Abstract

Transkripsi

1 On the Domination Number of Some Grah Oerations N.Y. Sari 1,2, I.H. Agustin 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT- University of Jember 2 Deartment of Mathematics Education - University of Jember 3 Deartment of Information System - University of Jember Sarinurmayunita@ymail.com; Hestyarin@gmail.com; d.dafik@unej.ac.id Abstract A set D of vertices of a simle grah G, that is a grah without loos and multile edges, is called a dominating set if every vertex u V (G) D is adjacent to some vertex v D. The domination number of a grah G, denoted by γ(g), is the order of a smallest dominating set of G. A dominating set D with D = γ(g) is called a minimum dominating set. This research aims to characterize the domination number of some grah oerations, namely joint grahs, coronation of grahs, grah comositions, tensor roduct of two grahs, and grah amalgamation. The results shows that most of the resulting domination numbers attain the given lower bound of γ(g). Keywords: Dominating set, domination number, Pendahuluan Teori graf adalah bagian dari matematika diskrit yang banyak digunakan sebagai alat bantu untuk menggambarkan suatu ersoalan agar lebih mudah dimengerti dan diselesaikan. Salah satu teori yang dikembangkan dalam teori graf Dominating Set. Dominating set meruakan suatu konse enentuan titik ada graf dengan ketentuan titik sebagai dominating set menjangkau titik yang ada disekitarnya dan seminimal mungkin, kardinalitas minimal dari Dominating set adalah domination number yang dinotasikan dengan γ(g) [3]. Sedangkan total dominating set yang dinotasikan dengan γ t (G) meruakan suatu konse enentuan titik ada graf dengan ketentuan titik sebagai total dominating set yaitu saling menjangkau titik dominating set yang ada di sekitarnya saling bertetangga dan seminimal mungkin [1]. Dominating Set daat diterakan ada graf yang meruakan hasil oerasi dari beberaa graf khusus yaitu graf yang memunyai keunikan dan karakteristik bentuk khusus, misalnya seerti graf lintasan (ath), graf lingkaran (cycle), graf bintang (star), graf roda (wheel) dan graf yang lainnya. Sedangkan oerasi graf adalah beberaa cara untuk memeroleh graf baru dengan melakukan suatu oerasi terhada dua graf. Adaun graf-graf hasil engoerasian yang digunakan dalam enelitian ini yaitu C n + F lm, C n [Fl m ], W m P n, F n P m dan Amal (F n,v = A,r) [5]. Himunan D dari titik graf sederhana G dinamakan dominating set jika

2 Sari, et.al: On the Domination Number of Some Grah Oerations 23 setia titik u V (G) D adjacent ke beberaa titik v D. Kardinalitas terkecil dari dominating set disebut domination number yang dinotasikan dengan γ (G). Dominating set D dengan D = γ (G) dinamakan minimum dominating set. Menurut [3], batas atas dari domination number adalah banyaknya titik di graf. Ketika aling sedikit satu titik yang dibutuhkan untuk himunan dominasi di graf, maka 1 γ (G) n untuk setia graf ber-order n. Nilai dari domination number selalu γ (G) V (G) [7] [8]. Teorema 1 [4] Untuk sebarang graf G, maka 1+ (G) γ (G) (G). Keterangan: = Banyaknya titik; (G)= Derajat Terbesar γ(g) = Dominating Number Hasil Penelitian Dari hasil enelitian ini didaatkan teorema mengenai dominating set ada graf-graf hasil oerasi C n +Fl m, F n +L m, C n [Fl m ], F n P m, Amal (F n,v = A,r) dan Shack (Fl n,r). Teorema 2 Misal G adalah graf hasil oerasi joint dari (C n ) dan (Fl m ), untuk n 3 dan m 2, maka γ(c n + Fl m ) = 1. Bukti: Graf Joint (C n +Fl m ) memiliki himunan titik V (C n +Fl m ) = {A,x i,y i ;1 i n} {z j ;1 j m} dan himunan sisi E(C n + Fl m ) = {Ax i, Ay i,x i x i+1,x n x 1,x i y i ;1 i n} {Az j,x i z j,y i z j ;1 i n,1 j m} {z j z j+1,z m z 1 ;1 j m 1}, = V (C n + Fl m ) = 2n + m + 1, q = E(C n +Fl m ) = 2nm+4n+2m dan (C n +Fl m ) = 2n+m. Dari teorema dinyatakan bahwa 1+ (C γ(c n+fl m) n + Fl m ) (C n + Fl m ) maka dieroleh bahwa γ(c n + Fl m ) 1 + (C n + Fl m ) 2n + m n + m 1 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ(c n +Fl m ) 1 dengan memilih himunan dominasi, yaitu D = A. Daat dilihat jelas bahwa setia titik di G bertetangga dengan A D, sehingga D = 1. Terbukti bahwa γ(c n + Fl m ) = 1.

3 Sari, et.al: On the Domination Number of Some Grah Oerations 24 Teorema 3 Misal G adalah graf hasil oerasi joint dari (F n ) dan (L m ), untuk n 3 dan m 3, maka γ(f n + L m ) = 1. Bukti. Graf Joint (F n +L m ) memiliki himunan titik V (F n +L m ) = {x i,y j ;1 i n,1 j m} dan himunan sisi E(F n + L m )={x i x i+1, x n x 1, x i y j ;1 i n,1 j m} {y j y j+1 ;1 j m} {y j y j+m ;1 j m}, = V (F n + L m ) = n + 2m + 1 dan q = E(F n + L m ) = 4nm + 2n + 4m dan (F n + L m ) = n + 2m. Dari teorema dinyatakan bahwa 1+ (F γ(f n+l m) n + L m ) (F n + L m ) maka dieroleh bahwa γ(f n + L m ) 1 + (F n + L m ) n + 2m n + 2m 1 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ(f n +L m ) 1 dengan memilih himunan dominasi, yaitu D = x 1. Daat dilihat jelas bahwa setia titik di G bertetangga dengan x 1 D, sehingga D = 1. Terbukti bahwa γ(f n + L m ) = 1. Teorema 4 Misal G adalah graf hasil oerasi comosition dari (C n ) dan (Fl m ), untuk n 3 dan m 2, maka γ(c n [Fl m ]) = n 3. Bukti. Graf comosition (C n [Fl m ]) memiliki himunan titik V (C n [Fl m ]) = {x ij ;1 i n,1 j m} dan himunan sisi E(C n [Fl m ]) = {x ij x ij+1 ;1 i n,1 j m 1} {x nm x 1j ;1 i n,1 j m 1} {x ij x i+1j+1 ;1 i n,1 j m 1} {x ij x i 1j+1 ;2 i n 1,1 j m} {x ij x i+nj+1 ;1 i n,1 j m 1} {x ij x i+nj ;1 i n,1 j m 1} {x ij x i+1j ;1 i n,1 j m 1}, = V = 2nm + n dan q = E = m 3 + nm 2 + 6nm + n dan C n [Fl m ] = 6m + 2. Dari teorema dinyatakan bahwa 1+ (C n[fl m]) γ(c n [Fl m ]) (C n [Fl m ]) maka dieroleh bahwa γ(c n [Fl m ]) 1 + (C n [Fl m ]) 2nm + n 1 + 6m + 2 9n 27 n 3

4 Sari, et.al: On the Domination Number of Some Grah Oerations 25 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ(c n [Fl m ]) 9n 23 dengan memilih himunan dominasi, yaitu {D = x 1,3i 1 dan x 1,3i ;1 i n 3 untuk n 1(mod 3)} {D = x 1,3i 1 ;1 i n 3 untuk n lainnya}. Daat dilihat jelas bahwa setia titik di G bertetangga dengan {x 1,3i 1,x 1,3i D}, sehingga D = n 3. Terbukti bahwa γ(c n[fl m ]) = n 3. Teorema 5 Misal G adalah graf hasil oerasi cartesian roduct dari (F n ) dan (P m ), untuk n 2 dan m 3, maka γ(f n P m ) = 5m 6. Bukti. Graf cartesian roduct (F n P m ) memiliki himunan titik V (F n P m ) = {x ij ;1 i n;1 j m}, E(F n P m ) = {x ij x ij+1 ;1 i n,1 i m} x ij x i+1j ;1 i n;1 j m} x nj x 1j ;1 i n;1 j m 1} {x nj x nj+m ;1 i n,1 i m}, V (F n P m ) = nm + m, E(F n P m ) = 3nm n 1 dan F n P m = n+2. Dari teorema dinyatakan bahwa 1+ (F n P m) γ(f n P m ) (F n P m ) maka dieroleh bahwa γ(f n P m ) 1 + (F n P m ) nm + m n m + m m 6 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ(f n P m ) 5m 5 dengan memilih himunan dominasi, yaitu {D = x 1,j ;dimana j adalah semua dari m}. Daat dilihat jelas bahwa setia titik di G bertetangga dengan {x 1,j D}, sehingga D = 5m 6 untuk (F 4 P 3 ). Terbukti bahwa γ(f n P m ) = 5m 6. Teorema 6 Misal G adalah graf hasil oerasi amalgamation dari graf F n, dimana n 3 dan r 2, maka γ (Amal (F n,v = A,r)) = 1. Bukti. Graf Amal (F n,v = A,r) adalah graf dengan himunan titik V (Amal (F n,v = A,r)) = {x i,j ;1 i n,1 j r}, E(Amal (F n,v = A,r)) = {Ax i,j ;1 i n,1 j r} {x i+1,j;1 i n,1 j r}, V (Amal (F n,v = A,r)) = nr +1, dan E(Amal (F n,v = A,r)) = 2nr r, dan (Amal (F n,v = A,r)) = nr. Dari teorema dinyatakan bahwa 1+ Amal(F n,v=a,r)

5 Sari, et.al: On the Domination Number of Some Grah Oerations 26 γamal(f n,v = A,r) Amal(F n,v = A,r) maka dieroleh bahwa γamal(f n,v = A,r) 1 + Amal(F n,v = A,r) nr + 1 nr Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γamal(f n,v = A,r) 1 dengan memilih himunan dominasi, yaitu D = A. Daat dilihat jelas bahwa setia titik di G bertetangga dengan A D, sehingga D = 1 untuk Amal(F n,v = A,r). Terbukti bahwa γamal(f n,v = A,r) = 1. Teorema 7 Misal G adalah graf hasil oerasi Shackle dari graf Fl n, dimana n 2 dan r 2, maka γ (Shack(Fl n,r)) = 2nr+1 2n+1. Bukti. Graf (Shack(Fl n,r)) adalah graf dengan himunan titik V (Shack(Fl n,r)) = {A j,x i,j,y i,j ;1 i n,1 j r} dan himunan sisinya E(Shack(Fl n,r)) = {Ax i,j,ay i,j ;1 i n,1 j r} {x i,j y i,j,x i,j x i+1,j ;1 i n,1 j r}, V (Shack(Fl n,r)) = 2nr+1, E(Shack(Fl n,r)) = 4nr dan (Shack(Fl n,r)) = 2n. Dari Teorema dinyatakan bahwa 1+ (Shack(Fl γ(shack(fl n,r)) n,r)) (Shack(Fl n,r)) maka dieroleh bahwa γ(shack(fl n,r)) 1 + (Shack(Fl n,r)) 2nr + 1 2n + 1 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa γ(shack(fl n,r)) 2nr 2n + 1 dengan memilih himunan dominasi, yaitu {D = Aj;dimana j adalah semua dari r}. Daat dilihat jelas bahwa setia titik di G bertetangga dengan Aj D, sehingga D = 2nr+1 2n+1 untuk (Shack(Fl n,r)). Terbukti bahwa γ(shack(fl n,r)) = 2nr+1 2n+1. Kesimulan Dominating set ada hasil oerasi graf khusus dieroleh yaitu: 1. γ(c n + Fl m )=1, untuk n 3 dan m 2

6 Sari, et.al: On the Domination Number of Some Grah Oerations γ(f n + L m )=1, untuk n 3 dan m 3 3. γ(c n [Fl m ]) = n 3, untuk n 3 dan m 2 4. γ(f n P m ) = 5m 6, untuk n 2 dan m 2 5. γ(amal(f n,v = A,r)) = 1, untuk n 2 dan m γ(shack(fl n,r)) = 2nr+1 2n+1, untuk n 2 dan r 2 References [1] J.L. Gross, J. Yellen and P. Zhang, Handbook of Grah Theory, Second Edition, CRC Press, Taylor and Francis Grou, 2014 [2] T. W. Haynes and S. T. Hedetniemi and P. J. Slater (Eds.), Fundamentals of Domination in Grahs, Marcel Dekker, Inc., New York, [3] T.W. Haynes, S.T. Hedetniemi, P.J. Slater (Eds.), Domination in Grahs: Advanced Toics, Marcel Dekker, Inc., New York, [4] E.J. Cockayne, R.M. Dawes and S.T. Hedetniemi, Total domination in grahs. Networks, 10 (1980), [5] S. Arumugam and J. Paulraj Joseh, Domination in grahs, International Journal of Management and Systems, 11 (1995), [6] Haynes, T.W and Henning, M.A. Total Domination Good Vertices in Grahs. Australasian Journal of Combinatorics, 26 (2002), [7] Henning, M. A. Trees with Large Total Domination Number. Util. Math. 60 (2001) [8] Henning, M. A and Yeo, A. Total Domination in Grahs with Given Girth. Grahs Combin. 24 (2008) [9] Henning, M. A and Yeo, A. Girth and Total Dominating in Grahs. Grahs Combin. 28 (2012) [10] Goddard, W and Henning, M.A. Indeendent Domination in Grahs: A Survey and Recent Results. South African National Research Foundation and The University Of Johannesburg, [11] Murugesan, N., et al. The Domination and Indeendence of Some Cubic Biartite Grahs. Int. J. Contem. Math. Sciences (2009),

7 Sari, et.al: On the Domination Number of Some Grah Oerations 28 [12] Tarr, Jennifer M. Domination in Grahs, (2010). Graduate Theses and Dissertations. [13] Yannakakis, M. and Gavril, F. Edge Dominating Sets in Grahs. SIAM Journal on Alied Mathematics, Vol 338, No.3 (Jun 1980),