Graf-Graf Khusus dan Bilangan Dominasinya

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Graf-Graf Khusus dan Bilangan Dominasinya"

Inge Hartanto
6 tahun lalu
Tontonan:

1 Graf-Graf Khusus dan Bilangan Dominasinya Agustina M 1,2, Ika Hesti A 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember, mahagustina@yahoo.co.id hestyarin@gmail.com 3 Jurusan Matematika FKIP Universitas Jember, d.dafik@gmail.com Abstract Dominating set meruakan himunan titik yang mendominasi titik-titik yang bertetangga dan seminimal mungkin. Himunan D V (G) adalah dominating set dari titik jika setia titik di V (G) bertetangga dengan sebuah titik di D. Domination number γ(g) adalah kardinalitas terkecil dari sebuah dominating set. Nilai dari domination number selalu γ(g) V (G). Penelitian ini mengembangkan dominating set ada beberaa graf khusus diantaranya adalah graf Shackel (S m, n), graf C n (P 4 + K 1 ), graf join C n + P n, graf Lobster L i,j,k, dan graf Triangular Ladder L n. Hasil dari enelitian ini adalah beberaa teorema yang menyatakan kardinalitas minimal dominating set. Key Words : Dominating set, Domination number. Pendahuluan Sejarah dominating set dimulai ada tahun 1850 di Eroa. Untuk menyelesaikan masalah ada aan catur 8 8 dierlukan minimal beraa Queen agar semua osisi daat diserang langsung oleh Queen. Secara matematis dielajari sejak tahun 1960 yang kemudian berkembang ada alikasi seerti komunikasi, jaringan komuter, teori jaringan sosial, emasangan kamera engawas, dan enematan os antau. Dominating set meruakan subset D V dari titik di G sedemikian hingga untuk semua titik v V, salah satu dari v D atau sebuah tetangga u dari v ada di D. Domination number dinotasikan γ(g) adalah kardinalitas minimum dari sebuah dominating set. Nilai dari domination number selalu γ(g) V (G) [6]. Penelitian terkait dominating set berkembang cuku esat [7] [1][9][10][11]. Dalam enelitian ini mengembangkan dominating set ada beberaa graf khusus dan oerasinya diantaranya adalah graf Shackel (S m,n), graf C n (P 4 + K 1 ), graf join C n + P n, graf Lobster L i,j,k, dan graf Triangular Ladder L n. Teorema yang Digunakan Teorema terkait batas atas dan bawah dari domination number Theorem 1 [6]Untuk sebarang graf G,

2 Agustina M, et.al: Graf-Graf Khusus dan Bilangan Dominasinya (G) γ(g) (G) Bukti. Misalkan S adalah sebuah dominating set dari G. Pertama, kita andaikan batas bawah. Setia titik daat sebagai dominating set dan (G) ke titik yang lain. Berakibat, γ(g) 1+ (G). Untuk batas atasnya, misalkan v adalah titik dengan degree maksimum (G). Maka v sebagai dominating set N[v] dan titik di V N[v] meruakan dominating set mereka sendiri. Berakibat, V N[v] meruakan dominating set dengan kardinalitas n (G), sehingga γ(g) n (G). Hasil Penelitian dan Pembahasan Pada bagian ini, eneliti mengembangkan dominating set yang berjarak satu ada graf khusus meliuti graf Shackel (S m,n), graf C n (P 4 + K 1 ), graf join C n + P n, graf Lobster L i,j,k, dan graf Triangular Ladder L n. Teorema 1 Misal G adalah graf Shackel(S m,n) yang dinotasikan dengan Shackel (S m,n) untuk n 2 dan m 3. Maka bilangan dominasinya adalah γ(shackel(s m,n)) = n. Bukti. Graf Shackel(S m,n) adalah graf dengan himunan titik V = {x i ;1 i n} {z i ;1 i n + 1} {x i,j ;1 i n,1 j m 2} dan himunan sisi E = {z i x i x i z i+1 ;1 i n} {x i x i,j ;1 i n,1 j m} serta = V = mn + n 1, q = E = mn, dan = m. Pilih titik yang menjadi dominating set D = {x i ;1 i n}, maka dengan mudah daat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \ D. Kardinalitas D = n sehingga γ(shackel(s m,n)) = n. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ γ, untuk nilai dan dieroleh batas atas dan bawah domination number yaitu n(m+1) 1 m+1 γ m(n 1)+n 1. Maka γ(shackel(s m,n)) berada dalam interval batas dominating number yaitu n(m+1) 1 m+1 γ m(n 1) + n 1. Teorema 2 Misal G adalah graf C n (P 4 + K 1 ), untuk n 3 memiliki domination number γ(c n (P 4 + K 1 )) = n. Bukti. Graf C n (P 4 + K 1 ) adalah graf dengan himunan titik V (C n (P 4 + K 1 )) = {x i ;1 i n} {x i,j ;1 i n,1 j 5} dan himunan sisi E(C n (P 4 + K 1 )) = {x 1 x n,x i x i+1 ;1 i n 1} {x i x i,j ;1 i n,1 j 5} {x i,j x i,j+1,x i,1 x i,5 ;1 i n,1 j 5} {x i,1 x i,3,x i,1 x i,4 ;1 i n}

3 Agustina M, et.al: Graf-Graf Khusus dan Bilangan Dominasinya 545 serta = V = 6n, q = E = 9n, dan (C n (P 4 + K 1 )) = 5. Pilih titik yang menjadi dominating set D = {x i,1 ;1 i n}, maka dengan mudah daat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \ D. Kardinalitas D = n sehingga γ(p 4 +K 1 ) = n. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ (C n (P 4 +K 1 )) γ (C n (P 4 +K 1 )), untuk nilai dan (C n (P 4 +K 1 )) dieroleh batas atas dan bawah domination number yaitu n γ(c n (P 4 + K 1 )) 6n 5. Maka γ(p 4 + K 1 ) berada dalam interval batas dominating number yaitu n γ(c n (P 4 + K 1 )) 6n 5. Teorema 3 Misal G adalah graf Join C n + P n, untuk n 3 memiliki domination number γ(c n + P n ) = n 3. Bukti. Graf Join C n +P n adalah graf dengan himunan titik V (C n +P n ) = {x i,y i ;1 i n 3 } dan himunan sisi E(C n + P n ) = {x 1 y n } {x i x i+1,1 i n 1} {x i y j ;1 i n;1 j n} {y i y i+1 ;1 i n 1} serta = V = 2n, q = E = n 2 + 2n 1, dan (C n + P n ) = n + 2. Pilih titik yang menjadi dominating set D = {x 3i 2 ;1 i n 3 }, maka dengan mudah daat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \ D. Kardinalitas D = n 3 sehingga γ(c n+p n ) = n 3. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ (C γ(c n+p n) n + P n ) (C n + P n ), untuk nilai dan (C n + P n ) dieroleh batas atas dan bawah domination number yaitu 2n n+3 γ(c n+p n ) n 2. Maka γ(c n + P n ) berada dalam interval batas dominating number yaitu 2n n+3 γ(c n + P n ) n 2. Teorema 4 Misal G adalah graf Lobster L i,j,k, untuk n 2 memiliki domination number γ(l i,j,k ) = 2n. Bukti. Graf Lobster L i,j,k adalah graf dengan himunan titik V (L i,j,k ) = {x i x i,j x i,j,k ;1 i n,2 j,1 k l} dan himunan sisi E(L i,j,k ) = {x i x i+1 ;1 i n 1} {x i x i,j x i,j x i,j,k ;1 i n,1 j,1 k l} serta = V = 6n, q = E = 5n 1, dan (L i,j,k ) = 4. Pilih titik yang menjadi dominating set D = {x i,1 x i,2 ;1 i n}, maka dengan mudah daat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \ D. Kardinalitas D = 2n sehingga γ(l i,j,k ) =. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ (L i,j,k ) γ(l i,j,k ) (L i,j,k ), untuk nilai dan (L i,j,k ) dieroleh batas atas dan bawah domination number yaitu 6n 5 γ(l i,j,k) 6n 3. Maka γ(l i,j,k ) berada dalam interval batas dominating number yaitu 6n 5 γ(l i,j,k) 6n 3.

4 Agustina M, et.al: Graf-Graf Khusus dan Bilangan Dominasinya 546 Maka γ(l i,j,k ). Teorema 5 Misal G adalah graf Triangular Ladder L n memiliki domination number γ(l n ) = { n 2, untuk n = 3 dan n = 2k dimana k 2 n 2, untuk n = 2k + 1 dimana k 2 Bukti. Graf Triangular Ladder L n adalah graf dengan himunan titik V (L n ) = {u i,v i ;1 i n} dan himunan sisi E(L n ) = {u i u i+1,v i v i+1 ;1 i n 1} {u i v i ;1 i n} serta = V = 2n, q = E = 4n 3, dan (L n ) = 4. Pilih titik yang menjadi dominating set D = {y 4i 2 x 4j ;1 i n 4,1 j n 4 }, untuk n = 3 dan n = 2k dimana k 2 maka dengan mudah daat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \ D, kardinalitas D = n 2 sehingga γ(l n ) = n 2, untuk n = 3 dan n = 2k dimana k 2. Sedangkan untuk n yang lainnya, ilih titik yang menjadi dominating set D = {y 2,x 2i+2 ;1 i n 2 }, maka dengan mudah daat dilihat bahwa D adjacent dengan semua elemen V \D, kardinalitas D = n 2 sehingga γ(l n) = n 2, untuk n = 2k + 1 dimana k 2. Berdasarkan teorema 1 dinyatakan bahwa 1+ (L γ(l n) n) (L n ), disubtitusikan nilai dan (L n ) dieroleh batas atas dan bawah domination number yaitu 2n 5 γ(l n) 2n 4. Maka γ(l n ) berada dalam interval batas dominating number. Kesimulan Pada enelitian ini difokuskan ada domination number γ(g) berjarak satu ada beberaa graf khusus dan oerasinya. Berdasarkan hasil enelitian diatas, maka kita daat menyimulkan bahwa: Untuk graf Shackel(S m,n) dengan n 2 dan m 3, didaatkan domination number γ (Shack (S m,n)) = n. Untuk graf C n (P 4 + k 1 ) dengan n 3, didaatkan domination number γ(c n (P 4 + k 1 )) = n. Untuk graf Join C n + P n dengan n 3, didaatkan domination number γ(c n + P n ) = n 3

5 Agustina M, et.al: Graf-Graf Khusus dan Bilangan Dominasinya 547 Untuk graf Lobster L i,j,k dengan n 2, didaatkan domination number γ(l i,j,k ) = 2n Untuk graf Triangular Ladder L n, didaatkan domination number { n γ(l n ) = 2, untuk n = 3 dan n = 2k dimana k 2 n 2, untuk n = 2k + 1 dimana k 2 References [1] A. D. Jumani, L. Chand, Dominating Number of Prism over Cycle C n, Sindh University Research Journal (Science Series), Sindh Univ. Res. Jour. (Sci. ser) Vol.44 (2) (2012). [2] Dafik, M. Miller, J. Ryan and M. Bača, Antimagic total labeling of disjoint union of comlete s-artite grahs, J. Combin. Math. Combin. Comut., 65 (2008), [3] Dafik, Structural Proerties and Labeling of Grahs, University of Ballarat, [4] Goddard, W and Henning, M.A. Indeendent Domination in Grahs: A Survey and Recent Results. South African National Research Foundation and The University Of Johannesburg, [5] Haynes, T.W and Henning, M.A, Total Domination Good Vertices in Grahs. Australasian Journal of Combinatorics, 26 (2002), [6] Haynes, T.W, Fundamental of Domination in Grahs, New York: Marcel Dekker, INC., [7] Hesti, I.K, Dafik, On the Domination Number of Some Families of Secial Grah, Jember: University of Jember, [8] Joseh A. Gallian, A Dynamic Survey of Grah Labeling, University of Minnesota, [9] Liedloff, Dominating Set on Biartite Grahs, Université Paul Verlaine- Metz, [10] Y. B. Maralabhavi, Anuama S. B., Domination Number of Jum Grah, International Mathematical Forum, Vol. 8, 2013, no. 16,

6 Agustina M, et.al: Graf-Graf Khusus dan Bilangan Dominasinya 548 [11] Michael A. Henning, Anders Yeo, A New Uer Bound on The Total Domination Number of a Grah, the electronic journal of combinatorics 14, 2007.

dokumen-dokumen yang mirip

BILANGAN DOMINASI DARI GRAF-GRAF KHUSUS

BILANGAN DOMINASI DARI GRAF-GRAF KHUSUS Dwi Agustin Retno Wardani 1,2, Ika Hesti Agustin 1,2, Dafik 1,3 1 CGANT - Universitas Jember 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember 3 Jurusan Pendidikan Matematika