Analysis of Variance (ANOVA) Debrina Puspita Andriani /

Transkripsi

1 Analysis of Variance (ANOVA) 6 Debrina Puspita Andriani debrina.ub@gmail.com / debrina@ub.ac.id

2 Outline

3 Kegunaan ANOVA 3 Kontrol investigator 1 atau lebih variabel independen Disebut dgn faktor (atau variabel treatment) Tiap faktor mengandung atau lebih level (kategori / klasifikasi) Mengamati efek pada variabel dependen Merespon level pada variabel independen Perencanaan Eksperimen: perencanaan dengan menggunakan uji hipotesis Anova Anova 1 Arah Anova arah Tanpa Interaksi Dengan Interaksi

4 ANOVA 1 Arah (One-way ANOVA) Ukuran sampel sama banyak Ukuran sampel tidak sama banyak 4

5 ANOVA 1 Arah 5 Evaluasi perbedaan diantara 3 atau lebih mean (rata rata) populasi. Contoh: Tingkat kecelakaan pada shift 1, dan 3 Estimasi kilometer pemakaian 5 merk ban Asumsi: Populasi berdistribusi normal Populasi mempunyai variansi yang sama Sampelnya random dan independen Terdapat : 1 variabel tak bebas (dependen) 1 variabel bebas (independen) à Faktor

6 Hipotesis ANOVA 1 Arah 6 H = 0 : µ 1 = µ = µ 3 =! µ k Seluruh mean populasi adalah sama Tak ada efek treatment (tak ada keragaman mean dalam grup) H 1 :Tidak seluruhmean populasiadalahsama Minimal ada 1 mean populasi yang berbeda Terdapat sebuah efek treatment Tidak seluruh mean populasi berbeda (beberapa pasang mungkin sama)

7 Hipotesis ANOVA 1 Arah 7 H = 0 : µ 1 = µ = µ 3 =! µ k H 1 :Tidak seluruh µ i sama Kondisi 1 Semua mean bernilai sama Hipotesis nol adalah benar (Tak ada efek treatment) Kondisi Minimal ada 1 mean yg berbeda Hipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment) or µ 1 = µ µ 3 µ = 1 = µ µ 3 µ 1 µ µ 3

8 Langkah-langkah ANOVA 1 Arah 8

9 Langkah-langkah ANOVA 1 Arah 9 1. Menentukan formulasi hipotesis H 0 : µ 1 = µ = µ 3 =... = µ k H 1 : µ 1 µ µ 3... µ k. Menentukan taraf nyata (α) beserta F tabel à Fα (ν 1 ;ν )=... Derajat pembilang (ν 1 ) = k - 1 Derajat penyebut (ν ) = k (n- 1) 3. Menentukan kriteria pengujian H 0 diterima jika F 0 Fα(ν 1 ;ν ) H 0 ditolak jika F 0 > Fα(ν 1 ;ν ) Daerah kritis penolakan H 0 Daerah penerimaan H 0 0 Do not Reject H 0 reject H 0 9

10 Langkah-langkah ANOVA 1 Arah Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA Sumber Variasi Derajat bebas Jumlah Kuadrat Rata-rata kuadrat =Jmh kuadrat / derajat bebas F hit Rata-rata kolom ( k 1) JKK s 1 = JKK ( k 1) s 1 /s Eror k ( n 1) JKE Total ( nk 1) JKT s = JKE k( n -1)

11 Langkah-langkah ANOVA 1 Arah Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA Untuk ukuran sampel yang sama banyak JKT k i= 1 n = j= 1 x ij T... nk Untuk ukuran sampel yang tidak sama banyak JKT k n = i= 1 j= 1 x ij T... N JKE = JKT - JKK k = kolom, n = baris JKE = JKT - JKK Derajat bebas error = N k N = jumlah sampel 5. Membuat kesimpulan Menyimpulkan H 0 diterima atau ditolak à langkah ke-4 VS langkah ke-3

12 Contoh 1 ANOVA 1 Arah: ukuran sampel sama banyak 1 Akan diuji apakah rata-rata jumlah produk yang dihasilkan/minggu dari 3 buah stasiun yang paralel adalah homogen? Diambil sampel random dari pengamatan 6 minggu untuk setiap stasiun kerja Minggu ke Stasiun kerja 1 (unit) Stasiun kerja (unit) Stasiun kerja 3 (unit) Var dependen : produk yg dihasilkan/minggu Var independen : stasiun kerja

13 Penyelesaian 1 ANOVA 1 Arah: ukuran sampel sama banyak 13 1 Formulasi Hipotesis H 0 : μ 1 =μ =.=μ i à Rata-rata perlakuan homogen (tidak ada pengaruh perlakukan atau tidak ada pengaruh variabel bebas terhadap variabel tak bebas) H 1 : tidak semua μ i sama à Rata-rata perlakuan tidak homogen (ada pengaruh perlakukan) Tingkat signifikansi uji : α % à Fα (ν 1 ;ν )= F 0,05;(;15) 3 Statistik uji yang digunakan : F hitung = JKK JKE db db = JKK ( k 1) JKE k( n 1) ~ F (k-1);k(n-1) Daerah kritis: F hitung > F α;(k-1);k(n-1)

14 Penyelesaian 1 ANOVA 1 Arah: ukuran sampel sama banyak 14 4 Tabel Analisis Variansi (ANOVA) Minggu ke S.kerja I S.kerja II S.kerja III Total Jumlah (X i ) Diketahui: N = 18 n = 6 k = 3 JKT k n i = i= 1 j= 1 X ij T N = ,056 = 1660,944 JKK = JKE = JKT JKK ,056 = 114,111 = 1660, ,111= 1546,833

15 Penyelesaian 1 ANOVA 1 Arah: ukuran sampel sama banyak 15 4 Tabel Analisis Variansi (ANOVA) Sumber Variasi Derajat bebas Jumlah Kuadrat Rata-rata kuadrat =Jmh kuadrat / derajat bebas F hit Rata-rata kolom ( k 1) JKK s 1 = JKK ( k 1) s 1 /s Eror k ( n 1) JKE Total ( nk 1) JKT s = JKE k( n -1) SUMBER VARIASI Kelas/perlakuan Derajat bebas Jumlah kuadrat (JK) Rata-rata kuadrat JKK 3-1= 114,111 s 1 = 57,055 JKE 3(6-1)= ,833 s = 103,1 TOTAL 18-1= ,944 F hitung F = 0,55

16 Penyelesaian 1 ANOVA 1 Arah: ukuran sampel sama banyak 16 5 Menarik Kesimpulan Tingkat signifikansi uji : α = 5 % Statistik uji yang digunakan F hitung ~ F 0,05;(;15) Daerah kritis : Jika F hitung > F 0,05;(;15) = 3,68 Kesimpulan : Karena F hitung = 0,55 < F 0,05;(;15) = 3,68 maka H 0 diterima, dimana rata-rata jumlah produk yang dihasilkan ketiga stasiun tiap minggunya homogen (sama) atau tidak ada pengaruh jenis stasiun kerja terhadap jumlah produksi/ minggu.

17 17 Contoh 1 ANOVA 1 Arah dengan Ms. Excel EXCEL: Tools >> data analysis >> ANOVA: single factor

18 Anova: Single Factor SUMMARY Groups Count Sum Average Variance Column Column Column ANOVA Source of Variation SS df MS F P-value F crit Between Groups Within Groups Total Contoh 1 ANOVA 1 Arah dengan Ms. Excel Output

19 Contoh ANOVA 1 Arah: ukuran sampel tidak sama banyak 19 Untuk menguji apakah operator yang berbeda akan mempengaruhi waktu proses (dalam menit) untuk membuat suatu produk, dilakukan pengamatan secara bersamaan terhadap 4 orang operator (A, B, C, D). Hasil pengamatannya. Berikut hasil pengamatannya waktu proses (dalam menit) Operator A Operator B Operator C Operator D Tingkat signifikansi uji : α = 5 %

20 Penyelesaian ANOVA 1 Arah: ukuran sampel tidak sama banyak 0 1 Formulasi Hipotesis H 0 : μ A =μ B =μ c =μ D à Rata-rata waktu proses keempat operator sama atau tidak ada pengaruh operator terhadap waktu proses H 1 : tidak semua μ i sama à Rata-rata waktu proses keempat operator tidak semua sama atau ada pengaruh operator terhadap waktu proses Tingkat signifikansi uji : α % à Fα (ν 1 ;ν ) 3 Statistik uji yang digunakan : F hitung ~ F 0,05;(3;0) Daerah kritis: Jika F hitung > F 0,05;(3;0) = 3,099 N-k

21 Penyelesaian 1 ANOVA 1 Arah: ukuran sampel tidak sama banyak 1 4 Tabel Analisis Variansi (ANOVA) Operator A Operator B Operator C Operator D n i N = 4 X i (total) T = 1539 X i (rata) 61 66, k n i i= 1 j= 1 X ij = JKT i = i= 1 j= 1 k n 44 JKK = 4 JKE X ij = JKT JKK T N = ,38 = 360, = 360,65 41,15 = 119, ,38 = 41,15

22 Penyelesaian ANOVA 1 Arah: ukuran sampel tidak sama banyak 4 Tabel Analisis Variansi (ANOVA) SUMBER VARIASI db Jumlah kuadrat (JK) Kelas/perlakuan Rata-rata kuadrat / kuadrat tengah F hitung JKK k-1= 3 41,15 s 1 = 80,375 JKE N-k= 0 119,5 s = 5,975 13,45 TOTAL N-1=3 360,65 5 Menarik Kesimpulan Kesimpulan : Karena F hitung = 13,45 > F 0,05;(3;0) = 3,099 maka H 0 ditolak, dimana rata-rata waktu proses keempat operator tidak semua sama atau ada pengaruh operator terhadap waktu proses

23 3 Contoh ANOVA 1 Arah dengan Ms. Excel EXCEL: Tools >> data analysis >> ANOVA: single factor

24 Anova: Single Factor SUMMARY Groups Count Sum Average Variance Column Column Column Column ANOVA Source of Variation SS df MS F P-value F crit Between Groups E Within Groups Total Contoh ANOVA 1 Arah dengan Ms. Excel Output

25 5 KEKUATAN HUBUNGAN ANTARA VARIABEL BEBAS DAN TAK BEBAS Kekuatan hubungan / asosiasi antara variabel x (perlakuan) dengan variabel y dalam sampel dinyatakan dalam ρ = JKK/JKT Contoh : untuk contoh 1 sebelumnya JKK ρ = JKT = 114, ,944 = 0,0687 = 6,87% à (ρ/100)% variasi yang terjadi dalam variabel y dari data sampel disebabkan oleh pengaruh variabel x (perlakuan)

26 ANOVA Arah (Two-way ANOVA) Tanpa interaksi Dengan Interaksi 6

27 7 ANOVA Arah à tanpa interaksi Hipotesis ANOVA arah yaitu pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan faktor yang berpengaruh (Interaksi antar faktor ditiadakan)

28 Langkah-langkah ANOVA Arah à Tanpa Interaksi 8 1. Menentukan formulasi hipotesis a. H 0 : α 1 = α = α 3 =... = α i = 0 (pengaruh baris nol) H 1 : sekurang-kurangnya satu α i tidak sama dengan nol. b. H 0 : β 1 = β = β 3 =... = β j = 0 (pengaruh kolom nol) H 1 : sekurang-kurangnya satu β j tidak sama dengan nol.. Menentukan taraf nyata (α) beserta F tabel à Fα (ν 1 ;ν )=... Untuk baris (ν 1 ) = b 1 à (ν ) = (k-1)(b-1) Untuk kolom (ν 1 ) = k 1 à (ν ) = (k-1)(b-1) 3. Menentukan kriteria pengujian H 0 diterima jika F 0 Fα(ν 1 ;ν ) H 0 ditolak jika F 0 > Fα(ν 1 ;ν ) Daerah penerimaan H 0 Daerah kritis penolakan H 0 0 Do not Reject H 0 reject H 0 8

29 Langkah-langkah ANOVA Arah à Tanpa Interaksi 9 4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA f 1 =s 1 /s 3

30 Langkah-langkah ANOVA Arah à Tanpa Interaksi Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA JKT = b i= 1 k j= 1 x ij - T... kb JKE = JKT - JKB - JKK 5. Membuat kesimpulan Menyimpulkan H 0 diterima atau ditolak à langkah ke-4 VS langkah ke-3

31 Contoh 3 ANOVA Arah: Tanpa Interaksi 31 Dari contoh 1, apabila minggu yang berbeda dicurigai akan memberikan hasil produksi yang berbeda à unit eksperimen dalam tiap stasiun kerja dibagi dalam minggu ( variabel bebas, yaitu: jenis stasiun kerja & minggu ke) Minggu ke Stasiun kerja I Stasiun kerja II Stasiun kerja III Jumlah (T i ) Jumlah (T j ) = T

32 Penyelesaian 3 ANOVA Arah: Tanpa Interaksi 3 1 Formulasi Hipotesis H 0 : α 1 = α = α 3 = α 4 = α 5 = α 6 = 0 (pengaruh baris nol => minggu pengerjaan tidak berpengaruh terhadap jumlah hasil produksi) H 1 : sekurang-kurangnya satu α i tidak sama dengan nol H 0 : β 1 = β = β 3 = 0 (pengaruh kolom nol => jenis stasiun kerja tidak berpengaruh terhadap jumlah hasil produksi) H 1 : sekurang-kurangnya satu β j tidak sama dengan nol Tingkat signifikansi uji : α % = 5% 3 Statistik uji yang digunakan : H 0 diterima jika F 0 Fα(ν 1 ;ν ) H 0 ditolak jika F 0 > Fα(ν 1 ;ν )

33 Penyelesaian 3 ANOVA Arah: Tanpa Interaksi 33 4 Tabel Analisis Variansi (ANOVA) k n i N = 18 x = 8001 T i= 1 j= 1 ij kb = = 78540, 06 JKT = k n i i= 1 j= 1 x ij T kb = ,06 = 1660,94 JKB = b Ti k i= 1 T - kb = ,06 = 1508,94 JKK = k T j T = ,06 = 114,11 n N 6 j= 1 JKE = JKT JKB JKK = 1660, ,94 114,11 = 37,89

34 Penyelesaian 3 ANOVA Arah: Tanpa Interaksi 34 4 Tabel Analisis Variansi (ANOVA) SUMBER VARIASI db Jumlah kuadrat (JK) - Rata-rata baris b - 1 = ,94 - Rata-rata kolom k - 1 = 114,11 - Kesalahan / error (k - 1)(b - 1) = 10 37,89 TOTAL kb - 1 = ,94 Rata-rata Kuadrat Fhitung s1 f1= s1 / s3 = JKB/db = 301,788 = 79,65 s f= s / s3 = JKK/db = 57,055 s3 = JKE/db = 3,789 = 15,06

35 Penyelesaian 3 ANOVA Arah: Tanpa Interaksi 35 5 Menarik Kesimpulan Karena F hitung (f 1 )= 79,65 > F 0,05;(5;10) = 3,33 maka H 0 ditolak, dimana ada pengaruh baris artinya rata-rata jumlah produk yang dihasilkan tiap minggunya untuk ketiga stasiun kerja tidak homogen (tidak sama) Karena F hitung (f )=15,06 > F 0,05;(;10) = 4,10 maka H 0 ditolak, dimana ada pengaruh kolom artinya rata-rata jumlah produk yang dihasilkan ketiga stasiun kerja tiap minggunya tidak homogen (tidak sama)

36 36 Contoh 3 ANOVA Arah dengan Ms. Excel EXCEL: Tools >> data analysis >> ANOVA: two factor without replication

37 Anova: Two-Factor Without Replication SUMMARY Count Sum Average Variance Row Row Row Row Row Row Column Column Column ANOVA ource of Variatio SS df MS F P-value F crit Rows E Columns Error Total Contoh 3 ANOVA Arah dengan Ms. Excel Output

38 38 ANOVA Arah à dengan interaksi Pengujian hipotesis Anova dua arah adalah pengujian beda tiga rata-rata atau lebih dengan faktor yang berpengaruh (Pengaruh interaksi kedua faktor tersebut diperhitungkan)

39 Langkah-langkah ANOVA Arah à Dengan Interaksi Menentukan formulasi hipotesis a. H 0 : α 1 = α = α 3 =... = α i = 0 (pengaruh baris nol) H 1 : sekurang-kurangnya satu α i tidak sama dengan nol. b. H 0 : β 1 = β = β 3 =... = β j = 0 (pengaruh kolom nol) H 1 : sekurang-kurangnya satu β j tidak sama dengan nol. c. H 0 : (αβ) 11 = (αβ) 1 = (αβ) 13 =... = (αβ) ij = 0 (pengaruh interaksi antara baris dan kolom nol) H 1 : sekurang-kurangnya satu (αβ) ij tidak sama dengan nol.. Menentukan taraf nyata (α) beserta F tabel à Fα (ν 1 ;ν )=... Untuk baris (ν 1 ) = b 1 à (ν ) = (kb)(n 1) Untuk kolom (ν 1 ) = k 1 à (ν ) = (kb)(n 1) Untuk interaksi: (ν 1 ) = (k 1)(b 1) à (ν ) = (kb)(n 1)

40 Langkah-langkah ANOVA Arah à Dengan Interaksi Menentukan kriteria pengujian Untuk baris, kolom dan untuk interaksi H 0 diterima jika F 0 Fα(ν 1 ;ν ) H 0 ditolak jika F 0 > Fα(ν 1 ;ν ) 4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA

41 Langkah-langkah ANOVA Arah à Dengan Interaksi Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA JKT b i= 1 k j= 1 n = c= 1 x ijc T... bkn + JKE = JKT - JKB - JKK - JKI 5. Membuat kesimpulan Menyimpulkan H 0 diterima atau ditolak à langkah ke-4 VS langkah ke-3

42 Contoh 4 ANOVA Arah: Dengan Interaksi Empat varietas padi hendak dibandingkan hasilnya (dalam kg) dengan memberikan pupuk. Percobaan dilakukan dengan menggunakan 8 petak yang seragam, masing-masing di 4 lokasi yang berbeda. Di setiap lokasi, dicobakan pada petak yang ditentukan secara acak. Hasilnya (dalam kg) per petak adalah sbb: Jenis pupuk P1 P P3 Varietas Padi V1 V V3 V Dengan taraf nyata 1%, ujilah hipotesis berikut ini! a. Tidak ada beda rata-rata hasil padi dg menggunakan ketiga jenis pupuk b. Tidak ada beda rata-rata hasil padi dg menggunakan keempat varietas padi c. Tidak ada interaksi antara jenis pupuk yang diberikan dg varietas padi yang digunakan 4

43 Penyelesaian 4 ANOVA Arah: Dengan Interaksi 43

44 Penyelesaian 4 ANOVA Arah: Dengan Interaksi 44 3 Statistik uji yang digunakan : a. H 0 diterima jika f 1 < F 0,01(;1) = 6,93 H 0 ditolak jika f 1 > F 0,01(6;1) = 6,93 b. H 0 diterima jika f < F 0,01(3;1) = 5,95 H 0 ditolak jika f > F 0,01(6;1) = 5,95 c. H 0 diterima jika f 3 < F 0,01(6;1) = 4,8 H 0 ditolak jika f 3 > F 0,01(6;1) = 4,8 4 Tabel Analisis Varians (ANOVA) Jenis Pupuk Varietas padi V1 V V3 V4 Total P P P Total

45 Penyelesaian 4 ANOVA Arah: Dengan Interaksi 45 4 Tabel Analisis Varians (ANOVA) = 88,8

46 Penyelesaian 4 ANOVA Arah: Dengan Interaksi 46 4 Tabel Analisis Varians (ANOVA) Sumber Varians Jumlah Kuadrat Derajat Bebas Rata-rata Kuadrat Rata-rata baris 589,7 94,9 f 1 =1,4 Rata-rata kolom 88,8 3 9,6 f =1,4 Interaksi 409,6 6 68,3 f 3 =,87 Error 85,5 1 3,8 Total 1.373,6 3 Fo

47 Penyelesaian 4 ANOVA Arah: Dengan Interaksi 47 5 Menarik Kesimpulan Karena f 1 =1,4 > F 0,01(;1) = 6,93, maka H 0 ditolak. Jadi ada perbedaan hasil rata-rata untuk pemberian ketiga jenis pupuk. Karena f =1,4 < F 0,01(3;1) = 5,95, maka H 0 diterima. Jadi tidak ada perbedaan hasil rata-rata untuk keempat varietas padi yang digunakan. Karena f 3 =,87 < F 0,01(6;1) = 4,8, maka H 0 diterima. Jadi tidak ada interaksi antara jenis pupuk yang diberikan dengan varietas padi yang digunakan.