BAB 5. MODEL RELIABILITAS PARAMETRIK

Transkripsi

1 BAB 5. MODEL RELIABILITAS PARAMETRIK Pehituga Laju Hazad dega Peyesoa Sebagaimaa dibahas di bab, laju hazad utuk suatu iteval waktu adalah asio ataa bayakya keusaka yag tejadi selama iteval waktu da bayakya yag hidup pada awal iteval dibagi dega pajag iteval. Uit teseso selama iteval tidak boleh dihitug sebagai bagia dai uit usak selama selag waktu tesebut. Jika tidak, laju hazad aka meigkat. Cotoh beikut meggambaka pehituga yag dipeluka utuk laju hazad da kumulatif hazad. Cotoh 5.: Dua atus kapasito keamik dikeaka uji hidup sagat dipecepat. Waktu keusaka dai bebeapa kapasito teseso kaea pealata yag diguaka selama pegujia kapasito ii usak selama tes. Bayakya uit yag betaha hidup da yag teseso ditujukka dalam tabel 5.. Hitug baik laju hazad da kumulatif hazad. Laju hazad pada waktu t i dihitug sebagai di maa h(t i ) = Laju bahaya saat t i (t i ) = N f( t i ) N s (t i ) t i N f ( t i ) = Jumlah uit usak selama iteval t i N s (t i ) = Jumlah koba pada awal iteval t i t i = Pajag iteval waktu (t i, t i ). N f (Δt i ) tidak temasuk uit yag teseso. Rata-ata laju hazad kosta adalah 0,039. Waktu keusaka ata-ata adalah 3,35 jam. Kumulatif Tabel 5.. Laju Hazad da Kumulatif Hazad Iteval Bayak uit Bayak uit yag Suvive sampai Laju Hazad Waktu yag usak teseso akhi iteval ,0000 0, ,0304 0, ,038 0, ,0359 0, ,039 0, ,0373 0, ,0373 0, ,035 0, ,03 0, ,0333 0,390

2 Distibusi Ekspoesial Distibusi ekspoesial memiliki laju keusaka kosta, seig diguaka dalam paktek. Beikut adalah caa meilai validitas megguaka distibusi ekspoesial sebagai model waktu keusaka. Misal t = saat keusaka petama t i = waktu ataa keusaka ke i- da ke i (i =,3,...) atau waktu sampai keusaka ke i (tegatug pada waktu yag diamati) = bayakya keusaka selama tes (dega asumsi tidak ada seso) T = jumlah waktu ataa keusaka, T = i t i, da X = vaiabel acak utuk mewakili waktu utuk keusaka. Utuk pemeiksaa apakah waktu keusaka megikuti distibusi ekspoesial atau tidak, diguaka uji Batlett yag mempuyai statistik uji B = l T l t i + + /6 di maa statistik B bedistibusi Khi-kuadat dega deajat kebebasa -. Uji Batlett tidak meolak hipotesis yaitu distibusi Ekspoesial dapat diguaka utuk memodelka suatu data waktu keusaka yag dibeika jika ilai B, teletak di ataa dua ilai kitis dai dua eko uji Khi-kuadat dega tigkat sigifikasi 00 (-α ) pese. Nilai kitis yag lebih edah adalah χ α/, Cotoh 5.: da ilai titik atas adalah χ α/,. Dua puluh tasisto diuji pada lima volt da 00 o C. Ketika tasisto usak, waktu keusaka dicatat da uit yag usak digati dega yag bau. Waktu ataa keusaka (dalam jam) dicatat dalam uuta meigkat sepeti yag ditujukka dalam Tabel 5.. Uji validitas megguaka laju hazad kosta utuk tasisto ii. Tabel 5. Waktu ataa Keusaka dai Tasisto Times betwee failues i hous (t i ) 00 9,000 6,000 36,000 48, ,000 9,000 39,000 50,000,000 0,000 3,000 4,000 54,000 6,000 4,000 34,000 43,000 60,000 Kaea semua tasisto usak selama pegujia, waktu keusaka dapat diasumsika beasal dai sampel 0 tasisto, da setiap t i adalah ilai vaiabel adom, X, waktu

3 sampai tejadi keusaka: 0 l t i = 93,8 0, T = t i = B 0 = l ,8 = 0,065 Nilai-ilai kitis utuk uji dua sisi dega α = 0,0 adalah χ 0,95,9 = 0,7 da χ 0,05,9 = 30,44. Jadi, B 0 tidak meolak hipotesis yaki waktu keusaka dapat dimodelka dega distibusi Ekspoesial. Cotoh 5.3: (Teseso tipe ) Dalam uji yag seupa dega cotoh sebelumya, dilakuka uji keusaka dipecepat (suhu 00 o C da,0 volt) tehadap 0 tasisto. Uji dihetika pada saat tejadi keusaka kesepuluh. Data waktu ataa keusaka (dalam jam) dai 0 tasisto yag usak sebagai beikut 600, 700, 000, 000, 500, 800, 3000, 300, 3300, Tetuka apakah data keusaka tsb megikuti distibusi Ekspoesial. B 0 = 0 l t i = 75,554, l T = t i = ,554 Nilai-ilai kitis utuk uji dua sisi dega α = 0,0 adalah χ 0,95,9 = 3,35 da χ 0,05,9 = 6,99. =,834. Jadi B 0 meolak hipotesis bahwa waktu keusaka dapat dimodelka dega distibusi ekspoesial. Namu, pada saat tigkat sigifikasi 98 pese, ilai-ilai kitis uji dua sisi mejadi χ 0,99,9 =,088 da χ 0,0,9 =,666. Uji tidak meolak hipotesis bahwa waktu keusaka dapat dimodelka dega distibusi Ekspoesial. Pegujia utuk Waktu Keusaka Sigkat Secaa Abomal Waktu keusaka sigkat (Shot failue times) dapat tejadi kaea cacat maufaktu sepeti kasus keusaka aeh. Waktu keusaka tidak bea-bea mewakili waktu keusaka populasi. Oleh kaeaya, petig utuk meetuka apakah waktu

4 keusaka sigkat secaa abomal sebelum melakuka kesesuaia data utuk distibusi Ekspoesial. Jika waktu keusaka sigkat secaa abomal, data tsb haus dibuag da tidak dipetimbagka dalam meetuka paamete distibusi waktu keusaka. Ambil (t, t,...,t ) suatu baisa vaiabel adom idepede da idetik tedistibusi Ekspoesial yag mewakili waktu ataa keusaka utuk keusaka yag petama. Kemudia kuatitas t i / θ adalah bedistibusi Khi Kuadat dega dua deajat kebebasa, di maa θ adalah ata-ata dai distibusi Ekspoesial. Jika t adalah waktu utuk keusaka petama yag megikuti distibusi Ekspoesial dega mea = θ, maka f(t) = θ e t/θ Vaiabel acak y= t/θ bedistibusi χ dega dua deajat bebas, dega g y = y e y 0 Jumlah dai dua atau lebih vaiabel adom idepede bedistibusi χ adalah vaiabel bau yag megikuti χ dega deajat kebebasa sama dega jumlah deajat kebebasa dai vaiabel-vaiabel adom idividu (Kapu da Lambeso,977). Maka θ i= t i adalah χ dega deajat kebebasa. Jadi F = θ θ t / t i / Ii beati bahwa distibusi F dapat dibetuk sebagai F, = t i= t i dimaa t, waktu keusaka sigkat, megikuti distibusi F dega deajat kebebasa da -. Jika t kecil, maka asio F mejadi sagat kecil yaitu, Ketidaksamaa ii ekuivale dega F α,, > t F α,, < i= t i t i i= t Catata bahwa data keusaka haus diuutka sesuai dega pegatua waktu keusaka meigkat. Dega kata lai, waktu keusaka tesigkat tedafta petama, diikuti oleh waktu keusaka tesigkat kedua, da seteusya.

5 Cotoh 5.4: Padag data keusaka yag mewakili siklus keusaka pada 0 bilah tubi. Pegujia dilakuka dega mempelakuka tubi ke beba dipecepat, meggatiya dega tubi bau pada keusaka da mecatat waktu keusaka. Beikut adalah data keusaka sidu tubi: 0, 300, 680, 990, 00,, 9, 5, 90, 58, 689, 89, 999, 3565, 3873, 456, 4368, 4657, 4933, 583. Apakah waktu keusaka petama meupaka waktu keusaka sigkat secaa abomal? Total waktu keusaka (kecuali yag petama) adalah F itug = = 5,69. i= t i = da t = 0. Nilai kitis F pada keyakia 95 pese adalah F 0,05,38, = 9,47. Jadi keusaka petama buka meupaka epesetasi dai sisa data. Dega kata lai, hipotesis bahwa waktu keusaka petama tidak meupaka waktu keusaka sigkat secaa abomal haus ditolak. Pegujia utuk Waktu Keusaka Lama secaa Abomal Megikuti posedu di atas, waktu keusaka t ab dipadag sebagai waktu keusaka lama secaa abomal jika F α,, < ( )t ab i ab t i Jika t adalah waktu keusaka tebesa, maka pesamaa di atas dapat ditulis Cotoh 5.5: F α,, < ( )t t i Ujilah apakah waktu keusaka teakhi adalah lama secaa abomal pada tigkat sigifikasi 5 pese, utuk data waktu keusaka beikut: 30000, 34500, 37450, 39950, 43760, 46585, 49970, 54430, 57600, 59990, 6300, 66600, 70000, 730, 75690, 77990, 80330, 84450, 88960, Utuk memeiksa apakah waktu keusaka dai uit waktu adalah lama secaa abomal, maka ditetuka

6 i= t i = da F itug = =,667. Kaea F itug < F 0.05,,38 = 3,5, maka waktu keusaka teakhi (99550) adalah tidak lama secaa abomal. Misalka uit aka dilakuka pegujia da waktu keusaka uit secaa teliti dicatat. Sebut, t, t,..., t. Kaea semua uit telah usak da tidak ada yag teseso, maka estimasi maksimum likelihood (MLE) dai λ adalah λ = estimato maksimum likelihood dai laju keusaka. t i, dimaa λ adalah Rata-ata μ dai distibusi ekspoesial adalah / λ da MLE dai μ adalah µ = λ = t i = t. µ disebut sebagai estimato maksimum likelihood dai ata-ata hidup. Cotoh 5.6: Aggap bahwa data dalam Cotoh 5. meupaka waktu keusaka uit yag diuji. Tetuka ata-ata hidup tasisto dai populasi ii. t = = 8380 Hal ii dapat meujukka bahwa µ/µ memiliki distibusi Khi-kuadat dega deajat kebebasa. Kaea λ = /µ da λ = /µ, maka selag kepecayaa 00(-α) pese utuk λ (dega asumsi hidup miimum ol) yaitu λ χ α/, < λ < λ χ α/, di maa χ α, adalah titik pesetase 00α dai distibusi Khi-kuadat dega deajat kebebasa yaitu, P χ > χ α, = α. Selag kepecayaa dai ata-ata hidup sesuai adalah µ < μ < χ α /, µ χ. α /, Jika besa ( 5), pekiaa selag utuk λ dega pedekata λ oleh distibusi omal yag mempuyai ata-ata λ da vaias λ /. Dega demikia dipeoleh λ λz α/ < λ < λ + λz α/

7 dimaa Z α/ adalah titik 00 (α /) %, P Z > Z α/ = α/ dai distibusi omal stada. Cotoh 5.7: Tetuka selag kepecayaa dua sisi 95% utuk ata-ata hidup tasisto pada cotoh 5.6. μ = 8380 jam, pada tigkat kepecayaa 95%, χ 0,975,40 = 4,43 ; χ 0,05,40 = 59,345, batas μ: ,345 Cotoh 5.8: < µ < ,43 atau 98 < µ < jam. Seoag isiyu mekaik melakuka uji kelelaha utuk meetuka haapa hidup dai batag yag tebuat dai jeis baja khusus dega mempelakuka 5 baha pecobaa ke beba aksial yag meyebabka tegaga 9000 po pe ici pesegi. Bayak siklus dicatat pada waktu keusaka dai setiap baha pecobaa. Aggap bahwa uji tsb dijalaka pada 0 siklus pe meit, tetuka eliabilitas dai batag yag tebuat dai baja ii pada 0 jam. Hasil uji tesebut (bayak siklus keusaka) sebagai beikut: 00, 80, 340, 460, 590, 70, 850, 990, 00, 40, 950, 460, 590, 350, 4560, 5570, 6590, 7600, 8630, 9650, 0660, 670, 680, 3685, Petama-tama dilakuka pemeiksaa apakah data keusaka dapat diwakili oleh distibusi ekspoesial, dega megguaka B 5. Selajutya dilakuka peetua siklus ataa keusaka dai data sebagai beikut: Tabel 5.3 Jumlah Siklus Keusaka da Ata Keusaka No. Batag Siklus Keusaka Siklus Ataa Keusaka No. Batag Siklus Keusaka Siklus Ataa Keusaka

8 5 T = CBF i = 4690 B 5 = 5 l da l CBF i = 49, , = 7,370 Nilai-ilai kitis utuk uji dua sisi dega α = 0,0 adalah χ 0,95,4 = 3,848 da χ 0,05,4 = 36,48. Oleh kaea itu statistik B 5 tidak betetaga dega hipotesis bahwa waktu keusaka dapat dimodelka dega distibusi Ekspoesial. Reliabilitas batag pada 0 jam adalah R(t = 0 jam) = e λt i, di maa Data Teseso Tipe λ adalah kegagala pe siklus. R t = 0 jam = e = 0, Aggap bahwa uit diambil utuk diuji da waktu keusaka t i dai uit yag usak dicatat da diuutka dalam uuta aik. Misal T waktu peyesoa dai uji. Dega demikia, t t t 3 t t + + = = t = T di maa t + i adalah waktu peyesoa dai uit teseso i. Dega megguaka metode MLE utuk λ dipeoleh λ = + t i t i Da ata-ata hidup uit dapat dipekiaka sebagai μ = λ = t i t i + Statistik λ/λ memiliki diatibusi Khi-kuadat dega deajat kebebasa. Mea da vaias dai λ betuut-tuut adalah λ/( )da λ /( ), (Lee, 99). Selag kepecayaa 00(-α)% utuk λ adalah λχ α/, Selag kepecayaa utuk ata-ata hidup, μ, adalah < λ < λχ α/, μ < μ < μ χ α/, χ α/, Jika besa ( 5), distibusi λ dapat didekati dega distibusi omal dega mea λ da vaias λ /( ).

9 Selag Kepecayaa 00(-α)% adalah λ λzα < λ < λ + λzα. Cotoh 5.9: Seoag poduse ujug cutte mempekealka mateial cutte keamik yag bau. Utuk megestimasi haapa hidup dai sebuah cutte, poduse meempatka 0 uit yag diuji teus meeus da dipatau pemakaia alat tsb. Suatu keusaka cutte tejadi ketika pemakaia melebihi suatu ilai yag telah ditetuka. Kaea ketebatasa aggaa, poduse memutuska utuk mejalaka uji selama meit. Waktu sampai tejadi keusaka cutte dicatat, yaki sebagai beikut: 3000, 7000, 000, 8000, 0000, Tetuka ata-ata hidup dai sebuah cutte yag tebuat dai baha ii. Tetuka selag kepecayaa 90% utuk haapa hidup? Tetuka pula eliabilitas pada meit? Hasil pemeiksaa data waktu ataa keusaka (dai Tabel 5.4) dipeoleh No. Batag T = 6 6 TBF i = ; l TBF i = 50,33 da B 6 =,973. Tabel 5.4 Waktu Keusaka da Ataa Keusaka Cuttes Waktu Waktu Ataa No. Waktu Keusaka Keusaka Batag Keusaka Waktu Ataa Keusaka Statistik Khi-kuadat adalah χ 0,95,5 =,45 da χ 0,05,5 =,070. Jadi, data megikuti distibusi Ekspoesial. Estimasi μ dipeoleh: μ = = meit. da selag kepecayaa 90% utuk μ adalah ,307 < μ < ,940 Peluag bahwa cutte aka betaha selama meit adalah atau 57 < μ < 6750 R = e λt = e = 0,09. di maa R(t) adalah estimasi eliabilitas pada waktu t.

10 Data dega Peyesoa Tipe Misalka uit ditempatka utuk diuji pada waktu ol da waktu keusakaya dicatat dalam uuta aik. Misalka bahwa tes dihetika ketika dai uit usak. Waktu keusaka dai uit, t t t 3 t t + + = = t, di maa t i adalah waktu keusaka uit i da t i + adalah waktu peyesoa dai uit teseso i yag maa meupaka waktu peyesoa dai uji. MLE dai λ da μ utuk peyesoa tipe meghasilka pesamaa yag sama sepeti peyesoa tipe. Pemeiksa situasi peyesoa secaa adom ketika uit mejalai suatu uji eliabilitas pada waktu ol. Uji dihetika pada waktu T. Misalka adalah bayakya uit yag usak sebelum T da - adalah bayakya uit yag betaha sampai waktu uji T atau pealata uji usak selama T sedagka uit sedag beopeasi. Data tsb dikumpulka da diamati sebagai beikut: t, t, t 3,, t, t +, t +,, t +. Tada + meujukka peyesoa. Waktu keusaka da waktu seso disusu dalam uuta t t t, t + t +,, t +. Megguaka metode MLE dipeoleh λ = +, t i t i Hasilya sama sepeti pada peyesoa tipe. Ketika semua pegamata teseso, maka + estimasi utuk μ adalah μ = t i. Dalam paktek ilai estimasi ii kuag baik, uji eliabilitas yag diacag diaggap buuk. Metode utuk meagai semua data yag teseso aka dibahas dalam bab beikutya. Ketika bayakya uit yag diuji besa ( 5), distibusi dai λ adalah sekita omal dega mea λ da vaias (Lee, 980): Va λ = λ e λt i di maa T i adalah waktu bahwa kompoe ke i beada dalam pegamata (waktu sampai keusaka atau akhi test). Jika T i tidak diketahui kaea adaya peghetia abomal dai pegujia, maka vaias dapat dipekiaka sebagai Va(λ) λ, di maa adalah bayakya kompoe usak sebelum beakhiya pegujia. Selag kepecayaa 00(-α)% adalah λ Z α/ Va λ < λ < λ + Z α/ Va λ da distibusi μ dipekiaka dega distibusi omal dega ata-ata μ da estimasi vaias dipekiaka dai Va( μ ) = μ e λt i. Jika T i diketahui, maka Va μ = μ. Batas-batas μ adalah μ Z α/ Va μ < μ < μ + Z α/ Va μ.,

11 Distibusi Rayleigh Distibusi Rayleigh meujukka suatu fugsi hazad meigkat secaa liea tehadap waktu. Distibusi Rayleigh begua dalam pemodela amplitudo siyal dai salua komuikasi memuda secaa cepat. Misalka peagkat dikeai uji hidup dipecepat dega waktu keusaka t, t,..., t. maka estimasi maksimum likelihood (MLE) paamete da vaiasi distibusi Raylaigh utuk data legkap adalah: Cotoh 5.0: λ = t i da Va t = λ π 4. Suatu poduse seso kecepata otomotif melakuka uji eliabilitas tehadap 0 seso yag mesimulasika kodisi ligkuga (suhu da kecepata) di maa seso aka beopeasi secaa omal. Sebuah seso diklasifikasika usak ketika output beada di lua toleasi 5 pese. Jumlah mil diakumulasi sebelum keusaka dai seso adalah 0000, 30000, 50000, 55000, 59000, 63000, 66000, 68000, 69000, Asumsika bahwa mil sampai tejadi keusaka megikuti distibusi Rayleigh. Tetuka paamete distibusi, ata-ata hidup suatu seso, da vaias dai hidupya. Estimasi paamete distibusi Rayleigh adalah Rata-ata hidup adalah λ = t i = 0, = 8, ata ata hidup = Da vaias hidup adalah π λ = π = mil. 8,399 0 Stada deviasi adalah Vaiasi = λ π 4 = 5, Misalka dilakuka uji tehadap peagkat da waktu keusaka uit yag usak dicatat dalam uuta aik sepeti t t... t. Sedagka - uit sisaya teseso kaea belum usak sampai pegujia beakhi. Diasumsika bahwa peyesoa adalah haya tipe atau tipe da waktu teseso adalah t + = t + = t +.

12 Estimasi maksimum likelihood (MLE) dai paamete λ (utuk data teseso) adalah Cotoh 5.: λ = + t i + t i Sebagai alteatif utuk pegujia tabaka mobil katog udaa, seoag peekayasa tes megembagka sistem tes seso yag megguaka pegocok getaa mekais utuk memuta ulag tabaka yag diuku secaa tepat. Seso dikeaka utuk kodisi yag sama diuku selama tes tabaka. Sepuluh seso diuji selama 50 jam da waktu keusaka dicatat sebagai beikut: 0, 0, 30, 35, 39, 4, 44, 50 +, 50 +, Tetuka paamete Rayleigh, ata-ata hidup suatu seso, da stada deviasi dai hidupya. Estimasi paamete distibusi Rayleigh adalah λ = = 9, Rata ata hidup = π = 4,49 jam. 9, Stada deviasi = λ π 4 =,70 jam. Estimasi Best Liie Ubiased (BLUE) utuk Paamete Rayleigh utuk Data dega da tapa Pegamata Teseso MLE dai paamete Rayleigh adalah bias ketika bayakya pegamata kecil. Bias meigkat selama bayakya pegamata meuu. Jika pdf dai waktu keusaka dapat diliieisasi, bias dalam megestimasi paamete distibusi dapat meuu ketika metode kuadat tekecil diguaka dalam megestimasi paamete. t () t Misalka waktu keusaka utuk alat yag dikeai uji eliabilitas adalah t () di maa t (i) adalah statistik uuta ke i. Diasumsika bahwa waktu keusaka alat tesebut megikuti distibusi Rayleigh dega f t = t θ θ t θ e θ f t = 0, utuk t, θ da θ yag lai, t > θ 0, θ > 0 da dimaa θ adalah paamete lokasi (theshold) da θ adalah paamete skala. BLUE θ dai θ ketika θ diketahui dapat dipekiaka dega θ = b i t (i) θ K 3 K

13 Jika paamete lokasi θ = 0, pdf mejadi f t = θ te t /θ. Da estimasi θ mejadi θ = b i t i. Koefisie b i dibeika pada Lampia B utuk,..., da sampel tak teseso, da utuk sampel teseso dega pegamata teseso sebesa, di maa = 0,,,..., (-) da adalah ukua sampel utuk =5()5(5)45. Vaias dai θ dalam tem θ / da K 3 /K dibeika dalam Lampia C. Cotoh 5.: Sebuah pembuata bioseso meghasilka seagkaia seso elektokimia yag kecil cukup sesuai dalam pembuluh daah. Peagkat ii dimasukka ke dalam atei dalam katete yag memiliki diamete dalam 650 miko. Alat ii meguku tigkat oksige, kabo dioksida, da ph dalam daah. Poduse melakuka tes fugsioal tehadap 0 seso utuk da megamati waktu keusaka (dalam jam) sebagai beikut: 0,9737 3,36 8,0833,886 4,0578 9,4369 4,95,0950 5,076 8,957 3,9 4,88,568 30,0000 3,35 8,037 9,3706 3,4695 7,964 4,4470 (Catata: Data ii sebeaya dihasilka secaa acak dai distibusi Rayleigh dega θ = 0 da θ = 0,5). Tetuka estimasi paamete Rayleigh da vaiasiya! Utuk estimasi paamete skala θ, diguaka koefisie b i dalam Lampia B da K 3 /K dalam Lampia C utuk = 0. θ = 0, , ,074 30, ,63995 = 0,7303 = 0,73. Megguaka Lampia C utuk = 0 da = 0, di maa vaiasi dibeika dalam tem θ, dipeoleh: Va(θ ) = 0,060 θ = 0,060 (0,73) =,4507 =,45 Stada deviasi dai θ adalah =,45 =,0. Cotoh 5.3: Sebuah pabik seso kecepata otomotif melakuka uji eliabilitas tehadap 0 seso utuk yag mesimulasika kodisi ligkuga (suhu da kecepata) di maa seso aka beopeasi secaa omal. Sebuah seso diklasifikasika usak ketika output beada di lua toleasi 5 pese. Jumlah akumulasi mil sebelum keusaka seso adalah 0000, 30000, 50000, 55000, 59000, 63000, 66000, 68000, 69000, Asumsika bahwa mil sampai tejadi keusaka megikuti distibusi Rayleigh dega paamete lokasi=0. Cai pekiaa utuk paamete θ, ata-ata hidup seso, da stada deviasi dai pekiaa θ.

14 Megguaka Lampia B utuk = 0 da = 0, dipeoleh θ = , , , ,6570 = 0506,8 = 0506 jam. Rata ata hidup = θ π = 3674 mil. Megguaka Lampia C, utuk = 0 da = 0, di maa vaiasi yag dibeika dalam tem θ didapatka Va θ = 0,0537θ = 0, =, Stada deviasi utuk estimate θ adalah 6733 jam. Cotoh 5.4: Padag data Cotoh 5.3, asumsika bahwa ilai eam tebesa dai waktu keusaka teseso. Mil yag teakumulasi sebelum keusaka seso adalah 0000, 30000, 50000, da Pekiaka paamete da deviasi stadaya. Megguaka Lampia B utuk = 0 da = 6 (di maa dalam Lampia ii megacu pada jumlah pegamata teseso dai kaa) kita meemuka θ = , , , , (,984) = 70304,5 Megguaka Lampia C utuk = 0 da = 6, dipeoleh Va θ = 0,06434θ = 0,06434 (70304) =, Stada deviasi dai pekiaa θ adalah 4398 mil. Estimasi Selag Kepecayaa utuk θ utuk Pegamata Buka Teseso. Jikat () t () adalah uuta statistik dai Rayleigh distibusi f t = θ te t /θ. Kemudia y = t () /, y () = t () /,, y () = t () /adalah uuta statistik dai distibusi ekspoesial yag bebetuk f y = θ e y/θ. Juga, /θ y (i) = /θ t (i) megikuti distibusi χ dega deajat kebebasa (). Jadi, selag kapecayaa 00 (-α)% utuk θ da θ betuut-tuut adalah t χ (i) α/ θ χ α/ t (i) da. t (i) θ χ α/. t (i) χ α/ Di maa χ α/ da χ α/ dega deajat kebebasa. betuut-tuut titik bawah da titik atas α/ dai distibusi χ

15 Estimasi Selag Kepecayaa utuk θ utuk Pegamata Teseso. Misalka ukua sampel dega pegamata teseso tebesa. Selag kepecayaa 00(-α)% utuk θ da θ, dega megguaka (-) pegamata tak teseso adalah. t (i) χ α/ θ χ α/. t (i) da. t (i) θ χ α/. t (i) χ α/ di maa χ α/ da χ α/ betuut-tuut titik bawah da titik atas α/ dai distibusi χ dega deajat kebebasa (-). Cotoh 5.5: Tetuka 95% selag kepecayaa utuk BLUE dai θ utuk data Cotoh 5.3. Kaea data tak teseso maka, 0 t i = 406, Dai tabel pesetil distibusi χ utuk deajat kebebasa 0, dipeoleh χ 0,05 = 34,7 da χ 0,95 = 9,59. Jadi selag kepecayaa 95% utuk θ adalah 34,7 406,6 08 θ 406,6 08 9,59 Cotoh 5.6: 888,7 θ 58399,8 Utuk data cotoh 5.4 di maa eam ilai tebesa dai waktu keusaka teseso. Tetuka selag kepecayaa 95% utuk θ. Kaea data teseso maka 4 t i = 755, Dai tabel pesetil distibusi χ utuk deajat kebebasa 8, dipeoleh χ 0,05 = 7,53 da χ 0,95 =,8. Jadi selag kepecayaa 95% utuk θ adalah 7,53 755,5 08 θ 755,5 08, ,86 θ 8630,3. Distibusi Weibull Pdf dai distibusi Weibull adalah f t = γ θ tγ exp tγ θ, t 0, γ, θ > 0, di maa γ da θ betuut-tuut adalah paamete betuk da skala. Meuut Cohe (965),

16 Hate da Mooe (965) da Lee (980,99), estimasi paamete distibusi Weibull, θ da γ, dapat dipeoleh dega megguaka posedu MLE. Data Keusaka Tapa Peyesoa Waktu keusaka yag tepat dai uit yag diuji dicatat sebagai t, t,..., t. Diasumsika bahwa data keusaka megikuti distibusi Weibull. MLE dai γ da θ betuut-tuut: D γ = γ t i t γ i l t i γ l t i da θ = γ dapat diselesaika secaa umeik dega megguaka metode Newto-Raphso atau dega tial da eo. Setelah γ dipekiaka, maka θ dapat diestimasi. Selag kepecayaa 00(-α)% utuk γ da θ adalah t i γ γ Zα Va γ < γ < γ + Zα Va γ θ Zα Va θ < θ < θ + Zα Va θ di maa utuk besa, Va (γ) da Va (θ) betuut-tuut adalah γ S 0 Va γ = S 0 + γ S 0 S γ S da Va θ = S 0 S 0 γ + S Va γ, dega S 0 = γ γ t i, S = t i Cov(γ, θ) S Va(γ) γ (l t i ), S = t i (l t i ). Data Keusaka dega Peyesoa Diasumsika bahwa uit yag diuji dikeaka seso tipe atau tipe. Data keusaka dapat diwakili oleh t t t 3 t = t + + = = t +. Misalka data keusaka megikuti distibusi Weibull, MLE dai γ da θ betuut-tuut: D γ = t γ i l t i + t γ l t t γ γ i + t l t i γ = 0 ; θ = t i γ + t γ γ dapat diselesaika secaa umeik dega megguaka metode Newto-Raphso atau dega tial da eo. Setelah γ dipekiaka, maka θ dapat diestimasi. Pedugaa Tak Bias dai Paamete Weibull Diasumsika bahwa waktu keusaka utuk sekelompok kompoe yag diuji megikuti distibusi Weibull. Megguaka MLE, γ da θ adalah solusi dai pesamaa

17 t γ i l t i + t γ l t t γ γ i + t γ = l t i da θ = t i γ + t γ γ dapat diselesaika secaa umeik dega megguaka metode Newto-Raphso atau dega tial da eo. Setelah γ dipekiaka, maka θ dapat diestimasi. Kedua pesamaa dapat diguaka baik utuk data teseso atau legkap. Dalam kasus data legkap, = da semua tem yag meliputi ( - ) dielimiasi. Vaias dai Estimasi MLE Kaea MLE tidak dapat disajika dalam ekspesi betuk tetutup, meetuka sifat-sifat estimato sepeti bias, distibusi, da sebagaiya tidak dapat secaa lagsug. Namu, Bai da Egelhadt (99) megatasi sifat-sifat ii melalui simulasi Mote Calo. Beikut posedu utuk peyusua matiks ifomasi, vaiasi asimptotik da covaiaces dai MLE utuk sampel legkap atau teseso dipeoleh sebagai Va(θ ) Cov (θ, γ) Cov (θ, γ) Va(γ) = c θ /γ c θ / c θ / c γ / di maa c, c da c tegatug pada p = / da ditujukka dalam Tabel 5.5. Tabel 5.5. Nilai asimptotik dai koefisie yag diguaka utuk meghitug Vaiasi da Kovaiasi MLE utuk sampel Legkap da Teseso p c c c p c c c,0, , ,570 0,5,5036,768-0, ,9,5684 0, ,7643 0,4 3,9330,4740 -, ,8,567 0,989 0, ,3 7,9047 3, , ,7,44758,447-0,4485 0, 6, , , ,6,8959,3778-0, , 60,570 9, ,8707 γ Pedugaa Tak Bias γ. MLE dapat diguaka utuk estimasi titik γ, tetapi cukup bias utuk kecil, teutama ketika tejadi peyesoa hebat. Bai da Egelhadt (99) meyaaka pegguaa fakto tak bias G, utuk estimasi tak bias γ yaki γ = G γ MLE. G dapat dihitug dega megguaka pedekata: G =,0,346 0,8334. Utuk sampel legkap, hasil asimptotis Va(γ) ketika adalah Va γ = c γ = 0,6079γ. Namu, jika <00, daipada megguaka c = 0,6079, pekiaa Va(γ) lebih akuat dipeoleh dega megguaka C. C dapat dihitug dega megguaka C = 0,67,8 78,5 3 da Va(γ) = C γ.

18 Selag Kepecayaa utuk γ Hasil asimptotik yag dituuka oleh Bai da Egelhadt (99) meujukka bahwa utuk γ peyesoa hebat kia-kia megikuti suatu distibusi Khi-kuadat dega df (deajat kebebasa) ( - ), da megikuti distibusi Khi-kuadat dega df ( -) ketika sampel legkap. Aga supaya pehituga tasisi ii akuat, Bai da Egelhadt (99) meyaaka pedekata beikut: df = c, di maa c = / + p pc. Selag kofidesi 00(-α)% utuk γ dapat dihitug dega megguaka γ L = γ χ α,df c +p da γ U = γ χ α,df c +p Supescipts L da U masig-masig meujukka batas bawah da atas. Ifeesi utuk θ Bias dai θ adalah fugsi dai θ da γ da tidak mudah diilai. Utugya, pada umumya, θ tidak sagat bias da pegguaa suatu γ yag tidak bias membeika suatu estimasi yag bealasa dai θ. Selag kepecayaa utuk θ dapat dibagu dega megguaka distibusi U = γ l θ /θ. Dapat ditujukka bahwa 00( - α)% selag kepecayaa utuk θ adalah θ L = θ exp U α/ / γ da θ U = θ exp U α/ / γ. Bai da Egelhadt (99) membeika tabel dega titik-titik pesetase U α sedemikia sehigga P(U U α ) = α. Sebagai alteatif U 0,05 da U 0,95 dapat dihitug dega megguaka pedekata beikut U 0,05 =,75 3,868 Distibusi Logomal 44,3 exp ; U 0,95 =,7 + 3,63 + 8,5 exp Ketika waktu keusaka diasumsika megikuti distibusi logomal, pdf dibeika oleh: f t = σt π exp l t μ σ t 0 Misal x = l t, di maa x bedistibusi omal dega ata-ata μ da stada deviasi σ yaitu, E x = E l t = μ da Va x = Va l t = σ. Ketika t = e, maka E t = exp μ + σ Va t = e μ +σ e σ., E t = E e x = exp μ + σ da

19 Data Keusaka Tapa Peyesoa. Ketika T waktu keusaka megikuti distibusi logomal dega pdf sepeti di atas, estimasi paamete μ da σ dapat dipeoleh secaa lagsug dai pesamaa fugsi pdf. Namu, salah satu caa palig sedehaa utuk medapatka μ da σ dega sifat yag optimal adalah dega mempetimbagka distibusi dai Y = l t. Diasumsika bahwa waktu keusaka t, t,, t adalah waktu keusaka yag tepat dai uit yag dikeaka tes. MLE dai μ da σ dai Y adalah μ = l t i da σ = l t i l t i Estimasi μ tak bias tapi estimasi σ bias. Kaea itu utuk memastika bahwa σ tak bias, diguaka s = σ /, di maa s adalah agam sampel. Jelas, s σ ketika besa. Estimasi mea T adalah exp μ + σ / da agam adalah e σ e μ +σ. Selag kepecayaa 00(- α)% utuk μ adalah μ Z α/ σ < μ < μ + Z α/ Jika σ tidak diketahui atau ketika ukua sampel elatif kecil ( <5), maka σ digati dega s da distibusi Z digati distibusi studet t. Selag kepecayaa mejadi μ t α/, s < μ < μ + t s α/,. Demikia pula, selag kepecayaa 00(-α)% utuk σ [σ /σ memiliki distibusi chikuadat dega deajat kebebasa (-)] adalah σ < σ < σ χ α, χ. α, Selag kepecayaa 00(-α)% utuk T (ata-ata waktu keusaka populasi) dapat ditetuka dega: exp τ Z α σ τ < T < exp τ + Z α σ τ, di maa utuk sampel besa, τ dipekiaka dega distibusi omal dega agam σ τ dega τ = μ + ( ) σ meupaka estimato utuk τ = μ + σ da μ da σ betuuttuut adalah MLE dai μ da σ seta σ τ = Va μ + Va σ Cotoh 5.7: σ. 4 = σ + σ 4 4( ) 3. Seoag poduse melakuka tes bu-i pada 8 video display temials (VDT).Waktu keusaka (dalam jam) dicatat sebagai beikut: 0, 8, 35, 39, 4, 44, 46, 47. Misal waktu keusaka megikuti distibusi logomal. Tetuka ata-ata waktu keusaka da deviasi stadaya. Bagaimaa selag kepecayaa 95% utuk μ da σ?

20 Utuk meghitug paamete distibusi dibuat Tabel 5.6. Tabel 5.6 Waktu Keusaka VDT t i Jumlah l t i,995 3,33 3,555 3,663 3,737 3,784 3,88 3,850 8,747 (l t i ) 8,974,03,640 3,4 3,970 4,30 4,658 4,83 03,9 σ = μ = l t i l t i = 8,747 8 l t i Waktu keusaka ata-ata adalah exp μ + σ = 8 = 3,593 da 03,9 8,747 8 = 0,0766. = exp 3,633 = 37,76 jam. Stada deviasi dai waktu keusaka σ = exp σ exp μ + σ /, atau σ = exp 0,0766 exp 3, ,0766 / = 0,654 jam. Kaea kuag dai 5, σ diestimasi dega s = 8σ 8 = 0,0876. Sehigga selag kepecayaa 95% utuk μ adalah μ t α/, s < μ < μ + t α/, 3,593,365 8 < μ < 3,593 +,365 8 atau,893 < μ < 4,93. s atau Selag kepecayaa 95% utuk σ adalah σ < σ < χ α /,( ) σ atau χ α /,( ) 8 0,0766 < 6,03 σ < 8 0,0766,689 atau 0,038 < σ < 0,368. Estimasi utuk τ da σ τ dipeoleh melalui τ = μ + ( ) σ τ = σ σ + σ 4 = 3, ,0766 4( ) 3 = 0, = 3,665 da + 8 0,0766 4(8 ) 3 = 0,065. Selag kepecayaa 95% utuk ata-ata waktu keusaka adalah e (3,665,96 0,065 ) < T < e (3,665+,96 0,065 ). Data Keusaka dega Peyesoa. Padag uit yag diuji di maa waktu keusaka dai uit adalah t t t. Tes ii teseso setelah tejadiya keusaka ke atau pada waktu T c. (diasumsika keusaka tejadi dalam T c ). Jadi, peyesoa tipe atau tipe. Sepeti yag dibahas sebelumya, diguaka fakta bahwa Y = log e T memiliki distibusi omal dega mea μ

21 da vaiasi σ. Dega megguaka metode Saha da Geebeg (956, 957, 958, 96) dilakuka estimasi μ da σ dai data tasfomasi y i = l t i, yaitu kombiasi liea dai logaitma dai waktu keusaka yag pasti meupaka estimasi tebaik, μ = a i l t i da σ = b i l t i, di maa a i da b i utuk 0 sebaik vaiasi da kovaiasi dai μ da σ. Jika ukua sampel >0, MLE utuk distibusi omal dapat diguaka dalam megestimasi paamete logomal (dega peyesoa) sebagai beikut: y = l t i da s = l t i l t i. Da MLE dai μ da σ adalah μ = y λ(y l t ) da σ = s + λ y l t. Koefisie λ adalah suatu fugsi dai α da β (Cohe, 96), di maa α = s da β = ( )/ y l t Posetase uit diseso diyataka dega 00β. λ dapat dihitug dega megguaka pedekata: λ =.3α 3 l α β 0.50αβ α α. Pedekata dai λ ii mempuyai kesalaha maksimal 5%. Vaiasi asimptotik dai μ da σ dapat dipekiaka dega Va μ = m σ da Va σ = m σ di maa m da m dapat dihitug dega megguaka pedekata beikut : Utuk y < 0, m = + 0,5e,5y da m = 0,5 + 0,74e,6y. Utuk y > 0, m = 0,5 + e (,838y+0,354y ) 0,39y 0,676y, m = 0,4 + e (y+0,384y ) 0,0507y 0,735y, di maa y = c = (l t μ )/ σ. Cotoh 5.8: Sepuluh uit yag dikeai uji kelelaha. Tes dihetika ketika 7 uit usak da waktu keusaka meeka (dalam miggu) adalah 30, 37, 4, 45, 47, 48, 50. Misalka waktu keusaka megikuti distibusi logomal. Tetuka μ da σ! Dalam kasus ii, =0, = 7 da - = 3. Megguaka Lampia D, dipeoleh

22 μ = a i l t i = 0,04 l ,0636 l ,088 l 4 + 0,096 l 45 +0,089 l ,07 l ,5045 l 50 = 3,8447. σ = b i l t i = 0,35 l 30 0,758 l 37 0,058 l 4 0,050 l 45 0,0006 l ,0469 l ,607 l 50 = 0,409. Estimasi ata-ata waktu keusaka dipeoleh μ = exp μ + σ / = exp 3, ,409 Da estimasi stadat deviasi dipeoleh = 48, miggu. σ = e σ e μ +σ = e 0,409 e 3, ,409 σ = 0, ,60 =,76. Distibusi Gamma. Pdf dai distibusi Gamma yag memiliki dua paamete adalah tγ f t; θ, γ = θ γ Γ γ e di maa Γ x meujukka fugsi Gamma, γ adalah paamete betuk, da θ. Kasus khusus distibusi gamma adalah distibusi Khi kuadat yaitu ketika θ = da γ = v (di maa v bilaga bulat da bilaga deajat kebebasa dai distibusi Khi-kuadat). Juga distibusi ekspoesial, ketika γ =. Nilai sebesa Γ(x) dapat ditemuka di Lampia A. Data Keusaka Tapa Peyesoa Waktu keusaka yag pasti dai uit yag diuji dicatat sebagai t, t,..., t. Diasumsika bahwa waktu keusaka megikuti distibusi Gamma dua paamete sepeti di atas. Estimasi γ da θ, dapat megguaka metode mome atau MLE. MLE membeika hasil yag lebih akuat. MLE dai γ tidak bisa secaa lagsug dipeoleh, oleh kaea itu diselesaika secaa iteatif atau megguaka peaksia yag diusulka oleh Geewood da Duad (960), yaitu: γ = γ = di maa M = l t /t, t = 0, ,6488M 0,05447M M t θ ; 0 < M 0,577 8, ,0599M + 0,97754M M(7,797 +,968 M + M ; 0,577 < M 7, t i (=mea aitmatik), t = t / i (=mea geometik).

23 Pedekata ii aka meghasilka estimasi yag baik dai paamete yag dipeoleh dega metode MLE. Setelah γ didapat maka ilai θ diestimasi dega θ = t γ. Utuk kecil, pekiaa paamete megguaka metode MLE dipeoleh estimasi yag bias. Estimasi tak bias dai γ da θ dipeoleh megguaka ekspesi beikut: γ tak bias = γ ( 3) + 3 da θ tak bias = t γ tak bias / γ tak bias, yag betuut-tuut didasaka pada Bai da Egelhadt (99) da Lee (99). Cotoh 5.9: Seoag isiyu mekaik melakuka tes kelelaha dega mempelakuka 0 batag baja idetik dega tigkat stes secaa sigifika lebih tiggi dai batas daya taha baha batag. Bayakya siklus sampai tejadi keusaka dicatat sebagai 0000, 35000, 47000, 58000, 68000, 77000, 85000, 9000, 97000, Diasumsika bahwa siklus keusaka megikuti distibusi gamma. Bagaimaa paamete dai distibusi tesebut? Mula-mula ilai t, t da M dihitug: t = γ = 0 t i 0 0 = 6800, t = t i 8, ,0599M + 0,97754M M(7,797 +,968 M + M 0 = 649,, M = l t t = 0,0 (0, ,6488 0,0 0,0544 0,0 ) = 5,0588. Estimasi tak bias dai γ da θ adalah γ tak bias = 5, = 3,60 da θ 6800 tak bias = 3,60 3,6 0 Rata-ata hidup = θ tak bias x γ tak bias = siklus. Data Keusaka dega Peyesoa = 0,0 = Ketika ada pegamata yag teseso dalam data keusaka, estimasi paamete mejadi jauh lebih sulit. Wilk, Gaadesika, da Huyyet (96) da Bai da Egelhadt (99) membeika tabel utuk membatu dalam komputasi γ da θ. Atau, sebuah pedekata dapat dipeoleh dega megguaka algoitma beikut:. Hitug ata-ata aitmatik da geometik dai pegamata, dalam sampel teseso:

24 tc = t i da t c = t i. Hitug NR, S, da Q, yaitu NR =, S = t c t 3. Hitug γ tak bias sebagai fugsi dai NR, S, da Q Jika S < 0,4, guaka, Q = t c t c. γ tak bias =,06 Q + 0,5Q + S/NR 4 +,953 S /Q 0,0/NR 4 + 0,308Q/NR 4 + 0,49/ Q S. Ketika 0,4 < S < 0,80, guaka γ tak bias = 0,53Q /NR +,436 log Q + 0,7536 QS S,040/NR 0,60QS/NR +,489/ Q/NR /. Ketika S > 0,80, guaka γ tak bias =,5 +,448 Q S /NR,04 Q + S +0,53 log Q +,54QS 0,55 Q/NR /. Setelah γ dipekiaka, maka θ dapat dipekiaka dega megguaka ekspesi: t i + t / θ = γ tak bias / γ tak bias. Ekspesi utuk mempekiaka γ pada lagkah 3 membeika pekiaa yag baik ketika S 0,;, Q da NR 3,0. Keakuata estimasi tidak diveifikasi di lua batas-batas ii. Stadat eo adalah sekita 0,04. Utuk ilai kecil γ γ <, kesalaha pesetil maksimum dapat mejadi besa, sekita 0%. Utuk ilai besa γ γ >, kesalaha pesetil maksimum adalah kuag dai 5%. Cotoh 5.0: Tes dilakuka pada 0 kompoe. Selama tes, 7 dai kompoe usak da 3 kompoe betaha sampai peiode tes 4900 jam yag telah ditetuka semula. Waktu keusaka: 000, 3000, 4000, 4400, 4700, 4800, 4900, , , Cocokka suatu distibusi gamma pada titik-titik data da estimasi paameteya. Beapa ata-ata hidup kompoe dai populasi ii? Mula-mula hitug tc, t c, NR, S da Q: tc = 7 t i 7 = 389, t c = t i 7 7 = 345, NR = 0 7

25 S = t c t = = 0,784, Q = 0,905 = 0,5 Kaea 0,4 < S < 0,8 maka estimasi tak bias dai γ : γ tak bias = 0,53(0,5) +,436 log 0,5,48 +0,7536 0,5 0,784 0,784,040,48 0,60 0,5 0,784,48 + θ tak bias = 7,489 0,5/,48 =,58. t i /0 = 759.,85 0,9445 Rata-ata hidup kompoe populasi ii adalah γ tak bias x θ tak bias = 4538 jam. Vaiasi dai γ da θ. Utuk kasus sampel legkap, vaiasi dai γ da θ adalah fugsi dai γ sedii da (ukua sampel). Bai da Egalhadt (99) membeika tabel dega koefisie (sebut C γ da C θ ) yag memugkika estimasi vaiasi yag sesuai sebagai Va γ = C γγ da Va θ = C θθ Alteatif, koefisie dapat dihitug dega megguaka ekspesi pekiaa beikut: C γ =,076A 0,3697A + 0,0654A 3 + 5,463B 0,397B 7,74 B + 0,000683BA 4 C θ =, ,608, γ,894 tak bias di maa A = 8 /γ tak bias da B = / 6. Pesamaa C γ da C θ belaku utuk γ > 0, da > 8, dega kesalaha maksimum estimasi adalah sekita %. Utuk kasus sampel teseso, vaias γ da θ juga tegatug pada p =. Hasil asimptotik, p yag disediaka oleh Hate (969) meyataka C γ da C θ, sehigga Va γ da Va θ, aka selalu lebih besa bila ada peyesoa. Jadi, utuk sampel teseso, Va γ da Va θ dapat dihitug megguaka Va γ = C C γ γ. da Va θ = C C γ θ di maa C da C adalah koefisie yag lebih besa dai satu. Bedasaka hasil-hasil yag tebatas yag disediaka oleh Hate (969), Tabel 5.7 hasil yag ada meyagkut kasus asimptotik yaitu, kasus di maa. Hasil-hasil tesebut dapat juga diguaka utuk mempeoleh pekiaa Va γ da Va θ jika kecil.

26 Atau, C da C dapat dihitug dega megguaka beikut (pekiaa) ekspesi: C = + 0,94 p + 0,5744 ( p) ( p) + 0,0 γ p p tak bias C = +,848 p 6,736( p) + 4,49( p) 3 ( p) + 0,383 γ tak bias p Tabel 5.7. Koefisie C da C C C p γ = γ = γ = 3 γ = γ = γ = 3,00 0,75,93,343,370,69,600,573 0,50,806,944,07 3,337,9,799 0,5 3,37 3,59 3,843 0,069 7,696 7,040 Pesamaa belaku utuk 0,5 < γ < 5 da p > 0,5, dega kesalaha maksimum estimasi adalah sekita %. Selag Keyakia utuk γ. Utuk γ besa da sampel legkap, selag keyakia 00(-α)% dibeika oleh (Bai da Eglehat, 99): γ L = χα ( ) S da γ U = χ α ( ) S di maa S = l t /t. Bilaga deajat kebebasa (db) medekati (-) ketika γ medekati 0, da medekati ketika γ medekati. Dega kata lai, ilai-ilai kecil dai γ, dapat megguaka db = ( ). Jika tidak, db= haus diguaka. Utuk ilai γ yag kecil, db da peyebut dai ekspesi di atas haus dikoeksi. Koeksi ii dilakuka dega megikuti sebuah posedu iteatif. Sebagai cotoh, utuk meemuka γ L, dimulai dega γ L = γ tak bias da kemudia. Hitug c = c γ L, = φ γ L φ γ L φ γ L φ γ L da v = v γl, = φ γ L φ γ L c di maa φ x = + + 6x da φ x = + +,5x 0 < x < + 3x x <. Pebaui γ L megguaka 3. Kembali ke lagkah γ L = χ α/(v) cs (5.05) Pehituga ii teus dilakuka higga dipeoleh kovegesi. Sekaag, meggatika χ α/ dega χ α/ da megikuti posedu yag sama, γ U dapat diteapka.

27 Dalam kasus sampel teseso, posedu yag sama dapat diteapka tapi t da t masig-masig haus digatika oleh A, da G, di maa / A = t i + t da G = t i t Koeksi yag dibeika oleh Pes. (5.0) sampai (5.05) dipeluka kaea dapat ditujukka bahwa semetaa utuk besa γ, γs χ Tapi utuk γ kecil (yaitu, di maa γ 0), γs χ