BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN. Lata belakag Masalah Dalam pemasalaha pegelolaa da meeeme seigkali diumpai kegiata peamala, pedugaa, pekiaa, da laiya. Salah satu metode yag dapat diguaka utuk meyelesaika masalah tesebut adalah dega megguaka metode statistik. Metode statistika yag diguaka sagat begatug pada stuktu data atau bayakya vaiabel yag aka diamati. Salah satu metode yag dipakai utuk bayakya vaiabel lebih dai satu adalah aalisis egesi. Aalisis egesi adalah suatu metodologi statistika utuk mempediksi ilai dai satu atau lebih vaiabel espo (vaiabel depede) dai koleksi ilai vaiabel pedikto (vaiabel idepede). Aalisis ii uga dapat diguaka utuk mempediksi atau meamal pegauh dai vaiabel pedikto (vaiabel idepede) pada espo. Dalam aalisis egesi pu dipelaai bagaimaa vaiabel-vaiabel tesebut behubuga da diyataka dalam sebuah pesamaa matematik. Sayagya, istilah egesi, diambil dai udul pepe petama dai F. Galto yag tidak meuukka atau meggambaka petigya atau luasya cakupa aplikasi dai metodologi ii. Dalam aalisis egesi, ada dua eis vaiabel yaitu vaiabel bebas atau vaiabel pedikto (diotasika dega X) da vaiabel tak bebas atau vaiabel espo (diotasika dega ). Utuk melihat hubuga ataa vaiabel espo da seumlah vaiabel pedikto secaa simulta dapat diguaka aalisis egesi liie dega vaiabel espo diuku sekuagkuagya dalam skala iteval dam mempuyai distibusi omal. Pada aalisis egesi liie tebagi meadi dua, yaitu aalisis egesi liie sedehaa da aalisis egesi liie begada. ag membedaka keduaya adalah haya teletak pada vaiabel bebas atau vaiabel pediktoya, utuk aalisis egesi liie sedehaa vaiabel bebasya haya satu sedagka utuk aalisis egesi liie begada bayakya vaiabel bebas adalah lebih dai satu.

2 Tetapi bagaimaa dega bayakya vaiabel tak bebas atau vaiabel espo yag lebih dai satu. Oleh kaea itulah, kami mecoba utuk mempelaai lebih auh tetag model egesi liie multivaiat yag tedapat pada bab 7. Pada makalah ii, kami aka mecoba mediskusika model egesi liie begada utuk mempediksi espo tuggal. Model ii kemudia dipeumum utuk membahas pediksi dai bebeapa vaiabel depede (vaiabel espo). Pelakua peyigkata kita meyooti atau membahas asumsi-asumsi egesi da kosekuesiya, fomula alteatif dai model egesi, da aplikasi umum dai tekik egesi pada kasus yag tampakya bebeda.. Peumusa Masalah Bedasaka pemapaa diatas maka pemasalaha yag aka dibahas dalam peulisa ii adalah bagaimaa peelasa secaa tepeici megeai model egesi liie multivaiat pada bab7 tesebut..3 Batasa Masalah Dalam peulisa ii kami membatasi masalah sebagai beikut ; Pemapaa megeai model egesi liie multivaiat haya aka dibahas sesuai dega yag telah kami sampaika pada pesetasi yag telah kami lakuka..4 Tuua Peulisa Bedasaka umusa masalah diatas, maka tuua peulisa ii adalah utuk megetahui da mempelaai lebih ici megeai model egesi liie multivaiat.

3 3 BAB II MODEL REGRESI LINIER MULTIVARIAT Nama : Adzimattiu Luthfia Nim : MODEL REGRESI LINEAR KLASIK Model egesi liea dega espo tuggal mempuyai betuk Dega : vaiabel espo : vaiabel pedikto : paamete yag tidak diketahui : ilai eo (galat) dega obsevasi idepede pada da ilai yag diasosiasi dai i maka model legkap egesi liie bebetuk (7-) Dimaa eoya diasumsika memiliki sifat : (kosta) (7-) pesamaa (7-) dalam betuk matiks adalah (7-3) atau...,...,,...,, M k Cov Va E k, ), ( 3. ) (. ) (. z z z z z z z z z M M M L O K K M M M M ) ( ) ) (( )) ( ( ) (

4 dega sifatya :. E( ). Cov( ) Ι cotoh : Tetuka betuk matiks ika model egesi liea sesuai dega situasi pada cotoh 6.6 awab : Kita buat vaiabel boeka utuk megatasi 3 ata-ata populasi, µ µ τ, µ µ τ, daµ 3 µ τ 3, Kita tetuka Da z z z 3 ; ; ; ; ; ; Jika obsevasi beasal dai populasi Jika obsevasi beasal dai selai populasi Jika obsevasi beasal dai populasi Jika obsevasi beasal dai selai populasi Jika obsevasi beasal dai populasi 3 Jika obsevasi beasal dai selai populasi 3 lalu µ, τ, τ, 3 τ 3 3 3,,, 8 Ketika kita meyusu ilai-ilai obsevasi dai 3 populasi dalam baisa, kita dapatka vekto espo obsevasi da matiks desai 9 6 9, 3 ( 8x) (8x4).3 PENAKSIR KUADRAT TERKECIL y Misal b adalah ilai taksia utuk b b z... b z. pehatika pebedaa ataa y da ilai b b z... b z itu aka dihaapka ika b adalah vekto paamete sebeaya. Selisih y b b z... b z 4

5 tidak aka sama dega ol kaea ilai haapa espo befluktuasi. Metoda dai kuadat tekecil memilih b utuk memiimumka umlah kuadat S(b) ( y b b z... b z ) ( y b)( y b) Koefisie b dipilih bedasaka kiteia kuadat tekecil, da b disebut peaksi kuadat tekecil dai (b seig diotasika ). Simpaga y z disebut esidu. Hasil 7. Misal sebayak. Peaksi kuadat tekecil dai adalah ( ) y. Misal ŷ Hy diatika ilai tetetu dai y, dega H y y Ι ( ) y ( Ι H ) ( ) disebut matiks Hat. Residuya : [ ] y Memeuhi da y. Juga umlah kuadat esidu kuadat y ( y... ) z [ Ι ( ) ] y y y y Hasil 7. meuukka bahwa peaksi kuadat tekecil da esidu dapat dipeoleh dai desai matiks da espo y dega opeasi matiks sedehaa. Cotoh : hituglah, da umlah esidu kuadat utuk model z yag cocok dega data z 3 4 y Jawab : y

6 6 Sehigga Da pesamaa yag tepat adalah Vekto ilai taksia adalah maka umlah kuadat tekecilya adalah JUMLAH DEKOMPOSISI KUADRAT, adi umlah espo total kuadat memeuhi (7-4) kaea kolom petama dai adalah, kodisi memeuhi pesamaa atau....6 ) ( 7 5 y ) ( y y z y y y [ ] 6 ) ( y y y y ) )( ( ) ( ) ( y y y y y y y y y y y y y y y y

7 ika kedua sisi dai pesegi (7-4) dikuagi dasa dai umlah ata-ata kuadat atau y y y y y ( y ) dipeoleh dekomposisi umlah kuadat diatas meyaaka kualitas dai model yag tepat dapat diuku dega meghitug koefisie detemiasi yaitu y ŷ ( y y ) ( y y ) R ( y y ) ( y ( y y ) y ) GEOMETRI DARI KUADRAT TERKECIL bedasaka model egesi klasik z z E ( )... M M z E() adalah sebuah kombiasi liea dai kolom. Sepeti, membetuk model bidag dai semua kombiasi liea. Biasaya vekto obsevasi y tidak aka bebaig di dalam model bidag kaea ilai eo bukalah suatu kombiasi liea dai kolom., maka dai itu y Ketika obsevasi teadi, solusi kuadat tekecil dipeoleh dai vekto simpaga y - b (vekto obsevasi)-(vekto pada model bidag) paag kudat adalah S(b) kudat. Sepeti yag diilustasika pada gamba 7- (hal 93), ilai S(b) sekecil mugki ketika b dipilih maka b adalah titik pada model bidag yag palig dekat ke y. titik tedekat ke y teadi di uug dai poyeksi tegak y pada bidag. Maka dai itu y, utuk pemiliha b, y yag meupaka poyeksi dai y pada bidag tedii dai semua kombiasi liea dai kolom. vekto esidu tebetuk walaupu buka ak peuh. z z M z y y adalah tegak tehadap bidag. Geometi ii 7

8 Ketika memiliki ak peuh, opeasi poyeksi dituukka secaa aalitik sepeti pekalia oleh matik ( ). utuk melihatya, kita guaka spektum dekomposisi (-6) utuk meulis λ dimaa λ λ... λ > adalah ilai ee λee... λ e e eige dai da e, e,..., e adalah vekto eige yag bekoespodesi. Jika memiliki ak peuh maka ( ) ee ee... e e λ λ λ Pehatika q i i λ e yag meupaka sebuah kombiasi liie dai kolom. i i ki Maka q q λ λ e e ika i k atau ika i k. Maka dai itu, i k i k vekto secaa bebalasa tegak da memiliki uit paag. Kombiasi liie dai kolom. Da lagi ( ) λ i i e e Bedasaka hasil A. da defiisi A. poyeksi dai y pada kombiasi liie dai { q } i i q q q,,..., q adalah ( qi y) qi qiqi y ( ) y Jadi i i i i pekalia dega ( ) meecaaka sebuah vekto pada uag yag dibetuk oleh kolom. SIFAT SAMPLING DARI PENAKSIR KUADRAT TERKECIL KLASIK Hasil 7. Bedasaka model egesi liie umum pada (7-3), pesamaa kudat tekecil ( ) y mempuyai E ( ) da cov( ) ( ). Residu memiliki sifat E ( ) da cov( ) ( I H ) uga E ( ) ( ),adi membatasi s ( ) [ I ( ) ] [ I ] H Kita puyai E ( s ) da lagi da tidak bekoelasi. 8

9 Pesamaa kuadat tekecil memiliki vaias miimum yag petama kali ditetapka oleh Gauss. Hasil ii megeai peaksi bagus dai fugsi paametik liea dai betuk c c c... c utuk setiap c. Hasil 7.3 (Teoema Kuadat Tekecil Gauss) Misal dega E ( ) da cov( ) I da memiliki ak peuh. utuk setiap c, peaksi c dai c memiliki c c... c vaias sekecil mugki diataa semua peaksi liea dai betuk a a a... a yag tidak bias utuk c. Hasil yag kuat ii meyataka bahwa subtitusi dai utuk, meuu ke peaksi tebagus dai c utuk setiap c..4 KESIMPULAN TENTANG MODEL REGRESI.4. Kesimpula megeai paamete egesi. Sebelum kita dapat meetapka ati dai vaiabel utama dalam fugsi egesi E ( ) z... z kita haus meetuka distibusi sampig dai da umlah esidu kuadat omal. Hasil 7.4 Misal. Utuk itu kita asumsika memiliki distibusi dimaa memiliki ak peuh da bedistibusi omal N (, I ). Peaksi maximum Likelihood dai adalah sama dega peaksi kuadat tekecil. Da lagi, da didistibusika secaa idepede dai esidu ( ) bedistibusi (, ( ) ) N. Selautya bedistibusi dega χ adalah peaksi maximum Likelihood dai Ellipsoid kepecayaa utuk sagat mudah disusu. Hal ii dapat diyataka dalam batas dai matiks peaksi covaia s ( ) dega s /( ) 9

10 Hasil 7.5 Misal dimaa memiliki ak peuh da bedistibusi omal N (, I ). Daeah kepecayaa ( α) % utuk adalah ) ( ) ( ) s ( α) uga, iteval kepecayaa ( F, ( α) % utuk i adalah i ± Va ( i ) ( ) F, ( α), i,,, Dega V a( ) adalah eleme diagoal dai i s ( ) yag bekoespodesi ke i. Ellipsoid kepecayaa adalah pusat pada peaksi maximum Likelihood da oietasiya da ukua ditetuka oleh ilai eige da vekto eige dai. Jika ilai eige medekati ol, ellips kepecayaa aka sagat paag dalam aah dai vekto eige yag bekoespodesi. Paa paktisi seig megabaika sifat kepecayaa dai taksia iteval pada F hasil 7-5. meeka meggati ( ), dega ilai t, t ( / ) da α megguaka iteval ± t ( α ) V a( ) ketika mecai vaiabel pedikto utama. Cotoh: i i Bedasaka data pada tabel 7., model yag tepat adalah z z Pada data ii diguaka metoda kudat tekecil. Hasil pehituga kompute adalah.996 ( ) da ( ) y Jadi pesamaa yag tepat adalah z 45. z dega s 3473.

11 Jika esidu melewati pemeiksaa diagosa yag dielaska pada seksi 7.6, pesamaa yag tepat dapat diguaka utuk mempediksi haga ual dai umahumah di sekita bedasaka ukua da ilai yag ditetapka. Kita misalka 95% iteval kofidesi utuk ± t (.5) V a( ) 45..(85) atau ( ) 7 ± adalah Kaea iteval kofidesi memuat vaiabel z dapat dihilagka dai model egesi da aalisis diulag dega vaiabel pedikto tuggal z. Dibadig ukua tempat tiggal, kiaya ilai yag ditetapka meambah sedikit pegauh tehadap pediksi dai haga ual. Nama : Realita Raymuda Nim : Test asio likelihood utuk paamete Regesi Salah satu bagia dai aalisis egesi tekait dega meaksi pegauh vaiabel pedikto pada vaiabel espo. Hipótesis ol meyataka bahwa ada bagia dai i yag tidak bepegauh pada espo.vaiabel pedikto ii aka ditulis dega zq, zq,..., z. peyataa yag meyebutka zq, zq,..., z tidak mempegauhi espo ditulis dalam hipótesis statistika: H q q... Atulah () (( q ) ), M ( ( q )) ( ( q)) () (( q) ) Maka model egesi umum dapat ditulis sebagai: () [ M ] () () () Test asio likelihood Ho bedasaka pada:

12 Jumlah kuadat eksta SS ( ) SS ( ) ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) Res Re s () () () Result 7.6 Misalka full ak da bedistibusi N (, I ). Test asio likelihood H q q... ekuivalet dega dega test Ho yag didasaka pada umlah kuadat pada pesamaa SS ( ) SS ( ) ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) da Res Re s () () () ( )( ) /( ). s y y () Test asio likelihood meolak Ho ika: ( SSRe s ( ) SSRes ( )) /( q) > F s q, ( α ) Dimaa: s ( y )( y ) /( ) F ( ) q, α dimaa -q da -- adalah deaat bebasya. Cotoh 7.5 Laki-laki da peempua yag belaggaa meilai ata-ata pelayaa di tiga tempat pada sebuah daeah estoa yag luas. Rata-ata pelayaa dikovesika pada sebuah ilai ideks. Data disediaka pada tabel 7. dibawah. Data mempuyai 8 pelagga. Tiap data pada tabel dikategoika sesuai dega lokasi (,, 3) da eis kelami (laki-laki, peempua ). Tambahaya kombiasi ataa lokasi satu dega laki-laki ada lima espo, kombiasi lokasi dua dega peempua ada espo. Kemudia dipekealka tiga vaiabel dummy utuk lokasi da dua vaiabel dummy utuk eis kelami. Model egesi yag meghubugka ataa ideks pelayaa dega lokasi, eis kelami da kombiasiya dapat dibuat dalam suatu matiks:

13 Koefisie vekto [,,, 3, τ, τ, γ, γ, γ, γ, γ 3, γ 3] Desai matiks diatas tidak full ak, oleh pogam kompute dipeoleh: SSes ( ) Rak () 6, -Rak () Model petama dega haya megguaka 6 kolom petama dai, yaitu tapa mempetimbagka itekasi ataa eis kelami da lokasi kita peoleh da SS ( ) 349. es Dega -ak () Hipotesisya: H : γ γ... γ γ 3 3 Kemudia kita meghitug ilai F ( SSes ( ) SSes ( )) /(6 4) F s 3

14 ( SSes ( ) SSes ( )) / F SS ( ) / es (349, 977, 4) / F,89 977, 4 / Kesimpulaya, ata-ata pelayaa tidak dipegauhi oleh iteaksi dai lokasi dega eis kelami..5 Itefeesi dai Fugsi Regesi yag diestimasi Misalka sebuah model egesi memeuhi model kecocoka egesi, maka dapat diguaka utuk memecahka dua masalah pediksi. Misalka z z z meupaka ilai yag dipilih utuk vaiabel pedicto. Maka z da [ ],,..., dapat diguaka utuk :. Megestimasi fugsi egesi pada z Misalka meyataka ilai espo ketika vaiabel pedicto memiliki ilai z [ ] z z. Meuut model 7.3, maka ilai ekspektasi dai adalah :,,..., E( ) z... z z Estimasi ilai tekecilya adalah Result 7.7 z ( ) z. (7-8) Utuk model egesi liie pada model 7.3, z meupaka estimato liie yag tidak bias dai E(..) dega ilai vaiasi miimum, Va ( z ) z ( ) z. Jika eo bedisibusi omal, maka taaf kepecayaa ( α)% utuk E( ) z z ± adalah: α t ( z ( ) z ) s Dega t ( / ) α sebagai batas atas pecetil ke ( α / ) dai distibusi t da deaat bebas. 4

15 . Meamalka sebuah obsevasi bau pada z o Pediksi pada sebuah obsevasi, misalya o, pada zo [, z,..., z ] lebih tidak pasti daipada megestimasi ilai haapa dai o. Sesuai model egesi pada (7.3) z o Atau (Respo bau o ) (ilai haapa bau o pada z o ) (eo bau) Dimaa bedistibusi N(, ). Nilai mempegauhi ilai peaksi da s melalui ilai vaiabel espo, tetapi tidak mempegauhi ilai Result 7.8 Misalya dibeika model egesi liie (7.3), sebuah ilai obsevasi bau mempuyai pedikto tidak bias z z... z o Vaiasi dai galat amala, z adalah Va( z ) ( z ( ) z ) Ketika eo bedistibusi omal, maka sebuah iteval pediksi ( α)% utuk o dibeika sebagai beikut : α ( ( ) z ) ± t s z z Dega t ( / ) α sebagai batas atas pecetil ke ( α / ) dai distibusi t da deaat bebas. Iteval pediksi utuk o lebih luas dai iteval kepecayaa utuk megestimasi ilai dai fugsi egesi E( ) z. Petambaha ketidakpastia pada peamala o yag diepesetasika oleh tambaha kebeadaa s pada peyataa s ( z ( ) z ), datag dai kebeadaa istilah eo yag tidak dikeal atau diketahui 5

16 Cotoh kasus Sebuah peusahaa meyadai bahwa pembelia peagkat kompute hauslah telebih dahulu meaksi kebutuha masa depa meeka utuk meetuka peagkat tag tepat. Seoag ilmuwa kompute megumpulaka data dai tuuh peusahaa di tempat yag sama sehigga pesamaa peamala dai pemitaa peagkat keas kompute utuk ivetais maaeme dapat ditambah. Dataya disaika dalam tabel 7.3 Dega: z Pesaa pelagga (dalam ibua) z Jumlah ítem add-delete (dalam atusa) Waktu CPU (dalam am) Buatlah sebuah iteval kepecayaa 95% utuk ata-ata waktu CPU, E( ) z z pada z [,3, 7.5]. Buat uga iteval pediksi 95% utuk pemitaa bau fasilitas CPU yag bekoespodesi pada z yag sama. Tabel 7.3. Data Kompute z Pesaa pelagga z Jumlah ítem adddelete Waktu CPU Dega softwae, dipeoleh fugsi pesamaa egesi diestimasi: y 8.4.8z.4z 6

17 ( ).64.5 Dega s.4. z 8.4.8(3).4(7.5) 5.97 s ( z ( ) z ).4(.5898).7 t 4 (.5).776 Jadi, iteval kepecayaa utuk ata-ata waktu CPU pada z o adalah z ± t (.5) s z ( ) z 5.97 ±.776(.7) (5., 53.94) 4 Iteval pediksi 95% waktu CPU pada fasilitas bau dega syaat z o : s z ( ) z (.4)(.67).4 Maka: z ± t (.5) s z ( ) z 5.97 ±.776(.4) (.48.8, ).6 Pegeceka Model da Bebeapa Hal Dalam Regesi Apakah suatu model sudah cocok? Asumsika suatu model sudah bea, kita pelu megestimasi telebih dahulu fugsi egesi utuk membuat suatu keputusa. Tetulah sagat petig utuk memeiksa kecukupa model sebelum fugsi yag diestimasi meadi keputusa yag tetap. Semua ifomasi kekuagcocoka sampel tekadug pada Residual. y z... z y z... z... y z... z [ ( ) ] [ ] I y I H y 7

18 Jika modelya cocok, tiap esidual adalah estimato dai yag diasumsika meupaka vaiabel adom omal dega ata-ata ol da vaiasi. Bayak statistikawa megguaka diagosa gafik utuk memeiksa esidual yag didasaka pada esidual studet. Pesamaaya sebagai beikut:,,,..., s ( h ) Kita meghaapka esidual studet ii meupaka gambaa yag medekati distibusi omal dega ata-ata da vaiasi. Dega megguaka softwae statistika maka aka dipeoleh bebeapa gafik gambaa esidual sebagai beikut (hal.39). Plot esidual,,dega ilai pediksi, y z... z Kemugkiaaya aka tampak sepeti pada gamba 7. a da 7. b. ii meuukka model egesi kita ada yag kuag tepat. Bisa disebabka oleh kesalaha peghituga atau vaiabel itesepya dikeluaka dai model. Hal lai adalah kemugkia vaiasi eo yag tidak kosta yag meyebabka esidualya membetuk sepeti coog. Adaya fluktuasi yag besa pada ilai-ilai eo. Utuk mempebaiki atau megkoeksi maka dilakuka tasomasi da atau pedekata bobot kuadat tekecil. Tetapi kedua hal ii tidak dielaska lebih laut pada bahasa ii. Gambaa gafik yag ideal dituukka pada gamba 7. d. Plot esidual,,dega sebuah vaiabel pediksi, z, poduk dai vaiabel pedikto misalya zz atau z. Jika hasil dai aálisis ii meghasilka gafik sepeti gamba 7. c maka model egesi yamg kita peoleh masih belum baik. Situasi ii meyaaka kita utuk meambah vaiabel pedikto lai pada model kita. 3. Q-Q plot da histogam. Utuk membaca hasil yamg dipeoleh pada aálisis ii kita bisa membaca aálisis yag ada pada bab 4.6 8

19 4. Plot esidual dega waktu. Jika data yag kita peoleh sudah teuut secaa koologis, plot esidual dega waktu maka aka mugki mucul fomula yag sistematis. (dalam hal ii mugki aka mucul asosiasi ataa eo). Tambahaya, esidual yag betambah seiig dega waktu megidikasika keteikata yag kuat Bebeapa pemasalaha tambaha pada Regesi liie. Pemiliha vaiabel pedikto dai sebuah himpua yag sagat besa Pada paktek sehai-hai, tekadag sagat sulit utuk membuat fomula yag tepat utuk fugsi egesi lie secaa lagsug. Petayaaya adalah vaiabel pedicto maa yag haus dimasukka pada model? Betuk egesi sepeti apa yag haus dibetuk? Ketika kita memiliki sebuah himpua vaiabel pedikto yag sagat besa (bayak), semua vaiabel ii tidak bisa dimasukka dalam fugsi egesi. Pogam kompute meyediaka caa utuk memilih himpua bagia vaiabel pedikto yag tebaik dai himpua yag tesedia. Pada pogam kompute aka meyediaka gamba plot ( C, p) dimaa C p p -(-p) Model yag tebaik dapat dilihat dai koodiat ( C, p) sekita. Koliie Jika tidak full ak, bebeapa kombiasi liie misalya a, haus ol. Pada situasi ii, kolom-kolom dikataka koliie. Hal ii megakibatka tidak memiliki ives. Pada kebayaka model egesi keadaa a tidak mugki tepat sama dega ol. Jadi aka mucul kombiasi liie kolom pada dega ilai dipesekitaa ol. Hal ii aka meyebabka kesulita bagi kita utuk medeteksi kesigifikaa koefisie paamete pada model egesi. Hal ii dapat diatasi dega:. Meghapus pasaga pedikto yag bekoelasi kuat p 45 9

20 . Meghubugka vaiabel espo dega kompoe utama vaiabel pedikto. 3. Bias yag disebabka oleh model yag kuag tepat. Misalka bebeapa vaiabel pedicto yag petig dikeluaka dai model egesi yag diauka. Misalka model yag tepat dega [ M ] dega ak da () M () (( q) ) (( q ) ) ( ) ( ( q )) ( ( q)) ( ) () () E( ) Dimaa: Va( ) I Bagaimaapu, peyelidik tapa megetahui telah memeuhi sebuah model haya dega megguaka q vaiabel pedikto. Peaksi kuadat tekecil dai adalah. dega situasi ketika modelya bea, ( ). Kemudia, tidak sama E( ) ( ) E( ) ( ) ( E( )) () () () Jadi, adalah peaksi bias dai. Hal ii meyebabka taksia kuadat tekecil dai meadi meyesatka. Nama : Adila Sady Wuladai Nim : Regesi Liie begada multivaiat Regesi begada multivaiat meupaka hubuga ataa m espo,,,..., m da vaiabel pediktoya,,...,, masig-masig espo diasumsika memeuhi model egesi :

21 z... z z... z M z... z m m m m m m Pesamaa eo [ ],,..., dega E( ) da Va ( ). z, z,..., z Utuk pecobaa ke, vaiabel pedictoya adalah pesamaaya adalah m,,..., m,,...,. Dega model matikya : z z... z z z... z M M O M z z... z ( x( )) Dega pesamaa matiks, himpua, da himpua eoya adalah... m... M M O M... m m () M () M... M ( m) ( xm )... m... M M O M... m m () M () M... M ( m) (( ) xm)

22 da... m... M M O M... m m () M () M... M ( m) ( xm ) L L M L Model egesi liie multivaiatya adalah ( xm ) ( x ( )) (( ) xm ) ( xm ) dega E( ) ; Cov ( ( i), ( k) ) iki i, k,,..., m ( i) Ket : m umlah obsevasi ke paamete yag tidak diketahui Utuk i espo, maka modelya megikuti : i,,, m ( i ) ( i ) ( i ) ^ Sepeti pada espo meadi ( i) ( ) ( i) Sehigga dipeoleh : ^ Nilai pediksiya : Residualya : ^ ^ ( ) ^ ^ [ I ( ) ]

23 umlah kuadat esidualya da coss-poductya : cotoh 7.8 Hitug ilai ^, ^, da ^ dega :,,,5 Diguaka data dua espo da pada cotoh 7.3 dega dataya sebagai beikut : z 3 4 y y Peyelesaia : ( ) 9 4 da () 5 y Sehigga 6 5 () ( ) y() Pada cotoh 7.3 () ( ) y() 3

24 Sehigga dipeoleh () () ( ) y() y M () M y z da Setelah melakuka pehituga diatas dipeoleh pesamaa y z Matiks ilai taksia adalah da Sehigga Kaea da 4 Jadi sum of squae da coss-poductsya memeuhi : 4

25 Latiha 7.9 halama 35 Dibeika data dega satu vaiabel pedicto z da dua espo da z - - y y Dega Hitug matiks utuk,, 3, 4, 5,da esidual, dega [ y M y ] Peyelesaia : da Sehigga y() y() ( ) 5

26 () ( ) y() ( ) () y() Sehigga dipeoleh () () ( ) y() y M () 5 5 M Setelah melakuka pehituga diatas dipeoleh pesamaa y z da y z 8 Matiks ilai taksia adalah da

27 Sehigga maka Pekiaa Kuadat Tekecil Utuk pekiaa kuadat tekecil detemia [ M M... M ] meuut ( ) () ( m) model egesi begada multivaiate dega full ak () <, adalah Da Residual Cov ( E atau E ( ) ( ( i) ) ( i) ( i ), ( k ) ) ik ( ) i, k,,, [... ) () M M ( m ) ] ( M memeuhi E ) da E( ( i) ( k) ) ( ) ik ( ( i) adi E ( ) da E( ) ( ) Maka, da tidak bekoelasi. 7

28 Pekiaa Maximum Likelihood Misal model egesi begada multivaiate ( xm ) ( x ( )) (( ) xm ) ( xm ) dega full ak (), > ( ) m da missal eo bedistibusi omal. Maka ^ ( ) adalah pekiaa maksimum likelihood dai da yag bedistibusi omal dega ( ) E da Cov ( ( i ), ( k ) ) ik ( ). idepedet dai pekiaa maksimum likelihood da defiit positif dibeika oleh ^ ( )( ) da adalah distibusi W ^ (. ). Tes asio likelihood utuk paamete egesi Tes ii meupaka asio likelihood utuk bayak espo, dega hipotesis bahwa espo tidak begatug pada dega H dimaa : () ( x( q )) ( x( q)),..., q, q, sehigga () (( q ) xm) () (( q) xm) M, secaa umum model dapat ditulis : () E ( ) [ M ] () () () 8

29 H, : () dega H () da tes asio likelihood dai )( bedasaka pada umlah yag tekait dalam umlah kuadat eksta da cosspoducts )( ) ( ) Dimaa ^ () ( () () ^ ( ) () ^ ( ) da ^ ( )( () ( )) Dai asio likelihood ( Λ ) dapat mempelihatka hubuga umum vaia, adi : Λ max (). max L(. (), ) L(, ) Equivalet dega statistic Wilks Lambda : / Λ dapat dipeguaka. L( (), ) L(, ) / Hasil 7. Misal model egesi begada multivaiate ( xm ) ( x ( )) (( ) xm ) ( xm ) dega full ak (), > ( ) m da misal eo bedistibusi omal. Dega H, ^ adalah distibusi W (. ) secaa : () bebas adalah ( ) dimaa distibusiya W ) q(. dai H equivalet dega tolak H utuk besa ilai dai :. Tes asio likelihood 9

30 L Λ L L ( ) utuk besa ilaiya buah maka statistikya : ( m q ) L Megguaka pedekata chi kuadat dega deaat bebasya m(-q). cotoh 7.9 cotoh ii meupaka lauta yag dibeika pada cotoh sebelumya yaitu pada cotoh 7.5. Dega megguaka pogam compute, sehigga dipeoleh : esidual sum of squaes 977,39,7 da coss puducts,7 5,95 exta sum of squaes 44,76 46,6 46,6 366, da coss puducts ( ) Misal () adalah matiks utuk iteaksi paamete dua espo. Diketahui pada cotoh sebelumya bahwa ilai 8 yag dapat dikategoika tidak telalu besa, sehigga dipeoleh hipotesis : H : () H : () Dega ilai alfa sebesa,5, dapat diui : ( m q ) l ( ) 3

31 8 5 ( 5 3 ) l(765) 3,8 Dega megguaka pedekata chi-kuadat, dipeoleh ilai pada tabel chikuadat dega deaat bebas sebesa m ( -q ) () 4 adalah 9,49. Sehigga ilai hitug aka lebih kecil daipada ilai pada tabel yaitu 3,8 < χ.(,5) 9,49. 4 Utuk kiteia hitugya maka H ditolak pada ilai alfa sebesa 5%. Sehigga ilai (), atiya ilai koefisie utuk () beati da hubuga iteaksi tidak dibutuhka. Nama : Siti uegsih Nim : Kosep Dai Regesi Liie Model egesi liie klasik meghubugka ataa suatu vaiabel teikat da kumpula vaiabel pedikto z, z, z. Model egesi megaggap bahwa vaiabel acak begatug pada vaiabel tetap z. Rata-ata ya diasumsika sebagai fugsi liie dega koefisie egesi,,...,. Aggaplah bahwa,,,..., adalah vaiabel acak yag mempuyai o distibusi sama tidak haus omal, dega vekto ata-ata µ da matix ( ) covaiat patisi µ da Σ kita tulis sebagai beikut ( ) ( ) µ ( ) µ da µ ( ) Σ ( ) ( ) Σ ( ) ( ) dega,,..., Dalam mempediksi vaiabel teikat diguaka pedikto liie b b b b b dega pediksi eoya yaitu 3

32 pedictio eo - b - b - - b - b - b kaea eo ii besipat acak, biasaya utuk memilih b da b dega memiimumka Mea squae eo E( - b - b ) Mea squae eo ii begatug pada distibusi besama dai da melalui paamete µ da Σ Akibat 7. Pedikto liie dega koefisie µ µ, Memilki ata-ata kuadat miimum diataa semua pedikto liie espo da memiliki mea squae eo yaitu Juga E( ) E( µ ( µ )) µ ( µ ) adalah pedikto liie yag memiliki koelasi maksimum dega Co Co b b (, ) max (, ) Koelasi ataa vaiabel teikat dega pedikto liie tebaikya disebut koeffisie koelasi multiple populasi yag diotasika sebagai ρ ( ) kuadat dai koeffisie ii ρ disebut koeffisie detemiasi populasi, ilai dai ( ) ρ koeffisie koelasi adalah aka kuadat positif ya yaitu ( ). Koeffisie detemiasi memiliki itepetasi petig. Dai akibat 7. mea squae eo megguaka utuk meamalka adalah ( ρ ( )) 3

33 Jika ika ρ tidak ada kekuata pediksi dalam, pebedaa yag sagat besa ( ) ρ megakibatka dapat dipediksi dega tepat. ( ) Cotoh 7. Dibeika vekto ata-ata da matik kovaia dai,, 5 µ yy µ µ da Σ Tetuka a). pedikto Liie tebaik b). mea squae eo c). koeffisie koelasi multiple peyelesaia 7 3, 4, 6 3, 6, 4 5 [ ] 3 µ µ a). Jadi pedikto liie tebaikya adalah 3 b). mea squae eoya,4,6 [ ] 3 7,6,4 c). koeffisie koelasi multipleya ρ ( ) 3,548 Pembatasa pedikto liie dekat dihubugka dega assumsi omalitas, khususya misalka kita puya bedistibusi N ( µ, ) M 33

34 maka distibusi besyaat dai dega mempehatika ilai z, z,,z adalah N ( µ ( z µ ), ) ata-ata dai distibusi besyaat ii adalah pedikto liie dalam akibat 7. adalah E z z z z (,,..., ) µ ( µ z ) z da kita meyimpulka E( z, z,..., z ) adalah pedikto liie tebaik dai ketika populasiya adalah N ( µ ),. Ekspektasi besyaat ii disebut fugsi egesi liie. Ketika populasi tidak omal, fugsi egesi E( z, z,..., z ) tidak haus bebetuk. Namu, dapat dituuka bahwa E( z, z,..., z ) apapu z betukya, utuk mempediksi adalah dega mea squae eo tekecil. Keutugaya pegoptimala diataa semua estimato yag dimiliki dega pedikto liie adalah ketika populasiya omal. Akibat 7.3 Aggaplah bahwa distibusi besama dai da adalah N (, ) µ misalka µ S S da S S S vekto ata-ata sampel da matik kovaia sampel beukua dai suatu populasi, peaksi maksimum likelihood dai koeffisie pedikto liieya adalah S s, s S akibatya peaksi likelihood utuk fugsi liieya adalah ( ) z s S z Peaksi maximum lilkelihood dai mea sque eoya ( s s S s ) E adalah 34

35 Biasaya dega meubah pembagi dai ke -( ) dalam estimato dai meas squae eo dipeoleh peaksi tak bias yaitu ( ) ( s s S s ) Cotoh 7. Hasil compute data cotoh 7.6. dega data 7 obsevasi pada (CPU Time),, membeika vekto ata-ata sampel da matik kovaia sampel yaitu 5, 44 y µ 3, 4 da 3, ,93 48,763 35,983 syy s Σ 48, , 8,34 s S 35,983 8, 34 3, 657 assumsika bedistibusi omal besama. Tetuka fugsi egesi da mea squae eoya.? Peyelesaia Dai akibat 7.3 peaksi maksimum likelihoodya adalah, 38, 64 48, 763, 79 S s, 64, , 983, 4 [ ] 3, 4 3,547 5, 44, 79, 4 8, 4 y z adi fugsi egesiya adalah z 8,4,8 z, 4z mea squae eoya adalah ( s s S s ) 6, 38, 64 48, ,93[ 48, ,983] 7, 64, ,983,894 Pediksi utuk bebeapa vaiabel 35

36 Peluasa dai akibat sebelumya utuk pediksi bebeapa vaiabel teikat,,..., m hampi dekat. Peluasa utuk populasi omal aggaplah bahwa ( m ) ( ) µ ( m ) bedistibusi N m ( µ, ) dega µ µ ( ) da ( m m) ( m ) ( m) ( ) Ekspektasi besyaat dai [ ],,..., m atas seumlah ilai vaiabel pedikto z, z,..., z adalah E z z z µ z µ,,..., ( ) ilai haapa besyaat ii, diaggap suatu fugsi atas z, z,..., z yag disebut dega egesi multivaiate dai vekto dalam. Fugsi ii tedii dai m egesi uivaiat. Cotohya vekto ata-ata besyaat dai kompoe petama adalah µ ( z µ ) E( z, z,..., z ) yag memiimumka mea squae eo dai pediksi. Ukua m matik disebut matik koeffisie egesi. Kesalaha dai vekto pediksiya kuadat haapa da matiks coss poduk adalah µ ( µ ) mempuyai E µ ( µ ) µ ( µ ) ( ) ( ) kaea µ da Σ tidak diketahui secaa khusus, maka haus dipekiaka dai sampel acak dalam uuta meyusu pedikto liie multivaiate da meetuka haapa kesalaha pediksi. Akibat

37 adalah Aggaplah da bedistibusi N ( µ, ). Regesi dai vekto dalam m z z ( z ) µ µ µ kuadat haapa da matiks coss poduk utuk eoya adalah E ( )( ) bedasaka sampel acak ukua, estimato maximum likelihood utuk fugsi egesiya adalah Da estimato likelihood dai ( ) z S S z adalah Peaksi tak bias dai adalah ( s S S S ) ( )( ) ( S S S S ) Cotoh 7.3 Dai hasil kompute data cotoh 7.6 da cotoh 7. utuk (CPU time) da (Disc I/O Capacity)., dibeika da dipeoleh 5, 44 y 37, 79 µ 3, 4 3, , 93 48,556 48, , 983 S 48,556 37, 49 8, 976 4, 558 yy S Σ S S 48, 763 8, , 8, 34 35,983 4, 558 8, 34 3, 657 diasumsika bedistibusi omal tetuka fugsi egesiya? 37

38 z y S S ( z z ) 5, 44 48, , 983, 38, 64 z 3, 4 37, 79 8, 976 4, 558, 64, 8644 z 3,547 5, 44, 79( z 3, 4), 4( z 3,547) 37, 79, 54( z 3, 4) 5, 665( z 3, 547) sehigga pedicto mea squae eo miimum dai da adalah 5, 44, 79( z 3, 4), 4( z 3,547) 8, 4, 8z, 4z 37, 79, 54( z 3, 4) 5, 665( z 3,547) 4,4, 5z 5, 67z peaksi maksimum likelihood dai kuadat haapa da matik coss podukya dibeika oleh ( S S S S ) 6 467,93 48,536 48, ,983, 38, 64 48, 763 8, ,536 37, 49 8,976 4,558, 64, ,983 4,558 6,43,4,894,893 7, 4, 57, 893, 5 hasil peaksia petama fugsi egesi 8, 4,8 z, 4z membeika mea squae eo,894 hasil yag sama dega cotoh 7. utuk kasus espo tuggal. Kita lihat bahwa data dapat dipediksi dai dai vaiable espo petama memilki eo yag lebih kecil dibadigka dega oleh espo kedua. Kovaia,893 meuuka pediksi yag telalu auh dai CPU time yag cedeug ditemai oleh capasitas disk. Akibat 7.4 meyataka bahwa assumsi dai distibusi omal multivaiate besama utuk kumpula,,..., m,,,..., mudah utuk mempediksi pesamaa Dega catata megikuti y z... z y z... z M M M y z... z m m m m 38

39 . Nilai z, z,..., z yag sama diguaka utuk mempediksi tiap ilai i.. ik dipekiaka utuk eti (, ) utuk i, k. i k pada matik koeffisie egesi Koefisie Koelasi Pasial Aggaplah pasaga kesalaha µ ( µ ) µ ( µ ) dipeoleh dai megguaka pedikto liie tebaik da hubugaya ditetuka dai matik kovaia kesalaha pegukua hubuga ataa da setelah meghapus pegauh dai,,...,. koeffisie koelasi pasial ataa da dega meghapuska,,..., oleh ρ s yag dipekiaka oleh s s Dimaa ik adalah eti (, ) i k dalam matik hubuga koeffisie koelasi pasial sampel adalah Dega s dega (, ) ik s s s i k eleme dai S S S S dega asumsi da memiliki distibusi omal multivaiate besama. Koeffisie koelasi pasial sampel diatas adalah peaksi maximum likelihood utuk populasiya. 39

40 .9 Membadigka Dua Peumusa dai Model Regesi Betuk Rata-ata yag dikoeksi dai Model Regesi Utuk bebeapa vaiabel espo, model egesi multiple meegaska bahwa z z... Vaiabel pedikto dapat dipusatka dega meguagi ata-ataya. Cotohya z ( z z ) z da kita dapat meulis ( z... z ) ( z z )... ( z z ) ( z z )... ( z z ) Dega ( z... z ) Desai matik ata-ata yag dikoeksi dihubugka dega pegulaga pembetuka paamete adalah z z L z z z z z z L M M O M z z L z z c ag maa kolom masig-masig tegak luus tehadap kolom petama kaea ( z z ), i,,..., Selautya tetuka c c dega c Jadi c c i i I I I c ci cc cc I y y ( cc) c y M ( cc) c y ( ) c y c c 4

41 Dega demikia koeffisie egesi [ ],,..., peaksi tak biasya ditaksi oleh ( ) y c c c da ditaksi oleh y. Kaea koeffisie,,..., tetap tidak beubah oleh peggatia paamete peaksi tebaikya dihitug dai desai matiks c sama dega yag dihitug desai matik Sehigga, keadaa c,,..., adalah pedicto liie dai dapat ditulis sebagai ( ) ( ) y z z y y ( ) ( z z ) dega c c c c z z ( z z, z z,..., z z ) akhiya Va( ) Cov(, ) c ( cc) Cov(, ) ( c Cov c ) ( cc) Ulasa: Model Regesi Multiple Multivaiate meghasilka desai matik ataata yag dikoeksi sama utuk setiap espo. Peaksia kuadat tekecil utuk koeffisie vecto ( i ) utuk vaiable espo ke-i dibeika oleh y ( i) ( i), i,,..., m ( cc) c y( i) Rumus-umus yag behubuga Ketika vaiable,,,..., bedistibusi omal besama, kita meetuka bahwa pedikto peaksi dai adalah ) z y s S ( z z ) µ ( z µ ). dai betuk ata-ata yag dikoeksi pada model egesi peaksi liie tebaik dai pedikto adalah y c ( z z ) dega y da dai pesamaa sebelumya y ( ) maka dipeoleh hubuga c c c c s S y ( ) c c c oleh kaea itu teoi omal ata-ata besyaat da model egesi klasik memilki pedikto liie yag tepatya sama. 4

42 Meskipu dua peumusa dai masalah pediksi liie meghasilka pesamaa pedicto yag sama, pada dasaya adalah bebeda, pada model egesi klasik vaiable iput diassumsika ditetuka oleh ekpeimet, pada model egesi liie ilai dai vaiable pedicto adalah vaiable acak yag dipeoleh dihubugka dega ilai dai vaiable espo. Assumsi utuk pedekata kedua lebih ketat tapi tapi meghasilka pedicto optimal diataa semua piliha daipada melalui pedicto liie yag aag. Rumus umus yag behubuga dega egesi liie multivaiat secaa keseluuha ádalah sebagai beikut : Kasus Uivaiat Tedapat satu vaiable espo utuk seumlah data maka z L z z z L M M M O M M M z L z model pesamaaya ( ) ( ( ) (( ) ) ( ) dega metode kuadat tekecil peaksi : ( ) y koefisie detemiasi : R ( y y) ( y y) iteval kepecayaa : α ± t Va ( ) i i Test Hipotesis H : (,,..., ) i H : i 4

43 Statistik ui F SSR SSE ( ) Dega SSR ( ) ( ) y y SSE y y y Kiteia tolak H ika F > F α,, (Reced;33) Kasus Multivaiat Misalka utuk vaiable espo sebayak atau tedapat da da 3 vaiabel pedicto maka y y z z z3 y y z z z 3 M M M M M M M M y y z z z ika teadapat m vaiable espo da vaiable pedicto z, maka tedapat seumlah pesamaa model egesi : z... z z... z M M M z... z m m m m m dega [ ] mempuyai E ( ), Va ( ),,..., m model Regesi Liea Multivaiatya adalah ( m ) ( ( )) (( ) m) ( m ) dega ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) E, Cov, I i, k,,... m i i k ik dega megguaka peaksia kuadat tekecil peaksi : ( ) dega () () L ( m ) da ( ) dega () () L ( m ) 43

44 esidualya adalah dega matik kovaiaya iteval kepecayaa : ( α)% cofidece ellipsoid utuk ( ) ( ) z adalah m ( ) z z z z z z F m, m( α ) m ( ) ( ) ( ) ( α)% iteval kepecayaa simulta utuk E( ) z adalah ( i) ( i) m( ) z ( i) ± Fm, m( α ) z( ) z ii i,,..., m m Test Hipotesis H : (,,..., ) i H : i statistik ui Λ E E H dega E H y y kiteia Tolak H ika Λ Λ α, m,, dimaa m meuuka bayakya vaiable, meuuka bayakya vaiable. Dalam tabel Wilks Lambda m meyataka p, meyataka V H da -- meyataka V E (Reced;344) Kosep Regesi Liie Utuk Kasus Uivaiat µ ( ) Misalka tedapat,,,..., dega µ µ ( ) da Σ ( ) ( ) Σ ( ) ( ) dimaa,,..., 44

45 pedikto liieya adalah dega koefisie µ µ, memiliki mea squae eo yaitu E( ) E( µ ( µ )) koelasi ataa vaiabel teikat dega pedikto liie tebaikya disebut koeffisie koelasi multiple populasi yag diotasika sebagai ρ ( ) kuadat dai koeffisie ii ρ disebut koeffisie detemiasi populasi, ilai dai ( ) koeffisie koelasi adalah aka kuadat positif ya yaitu ρ ( ). Utuk Kasus Multivaiat Misalka teadapat,,..., m,,,..., bedistibusi N m ( µ, ) µ ( m ) dega µ da µ ( ) ( m m) ( m ) ( m) ( ) egesi dai vekto dalam adalah µ µ µ µ z z ( z ) kuadat haapa da matiks coss poduk utuk eoya adalah E ( )( ) bedasaka sampel acak ukua, estimato maximum likelihood utuk fugsi egesiya adalah da estimato likelihood dai Koeffisie Koelasi Pasial ( ) z S S z adalah ( s S S S ) Aggaplah pasaga kesalaha µ ( µ ) µ ( µ ) 45

46 dipeoleh dai megguaka pedikto liie tebaik da hubugaya ditetuka dai matik kovaia kesalaha koeffisie koelasi pasial sampel adalah Cotoh : Dibeika Peyelesaia: z,,,3, 4 y,4,3,8,9 y Aka ditetuka,,,3, s s z s z tetuka model pesamaa egesi multivaiatya Dai pesoala diatas maka diyataka dalam betuk matiksya adalah Selautya cai ( ) 3 ( ) dipeoleh 5 5,6,,, Selautya aka ditetuka ( ) da ( ) () () () () 46

47 () () ( ) ( ) () () () (),6, 5,6, 5,, 7,, Sehigga dipeoleh z z Jadi matiks () () Peaksia paamete Hipotesis Statistik ui Λ E E H dega E H y y

48 X 3 y y 5 [ 5 ] E X Λ E H y y , bedasaka tabel Wilks lambda dipeoleh Λ α, m,, Λ,5;;;3, 5 (Tabel A.9 Wilks Lambda;567) kiteia Tolak H ika Λ Λ α, m,, kaea Λ > Λ α, m,, yaitu,65>,5 kesimpulaya H diteima, adi koeffisie tidak beati pada kedua pesamaa diatas. 48

49 Nama : Siti Habsah NIM : Aalisis Jalu Metode aalisis alu dikembagka oleh ahli geetika Sewel Wight pada 98-9 utuk meelaska hubuga sebab akibat dalam geetika populasi. Aplikasi aalisis aluya pada 95 utuk megawetka da memoopoli hagahaga tuut mempakasai pegguaa pesamaa stuktual dalam ekoomi. Tuua aálisis alu (atau aálisis pesamaa stuktual) utuk meyediaka peelasa yag logis dai koelasi yag diobsevasi dega megkostuksi model hubuga sebab da akibat ataa vaiabel-vaiabel. Koefisie koelasi sigifika yag tidak meuukka hubuga sebab akibat telah ditegaska bekali-kali pada diskusi koelasi, seigkali dega cotoh meggelika sepeti asosiasi positif diataa peuala peme kaet da da agka kimialitas. Tetu saa sebuah koelasi yag diobsevasi tidak peah bisa diguaka sebagai bukti hubuga sebab akibat. Agume meyakika utuk sebab akibat dapat dikostuksi dai ifeesi statistik besama dalil yag meyataka hubuga yag dikembagka dai ilmu pegetahua dai subek masalah da pegetia yag behubuga. Misalya teoi klasik tetag sifatsifat haga, keaika haga agug meaikka pemitaa da meuuka suplai. Dalam hal ii vaiabel pemitaa da suplai dipelakuka sebagai peyebab peubaha haga agug. Ketika satu vaiabel X medahului vaiabel lai pada suatu waktu, dapat disimpulaka X meyebabka X. Secaa diagam kita dapat meulis X X. Dega megikutsetaka eo є dalam hubuga, diagam aluya adalah X Dalam hubuga model liie, X dimaa sekaag X adalah vaiabel peyebab yag tidak dipegauhi oleh vaiabel lai. Gagasa hubuga sebab akibat ataa X da X meghauska semua fakto peyebab lai yag 49

50 mugki, dikesampigka. Secaa statistik, kita meetapka bahwa X da tidak bekoelasi, dimaa meuukka akibat besama dai semua vaiabel tidak teuku yag dapat mempegauhi X da X. Lebih spesifik lagi, egesi ditulis dalam betuk baku dega otasi yag elas atau (7-7) Walaupu eo dalam betuk baku, memiliki sebuah koefisie. Dalam model baku, paamete koefisie alu biasa disebut p. Model dalam (7-7) megakibatka Pesamaa kedua meyataka bahwa kesimpula semetaa diagam alu itu sedii legkapya ditetuka oleh vaiabel-vaiabel yag di tuukka kaea kostibusi pada vaiasi beumlah satu. Secaa matematis, sama logisya utuk meumuska bahwa X meyebabka X atau meumuska model ketiga yag memuat sebuah fakto yag behubuga, cotohys F 3 yag betaggug awab atas koelasi yag diobsevasi ataa X da X. Dalam kasus teakhi, koelasi ataa X da X adalah palsu da buka sebuah koelasi sebab akibat. Diagam aluya adalah X F 3 dimaa kita mempehitugka eo lagi dalam hubuga. Dalam hubuga vaiabel-vaiabel baku, model liie yag diakibatka oleh diagam alu di atas meadi X 5

51 (7-7) Dega eo baku da tidak bekoelasi satu sama lai dega F 3. Akibatya, koelasi dihubugka dega koefisie alu oleh da Model sebab akibat yag diumuska dalam (7-7) bebeda dai model dalam (7-7) maka tidak megeutka bahwa hubuga ataa koelasi da koefisie alu bebeda. Aalisis alu beisi dua kompoe utama: () diagam alu, da () dekomposisi koelasi yag diobsevasi ke seumlah hubuga koefisie alu yag mewakili alu-alu sedehaa da gabuga... Pegkostuksia Diagam Jalu Sebuah pebedaa dibuat diataa vaiabel-vaiabel yag tidak dipegauhi oleh vaiabel-vaiabel lai dalam sistem (vaiabel eksoge) da vaiabel-vaiabel yag dipegauhi oleh vaiabel-vaiabel lai (vaiabel edoge). Dega masigmasig vaiabel-vaiabel teikat teakhi dihubugka sebuah esidual. Atua tetetu meetuka peggambaa sebuah diagam alu. Tada paah meuukka sebuah alu. Diagam alu dikostuksi sebagai beikut:. Tada paah luus meuukka hubuga sebab ataa vaiabel-vaiabel exogeous atau peataa dega satu vaiabel teikat atau lebih. Tada paah luus uga meghubugka kesalaha (vaiabel esidue) dega semua vaiabel edogeous masig-masig 3. Tada paah kuva dega uug paah gada digamba diataa masigmasig pasaga vaiabel bebas (edoge) yag memiliki koelasi tidak ol. 5

52 Tada paah kuva utuk koelasi megidikasika koefisie koelasi alami simetis. Hubuga-hubuga lai yag lagsug, sepeti diidikasika oleh tada paah dega uug tuggal. Ketika megkostuksi diagam alu, biasaya megguaka vaiabelvaiabel yag telah baku yag memiliki ata-ata da vaiasi. Dalam koteks egesi begada, modelya adalah atau dimaa koefisie alu, γk γγ (7-73) p adalah koefisie egesi utuk k kk pedikto baku da p. γ γγ Utuk meilustasika pegkostuksia diagam alu, petama kita gamba diagam yag meelaska egesi begada dega vaiabel pedikto 3. Ketika masig-masig k dipelakuka sebagai vaiabel peyebab, koelasi ataa pasaga vaiabel-vaiabel eksoge dituukka oleh tada paah bebetuk kuva dega uug gada. Tada paah luus beagkat dai masigmasig vaiabel peyebab ke. Eo da masig-masig k (diasumsika) tidak bekoelasi sehigga tidak ada tada paah yag meghubugka vaiabelvaiabel ii. Diagam alu utuk vaiabel pedikto 3 dibeika dalam gamba 7.6 p p 3 p 3 p Gamba 7.6 5

53 Kesedehaaa lai, masih meaik, kodisi model aalisis fakto dega satu fakto biasa yag tidak diobsevasi. Meuut model ii, fakto tuggal tidak diobsevasi, F, betaggug awab atas koelasi ataa vaiabel espo, model dapat ditulis dalam hubuga vaiabel-vaiabel baku F,,, 3, da,, 3 sebagai (7-74) dimaa F,,, da 3 semuaya tidak bekoelasi. Diagam alu dituukka dalam gamba 7.7. P F P F P F P 3F 3 P 3 3 Gamba 7.7 Pegkostuksia diagam alu dapat membatu peeliti bepiki bea tetag sebuah masalah da meggambaka kompoe-kompoe petig koelasi yag diobsevasi. 53

54 .. Dekomposisi Koelasi yag Diobsevasi Estimasi koefisie alu aka memugkika kita meaksi pegauh lagsug da tidak lagsug dimaa satu vaiabel memiliki pegauh pada vaiable lai. Dai model liie yag meyataka hubuga sebab, kita dapat meemuka peyataa yag meghubugka koefisie alu da koelasi. Cotoh 7.6 (Aalisis Jalu dai Model Regesi) Dai betuk baku model egesi begada ([lihat (7-73)], koelasi ataa da masig-masig k dapat di dekomposisi sebagai beikut ρ Co (, k ) Cov pγi i, k pγi ρik i i γ k, k,,..., (7-75) Juga, ketika diagam alu memuat diiya sedii sehigga ditetuka oleh vaiabel-vaiabel dalam diagam, kita meemuka pesamaa detemiasi legkap. Va( ) Va pi i p pi ρik pk p i i k p i p i ρ ik p k p i i k i Vaiasi Poposi vaiasi Poposi vaiasi yg total yg lagsug dibeika disebabka itekoelasi oleh koefisie alu ataa vaiabel teikat Keadaa ρ [ ρ ρ,..., ρ ] T, matiks x { } [ p p p ] T,, (7-76) Poposi vaiasi disebabka eo ρ da ρ ik p,...,. Pesamaa (7-75) dapat ditulis dalam otasi matiks sebagai ρ ρ p, sehigga p ρ ρ Selai itu, eo yag beasal dai(7-76) meadi p dalam (7-73) memiliki vaiasi p, Va( ) p p ρ Kuadat koefisie alu ρ ρ ρ p p dihubugka pada koefisie koelasi begada kaea 54

55 p p ( ρ ρ ρ ) ρ ( ) Utuk data kompute cotoh 7.6, kita megauka diagam alu beikut bedasaka dugaa hubuga sebab akibat ataa,, da : p p Diagam ii membawa pada model liie (dalam betuk vaiabel-vaiabel baku) pi p p Akibatya, pesamaa (7-75) da (7-76) meadi da ρ ρ ) p ( p ρ p ρ p () sustitusi koelasi koelasi-koelasi cotoh (lihat cotoh 7. utuk S).997,. 45, da. 39 utuk bayakya populasi yag bekoespodesi dia atas, kita dapat megestimasi koefisie alu p da p dega meyelesaika. 997 p. 39p p p Secaa ekivale, kita dapat megguaka p p p Akhiya ( ) p p p pρ p Va ρ ρ p ρ p [ ]. Dega demikia koelasi yag diobsevasiataa espo CPU time da vaiabel pedikto pemitaa da peambaha-peghapusa item 55

56 dapat didekmposisi ke dalam bagia-bagia yag mewakili pegauh lagsug da tidak lagsug. Cotohya, secaa lagsug mempegauhi (diwakili oleh koefisie alu p da uga mempegauhi secaa tidak lagsug melalui (dituukka oleh hubuga poduk ρ p. Dega mesubstitusi bilagabilaga pada diagam alu, kita puya Tepat megguaka sebuah tabel utuk meuukka pegauh dekomposisi vaiabel-vaiabel pedikto pada espo. Idiect effect Diect effect Total effect (odes) (add-del items) Pehatika bahwa koefisie alu meguku pegauh lagsug k pada adalah koefisie egesi utuk vaiabel-vaiabel baku. Cotoh 7.7 (Aalisis Jalu dai Model Aalisis Fakto dega Satu Fakto Biasa) Model fakto tuggal dalam (7-74) utuk 3 vaiabel espo meghasilka hubuga utuk dekomposisi koelasi yag diobsevasi. ρ ik ( i k ) Cov( pif F pi i p kf F pk k ) pif pkf Co,, i k,, 3, i k da pesamaa detemiasi legkap ( ) Va( p p ) p p Va k kf k k k kf k k 56

57 Eam pesamaa ii dega mudah diselesaika utukkoefisie alu dalam betuk koelasi yag diestimasi. Cotoh 8.4 membeika matiks kovaia cotoh S utuk dimesi tiga (of tutle shells), yag maa kita meetuka.95, 3.94, da 4.9. dega memgasumsika fakto tuggal (ptumbuha) meebabka shell dimesios, kita bisa meulis. 95 p F p F. 94 adi p F p 3F (.95)(.94) p p p p.9 F F F 3F p F p F p3f. 9 p p F 3F da p. 99. Juga p pf. 7, da p. 9. Dega caa yag F sama, p (.95)(.9) /(.94). 959, p (.959). 83, p 3 F.95, da p. 3 F 3. Semua koefisie alu utuk faktu biasa adalah besa dibadigka koefisie alu eo. Ii meyataka sebuah mekaisme sebab akibat kuat ika model sebab akibat ii tepat. Tambaha, koefisie alu hampi sama, walaupu l(legth) dipegauhi lebih sedikit oleh F. Diagam alu dega koefisie alu yag diestimasi ditampilka beikut. p kf F Utuk meyimpulka, aalisis alu megambil teoi-teoi substasif utuk pemitaa-pemitaa sebab da megguaka diagam alu utuk meemuka dekomposisi koelasi yag diobsevasi tehadap pegauh lagsug 57

58 da tidak lagsug. Koefisie-koefisie alu membatu meetuka petigya pegauh-pegauh lagsug da tidak lagsug. Kesimpula aalisis alu aka begatug hubuga sebab akibat yag diasumsika 58

59 BAB III KESIMPULAN MODEL REGRESI LINIER MULTIVARIAT Kasus Uivaiat Tedapat satu vaiable espo utuk seumlah data maka z L z z z L M M M O M M M z L z model pesamaaya ( ) ( ( ) (( ) ) ( ) dega metode kuadat tekecil peaksi : ( ) y koefisie detemiasi : R ( y y) ( y y) iteval kepecayaa : α ± t Test Hipotesis i Statistik ui i Va ( ) i i H : (,,..., ) H : F SSR SSE ( ) Dega SSR ( ) ( ) y y SSE y y y Kiteia tolak H ika F > F α,, (Reced;33) 59

60 Kasus Multivaiat Misalka utuk vaiable espo sebayak atau tedapat da da 3 vaiabel pedicto maka y y z z z3 y y z z z 3 M M M M M M M M y y z z z ika teadapat m vaiable espo da vaiable pedicto z, maka tedapat seumlah pesamaa model egesi : z... z z... z M M M z... z m m m m m dega [ ] mempuyai E ( ), Va ( ),,..., m model Regesi Liea Multivaiatya adalah ( m ) ( ( )) (( ) m) ( m ) dega ( ( ) ) ( ( ) ( ) ) E, Cov, I i, k,,... m i i k ik dega megguaka peaksia kuadat tekecil peaksi : ( ) dega () () L ( m ) da ( ) dega () () L ( m ) esidualya adalah dega matik kovaiaya iteval kepecayaa : ( α)% cofidece ellipsoid utuk ( ) ( ) z adalah m ( ) z z z z z z F m, m( α ) m ( ) ( ) ( ) 6

61 ( α)% iteval kepecayaa simulta utuk E( ) z adalah ( i) ( i) m( ) z ( i) ± Fm, m( α ) z( ) z ii i,,..., m m Test Hipotesis H : (,,..., ) i H : i statistik ui Λ E E H dega E H y y kiteia Tolak H ika Λ Λ α, m,, dimaa m meuuka bayakya vaiable, meuuka bayakya vaiable. Dalam tabel Wilks Lambda m meyataka p, meyataka V H da -- meyataka V E (Reced;344) Kosep Regesi Liie Utuk Kasus Uivaiat µ ( ) Misalka tedapat,,,..., dega µ µ ( ) da Σ ( ) ( ) Σ ( ) ( ) dimaa pedikto liieya adalah koefisie µ µ, memiliki mea squae eo yaitu,,..., dega E( ) E( µ ( µ )) koelasi ataa vaiabel teikat dega pedikto liie tebaikya disebut koeffisie koelasi multiple populasi yag diotasika sebagai ρ ( ) 6

62 kuadat dai koeffisie ii ρ disebut koeffisie detemiasi populasi, ilai dai ( ) koeffisie koelasi adalah aka kuadat positif ya yaitu ρ ( ). Utuk Kasus Multivaiat Misalka teadapat,,..., m,,,..., bedistibusi N m ( µ, ) µ ( m ) dega µ da µ ( ) ( m m) ( m ) ( m) ( ) egesi dai vekto dalam adalah µ µ µ µ z z ( z ) kuadat haapa da matiks coss poduk utuk eoya adalah E ( )( ) bedasaka sampel acak ukua, estimato maximum likelihood utuk fugsi egesiya adalah da estimato likelihood dai Koeffisie Koelasi Pasial ( ) z S S z adalah ( s S S S ) Aggaplah pasaga kesalaha µ ( µ ) µ ( µ ) dipeoleh dai megguaka pedikto liie tebaik da hubugaya ditetuka dai matik kovaia kesalaha koeffisie koelasi pasial sampel adalah s s s 6

63 Aalisis alu Tuua aálisis alu (atau aálisis pesamaa stuktual) utuk meyediaka peelasa yag logis dai koelasi yag diobsevasi dega megkostuksi model hubuga sebab da akibat ataa vaiabel-vaiabel. Aalisis alu beisi dua kompoe utama: () diagam alu, da () dekomposisi koelasi yag diobsevasi ke seumlah hubuga koefisie alu yag mewakili alu-alu sedehaa da gabuga. Koelasi ataa da masig-masig k dapat di dekomposisi sebagai beikut ρ Co (, k ) Cov pγi i, k pγi ρik i i γ k, k,,..., da pesamaa detemiasi legkap Va( ) Va pi i p pi ρik pk p i i k p i p i ρ ik p k p i i k i Dai kedua pesamaa tesebut kita dapat meetuka besa koefisia alu. 63