Euis Hartini 1, Edi Kurniadi 2 ABSTRAK ABSTRACT

Transkripsi

1 SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL SIKLOTOMIK Euis Hartini 1, Edi Kurniadi 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung Sumedang KM 21 Jatinangor euis_hartini@yahoocom, 2 edikrnd@gmailcom ABSTRAK SUATU TINJAUAN TERHADAP POLINOMIAL SIKLOTOMIK Dalam makalah ini diteliti polinomial siklotomik dan sifat-sifatnya Lebih jauh diteliti juga penerapan polinomial siklotomik dalam pembuktikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga Selain melengkapkan bukti yang telah dilakukan oleh Vladimir Dotseno, dalam laporan akhir ini juga diteliti reduksi polinomial dalam polinomial siklotomik Terakhir diaplikasikan juga polinomial siklotomik dalam pemecahan soalsoal olimpiade matematika Kata kunci : nol kompleks, akar pangkat ke n primitive satuan, redusi polinomial, generator grup siklik ABSTRACT A REVIEW TO POLYNOMIAL CYCLOTOMIC In this paper, a research about polynomial cyclotomic and its properties had been done Further we discussed the applications of cyclotomic polynomial in the proof of the Direchlet s Theorem and the division ring Besides give the complete proof that has be done by Vladimir Dotseno, in this final report we did research reducible of in cyclotomic polynomial Finally, we applied cyclotomic polynomial in problems solving of mathematics olympiad Keywords: generator of cyclic group, reducible of polynomial, the primitive nth roof of unity, zeros complex 1 PENDAHULUAN Titik kulminasi dari kajian teori grup, ring, lapangan, konstruksi geometri, dan sejarah matematika adalah polinomial siklotomik [Gallian2010] Polinomial ini berperan dalam teori bilangan dan kombinatorik[gallian and Rusin1979] Dua hal utama yang diteliti dalam laporan akhir ini adalah menerapkan polinomial siklotomik untuk membahas Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga Dalam [Yimin1990] telah diperoleh sifat-sifat dasar dari polinomial siklotomik dan aplikasi polinomial siklotomik dalam pemecahan soalsoal International Mathematics Olympiad (IMO) Dalam makalah ini telah diberikan bukti yang lebih detail dalam membutikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian melalui polinomial siklotomik dan contoh dalam problem solving soal IMO 2 TINJAUAN PUSTAKA Kompleks nol dari adalah: 1, Jadi, splitt field atas adalah Lapangan ini disebut perluasan siklotomik akar pangkat ke atas dan faktor tak tereduksi dari atas disebut polinomial siklotomik Polinomial siklotomik akar pangkat ke didefinisikan sebagai bergerak atas akar pangkat ke dari 1 Dalam [Dotsenko2001] telah didapat bahwa polinomial siklotomik mempunyai koefisien bilangan bulat dan tak tereduksi atas bilangan bulat Masalah pertama yang muncul adalah memberikan suatu 588

2 tinjauan ulang Teorema Dirichlet untuk prim yang menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif senantiasa terdapat tak hingga banyaknya prim Selanjutnya masalah ke dua telah didapat bahwa setiap ring tidak selalu komutatif Dalam hal suatu ring pembagian hingga maka faktanya suatu lapangan yang tentunya komutatif Di sini diberikan bukti dua masalah tersebut dari yang telah didapat oleh [Donsetko 2001] lebih detail melalui polinomial siklotomik 21 Splitting Field dan Primitive nth roots of unity Splitting field dari polinomial atas lapangan bergantung tidak hanya pada polinomial tetapi juga bergantung pada field Oleh karena itu, splitting field dari atas adalah perluasan field terkecil dari split Secara formal permasalahan di atas dituangkan dalam definisi berikut Definisi 1 [Gallian2010] Misalkan E suatu extension field dari F dan misalkan f(x) F[x] Kita katakan bahwa split di E jika f(x) dapat difaktorkan sebagai produk faktor linear di E[x] Kita sebut E splitting field untuk f(x) atas F jika f(x) split atas E tapi tidak di subfield proper dari E Ilustrasi 1 Pandang polinomial Dapat ditunjukkan bahwa split di splitting field-nya atas adalah Hal yang serupa dapat dilihat untuk Definisi 2 [Yimin1990] Misalkan bilangan bulat positif Suatu bilangan kompleks disebut nth root of unity jika Definisi 3 [Yimin1990] Misalkan bilangan bulat positif dan nth roof of unity Maka bilangan bulat positif terkecil k yang memenuhi disebut order dari dan dinotasikan ord( ) Lema 1 [Yimin1990] Misalkan bilangan bulat positif dan nth roof of unity Maka untuk setiap bilangan bulat, jika dan hanya jika ord( ) Definisi 4 [Yimin1990] Misalkan bilangan bulat positif dan nth roof of unity Maka disebut primitive nth roof of unity jika ord( Lema 2 [Arnold2007] Misalkan bilangan bulat positif dan primitive nth root of unity, maka primitive nth roof of unity jika dan hanya jika gcd( Ilustrasi 2 Pandang polinomial Nol kompleksnya adalah 1 dan -1 Dapat ditunjukkan bahwa -1 hanya stu-satunya primitive 2th roof of unity 22 Polinomial Siklotomik dan Sifat-Sifatnya Perhatikan bahwa adalah pembangun dari grup siklik yang berorder di bawah operasi perkalian Dari Lema 2 diperoleh bahwa pembangun berbentuk dan gcd( Polinomiall yang semua nolnya adalah fungsi Euler s Totient [Yves2000] primitive nth roof of unity mempunyai nama sendiri yang disebut polinomial siklotomik Definisi 5 [Gallian2010] Untuk sembarang bilangan bulat positif, misalkan menotasikan primitive nth roof of unity Polinomial siklotomik akar pangkat ke adalah polinomial berbentuk Ilustrasi 2 Tabel 221 Polinomial Siklotomik untuk Tabel 221 Polinomial Siklotomik untuk Untuk mempermudah proses perhitungan polinomial siklotomik, ada beberapa sifat 589

3 polinomial siklotomik sebagai berikut Teorema 1 [Gallian2010] Untuk setiap bilangan bulat positif, produk bergerak untuk yang membagi Ilustrasi 3 memberikan penjelasan terhadap Teorema 1 di atas dst BUKTI Perhatikan bahwa kedua polinomial tersebut monik Cukup ditunjukkan bahwa kedua polinomial tersebut mempunyai nol yang sama dan multiplisitasnya sama 1 Misalkan Maka grup siklik ord dan memuat semua nth roots of unity subgrup dari dan oleh karenanya subgrup siklik dari Menurut Teorema Dasar Grup Siklik maka membagi Oleh karena itu, muncul sebagai faktor Di sisi lain jika faktor linear dari untuk suatu pembagi dari, maka, oleh karenanya, Jadi, faktor dari Lema 3 [Yimin1990] Misalkan dan polinomial koefisien rasional Jika semua koefisien polinomial bilangan bulat, maka demikian halnya koefisien dan BUKTI Misalkan dan bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga dan polinomial koefisien bilangan bulat Misalkan dan dan Maka Karena maka semua koefisien dapat dibagii oleh Andaikan dan misalkan pembagi prim dari Maka ada bilangan bulat sedemikian sehingga Oleh karenanya, jika maka dan jika maka untuk semua yang mengakibatkan Hal yang terakhir ini kontradiksi, minimalitas Hal yang serupa, terdapat sedemikian sehingga Misalkan dan bilangan bulat terbesar antara dan Maka koefisien dari di adalah Dengan bilangan bulat Koefisien dapat dibagi oleh Hal ini kontradiksi koefisien dapat dibagi oleh 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 31 Aplikasi Polinomial Siklotomik Dalam Pembuktian Teorema Dirichlet Sebelum membahas aplikasi polinomial siklotomik, berikut suatu teorema yang cukup membantu dalam proses pembuktian Teorema DirichletSifat-sifat teori bilangan dalam [Shanks1973] digunakan untuk membantu proses pembuktian Teorema 2 [Yimin1990] Misalkan bilangan bulat positif dan sembarang bilangan bulat Maka setiap pembagi prim dari memenuhi salah satu berikut atau BUKTI Misalkan pembagi prim dari karena Misalkan Karena maka Jadi, Selanjutnya jika maka, yaitu, Sekarang misalkan Karena karena Maka terdapat pembagi dari sedemikian sehingga Tetapi dan Akibatnya Teorema 3 (Dirichlet) [Yimin1990] Untuk setiap bilangan bulat positif, terdapat tak hingga banyaknya bilangan prim yang memenuhi BUKTI Untuk bukti trivial Sekarang pandang untuk Andaikan ada sebanyak hingga bilangan prim yang 590

4 memenuh Misalkan produk dari prim-prim tersebut dan semua prim tersebut adalah bentuk penguraian dari Diperoleh Misalkan suatu bilangan positif yang cukup besar sedemikian sehingga dan misalkan pembagi prim dari Karena membagai, tidak membagi, sehingga dan Hal ini kontradiksi Teorema 2 32 Aplikasi Polinomial Siklotomik Dalam Pembuktian Ring Pembagian Hingga Masalah berikutnya adalah aplikasi polinomial siklotomik dalam ring pembagian hingga yang dituangkan dalam teorema berikut Teorema 4 [Dotsenko2001] Setiap division ring hingga komutatif BUKTI Tujuan kita harus membuktikan bahwa Misalkan Karena ruang vektor atas maka dimensi dari ruang vektor ini Karena division ring maka grup Kita peroleh Setiap Centraliser seperti conjugacy class, nol di dalamnya membentuk subring yang memuat, yaitu ruang vektor atas Misalkan dimensi ruang vektor tersebut Kita punya Dapat ditunjukkan bahwa bilangan bulat jika dan hanya jika membagi Polinomial dan koprim Demikian juga dapat dibagi oleh produknya Jadi persamaan di atas semua sukunya kecuali dapat dibagi oleh Jadi, dapat dibagi oleh Tetapi yang terakhir tidak mungkin terjadi untuk : untuk semua root of unity Demikian juga, Yang menunjukkan bahwa 33 Aplikasi Polinomial Siklotomik dalam Problem Solving Olimpiade Matematika Aplikasi lain dari polinomial siklotomik adalah problem solving dalam soal-soal IMO Berikut beberapa contoh aplikasi polinomial siklotomik dalam problem solving soal IMO Problem (IMO Shortlist 2006) Temukan semua bilangan bulat yang merupakan solusi SOLUSI Persamaan di atas ekuivalen Dari Teorema 4, diperoleh bahwa setiap pembagi prim memenuhi atau Hal ini mengakibatkan setiap pembagi dari salahsatunya dapat dibagi oleh atau kongruen terhadap 1 modulo 7 Jadi, atau, yaitu atau Jika maka demikian juga kontradiksi Selanjutnya jika maka maka Hal ini, juga suatu kontradiksi Oleh karena itu, persamaan tersebut tidak mempunyai solusi bilangan bulat 4 KESIMPULAN Polinomial siklotomik dapat diaplikasikan untuk membuktikan Teorema Dirichlet dan ring pembagian hingga Selain itu, sifat-sifat polinomial siklotomik dapat diaplikasikan untuk problem solving IMO Kajian lebih jauh dapat diteliti tentang aplikasi polinomial siklotomik dalam konstruksi regular dalam Teorema Gauss 5 UCAPAN TERIMAKASIH Kami mengucapkan terima kasih kepada Jurusan Matematika FMIPA Unpad yang telah mendanai penelitian swadana ini tahun anggran

5 6 DAFTAR PUSTAKA 1 ARNOLD, ANDEW 2007 Algorithms for Computing Cyclotomic Polynomials University of British Columbia (Online), (wwwcecmsfuca/cag/theses/arnoldpdf, diakses 1 Desember 2012) 2 DOTSENKO, VLADIMIR 2001 Two Application of Cyclotomic polynomials, Mathematics Magazine 3 GALLIAN 2010 Contemporery Abstract Algebra, Seventh ed 4 GALLIAN and RUSIN 1979 Cyclotomic Polynomials and Nonstandard Dice, Discrete mathematics 27 (hlm ) 5 Mathlinks, IMO Shortlist 2006, N5 (Online), ( p=780855, diakses 1 Desember 2012) 6 SHANKS 1993 Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed Chelsea, New York 7 YIMIN GE 1990 Elementary Properties of Cyclotomic Polynomials, Mathematics Magazine 8 YVES 2000 Cyclotomic polynomials and prime numbers, Mathematics Magazine 592