REVITALISASI D A N SOSIALISASI DIRI PENINGKATAN KUALITAS PENELITIAN & PENDIDIKAN MATEMATIKA DI INDONESIA. Seminar Nasional Mahasiswa S3 Matematika

Transkripsi

1 ISBN : Prosiding Seminar Nasional Mahasiswa S3 Matematia REVITALISASI D A N SOSIALISASI DIRI UNTUK BERPERAN AKTIF DALAM PENINGKATAN KUALITAS PENELITIAN & PENDIDIKAN MATEMATIKA DI INDONESIA i as Mahasiswa S- 3M atemati a Forum Komuniasi Mahasiswa S-3 Matematia se-indonesia Beerja Sama Dengan Jurusan Matematia FMIPA UGM Komu rum ni Fo Editor : Muslim Ansori Ismail Djaaria Dhoriva Urwatul Wutsqa Agus Maman Abadi M. Andy Rudhito Umu Sa adah Karyati Hasih Pratiwi Indonesia

2 Maalah Bidang Statistia Estimating Conditional Intensity of Point Processes Models (Nurtiti Sanusi, Sutawanir D., I Wayan M, Wahyu T).328 Generator Frame Wavelet Ketat dari Kelas Box Spline Multivariate (Mahmud Yunus, Janny Lindiarni, Hendra Gunawan).334 Generalized Regression dalam Pendugaan Area Kecil (Anang Kurnia, Khairil A. Notodiputro, Asep Saefuddin, dan I Wayan Mangu) 346 Chain Ladder Method as a Gold Standard to Estimate Loss Reserves (Aceng K. Mutaqin, Dumaria R. Tampubolon, Sutawanir Darwis).356 Optimalisasi Respon Ganda pada Metode Respon Permuaan (Response Surface) dengan Pendeatan Fungsi Desirability (Hari Sati Wibowo, I Made Sumertajaya, Hari Wijayanto).365 Sifat Penasir Simulated MLE pada Respon Multinomial (Jaa Nugraha)..376 Estimasi Model Probit pada Respons Biner Multivariat Menggunaan MLE dan GEE (Jaa Nugraha).386 Analisis Komponen Utama Temporar (Ismail Djaaria).399 Pendeatan Dynamic Linear Model atau State Space Model pada Pendugaan Area Kecil (Small Area Estimation) (Kusman Sadi dan Khairil Anwar Notodiputro).411 Pengembangan Algoritma EM untu Data Tida Lengap (Incomplete Data) pada Model Log-Linear (Kusman Sadi) CRUISE sebagai Metode Berstrutur Pohon (Tree-Structured) pada Data Non-Biner (Kusman Sadi) Model Proportional Hazards Cox dengan Missing Covariates (Nuraromah Dwidayati, Sri Haryatmi, Subanar).447 Apliasi Mixture Distribution dalam Pemodelan Resio Atuaria (Adhitya Ronnie Effendie) 459 Analisis Komponen Utama Probabilisti pada Data Missing (Ismail Djaaria) Malaah Bidang Terapan..464 Bilangan Ramsey untu Graf Bintang S 6 dan Graf Bipartit Lengap K 2,N, N=2,3,4 (Isnaini Rosyida).476 H-supermagic labelings of c copies of some graphs (Tita Khalis Maryati, A. N. M. Salman, Edy Tri Basoro, Irawati) 485 viii

3 Pengembangan Algoritma EM untu Data Tida Lengap (Incomplete Data) pada Model Log-Linear Kusman Sadi Departemen Statistia, FMIPA IPB Jl. Raya Dramaga, Kampus IPB Dramaga, Bogor usmansadi@yahoo.com Abstra Pada data ategori teradang terdapat beberapa data yang tida lengap pada salah satu ategorinya, sehingga ringasan dari data ategori dalam bentu tabel ontingensinya terbagi menjadi dua bagian yaitu tabel ontingensi data lengap dan data tida lengap. Analisa yang dapat digunaan untu asus tersebut adalah dengan memodelan data lengap mengunaan model log-linear. Kemudian dilauan pendugaan data tida lengap menggunaan algoritma EM. Algoritma EM terdiri dari dari dua tahapan yaitu tahapan M (Maximization) diperoleh dari pendugaan masimum lielihood berupa nilai proporsi setiap sel pengamatan, tahapan E (Expectation) merupaan proses pendistribusian data tida lengap berdasaran proporsi yang telah ditentuan sehingga setiap nilai sel pengamatan mengalami penyesuaian nilai. Algoritma EM ini merupaan proses iterasi yang terus berlangsung hingga diperoleh nilai yang onvergen. Data yang digunaan dalam penelitian ini adalah status esehetan bayi setelah dilahiran di dua lini yang berbeda. Data yang diamati adalah clinic (C), prenatal care (P) dan survival (S). Terdapat data tida lengap pada ategori clinic. Model Log-linear terbai untu data lengap adalah model (SC,PC) arena memilii nilai uji ebaian suai dan model ini cuup sederhana untu mendistribusian data tida lengap e data lengap dibandingan model lainnya. Model ini memberi gambaran hubungan antara peubah clinic (C) dengan peubah lainnya. Kata unci : incomplete data, EM algorithm, prenatal care, survival, maximum lielihood 1. Pendahuluan 1.1. Latar Belaang Data ategori teradang dapat berupa gabungan dari data-data yang tida lengap pada satu atau beberapa ategori. Tida lengapnya data dapat diaibatan oleh nonresponse dari subje yang terobservasi, sehingga dianggap sebagai data missing atau data hilang. Kondisi seperti itu, data ategori yang tersedia masih dapat di ringas dalam bentu tabel ontingensi

4 Pengembangan Algoritma EM untu Data... dan di analisis menggunaan model loglinear (Fuchs Camil,1992). Namun pemodelan yang sempurna untu seluruh data dapat dilauan apabila data tida lengap diduga terlebih dahulu, arena ondisi tersebut tida dapat diabaian (nonignorable) terait dengan nilai peluang di setiap sel ategori dan aan mempengaruhi pendugaan parameter di dalam model (Par Taesung dan Morton B.Brown,1994). Algoritma EM dapat dijadian solusi di dalam pendugaan data tida lengap. Iterasi dari algoritma tersebut dilauan sehingga diperoleh nilai dugaan pada setiap sel pengamatan yang onvergen e satu nilai, Penentuan model terbai yang dilauan pada data tida lengap dapat di lihat dari nilai uji nisbah emunginan dari masing-masing model, nilai yang terbesar menunjuan bahwa model tersebut lebih bai dibandingan model lainnya. Sebagai ilustrasi untu memudahan pemahaman algoritma EM, maa dalam penelitian ini digunaan data ategori cross sectional berupa status eadaan bayi setelah dilahiran pada dua lini yang berbeda Tujuan Penelitian ini bertujuan mempelajari pendugaan data tida lengap dengan algoritma EM pada model loglinear, dan menentuan pemodelan terbai untu data studi asus status eadaan bayi setelah dilahiran pada dua lini yang berbeda. 2. Tinjauan Pustaa 2.1. Model Loglinear pada Tabel Kontingensi Data ategori merupaan jenis data dengan sala penguuran nominal dan ordinal. Ringasan dari data ategori ini dapat ditampilan menggunaan tabel ontingensi, yang berupa total dari seluruh obervasi setiap ategori atau persentasi dari total di setiap ategori (Morgan dan Andrew F Siegel, 1996). Analisis tabel ontingensi berdimensi besar dilauan pada setiap pasangan peubah dalam tabel dua arah. Menurut Fienberg (1978) memilii banya elemahan antara lain : 1. Mengaburan hubungan marginal antara pasangan-pasangan peubah etegori dengan peubah yang lainnya. Bidang Statistia 423

5 Kusman Sadi 2. Tida dapat mengamati hubungan pasangan-pasangan peubah secara simultan. 3. Mengabaian emunginan adanya interasi tiga peubah dan interasi yang lebih tinggi lainnya. Oleh arena itu diperluan analisis lain untu tabel ontingensi berdimensi besar, diantaranya menggunaan model loglinear. Model loglinear menggambaran hubungan beberapa ategori, dengan pendeatan loglinear ini dari model dapat dihitung nilai harapan(m ) setiap sel dalam tabel ontingensi, bentu dari model loglinear dan interpretasi parameter-parameter dalam model sama dengan ANOVA(Agresti,1990) Model Loglinear pada Tabel Kontingensi Tiga Arah Tabel ontingensi tiga arah dengan uuran i x j x dapat dibentu dari N observasi yang terdiri dari tiga peubah X, Y, dan R. Peubah X terdiri dari i ategori, Y terdiri dari j ategori dan R terdiri dari ategori. Bentu model lengap XYR (saturated model), di gambaran dalam bentu : i X i j Y j log m (1) R dimana : 0 dan i XY ij j XY ij j YR j X i Y j XYR... 0 untu : i = 1, 2,..., I j = 1, 2,...,J dan = 1, 2,...K Keterangan : : Rataan seluruh observasi R XY ij YR j XR i XYR X i Y j R XY ij : Pengaruh utama e i pada ategori X : Pengaruh utama e j pada ategori Y : Pengaruh utama e pada ategori R : Interasi ategori X e i dengan ategori Y e j 424 Seminar Nasional Matematia-FKMS3MI 2008

6 Pengembangan Algoritma EM untu Data... YR j XR i : Interasi ategori Y e j dengan ategori R e : Interasi ategori X e i dengan ategori R e XYR : Interasi ategori X e i dengan ategori Y e j dan ategori R e Pendugaan parameter dalam model diatas dapat diperoleh dengan cara sebagai beriut :... log m X R i i Y XY j. j.... ij ij. i... j.... YR j XR i. j. j i. i XYR ij. i.. j i... j Pada dasarnya model yang terbentu dari tabel ontingensi dapat diuraian menjadi beberapa model loglinear (model hirari), tersusun dari model sederhana tanpa adanya interasi antara ategori, hingga model lengap yang seluruh interasi ada didalam model tersebut (Little dan Donald, 1997). Uji Kebaian Suai Model yang dicobaan dapat dilihat esesuaiannya dengan menggunaan uji ebaian suai hi-uadrat Pearson statistic, G 2 ). 2 dan statitsti uji nisbah emunginan (lielihood rasio test Bidang Statistia 425

7 Kusman Sadi Uji Khi-uadrat Pearson 2 Statisti ebaian suai hi-uadrat untu tiga peubah dapat dihitung dengan rumus: n m 2 (2) m i j 2 n adalah nilai pengamatan, sedangan m adalah nilai harapan dari olom-. Uji Nisbah Kemunginan (G 2 ) Statisti nisbah emunginan dapat di hitung dengan rumus: G 2 m 2 n log (3) i j n Logaritma ditentuan dengan bilangan dasar e atau lebih dienal dengan logaritma natural. Hipotesis yang di uji adalah : H 0 : Model memilii ebaian suai H 1 : Model tida memilii ebaian suai Statisti uji 2 Pearson dan G 2 menyebar asimtoti menurut sebaran hi-uadrat ( 2 ) dengan derajat bebas berupa pengurangan jumlah sel terhadap banyanya parameter bebas (Little dan Donald, 1997). Jia terdapat lebih satu model yang sesuai maa dilauan pemilihan model yang memilii ebaian suai paling bai. Pemilihan dapat dilauan dengan menguji hipotesis beriut : H 0 : Pilih Model pertama H 1 : Pilih model edua Statisti ujinya : G G(1) G(2) (4) 426 Seminar Nasional Matematia-FKMS3MI 2008

8 Pengembangan Algoritma EM untu Data... Kaidah pengujian yang digunaan adalah jia lebih ecil dari 2 maa H 0 diterima pada taraf nyata dengan derajat bebas adalah selisih dari derajat bebas edua model yang dibandingan Algoritma EM Algoritma EM adalah salah satu metode yang digunaan secara luas untu menghitung penduga emunginan masimum dari data yang tida lengap (Little dan Donald, 1997). Ada dua tahapan dasar dalam algoritma ini, yaitu : 1. Tahapan E (Expectation) yaitu tahapan mencari nilai harapan bersyarat dari data tida lengaap dengan syarat data lengap dan pendugaan parameter dari suatu fungsi emunginan l( Y ), yang emudian nilai harapan yang diperoleh di subsitusian e dalam data hilang. Tahapan E dalam EM dapat ditentuan sebagai beriut : Q ( t ) ( t ) l Y f Y mis Yobs, dy mis (5) 2. Tahapan M dalam algoritma EM menentuan iterasi penentuan nilai penduga terbaru (t+1) dengan memasimuman : Q ( t 1) ( t ) ( t ) Q (6) Untu semua nilai Dalam asus data tida lengap pada data ategori, edua tahapan penting algoritma EM didefinisian bahwa setiap tahapan E dari algoritma EM menentuan besarnya freuensi pada sel pengamatan semu dengan mengaloasian total marginal dari data tida lengap e dalam sel yang tida terobservasi. Sedangan tahapan M menghasilan pendugaan masimum lielihood dari sel freuensi pengamatan semu tersebut dengan cara memasimuman pendugaan posterior dari parameter model. Kedua tahapan tersebut dilauan terus menerus hingga pada ahirnya diperoleh nilai dugaan pada tahap M yang onvergen terhadap satu nilai (Par dan Morton, 1994). Tahapan pendugaan data hilang dengan algoritma EM, (Little dan Donald, 1997) adalah : Bidang Statistia 427

9 Kusman Sadi 1. Menghitung nilai peluang di setiap sel pengamatan dengan menggunaan statisti cuup yang di peroleh dengan pendugaan masimum lielihood. 2. Menduga nilai harapan di setiap dengan mendistribuan data tida lengap e dalam tiap sel pengamatan berdasaran proporsi peluangnya. 3. Ulangi langah 1-2 sampai memperoleh nilai dugaan parameter yang onvergen e satu nilai tertentu. Setelah diperoleh hasil pendugaan yang onvergen e satu nilai. Keonvergenan dapat diartian bahwa nilai disetiap pengamatan utnu beberapa iterasi ahir tida mengalami perubahan. 3. Bahan dan Metode Ilustrasi yang digunaan untu memahami pendugaan data tida lengap dengan metode EM adalah data mengenai status eadaan bayi setelah dilahiran pada dua lini berbeda. Peubah yang digunaan dalam penelitian ini yaitu: Peubah Kategori Kode Survival died, survived S Prenatal Care less, more P Clinic A,B C Ringasan data di tampilan e dalam tabel ontingensi tiga arah pada Tabel 1. Uuran tabel tersebut 2 x 2 x 2. Tabel 1.Tabel Kontingensi Survival (S) Clinic (C) Prenatal Care (P) Died Survived (a) Data Lengap A Less More B Less More 2 23 m=715 (b) Bagian Data Ta Lengap Less More 5 90 r=255 Sumber : Bishop, Fienberg, dan Holland,(1998), Tabel Seminar Nasional Matematia-FKMS3MI 2008

10 Pengembangan Algoritma EM untu Data... Total seluruh responden yang berpartisipasi adalah 970 orang (m + r = 970), namun hanya 715 terisi lengap (m = 715), sedangan 255 tida lengap (r= 225) terhadap peubah clinic (C), sehingga 255 data ini yang aan di distribusian e dalam sel-sel pengamatan. Metode yang digunaan : 1.Menentuan model terbai dari data lengap yang tersedia. 2.Menentuan nilai peluang setiap sel pengamatan. 3.Menentuan nilai harapan setiap sel dengan mendistribusian data ta lengap berdasaran nilai peluangnya, hingga onvergen. 4.Menentuan model terbai setelah data di perbaii. 4. Hasil dan Pembahan 4.1. Model Loglinear pada Tabel Kontingensi Model hirari yang dapat di uraian dari tabel ontingensi berdimensi tiga ada 19 model loglinear. Sembilan dari model tersebut di tampilan pada lampiran 1, sedangan sepuluh model lainnya di peroleh dari permutasi interasi peubah-peubah pada model (3), (4), (5), (7), dan (8). Analisa dalam penelitian ini hanya menggunaan empat model, arena model-model tersebut dapat menggambaran hubungan antara peubah clinic (C) dengan peubah-peubah lainnya. Empat model tersebut yaitu : model lengap (SPC), model (SP, SC, PC), model (SC, PC), model (SP, SC). Hasil dari nilai uji ebaian suai (G 2 dan 2 ) yang ditampilan pada lampiran 2 untu setiap model, menunjuan bahwa model yang memilii ebaian suai terbai hanya tiga model saja yaitu model (SPC), model (SP, SC, PC), model (SC, PC)., hal ini diperoleh dari pembandingan nilai uji ebaian suai dengan nilai pada tabel hi-uadrat dengan derajat bebas masing-masing model.jia nilai ebaian suai lebih besar dari pada nilai tabel hiuadrat pada taraf nyata 5 % maa esimpulan yang diambil adalah menerima H 0 atau diintrepretasian bahwa model memilii ebaian suai. Oleh arena ada lebih dari satu model yang memilii ebaian suai maa untu menentuan model terbai perlu dilauan analisa lanjutan. Hasil pemilihan dapat dilihat dari Tabel 2. Bidang Statistia 429

11 Kusman Sadi Model Tabel 2.hasil pemilihan model terbai. Model G 2 db 2 (db,5%) Model terpilih (SPC) * (SPC) (SP,SC,PC) (SPC) * (SPC) (SC,PC) (SC,PC)* SP,SC,PC) (SC,PC) (SPC) ini merupaan model yang mengambaran seluruh interasi antar peubah secara lengap.penentuan nilai peluang setiap sel pengamatan pada model lengap (SPC) dapat diproporsian secara sempurna, dari model ini diperoleh nilai ebaian suai (G 2 dan 2 ) nol dan derajat bebasnya juga nol. Pada model (SP, SC, PC) dan model (SC, PC) memilii nilai ebaian suai yang terecil dibandingan dengan model lainnya, hal ini menunjuan edua model ini yang terbai dan mengindiasian bahwa antara peubah survival (S), prenatal (P) berhubungan dengan peubah clinic (C). Namun pada model (SC, PC) tida dapat menjelasan hubungan antara peubah survival (S) dengan peubah prenatal (P) berbeda dengan model (SP, SC, PC). Oleh arena itu untu pendugaan EM model yang digunaan adalah model (SC, PC) arena di nilai lebih sederhana dan aan lebih mudah dalam mendistribusian data ta lengap Analisa Algoritma EM Analisa algoritma EM meliputi pendistribusian dari data tida lengap e dalam data lengap menggunaan nilai peluang bersyarat, emudian menduga nilai di setiap sel pengamatan dari data lengap. Setiap nilai peluang yang diperoleh di tentuan oleh model loglinear. Hasil dari algoritma EM pada model (SC, PC) berhenti pada iterasi e 4, hal ini di sebaban pada iterasi e 4 telah menunjuan nilai yang onvergen pada satu nilai di dalam tahapan E. Jia iterasi itu di lanjutan, maa pada iterasi selanjutnya aan diperoleh penduga nilai sel pengamatan yang sama dengan iterasi e 4. Nilai ahir dari iterasi yang diperoleh merupaan gabungan dari data lengap dengan data tida lengap hasil algoritma EM tersebut seprti di dalam Tabel Seminar Nasional Matematia-FKMS3MI 2008

12 Pengembangan Algoritma EM untu Data... Tabel 3. Nilai Ahir Pendugaan Data Ta Lengap dengan Metode EM Survival (S) Clinic (C) Prenatal Care (P) Died Survived A Less More B Less More 3 30 Total dari seluruh data tida berubah yaitu 970 namun nilai sel pengamatan di dalam tiap ategori berubah. Sel pengamatan yang mendapatan pendistribusian data terbesar adalah sel pada clinic (C) A, prenatal care (P) untu ategori more dan survival (S) untu ategori survived., sel tersebut mendapat tambahan sebesar 83, hal ini terjadi arena proporsi awal pada sel tersebut terbesar pula. 5. Kesimpulan Algoritma EM untu data tida lengap pada model loglinear merupaan metode yang cuup bai digunaan, arena dalam algoritma EM terjadi proses pendistribusian data tida lengap e data lengap berdasaran nilai peluang bersyaratnya, dan penentuan nilai peluang ditentuan oleh model loglinear yang digunaan. Model loglinear terbai dalam ilustrasi yang dapat digunaan untu algoritma adalah model (SC, PC) arena model ini memilii nilai ebaian suai yang terecil dan model cuup sederhana dibanding dengan model (SP, SC, PC). Sedangan proses dari pendistribusian data tida lengap dengan algoritma EM tida membutuhan iterasi yang besar. Pada iterasi e 4 sudah menunjuan nilai yang onvergen, EM Daftar Pustaa Agresti, Alan Categorical Data Analysis. NewYor: Jhon Wiley & Sons. Fienberg, Stephen E The Analysis of Cross-Classified Categorical Data. The Massachusetts Institute of Technology. Fuch, Camil Maximum Lielihood Estimation and Model Selection in Contingency Tables With Missing Data. Journal of The American Statistical Association. Vol 77. No 378. American. Bidang Statistia 431

13 Kusman Sadi Little, R J A., and Donald B. Rubbin Statistical Analysis with Missing Data. New Yor: John Wiley & Sons. Morgan, Charles J., and Andrew F Siegel Statistic and Data Analysi. New Yor: John Wiley & Sons. Par, Taesung., dan Morton B. Brown Models For Categorical With Nonignorable Nonresponse. Journal of The American Statistical Assciation. Vol 89. No 425. American. 432 Seminar Nasional Matematia-FKMS3MI 2008