PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI

Transkripsi

1 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Konstruksi Algoritme Aritmetik (5 ) Dengan Operasi Dibangkitkan Dari Sifat Grup siklik adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis. Bogor, Agustus 2009 Ahmadi NRP G

2 ABSTRACT AHMADI. The Construction of Arithmetic Algorithms ( ) Generated by Cyclic Group Properties. Supervised by SUGI GURITMAN and NUR ALIATININGTYAS. To construct a cryptographic algorithm, many arithmetic concepts are needed. ElGamal encryption for example, can be defined over cyclic group, the usual arithmetic concepts. If the use of this arithmetic is associated with security aspect, then it requires large computational work. This thesis aims to construct arithmetic algorithm as an alternative arithmetic that can be applied to any cryptographic scheme, especially public key scheme. This algorithm is imposed from finite field (5 ). Thus, the procedures to construct arithmetic algorithm are as follows. The first step is to choose primitive polynomial ( ) [ ]of lower degree. The second step is to find primitive root M(α) = 0, thus the equation ( ) = 0 has a root α in (5 ). The resulted arithmetic algorithms are computational procedures for standard operation in (5 ): addition, multiplication, division, invertion, and exponentiation. It can be concluded that constructed arithmetic algorithms (5 ) are better than standard algorithms because some operations can be reduced using primitive polynomial or cyclic group properties, and using reduction of zero. Keywords: arithmetic, cyclic group, (5 ), primitive polynomial, cryptography.

3 RINGKASAN AHMADI. Konstruksi Algoritme Aritmetik (5 ) Dengan Operasi Dibangkitkan Dari Sifat Grup siklik. Dibimbing oleh SUGI GURITMAN dan NUR ALIATININGTYAS. Masalah keamanan merupakan salah satu aspek penting dari sebuah sistem informasi. Untuk menjamin keamanan sebuah informasi yang bersifat rahasia diperlukan suatu teknik pengamanan baik secara fisik maupun non fisik. Salah satu teknik pengamanan secara non fisik yaitu dengan mengenkripsi informasi rahasia menggunakan teknik kriptografi. Kriptografi secara terminologi dasarnya terdiri dari dua tipe yaitu kriptografi simetrik dan kriptografi asimetrik atau sering disebut sebagai kriptografi kunci publik. Kunci simetris adalah jenis kriptografi yang paling umum digunakan. Kunci untuk membuat pesan yang disandikan sama dengan kunci untuk membuka pesan yang disandikan itu. Kunci asimetris merupakan pasangan kunci kriptografi yang salah satunya digunakan untuk proses enkripsi dan yang satu lagi untuk dekripsi. Contoh algoritme terkenal yang menggunakan kunci asimetrik adalah skema yang ditemukan oleh ElGamal pada tahun Skema ini didasarkan pada pemecahan problem logaritma diskret. Keamanan algoritme ini sangat tergantung pada pemilihan bilangan prima p. Semakin besar p maka algoritme ini akan semakin aman, akan tetapi semakin besar pula beban komputasi yang digunakan. Oleh karena itu pada masa sekarang, orang sudah mulai mencari alternatif lain untuk menggantikan aritmetik modular diantaranya aritmetik yang dibangkitkan struktur finite field ( ), kurva eliptik kriptografi, dan hipereliptik kriptografi. Sebenarnya sudah banyak sekali penelitian tentang ( ) yang pernah dilakukan, diantaranya adalah paper berjudul Montgomery Multiplication in GF(2 k ) menunjukkan operasi perkalian =.. dalam field GF(2 k ) dimana r adalah unsur tetap dari field dapat diimplementasikan lebih cepat dalam perangkat lunak dibandingkan dengan operasi perkalian standar (Koc, 1998), paper berjudul Analysis and Construction of Galois Field for Efficient Storage Reliability juga menganalisis adanya implementasi berdasarkan tabel dan teknik optimasi operasi perkalian dan pembagian dalam (2 ) (Greenan, 2007), dan thesis berjudul Konstruksi Algoritme Aritmetik (2 ) Dengan Operasi Perkalian Dibangkitkan Dari Sifat Grup Siklik menyebutkan bahwa algoritme aritmetik hasil konstruksi cukup cepat dalam perhitungan komputasinya (Rosdiana, 2009). Dalam thesis ini peneliti mencoba mengkonstruksi aritmetik yang berbeda dari sebelumnya yaitu aritmetik (5 ) dan dengan pendekatan yang sama dari konstruksi yang telah dilakukan oleh Ibu Sri Rosdiana (2009) yaitu mendefinisikan sekaligus mengkonstruksi (5 ) didasarkan pada sifat bahwa (5 ) merupakan grup siklik yang dibangkitkan dari akar primitif. Penelitian ini bertujuan mengkonstruksi finite field (5 ) dengan memperhatikan segi kecepatan dan kapasitas memori yang digunakan. Untuk mengkonstruksi aritmetik (5 ) dalam penelitian ini langkah pertama adalah dengan memilih polinomial primitif berderajat m atas Z 5, misal

4 ( ) [ ] dimana ( ) = + +. Langkah kedua tentukan unsur primitifnya misal α sehingga M(α) = 0. Lalu tentukan basisnya di (5 ) sebagai ruang vektor atas Z 5. Adapun basis dari polinomial primitifnya yaitu {1, α 1, α 2,, α m-1 }. Sehingga (5 ) = { ,,, (5) }. Kemudian semua unsur dari (5 ) direpresentasikan ke dalam bentuk ruang vektor berdimensi m atas. Algoritme hasil konstruksi terdiri atas Algoritme Penjumlahan, Algoritme Perkalian, Algoritme Invers, Algoritme Pembagian, dan Algoritme Eksponensial. Dari hasil penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan : 1) Finite field (5 ) dikonstruksi dari polinomial primitif. Untuk mengkonstruksi algoritme aritmetik (5 ) dipilih polinomial primitif yang bersuku terkecil, hal ini akan mengakibatkan proses komputasi yang dijalankan lebih cepat dibandingkan dengan menggunakan polinomial primitif biasa. 2) Algoritme Reduksi Nol digunakan untuk mengurangi jumlah operasi pada sebuah algoritme. Algoritme ini digunakan pada Algoritme Penjumlahan, Algoritme Penjumlahan digunakan dalam Algoritme Perkalian, Algoritme Penjumlahan dan Algoritme Perkalian digunakan dalam Algoritme Invers, dan seterusnya. 3) Algoritme Geser Satu mampu mempercepat proses kerja suatu algoritme, karena pada algoritme ini hanya mengubah strukturnya saja dan menggeser bersifat konstan. Algoritme ini digunakan pada Algoritme Perkalian, Algoritme Perkalian digunakan dalam Algoritme Invers, dan seterusnya. 4) Algoritme aritmetik hasil konstruksi tidak membutuhkan ruang yang besar sehingga cukup cepat dalam komputasinya karena yang dipakai sebagai modulo digunakan polinomial primitif bersuku terkecil, melakukan reduksi nol yang berfungsi mengurangi jumlah operasi dalam algoritme, dan operasi geser satu. Kata kunci : algoritme, grup siklik, (5 ), akar primitif, polinomial primitif, kriptografi.

5 Hak cipta milik IPB, tahun 2009 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebut sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

6 KONSTRUKSI ALGORITME ARITMETIK ( ) DENGAN OPERASI DIBANGKITKAN DARI SIFAT GRUP SIKLIK AHMADI Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

7 Judul Tesis : Konstruksi Algoritme Aritmetik (5 ) Dengan Operasi Dibangkitkan Dari Sifat Grup siklik Nama : Ahmadi NRP : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr.Sugi Guritman. Ketua Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian : 20 Agusutus 2009 Tanggal Lulus :

8 PRAKATA Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan segala rahmat dan karunia-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul Konstruksi Algoritme Aritmetik (5 ) Dengan Operasi Yang Dibangkitkan Dari Sifat Grup siklik. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini masih banyak terdapat kekurangan, hal ini karena peengetahuan yang dimiliki oleh penulis sangat terbatas. Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih yang sebesarbesarnya kepada yang terhormat 1. Bapak Dr. Sugi Guritman dan Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, MS selaku pembimbing, pendidik dan pengajar yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan, arahan, nasehat serta motivasi kepada penulis. 2. Bapak Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku penguji, pendidik dan pengajar yang telah memberikan saran dan kritikannya kepada penulis. 3. Departemaen Agama RI yang telah memberikan beasiswa kepada penulis untuk melanjutkan Sekolah Pascasarjana pada Institut Pertanian Bogor periode 2007 s.d Ketua Departemen, ketua Program Studi, dan seluruh staf pengajar serta staf administrasi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang turut membantu proses penyelesaian tesis. 5. Kepala sekolah dan seluruh staf pengajar MTs At-Taqwa Gembongdadi yang turut mendoakan dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini. 6. Istri dan kedua orang tua yang senantiasa mendoakan penulis disetiap waktu dalam menyelesaikan tesis. 7. Seluruh teman-teman yang turut membantu penyelesaian tesis. Penulis doakan semoga segala bantuan, bimbingan dan pengarahan yang diberikan mendapat ganjaran yang berlipat ganda dari Allah SWT, dan semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amin. Bogor, Agustus 2009 Ahmadi

9 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Tegal pada tanggal 09 Januari 1980 dari ayah Kholil dan ibu Muninggar. Penulis merupakan putra kelima dari delapan bersaudara. Pendidikan dasar ditempuh di SD Negeri Karangjati 01 Tarub - Tegal lulus tahun 1993, MTs. Hasyim Ay ari Tarub lulus tahun Pendidikan atas ditempuh di SMA Hasyim Ay ari Tarub lulus tahun Pendidikan sarjana ditempuh di Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Pancasakti Tegal lulus tahun Setelah lulus pendidikan sarjana, penulis menjadi staf pengajar di MTs. At- Taqwa Gembongdadi sebagai guru honorer sampai dengan sekarang. Pada tahun 2007 penulis mendapat kesempatan untuk melanjutkan sekolah ke jenjang yang lebih tinggi yakni Program Magister. Penulis melanjutkan belajar Program Magister pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui beasiswa BUD Departemen Agama Republik Indonesia.

10 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom.