Solusi Olimpiade Sains Tingkat Kabupaten/Kota 2016 Bidang Matematika

Transkripsi

1 Solusi Olimpiade Sains Tingkat Kabupaten/Kota 06 Bidang Matematika. Jika a, b, c, d, e merupakan bilangan asli dengan a < b, b < 3c, c < 4d, d < 5e dan e < 00, maka nilai maksimum dari a adalah... Jawaban : 847 Jadi, nilai maksimum a adalah 847. e 99 = d < 495 d 494 = c < 976 c 975 = b < 595 b 594 = a < 848. Rudi membuat bilangan asli dua digit. Probabilitas bahwa kedua digit bilangan tersebut merupakan bilangan prima dan bilangan tersebut bersisa 3 jika dibagi 7 adalah... Jawaban : 45 Misalkan bilangan yang dibuat Rudi adalah 0a + b. Diketahui bahwa 0a + b 3 mod 7 3a + b 3 mod 7 karena a, b {, 3, 5, 7} maka tinggal dibagi kasus a =, diperoleh 6 + b 3 mod 7 b 4 mod 7. Tidak ada nilai b yang memenuhi. a = 3, diperoleh 9 + b 3 mod 7 b mod 7. Tidak ada nilai b yang memenuhi. a = 5, diperoleh 5 + b 3 mod 7 b mod 7. Diperoleh b =. a = 7, diperoleh + b 3 mod 7 b 3 mod 7. Diperoleh b = 3. Jadi, ada dua bilangan yang memiliki sifat kedua digit penyusunnya berupa bilangan prima dan bilangan tersebut bersisa 3 jika dibagi 7 yaitu 5 dan 73. Sehingga peluangnya adalah 90 = Pada segitiga ABC, titik M terletak pada BC sehingga AB = 7, AM = 3, BM = 5 dan MC = 6. Panjang AC adalah... Jawaban : 3 3 Dengan dalil Stewart diperoleh AB MC + AC BM = AM BC + BC BM MC AC 5 = AC = 35 AC = Halaman dari

2 4. Diberikan a dan b bilangan real dengan a b = 0. Nilai maksimum dari a 5b adalah... Jawaban : 500 a b = 0 = a = b + 40 b + 400, sehingga a 5b = b + 40 b b = 4( b 5) Oleh karena itu, nilai maksimum dari a 5b adalah 500, dicapai ketika a = 65 dan b = Pada segitiga ABC, titik X, Y dan Z berturut-turut terletak pada sinar BA, CB dan AC sehingga BX = BA, CY = CB dan AZ = AC. Jika luas ABC adalah, maka luas XY Z adalah... Jawaban : 7 Perhatikan gambar berikut! Z C A B X Y Kita punya [ABC] = [ABY ] = [AXY ] [ABC] = [BCZ] = [BZY ] [ABC] = [ACX] = [CZX] Sehingga [XY Z] = 7[ABC] = Banyaknya bilangan asli n yang memenuhi sifat hasil jumlah n dan suatu pembagi positif n yang kurang dari n sama dengan 06 adalah... Jawaban : 34 Misalkan a < n adalah faktor positif dari n sehingga a + n = 06. Perhatikan bahwa a membagi 06. Sehingga a adalah faktor positif dari 06. Karena 06 = maka faktor positif dari 06 ada sebanyak 6 3 = 36. Dan karena n = 06 a serta a < n maka a 06 dan a 008. Sehingga banyaknya bilangan asli n yang memenuhi ada 36 = Misalkan a adalah bilangan real sehingga polinomial p(x) = x 4 + 4x + a habis dibagi oleh (x c) untuk suatu bilangan real c. Nilai a yang memenuhi adalah... Jawaban : a = 3 Jelas c 0. Karena (x c) faktor dari p(x) maka diperoleh x 4 + 4x + a = (x cx + c ) (x + bx + a ) c Halaman dari

3 dengan menjabarkan ruas kanan diperoleh ( ( a x 4 + 4x + a = x 4 + (b c)x 3 + c bc + c) x + bc a ) x + a c Oleh karena itu, b c = 0 = b = c a c bc + c = 0 = a = 3c 4 bc a c = 4 = c3 = = c = sehingga a = 3c 4 = Anak laki-laki dan anak perempuan yang berjumlah 48 orang duduk melingkar secara acak. Banyaknya minimum anak perempuan sehingga pasti ada enam anak perempuan yang duduk berdekatan tanpa diselingi anak laki-laki adalah... Jawaban : 4 Misalkan n menyatakan jumlah anak laki-laki dan misalkan pula tempat duduk diantara dua laki-laki yang berdekatan kita sebut sebagai ruang. Jika n 8 maka ada minimal 8 ruang yang bisa ditempati oleh anak perempuan. Sementara itu, jumlah anak perempuan maksimal ada 40. Jadi, kita dapat mengatur anak perempuan tersebut ke dalam ruang-ruang sehingga tiap ruang maksimal ada 5 anak perempuan. Jika n = 7 maka ada 7 ruang yang bisa ditempati oleh 4 anak perempuan. Berdasarkan PHP pasti ada setidaknya satu ruang yang ditempati oleh setidaknya 6 anak perempuan. Jadi, jumlah anak perempuan minimum ada Misalkan (a, b, c, d, e, f) adalah sebarang pengurutan dari (,, 3, 4, 5, 6). Banyaknya pengurutan sehingga a + c + e > b + d + f adalah... Jawaban : 360 Karena =, dan a + c + e > b + d + f maka 6 b + d + f 0. WLOG a < c < e dan b < d < f. Jika b + d + f = 6 maka (b, d, f) = (,, 3) dan (a, c, e) = (4, 5, 6). Jika b + d + f = 7 maka (b, d, f) = (,, 4) dan (a, c, e) = (3, 5, 6). Jika b + d + f = 8 maka (b, d, f) = (,, 5) dan (a, c, e) = (3, 4, 6), (b, d, f) = (, 3, 4) dan (a, c, e) = (, 5, 6) Jika b + d + f = 9 maka (b, d, f) = (,, 6) dan (a, c, e) = (3, 4, 5), (b, d, f) = (, 3, 5) dan (a, c, e) = (, 4, 6), (b, d, f) = (, 3, 4) dan (a, c, e) = (, 5, 6) Jika b + d + f = 0 maka Halaman 3 dari

4 (b, d, f) = (, 3, 6) dan (a, c, e) = (, 4, 5), (b, d, f) = (, 4, 5) dan (a, c, e) = (, 3, 6), (b, d, f) = (, 3, 5) dan (a, c, e) = (, 4, 6) Jadi, pasangan (a, b, c, d, e, f) yang memenuhi ada sebanyak 0 3! 3! = Misalkan n, n, n 3, bilangan-bilangan asli yang membentuk barisan aritmatika. Banyaknya nilai di himpunan {,, 3,, 000} yang mungkin menjadi nilai n n n n adalah... Jawaban : 3 Misalkan n = a dan beda barisan aritmatika tersebut adalah b dengan a, b > 0. n n n n = n a+b n a = a + (a + b )b (a + (a )b) = b karena 3 < 000 < 3 maka banyaknya nilai yang mungkin dari n n n n adalah 3.. Segitiga ABC mempunyai panjang sisi AB = 0, AC = dan BC = 9. Titik D dan E terletak pada segmen garis BC, dengan BD = 8 dan EC = 9. Besar DAE adalah... derajat. Jawaban : 45 Buat garis melalui B sejajar AC yang memotong perpanjangan AD di G. Demikian pula, buat garis melalui C sejajar AB yang memotong perpanjangan AE di F, seperti gambar berikut C F E D G A B Dengan memanfaatkan kesebangunan antara BDG dan ADC diperoleh BG = 8 = 8. Dengan cara serupa diperoleh pula CF = 9. Misalkan CAF = β dan BAG = α. Maka diperoleh tan α = 8 0 = 5 dan tan β = 9 = Halaman 4 dari

5 sehingga didapat Jadi, DAE = 45. Alternatif solusi (Kredit to Pak Eddy) : tan DAE = tan(90 (α + β)) = cot(α + β)) = tan(α + β)) tan α tan β = tan α + tan β = = = Perhatikan bahwa ABE dan ADC adalah segitiga samakaki. Dengan mengingat bahwa ABC + BCA = 90, diperoleh DAE = BAE + CAD 90 = 80 ABC + 80 BCA = 360 ABC BCA = = Bilangan real t sehingga terdapat dengan tunggal tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi x + y = 3z dan x + y + z = t adalah... Jawaban : t = 9 8 3t = 3x + 3y + 3z = 3x + 3y + x + y = ( x + 3 ( + y + ) 3 ) Agar memiliki penyelesaian tunggal maka haruslah 3t = 7 8 t = Palindrom adalah bilangan yang sama dibaca dari depan atau dari belakang. Sebagai contoh 3 dan 33 merupakan palindrom. Palindrom 5 digit terbesar yang habis dibagi 303 adalah... Jawaban : Misalkan palindrom lima digit tersebut adalah n = abcba = 000a + 00b + 00c. Karena habis dibagi 303 = 3 0 maka n = 000a + 00b + 00c a c 0 mod 0 dan n = 000a + 00b + 00c a + b + c 0 mod 3 Halaman 5 dari

6 karena a c 0 mod 0 dan 9 a c 8 maka a c = 0 = c = a. Agar n maksimal pilih a = 4. Akibatnya a + b + c 0 mod b 0 mod 3 b mod 3 maka nilai b terbesar adalah b = 7. Jadi, n = Diberikan barisan {a n } dan {b n } dengan a n = n n dan b n = ( ) untuk + n + + n setiap bilangan asli n. Misalkan S n = a b + a b + + a n b n. Banyaknya bilangan asli n dengan n 06 sehingga S n merupakan bilangan rasional adalah... Jawaban : 43 Perhatikan bahwa a k b k = k k ( ) + k + + k = k(k + ) + k k + = k(k + ) k + + k = ( k + k) k(k + ) = k k + sehingga S n = ( ) ( + ) ( + + n 3 n + ) = n + Agar S n bernilai rasional maka n + harus berupa bilangan kuadrat. Mengingat n + 07, dan 44 < 07 < 45, maka nilai n yang mungkin ada sebanyak Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi. Titik K dan L berturut-turut terletak pada segmen garis BC dan DC sehingga keliling dari KCL adalah. Luas minimum dari AKL adalah... Jawaban : Perhatikan gambar berikut! Halaman 6 dari

7 D L C K A B Misalkan CK = a dan CL = b dengan 0 < a, b <. Karena keliling KCL = diperoleh a + b + a + b = a + b + (a + b) ab = misalkan a + b = x dan ab = y dengan 0 < x < dan 0 < y < diperoleh x + x y = x y = 4 4x + x y = x Selain itu berdasarkan AM-GM diperoleh pula a + b ab x y. Yang berakibat x x x 8x sehingga x 4 atau x 4 +. x 4. Akan tetapi, karena x < maka diperoleh Di lain pihak [AKL] = [ABK] [KCL] [ADL] = ( a) ab ( b) = (a + b ab) = (x y) = ( x) ( (4 )) = Jadi, luas AKL minimal adalah yang dicapai saat a = b =. 6. Banyaknya pasangan terurut bilangan asli (a, b, c) dengan a, b, c {,, 3, 4, 5} sehingga max{a, b, c} < min{a, b, c} adalah... Jawaban : 35 WLOG a b c, maka diperoleh c < a. (a) Jika a = maka c = dan b =, maka diperoleh pasangan (,, ). Halaman 7 dari

8 (b) Jika a = maka c = dan b =, diperoleh pasangan (,, ) c = 3 dan b =, 3, diperoleh pasangan (,, 3) dan (, 3, 3) ada sebanyak 3 = 6 pasangan. (c) Jika a = 3 maka c = 3 dan b = 3, diperoleh pasangan (3, 3, 3) c = 4 dan b = 3, 4, diperoleh pasangan (3, 3, 4) dan (3, 4, 4) ada sebanyak 3 = 6 pasangan. c = 5 dan b = 3, 4, 5, diperoleh pasangan (3, 3, 5), (3, 4, 5) dan (3, 5, 5) ada sebanyak = pasangan. (d) Jika a = 4 maka c = 4 dan b = 4, diperoleh pasangan (4, 4, 4) c = 5 dan b = 4, 5, diperoleh pasangan (4, 4, 5) dan (4, 5, 5) ada sebanyak 3 = 6 pasangan. (e) Jika a = 5 maka c = 5 dan b = 5, maka diperoleh pasangan (5, 5, 5). Jadi, total ada = 35 pasangan. 7. Banyaknya bilangan asli n {,, 3,, 000} sehingga terdapat bilangan real positif x yang memenuhi x + x = n adalah... Jawaban : 56 Perhatikan bahwa x = n x sehingga x adalah bilangan bulat positif. Oleh karena itu, x = a untuk suatu bilangan a bulat positif. Misalkan a = k + m dengan 0 m k, maka diperoleh n = k + m + k = k + m Untuk k =,, 3,, maka nilai n yang mungkin ada sebanyak k= (k + ) = 483 Sedangkan untuk k = perlu diperhatikan bahwa nilai m yang mungkin hanya m = 0,,, 3,, 3. Jadi ada 33 nilai n yang mungkin. Untuk k 3 akan berakibat n > 000. Jadi, total banyaknya kemungkinan nilai n adalah = Misalkan x, y, z bilangan real positif yang memenuhi Nilai dari x 5 y 4 z adalah... Jawaban : 3 8 Misalkan 3 log x (3y) = 3 log 3x (7z) = log 3x 4(8yz) 0 3 log x (3y) = 3 log 3x (7z) = log 3x 4(8yz) = k Halaman 8 dari

9 Berdasarkan definisi fungsi logaritma diperoleh log x (3y) = k 3 = 3y = x k 3 = x k = 3 3 y 3...() log 3x (7z) = k 3 = 7z = (3x) k 3 = (3x) k = 3 9 z 3...() log 3x 4(8yz) = k = 8yz = (3x 4 ) k...(3) Sehingga diperoleh x k 3 k x k 3 k x 4k = 33 y z yz x k = 38 y z x k = 3 4 yz Dari pers.() diperoleh Dari pers.(3) diperoleh 3 4 yz = 7y3 = y 4 z = 3 7 (3x 4 ) k = ( ) k = 3x 4 = x x = x5 = 3 Jadi, x 5 y 4 z = Diberikan empat titik pada satu lingkaran Γ dalam urutan A, B, C, D. Sinar garis AB dan DC berpotongan di E, dan sinar garis AD dan BC berpotongan di F. Misalkan EP dan F Q menyinggung lingkaran Γ berturut-turut di P dan Q. Misalkan pula bahwa EP = 60 dan F Q = 63, maka panjang EF adalah... Jawaban : 87 Misalkan ER adalah garis singgung (lain) yang ditarik dari titik E. Misalkan O adalah pusat lingkaran Γ, dan G perpotongan antara EO dan P R, seperti terlihat pada gambar berikut A Q P O D G B C R F E Jelas bahwa P G = GR. Perhatikan pula bahwa P, R, F segaris. Hal ini karena P R adalah polar dari E, sementara itu F juga terletak pada polar E. Halaman 9 dari

10 Selanjutnya dengan dalil phytagoras pada EP G dan EF G diperoleh EP P G = EF F G EP P G = EF (GR + RF ) EP P G = EF (P G + RF ) EP P G = EF P G P G RF RF EP = EF RF ( P G + RF ) EP = EF RF P F ) EP = EF F Q EF = = 87 Alternatif solusi (Kredit to Pak Eddy) : EF di M. Misalkan lingkaran luar EBC memotong (lagi) A Q P D B C F E M Berdasarkan teorema Miquel, maka F DCM adalah segiempat talibusur. Oleh karena itu, dengan power of the point diperoleh F M F E = F C F B = F Q dan EM EF = EC ED = EP Halaman 0 dari

11 Dengan menjumlahkam kedua persamaan di atas didapatkan F M F E + EM EF = F Q + EP EF (F M + ME) = F Q + EP EF = F Q + EP EF = F Q + EP EF = = Pada sebuah bidang datar, terdapat 6 garis berbeda dan n titik potong berbeda. Nilai minimal n sehingga dapat dipastikan terdapat 3 kelompok garis yang masing-masing memuat garis-garis berbeda yang saling sejajar adalah... Disusun oleh : Tutur Widodo Apabila ada saran, kritik maupun masukan silakan kirim via ke tutur.w87@gmail.com Website : Halaman dari