleh 0 f 0 0 f ( ) Dengan mengeliminasi persamaan () dan ( ) diperoleh 0 untuk semua f ( A ) 7. Banyak garis yang dapat dibuat dari 6 titik yang tersedia, dimana tidak ada titik yang segaris adalah. A. B. 5 C. 8 D. Untuk menggambar sebuah garis, diperlukan buah titik 6!!.! Banyak garis yang terbentuk adalah C 5 ( B ) /

15 8. Titik puncak parabola y a. b. c adalah (, ) Parabola tersebut melalui titik (, 0 ). Nilai a.b.c adalah A. - B. - 6 C. 6 D. Diperoleh a b a. b. c ( A) c 6 9. Angka puluhan dari bilangan 5 adalah Angka puluhan dari bilangan 6 adalah. A. B. C. 6 D. 8 : 8 ( D ). 0 a a. a.... a Jika 0 a a a... a A. B. 0 C. D. 0 0 ( C ) Substitusikan = sehingga diperoleh., maka nilai dari. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi cm, cm dan 5 cm. Luas terbesar sebuah persegi yang dapat dimuat dalam segitiga tersebut adalah 8 A. 6 B C. 9 D Luas terbesar adalah ( C ) /

16 . Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P merupakan pusat bidang EFGH dan titik O merupakan pusat dari kubus. Jika AG =, maka luas segitiga AOP adalah. A. B. 6 C. D. 6 : A. Titik lattice adalah titik yang koordinatnya merupakan bilangan bulat Contoh : (, ) dan ( -, 0 ) merupakan titik lattice, bukan merupakan titik lattice Banyak titik lattice yang terletak pada lingkaran y 5adalah. A. 8 B. 0 C. D. : ( C ). Diketahui suatu data dari 50 orang, mempunyai rata-rata 5. Jika data tersebut masing-masing dikalikan dengan, kemudian dikurangi 5, maka nilai rata-rata dari data yang baru adalah. A. 0 B. 5 C. 50 D. 55 Rata-rata data yang baru adalah 55 ( D ) 5. Contoh : 8 jika dibagi 5 akan bersisa... (0).(0) Sisa pembagian... jika dibagi 7 adalah. A. B. C. D. Sisa pembagian adalah ( A ) /

17 6. Bilangan PENABUR adalah bilangan yang memenuhi kondisi berikut : ( ) Bilangan tersebut merupakan bilangan prima ( ) Jika dibaca terbalik dari belakang ke depan, maka bilangan yang diperoleh juga merupakan bilangan prima ( )Hasil kali dari digit-digit penyusunnya merupakan bilangan prima Bilangan PENABUR terbesar yang terdiri dari digit adalah bilangan abc maka nilai a + b + c =. A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Bilangan PENABUR yang dimaksud adalah Jumlah digit-digit penyusunnya adalah + + = 5 ( A ) 7. Diketahui p dan q merupakan bilangan prima Jika p p. q q merupakan bilangan kuadrat, maka jumlah semua nilai p yang memenuhi adalah. A. 8 B. 0 C. 8 D. Bilangan prima yang memenuhi adalah dan 5 Jumlahnya adalah 8 ( A ) 8. Nilai dari.... A. B. C. 0 D. Nilai. ( D ) 9. Diketahui dan y merupakan bilangan bulat Banyak pasangan (, y ) yang memenuhi y adalah. A. B. 5 C. 6 D. 7 5 ( B ) /

18 0. Perhatikan gambar berikut Garis AB mempunyai gradient dengan k < k A Jarak koordinat titik B terhadap sumbu Y adalah k O B X Jarak koordinat titik A terhadap sumbu X adalah. A. k B. k C. D. k : - ( C ) Y /

19 Kunci Jawaban Soal Olimpiade Matematika SMP Persiapan Olimpiade Sains Provinsi dan Nasional. C. C. B. C 5. C 6. A 7. D 8. D 9. A 0. C. A. A. A. D 5. D 6. B 7. A 8. B 9. B 0. D. C. A. B. D 5. C 6. A 7. B 8. A 9. D 0. C. C. A. C. D 5. A 6. A 7. A 8. D 9. B 0. C /

20 Pemabahasan Soal Olimpiade Matematika SMP Babak Persiapan Olimpiade Sains Provinsi dan Nasional LAH DENGAN RAPI, JELAS, SISTIMATIS, TERATUR DAN DETAIL. Tentukan semua bilangan real yang memenuhi : Dengan merasionalkan penyebut diperoleh :.. lalu kalikan dengan sehingga diperoleh : Jika kita kuadratkan, diperoleh Jika kita kuadratkan lagi, diperoleh Jadi 6. Diketahui persegi panjang ABCD dengan AB = dan BC = 7 Titik W terletak pada AB sehingga AW = Titik X terletak pada BC, titik Y terletak pada CD dan titik Z terletak pada DA sehingga WXYZ merupakan sebuah persegi panjang. Jika panjang BX lebih pendek daripada panjang XC, tentukan panjang BX Perhatikan bahwa o o YXC 90 WXB XWB 90 AWZ AZW Sehingga diperoleh segitiga XYC kongruen segitiga ZWA dan segitiga XYC sebangun dengan segitiga WXB. Akibatnya YC = AW = Karena segitiga XYC sebangun dengan segitiga WXB diperoleh /

21 BX CY BW CX BX 7 BX Sehingga diperoleh BX 7BX 0 Dengan rumus abc diperoleh A Z D 7 BX (karena BX < CX) W B X Y C. Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif ( a, b, c) yang memenuhi a. b. c 5000 Perhatikan bahwa a Maka nilai a, b, c haruslah a. a b a.5, b. b b.5 c dan c. c c.5 a b c memberikan solusi (0, 0, ),(0,, 0),(,, 0) dan (, 0, 0) a b c memberikan solusi yaitu (,, 0) dan (, 0, 0) a b c memberikan solusi yaitu (,, 0) dan (, 0, 0) Jadi, diperoleh = 6 himpunan penyelesaian. Pada ruang perpustakaan SMPK terdapat buah meja dengan jenis tipe yaitu meja berlaci satu, berlaci dua, berlaci tiga dan berlaci empat. Terdapat buah laci dari semua meja. Jika banyak meja berlaci satu sama dengan banyaknya meja berlaci dua dengan meja berlaci tiga bersama-sama, tentukan banyaknya meja berlaci satu, meja berlaci dua, meja berlaci tiga dan meja berlaci empat? Misal a adalah banyak meja berlaci satu b adalah banyak meja berlaci dua c adalah banyak meja berlaci tiga d adalah banyak meja berlaci empat sehingga diperoleh /

22 a b c d...( ) a b c d...( ) a b c...() Dari () dan (), diperoleh a + d = d = a Oleh karena itu a + b + c + d = a + (b + c) + c + d = a + a + c + ( a) = 56 + c 5a Sehingga diperoleh 56 + c 5a = c = 5a Karena c > 0, diperoleh a 5 Karena d 0 dan d a, diperoleh a 6 Sehingga a = 5 atau a = 6 Jika a = 6, maka d = a = c = 5a = 7 b = a c = - ( Tidak mungkin ) Jika a = 5, maka d = a = c = 5a = b = a c = Jadi banyak meja berlaci satu adalah 5 buah Banyak meja berlaci dua adalah buah Banyak meja berlaci tiga adalah buah Banyak meja berlaci empat adalah buah 5. Buktikan untuk setiap bilangan real positif a, b, c berlaku BUKTI a a. b b. c c 5. a. b. c Untuk setiap bilangan real positif a, berlaku a 0 a a a 0 a 5a... () Dengan cara yang sama diperoleh b c b 5b... ( ) c 5c... () Lalu kita kalikan persamaan ( ), ( ) dan ( ) sehingga diperoleh a a. b b. c c 5a.5b.5c 5. a. b. c Jadi untuk setiap bilangan real positif a, b, c berlaku a a. b b. c c 5. a. b. c /

23 6. Terdapat buah titik A, B, C, D pada bidang datar. Diketahui segitiga ABC dan segitiga ABD dimana kedua-duanya merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi segitiga masing-masing adalah0. Titik E terletak di dalam segitiga ABC sehingga EA = 8 dan EB =. Titik F terletak di dalam segitiga ABD sehingga FD = 8 dan FB =. Tentukan luas segiempat AEFD : Karena segitiga AEB kongruen dengan segitiga DFB, Sehingga diperoleh EBA FBD o Oleh karena itu EBF EBA ABF FBD ABF ABD 60 Karena EB BF, berarti segitiga EBF merupakan segitiga sama sisi dengan panjang. AEFD AEBD EBF FBD Kita memperoleh AEB ABD EBF FBD ABD EBF Perhatikan segitiga ABD merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 0 ABD. alas. tinggi Perhatikan segitiga EBF merupakan segitiga sama sisi dengan panjang sisi EBF Berarti. alas. tinggi.. AEFD ABD EBF Jadi luas AEFD = 7. Tentukan semua bilangan bulat (, y) yang memenuhi persamaan y y 8 y 8 0 : Dengan memfaktorkan persamaan y y 8 y 8 0 menjadi.. y y 8 y 8 0 y y 8 0 y 6. y 8 0 Sehingga diperoleh y 6 y 8 ATAU Jadi himpunan penyelesaiannya adalah /

24 0,6 ;,6 ;, ; 9,0 ; 0,6 ;,6 ;,6 ; 9, ; 6,0 8. Pak Pitus memilih sebuah bilangan real positif a secara acak dimana 0 a dan memilih sebuah bilangan real positif lainnya b secara acak dimana 0 b a Jika c, tentukan peluang dimana c a b a Untuk c maka berarti b a a b a Untuk c maka berarti a b a b b = a a = b Untuk mencari peluang b a dan a b, kita mencari luas daerah arsiran Luas tiap segitiga adalah alas. tinggi.. Luas daerah arsiran =. 6 Jadi peluang dimana c adalah 9. Diketahui segitiga ABC. Titik D terletak pada AC sehingga BD = CD. Sebuah garis yang sejajar BD, memotong BC di E dan memotong AB di F. Titik G merupakan titik potong antara garis AE dan BD. Buktikan sudut BCG sama dengan sudut BCF BUKTI Misalkan H merupakan titik potong garis AC dan EF C Maka besar sudut CDG = besar sudut CHF (HF sejajar DB) CD BD FH FH DG DG HE HC H Berarti segitiga CDG sebangun dengan segitiga FHC D E Akibatnya besar sudut GCD = besar sudut CFH G Sehingga diperoleh A B F /

25 BCG BCD GCD Terbukti CEH CFH BCF BCG BCF 0. Diketahui a, b, c merupakan bilangan bulat dimana ab bc ca 0 Buktikan 0. b 0. c 0 BUKTI a merupakan bilangan kuadrat Dengan menambahkan a ab bc ca a a b. a c a 0...() a pada kedua belah ruas diperoleh 0 Dengan cara yang sama diperoleh a b. b c b 0...() b c. c a c 0...() Dengan mengalikan (), () dan () diperoleh a 0. b 0. c 0 a b. b c. c a Jadi 0. b 0. c 0 a merupakan bilangan kuadrat THE END /