γ = gayaberat normal diatas dipermukaan ellipsoid. 2.1 Pendekatan Stokes T + T + g = anomali gayaberat (mgal) = g = gayaberat diatas permukaan geoid.

Transkripsi

1 BAB II MODEL PENENTUAN UNDULASI GEOID Terdapat beberapa model pedekata utuk peetua udulasi geoid, diataraya adalah pedekata Stokes da pedekata Molodesky. Dalam Bab ii aka dibahas megeai masig-masig model beserta permasalaha yag ada da aka ditetuka model pedekata yag palig sesuai utuk wilayah kerja TOTAL E&P INDONESIE serta solusi utuk meaggulagi permasalaha yag ada.. Pedekata Stokes Solusi yag didapatka dari pedekata Stokes pada dasarya merupaka ilai gaggua potesial gayaberat T. Dalam hal ii gaggua potesial gayaberat T di suatu titik didefiisika sebagai selisih atara potesial gayaberat di titik tersebut dega potesial gayaberat ormalya. Dega megguaka formula Brus ilai gaggua potesial gayaberat tersebut ditrasformasika mejadi udulasi geoid N. Gaggua potesial gayaberat yag diperoleh dari pedekata Stokes harus memeuhi persamaa Laplace (dalam sistem koordiat kartesia 3D yag pusat massaya berhimpit dega pusat massa bumi, yaitu (Heiskae & Moritz, 967 : T x T + y T + z = (. Gaggua potesial gayaberat juga memeuhi syarat batas yag bisa didekati dalam pedekata bola dega radius kosta yag ditulis dalam persamaa harmoik bola sebagai berikut: T g = T (. dimaa : g = aomali gayaberat (mgal = g γ. g = gayaberat diatas permukaa geoid. γ = gayaberat ormal diatas dipermukaa ellipsoid. T = gaggua potesial gayaberat. = jari-jari bola. 7

2 Solusi pedekata stokes yag memeuhi persamaa (. da (. adalah : dimaa : S ( ψ = fugsi Stokes = T +, d (.3 4π ( θ λ = S( ψ g( θ ', λ' = ( cos P ψ (.4 ψ = jarak spheris atara titik data dega titik komputasi ( cosψ = cos[ siφ siφ' + cosφ cosφ' cos( λ' λ ] arc (.5 P = poliom Legedre φ, λ = koordiat titik komputasi φ ', λ' = koordiat titik data gaya berat Nilai gaggua potesial gayaberat yag didapatka dari persamaa (.3, kemudia ditrasformasi dega megguaka formulasi Brus utuk medapatka ilai udulasi geoid, yaitu: T N = (.6 γ Dega demikia persamaa itegral Stokes mejadi: N, d (.7 ( θ λ = S( ψ g( θ ', λ' dimaa: γ = gayaberat ormal rata-rata = 979,8 gal (Heiskae ad Moritz, 967. Peetua udulasi geoid dega megguaka itegral Stokes dapat juga megguaka data gaggua gayaberat, melalui persamaa (Hoffma-Wellehof, H Moritz, 5 : N, d (.8 ( θ λ = H ( ψ δg( θ ', λ' 8

3 dimaa : H ( ψ = fugsi Hotie = + = + P (cosψ (.9 δ g = gaggua gayaberat (mgal = g P γ P g P = gayaberat dipermukaa geoid γ P = gayaberat ormal dipermukaa geoid Peetua udulasi geoid dega itegral Stokes memerluka ilai gayaberat yag terdefiisi di permukaa geoid. Oleh karea itu, utuk medapatka gayaberat di permukaa geoid, ilai gayaberat yag diukur pada permukaa bumi harus direduksi mejadi ilai gayaberat pada permukaa geoid. Permasalahaya adalah permukaa geoid tersebut harus didefiisika terlebih dahulu yag pada umumya dilakuka dega pegukura sipat datar da utuk kasus Delta Mahakam hal ii sagat sulit utuk dilakuka. Salah satu alteratif yag bisa diguaka utuk meaggulagi permasalaha tersebut adalah megguaka model pedekata Molodesky.. Pedekata Molodesky Molodesky megusulka suatu pedekata utuk meetuka betuk bumi dega meetuka aomali tiggi berdasarka data ilai aomali gayaberat di permukaa bumi. Dalam tugas akhir ii pedekata Molodesky yag diguaka berdasarka pada data gaggua gayaberat buka berdasarka pada data aomali gayaberat, karea dalam pedekata Molodesky aomali gayaberat didefiisika sebagai selisih atara gaya berat hasil observasi pada suatu titik diatas telluroid : g obs diatas permukaa bumi dega gaya berat ormal g = γ (. g obs Q Utuk meetuka aomali gayaberatya terlebih dahulu harus ditetuka permukaa telluroid yag dapat meyebabka terjadiya perambata kesalaha da peetuaya pu tidak mudah. Persamaa Molodesky dega megguaka data aomali gayaberat adalah (Hoffma-Wellehof, H Moritz, 5 : = gh ( ψ d (. 9

4 Gaggua gayaberat dalam pedekata molodesky didefiisika sebagai selisih atara gaya berat hasil observasi pada suatu titik g obs diatas permukaa bumi dega gaya berat ormal di titik tersebut γ h (pada ketiggia h : δg = γ (. g obs h Utuk medapatka gaya berat ormal di atas permukaa bumi ( γ h, dibutuhka tiggi geodetik da dega megguaka tekologi GPS tiggi geodetik ii dapat diperoleh dega mudah melalui persamaa : 3 γ h = γ ( + f + m f si ϕ h + h a a (.3 dimaa : γ h = gaya berat ormal di atas permukaa bumi a = setegah sumbu pajag ellipsoid referesi WGS 84 = m f = peggepega = : 98,57 ω = kecepata sudut rotasi bumi G = kostata gravitasi Newto M = massa bumi m ω a = GM ϕ h = litag geodetik titik komputasi = tiggi ellipsoid titik komputasi Jika betuk ormal geoid adalah ellipsoid referesi sebagai permukaa ekuipotesial ormal, maka Molodesky memperkealka suatu permukaa ormal dari bumi, yag buka permukaa ekuipotesial, sebagai pasaga dari permukaa bumi sesugguhya. Selajutya permukaa ii disebut telluroid

5 (Hirvoe, 96. Telluroid merupaka suatu bidag sepajag tiggi ormal H* dari suatu ellipsoid referesi. Jarak dari ellipsoid referesi ke permukaa bumi disebut tiggi geodetik h. Semetara jarak atara permukaa bumi dega telluroid disebut aomali tiggi. Jika perhitugaya dibalik, da aomali tiggi ditetapka sebagai jarak di atas ellipsoid, maka aka diperoleh suatu permukaa yag sagat dekat dega geoid pada semua titik. Permukaa itu disebut quasigeoid. Hal ii diperlihatka pada gambar. berikut : Gambar. Hubuga geometris quasigeoid, ellipsoid da permukaa bumi Aomali tiggi ditetuka dega megguaka data aomali free air di permukaa bumi. Jika ditetuka suatu pedekata dari aomali tiggi, da kemudia dihitug berdasarka persamaa berikut : = δgh ( ψ d (.4 Utuk meghitug aomali tiggi pada titik P di permukaa bumi, persamaa (.4 harus dikoreksi dega gaggua gayaberat pada titik Q di permukaa ellipsoid g (Hoffma-Wellehof, H Moritz, 5 : g H H 3γ δg + d = π P 3 l (.5

6 dimaa, l = ψ si H P = tiggi titik hituga di atas ellipsoid. H = tiggi d di atas ellipsoid. Jika g ditambahka pada δ g, maka aomali tiggi Dapat dituliska pedekata Molodesky utuk peetua aomali tiggi adalah sebagai berikut: = ( δg g H ( ψ + d (.6 Udulasi geoid ditetuka dega megkoversi aomali tiggi yag dihitug dega megguaka koefisie potesial pada uraia deret harmoik bola (app, 996. Koversi dari aomali tiggi ke udulasi geoid diyataka sebagai berikut (Heiskae & Moritz, 967 : N g B = + H (.7 γ dimaa : g B = aomali Bouguer (mgal Utuk dapat merealisasika persamaa (.6 diperluka data gaggua gayaberat dega ketetua :. Data gaggua gayaberat terdistribusi secara kotiyu.. Data gaggua gayaberat tersebar di seluruh permukaa bumi. Tetapi pada keyataaya yag terjadi adalah :. Data gaggua gayaberat diukur secara diskrit.. Data gaggua gayaberat yag tersedia haya pada daerah tertetu saja. Maka dari itu utuk dapat meghitug aomali tiggi ( berdasarka pedekata Molodesky, perlu dilakuka hal-hal sebagai berikut :. Data gaggua gayaberat yag bersifat diskrit harus dapat mewakili eleme permukaa.

7 . Metode yag diguaka merupaka kombiasi dari model geopotesial global da data gayaberat lokal..3 Solusi Metode Kombiasi Seperti yag telah dijelaska sebelumya bahwa data gaggua gayaberat diukur bersifat diskrit da tersedia haya pada daerah-daerah tertetu saja. Permasalaha ii dapat diatasi dega megguaka metode kombiasi yaitu metode pegkombiasia atara iformasi gayaberat yag bersifat lokal (gelombag pedek dega iformasi gayaberat yag bersifat global (gelombag pajag. Utuk memisahka kompoe gelombag pajag da gelombag pedek diperluka suatu model pembobota, dimaa dalam tugas akhir ii model pembobota yag diguaka adalah Wog-Gore. Pemiliha Model Wog-Gore ii disebabka model ii mampu mempertahaka siyal-siyal gelombag pajag da meghilagka efek siyal-siyal gelombag pedek dari model geopotesial global, serta mampu meghilagka kotribusi siyal-siyal gelombag pajag da mempertahaka siyal-siyal gelombag pedek dari data gaggua gayaberat (Solim,. Pada model pembobota Wog-Gore fugsi Hotie dipisahka mejadi : H ψ = H ( ψ + H ( (.8 ( ψ dimaa : + H ( ψ = w (cos = + P ψ (.9 H + ψ (. ( ( = w P (cosψ = + Utuk model pembobota Wog-Gore, koefisie bobot spektral ( w didefiisika sebagai berikut : w = L L < (. dega L adalah derajat maksimum yag ditetapka. Betuk model bobot da fugsi Hotie utuk model pembobota Wog-Gore dapat dilihat pada gambar.3 da.4. 3

8 w derajat (harmoik bola Gambar. Model bobot spektral Wog-Gore utuk L=8 H ( ψ ilai fugsi Hotie bobot spektral jarak agular (derajat ψ Gambar.3 Fugsi Hotie yag dimodifikasi dega pembobota Wog-Gore utuk L=8 4

9 Dari gambar. terlihat bahwa utuk harga dari sampai 8 ilai bobot spektral w yag dipilih adalah da utuk harga dari 8 sampai tak higga ilai bobot spektral w yag dipilih adalah. Pemiliha kedua ilai bobot spektral w tersebut dimaksudka utuk mempertahaka iformasi gelombag pajag pada model geopotesial global sekaligus meghilagka efek lokal dari model geopotesial tersebut da mempertahaka iformasi gelombag pedek pada data gaggua gayaberat lokal seklaigus mgehilagka efek globalya sehigga distorsi dari pegguaa model geopotesial global da data gaggua gayaberat lokal dapat di miimalka atau bahka dihilagka. Dari gambar.3 terlihat bahwa utuk jarak agular derajat 4 ilai fugsi Hotie yag dihasilka adalah, hal ii meyebabka ommissio eror yag dihasilka adalah miimum atau medekati ol sehigga utuk metode kombiasi megguaka pembobota Wog-Gore, harga ommisio eror-ya dapat diabaika. Dega demikia rumusa Molodesky pada persamaa (.6 mejadi : = ( ψ d δ gh ( ψ δ gh + 4 πγ d (. dimaa, δ g = δ g + g selajutya suku pertama pada ruas kaa persamaa (. diotasika dega da suku kedua pada ruas kaa sebagai. Apabila dihubugka atara persamaa (. da (. aka terlihat bahwa suku megakomodir siyal geoid gelombag pajag da suku megakomodir siyal geoid gelombag pedek. Iformasi siyal geoid gelombag pajag dapat diperoleh dari koefisie geopotesial dari model geopotesial global, sedagka iformasi siyal geoid gelombag pedek dapat diperoleh dari pegukura gayaberat di lapaga. Utuk dapat meghitug aomali tiggi pada daerah ψ maka suku harus diubah ke betuk uraia deret harmoik bola dega megguaka persamaa Laplace harmoik (megguaka persamaa (.3 sampai (.5, karea yag aka di itegrasi adalah daerah ψ buka diseluruh permukaa bumi. sedagka suku tidak diubah ke betuk uraia deret harmoik karea efekya bersifat lokal. 5

10 Pegubaha suku ke betuk uraia deret harmoik bola diawali dega pegubaha harmoik bola melalui persamaa Laplace harmoik : δg ke betuk = = ( θ, λ δ ( θ λ δ g, (.3 g δg + 4π = δgp ( cosψ d δgp ( cosψ d = δg 4π (.4 + Substitusi persamaa (.9 da (.4 ke diperoleh : Dega demikia persamaa (. mejadi : = w δg (.5 γ = + = w δg + γ + δ gh = ( ψ d (.6 Dari persamaa (.6 tampak bahwa utuk meetuka diperluka data koefisie geopotesial sampai dega derajat = da data gaggua gayaberat yag tersebar diseluruh permukaa bumi. Pada praktisya koefisie geopotesial yag tersedia haya sampai derajat = 8 da data gaggua gayaberat yag terbatas haya pada kawasa itegrasi, sehigga persamaa (.6 mejadi : γ 8 w δg + + γ wδg + + = = = 8+ δ gh ( ψ d +... δ gh ( ψ d (.7 Sesuai dega pejelasa gambar.3 suku kedua da keempat pada ruas kaa yag merupaka ommissio eror persamaa diatas dapat diabaika. Suku keempat pada ruas kaa persamaa (.7, merupaka ommisio error yag disebabka oleh pegabaia efek gaggua gayaberat di luar kawasa itegrasi. Persamaa (.7 diatas dapat ditulis kembali sebagai : 6

11 + GM δg = (.8 dega, Kotribusi gelombag pajag (model geopotetial : + GM GM = ( Cm cos mλ + S m si mλ Pm ( siφ (.9 γ = r m= Kotribusi gelomabag pedek dari data gayaberat lokal (gaggua gayaberat : δg = πγ 4 ref [ δg δg ] H ( ψ d (.3 max ref δ g = γ ( ( Cm cos mλ + S m si mλ Pm ( siϕ = m= + (.3 = radius itegrasi dega radius maksimum ψ,m = derajat da orde dari model geopotesial global ( λ, φ = koordiat geosetrik dari titik komputasi C S m, m = koefisie geopotesial dari model geopotesial global Utuk memperoleh udulasi geoid, persamaa (.8 disubstitusika ke persamaa (.9 sehigga didapatka : N GM δg g B = + + H (.3 γ.4 Model Geopotesial EIGEN-GL4C Model geopotesial EIGEN-GL4C merupaka suatu model bumi dega koefisie harmoik bola yag legkap dimaa derajat da orde m sampai dega 36. Model geopotesial EIGEN-GL4C dikembagka dega megguaka data-data dari : 7

12 . Data pejejaka satelit yag terdiri dari satelit GACE da LAGEOS yag telah diaalisa oleh GFZ Postdam da GGS Toulouse.. Data gayaberat terestris dega grid sebesar 3 x 3, termasuk pegukura-pegukura terbaru yag dilakuka pada wilayah bekas Ui Soviet, Amerika Selata, Afrika, Greelad, da wilayah-wilayah laiya 3. Data satelit altimetri dega grid sebesar 3 x 3 utuk wilayah laut. Pemodela meda gayaberat EIGEN-GL4C bergua utuk :. Perhituga orbit yag teliti, khususya utuk satelit altimetri.. Meetuka geoid resolusi tiggi di darata da lauta 3. Akurasi dari tiggi orthometrik yag diperoleh dari selisih atara tiggi yag diperoleh dari GPS dega udulasi geoid 4. Meetapka permukaa referesi (geoid sebagai World Height System. Selai itu mafaat dari pegguaa model EIGEN-GL4C atara lai utuk: studi oseaografi, pemetaa, peetua posisi geodetik megguaka GPS, avigasi da peetua orbit. Betuk da dimesi suatu model geopotesial bumi ditetuka berdasarka parameter-parameter fisikya. Beberapa parameter EIGEN-GL4C atara lai : Setegah sumbu pajag ellipsoid (a = m Kostata gravitasi (GM = 39864,48. 8 m 3 /s Kecepata sudut rotasi bumi (ω = rad/s Koefisie potesial gravitasi bumi derajat ke dua (J = (C,. 5. (C, = -484,