STATISTIK PERTEMUAN XI

Transkripsi

1 STATISTIK PERTEMUAN XI

2 Topik Bahasan: Analisis Ragam (ANOVA) Universitas Gunadarma

3 1. Pendahuluan Metode hipotesis dengan menggunakan distribusi z dan distribusi t efektif untuk uji hipotesis tentang perbedaan rata-rata µ dari satu atau dua populasi Analisis ragam (Analysis of varians /ANOVA) merupakan prosedur uji hipotesis dengan membandingkan rata-rata µ dari 3 atau lebih populasi secara sekaligus H 0 : µ 1 = µ = µ 3 (Semua rata-rata 3 populasi adalah sama) H 1 : Rata-rata 3 populasi adalah tidak semuanya sama Uji analisis ragam dilakukan dengan menggunakan distribusi F.. Distribusi F Seperti halnya distribusi t, bentuk kurva distribusi f tergantung dari jumlah derajat bebas df, yaitu terdiri dari derajat bebas dimana satu sebagai pembilang dan satu sebagai penyebut. Keduanya disebut sebagai parameter untuk distribusi f. df = (8, 14) Pembilang/numerator (df n ) Penyebut/denumerator (df d ) 3

4 Meningkatnya derajat bebas df, puncak kurva distribusi f bergerak ke kanan sehingga kemiringannya berkurang. df = (1, 3) df = (7, 6) df = (1, 40) df = (8, 14) 0.05 Contoh : F Tentukan nilai f untuk derajat bebas 8 untuk pembilang (df n ), dan 14 untuk penyebut (df d ), serta 0.05 luas daerah pada ekor sebelah kanan kurva distribusi f. (tabel hal. 180).70 F Derajat Bebas untuk Pembilang F 0.05 = (8, 14) =

5 3. Analisis ragam satu arah One-way ANOVA test menganalisa hanya satu faktor atau variabel. Sbg contoh, dalam pengujian kesamaan rata-rata µ untuk skor mahasiswa dengan 3 metode berbeda disini hanya ada 1 faktor yang mempengaruhi skor mahasiswa, yaitu metode. Jika 3 dosen yang berbeda dengan 3 metode yang berbeda disini ada faktor yang mempengaruhi skor mahasiswa, yaitu metode dan dosen bukan uji satu arah. Asumsi untuk One-way ANOVA : 1. Populasi-populasi dimana sampel diambil terdistribusi (mendekati) normal. Populasi-populasi dimana sampel diambil memiliki ragam (simpangan baku) yang sama 3. Sampel diambil dari populasi yang berbeda secara acak dan independent Uji analisis ragam satu arah selalu memiliki daerah penolakan (rejection) di sebelah kanan dari ekor kurva disribusi f. Pengujian hipotesis dengan ANOVA memiliki prosedur yang sama dengan uji hipotesis sebelumnya. 5

6 3.1. Penghitungan nilai statistik uji f Nilai statistik uji f untuk pengujian hipotesis dengan ANOVA merupakan rasio dua ragam, yaitu ragam antara sampel (MSB) dan ragam dalam sampel (MSW) F = MSB MSW SSB MSB = k -1 ; MSW = SSW n - k DIMANA SSB= T1 n 1 + T n + T3 n ( x) n SSW = x - T1 n 1 + T n + T3 n Keterangan : x = variabel x k = jumlah perlakuan / treatment n i = ukuran sampel i Ti = total nilai variabel dalam sampel i n = jumlah semua sampel = n 1 + n + n 3 + x = total nilai x dalam semua sampel = T 1 + T + T 3 + x = total kuadrat nilai x dalam semua sampel 6

7 Contoh : Terdapat 3 metode pengajaran dalam mata kuliah Dasar-dasar pemrograman. Di akhir semester diberikan test yg sama pada 15 mahasiswa, dan diperoleh skor sbb : Metode I Metode II Metode III Σx = T 1 + T + T 3 = = 1081 n = n 1 + n + n 3 = 15 Hitunglah nilai statistik uji f! Jawab : Metode I Metode II Metode III T 1 = 34 n 1 = 5 T = 369 n = 5 T 3 = 388 n 3 = 5 Σx = (48) + (73) + (51) + (65) + (87) + (55) + (85) + (70) + (69) + (90) + (84) + (68) + (95) + (74) + (67) SSB= = (34) 5 5 ( 369) + ( 388) ( 1081) 15 = SSW = (34) 5 + ( 369 ) ( 388) =

8 Menghitung nilai MSB dan MSW: SSB MSB= k -1 = = ; MSW = SSW n - k = = Menghitung statistik uji f : F = MSB MSW = = Tabel ANOVA : Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Di antara kelompok k - 1 SSB Galat Sampling n k SSW Total n - 1 SST = SSB + SSW Kuadrat Ratarata SSB MSB= k -1 SSW MSW = n - k F hitung MSB F = MSW Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Ratarata F hitung Di antara kelompok Galat Sampling Total

9 3.. Uji ANOVA satu arah Contoh : Merujuk pada contoh soal sebelumnya, ttg skor 15 mahasiswa yang diambil acak dari 3 kelompok metode pengajaran. Dengan tingkat signifikansi 1%, dapatkah kita menolak hipotesis nol (h o ), bahwa skor seluruh mahasiswa dengan masingmasing metode pengajaran adalah sama? Asumsikan bahwa seluruh asumsi untuk uji anova satu arah telah terpenuhi. Jawab : 1. Tentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatif katakan µ 1, µ, dan µ 3 adalah rata-rata skor seluruh mahasiswa yang diajar, dengan metode I, II, dan III. H 0 : µ 1 = µ = µ 3 (Semua rata-rata skor dari 3 kelompok adalah sama) H 1 : Semua rata-rata skor dari 3 kelompok adalah tidak sama) H 1 menyatakan bahwa sedikitnya satu rata-rata populasi berbeda dengan dua yang lain.. Pilih distribusi yang digunakan Karena kita membandingkan 3 rata-rata populasi yg terdistribusi normal, digunakan distribusi f untuk melakukan pengujian 3. Menentukan daerah kritis Tingkat signifikansi adalah Karena uji anova satu arah maka daerah ekor kanan kurva distribusi f adalah

10 Kemudian kita perlu mengetahui derajat bebas. df untuk pembilang = k -1 = 3 1 = df untuk penyebut = n - k = 15 3 = 1 Sehingga dari Tabel Distribusi F, nilai kritis untuk F, F 0.01 (, 1) = 6.93 Terima Ho df = (, 1) Tolak Ho = F 4. Menentukan nilai statistik uji f Telah dihitung bahwa f hitung = Membuat keputusan Karena f hitung = 1.09 lebih kecil dari nilai kritis f = 6.93, jatuh pada daerah penerimaan h o, dan kita gagal menolak h o. Sehingga disimpulkan bahwa rata-rata skor ketiga populasi adalah sama, dengan kata lain perbedaan metode pengajaran tidak menunjukkan pengaruh pada rata-rata skor mahasiswa. 10

11 Latihan : Untuk melihat produktifitas kerja staf di bagian teller, seorang manager research suatu bank melakukan pengamatan terhadap jumlah customer per jam yang dapat dilayani oleh 4 orang teller. Data hasil beberapa pengamatan ditunjukkan pada tabel berikut : Teller A Teller B Teller C Teller D Dengan tingkat signifikansi 5%, ujilah H 0 bahwa rata-rata jumlah customer per jam yang dilayani masing teller adalah sama. Asumsikan bahwa seluruh asumsi untuk uji anova satu arah telah terpenuhi. 11

12 4. Analisis ragam dua arah Two-way anova test menganalisa dua faktor atau variabel, baik tanpa interaksi maupun dengan interaksi. Misal : Pengaruh pemberian 3 jenis pupuk terhadap produksi 4 varietas gandum ada faktor yaitu jenis pupuk dan varietas gandum yang ingin dilihat pengaruhnya terhadap produksi gandum 4.1. Two-way anova test (tanpa interaksi) Ringkasan tabel anova arah tanpa interaksi : Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Ratarata F hitung Di antara Baris r - 1 SSB_r SSB_r MSB_r MSB_r = F = r -1 1 MSW Di antara kolom c - 1 SSB_c SSB_c MSB_c MSB_c= F c -1 = MSW Galat Sampling (r 1) (c 1) SSW = SST- SSB_r - SSB_c SSW MSW = (r -1)(c - 1) - Total rc - 1 ( x) SST = x r.c 1

13 DIMANA SSB_r= T T T c... - ( x) r.c r r r SSB_c= T T T r - ( x) r.c c c c SST = x - ( x) r.c Keterangan : x = variabel x r = jumlah perlakuan / treatment dalam baris c = jumlah perlakuan / treatment dalam kolom T ri = total nilai variabel dalam baris ke-i T cj = total nilai variabel dalam baris ke-j x = total nilai x dalam semua sampel = T 1 + T + T 3 + x = total kuadrat nilai x dalam semua sampel Contoh : Tabel berikut menunjukkan data produksi 3 varietas gandum (dalam ton/ha) dengan 4 jenis perlakuan pupuk. Ujilah h 0, pada taraf nyata 0.05 bahwa tidak ada beda rata-rata hasil gandum untuk ke-4 perlakuan pupuk tsb. Juga ujilah h 0, bahwa tidak ada beda rata-rata hasil untuk ke-3 varietas gandum tersebut. 13

14 Jenis Pupuk Varietas Gandum v 1 v v 3 Total Rata-rata p P P p Total Rata-rata Jawab : 1. Tentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatif a. H 0 : 1 = = 3 = 3 = 0 (pengaruh baris / jenis pupuk adalah nol) H 1 : Sekurang-kurangnya satu i adalah tidak sama dengan nol) b. H 0 : β 1 = β = β 3 = 0 (pengaruh kolom / varietas gandum adalah nol) H 1 : Sekurang-kurangnya satu β j adalah tidak sama dengan nol). = Wilayah kritis : F 1 > 4.76 (dari tabel distribusi F, untuk F 0.05 (3.6) = 4.76) 4. Perhitungan : SSB_r= T r F > 5.14 (dari tabel distribusi F, untuk F 0.05 (.6) = 5.14)... Tr Tr + ( x) ( 70) 3 - = c r.c

15 SSB_c= SST = T x = ( 64 T r ( x) r.c T... - ( x) r.c c c c = ( 70) - 56 Hasil perhitungan disajikan dalam tabel ANOVA berikut : Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat ) - Kuadrat Ratarata ( 70) 1 66 F hitung Di antara Baris Di antara kolom Galat Sampling Total Keputusan : a. Tolak H 0 dan simpulkan bahwa ada beda rata-rata hasil gandum dalam penggunaan ke-4 jenis pupuk tersebut. b. Terima H 0 dan simpulkan bahwa tidak ada beda rata-rata hasil gandum dalam penggunaan ke-3 varietas gandum. 15

16 Klasifikasi Dua Arah dengan Satu Pengamatan Tiap Sel Baris Kolom 1 j c Total 1 x 11 x 1.. x 1j.. x 1c T r1 x 1 x.. x j.. x c T r i x i1 x i.. x ij.. x ic T r r x r1 x r.. x rj.. x ic T rr Total T c1 T c.. T cj.. T cc T (Σx) 16

17 4.. Two-way anova test (dengan interaksi) Tiga hipotesis nol (H 0 ) yang berbeda dapat diuji dengan anova dua arah dengan interaksi, yaitu : Tidak ada efek baris Tidak ada efek kolom Tidak ada efek interaksi faktor baris dan kolom Ringkasan tabel anova arah dengan interaksi : Sumber Keragaman Derajat Bebas Di antara Baris r - 1 SSB_r Di antara kolom c - 1 SSB_c Jumlah Kuadrat Kuadrat Rata-rata F hitung SSB_r MSB_r = r -1 SSB_c MSB_c= c -1 Interaksi Baris (r 1) (c 1) SSB_i MSB_i SSB_i MSB_i= F dan kolom (r -1)(c - 1) = MSW SSW Galat Sampling r.c (n - 1) SSW MSW = - r.c (n - 1) ( x) Total r.c.n - 1 SST = x r. c. n F 1 F MSB_r = MSW MSB_c = MSW 17

18 DIMANA : SSB_r= T T T c.n... - ( x) r.c.n r r r SSB_c= T T T r.n... - ( x) r.c.n c c c SSB_i= x n - T T T... T T T... ( x) r r r c c c3 3 1 c. n r. n r. c. n 1 SST = x - ( x) r. c. n Keterangan : x = variabel x r = jumlah perlakuan / treatment dalam baris c = jumlah perlakuan / treatment dalam kolom n = jumlah pengamatan / ulangan dalam sel T ri = total nilai variabel dalam baris ke-i T cj = total nilai variabel dalam baris ke-j x = total nilai x dalam semua sampel = T 1 + T + T 3 + x = total kuadrat nilai x dalam semua sampel 18

19 Contoh : Tabel berikut menunjukkan data produksi 3 varietas gandum (dalam ton/ha) dengan 4 jenis perlakuan pupuk dengan masing percobaan dengan 3 ulangan. Ujilah pada taraf nyata 0.05 untuk : a. H 0 : tidak ada beda rata-rata hasil untuk ke-4 perlakuan pupuk. b. H 0 : tidak ada beda rata-rata hasil untuk ke-3 varietas gandum. c. H 0 : tidak ada interaksi antara jenis pupuk dan varietas gandum Jenis Pupuk p P P p Varietas Gandum v 1 v v Jenis Pupuk Varietas Gandum v 1 v v 3 Total p P P p Total

20 Jawab : 1. Tentukan hipotesis nol dan hipotesis alternatif a. H 0 : 1 = = 3 = 4 = 0 (pengaruh baris / jenis pupuk adalah nol) H 1 : Sekurang-kurangnya satu i adalah tidak sama dengan nol) b. H 0 : β 1 = β = β 3 = 0 (pengaruh kolom / varietas gandum adalah nol) H 1 : Sekurang-kurangnya satu β j adalah tidak sama dengan nol) c. H 0 : ( β) 11 = ( β) 1 = = ( β) 43 = 0 (pengaruh interaksi adalah nol) H 1 : Sekurang-kurangnya satu ( β) ij adalah tidak sama dengan nol). = Wilayah kritis : a. F 1 > 3.01 (dari tabel distribusi F, untuk F 0.05 (3, 4) = 3.01) b. F > 3.40 (dari tabel distribusi F, untuk F 0.05 (, 4) = 3.40) c. F 3 >.51 (dari tabel distribusi F, untuk F 0.05 (6, 4) =.51) 4. Perhitungan : SST = SSB_r= ( x) ( 110) x - ( ) r. c. n Tr Tr Tr ( x) c.n ( 110) - - r.c.n 9 36 =

21 ( 110) Tc Tc Tc + ( x) 1 3 SSB_c= - = r.n r.c.n 1 x T r Tr Tr... T c Tc Tc... ( x) SSB_i= - n c. n r. n r. c. n = Hasil perhitungan disajikan dalam tabel ANOVA berikut : 36 Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Rata-rata F hitung Di antara Baris Di antara kolom Interaksi Galat Sampling Total Keputusan : a. Tolak H 0 dan simpulkan bahwa ada beda rata-rata hasil gandum dalam penggunaan ke-4 jenis pupuk tersebut. b. Terima H 0 dan simpulkan bahwa tidak ada beda rata-rata hasil gandum dalam penggunaan ke-3 varietas gandum. c. Terima H 0 dan simpulkan bahwa tidak ada interaksi antara jenis pupuk dan varietas gandum. 1

22 Uji chi kuadrat-statistika Topik Bahasan: UJI CHI KUADRAT ( )

23 Uji Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara : - frekuensi observasi/yg benar-benar terjadi/aktual dengan - frekuensi harapan/ekspektasi frekuensi observasi frekuensi harapan didapat dari hasil percobaan (o) didapat secara teoritis (e) Contoh : Sebuah dadu setimbang dilempar sekali (1 kali). Berapa nilai ekspektasi sisi-1, sisi-, sisi-3, sisi-4, sisi-5 dan sisi-6 muncul? Kategori Sisi-1 Sisi- Sisi-3 Sisi-4 Sisi-5 Sisi-6 Frekuensi ekspektasi (e) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Jika dadu setimbang dilempar 10 kali maka masing-masing sisi akan muncul sebagai berikut Kategori Sisi-1 Sisi- Sisi-3 Sisi-4 Sisi-5 Sisi-6 Frekuensi ekspektasi (e) Frekuensi ekspektasi = 0 diperoleh dari 1/6 x 10 Dalam sebuah percobaan, apakah frekuensi observasi akan sama dengan frekuensi ekspektasi? Uji chi kuadrat-statistika 3

24 Uji chi kuadrat-statistika 4 Bentuk Distribusi Chi Kuadrat (²) Nilai ² adalah nilai kuadrat karena itu nilai ² selalu positif. Bentuk distribusi ² tergantung dari derajat bebas(db)/degree of freedom dan luas daerah di bawah kurva ² db; α Perhatikan Tabel hal 178 dan 179 (Buku Statistika-, Gunadarma) Contoh: nilai ² untuk db = 5 dengan luas daerah di sisi kanan kurva (α) = adalah (Tabel hal 178) db α

25 Bentuk kurva x Daerah penolakan H 0 χ² > χ² tabel (db; α) Pengunaan Uji ² a. Uji Kecocokan = Uji kebaikan-suai = Goodness of fit b. Uji Kebebasan c. Uji beberapa proporsi Bentuk hipotesis H 0 : f 0 = f e H 0 : f 0 f e Uji chi kuadrat-statistika 5

26 Uji chi kuadratstatistika 6 Uji Kecocokan.1 Penetapan Hipotesis Awal dan Hipotesis Alternatif H 0 : frekuensi setiap kategori memenuhi suatu nilai/perbandingan. H 1 : ada frekuensi suatu kategori yang tidak memenuhi nilai/ perbandingan tersebut. Contoh 1 : Pelemparan dadu 10 kali, kita akan menguji kesetimbangan dadu. Dadu setimbang jika setiap sisi dadu akan muncul 0 kali. H 0 : setiap sisi akan muncul = 0 kali. H 1 : ada sisi yang muncul 0 kali. Contoh : Sebuah mesin pencampur adonan es krim akan menghasilkan perbandingan antara coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : : : 1 H 0 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim = 5 : : : 1 H 1 : perbandingan Coklat : Gula : Susu : Krim 5 : : : 1

27 Uji chi kuadrat-statistika 7 statistik Uji (² hitung) : - ) k ( o i1 i e ei i k : banyaknya kategori/sel, 1,... k o i : frekuensi observasi untuk kategori ke-i e i : frekuensi ekspektasi untuk kategori ke-i Hitung frekuensi ekspektasi dengan nilai/perbandingan dalam H 0 Derajat Bebas (db) = k - 1 Contoh Berikut adalah hasil pengamatan dari pelemparan dadu 10 kali. Kategori Sisi-1 Sisi- Sisi-3 Sisi-4 Sisi-5 Sisi-6 Frekuensi ekspektasi (e) Dengan taraf nyata 5 % ujilah apakah dadu dapat dikatakan seimbang?

28 Jawab 1. H 0 : Dadu setimbang semua sisi akan muncul = 0 kali. H 0 : f 0 = f e H 1 : Dadu tidak setimbang ada sisi yang muncul 0 kali. H 0 : f 0 f e. Statistik Uji χ² 3. Nilai α = 5 % = 0.05 k = 6 ; db = k - 1 = 6-1 = 5 4. Nilai Tabel χ² db = 5; α = 0.05 χ² tabel = Daerah Penolakan H 0 jika χ² > χ² tabel (db; α) χ² > X hitung : o i e i o i -e i (o i -e i ) /e i Sisi Sisi Sisi Sisi Sisi Sisi Kesimpulan : χ² hitung = 1.70 < χ² tabel Nilai χ² hitung ada di daerah penerimaan H 0 H 0 diterima; pernyataan dadu setimbang dapat diterima Uji chi kuadrat-statistika 8 X hitung = 1.70

29 Uji chi kuadrat-statistika 9 Uji Kebebasan : Menguji ada tidaknya hubungan antar dua variabel Contoh: Kita ingin mengetahui apakah hobi mengemil ada hubungannya dengan obesitas Bentuk hipotesis: H 0 : variabel-variabel saling bebas (Tidak ada hubungan antar variabel) H 1 : variabel-variabel tidak saling bebas (Ada hubungan antar variabel) Data pada pengujian ketergantungan (hubungan) variabel disajikan dalam bentuk Tabel Kontingensi (Cross Tab) Bentuk umum Tabel Kontingensi Kolom berukuran ke-1 r baris x Kolom k kolom ke- Total baris Baris ke-1 Baris ke- Total baris ke-1 Total baris ke- Total kolom Total kolom ke-1 Total kolom ke- Total pengamatan Wilayah kritis: X htung > X db; α Derajat bebas =(r-1) (k-1) H 0 ditolak

30 Uji chi kuadrat-statistika 30 Uji X hitung - ) ij eij r,k ( o i, j1 e o i j : frekuensi observasi baris ke- i, kolom ke- j e i j : frekuensi ekspektasi baris ke- i, kolom ke- j ij Frekuensi ekspektasi (harapan): frekuensi harapansel ke ij total baris ke -i x total kolom ke - total pengamatan j Contoh Berikut adalah data jam kerja berdasarkan jenis kelamin (gender) Angka dalam kotak merupakan fekuensi harapan Apakah ada hubungan antara jam kerja dengan jenis kelamin? Gunakan taraf nyata 5 %.

31 Uji chi kuadrat-statistika 31 Jawab 1. H 0 : Gender dan Jam kerja saling bebas H 1 : Gender dan Jam kerja tidak saling bebas. Statistik Uji = χ² 3. Nilai α = 5 % = Nilai Tabel χ² db = ; α = 0.05 χ² tabel = Daerah Penolakan H 0 χ²hitung > χ² tabel χ²hitung > Perhitungan χ² Frekuensi harapan : 5 x 14 pria, 5 jam x 14 pria, 5-50 jam x 14 pria, 50 jam x 16 wanita, 5 jam x 14 wanita, 5 50 jam x 14 wanita, 50 jam

32 Kesimpulan χ² hitung = < χ² tabel = ) χ² hitung ada di daerah penerimaan H 0 H 0 diterima, antar gender dan jam kerja saling bebas Uji chi kuadrat-statistika 3

33 Uji beberapa proporsi Uji chi kuadrat-statistika 33 Uji ini merupakan perluasan dari uji dua proporsi pada uji ini kita dapat menguji lebih dari dua proporsi bentuk hipotesis : H 0 : p 1 = p = p 3 = =p k (semua proporsi sama) H 1 : p 1 ; p ; p 3; ; p k tidak semua sama data pengamatan dapat disajikan sebagai berikut contoh Keberhasilan (sukses) 1 k x 1 x x k Kegagalan n 1 -x 1 n -x n k -x k n 1 n n k Derajat bebas = (baris-1) (kolom-1)= (-1) (k-1)

34 Uji chi kuadrat-statistika 34 Contoh Berikut adalah data pengamatan tentang dukungan beberapa kelompok masyarakat terhadap suatu kebijakan Kelompok 1 Kelompok Kelompok 3 Setuju 35 (35.10) 45 (44.81) 38 (38.09) 118 Tidak setuju 1 (11.9) 15 (15.19) 13 (1.91) Angka dalam kurung merupakan frekuensi harapan. Apakah proporsi masyarakat yang mendukung /setuju terhadap kebijakan sama? Gunakan taraf nyata 5 %. Jawab 1. H 0 : proporsi masyarakat yang setuju sama H 1 : proporsi masyarakat yang setuju tidak semuanya sama. Statistik uji X 3. Taraf nyata (α) = 5 % 4. Nilai Tabel X² : db = ; α = 0.05 χ² tabel = Daerah Penolakan H 0 χ²hitung > χ² tabel χ²hitung >

35 Uji chi kuadrat-statistika Perhitungan o i e i o i -e i (o i -e i ) /e i Kel-1, setuju Kel-, setuju Kel-3, setuju Kel-1, tidak setuju Kel-, tidak setuju Kel-3, tidak setuju X hitung = Kesimpulan X hitung < X tabel < H 0 diterima proporsi kelompok masyarakat yang setuju terhadap kebijakan sama