PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN KOEFISIEN INTERVAL ANA FARIDA

Transkripsi

1 PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN KOEFISIEN INTERVAL ANA FARIDA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

2 ABSTRAK ANA FARIDA. Pegoptmum pd Mslh Pemrogrm Ler deg Koefse Itervl. Dmg oleh PRAPTO TRI SUPRIYO d NUR ALIATININGTYAS. Pd eerp mslh plks pemrogrm ler (PL), koefse pd model sergkl tdk s dtetuk ser tept. Slh stu metode dlm meyelesk mslh PL dlh deg megguk pedekt tervl, dm koefse tk tetu terseut duh med etuk tervl. Betuk PL dmk Ler Progrmmg wth Itervl oeffet (LPI). Koefse eretuk tervl medk perlus tolers (tu derh) dm prmeter kostt s dterm d memeuh model LPI. Pd kry lmh k dhs slh stu metode dlm meyelesk LPI yg telh dkemgk oleh JW hek d K Rmd (). Mslh LPI memlk fugs oektf d kedl persm tu pertdksm yg erkoefse tervl. Solus optmum dg med du, ytu est optmum d worst optmum. Dlm ksus mmss, est optmum dlh solus yg memlk l fugs oektf terkel, sedgk worst optmum dlh solus yg memlk l fugs oektf teresr. Solus optmum pd LPI ddptk deg mer vers khusus dr fugs oektf d kedl yg megoptmumk model, ytu dplh sutu l spesfk (l ekstrm) pd koefse tervl yg memut model LPI terseut optmum, sehgg pemeh mslh LPI dperoleh deg meyelesk PL yg megoptmumk model LPI. Kt ku: pemrogrm ler, koefse tervl, optmss.

3 ABSTRAT ANA FARIDA. Optmzto Ler Progrmmg wth Itervl oeffets Prolems. Supervsed y PRAPTO TRI SUPRIYO d NUR ALIATININGTYAS. O some ppltos of ler progrmmg prolems (LP), the oeffet o the model ofte ot e determed presely. Oe method to solve ths LP prolem s to use tervl pproh, where uert oeffets re trsformed to the form of tervls. LP form s lled Ler Progrmmg wth Itervl oeffet (LPI). Itervl oeffet dtes shped epso of tolere (or regos) where the ostt prmeters e epted d fulflled the LPI model. Oe of the methods solvg LPI hs ee developed y JW hek d K Rmd (). LPI prolems hve oetve futos d equtos or equltes ostrts whh ther oeffets re tervls. The optmum solutos re dvded to two solutos, est optmum soluto d worst optmum soluto. I the se of mmzto, est optmum s the soluto tht hs the smllest oetve futo vlue, whle the worst optmum s the soluto tht hs the lrgest oetve futo vlue. The optmum soluto to the LPI oted y seekg spel verso of the oetve futo d ostrts tht optmze model, whh s seleted spef vlue (etreme vlue) o the tervl oeffets tht mke LPI model s optmum. Therefore, soluto s oted y solvg LP tht optmze LPI model. Keywords: ler progrmmg, tervl oeffet, optmzto.

4 PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN KOEFISIEN INTERVAL ANA FARIDA Skrps sg slh stu syrt utuk memperoleh gelr Sr Ss pd Deprteme Mtemtk DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

5 v Judul Skrps : Pegoptmum pd Mslh Pemrogrm Ler deg Koefse Itervl Nm : A Frd NIM : G Meyetuu, Pemmg I Pemmg II Drs.Prpto Tr Supryo, M.Kom. Dr. Nur Altgtys, MS. NIP NIP Megethu, Ketu Deprteme Mtemtk Dr. Berl Setwty, MS. NIP Tggl Lulus: v

6 v KATA PENGANTAR Pu d syukur peuls ptk kehdrt Allh Suhllhu t l ts segl kmt, petuuk, d pertolog-ny sehgg peuls skrps erhsl dselesk. Tem yg dplh peuls dlh Rset Opers deg udul Pegoptmum pd Mslh Pemrogrm Ler deg Koefse Itervl. Skrps merupk syrt utuk meyelesk stud pd Deprteme Mtemtk, Fkults Mtemtk d Ilmu Pegethu Alm, Isttut Pert Bogor. Peuls megupk term ksh kepd:. Bpk Drs.Prpto Tr Supryo, M.Kom. d Iu Dr. Nur Altgtys, MS selku dose pemmg skrps ts mg, rh, wktu, kesr d lmu pegethu yg telh derk selm peyusu skrps.. Bpk Dr.Ir. Amrl Am, Ms. selku dose pegu skrps ts sr d msuk yg derk kepd peuls.. Kelurgku tert: pk, Iu, kkk, dk d seluruh kelurg esr yg telh memerk do, dukug d ksh sygy.. Seluruh dose Mtemtk FMIPA IPB yg telh memerk lmu yg ermft g peuls.. Stf TU Mtemtk, Pk Yoo, Bu Ade, Ms Her, Bu Sus yg telh megurus segl dmstrs. 6. Rzky, Nurus d F selku pemhs yg telh memerk tu, sr d krtk kepd peuls. 7. Slm, Ftr, Md d L ts persht, do, sht, semgt d dukugy selm. 6. Peghu Neuz House: Fety, Kk Srr, Lus, Dev, Srh, Idh, Wdy, Sly, tr, Tys d Mut ts keersm, dukug d semgt yg derk. 7. Tem-tem Mth : Nov, Mr, L, Yu, Zl, Lel d seluruh tem-tem ly yg tdk s dseutk stu-perstu. 8. Adk-dk Mth d ts segl keersm d tuy. 9. Kk Sr, Sof, We, Er, M d Novy yg telh memer semgt d dukug kepd peuls. Peuls meydr hw dlm tuls msh terdpt kekurg d uh dr kesempur. Oleh kre tu, dutuhk krtk d sr yg memgu dr pem. Semog kry lmh dpt ermft g du lmu pegethu khususy mtemtk d med sprs g peelt-peelt seluty. Bogor, Oktoer A Frd v

7 v RIWAYAT HIDUP Peuls merupk k keempt dr lm ersudr, puter dr psg Bpk Adul Ghofr d Iu Mhmudh. Peuls dlhrk d Mlg pd tggl 9 Jul 987. Peddk TK dtempuh pd thu 99 d TK Slfyh Godgleg. Pd thu99 peuls melutk sekolh d SDI Slfyh Godgleg d meyelesky pd thu 999. Setelh meyelesk peddk sekolh dsr, peuls melutk peddk d MTsN Mlg pd thu 999 smp. Pd thu peuls melutk peddk meegh ts d MAN Mlg. Pd thu, peuls melutk peddk d Isttut Pert Bogor. Peuls dterm d Tgkt Persp Bersm (TPB) Isttut Pert Bogor mellu lur Seleks Peerm Mhssw Bru (SPMB). Pd thu 6 peuls dterm d Deprteme Geofsk d Meteorolog, sethu kemud pdh urus ke Deprteme Mtemtk, Fkults Ilmu Pegethu Alm d Mtemtk. Selm megkut kegt perkulh, peuls med pegr d mg elr d Bogor. Pd thu 9 d peuls memperoleh essw Btu Belr Mhssw (BBM). v

8 v DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR Hlm. v v DAFTAR LAMPIRAN... v I PENDAHULUAN. Ltr Belkg. Tuu. II LANDASAN TEORI III PEMBAHASAN.... LPI deg kedl pertdksm tervl 7. LPI deg kedl persm tervl IV STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA 8 V SIMPULAN DAN SARAN. Smpul. Sr DAFTAR PUSTAKA.. LAMPIRAN v

9 v DAFTAR TABEL Hlm Susu Zt Gz pd Pk Aym d Kdr Mmum Zt Gz 9 Bts Pk dlm Rsum d Hrg Pk Aym... 9 Pemeh Mslh Pemel Pk Terk Aym... DAFTAR GAMBAR Hlm Ilustrs hmpu koveks d uk hmpu koveks... S I pd otoh... S II pd otoh... 6 Derh fsel pd otoh... 6 S I pd otoh S II pd otoh Derh fsel S I SII pd otoh S I d S II pd otoh Ilustrs rs hmpu solus du pertdksm ( S )... 8 Ilustrs gug hmpu solus du pertdksm ( S )... 8 S pd otoh S pd otoh Derh fsel solus est optmum pd otoh 7... Derh fsel solus worst optmum pd otoh 7... Derh fsel LPI pd otoh Derh fsel pd otoh... 7 Derh fsel pd otoh... 8 Derh fsel solus est optmum pd otoh Derh fsel solus worst optmum pd otoh... 8 Derh fsel LPI pd otoh... 8 DAFTAR LAMPIRAN Hlm Syt Progrm LINGO 8. utuk Meyelesk Mslh LPI deg Kedl eretuk Pertdksm Itervl 6 Syt Progrm LINGO 8. utuk Meyelesk Mslh LPI deg Kedl eretuk Persm tervl 8 Syt Progrm LINGO 8. utuk Meyelesk Stud Ksus Mslh LPI 9 v

10 I PENDAHULUAN. Ltr Belkg Pd eerp mslh plks pemrogrm ler (PL), koefse pd model sergkl tdk s dtetuk ser tept sehgg sy dut dlm perkr. Slh stu metode dlm meyelesk mslh PL dlh deg megguk pedekt tervl, dm koefse tk tetu terseut duh med etuk tervl. Betuk PL dmk Ler Progrmmg wth Itervl oeffet (LPI). Koefse eretuk tervl medk perlus tolers (tu derh) dm prmeter kostt s dterm d memeuh model LPI. Pd wly, LPI tdk yk dhs, peelt seelumy leh memustk pd ksus khusus tertetu, mslk vrel - tu ksus PL deg koefse tervl pd fugs oektf s. Topk LPI dperkelk ser lus pd thu 96-98, dmul dr model kedl eretuk upper-oud d loweroud (... u ). Meskpu tdk erhuug deg LPI, model memlk kesm ytu model kedl terseut dts ttk ekstrm. Shoheg (99) metrsformsk LPI med du PL yg memlk krkterstk khusus. Slh stu PL memlk derh fsel teresr (lrgest possle fesle rego) d vers terk pd fugs oektf (most fvourle verso of oetve futo ) utuk meemuk solus optmum terk yg mugk (est possle optmum soluto). Sedgk PL ly memlk derh fsel terkel (smllest possle fesle rego) d vers k yg teredh pd fugs oektf (lest fvourle verso of oetve futo) utuk meemuk solus optmum teruruk yg mugk (worst possle optmum soluto). Metode Shoheg megts mslh LPI deg syrt: () dts vrel tk egtf s, d () hy megts kedl pertdksm s. Pd kry lmh k dhs slh stu metode dlm meyelesk LPI yg telh dkemgk oleh JW hek d K Rmd (). Metode merupk geerlss dr metode Shoheg, ytu deg memhk kedl persm tervl d sert vrel tk postf pd model LPI.. Tuu Tuu dr kry lmh dlh megk metode pemeh mslh LPI ser teorts d megmplemetsky dlm ksus yt. II LANDASAN TEORI Defs (Fugs Ler) Mslk f,,..., ) dlh fugs ( dlm vrel-vrel,..., f,,..., ) dmk fugs ler k d hy k d kostt,. Fugs (,,...,, (,,..., ). f... (Wsto, 99) Seg otoh, f (, ) dlh fugs ler, sedgk f (, uk fugs ler. ) Defs (Persm d Pertdksm Ler) Utuk semrg fugs ler f (,,..., ) d semrg lg, sutu persm f (,,..., ) dseut persm ler d f (,,..., ) tu f (,,..., ) dseut pertdksm ler. (Wsto, 99) Pemrogrm Ler Pemrogrm ler (PL) dlh mslh optmss yg memlk krkterstk seg erkut:. Tuu mslh terseut dlh memksmumk tu memmumk fugs ler dr seumlh vrel keputus. Fugs terseut dmk fugs oektf.. Nl vrel-vrel keputus hrus memeuh kedl, yg erup persm ler tu pertdksm ler.

11 . Ad ts td pd tp vrel. Utuk semrg vrel, pemts td meetuk hrus tk egtf tu tdk dts tdy (urestrted sg). (Wsto, 99) Defs (Betuk Stdr PL) Sutu PL memlk etuk stdr seg erkut: m z terhdp kedl A () d dm d dlh vektor erukur, vektor erukur m d A erup mtrks erukur m yg dseut ug mtrks kedl deg m. (Nsh d Sofer, 996) T otoh Mslk derk PL stdr seg erkut: M z terhdp kedl: 8 (), deg,,, Fugs oektf dlh z Vrel keputus dlh,,,,, A, 8 Solus Pemrogrm Ler Sutu mslh PL dpt dselesk dlm erg tekk, slh stuy dlh metode smpleks. Metode dpt meghslk sutu solus optmum g mslh PL d telh dkemgk Dtzg sek thu 97, d dlm perkemgy merupk metode yg plg umum dguk utuk meyelesk PL. Metode erup metode tertf utuk meyelesk PL eretuk stdr. Pd mslh PL (), vektor yg memeuh kedl A dseut solus PL (). Mslk mtrks A dpt dytk seg A B N, deg B dlh mtrks tksgulr erukur m m yg elemey erup koefse vrel ss d N dlh mtrks erukur m (-m) yg elemey erup koefse vrel oss pd mtrks kedl. Mtrks B dseut mtrks ss utuk PL (). Mslk dytk deg vektor B, deg B dlh vektor vrel N ss d N dlh vektor vrel oss, mk A dpt dytk seg A B N B N () BB NN Kre mtrks B dlh mtrks tksgulr, mk B memlk vers, sehgg B dpt dytk seg: B B B NN () Kemud, fugs oektfy eruh med: m z T B B T N Defs (Solus Bss) Solus dm (-m) vrel erl ol dseut solus ss. Vrel yg tdk erl ol dseut vrel ss d vrel yg erl ol dseut vrel oss. (Ro,98) Solus dr sutu PL dseut solus ss k memeuh syrt erkut:. solus terseut memeuh kedl PL;. kolom-kolom dr mtrks kedl yg erpd deg kompoe tk ol dr solus terseut dlh es ler. (Nsh d Sofer, 996) Defs (Solus Fsel) Semrg solus yg memeuh kedl A d dseut solus fsel. (Ro,98) Defs 6 (Solus Fsel Bss) Vektor dseut solus fsel ss k merupk solus ss d. (Nsh d Sofer, 996) Ilustrs solus ss d solus fsel ss derk dlm otoh. N

12 otoh Mslk der PL erkut: M z terhdp kedl: deg,,,,, mk dperoleh: A, 8 Mslk dplh T 8 T () d B N, mk mtrks ssy dlh B N T B T, T N Deg megguk mtrks ss d ts, mk dperoleh N T B B 8 (6) z T B B Solus (6) merupk solus ss, kre memeuh kedl pd PL () d kolo m- kolom pd mtrks kedl yg erpd deg kompoe tk ol dr (6) ytu B, es ler (kolom yg stu uk merupk kelpt dr kolom yg l). Solus (6) ug merupk solus fsel ss, kre l-l vrely leh dr tu sm deg ol. Defs 7( Derh Fsel) Derh fsel sutu PL dlh hmpu semu ttk yg memeuh seluruh kedl PL d ts td PL. (Wsto, 99) Defs 8 (Solus Optmum) Solus optmum sutu PL dlh solus fsel yg megoptmumk fugs oektf. (Ro,98) Defs 9 ( Hmpu Koveks) Mslk S dlh hmpu ttk. Hmpu S dseut hmpu koveks k segme grs yg meghuugk T T semrg ttk-ttk dlm S seluruhy termut dlm S. Deg kt l, hmpu S R dseut hmpu koveks, k utuk tp, S erlku ( ) S deg,. (Wsto, 99) Ilustrs hmpu koveks d uk hmpu koveks derk pd gmr dwh. () () () (v) Gmr. Ilustrs hmpu koveks d uk hmpu koveks. Pd Gmr, lgkr () d perseg () merupk hmpu koveks, sedgk dg () d (v) uk hmpu koveks. Teorem Derh fsel dr PL dlh koveks. (Ro,98) Bukt: Derh fsel S dr PL stdr ddefsk seg S { A, }. Mslk t tk d termsuk dlm hmpu S, mk A (),, A () Jk persm () dklk deg d persm () dklk deg, d kemud keduy dumlhk, mk ddpt: [ A ] ( [ A )[ A ] A[ A[ ( ] ( ( )[ A ) ) ] ] ] ( Mslk ( ) ( ) ( ( ) )) ()

13 Persm () dpt dtuls seg Berdsrk def s, mk ) ( S. A. S tu Jd S { A, } dlh koveks. Teorem terukt. Defs (Ttk Ekstrm) Ttk dr hmpu koveks yg tdk erd d dlm segme grs yg meghuugk du ttk l d dlm hmpu terseut dmk ttk ekstrm. Jk S dlh ttk ekstrm, mk tdk d, S sehgg ( ) S utuk (,). Deg kt l, k ttk ekstrm d ) (,) mk. ( S utuk (Ro, 98) Teorem Semu solus fsel ss dlh ttk ekstrm dr hmpu koveks dr solus fsel. (Ro, 98) Bukt: Mslk [,,..., m, m,,..,] dlh sutu solus fsel ss utuk PL. Dr Teorem dkethu hw derh fsel dlh hmpu koveks. Mslk S uk ttk ekstrm, mk d y, z S dm y z sedemk sehgg y ( ) z, () Dkethu hw,,..., m,,,..,] y [ m [ y, y,..., ym, ym,.., y [ z, z,..., zm, zm,.., z] z utuk m dkethu d dr persm () y ( ) z dm λ, y, z. Hl hy k terd k y d z. Sel tu kre, y d z fsel mk A Ay () Az Mslk kolom ke- dr mtrks A m k persm () dpt dtuls seg erkut: ] y z (6) kre utuk m, eleme, y d z mk persm (6) ser dvdu dpt dtuls m m m y z (7.) (7.) (7.) Jk persm (7.) dkurg oleh persm (7.) meghslk m m y ( y m z ) z Kre utuk m, dlh kolom dr mtrks A yg ersesu deg vrel ss mk (,..., m ) slg es ler (Defs ). Kre slg es ler, mk m ( y z ) meyek y z utuk,,..., m. Akty y z, m. Sepert telh dkethu seelumy y z utuk m, mk y z. Hl kotrdks deg fkt yg dsumsk hw y z. Kre tu hruslh ttk ekstrm. Terukt.

14 Defs (Blg Itervl) Blg tervl pd grs lg dlh hmpu seluruh ttk (lg) d tr du ttk uug tertetu pd grs lg. (Jeffrey, ) Defs (Itervl tertutup) Mslk (, ) d. Itervl tertutup [, ] dr ke dlh { }. (Frlegh,969) III PEMBAHASAN Mslh LPI memlk koefse tervl, k pd fugs oektf mupu kedl. Slh stu r utuk meyelesk mslh LPI dlh deg megguk metode yg dkemgk oleh JW hek d K Rmd (). Metode merupk geerlss dr metode Shoheg (99), ytu dperlus deg: () memsukk vrel yg tdk memlk ts td tu vrel urs (urestrted sg) pd (vrel yg tdk terkt koefse tervl); () memsukk vrel tk postf, k yg terkt dlm tervl tu tdk; d () memsukk kedl eretuk persm. Tuu LPI dlh meetuk solus est optmum d worst optmum. Permslh LPI yg k dhs hy mslh mmss. Jk model erup ksus mksmss, mk model terseut duh med ksus mmss deg r meglk fugs oektf deg (-). Pd ksus mmss, est optmum dlh solus optmum deg l fugs oektf terkel d worst optmum dlh solus optmum deg l fugs oektf teresr. Solus optmum pd LPI ddptk deg mer vers khusus dr fugs oektf d kedl yg megoptmumk model, ytu dplh sutu l spesfk (l ekstrm) pd koefse tervl yg memut model LPI terseut optmum. Sutu kedl erkoefse tervl k memlk kedl spesfk (kedl deg koefse tetu) erumlh tk hgg. Jd utuk memperoleh solus optmum, dplh vers ekstrm kedl yg koefsey erup koms ts wh d ts ts koefse tervl. Metode LPI meydrk huug tr derh fsel dr kedl-kedl spesfk. Mslk dlh hmpu kedl deg koefse tervl, d II dlh du hmpu kedl ered yg dgktk dr deg megguk vers ekstrm. Derh fsel I yg memeuh kedl I dseut S I, sedgk derh fsel yg memeuh kedl II dseut S II. Derh fsel terseut memlk huug seg erkut:. S I SII tu S II SI, ytu sutu derh fsel seluruhy termut dlm derh fsel ly.. S I SII d S I SII, ytu sutu derh fsel memotog seg derh fsel ly.. S I SII, ytu tdk d tumpg tdh (overlp) pd derh-derh fsel. otoh : Mslk dlh hmpu kedl seg erkut: [,] [,]., Jd dpt dml kedl spesfk d II seg erkut: I II Gmr. I I II II,, S I pd otoh. I

15 6 Gmr. S II pd otoh. Gmr. S I pd otoh. mk S II SI, segm dlustrsk oleh Gmr. Gmr 6. S II pd otoh. mk S I SII d SI SII dlustrsk oleh Gmr 7. segm Gmr. Derh fsel pd otoh. otoh : Mslk dlh hmpu kedl seg erkut: [,] [,],. Jd dpt dml kedl spesfk d II seg erkut: I II I I II II,, I Gmr 7. Derh fsel otoh. S S pd otoh : Mslk hmpu kedl seg erkut: [,] [,]. Jd dpt dml kedl spesfk d II seg erkut: I I I II I

16 7 II II mk S I SII segm dlustrsk pd Gmr 8. Gmr 8. S I d SII pd otoh. Permslh model LPI dg med du, ytu meyelesk LPI deg kedl erup pertdksm tervl d meyelesk LPI deg kedl persm tervl.. LPI deg kedl pertdksm tervl Betuk umum model LPI deg kedl erup pertdksm tervl dlh seg erkut: M Z, terhdp:,,, () utuk,,..., m s d s utuk.,,,,, I( ) dm I ( ) dlh hmpu seluruh lg tervl pd. Keterg: = (,,,..., ), dm dlh vrel ke-. = vrel-vrel yg yg tdk terkt deg koefse tervl, k vrel tk egtf ( ) tu vrel tk postf ( ) s mupu vrel urs (urestrted sg). = vrel-vrel yg terkt deg koefse tervl, erup vrel tk egtf tu vrel tk postf. = ts ts koefse tervl dr vrel ke- pd kedl ke-. = ts wh koefse tervl dr l vrel ke- pd kedl ke-. = ts wh koefse tervl dr rus k/rhs (Rght Hd Sde) pd kedl ke-. = ts wh koefse tervl dr l rus k/rhs pd kedl ke-. = ts ts koefse tervl vrel ke- pd fugs oektf. = ts wh koefse tervl vrel ke- pd fugs oektf. Tp pertdksm pd () yg memlk p koefse tervl dpt p dtrsformsk med pertdksm ekstrm yg ered. Pertdksm terseut dperoleh deg r megomsk l ts ts d ts wh koefse. Solus optmum dperoleh deg memlh stu vers p pertdksm ekstrm dr pertdksm ekstrm yg megoptmumk fugs oektf. Formul pertdksm khusus yg dperoleh dr pegtur tp ts wh tu ts ts koefse tervl dmk formul krkterstk. Pdg stu pertdksm ke- pd () d S k dlh hmpu solus p pertdksm ekstrm ke-k dtr pertdksm ekstrm yg ered dr. Mslk S p S k k dlh gug dr seluruh hmpu solus pertdksm ekstrm d S p S k k dlh rs dr seluruh hmpu solus pertdksm ekstrm. Ilustrs dr pegert terseut pd du pertdksm dlh seg erkut:

17 8 Gmr 9. Ilustrs rs hmpu solus du pertdksm ( S ). Gmr. S pd otoh 6. Gmr. Ilustrs gug hmpu solus du pertdksm ( S ). Defs Utuk setp pertdksm kedl pd (), k d sutu vers ekstrm pd formul krkterstk sedemkr rup sehgg hmpu solusy sm deg S, mk vers dseut deg pertdksm rge l mksmum. Sedgk k sutu vers ekstrm pd formul krkterstk sedemkr rup sehgg hmpu solusy sm deg S, mk vers dseut deg dseut pertdksm rge l mmum. otoh 6:, [,] [,6], dm., Pertdksm tervl memlk koefse tervl sehgg dpt dpeh me d 8pertdksm ekstrm : () (e) () 6 (f) 6 () (g) (d) 6 (h) 6 Gmr. S pd otoh 6. Dpt dlht dr Gmr d Gmr hw S, sehgg pertdksm (g) dseut pertdksm rge l mksmum. Sedgk S 6 sehgg pertdksm 6 () dseut pertdksm rge l mmum. Teorem Jk d pertdksm tervl,, utuk dm s s,, mk dlh pertdksm rge l mksmum d rge l mmum. dlh pertdksm

18 9 Bukt: Mslk dlh semrg vers khusus pertdksm tervl. Mk utuk semrg solus khusus dm memeuh s, kt mempuy. Mslk memeuh, mk memeuh. Akty ug,utuk,. Jd terdpt seuh ttk yg hrus memeuh seluruh vers pertdksm tervl l ser ersm. Akty, erdsrk Defs, dlh pertdksm rge l mmum. Utuk semrg solus khusus dm memeuh memeuh memeuh s, kt ug memlk. Mslk, mk ug. Akty, utuk,. Oleh kre tu, solus yg memeuh semrg vers pertdksm tervl ug k dpeuh oleh. Jd erdsrk Defs, l mksmum. dlh pertdksm rge Akt Utuk dm l mksmum d s, mk dlh pertdksm rge pertdksm rge l mmum. Bukt: Mslk dlh dlh semrg vers khusus pertdksm tervl. Mk utuk semrg solus khusus dm memeuh s, kt mempuy. Mslk memeuh, mk ug memeuh. Akty ug,utuk,. Jd terdpt seuh ttk yg hrus memeuh seluruh vers pertdksm tervl l ser ersm. Akty, erdsrk Defs, dlh pertdksm rge l mmum. Utuk semrg solus khusus dm memeuh memeuh memeuh s, kt ug memlk. Mslk, mk ug. Akty, utuk,. Oleh kre tu, solus yg memeuh semrg vers pertdksm tervl ug k dpeuh oleh

19 . Jd erdsrk Defs, l mksmum. Teorem Jk Z utuk dm derk. Bukt: Dkethut dlh pertdksm rge, dlh fugs oektf s, mk utuk solus yg d dm s, mk,,..., dpt dtuls: Jd yg derk. Akt Utuk, dm Bukt: Dkethut. Utuk erlku utuk solus s, mk d dm s, mk,,..., dpt dtuls:. Utuk Jd yg derk. erlku utuk solus Defs Utuk mslh m mss deg s dm, dmk fugs oektf terk (most fvourle oetve futo) d dmk fugs oektf teruruk (lest fvourle oetve futo). Teorem d Teorem meyedk perhtug dlm mer solus est optmum d worst optmum LPI, ytu deg meguh mslh LPI sl med du PL. Pemeh mslh LPI dlh deg megguk fugs oektf terk d pertdksm rge l mksmum utuk meetuk solus est optmum. Sedgk utuk meetuk solus worst optmum, dguk fugs oektf teruruk d pertdksm rge l mmum Algortm : Peyeles LPI deg kedl erup pertdksm tervl. Derk : m kedl Z, deg,,, dm s,...,m d, ( ).. Betuk LPI med PL: M z ', dm s Berdsrk Teorem ukup dplh: ' terhdp:,,

20 ',, dm s Berdsrk Teorem ukup dplh: ',, Dr est optmum deg meyelesk PL dts.. Betuk LPI med PL: M z ", dm s Berdsrk Teorem ukup dplh: ",, terhdp: ",, dm s Berdsrk Teorem ukup dplh: ",, Dr worst optmum deg meyelesk PL dts. Algortm meggmrk metode umum utuk megts ksus mmss pd LPI deg kedl yg memlk ts s. Jk kedl memlk ts mk kedl terseut dklk deg (-). otoh 7: Selesk LPI deg kedl pertdksm tervl erkut: M Z terhdp: [,] [,] :[,] [,6] [6,9] : : :[,] : [,] [6,7], Deg megguk Algortm, mk k ddptk solus est optmum dr PL seg erkut: M z terhdp: [, ] : : : : : 6 6 6, Kemud dselesk megguk softwere LINGO 8. sehgg dperoleh solus optmu m, d Z =. Gmr. Derh fsel solus est optmum pd otoh 7. Sedgk utuk solus worst optmum, LPI terseut duh med PL seg erkut: M z terhdp: : 9 : : : :, Kemud dselesk megguk softwere LINGO 8. sehgg dperoleh solus optmu m.8,. 6 d Z =.8. Gmr. Derh fsel solus worst optmum pd otoh 7. 7 Derh fsel utuk mslh LPI d ts dperlhtk pd gmr erkut:

21 Gmr. Derh fsel LPI pd otoh 7. Segm PL s, PL pd Algortm memlk hsl yg mugk, ytu: () ttk optmum fte ouded; () uoudedess; tu () feslty, kty LPI memlk eerp kemugk erkut : Jk solus est optmum fesle, mk seluruh LPI fesle. otoh 8: M Z terhdp:, : [, ] :[,] [,7], Solus est optmum pd mslh LPI d ts dlh seg erkut: M Z terhdp: : :, Deg megguk softwere LINGO 8., solus PL terseut dlh fesle, mk seluruh PL dr mslh LPI d ts ug k meghslk solus fesle. Jk solus worst optmum uouded, mk seluruh LPI uouded. otoh 9: M Z [,] terhdp: : :[,] [,] [,8], Solus worst optmum pd mslh LPI d ts dlh seg erkut: M Z terhdp: : : 8, Deg megguk softwere LINGO 8., solus PL terseut dlh uouded, mk seluruh PL dr mslh LPI d ts ug k meghslk solus uouded. Jk solus est optmum fesle deg l z d worst optmum fesle, mk LPI yg optmum memlk rge tr z d feslty. otoh : M Z terhdp:, : [,] [, ], : [,] [,7] Pd kedl, koefse tervl pd ertd egtf. Oleh kre tu, kedl duh terleh dhulu med: : [, ] [, ] Solus est optmum pd mslh LPI d ts dlh seg erkut: M Z terhdp: : :, Deg megguk softwere LINGO 8., solus dr PL terseut dlh, d z. Sedgk solus worst optmum pd mslh LPI d ts dlh seg erkut: M Z terhdp: :, : 7

22 Deg megguk softwere LINGO 8., solus dr PL terseut dlh fesle. Jd mslh LPI terseut memlk l optmu m yg erd tr z d feslty. Derh fsel pd solus est optmum dgmrk seg erkut: Deg megguk softwere LINGO 8., solus dr PL terseut dlh.7,. d z 7. Jd mslh LPI terseut memlk l optmum yg erd tr d z 7. Derh fsel pd solus worst optmum dgmrk seg erkut: Gmr 6. Derh fsel pd otoh. Gmr 7. Derh fsel pd otoh. Jk solus worst optmum fesle deg l z d est optmum uouded, mk LPI yg optmum memlk rge tr d z. otoh : M Z terhdp: [,] :[, ] : [,] [,7], Solus est optmum pd mslh LPI d ts dlh seg erkut: M Z terhdp: : :, Deg megguk softwere LINGO 8., solus dr PL terseut dlh uouded. Sedgk solus worst optmum pd mslh LPI d ts dlh seg erkut: M Z terhdp: :, : 7. LPI deg kedl persm tervl Betuk umum model dlh seg erkut: M Z, Deg kedl,,, () utuk,..., m, s d s utuk.,,,,, I( ) dm I ( ) dlh hmpu seluruh lg tervl pd. Per solus est optmum dpt dperoleh deg megguk Teorem. Sedgk utuk mer vers khusus kedl persm tervl yg memlk solus est optmum dguk Algortm. Pd Teorem meelsk metode utuk mer solus worst optmum.

23 Teorem Pd kedl persm eretuk tervl,, () mk sepsg kedl pertdksm erkut:. ', s, ' (), ", s, " (), medefsk derh koveks dm tp ttky memeuh semrg vers khusus kedl persm tervl. Bukt: Mslk dlh sutu ttk yg memeuh semrg vers khusus persm tervl. Utuk dm. s, mk ( ) d Oleh kre tu, memeuh ( ), mk ug. Sel tu, ( ), mk ug memeuh tu. Jd memeuh pertdksm d. Mslk S {, } d, S dm (,,..., ), ( " " ",,..., ), mk: ' ', dm () ", dm () Jk persm () dklk deg d persm () dklk deg, d kemud keduy dumlhk, mk ddpt: ( ) ( ' ' " ( ( ' ( ) ) " ) " ) " ' ' ( ' " ' " ( ),..., ( ) ) ' ' " ",..., ) ( )(,..., ) ' ) ( S ( S ( ) S Jd S {, } dlh derh koveks. Mslk S {, } d, S dm (,,..., ), ( " " ",,..., ' " ), mk: ', dm (d) ", dm (e) Jk persm (d) dklk deg d persm (e) dklk deg, d kemud keduy dumlhk, mk ddpt: ' ' '

24 ( ) ( ' ' ( ( ' ( ) " " ) ) ) " ( ' " ' " ( ),..., ( ) ) ' ' " ",..., ) ( )(,..., ) ) ( S ( S ( ) S Jd S {, } dlh derh koveks. Jd pertdksm () d () merupk derh koveks dm tp ttky memeuh semrg vers khusus kedl persm tervl. Pemukt log utuk dm s. Berdsrk Teorem, k model LPI memlk kedl persm tervl mk kedl persm terseut duh med etuk pertdksm () d (). Solus pd model PL meghslk l fugs oektf terk. Algortm : meetuk settg koefse est optmum utuk kedl persm tervl. Derk k kedl persm tervl dr etuk,, d ttk est * optmum yg telh dperoleh mellu Torem. Dr d yg megoptmumk model. Selesk Phse I dr PL utuk hmpu kedl erkut: terhdp :,...,k Mks k k, utuk utuk,..., k,,...,. Pemeh Algortm meghslk vers khusus kedl persm tervl yg memlk solus est optmum. Teorem Pd st kedl persm tervl dr etuk () dmsukk pd model, mk solus worst optmum k terd pd slh stu kedl erkut : ', dm, ' (), tu ", dm, " (6), Bukt: Adk ttk worst optmum memeuh semrg vers khusus kedl persm tervl d, memlk l fugs oektf z. Berdsrk Teorem, ttk k erd pd derh koveks dr solus yg mugk, ddefsk oleh () d (). Persm () d (6) merupk vers persm ekstrm dr () d (). Mslk z ' dlh l fugs oektf yg dtetuk st PL yg sm dpehk deg r meggt deg (), d z " dlh fugs oektf yg dtetuk st PL yg sm dpehk deg r meggt deg (6). Berdsrk sums hw ttk worst optmum memlk l fugs oektf z, mk z z' d z z". Nmu, dkrek koveksts dr derh () d (), dm () d (6) merupk vers persm ekstrm dr () d (), mk z mks z', z. Hl memulk [ "] kotrdks. Jd pegd hw ttk

25 6 worst optmum terd ketk semrg vers khusus kedl persm dmsukk pd PL tdk terukt. Oleh kre tu, ttk worst optmum dtemuk hy pd st kedl yg ersesu deg () tu (6) dmsukk pd PL. Teorem meelsk hw solus worst optmum k terd pd persm () tu (6). Sygy, dtr kedu persm terseut tdk dkethu m yg k meghslk worst optmum pd l fugs oektf. Jd solus lgortmy dlh memsukk msg-msg persm () d (6) kedlm model sehgg meghslk du model PL yg ered, seluty dplh l yg teruruk pd fugs oektf terseut. Ser umum, k d k kedl persm tervl, k mk d PL yg hrus dpehk utuk meemuk solus worst optmum. otoh : Selesk LPI deg kedl erkoefse tervl erkut: M Z terhdp: :[,] [,] : : : [,],], Deg megguk Teorem, mk msg-msg kedl persm tervl d duh med sepsg kedl pertdksm tervl, ytu: : : : [ [,] : Berdsrk lgkh Algortm, kedl pertdksm tervl duh med: : Jd model est optmum pd LPI d ts dlh: M Z terhdp: : : : : : :, Kemud dselesk megguk softwere LINGO 8. sehgg dperoleh solus optmu m, d Z =. Gmr 8. Derh fsel solus est optmum pd otoh. Deg megguk Algortm, mk k ddptk etuk umum dr est optmum persm tervl terseut, ytu: Mks terhdp: Keterg: = koefse tervl dr vrel pd kedl = koefse dr vrel pd kedl = koefse dr vrel pd kedl = koefse tervl dr vrel pd kedl = RHS eretuk tervl pd kedl

26 7 = RHS eretuk tervl pd kedl = ts wh koefse tervl = ts ts koefse tervl = ts wh koefse tervl = ts ts koefse tervl = ts wh RHS = ts ts RHS = ts wh RHS = ts ts RHS Dkethu, dlh l tetu, ytu, d solus optmum,. Nl-l terseut dmsukk pd etuk umum d ts: Mks terhdp:..().. Deg megguk softwere LINGO 8., solusy dlh,,, sehgg susu est optmum pd dlh : d susu est optmum pd dlh. : Berdsrk Teorem, utuk memperoleh worst optmum mk kedl persm tervl meghslk model. Pd kedl, solus worst optmum terd pd tu. : : Pd kedl, solus worst optmum terd pd tu. : : Kedl dko msk deg sehgg meghslk model worst optmum. Utuk kedl pertdksm tervl, erdsrk lgkh Algortm duh med: : Jd model worst optmum dlh seg erkut: Model : M Z terhdp: : : : :, Deg megguk softwere LINGO 8., solus PL d ts dlh fesle. Model : M Z terhdp: : : : :, Deg megguk softwere LINGO 8., solus PL d ts dlh, d Z =. Model : M Z terhdp: : : : :, Deg megguk softwere LINGO 8., solus PL d ts dlh fesle. Model : M Z terhdp: : : : :, Deg megguk softwere LINGO 8., solus PL d ts dlh fesle. Jd model yg meghslk worst optmum dlh model deg, d Z =.

27 8 Algortm : Algortm legkp utuk meyelesk LPI Derk k kedl persm tervl. Gmr 9. Derh fsel solus worst optmum pd otoh. Derh fsel utuk mslh LPI d ts dperlhtk pd gmr erkut: Gmr. Derh fsel LPI pd otoh. Berkut dlh lgortm utuk meyelesk LPI dm kedl erup persm d pertdksm tervl. Algortm merupk gug dr lgortm d teorem seelumy.. r est optmum segm erkut:. Uh k kedl persm tervl med sepsg pertdksm tk tervl deg megguk Teorem.. But model terk deg megguk lgkh Algortm.. Utuk memperoleh solus:.. Z d dperoleh dr solus model terk... Nl tetu dr koefse tervl pd kedl pertdksm tervl dperoleh mellu lgkh Algortm... Nl tetu dr koefse tervl pd kedl persm tervl derk mellu Algortm.. r worst optmum segm erkut:. Utuk setp model dtr model yg dperoleh mellu Teorem :.. Uh kedl persm tervl med persm tetu erdsrk Teorem... Selesk deg memgu model teruruk mellu lgkh Algortm, r Z d.. Utuk memperoleh solus:.. r model yg meyedk Z teruruk... Nl tetu dr koefse tervl pd model dperoleh dr model teruruk pd lgkh... k IV STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA Permslh erkut merupk modfks dr otoh pd url Ler Progrmmg Prolem wth Itervl oeffets d A Iterpretto for Its ostrts (Mol d Khorrm, 7). Sutu peterk ym petelur produktf derk rsum erup mpur em pk terk, ytu gug, tepug k, kg hu, ugkl kedel, ektul d dedk pd. Berdsrk kdug gz, keutuh dsr pk ym dedk med lm kompoe, ytu krohdrt, lemk, prote klsum d fosfor. Berkut model umum LPI yg erfugs memmumk y pemel pk terk: M Z terhdp 6 6,,,.

28 9 Keterg: = y pd es pk terk ke - (Rp/ kg). = kdug zt gz pd es pk terk ke- pd kedl ke- (kg). = ts zt gz ke- yg dperluk dlm rsum (kg). = yky es pk terk ke- yg dutuhk dlm rsum (kg). Mslk peterk memlk ym. Tp ym megkosums rsum seesr -. kg/mggu. Utuk memperoleh oot ym yg semg dperluk rsum yg memlk ts-ts segm dtuukk pd Tel d Tel. Tel. Susu Zt Gz pd Pk Aym d Kdr Mmum Zt Gz Susu zt pk ym/ Jes Pk Aym ke- Krohdrt ( ) Lemk ( ) Prote ( ) (per kg) Klsum ( ) Fosfor ( ) Jgug 69-7%.7-.% 8.-%.%.-.% Tepug k 6-6% 7.8-% -6%.8-%.8-.8% Kg hu -7%.-.% -%.%.7% Bugkl kedel % % -%.-.%.6-.68% Bektul -%.9% -%.%.7% 6 Dedk pd 9%.9-8.% 6.8-%.-.% -.7% Kdr Mmum Zt Gz -8% -% -8% -.%.% Sumer: Suprt et l. () Tel. Bts Pk dlm Rsum d Hrg Pk Aym Jes Pk Aym ke- Bts Pk Mmum per kg (%) Bts Pk dlm -. kg (kg) Hrg/ (Rp/kg) Jgug %.6-.7 Tepug k % Kg hu 7.% Bugkl kedel % Bektul % Dedk pd % Sumer: Nww d Nurrohmh (996) Berkut model optmss LPI pd mslh mmss y pk terk dts: M Z [8,] 7 [,6] [,] [,6] 6 Terhdp: [,.] 6 [.69,.7] [.6,.6] [.,.7]. [.,.].96 [.,.8] [.7,.] [.78,.] [.,.]..9 [.9,.8] 6 [.8,.] [.,.6] [.,.] [.,.] [.,.] [.68,,] 6. [.8,.]. [.,.]. [.,.] 6 [.,.] [.8,.8].7 [.6,.68].7 [.,.7] 6 [.6,.7], [.,.], [.,.7], 6 [.,.7] [.,.6], [.6,.7] [.,.] [.,.8] [.,.].

29 Peyederh dr etuk LPI dts, ytu: M Z [8,] 7 [,6] [,] [,6] 6 Terhdp: [,] : 6 :[.69,.7] [.6,.6] [.,.7]. [.,.].96 [,8] :[.7,.] [.78,.] [.,.]..9 [.9,.8] 6 [,] :[.8,.] [.,.6] [.,.] [.,.] [.,.] [.68,,] 6 :. [.8,.]. [.,.]. [.,.] 6 6 :[.,.] [.8,.8].7 [.6,.68].7 [.,.7] 6 7 : : [6,7], 8 : [,.], : [,7.], 6 9 [,7.] : [.,6.], : [6,7] Utuk meyelesk etuk LPI d ts dguk Algortm. Lgkh. duh med du kedl pertdksm erdsrk Teorem, ytu: : 6 : 6 [,8] [,.] Lgkh. Model LPI duh med model PL yg memlk solus est optmum mellu lgkh Algortm. M Z Terhdp: : 6 : 6 : : :..6...,6 : : : 7 : 6, 8, : : 6, 9 :., : Lgkh... Model pd lgkh. dselesk deg megguk LINGO 8.. Nl est optmum erd pd 6,.,., 6,, 6 6. d Z Betuk est optmum pd kedl pertdksm tervl,,,, 6, 7, 8, 9,, d derk pd lgkh., ytu: : 6 : :..6...,6 : : : 7 : 6, 8, : : 6, 9 :., :.. Betuk est optmum pd kedl persm tervl derk mellu Algortm. Mksmumk terhdp:

30 66 Dr model dkethu hw kedl persm : 6 [, ] memlk koefse. Sedgk dr perhtug lgkh 6 Algort m dpero leh 6,.,., 6,, Nll terseut dmsukk pd PL dts. Mksmumk terhdp: ( 6 ) (. ) (. ) (6 ) ( ) (6. ) Deg megguk softwere LINGO 8., solus LP d ts dlh. Jd vers khusus kedl persm tervl yg memlk solus est optmum dlh. 6 Lgkh... Berdsrk Teorem, ttk worst optmum dr kedl persm tervl : 6 [,] k terd pd slh stu dr du kedl spesfk erkut: : 6 : 6 Kedl duh med du vers kedl ytu d yg k meghslk du model PL ru. Model LPI yg dmsukk kedl dmk Model A d model LPI yg dmsukk kedl dmk Model B. Berkut etuk LPI yg dperhru : Model A: M Z [8,] 7 [,6] [,] [,6] 6 Terhdp: : 6 :[.69,.7] [.6,.6] [.,.7]. [.,.].96 [,8] :[.7,.] [.78,.] [.,.]..9 [.9,.8] 6 [,] :[.8,.] [.,.6] [.,.] [.,.] [.,.] [.68,,] 6 :. [.8,.]. [.,.]. [.,.] 6 6 :[.,.] [.8,.8].7 [.6,.68].7 [.,.7] 6 : 7 : [6,7], 8 : [,.], : [,7.], 6 9 [,7.] : [.,6.], : [6,7] Model B M Z [8,] 7 [,6] [,] [,6] 6 Terhdp: : 6 :[.69,.7] [.6,.6] [.,.7]. [.,.].96 [,8] :[.7,.] [.78,.] [.,.]..9 [.9,.8] 6 [,] :[.8,.] [.,.6] [.,.] [.,.] [.,.] [.68,,] 6 :. [.8,.]. [.,.]. [.,.] 6 [,8] [,.]. [,8] [,.]

31 6 :[.,.] [.8,.8].7 [.6,.68].7 [.,.7] 6 : [6,7], : [,7.], : [.,6.], : [6,7] 7 : 8 [,.], : 6 9 [,7.]... Model A d model B dpehk megguk lgkh Algortm. Model A: M Z Terhdp: : 6 : : : : : : 7 : 7, 8 :., : 7., : 6., : 7. Deg megguk softwere LINGO 8., solus PL dts dlh fesle. Model B: M Z Terhdp: : 6 : : : : : : 7 : 7, 8 :., : 7., : 6., : Deg megguk softwere LINGO 8., solus PL dts dlh 7, 8.8, 6., 7,., 6 6. d Z Lgkh... Model A memlk solus fesle d Model B memlk solus seesr Z Jd model yg memerk solus worst optmum dlh Model B... Vers khusus kedl persm d pertdksm tervl yg memlk solus worst optmum derk pd Model B. 7...

32 Jd pemeh mslh pemel pk terk utuk ym dlm semggu dlh deg memel h pk seg erkut: Tel. Pemeh Mslh Pemel Pk Terk Aym Jes Pk Aym ke- Pemel Pk Terk/mggu (kg) Best optmum (A) Worst optmum (B) Jgug 6 7 Tepug k. 8.8 Kg hu. 6. Bugkl kedel 6 7 Bektul. 6 Dedk pd By yg dutuhk /mggu (Rp) Rp.9.9, Rp.76.69, Peterk k memutuhk y mmum dlm pemel pk terk k peterk memlh koms A deg y seesr Rp.9.9,. Sedgk k peterk memlh koms B mk dperluk y mksmum, ytu Rp.76.69, V SIMPULAN DAN SARAN. Smpul PL yg memlk forms tk pst tu dt yg kurg tept meghrusk pemut model memuty dlm perkr. Slh stu r megtsy ytu dguk pedekt tervl. Mslh PL dmk LPI (Ler progrmmg wth Itervl oeffets). Mslh LPI dpt dselesk deg megguk metode hek d K Rmd. Metode merupk perlus dr metode Shoheg, ytu deg memhk vrel tk postf d kedl persm tervl. Dlm ksus mmss, est optmum dlh solus yg memlk l fugs oektf terkel, sedgk worst optmum dlh solus yg memlk l fugs oektf teresr. Pd kedl pertdksm tervl, solus est optmum dperoleh mellu lgkh Algortm (Teorem d Teorem ). Sedgk k kedl erup persm tervl, tp kedl terseut duh med du pertdksm yg memetuk derh koveks (Teorem ). Algortm dguk utuk memperoleh vers khusus persm tervl yg memlk solus est optmum. Pd kedl pertdksm tervl, solus worst optmum dperoleh mellu lgkh Algortm (Teorem d Teorem ). Sedgk k kedl erup persm tervl seyk k, mk dpt detuk k model erdsrk Teorem. Solus worst optmum dlh l fugs oektf teresr dr k model. Metode hek d K Rmd dpt dterpk dlm pemeh mslh optmss model PL yg memlk forms erup ksr. Pegml keputus dpt megethu solus terk tu solus teruruk yg terd pd model terseut.. Sr Pd kry lmh telh dhs peyeles mslh LPI deg megguk metode hek d K Rmd. Peuls meyrk utuk seluty dlkuk peyeles mslh LPI deg metode yg l.

33 DAFTAR PUSTAKA hek JW, Rmd K.. Ler progrmmg wth tervl oeffets. Opertol Reserh Soety.():9-6. Frlegh JB Prolty d lulus. Phlppes: Addso-Wesley. Jeffrey A.. Essetl of Egeerg Mthemts. Ed ke-. New York: hpm&hll. Mol AA, Khorrm E. 7. Ler progrmmg wth tervl oeffets d terpretto for ts ostrts. Ir Jourl of See d Tehology. (A):69-9. Nsh SG, Sofer A Ler d No ler Progrmmg. New York: MGrw- Hll. Nww NT, Nurrohmh S Rsum Aym Kmpug. Jkrt: Peer Swdy. Ro SS. 98. Optmzto: Theory d Applto. Ed ke-. New Delh: Wley Ester Lmted. Suprt E, Atmomrsoo U, Krtsud R. 8. Ilmu Dsr Terk Uggs. Jkrt: Peer Swdy. Wsto WL. 99. Itroduto to Mthemtl Progrmmg. Ed ke-. New York: Duury.

34 LAMPIRAN

35 6 Lmpr Syt Progrm LINGO 8. utuk Meyelesk Mslh LPI deg Kedl eretuk Pertdksm Itervl otoh 7 M Z [,] [,] terhdp: :[,] [,6] [6,9] : :, :[,] : [,] [, ] [6,7] Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus est optmum : m=+*; *+6*>=6; +*>=; -+>=-; *+>=6; <=; >=;>=; ed Hsl yg dperoleh: Glol optml soluto foud t terto: Oetve vlue:. Vrle Vlue Redued ost X.. X.. Row Slk or Surplus Dul Pre Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus worst optmum : m=*+*; *+*>=9; +*>=; -+>=-; *+>=7; <=; >=;>=; ed Hsl yg dperoleh: Glol optml soluto foud t terto: Oetve vlue:.8 Vrle Vlue Redued ost X.8. X.6. Row Slk or Surplus Dul Pre otoh 8: M Z, Terhdp: : [, ], :[,] [,7] Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus est optmum: m=+; -->=-; *+>=; >=;>=; ed Hsl yg dperoleh dlh LP memlk solus fesle. otoh 9: M Z [,] Terhdp:

36 7 :, :[,] [,] [,8] Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus worst optmum : m=*-; -+*>=-; +>=8; >=;>=; ed Hsl yg dperoleh dlh LP memlk solus uouded. otoh : M Z, Terhdp: : [,] [,, : [,] [,7] Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus est optmum : m=+; -->=-; *+>=; >=;>=; Hsl yg dperoleh: Glol optml soluto foud t terto: Oetve vlue:. Vrle Vlue Redued ost X.. X.. Row Slk or Surplus Dul Pre Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus worst optmum : ] m=+*; --*>=-; +>=7; >=;>=; Hsl yg dperoleh dlh LP memlk solus fesle. Jd LPI memlk solus tr z d fesle. otoh : M Z [,] Terhdp: :[, ], : [,] [,7] Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus est optmum : m=-; -+*>=-; *+>=; >=;>=; ed Hsl yg dperoleh dlh LP memlk solus uouded. Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus worst optmum : m=*-; -*+*>=-; *->=7; >=;>=; ed Hsl yg dperoleh: Glol optml soluto foud t terto: Oetve vlue: 7.

37 8 Vrle Vlue Redued ost X.7. X.. Row Slk or Surplus Dul Pre Jd LPI memlk solus tr tr d z 7. Lmpr Syt Progrm LINGO 8. utuk Meyelesk Mslh LPI deg Kedl eretuk Persm tervl. otoh : M Z terhdp: :[,] [,] : :, : [,] [ [,],] Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus est optmum : m=+; *+>=; *+<=; +*>=; +<=; -+>=-; <=; >=;>=; ed Hsl yg dperoleh: Glol optml soluto foud t terto: 6 Oetve vlue:. Vrle Vlue Redued ost X.. X.. Row Slk or Surplus Dul Pre Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus worst optmum : ) Model m=+; *+=; +*=; -+>=; <=; >=;>=; ed Hsl yg dperoleh: Solus pd Model dlh fesle. ) Model m=+; *+=; +=; -+>=; <=; >=;>=; ed Hsl yg dperoleh: Glol optml soluto foud t terto: Oetve vlue:. Vrle Vlue Redued ost X.. X.. Row Slk or Surplus Dul Pre. -...

38 ) Model m=+; *+=; +*=; -+>=; <=; >=;>=; ed d) Model m=+; *+=; +=; -+>=; <=; >=;>=; ed Hsl yg dperoleh: Solus pd Model dlh fesle. Hsl yg dperoleh: Solus pd Model dlh fesle. Lmpr. Syt Progrm LINGO 8. utuk Meyelesk Stud Ksus Mslh LPI. Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus est optmum : m=*+8*+7*+*+*+*6; >=; <=;.7*+.6*+.7*+.*+.*+.9*6>=;.*+.*+.*+.*+.9*+.8*6>=;.*+.6*+.*+.*+.*+.*6>=;.*+.*+.*+.*+.*+.*6>=;.*+.8*+.7*+.68*+.7*+.7*6>=.; >=6; >=; >=.; >=6; >=; 6>=; ed Hsl yg dperoleh: Glol optml soluto foud t terto: Oetve vlue: 99. Vrle Vlue Redued ost X 6.. X.6. X.. X 6.. X.. X

39 Row Slk or Surplus Dul Pre Syt progrm LINGO 8. utuk mer LPI yg memlk solus worst optmum : ) Model A m=*+*+7*+6*+*+6*6; =;.69*+.6*+.7*+.*+.*+.9*6>=8;.7*+.78*+.*+.*+.9*+.9*6>=;.8*+.*+.*+.*+.*+.68*6>=8;.*+.8*+.*+.*+.*+.*6>=.;.*+.8*+.7*+.6*+.7*+.*6>=.; >=7; >=7.; >=6.; >=7; >=.; 6>=7.; ed Hsl yg dperoleh dlh LP memlk solus fesle. ) Model B m=*+*+7*+6*+*+6*6; =;.69*+.6*+.7*+.*+.*+.9*6>=8;.7*+.78*+.*+.*+.9*+.9*6>=;.8*+.*+.*+.*+.*+.68*6>=8;.*+.8*+.*+.*+.*+.*6>=.;.*+.8*+.7*+.6*+.7*+.*6>=.; >=7; >=7.; >=6.;

40 >=7; >=.; 6>=7.; ed Hsl yg dperoleh: Glol optml soluto foud t terto: 6 Oetve vlue: ost Vrle Vlue Redued X 7. X X 6. X 7. X. X6 6.9 Row Slk or Surplus Dul Pre

41