EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL DARBOUX SKRIPSI. Oleh: DZAWIN NUHA ALHIDAYAH NIM

Transkripsi

1 EKIVAENSI INTEGRA RIEMANN DAN INTEGRA DARBOX SKRISI Oleh: DZAWIN NHA AHIDAYAH NIM JRSAN MATEMATIKA FAKTAS SAINS DAN TEKNOOGI NIVERSITAS ISAM NEGERI MAANA MAIK IBRAHIM MAANG 00

2 EKIVAENSI INTEGRA RIEMANN DAN INTEGRA DARBOX SKRISI Djuk Kepd: Fkults Ss d Tekolog versts Islm Neger IN Mul Mlk Irhm Mlg tuk Memeuh Slh Stu ersyrt Dlm Memperoleh Gelr Srj Ss S.S Oleh: DZAWIN NHA AHIDAYAH NIM JRSAN MATEMATIKA FAKTAS SAINS DAN TEKNOOGI NIVERSITAS ISAM NEGERI MAANA MAIK IBRAHIM MAANG 00

3 SRAT ERNYATAAN ORISINAITAS ENEITIAN Sy yg ertd tg d wh : Nm : Dzw Nuh Alhdyh NIM : Fkults/Jurus : Mtemtk Judul eelt : Ekuvles Itegrl Rem d Itegrl Drou Meytk deg seer-ery hw hsl peelt sy tdk terdpt usur-usur pejplk kry peelt tu kry lmh yg perh dlkuk tu dut oleh org l kecul yg secr tertuls dkutp dlm skh d dseutk dlm sumer kutp d dtr pustk. Apl teryt hsl peelt terukt terdpt usur-usur jplk mk sy ersed utuk mempertggug jwk sert dproses sesu pertur yg erlku. Mlg 8 Jur 00 Yg Memut eryt Dzw Nuh Alhdyh NIM

4 EKIVAENSI INTEGRA RIEMANN DAN INTEGRA DARBOX SKRISI Oleh: DZAWIN NHA AHIDAYAH NIM Telh Dsetuju utuk Duj : Dose emmg I Dose emmg II Hrur Rhm S.dM.S. Dr.Ahmd Brz M.A NI NI Tggl 8 Desemer 009 Megethu Ketu Jurus Mtemtk Adusskr M.d. NI

5 EKIVAENSI INTEGRA RIEMANN DAN INTEGRA DARBOX SKRISI Oleh: DZAWIN NHA AHIDAYAH NIM Telh dperthk d Dep Dew eguj Skrps d Dytk Dterm Seg Slh Stu ersyrt tuk Memperoleh Gelr srj Ss S.S Tggl 3 Jur 00 Susu Dew eguj Td Tg. eguj tm : sm gly M.S NI Ketu Sekretrs : Adul Azz M.S NI Aggot :Hrur Rhm S.dM.S. NI Aggot : Dr. Ahmd Brz M.A NI Megethu d Megeshk Ketu Jurus Mtemtk Adusskr M.d. NI

6 MOTTO Sesugguhy sesudh kesult tu d kemudh...

7 EMBAR ERSEMBAHAN Deg peuh rs gg d peuh rs syukur kupersemhk kry keclku kepd kedu org tuku yg td leth memerku lmph ksh syg do seht sert mg jug utuk seluruh kelurgku d semu phk yg memtu terselesky skrps

8 KATA ENGANTAR Alhmdulllh Rol Alm segl puj g Allh SWT Mh egsh d Mh eyyg. Deg sez-mu peuls dpt meyelesk peuls skrps yg erjudul Ekuvles Itegrl Rem d Itegrl Drou. Sholwt sert slm semog tetp tercurhk kepd N Muhmmd SAW yg telh megtrk umt mus dr zm keodoh meuju zm yg terg ederg yg ky k lmu pegethu. Dlm peuls skrps yk phk yg telh erjs d sets memerk dukug mg rh sert motvs sehgg skrps dpt terselesk. Oleh kre tu peelt memerk ucp termksh yg dlm kepd:. ro. Dr. H. Imm Supryogo selku Rektor versts Islm Neger IN Mul Mlk Mlg yg telh memerk wdh eljr g kelmu km.. ro. Drs. H. Sutm S DSc selku Dek Fkults Ss d Tekolog versts Islm NegerIN Mul Mlk Irhm Mlg 3. Adusskr M.d selku ketu jurus Mtemtk versts Islm NegerIN Mul Mlk Irhm Mlg.

9 4. Hrur Rhm S.d M.S selku dose pemmg I yg sellu set memer mg d msuk. Sert Dr. Ahmd Brz M.A selku dose pemmg gm yg jug tk lelh memer msuk sert seht. 5. Seluruh Bpk d Iu Dose Fkults Ss d Tekolog Jurus Mtemtk versts Islm Neger IN Mul Mlk Irhm Mlg. 6. Kedu org tu peuls yg tdk perh erhet mecurhk do dlm setp lgkh peuls deg peuh ketulus ht d kesr jw dem keerhsl peuls. 7. Tem-tem Mhssw Jurus Mtemtk gkt 005 versts Islm Neger IN Mul Mlk Irhm Mlg yg telh yk memerk dukug dlm peelt d peyusu skrps. 8. Sht-sht peuls Ikt Mhssw Muhmmdyh IMM Komsrt Revvls elopor Reormer IN Mlg. Khususy komsrt IMMAWATI yg telh memerk semgt kepd peuls sert tem-tem d KM rmuk yg telh memer dukug. 9. Sert semu phk yg tdk dpt peelt seutk stu perstu yg telh yk memtu dlm peuls skrps. Semog Allh SWT melmphk rhmt d kru-ny kepd kt semu. euls meydr sepeuhy hw d du tdk d yg sempur. Begtu jug dlm peuls skrps yg tdk luput dr kekurg d keslh. Oleh kre tu deg segl ketulus d keredh ht peuls sgt meghrpk sr d krtk yg erst memgu.

10 Akhry deg segl etuk kekurg d keslh peuls erhrp semog deg rhmt d z-ny mudh-mudh skrps ermt g peuls khususy d phk-phk yg ersgkut. Mlg Jur 00 euls

11 DAFTAR ISI KATA ENGANTAR... DAFTAR ISI... v DAFTAR SIMBO... v ABSTRAK... v BAB I: ENDAHAN.. tr Belkg..... Rumus Mslh Tuju eelt Bts Mslh Mt eelt Metode eelt Sstemtk emhs... 7 BAB II: KAJIAN TEORI.. Kosep Ekuvles dlm Islm Kosep mt Brs d mt Kosep Kotu Supremum d Imum us Derh d Itegrl Itegrl drou... 5

12 BAB III: EMBAHASAN 3.. Ketertegrl ugs kotu d ugs mooto Itegrl Rem-Drou Ekuvles Itegrl Rem-Drou St-st Itegrl Drou... 7 BAB IV: KESIMAN DAN SARAN 4.. Kesmpul Sr DAFTAR STAKA

13 DAFTAR SIMBO No Smol Keterg Suset dr pper 3 ower 4 eleme 5 Kurg dr sm deg 6 eh esr dr sm deg 7 tuk setp 8 Sup supremum 9 I mum 0 > eh esr dr < Kurg dr Irs 3 Gug 4 R Hmpu lg rl 5 N Hmpu lg sl 6 Brs smp ke- 7 Deltesr 8 Epslo 9 lm mt 0 Sgm Itegrl

14 D Itegrl Drou 3 R Itegrl Rem 4... Itervl tertutup 5... Normpjg

15 ABSTRAK Alhdyh Dzw Nuh.009. Ekuvles Itegrl Rem d Itegrl Drou. Jurus Mtemtk. Fkults Ss d Tekolog. IN Mul Mlk Irhm. emmg: Hrur Rhm S.d M.S. Dr. Ahmd Brz M.A Kt kuc: Tertegrl Rem Tertegrl Drou Itegrl Rem Itegrl Drou Ekuvles d thu 875 G. Drou memodks des Itegrl Rem deg terleh dhulu medesk jumlh Drou ts d Drou wh seljuty medesk Itegrl Drou ts d Itegrl Drou wh. Keduy memlk ekuvles ytu R D. Sutu ugs dktk tertegrl Drou jk d hy jk jug merupk tertegrl Rem d jk l-l Itegrl dr keduy d mk erst sm. Itegrl Drou mempuy keutug leh sederh ddg Itegrl Rem Kre ekuvles mk st Itegrl Rem yk ketuggl l keler keterts jug erlku pd Itegrl Drou. Adpu sty dlh:. S Q A D. g D D g c. D D

16 BAB I ENDAHAN.. tr Belkg Dlm Mtemtk yk sekl dkel cg lmu. Slh stu cgy dlh Alss Rel. Alss sedr merupk proses megur sesutu hl mejd erg usur yg terpsh utuk memhm st huug d per msg-msg usur. Alss secr umum serg jug dseut deg pemg. Dlm logk lss tu pemg errt pemech-elh tu pegur secr jels ered ke g-g dr sutu keseluruh. Sel Alss dlm Mtemtk kt jug megel lmu Klkulus yg merupk lmu dsr Mtemtk. Klkulus dr Bhs t clculus yg rty "tu kecl" dlh cg lmu mtemtk yg meckup lmt turu tegrl d deret tkterhgg. Klkulus mempuy plks yg lus dlm dg ss d tekk. Klkulus memlk du cg utm klkulus deresl d klkulus tegrl yg slg erhuug mellu teorem dsr klkulus. d perode zm kuo eerp pemkr tetg tegrl klkulus telh mucul mu tdk dkemgk deg k d sstemtsceped000:. erhtug volume d lus yg merupk ugs utm dr klkulus tegrl s dtelusur keml pd prus Moskow Mesr 800 SM d m org Mesr meghtug volume dr rustrum prmd.

17 Archmedes megemgk pemkr leh juh d mecptk heurstk yg meyerup klkulus tegrl. Sektr thu 000 mtemtkw Irk I l-hythm Alhze mejd org pertm yg meuruk rumus perhtug hsl jumlh pgkt empt d deg megguk duks mtemtk d megemgk sutu metode utuk meuruk rumus umum dr hsl pgkt tegrl yg sgt petg terhdp perkemg klkulus tegrl. Teorem udmetl klkulus meytk hw turu d tegrl dlh du opers yg slg erlw. eh tepty teorem meghuugk l dr t dervt deg tegrl tertetu. Kre leh mudh meghtug seuh t dervt drpd megplksk des dr tegrl teorem udmetl klkulus memerk cr yg prkts dlm meghtug tegrl tertetu. Teorem udmetl klkulus meytk: Jk seuh ugs dlh kotu pd tervl [] d jk F dlh ugs yg m turuy dlh pd tervl mk d F F Dlm perkemgy Klkulus meglm perkemg yg sgt pest. Demk jug deg Itegrl meglm perkemg yg cukup sgk deg sumg pemkr dr tokoh-tokoh mtemtk. Sr Isc Newto dlh org yg mempuy kotrus esr dlm Klkulus. Begtu jug ez. Hy sj Newto memul dr Turu sedgk ez selky. I lh yg pertm kl mecetusk ots

18 3 Itegrl yg dpk hgg sekrgwww. Mte-mt-kku. Com. Klkulus d sejrhy. D kses tggl Desemer 008. Teorem Itegrl sudh dmul pd d ke-7 tetp hgg khr d terseut elum d vldts stlh-stlh Itegrs hgg Cuchy memuktky seg pjk. Cuchy memerk des moder tetg kekotu d medesk Itegrl seg pejumlh lmt. D memul pekerjy pd thu 84 du thu kemud d medesk lmt seg pejumlh Cuchy. Klkulus dkemgk leh ljut oleh Jco d Joh Beroull dsusul oleh Hoptl sehgg mk legkp. www. Mte-mt-kku. Com. Klkulus d sejrhy. D kses tggl Desemer 008. Sutu des tegrl mtemtk jug derk oleh Berhrd Rem. Yg ddsrk pd sutu prosedur pemts yg medekt re sutu derh kurv ler deg pth derh ke dlm pp-pp vertkl. D dlm lss rel d kel jug dy Itegrl Drou. Itegrl Drou pertm kl dkemgk oleh Gsto Drou. Itegrl Drou erwl dr kesult utuk memperlhtk hw semu ugs mooto dlh tertegrl d meujukk hw hsl ugs yg tertegrl dlh tertegrl jug deg megguk des Itegrl Rem. Oleh kre tu dguk Itegrl Drou yg leh sederh. d Itegrl Drou kt dpt meujukk semu g yg erd pd Itegrl

19 4 Rem d k mudh memuktk hw ugs mooto dlh tertegrl. d dsry Itegrl Drou dlh sm deg Itegrl Rem. R D Arty hw sutu ugs dktk tertegrl Drou jk d hy jk jug merupk tertegrl Rem d jk l-l tegrl dr keduy d mk erst sm. Itegrl Drou mempuy keutug leh sederh ddg Itegrl Rem. D kses tggl 3 Jul 009 Adpu tetg sesutu yg mempuy l yg sm terseut djelsk jug dlm Al-qur dlm surt A-Ns yt 3 tetg kesetr tr lk-lk d perempu yg hmpr sm kosepy deg Itegrl Rem d Drou. Mesk pd dsry perempu dktk sm deg lk-lk tp tetp lk-lk lh yg s mejd pemmp. Demk jug deg Itegrl Drou mesk mempuy l yg sm deg Itegrl Rem tp tetplh Itegrl Rem yg mejd cu kre Itegrl Drou merupk perlus dr Itegrl Rem.

20 5 Arty: D jglh kmu r ht terhdp p yg dkruk Allh kepd sehg kmu leh yk dr sehg yg l. kre g org lk-lk d hg dr pd p yg merek ushk d g r wt pu d hg dr p yg merek ushk d moholh kepd Allh seg dr kru-ny. Sesugguhy Allh Mh megethu segl sesutu A-Ns:3. Berdsrk ur dts mk peuls g megkj leh dlm permslh d memhsy deg judul EKIVAENSI INTEGRA RIEMANN DAN INTEGRA DARBOX.. Rumus Mslh Berdsrk ltr elkg d ts mk dlm pemhs k derk rumus mslh. Bgm ukt ekuvles Itegrl Rem d Itegrl Drou?. Bgm ukt st-st Itegrl Drou?.3. Tuju eelt Berdsrk rumus mslh dts mk tuju dr peuls skrps dlh. tuk memuktk ekuvles Itegrl Rem d Itegrl Drou. tuk memuktk st-st Itegrl Drou..4. Bts Mslh d peuls skrps permslh hy dts pd Itegrl Rem d Itegrl Drou sert pd tervl [].

21 6.5. Mt eelt Adpu mt dr peelt utuk skrps tr l:. Bg peelt seg tmh orms d wws mege kt Itegrl Rem d Itegrl Drou.. Bg pemerht mtemtk seg tmh pegethu dg mtemtk khususy dg ugs lss..7. Metode eelt Metode yg dguk oleh peuls dlm meyusu skrps dlh metode kj pustk ytu deskrps teorts tetg ojek yg dtelt deg cr medlm mecermt meelh d megdetks pegethu yg d dlm kepustk sumer c uku-uku reeres tu hsl peelt l utuk meujg peelt. Iql Hs.00: 45. Adpu lgkh-lgkh dlm peuls skrps dlh:. Merumusk mslh. Seelum peuls memul kegty peuls memut rcg terleh dhulu mege sutu permslh yg k dhs.. Megumpulk dt d orms deg cr memc d memhm eerp ltertur yg erkt deg Itegrl k tu Rem mupu Drou. Dtr uku yg dguk peuls dlh egtr Alss Rel Klkulus d Geometr Alts sert uku l yg meujg peuls skrps.

22 7 3. Setelh memperoleh dt-dt d orms mege Itegrl Drou d Rem lgkh seljuty dlh memuktk Ekuvles k tu dr Itegrl Rem ke Itegrl Drou tu selky deg megguk teorem yg telh d kemud mejelsk d melegkp ukt terseut. gkh seljuty ytu memuktk stst dr Itegrl Drou deg meerpk st-st dr Itegrl Rem. 4. Memut kesmpul. Kesmpul merupk gmr lgkh dr pemhs ts p yg sedg dtuls. Kesmpul ddsrk pd dt yg telh dkumpulk d merupk jw dr permslh yg dkemukk..8. Sstemtk emhs Sstemtk pemhs merupk rgk urut dr eerp ur pejels dlm sutu kry lmh. Dlm kty deg peuls skrps km meyusu sstemtk pemhs seg erkut. d pertm dpprk gm ltr elkg terjdy ekuvles tr Itegrl Rem d Itegrl Drou rumus mslh tuju ts mslh mt peelt sert metode peelt yg dpk oleh peuls. d du dpprk erg teor yg dpk utuk meujg pemhs dlm tg jug memprk tegrs tr ekuvles

23 8 Itegrl Rem d Itegrl Drou. d seljuty yk tg dpprk hsl peelt peuls gm proses terjdy ekuvles tr Itegrl Rem d Itegrl Drou sert st-st ekuvles Itegrl Rem d Itegrl Drou. d terkhr dpprk kesmpul dr peelt yg dlkuk oleh peuls.

24 9 BAB II KAJIAN TEORI.. Kosep Ekuvles Dlm Islm Ekuvles mempuy rt setr tu mempuy l yg sm. Mesk keduy ered tp mempuy l yg sm. tuk kt tegrs gm d kj skrps peuls megtk tegrsy deg kesetr tr lk-lk d perempu. d dsry lk-lk d perempu memg ered tp keduy mempuy l yg sm dlm eerp hl. Kosep sm deg kosep ekuvles Itegrl Rem d Itegrl Drou. Sepert dperlhtk dlm dgrm erkut: Itegrl Rem Itegrl Drou S A S Q d Nl sm Dlm Islm terutm dlm Al-qur yk mejelsk tetg kesetr tu sesutu yg ered tp pd khry erl sm Nl-l terseut tr l l kemus kedl kemerdek kesetr d segy. Berkt deg l kedl d kesetr Islm tdk perh metolerr dy pered tu perlku dskrms dtr umt mus. 9

25 0 k-lk erempu Bered dlm erg hl Fsk/ologs Tugs Keduduk Nmu keduduk k setr dlm eroleh phl Kewj meutut lmu ecpt Byk yt l-qur yg telh meujukk hw lk-lk d perempu dlh sm-sm semrtt seg mus terutm secr sprtul. Begtu pul yk hds yg meujukk kesm hrkt lk-lk d perempu. Dlm pdg gm Islm segl sesutu dcptk Allh deg kodrt Arty: Sesugguhy km mecptk segl sesutu meurut ukur Al-Qomr: 49..Ad eerp hl yg meckup kesetr tr lk-lk d perempu tr l: Dlm hl pecpt Al-Qur tdk memedk perempu d lk-lk dlm koteks pecpt d proses seljuty seg mus. Dlm pdg l-qur

26 Allh mecptk semuy perempu d lk-lk dlh utuk stu tuju sepert yg tertuls dlm Frm Allh: Arty: D tdklh km cptk lgt d um d p yg d d tr keduy melk deg er. d Sesugguhy st kmt tu pst k dtg Mk mklh merek deg cr yg k Al-Hjr: 85 Dlm surt l jug dseutk tetg pecpt lk-lk d perempu yg meytk tdk d pered. Sepert yg termktu dlm surt Al-Isro yt 70: Arty: D Sesugguhy Telh km mulk k-k Adm km gkut merek d drt d d lut. km er merek rezk dr yg kk d km lehk merek deg keleh yg Sempur ts keyk mkhluk yg Telh km cptk. Adpu tetg keduduk lk-lk d perempu Allh mejelsk dlm eerp surt dlm Al-qur tr l Surt Al-Imr yt 95:

27 Arty: Mk Tuh merek memperkek permohoy deg errm: "Sesugguhy Aku tdk mey-yk ml orgorg yg erml d tr kmu k lk-lk tu perempu kre seg kmu dlh turu dr seg yg l. Mk org-org yg erhjrh yg dusr dr kmpug hlmy yg dskt pd jl-ku yg erperg d yg duuh stlh k Ku-hpusk keslh-keslh merek d stlh Aku msukk merek ke dlm surg yg meglr sug-sug d why seg phl d ss Allh. d Allh pd ss-ny phl yg k." Ayt-yt terseut memut hw Allh SWT secr khusus meujuk k kepd perempu mupu lelk utuk meegkk l-l slm deg erm ertqw d erml. Allh SWT jug memerk per d tggug jw yg sm tr lelk d perempu dlm mejlk kehdup sprtuly. D Allh pu memerk sks yg sm terhdp perempu d lelk utuk semu keslh yg dlkuky. Jd pd ty keduduk d derjt tr lelk d perempu dmt Allh SWT dlh sm d yg memuty tdk sm hylh kem d ketqwyhttp:// Dkses tggl 3 Jul 009. Dlm hl peroleh phl dlm erdh Meurut surt Al-Dzrt yt 56:

28 3 Arty: D Aku tdk mecptk j d mus melk supy merek megd kepd-ku. Dlm kpsts seg hm tdk d pered tr lk-lk d perempu. Keduy mempuy potes d pelug yg sm utuk mejd hm del. Hm del dlm Al-qur s dstlhk seg org-org yg ertqw d utuk mecp derjt tqw tdk dkel dy pered jes kelm suku gs tu kelompok ets tertetu segm dseutk dlm surt Al-Hujurt yt 3. Dr kutp yt d ts jels hw Allh memerk pelug yg selus-lusy g perempu utuk mejlk tugs-tugsy slk msh dlm ts-ts yg tdk kelur dr yt terseut. Meurut jr l-qur pegd kepd Allh tdk s dpshk dr pegd kepd umt mus tu dlm stlh Islm org-org yg erm kepd Allh hrus meghormst Hqqullh hk-hk Allh d Hqul Id hk-hk mkhluq. emeuh kewj kepd Tuh d mus merupk hkekt kesleh. k-lk d perempu sm-sm dseru oleh Allh gr erut kejk d k der phl yg sm utuk kesleh merek. Hl dytk deg jels dlm sejumlh yt l-qur sepert erkut :

29 4 Arty: Mk Tuh merek memperkek permohoy deg errm: "Sesugguhy Aku tdk mey-yk ml orgorg yg erml d tr kmu k lk-lk tu perempu kre seg kmu dlh turu dr seg yg l[59]. Mk org-org yg erhjrh yg dusr dr kmpug hlmy yg dskt pd jl-ku yg erperg d yg duuh stlh k Ku-hpusk keslh-keslh merek d stlh Aku msukk merek ke dlm surg yg meglr sugsug d why seg phl d ss Allh. d Allh pd ss- Ny phl yg k."q.s. Al-Imro: 95 Arty: D org-org yg erm lelk d perempu sehg merek dlh mejd peolog g sehg yg l. merek meyuruh megerjk yg m'ru mecegh dr yg mukr medrk shlt meuk zkt d merek tt pd Allh d Rsul-Ny. merek tu k der rhmt oleh Allh Sesugguhy Allh Mh erks lg Mh Bjks Q.S. At-Tuh: 7 Ayt-yt d ts megsyrtk kosep kesetr lk-lk d perempu yg del d memerk ketegs hw prests dvdu k dlm dg sprtul mupu urus krer proesol tdk mest dmoopol oleh slh stu jes kelm sj.

30 5 Dlm hl peddk Dlm hl peddk mege kesetr tr lk-lk d perempuallh mejelsk dlm Al-Qur surt l-mujdlh yt yk: Arty: H org-org erm pl kmu dktk kepdmu: "Berlpg-lpglh dlm mjls" Mk lpgklh scy Allh k memer kelpg utukmu. d pl dktk: "Berdrlh kmu" Mk erdrlh scy Allh k meggk org-org yg erm d trmu d org-org yg der lmu pegethu eerp derjt. d Allh Mh megethu p yg kmu kerjk Dr yt terseut kt s memhm hw org yg erlmu puy poss yg ered deg org yg tdk erlmu. Ayt-yt terseut jug merupk pedorog g umt Islm utuk sellu erush megktk kults kelmuy. Dr yt terseut jug dpt kt phm hw meutut lmu jug dwjk ts lk-lk d perempu. Kre dlm yt terseut tdk djelsk tetg kewj pd slh stu phk.dlm hl erprests Islm jug tdk memed-edk tr lk-lk d perempu. Semuy s erprests dlm segl hl. Ketgy megsyrtk kosep kesetr geder yg del d memerk ketegs hw prests dvdul k dlm dg sprtul mupu krer proesol tdk mest ddoms oleh stu jes kelm

31 6 sjhttp:// Dkses tggl 3 Jul Kosep mt Des... Jk seuh ugs yg terdes sutu selg teruk yg memut lg kecul mugk pd tu sedr. Mk dktk hw lmt utuk medekt dlh d dtulsk lm Jk utuk setp lg 0 terdpt lg yg 0 sedemk hgg lm 0 Stewrt 999: 05 Cotoh... Buktk hw lm Adk lg post serg. Mk dhslk sutu 0 sedemk sehgg dg ketksm dseelh k

32 7 4 3 urcell 987: 8 Teorem... derk d ttk lmt A. Jk mempuy lmt utuk mk lmty tuggl Bukt: Aml lg 0 serg d dk mempuy lmt K d deg K utuk. Jd utuk setp lg 0 yg dtujuk dpt dplh lg r 0 d lg r 0. Sehgg erlku K 3 tuk setp A deg 0 r d 3 tuk setp A deg 0 r. Seljuty deg megml lg r mr r dperoleh K K K 3 3

33 8 tuk setp A deg 0 r deg kt l dperoleh K= sutu kotrdks. Jd yg er lmt utuk dlh tuggl. Rhm 008:37-38 Teorem..3. Mslk lm Klm g erlku..lm K lm utuk serg kostt.. lm g lm lm g K 3. lm g lm.lm g K. 4. lm K lm g lm g jk 0 Bukt:. Dml serg rs lg yt yg koverge ke. Oleh kre tu dperoleh rs erturut-turut koverge ke K d mk lm Klm g Seljuty dperoleh lm.lm. K. lm g lm g lm g lm = K + lm g d rs g

34 9 3. lm g lm g lm K. 4. lm lm g g lm g.lm g K slk 0 Teorem..4. Krter mt: Mslk d merupk ttk lmt hmpu A mk. lm.tuk setp 0 terdpt 0 sehgg jk A d 0 erkt. Bukt:. Dkethu hw mempuy lmt pd. Kemud utuk setp lg 0 terdpt 0 sehgg jk A N d erkt N. Kemud kre terdpt pd N d jk d hy jk jk 0 kre N jk d hy jk jd A memeuh 0 d memeuh.. Jk kods terpeuh utuk 0 pd N : d utuk setp 0 pd N :.Kemud kods k

35 0 terpeuh jk erd pd N dm A d.d N mk mempuy lmt pd. Cotoh..4.: lm Msl = ddesk hw lm. Jk utuk setp lg 0 mk. Kemud jk 0 terdpt 0. Kre memeuh mk lm Sepert hly Itegrl yg mempuy tsmt ytu ts ts d ts wh mk dlm gm Islm pu terdpt eerp ts gr umt mus tdk terjerumus dlm perut dos. Sejk wl mus dcptk yg dtugs seg khlh dmuk um Islm telh megjrk gm tugs mus tu d um hgg tdk melmpu ts. Atu meggkr p yg telh mejd tugsy. Nmu d pul mus yg meggkr tugsy kre mers tdk mmpu. Seg esr mus megklm hw sgt sult g merek utuk melksk jr gm d tulh lsy megp merek tdk mejlk prsp-prsp gm. Deg cr merek erhrp keslh merek erkurg. Ak tetp merek hy memohog dr merek sedr. Allh seg pegus lm tdk meme seseorg dlur ts kemmpuy. Segm dktk dlm Al-qur :

36 Arty: Allh tdk meme seseorg melk sesu deg kesggupy. medpt phl dr kejk yg dushky d medpt sks dr kejht yg dkerjky. merek erdo: "Y Tuh km jglh Egku hukum km jk km lup tu km terslh. Y Tuh km jglh Egku ek kepd km e yg ert segm Egku ek kepd org-org seelum km. Y Tuh km jglh Egku pkulk kepd km p yg tk sggup km memkuly. er m'lh Km mpulh Km d rhmtlh km. Egkulh peolog km Mk tologlh km terhdp kum yg kr.q.s. Al- Bqrh: 86" D dlm syrt Islm semu perth Allh sesu deg trh lm kemmpu mus. erg perth Tuh yg derk pu msh dlm ts kemmpu d kelemh mus. Oleh kre tu tp mus k dty pertggug-jw merek msg-msg. Nmu mus mesk dktk seg mkhluk yg sempur dlm eerp hl jug mempuy keterts termsuk dlm lmu pegethu. Mesk kemmpuy terts Allh tetp mejjk k meggk org derjt org yg gt meutut lmu. Dlm surt Al-Mukmu yt 6 jug dseutk

37 Arty: Km td meme seseorg melk meurut kesggupy d pd ss km d sutu Kt yg memcrk keer d merek tdk dy. Yg dmksud kt ds dlh kt tempt mlkt meulsk perut seseorg rpu uruk tu k dhr kmt..3. Brs d mt Brs pd hmpu S dlh sutu ugs deg dom d mempuy rge dlm S. Des.3.. Brs lg rel dlh sutu ugs yg ddesk pd hmpu N deg rge dlm R. Brs serg dotsk deg X tu tu. Apl dkethu sutu rs Y rty Y y k. Ryto008: 38 Cotoh.3... Brs deg dlh rs - -. Brs deg : N c. Brs kost k deg k 3 dlh Des.3. : Derk rs lg rel d y d R. Mk dpt ddesk. y y

38 3... y. y v. y y slk y 0 Ryto008:39 Des.3.3.lmt Brs: Dkethu rs lg rel. Sutu lg rel dktk lmt rs. Jk utuk setp 0 k N sedemk hgg utuk setp N deg k terdpt erlku. Jk dlh lmt sutu rs mk dktk koverge ke. Dlm hl dtuls koverge mk dktk dverge. lm tu tu. Jk tdk Ryto008:39 Teorem.3.4: jk rs koverge mk mempuy plg yk stu lmtlmty tuggl. Bukt: ' '' Adk lm d lm deg ' ''. Mk utuk serg 0 terdpt ' K sedemk hgg ' utuk setp ' K d terdpt '' K sedemk hgg '' utuk setp '' K. Dplh

39 4 K m K ' K ''. Megguk ketksm segtg mk utuk K dperoleh ' '' ' '' ' '' ' '' Kre erlku utuk setp 0 mk 0 yg errt ' ''. Kotrdks deg pegd. Jd terukt hw lmty tuggl. Ryto008:39-40 Des.3.5Teorem-Teorem mt: Brs lg rel X dktk terts jk terdpt lg rel M 0 sedemk hgg M utuk semu N. Oleh kre tu rs merupk suset terts dlm R jk d hy jk hmpu : N Ryto008: 45 Teorem.3.6 : Dkethu X koverge mk X terts. Bukt: Dkethu X koverge mslk koverge ke. Dml. Mk terdpt K N sedemk hgg utuk setp K erlku. Megguk ketksm segtg mk tu utuk

40 5 semu K. Nmk M m... k. Mk M utuk semu N. Jd terukt hw X terts. Teorem.3.7: Jk X Y y y d c R mk. X Y y. X. Y. y. cx= c Bukt:. Aml serg 0 kre X mk terdpt N 0 sedemk hgg utuk setp 0 erlku. Kre y y Y mk terdpt N sedemk hgg utuk setp erlku y y. lh m mk kty utuk 0 erlku y y y y y y Kre erlku utuk serg 0 mk y koverge ke y. Deg cr yg sm dperoleh hw y koverge ke y. Jd terukt hw X Y y.. Ak duktk hw utuk setp 0 terdpt K N sedemk hgg utuk setp K erlku. y y. Dkethu.

41 6. y. y. y. y. y y.. y. y y y y y Kre mk terts kty terdpt M 0 sedemk hgg M utuk semu N. Nmk M mm y. Dml serg 0. Kre mk terdpt K N sedemk hgg utuk setp K erlku. Kre y y mk M terdpt K N. Sedemk hgg utuk setp K erlku y y M. Nmk mk K K mk utuk setp K erlku y y y y y M.. M M M Jd terukt hw utuk setp 0 terdpt K N sedemk hgg utuk setp K erlku y y. Deg kt l terukt hw X. Y. y.. Aml serg 0 kre mk terdpt K N sedemk hgg utuk setp K erlku. erhtk hw c c c

42 7 c Kre mk terts ytu terdpt M 0 sedemk hgg M utuk semu N kty c M c M. c Terukt hw utuk setp 0 terdpt K N sedemk hgg utuk setp K erlku. Deg kt l terukt hw cx= C c. Ryto008: Teorem.3.8 : jk X rs lg rel deg 0 utuk semu N d mk 0. Bukt: Dml 0 kre mk terdpt K N sedemk hgg utuk setp K erlku 0 Kotrdks deg peryt hw 0 utuk semu N. Jd pegd slh yg er dlh 0. Ryto008: 48

43 8 Teorem.3.9: Jk y y d y utuk semu N mk y Bukt: Derk Z : y sehgg Z : z Y X d Z 0 utuk semu N. Dperoleh hw lm Z lm y lm tu lm lm y. 0 Ryto008: Kosep Kotu Des.4.. dktk kotu pd 0 jk lm 0 tu s 0 dktk utuk 0 mk d 0 sehgg 0 dm 0 Dr des d ts mk dpt dktk terdpt tg syrt gr kotu terpeuh ytu:. 0 d tu terdesk. lm 0 d d 3. lm 0 0 rzysk & Zpse98:94 Cotoh.4... Derk ugs g A utuk utuk Cr lm g d tetuk l A gr ugs g kotu d mk

44 9 lm g lm Meurut yg dkethu A d g A. Oleh kre tu gr ugs g kotu d hrus erlku A g lm g eh ljut utuk rumus ugs g dpt dsederhk mejd g d deg rumus mudh dperlhtk hw ugs g kotu dsetp ttk. Dgug deg hsl d ts ytu deg megml A= mk ugs g kotu pd R. Mege ugs kotu sesu deg ml dh yg pl dlkuk secr kotu d terus meerus k medptk phl. Sepert hly ugs yg kotu k puy l pd ttk tertetu. Dlm hdst telh dseutk!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!è!!!!!!!!!!!!!!!!!!ƒ!!!!!!!!ƒ!!!!!!!!!!!!!!!! kuklh ml sesu kesggup. Kre sesugguhy Allh tdk k os sehgg egku mejd os. D sesugguhy ml yg plg Allh suk lh yg terus-meerus dkerjk wlupu sedkt. HR Au Dwud 6 Allh jug errm dlm surt Irhm yt 33 Arty: D d Telh meudukk pul gmu mthr d ul yg terus meerus eredr dlm orty d Telh meudukk gmu mlm d sg.

45 30 Mksud yt terseut dlh hw mthr d ul jug eredr secr kotu dlm orty hgg hr kmt yg s dktk kelur dr orty..5. Supremum d Imum Des.4.. Mslk S sutu hmpu g dr R Blg u R dktk ts ts S jk s u utuk setp s S Blg w R dktk ts wh S jk w s utuk setp s S Cotoh.5.. Derk S : 0 mk ts ts S dlh hmpu : 0 d ts wh S dlh :. Dperhtk 0 merupk ts wh d termsuk d dlm S sedgk ts ts tetp tdk termut d dlm S Des.5.. Derk S suset tk kosog Herd 000:7. Jk S terts ke ts mk sutu hmpu lg u dseut supremum ts ts terkecl dr S jk memeuh kods.. u merupk ts ts S d. Jk v dlh serg ts ts S mk u v Dtuls u = sup S. Jk S terts ke wh mk sutu lg u dseut mumts wh teresr dr S jk memeuh kods erkut. w merupk ts wh S d

46 3 Cotoh.5... Jk t dlh serg ts wh S mk t w Dtuls w = S. Ryto008: 8. Hmpu E.. N terts d ts oleh serg 3 lg rel v d terts dwh oleh serg lg rel u 0. Bts ts terkecl dlh d ts wh teresr dlh 0.. N & R mempuy ts ts tk hgg d ts why egt tkhgg. Deg demk mempuy supremum d mum 0. Dr des d ts mucul seuh lemm emm.5.3. Supremum sutu hmpu sellu tuggl Bukt: Adk u = sup S d u sup S deg u u. Kre tu d kemugk yg dpt terjd ytu u u tu u u errt u uk ts ts S erlw deg u = sup S. tuk u u errt uk ts ts S. I ertetg deg u sup S. Jd pegd u u slh. Sehrusy u u. Herd 000:7 Berkut dlh krter yg serg dguk utuk megethu sutu ts ts merupk supremum tu uk.

47 3 Teorem.5.4:. Mslk u sutu ts ts S. ml 0 serg. Kre dkethu u = sup S mk u S jd d s S sehgg u s uk ts ts k dtujukk hw u yg memeuh seelh k merupk supremum S. Mslk utuk serg lg rel v v u. Aml : u v 0 mk d s S sehgg u u u v u s I errt v uk ts ts S d erdsrk krkterstk supremum dsmpulk hw u sup S Herd 000:7 Al-qur seg kt suc umt Islm dpt dktk seg supremum. Sel seg pedom Al-qur jug merupk cu seklgus sumer lmu pegethu. Seg cotoh peemu mus dlm dg ss dhulu org meygk hw tom dlh prtkel terkecl kre merek elum meemuk elektro. Tp kemud dtemuk lg yg leh kecl yk qurk. Smpuly ss hy dpt mejgku sehg kecl dr p yg dttgk Alqur. eh ljut terdpt yt erkut: Arty: Dlh Allh yg mecptk tujuh lgt elps-lps. Kmu seklkl tdk melht cpt Allh Yg Mh Rhm tu seutu yg

48 33 tdk semg. Mk perhtklh erulg-ulg dkh kmu lht sesutu yg tdk semg? Kemud pdglh sekl lg scy peglhtmu k keml kepdmu deg kesmpul hw tdk d yg cct d pegmtmu tupu dlm ked pyh.qs. Al-Mulk 3-4 Ayt d ts d smpg seg perth jug erkes seg ttg. eek yg hedk dgrswh dr yt dlh"scy peglht oservs-mu tu k keml kepdmu deg ked pyh"..6. us derh d Itegrl Rem.6.. us derh d thu 630- erre de Fermt tertrk utuk meghtug lus derh dwh kurv. Mslk kotu pd tervl []. tuk memhs lus derh dwh kurv y = mk lus derh setdky leh esr dr pd. Gmr.5.. lus derh Mslk meytk hmpu semu lg yg dpt dperoleh seg jumlh lus derh perseg pjg kecl segm dlm gmr d ts. Mk lus derh dwh kurv y = mestlh leh esr dr pd setp ggot.

49 34 Mk ddesk lus derh dwh kurv y = seg lg terkecl yg leh esr dr pd setp ggot yk sup. Guw 000: Itegrl Rem.6... rts Mslk : I R terts d.. : 0 prts dr I pd selg [] sutu hmpu erhgg... Sedemk hgg t A 0 gmr.6.. rts d [] Norm prts yg dytk deg l teresr dtr lg... Kemud ddesk... 4 : m 0... Jk dlh prts sepert yg tmpk pd gmr d ts mk des jumlh Rem pd ugs : I R

50 35 S t 5 Brtle 000:94-95 Des.6... Derk tervl tertutup [] prts Q dseut peghlus reemet prts pd [] jk Q. tuk sutu tervl [] tk erhgg yk prts yg dpt dut. Koleks semu prts pd tervl [] dotsk deg []. Cotoh.6...: Derk tervl I=[0]. Berkut dlh eerp prts pd I Dpt dhtug hw merupk peghlus dr 3 se 3 5 tetp 5 uk peghlus mupu 4 se 5 d 4 5. rts 3 4 d 5 d seut prts sergm Herw-Thor 008. Teorem.6... tuk setp lg rel 0 terdpt prts pd [] sehgg 6

51 36 Derk tervl tertutup []. Kre < mk erdsrk st urut lg rel dperoleh 0. Oleh krey semrg 0 d erdsrk st rchmedes terdpt lg sl sehgg Jd pd tervl [] dpt dut prts } demk sehgg { Jumlh Rem Ats d Jumlh Rem Bwh Herw-Thor 008. Des.6... Mslk A prts dr [] dlh terts. tuk setp sutervl k k k dr mk : d M : m k k k sup k Sehgg Jumlh Itegrl Rem ts dr deg prts dlh mk k k 7 k Sedgk jumlh Itegrl Rem wh dlh M k k k 8 k Deg m I d M sup I. Akty Yk k : k k k : k mk k k tk k k M k k k k S k k

52 Itegrl Rem Ats d Itegrl Rem wh sup dytk deg d tu d dmk Itegrl Rem wh ugs pd selg []. dytk deg d tu d dmk Itegrl Rem ts ugs pd selg []. Fugs dktk tertegrl Rem pd selg [] jk d = d Dlm hl ugs tertegrl Rem pd selg [] Itegrl Rem ts yg sm deg Itegrl Rem wh dmk Itegrl Rem ugs pd [] d dytk deg ots d tu Cotoh.6..3.: erlhtk hw ugs = 0 tertegrl Rem pd [0]. Amlh 0... mk k m k k M k k =... k m. k k k k k M. k k k k Kre : N : [ ] k k mk

53 38 sup N sup [ ] Sehgg 0 d d 0 I errt ugs = 0 tertegrl Rem pd [0] d d 0 Dr eerp ur d ts Itegrl Rem jug dpt ddesk seg erkut: Des Derk Itervl tertutup [] ugs erl rel :[ ] R dktk tertegrl Rem jk terdpt lg Rel A sehgg utuk setp lg rel 0 terdpt lg 0 deg st } prts pd [] deg erlku Atu { 0 A 9 A S Blg rel A pd des dts dseut l Itegrl Rem ugs pd tervl [] d dtuls A d 0 R

54 39 Seljuty utuk memudhk peuls koleks semu ugs yg tertegrl Rem pd [] dotsk deg R [ ]. Jd jk :[ ] R dktk tertegrl Rem cukup dtuls deg R[ ] Des Itegrl Rem d ts jug dpt pul dytk seg lmt deg persm erkut: lm S A p 0 Cotoh.6..3.: Msl 0 R : dlh seuh ugs yg megml l pd setp ttk. Mk jumlh Rem pd tervl [0] k mempuy l. D Itegrl Remy k erl stu Itegrl Seg mt Des Derk ugs rel d terts pd selg []. tuk setp prts... Dm 0 pd [] detuk jumlh S t t ttk semrg pd suselg tertutup... Blg rel A dseut lmt S utuk orm 0 d dtuls lm S A 0 jk d hy jk utuk setp 0 yg derk d semrg pegml ttk t terdpt 0 sedemk utuk semu prts pd [] deg erlku

55 40 S A Rhm Cotoh Jk dm pd tervl [] mk htug l tegrly d pkh terdpt lmt dlm tegrl terseut. eyeles: C[ ] d tertegrl Rem pd []. msl dlh prts pd []. plh tg pot utuk =. kemud S 0 Hsl d ts meujukk hw setp prts terseut d dpt S. I meujukk hw lm S p 0. rzysk & Zpse98:64 Teorem Mslk terts pd I. Mslk terdpt sutu lg A sedemk hgg utuk setp 0 terdpt prts dr I sedemk hgg utuk semrg prts d semrg jumlh Rem S erlku

56 4 A S Mk tertegrlk pd I d Bukt: d A Deg megguk teorem seelumy yk S d. Sedg seelumy telh ddesk hw Itegrl Rem dpt pul dytk seg lmt deg lm S A p 0 mk A d sehgg d A. Jd teorem terukt Ketertegrl Fugs Kotu d Fugs Mooto Teorem jk kotu pd [] mk tertegrlk pd []. Bukt: Fugs yg kotu pd [] mestlh kotu sergm pd []. Kre tu derk 0 semrg terdpt 0 sedemk hgg utuk y deg y erlku y

57 4 Seljuty utuk tp N deg tju prts : 0.. deg k k. k 0.. ds tervl [] terg mejd su tervl sm pjg. Setp su tervl k k mecp l mksmum M k d mmum m k mk u k M k d v k mk Dlm hl dperoleh M k m k u k vk D kty 0 M k mk k k. k k Kemud dsmpulk hw lm 0. D krey tertegrlk pd []. Guw 000: 3-4 Cotoh Buktk hw 0 d d dm s 0 0

58 43 s s dlh kotu utuk 0 d lm 0 0. Sehgg dlh kotu pd [0] d tertegrl Rem pd [0]. Sehgg 0 d d. Teorem.6..5.: Jk mooto pd [] mk tertegrlk pd []. Bukt: Asumsk k pd [] utuk tp N tju prts : 0.. deg k k. k 0... Kre k pd k k mk mk k d M k k. Dlm hl kt peroleh sutu deret teleskops k M k m k k k k k k Sekrg jk 0 derk mk utuk tp N deg erlku M k mk k k 0 k Deg demk mestlh tertegrlk pd []. Teorem erkut memerk sutu krter utuk ketertegrl pd []. tuk seljuty tertegrlk ert tertegrl Rem d tegrl errt tegrl Rem.

59 44 Teorem.6..6: tertegrl pd [] jk d hy jk utuk setp 0 terdpt sutu prts dr [] sedemk hgg Bukt: Mslk tertegrlk pd []. Aml 0 serg. Dr des supremum terdpt sutu prts dr [] sehgg Dr des mum terdpt pul sutu prts dr [] sehgg Sekrg mslk mk merupk perhlus d. Akty Nmu sehgg kt peroleh Selky mslk utuk setp 0 terdpt sutu prts dr [] sedemk hgg Mk utuk setp 0 erlku 0

60 45 Dr s dsmpulk hw tu tertegrlk pd [] St-St Dsr Itegrl Rem Guw 000: - Bg memhs st-st dsr Itegrl Rem dtry ketuggl l tegrl keler semu ugs tertegrl Rem. Teorem Jk R Bukt: Dkethu R Ad : A A mk l Itegrly tuggl Derk semrg lg 0. Mslk A d A keduy l tegrl Rem ugs. A l tegrl ugs pd [] mk terdpt lg 0 sehgg utuk setp prts } { 0 pd [] deg st erlku S A A l tegrl ugs pd [] mk terdpt lg 0 sehgg utuk setp prts } { 0 pd [] deg st erlku S A

61 46 Dplh m kty jk semrg prts pd [] deg st erlku d. Akty S A D S A eh ljut A A A S S A A S S A S A A S Kre semrg lg post mk dpt dsmpulk A A Herw-Thor 008. Teorem erkut meytk hw koleks semu ugs yg tertegrl Rem ytu R dlh rug ler. Teorem Jk g R[ ] d semrg lg rel mk. g R[ ] d g d R d R d d R. R[ ] R g d 3 R d 4

62 47 Bukt:. dkethu g R[ ]. Derk semrg lg 0. Kre R[ ] mk terdpt A R d d 0 sehgg utuk setp prts pd [] deg st erlku S A Kre g R[ ] mk terdpt A R d d 0 sehgg utuk setp prts pd [] deg st erlku Dplh m S A kty jk semrg prts pd [] deg st erlku d. Akty S g A A g A A g A A g A A A g A

63 48 Terukt g R[ ] d g d A A R d R R g d. Dkethu R[ ]. Derk semrg lg 0 d merupk kostt. Kre R[ ] mk terdpt A R d d 0 sehgg utuk setp prts pd [] deg st erlku S A Jk semrg prts pd [] deg st erlku S A A A Kre merupk kostt mk dpt kt kelurk sehgg. A S A R d Terukt R[ ] d d R R d Herw-Thor 008

64 49 Teorem erkut meytk huug ketertegrl sutu ugs deg keterts Teorem Jk R[ ] mk terts pd []. Bukt: St keterts: jk m M pd [] mk m d M Berdsrk jumlh Rem ytu sehgg k mk k k tk k k M k k k k k S d kre S = A d A sedr dlh sesu deg teorem seelumy d erdsr teorem dsr klkulus ytu d F F mk utuk st keterts erlku m d M Deg persm terseut dktk hw terts pd []. Teorem Jk R[ ] d R[ c ] deg < < c mk R[ ]. eh ljut d R d R c R d 5 c

65 50 Bukt: c R R[ ] d R[ c ] mslk d A d R d A. Derk semrg lg 0 mk terdpt c d 0 sehgg utuk setp prts pd [c] deg st erlku A 4 D jug terdpt 0 sehgg utuk setp prts pd [c] deg st erlku A 4 Dplh m kty jk semrg prts pd [] deg st mk terdpt du kemugk: c merupk slh stu ttk prts c uk merupk slh stu ttk prts kemugk jk c merupk slh stu ttk prts mk terg ts pd tervl g [c] d pd tervl g [c]. Kre m d mk erlku pul d sehgg

66 5 A A = A A = A A A A 4 4 Kemugk Jk c uk merupk stu ttk prts Rem mk dpt dut prts Rem pd [] deg c seg slh stu ttk prtsy sehgg mejd peghlus prts. Seljuty deg cr sepert pd kemugk dperoleh A A = A A = A A A A 4 4

67 5 Jd A A Mk A A A A A A Deg demk terukt Jk ] [ R d c d R d R d R Herw-Thor Itegrl Drou d thu 875 mtemtkw I.G. Drou secr kostrukt memodks des Itegrl Rem deg terleh dhulu medesk jumlh Drou ts d jumlh Drou wh seljuty medesk Itegrl Drou ts d Itegrl Drou wh.

68 53 Terdpt cr l melht tegrl seg lmt dr jumlh Rem. Mslk I:= [] d.. : 0 dlh prts dr I. kur kehlus dr dlmgk deg ddesk seg : sup :... Deg perkt l dlh pjg su-tervl mksmum yg terkt deg prts. Sel tu jug jk Q yk Q merupk perhlus dr mk Q. Nmu selky Q tdk meghrusk Q. Teorem.7.. Teorem Drou. Mslk tertegrl pd I. Mk utuk setp 0 terdpt 0 sedemk hgg jk Q dlh prts dr I deg Q mk utuk semrg jumlh Rem SQ erlku S Q d 6 Bukt: Derk 0 semrg terdpt prts... : 0 sedemk hgg 3 Akty jk mk. Seljuty mslk 3 M : : I d :. M

69 54 Aml semrg prts Q y y... dr I deg Q : 0 y d mslk Q * : Q mk Q * d * Q mempuy seyk-yky - ttk leh yk drpd Q yk ttk-ttk... yg d d tetp tdk d Q. Seljuty kt k memdgk Q deg * * Q sert Q deg Q. Kre Q * Q kt mempuy * Q Q 0. Jk kt tulsk Q z z.. z p * 0 mk * Q Q dpt dytk seg jumlh dr seyk-yky - suku eretuk * M j M k zk zk Deg M j meytk supremum dr pd tervl ke-j dlm Q d * M k meytk supremum dr pd su-tervl ke-k dlm M M * * k M d z k z k Q Q kt peroleh j Akty ddptk 0 Q Q Serup deg tu terdpt Q Q Q *.M. 3 * 3 * Q 3 * Q. Kre

70 55 Seljuty hw SQ d d terletk dlm tervl Q Q d kre tu keduy erd dlm tervl 3 3 : * * Q Q I Kre Q * kt mempuy 3 * Q Q sehgg pjg I leh kecl drpd. Jd jrk tr SQ d d mestlh leh kecl drpd. Jd teoremy terukt. Guw9: Jumlh Drou Ats d Jumlh Drou Bwh Derk tervl tertutup R d R : ugs erl rel yg terts pd []. Jk } { 0 semrg prts pd [] mk ddesk ] [ : sup M d ] [ : m Keterts ugs dpt mejm eksstes du lg M d m terseut. Seljuty utuk =... ddesk : sup M : m Dpt dphm hw M M m m utuk setp =...

71 56 Dr ur d ts mk utuk jumlh Drou ts ugs terkt deg prts dytk deg d ddesk seg erkut M 7 Sedgk jumlh Drou wh deg prts yg sm deg jumlh Drou ts ddesk seg erkut m 8 emm.7... Derk R d R : terts pd [] d { } semrg prts pd [] mk erlku Herw-Thor 008 Bukt: Derk d } { 0 semrg prts pd [] erdsrk des supremum d mum sutu hmpu mk dperoleh m M utuk setp =... oleh krey dperoleh m M Deg megguk des yg sm utuk peghlus prts pd tegrl Rem mk mucul lemm seg erkut

72 57 Teorem.7... Derk R d R : ugs yg terts pd []. Jk d semrg du prts pd [] mk erlku Bukt: 9 Dket: R d R : ugs yg terts pd []. Jk d semrg du prts pd [] Ad: Detuk mk d sehgg dperoleh d. Berdsrk teorem.7.. dperoleh. Akty dperoleh Itegrl Drou Ats d Itegrl Drou Bwh [] dmksudk seg hmpu semu prts pd []. Seljuty tegrl Drou ts ugs pd tervl [] dotsk deg tu D d ddesk seg D d [ ] 0 Sedgk tegrl Drou wh ugs pd tervl [] dotsk deg tu D d ddesk seg D d sup [ ] Mege Itegrl terseut dts terdpt eerp teorem yk

73 58 Teorem Derk R d R : ugs yg terts pd []. Jk ugs tertegrl Drou ts d tertegrl Drou wh pd tervl [] mk Bukt: Dket: ugs tertegrl Drou ts d tertegrl Drou wh rty dpt dplh semrg [ ] d [ ]. Dplh mk erdsrk lemm.7.. d teorem.7.. erlku Jd lg rel merupk sutu ts ts dr : [ ]. Akty sup : [ ]. Demk pul merupk ts wh dr : [ ] sehgg : [ ]. Jd terukt Dr eerp ur d ts seljuty derk des Itegrl Drou seg erkut Des.7.3..Des Itegrl Drou Fugs erl rel d terts R : dktk tertegrl Drou pd [] jk Atu s ddesk = tu d D d D D d 3

74 59. Itegrl Drou megguk prts Rem yg leh kecl yk Cotoh.7.3..: Derk [0]. Apkh tertegrl Drou pd [0]. eyeles: Aml semrg prts sergm 0... pd [0]. Kre [0] mk.. M.. M... m.. m

75 60... Dperoleh 0 lm lm Mk tertegrl Drou pd [0] deg l Itegrl lm lm d D Fugs Kotu d Mooto d Itegrl Drou Teorem Setp ugs rel d kotu pd tervl [] tertegrl Drou pd []. Bukt: Derk semrg ugs rel d kotu pd tervl [] erdsrk teorem kekotu sergm mk kotu sergm. Seljuty derk semrg lg 0. Kre kotu sergm mk terdpt lg 0 sehgg jk } { 0 semrg prts pd [] deg st erlku

76 6 m M Sehgg dperoleh M M m M Berdsrk krter Rem tertegrl Drou pd []. Cotoh : Dkethu eyeles: Fugs merupk ugs kotu. I kotu pd ttk. 4 lm. Kre meurut des lm lm Seljuty utuk mecr pkh tertegrl Rem mk hrus dcr d

77 6 D s m 0 [0 ] 3 m 9 [ ] 3 m 3 4 [ ] m 4 5 [ ] 4 m 5 5 [ ] M sup M sup M 3 sup 9 4 [0 ] 3 5 M 4 sup M 6 5 [ ] 4 [ ] 3 5 sup 4 5 [ ] 4 [ ] Jd Syrt tertegrl Rem ytu sehgg Teorem Setp ugs mooto dlh Itegrl Drou Bukt: Msl :[ ] R dlh ugs k. Kemud terdpt prts pd tervl [] hgg utuk setp. Jk dlh ugs k d k supremum pd sutervl k d k mum pd sutervl kr. Sedemk hgg

78 Teorem Krter Rem utuk Itegrl Drou Fugs erl rel d terts R : tertegrl Drou pd [] jk d hy jk utuk setp lg 0 terdpt prts Rem pd [] sehgg utuk setp prts Rem pd tervl [] deg st erlku 4 Bukt: Syrt perlu Dkethu ugs R : tertegrl Drou pd [] errt =. Derk semrg lg 0 erdsrk des mk terdpt prts Rem pd [] sehgg

79 64 Kre =. Mk erlku Seljuty utuk lg 0 terseut erdsrk des mk terdpt prts Rem pd [] sehgg Berdsrk teorem.7.. erlku. Oleh kre tu dperoleh Dplh mk d sehgg dperoleh Akty. Seljuty jk dml semrg prts rem pd tervl [] deg st erlku Mk ddpt Akhry dperoleh

80 65 Syrt cukup Dkethu utuk setp lg 0 terdpt prts Rem pd [] sehgg utuk setp prts Rem pd tervl [] deg st erlku. I ekuvle deg. Berdsrk des d mk utuk setp prts Rem pd [] erlku d Sehgg dperoleh Dperoleh Kre lg 0 dml semrg mk ddptk

81 66 BAB III EMBAHASAN d k dpprk tetg ukt ekuvles Itegrl Rem d Itegrl Drou. Kemud dpprk jug ukt st-st Itegrl Dru deg meerpk st-st Itegrl Rem. 3.. Ekuvles Itegrl Rem d Itegrl Drou Sel Itegrl Rem terdpt Itegrl Drou. Itegrl Drou dlh ekuvle deg Itegrl Rem. Sutu ugs tertegrl Drou jk d hy jk jug tertegrl Rem d jk l kedu Itegrl tu d mk l keduy sm. Teorem 3.. Derk ugs :[ ] R dlh tegrl Rem jk d hy jk tertegrl Drou pd [] sehgg R D ete008:8. Bukt: Bukt yg pertm dlh R D Dkethu ugs :[ ] R tertegrl Rem pd [] errt terdpt lg A R d rty utuk semrg lg 0 terdpt 66

82 67 lg 0 sehgg jk } { 0 semrg prts pd [] deg st erlku 0 A Aml semrg.. ] [ erdsrk des m mk terdpt ] [ demk sehgg m m Sehgg m m m m m m m m S... Demk pul utuk semrg.. ] [ erdsrk M mk terdpt ] [ sedemk hgg M M

83 68 Deg cr yg sm dperoleh S... Dr d dperoleh Meurut des Itegrl Drou ytu. Jd terukt hw D R Bukt yg kedu dlh R D Des Itegrl Drou tu Berdsrk des jumlh Drou ts d Drou wh m M Kt mslk seg erkut M d m Sehgg

84 69 m M m M Kre mk D erdsrk st Archmedes utuk lg sl mk. Meurut teorem.6... hw utuk setp lg 0 terdpt prts pd [] sehgg. Sedgk jk erlku A 0 Hsl dts merupk des dr Itegrl Rem. Jd R D terukt. Cotoh 3...: Fugs kost tertegrl Rem pd tervl tertutup eyeles:

85 70 c ] [ deg c sutu kostt. Aml semrg } { 0 prts pd [] mk c M d c m.. Oleh krey M c c c D m c c c ] [ : c d ] [ : sup c. Jd = mk tertegrl Drou yg errt jug tertegrl Rem. eh ljut c d R

86 7 Kre hsl tr Itegrl Drou d Itegrl Rem sm mk dktk ekuvles. Cotoh 3... Fugs h tertegrl Rem pd tervl [0]. Msl dlh sutervl pd tervl [0] sehgg : Ketk h k pd tervl [0] mk d dpt k utuk k =... Sehgg 3 h h... m k / d M k k Deg megguk persm... m mm m h h 6 tuk semu N. Seljuty dpt dlht h sup h N sup h h h h N 3 3 Jd h h. Mk h tertegrl Drou yg errt jug tertegrl 3 Rem. Brtle994:36

87 7 3.. St-St Itegrl Drou Telh duktk hw Itegrl Rem d Itegrl Drou dlh ekuvle mk st-st dsr Itegrl Rem ytu ketuggl l tegrl keler d keterts ugsy erlku pul pd Itegrl Drou. 3.. Ketuggl l tegrl Telh djelsk pd seelumy yk pd teorem hw Itegrl Rem mempuy l yg tuggl yk A A. Seljuty k duktk hw pd Itegrl Drou jug erlku demk. Meurut des Itegrl Drou yk mk Jk S Q pd teorem Drou meytk jumlh Drou yg terkt deg prts Q mk S Q d Sedgk d A mk S Q A tuk memuktk hw Itegrl Drou mempuy l tuggl dmslk A A. Adk S Q A d S Q A deg A A mk utuk setp A terdpt 0 utuk setp prts y Q y y... deg Q sehgg utuk setp Q erlku 0

88 73 S Q A Hl demk jug erlku pd A pd l Itegrl ugs pd [] ytu S Q A Dplh m megguk ketksm segtg mk utuk Q A A A S Q S Q A A S Q S Q A S Q A A S Q Sehgg permsl slh kre dr hsl dts d dpt hw A A. Jd terukt hw pd Itegrl Drou jug erlku st ketuggl l Itegrl Keler Fugs d Itegrl Rem telh duktk pd teorem erlku st keler ugs. Seljuty k duktk hw pd Itegrl Drou jug erlku demk. Adpu st keler Itegrl Drou dlh seg erkut: D. g D D g

89 74. D D Bukt:. Meurut Des Itegrl Drou ytu g g g d ss l kt tdk s megtk hw g g kre sup sup sup g g A A A I meujukk hw g g Hl terseut jug erlku utuk g g Aml semrg prts sehgg d prts mk. Sepert kt kethu hw sehgg d g g d

90 75 g g g g g g Jd g D D g D. Meurut Des Itegrl Drou ytu Kre dlh kostt mk s dkelurk. D sesu deg des d D d D d D tu d ==. Sehgg D D.

91 Keterts Fugs Itegrl Drou. Kre Itegrl Rem terts pd [] sesu deg teorem mk Itegrl Drou jug sm kre sudh duktk hw keduy terdpt ekuvles. D s k duktk hw Itegrl Drou jug terts pd []: Bukt: Des Itegrl Drou ytu sedgk st keterts dlh m d M. d ss l teorem Drou jug dpt dpk utuk memuktk rumus terseut. S Q d. Sedgk meurut teorem yk mk m d M. D ugs terts pd [].

92 77 BAB IV KESIMAN DAN SARAN 4.. Kesmpul Berdsrk hsl peelt d pemhs pd III mk dperoleh kesmpul seg erkut: Telh duktk hw tr Itegrl Rem d Drou terdpt ekuvles. St yg erlku pd Itegrl Rem terukt jug erlku pd Itegrl Drou kre keduy mempuy ekuvles. Sty ytu ketuggl l tegrl keler d keterts ugs. 4.. Sr Bg pemc yg g meljutk peelt mk peelt meyrk tdk hy megguk Itegrk drou sj sert pd tervl []. Kre yk Itegrl l yg merupk geerlss dr Itegrl Rem. 77

93 78 DAFTAR STAKA Al-Hw M. Irhm Tsr Alqurthu. Jkrt: ustk Azzm. Brtle R.G d Sherert D.R 99 Itroducto to Rel Alyss secod Edto Joh Wley d Sos Ic SA. Clrk ete.008.the Rem-Drou Itegrl II. Guw Hedr.008.egtr Alss Rel. ersol.fmia.itb.c.d. Dkses tggl 9 Agustus 009. HsIql.00.Metodolog eelt d Aplksy.Jkrt:Ghl Idoes. Herd Jul. 009.Alss Rel..wordpress.com/009/0/lss_.pd - Dkses tggl 9 Agustus 009. HutheEed.989.Alss Rel II.Jkrt: Kruk Jkrt versts Teruk. J. urcel Edw Klkulus d Geometr Alts. Jkrt: T. Arlgg. Rhm M.S Hrur egtr Alss Rel. Mlg: IN Mlg ress. Ryto Zk.008.egtr Alss Rel. Dkses tggl 9 Agustus 009. Thor.008.egtr Alss Rel. /rs_thor/les/008//-v.pd D kses tggl Mret 009..Alyss Rel. 008.e.wkooks.org/wk/Rel_Alyss/Drou_Itegrl D kses tggl 3 Desemer 008. Itegrl Drou.008. Wolrm MthWorld.mht. Itegrl drou. D kses tggl 3 Desemer Dkses tggl 3 Jul