Bab 1 Berbagai Sistem Koordinat Baku

Transkripsi

1 Sumbu z Sumbu z Mekanka Klask, M.F.Rosyd 1 Bab 1 Berbaga Sstem Koordnat Baku Dalam bab n akan djelaskan berbaga jens sstem koordnat yang lazm dan harus dgunakan dalam permasalahan sstem-sstem mekank. Pemlhan sstem koordnat yang akan dgunakan menyesuakan kesetangkupan (smetr) yang dmlk oleh sstem mekank yang dtnjau. Pembahasan melput batasan sstem koordnat, transformas koordnat, rentang nla koordnat, lengkung koordnat, permukaan koordnat. 1. Sstem Koordnat Kartesus 1.1. Batasan : z P(x, y, z) y Sumbu y x z Sumbu x (x, y, z) (a) Putar kanan x Sumbu x y Sumbu y (a) Putar kr

2 Sumbu z Sumbu z Mekanka Klask, M.F.Rosyd 1.. Permukaan-permukaan Koordnat (a) Persamaan x = b menentukan hmpunan yang beranggotakan semua ttk dalam ruang yang memlk proyeks ke sumbu x d x = b. Jad, hmpunan yang dmaksud adalah {(x,y,z) x = b}. Hmpunan n tdak lan adalah bdang yang memotong sumbu x secara tegak lurus d ttk (b, 0, 0). Sumbu y (b,0,0) Sumbu x (b) Persamaan y = c menentukan bdang yang memotong sumbu y secara tegak lurus d ttk (0,c,0). (0,c,0) Sumbu y Sumbu x

3 Sumbu z Mekanka Klask, M.F.Rosyd 3 (c) Pernsamaan z = d menentukan bdang yang memotong sumbu y secara tegak lurus d z = d. (0,0,d) Sumbu y Sumbu x 1.3. Permukaan-permukaan Yang Lan Setap persamaan dengan peubah x, y dan z yang berbentuk f(x, y, z) = 0 menentukan sebuah permukaan dalam ruang tga dmens yang dbentang oleh x, y dan z. Contoh : Persamaan x + y a = 0 menentukan letak ttk-ttk dalam ruang sedemkan rupa sehngga koordnat x dan y ttk-ttk tu memenuh persamaan tu. Persamaan tu dapat dubah menjad x + y = a. Suku x + y tdak lan menyatakan kuadrat jarak ttk-ttk yang dmaksud dar sumbu z. Jad, persamaan x + y a = 0 menentukan letak ttk-ttk dengan jarak sejauh a dar sumbu z. Jad, ttk-ttk tu terletak pada selongsong sebuah slnder yang panjangnya tak terhngga dan terletak membujur sepanjang sumbu z dengan sumbu z sebaga sumbu slnder tu (lhat gambar berkut).

4 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 4 a 1.4. Kurva-kurva Sstem persamaan yang tersusun atas dua persamaan yang berbentuk f 1 (x, y, z) = 0 dan f (x, y, z) = 0, menentukan sebuah kurva dalam ruang tga dmens yang dbentang oleh x, y dan z. Kurva yang dmaksud adalah perpotongan antara permukaan yang dtentukan oleh f 1 (x, y, z) = 0 dan permukaan yang dtentukan oleh f (x, y, z) = 0. Contoh : Sstem persamaan x + y a = 0 dan z = b, dengan a dan b blangan-blangan rl, menentukan sebuah kurva yang berupa sebuah lngkaran mendatar berpusat d ttk (0,0,b) dengan jar-jar a. Lngkaran tu merupakan perpotongan antara slnder x + y a = 0 dan bdang datar z = b (lhat gambar d bawah).

5 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 5 a bdang z = b slnder x + y a = Pertanyaan-pertanyaan : 1. Permukaan macam apa yang dtentukan oleh persamaan x + y = 0?. Permukaan macam apa yang dtentukan oleh persamaan bx + cy = a, dengan a, b, dan c blangan-blangan rl? 3. Kurva macam apa yang dtentukan oleh sstem persamaan z = d dan x = b? 4. Kurva macam apa yang dtentukan oleh sstem persamaan x + y = a dan z = b, dengan a dan b blangan-blangan rl?

6 Sumbu z Sumbu z Mekanka Klask, M.F.Rosyd 6. Sstem Koordnat Kult Bola.1. Batasan : P(r,, ) r Sumbu y Sumbu x z r P(r,, ) x = r sn cos y = r sn sn z = r cos x y Sumbu y Sumbu x

7 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 7.. Permukaan-permukaan Koordnat (a) Jka a suatu blangan rl tak negatf, maka persamaan r = b menentukan sebuah hmpunan yang beranggotakan ttk-ttk dalam ruang yang jaraknya dar ttk pangkal sebesar b. Hmpunan ttk semacam n tdak lan adalah permukaan/kult bola yang berpusat d ttk pangkal dan berjar-jar b. b (b) Jka c suatu blangan rl dengan 0 c, maka persamaan = c menentukan hmpunan yang beranggotakan ttk-ttk dalam ruang yang terletak pada permukaan kerucut dengan puncak d ttk pangkal dan sudut puncak sebesar c. Sumbu z c

8 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 8 (c) Jka d suatu blangan rl dengan 0 d, maka persamaan = d menentukan hmpunan yang beranggotakan ttk-ttk dalam ruang yang terletak pada bdang yang vertkal yang membentuk sudut sebesar d dengan bdang xz. Sumbu z Sumbu y d Sumbu x.3. Pertanyaan-pertanyaan : 1. Permukaan macam apa yang dtentukan oleh persamaan r + = 0?. Permukaan macam apa yang dtentukan oleh persamaan + 3 =? 3. Jka c suatu blangan rl dengan 0 c, kurva macam apa yang dtentukan oleh sstem persamaan r = b dan = c? 4. Jka c dan d blangan-blangan rl dengan 0 c dan 0 d, kurva macam apa yang dtentukan oleh sstem persamaan = c dan = d? 5. Jka d blangan rl dengan 0 d, kurva macam apa yang dtentukan oleh sstem persamaan r = b dan = d?

9 Sumbu z Sumbu z Mekanka Klask, M.F.Rosyd 9 3. Sstem Koordnat Slnder 3.1. Batasan : P(,, z) z Sumbu y Sumbu x z P(,, z) x = cos y = r sn z = z x y Sumbu y Sumbu x

10 Mekanka Klask, M.F.Rosyd Pertanyaan-pertanyaan : 1. Jka b sebuah blangan rl tak negatf, maka permukaan macam apa yang dtentukan oleh persamaan = b.. Jka d blangan rl dengan 0 d, permukaan macam apa yang dtentukan oleh persamaan = d? 3. Jka b sebuah blangan rl tak negatf dan d blangan rl dengan 0 d, kurva macam apa yang dtentukan oleh sstem persamaan = b dan = d? 4. Sstem Koordnat Sferod Lonjong Bla sebuah elps dputar pada sumbu panjangnya, maka permukaan yang dsapu oleh elps tu berupa bangun dua dmens yang dsebut sferoda lonjong (ngat bola rugby?). Sstem koordnat n dnamakan sstem koordnat sferod lonjong berhubung salah satu permukaan koordnatnya (u = konstanta) berbentuk sferoda lonjong. Dalam sstem koordnat n setap ttk dalam ruang dtanda oleh tga blangan (u, v, ), dengan 0 u, 0 v dan 0. Suatu ttk P yang memlk koordnat (x, y, z) dalam suatu sstem koordnat kartesus, memlk koordnat (u, v, ) sedemkan rupa sehngga dengan a suatu blangan rl postf. x = a snh u sn v cos y = a snh u sn v sn z = a cosh u cos v, 4.1 Permukaan-permukaan koordnat Jka b suatu tetapan dengan 0 b, maka persamaan u = b mengakbatkan x = a snh b sn v cos = B sn v cos, y = a snh b sn v sn = B sn v sn, z = a cosh b cos v = A cos v, dengan B = a snh b dan A = a cosh b. Jelas sekal bahwa B A. Oleh karena tu, berlaku x B y B z A 1. In adalah persamaan sferod lonjong dengan sumbu pendek B dan sumbu panjang A.

11 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 11 sumbu z sumbu y sumbu x sumbu y sumbu x Jka c suatu tetapan dengan 0 c, maka persamaan v = c mengakbatkan x = a snh u sn c cos = B snh u cos, y = a snh u sn c sn = B snh u sn, z = a cosh u cos c = A cosh u, dengan A = a cos c dan B = a sn c. Dar persamaan-persamaan tu dperoleh z A' x B' y B' 1. In adalah persamaan hperbolada berdaun ganda. 4. Pertanyaan-pertanyaan 1. Permukaan macam apa yang dtentukan oleh persamaan = d, jka d suatu tetapan?. Jka 0 b dan 0 c, Kurva macam apa yang dtentukan oleh sstem persamaan u = b dan v = c?

12 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 1 5. Sstem Koordnat Sferod Pepat Bla sebuah elps dputar pada sumbu pendeknya, maka permukaan yang dsapu oleh elps tu berupa bangun dua dmens yang dsebut sferoda pepat (ngat bola bum?). Sstem koordnat n dnamakan sstem koordnat sferod pepat berhubung salah satu permukaan koordnatnya (u = konstanta) berbentuk sferoda pepat. Dalam sstem koordnat n setap ttk dalam ruang dtanda oleh tga blangan (u, v, ), dengan 0 u, 0 v dan 0. Suatu ttk P yang memlk koordnat (x, y, z) dalam suatu sstem koordnat kartesus, memlk koordnat (u, v, ) sedemkan rupa sehngga dengan a suatu blangan rl postf. x = a cosh u sn v cos y = a cosh u sn v sn z = a snh u cos v, 5.1 Permukaan-permukaan koordnat Jka b suatu tetapan dengan 0 b, maka persamaan u = b mengakbatkan x = a snh b sn v cos = A sn v cos, y = a snh b sn v sn = A sn v sn, z = a cosh b cos v = B cos v, dengan A = a cosh b dan B = a snh b. Jelas sekal bahwa B A. Oleh karena tu, berlaku x A y A z B 1. sumbu z sumbu y sumbu x

13 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 13 sumbu y sumbu x In adalah persamaan sferod pepat dengan sumbu pendek B dan sumbu panjang A. Jka c suatu tetapan dengan 0 c, maka persamaan v = c mengakbatkan x = a cosh u sn c cos = B cosh u cos, y = a cosh u sn c sn = B cosh u sn, z = a snh u cos c = A snh u, dengan A = a cos c dan B = a sn c. Dar persamaan-persamaan tu dperoleh x B' y B' z A' 1. In adalah persamaan hperbolada berdaun tunggal. 5. Pertanyaan-pertanyaan 1. Permukaan macam apa yang dtentukan oleh persamaan = d, jka d suatu tetapan?. Jka 0 b dan 0 c, Kurva macam apa yang dtentukan oleh sstem persamaan u = b dan v = c? 3. Jka 0 d dan 0 c, kurva macam apa yang dtentukan oleh sstem persamaan v = c dan = d?

14 Mekanka Klask, M.F.Rosyd Jka 0 d dan 0 b, kurva macam apa yang dtentukan oleh sstem persamaan u = b dan = d? 6. Sstem Koordnat Slnder Elptk Slnder elptk adalah slnder dengan penampang berupa elps. Dalam sstem koordnat slnder elptk, sebuah ttk dalam ruang dtanda dengan tga blangan rl (u, v, z), dengan 0 u, 0 v, dan z. Bla suatu ttk dalam ruang memlk koordnat (x, y, z) dalam suatu sstem koordnat kartesus, maka dalam sstem koordnat elptk ttk tu memlk koordnat (u, v, z) sedemkan rupa sehngga dengan a suatu blangan rl postf. x = a cosh u cos v y = a snh u sn v z = z, 6.1 Permukaan-permukaan koordnat Jka b suatu tetapan dengan 0 b, maka persamaan u = b mengakbatkan x = a cosh b cos v = A cos v, y = a snh b sn v = B sn v, z = z. dengan A = a cosh b dan B = a snh b. Jelas sekal bahwa B A. Oleh karena tu, berlaku x A B y 1. In adalah persamaan slnder elptk dengan sumbu pendek B dan sumbu panjang A yang terletak membujur sepanjang sumbu z. sumbu y sumbu x

15 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 15

16 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 16 Bab Klas Balk Mekanka Newton 1. Hukum Newton : 1.1 Hukum Pertama : Setap benda akan terus berada pada keadaan dam atau bergerak dengan kelajuan tetap sepanjang gars lurus jka tdak dpaksa untuk merubah keadaan geraknya tu oleh gaya-gaya yang bekerja padanya. 1. Hukum Kedua : Resultan gaya yang bekerja pada suatu benda mengakbatkan terjadnya perubahan momentum. Perubahan momentum tap satu satuan waktu yang dalam oleh benda tu berbandng lurus dengan resultan gaya yang bekerja padanya. d F = p. 1.3 Hukum Ketga : Bla suatu benda (sebut benda pertama) mengerjakan gaya pada benda lan (sebut benda kedua), maka benda kedua akan melakukan gaya pada benda pertama yang besarnya sama tetap arahnya berlawanan dengan gaya yang dkerjakan oleh benda pertama pada benda kedua. Gaya yang dlakukan oleh benda pertama pada benda kedua dsebut gaya aks, sedang gaya yang dlakukan oleh benda kedua pada benda pertama dsebut reaks bag gaya yang dkerjakan oleh benda pertama pada benda kedua. Jad, setap gaya yang dkerjakan akan mendapat reaks. Tdak ada gaya yang tdak mendapatkan reaks. Gaya aks dan gaya reaks tdak pernah bekerja pada benda yang sama. Gaya reaks bekerja pada benda yang melakukan gaya aks. Karena p = mv, maka d d dm dm mv = m v + v = ma + v.

17 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 17 Jad, hukum kedua Newton dapat dtuls menurut : dm F = ma + v. Apabla sstem mekank yang dtnjau tdak mengalam perubahan massa, maka suku kedua ruas kanan persamaan terakhr lenyap. Oleh karena tu, Dar persamaan terakhr n, F = ma. (1) a = m 1 F. () Jad, percepatan (perubahan gerakan) akbat gaya total berbandng terbalk dengan massa benda. Prnsp-prnsp pentng yang harus selalu dperhatkan dalam penerapan hukum Newton kedua : Ruas kr persamaan (1) merupakan jumlahan vektor semua gaya yang bekerja pada sstem mekans yang dtnjau. Apabla persamaan (1) hendak dterapkan hanya pada suatu bagan dar suatu sstem mekans, maka lupakanlah gaya-gaya yang tdak bekerja pada bagan tu. Gaya-gaya yang bekerja pada sstem mekank sangat bervaras. Gaya-gaya tu dapat berupa gaya-gaya konstan. Tetap, pada umumnya, gaya-gaya tu bergantung pada poss dan waktu serta beberapa parameter yang lan (lhat Fowles mula hal. 40). Meskpun demkan, semua gaya yang terlbat dalam mekanka dapat dkembalkan ke empat gaya mendasar : gaya gravtas, gaya elektromagnetk, gaya kuat dan gaya lemah. 1.4 Contoh : a. Sebaga contoh, perhatkanlah gambar d bawah. Sebuah bola bes yang bermassa m dgantung pada ujung seutas tal. Ujung tal yang lan dtautkan ke langt-langt sebagamana yang dlustraskan oleh gambar. Gaya manakah yang merupakan reaks bag gaya berat W? Pertanyaan semacam n akan sangat mudah djawab bla kta mengetahu oleh sapa dan pada sapa gaya berat W tu dlakukakan. Telah jelas bahwa gaya berat W dkerjakan pada bola bes. Dengan kata lan, gaya berat W dderta oleh bola bes. Oleh karena tu reaksnya past dlakukan oleh bola bes tu pada phak yang mengerjakannya. Sapa yang mengerjakan gaya berat W? Gaya W dkerjakan oleh bum. Oleh karena tu reaks bag gaya berat W adalah gaya yang dlakukan oleh bola bes pada bum yang

18 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 18 besarnya sama dengan gaya W, namun arahnya berlawanan. Jad, gaya yang dmaksud adalah gaya G. T T T T W = mg (a) W = mg G = -W (b) Bum b. Sebuah pegas memlk tetapan 500 N/m. ) Ujung kr pegas tu dtempel kuat-kuat pada dndng (lhat gambar (a)). Ujung yang lan dtark dengan gaya 10 N ke kanan. Maka pertambahan panjang pegas adalah 10 N 500 N/m = 0,0 m. (a) 10 N (b) 10 N 10 N

19 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 19 ) Kemudan ujung pegas yang menempel pada dndng dlepas dan dtark dengan gaya 10 N ke kr. Sedangkan ujung yang sebelah kanan mash dtark ke kanan dengan gaya yang besarnya sama (lhat gambar (b)). Maka pertambahan panjang pegas adalah 10 N 500 N/m = 0,0 m. Mengapa bukan kal 0,0 m?. Hukum Newton dan Persamaan Gerak Apabla hukum Newton dterapkan pada suatu sstem mekans, maka akan dperoleh persamaan gerak. Dar persamaan () ddapat d r(t) = m 1 F. Karena r(t) = x(t) + y(t)j + z(t)k dan F = Fx + Fy j + Fz k, maka d x( t) d y( t) + d z( t) j + k = Fx + Fy j + Fz k. Jad, d x( t) = m 1 x d x( t) F m 1 F x = 0, d y( t) = m 1 y d y( t) F m 1 F y = 0, d z( t) = m 1 z d z( t) F m 1 F z = 0.

20 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 0 Inlah yang dsebut persamaan gerak. Jawaban persamaan n adalah koordnat benda sebaga fungs waktu : x(t), y(t), dan z(t). Fungs-fungs n sangat bergatung pada syarat awal, yakn dketahunya poss dan kecepatan benda pada suatu saat tertentu (basanya saat t = 0)..1 Contoh : Pada benda yang bergerak d udara, bekerja gaya gravtas bum sebesar mg dan arahnya ke bawah dan gaya gesakan udara yang arahnya berlawanan dengan arah gerak benda. Andakan gaya gesekan udara berbandng lurus dengan kecepatan : F fr = v. Apabla sumbu-z dplh pada arah vertkal, maka gaya total yang bekerja pada benda adalah Jad, F = mg k v = mg k v x (t) v y (t)j v z (t)k. = v x (t) v y (t)j [v z (t) + mg]k dx F x = v x (t) = dy F y = v y (t) = dz F z = [v z (t) + mg] = mg. Akhrnya, dperoleh persamaan gerak berkut d x( t) + m dx = 0 d y( t) + m dy = 0, d z( t) + m dz + g = 0. Dalam bab berkutnya akan dsajkan contoh pentng berkatan dengan persamaan gerak tersebut.

21 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 1 Bab 3 Getaran Selaras 1. Getaran Selaras Andakan sebuah benda bermassa m dan pada benda tu bekerja gaya total yang berupa gaya restoras : F = kr = kx kyj kz k, dengan k suatu tetapan postf dan r poss benda tu. Penerapan hukum Newton menghaslkan persamaan gerak d x( t) k + x m = 0, d y( t) k + y m = 0, d z( t) k + z m = 0. In adalah persamaan gerak untuk sstem mekank yang dsebut getaran selaras sotrops. Bla benda dbatas geraknya hanya pada suatu lntasan yang hanya bergantung pada satu peubah (varable) yang menunjukkan possnya pada suatu saat, maka dperoleh getaran selaras satu dmens. Apabla satu varabel yang dmaksud dtuls sebaga u(t), maka getaran selaras satu dmens dwakl oleh persamaan d u( t) k + u(t) m = 0. (3) Fungs u(t) dsebut smpangan. Sementara besaran yang ddefnskan sebaga k = m

22 Mekanka Klask, M.F.Rosyd dsebut frekuens sudut getaran tu. Jawaban umum bag persamaan (3) adalah u(t) = A sn (t) + B cos (t), (4) dengan A dan B suatu tetapan yang bergantung pada syarat awal, yakn bagamana cara kta member smpangan awal. 1.1 Contoh : Dtnjau sebuah pegas yang panjangnya l 0 (dalam keadaan rleks) yang tunduk pada hukum Hooke dengan konstanta k. Salah satu ujung pegas tersebut dhubungkan dengan sebuah balok yang bermassa m, sedang ujung yang lan dkatkan dengan dndng sebagamana yang dperlhatkan oleh gambar d bawah. Andakan gesekan antara balok dengan lanta cukup kecl sehngga boleh dabakan. Pada saat balok dtark ke kanan sejauh x, maka pegas akan teregang dan mengerjakan gaya F pada balok yang arahnya selalu berlawanan dengan arah pergeseran balok. Jka sebaga sumbu-x kta sepakat sepert pada gambar dengan ttk nol berada sejauh l 0 dar dndng sebelah kr, maka F = F(x) = kx r(t) = x(t) l 0 F x a(t) N x = 0 Sumbu-x mg Balok hanya akan bergerak sepanjang sumbu x. Oleh karena tu ddapat persamaan gerak berkut d x( t) k + x m = 0, In adalah persamaan getaran selaras satu dmens dengan u = x. Jawaban bag persamaan n dberkan oleh

23 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 3 x(t) = A sn (t) + B cos (t). Andakan mula-mula balok dtark sehngga berada pada ttk x = x 0 dan djaga dam d sana. Lalu pada saat t = 0 dlepaskan. Jad, berlaku syarat awal berkut dx x(0) = x 0 dan v(0) = = 0. Dar jawaban umum d atas ddapat dan x(0) = A sn (0) + B cos (0) = B = x 0 Jad, B = x 0 dan A = 0. dx (0) = A cos (t) B sn (t) = A = 0.. Getaran Selaras Teredam x(t) = x 0 cos (t). Apabla d sampng gaya restoras F = kx terdapat pula gaya peredam maka ddapatkan dx f d = v =, dx F = kx, dan persamaan gerak getaran selaras teredam d x( t) + m dx + k m x = 0. Ada tga jens getaran teredam (Fowles, hal 65) : a. getaran terlalu teredam Hal n terjad kalau 4mk > 0. Solus umum dberkan oleh

24 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 4 dengan x t) Aexp( t) Bexp( ), ( 1 t 4 m m 1/ c c k 1 dan m c m c 4 m k m 1/ Dalam hal n gaya peredam mencegah benda dar gerak bolak-balk, sehngga benda menuju ttk sembang secara eksponensal tanpa mengalam gerak oslas. b. getaran teredam krts Hal n terjad kalau 4mk = 0 atau = 4mk Jawaban umum bag kasus n adalah x( t) ( At B)exp( t), dengan = k / m. Dalam hal n juga tdak terjad gerak oslas selama benda mencapa ttk kesembangan. c. getaran kurang teredam Hal n terjad kalau 4mk < 0. Jawaban umum bag kasus n adalah dengan = /m, dan t x( t) e ( Acos( t) Bsn( t)), k c 4 d. m m Dalam hal n benda mengalam getaran dengan ampltudo semakn menyusut menuju ke ttk kesetmbangan. 3. Getaran Selaras Teredam dan Terpaksa Apabla d sampng gaya restoras F = kx dan gaya peredam d 1/ d dx f d = v =, terdapat pula gaya luar F ex = F ex (x) maka ddapatkan gaya total dx F = kx + Fex (x),

25 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 5 dan persamaan gerak getaran selaras teredam dan terpaksa. d x( t) + m dx + k m x = F ex. Gaya luar tu dsebut gaya pemaksa. Jawaban bag kasus n djelaskan dalam buku Fowles mula halaman 70.

26 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 6 1. Sstem Koordnat Yang Dpercepat Bab 4 Sstem Acuan Tak Inersal Dalam gambar berkut dperlhatkan sebuah sstem koordnat (kerangka) Oxyz dan O x y z. Sstem Koordnat Oxyz dasumskan sebaga koordnat yang dam. Sementara kerangka O x y z dasumskan bergerak relatf terhadap koordnat pertama. Andakan R(t) poss pangkal sstem koordnat O x y z, r(t) poss sebuah benda dukur dar koordnat Oxyz dan r (t) poss benda yang sama dlhat dar O x y z. Maka terlhat bahwa Dar persamaan n ddapatkan dan r(t) = R(t) + r (t). v(t) = V(t) + v (t) a(t) = A(t) + a (t). Jka kerangka O x y z tdak dpercepat relatf terhadap kerangka Oxyz, maka A(t) = 0 dan a(t) = a (t). Z z r(t) R(t) r (t) O y O y x x

27 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 7 Jka kerangka Oxyz nersal, maka d sana berlaku hukum Newton, yakn F = ma = ma. Jad, O x y z pun nersal. Jka sstem O x y z mengalam percepatan, yakn A(t) 0, maka atau F = ma(t) + ma (t) F ma(t) = ma (t) Sebaga persamaan gerak dlhat dar kerangka O x y z. Kta dapat menulskan persamaan terakhr n sebaga F = ma (t). Jad, dlhat dar kerangka O x y z, seolah-olah terdapat gaya tambahan ma(t) sehngga gaya total yang dderta oleh benda tu F = F ma(t). Gaya tambahan ma(t) dsebut gaya nersal atau gaya fktf. In msalnya adalah gaya dorongan ke belakang yang kta rasakan ketka bus yang kta nak bertambah cepat.. Sstem Koordnat Yang Berotas Dtnjau sebuah benda bergerak yang damat dar dua sstem koordnat dengan ttk pangkal yang sama. Sstem Oxyz dam sedangkan O x y z berotas terhadap suatu sumbu. z z r = r y O = O y x x

28 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 8 Andakan (, j, k) vektor-vektor satuan untuk Oxyz dan (, j, k ) vektor-vektor satuan untuk O x y z. Karena pangkal koordnatnya sama maka poss benda tu dlhat dar kedua sstem koordnat tu adalah r dan r dengan r = r atau x + y j + z k = x + y j + z k. Jad, dx dy dz dx' + j + k = + dy' j + dz' d d d k + x + y j + z k atau d d d v = v + x + y j + z k. Vektor v adalah kecepatan benda dlhat dar kerangka Oxyz dan v adalah kecepatan benda dlhat dar O x y z. Dapat dtunjukkan (lhat dalam Fowles halaman 115) bahwa v = v + r. dengan = n adalah kecepatan sudut perputaran kerangka O x y z relatf terhadap kerangka Oxyz. Percepatan benda a (dukur dar kerangka Oxyz) dan a (dlhat dar O x y z ) memenuh persamaan d a = a r + v + ( r ). d Suku r dsebut percepatan transversal, suku v dsebut percepatan Corols dan bagan ( r ) dsebut percepatan sentrpetal. 3. Dnamka Partkel Dalam Sstem Koordnat Yang Berotas Berhubung kerangka Oxyz adalah kerangka nersal, maka malam kerangka Oxyz hukum Newton : Oleh karena tu F = ma.

29 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 9 d F m r m v m ( r ) = m a Tampak bahwa hukum Newton berlaku pula d kerangka O x y z asalkan kta menerma adanya gaya nersal atau gaya fktf d m r m v m ( r ) sebaga gaya tambahan untuk gaya fss F. 4. Penerapan Penerapan adanya gaya fktf n adalah guna menjelaskan berbaga gejala alam yang terkat dengan rotas bum : pergerakan angn, bandul Foucault, dll. Lhat buku Fowles.

30 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 30 Bab 5 Usaha dan Tenaga 1. Tenaga Knetk Tenaga adalah besaran skalar berdmens [M][L] [T] - yang terkat dengan keadaan beberapa benda (obyek) yang dtnjau. Oleh karena tu bentukbentuk tenaga bergantung pada keadaan-keadaan yang terkat. Tenaga knetk adalah tenaga yang terkat dengan keadaan gerak dar benda-benda. Karena keadaan gerak suatu obyek bergantung pada tempat pengamatan (kerangka acuan), maka tenaga knetk bergantung pula pada kerangka acuan. Sebaga gambaran, andakanlah sepotong balok berada dalam sebuah mobl yang sedang melaju. Tenaga knetk balok yang teramat oleh seseorang yang sedang berada dalam mobl bersama balok tersebut akan berbeda dengan yang teramat oleh seseorang yang dam d tanah. Apabla suatu benda bermassa m bergerak terhadap suatu kerangka acuan dengan kecepatan v, maka tenaga knetk benda tersebut ddefnskan sebaga E k = tenaga total tenaga dam E k = = E E 0 mc mc, v 1 c dengan c adalah cepat rambat cahaya dalam ruang hampa. Untuk v yang sangat rendah (dbandngkan dengan c), v /c menjad sangat kecl. Oleh karena tu, faktor dapat dtulskan sebaga = 1 v 1 c v c

31 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 31 Apabla ungkapan untuk yang terakhr n kta masukkan ke dalam persamaan sebelumnya, maka ddapatlah E k = mc 1 v (1 + ) mc = mc 1 v (1 + c c Jad, untuk benda-benda yang berkelajuan rendah, 1) = 1 mv. E k = (1/) mv.. Usaha Secara umum, usaha yang dlakukan oleh gaya pada suatu obyek adalah tenaga yang dpndahkan dar atau ke dalam obyek tu oleh gaya tersebut. Apabla gaya yang bekerja pada suatu benda mengakbatkan bertambahnya tenaga benda tu, maka dkatakan bahwa usaha yang dlakukan oleh gaya tu bernla postf. Sebalknya, apabla gaya yang bekerja pada suatu benda mengakbatkan berkurangnya tenaga benda tu, maka dkatakan bahwa usaha yang dlakukan oleh gaya tu bernla negatf. Secara umum jka suatu gaya F merupakan gaya total yang bekerja pada suatu obyek (secara tetap maupun berubah-ubah) sedemkan rupa sehngga tenaga knetk merupakan satu-satunya bentuk tenaga yang dpndahkan oleh F, maka usaha yang dlakukan oleh gaya tersebut sama dengan perubahan tenaga knetk yang dmlk oleh obyek tersebut. Jka W usaha yang telah dlakukan oleh F selama kurun waktu, maka dw = de k (teorema usaha tenaga knetk) Karena E k = (1/) mv, maka de k = mv dv. Padahal v = dr/ dan F = ma. Oleh karena tu dw = m(dr/) dv = mdr (dv/) = mdr a = ma dr = F dr. Jka gaya benda tu menempuh suatu lntasan C, maka usaha total yang dlakukan oleh gaya F selama benda menelusur lntasan C tu adalah W = C F dr.

32 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 3.1. Usaha oleh gaya gesek Dtnjau sebuah balok bermassa m yang bergerak lurus d atas lanta kasar dengan koefsen gesekan knets senla. Andakan balok tersebut pada awalnya memlk laju v 0. Karena adanya gaya gesek knets sebesar f k = mg, maka balok mengalam perlambatan sebesar g. Bla balok telah bergeser sejauh d, maka kelajuan balok saat tu, katakanlah v, memenuh persamaan v v 0 = gd Jad, balok mengalam perubahan tenaga knetk senla E k = 1 m(v - v 0 ) = mgd = f g d. Karena faktor-faktor, m, g dan d semuanya postf, maka E k negatf. Hal n berart bahwa balok kehlangan tenaga knetk sebesar mgd. Hlang ke manakah tenaga knetk sebesar tu? Tentu saja tdak hlang begtu saja. Kta dapat perkrakan ke mana sajakah tenaga knetk sebesar tu. Tenaga knetk sebesar tu oleh gaya gesek dubah menjad panas atau kalor. Sebagan kalor tu dberkan kembal kepada balok dan sebagan yang lan dberkan kepada permukaan lanta. Hal n dapat dpaham sebab ss bawah balok dan permukaan lanta yang dlewat oleh balok terasa hangat. Jka demkan, berapakah usaha yang telah dlakukan oleh gaya gesek? Kta tdak akan pernah mengetahunya kecual kalau kta mau melakukan pengukuran seberapa besar kalor yang dterma oleh lanta. Dalam hal n, kta tentu tdak dapat mengatakan bahwa usaha W g yang dlakukan oleh gaya gesek knets sama dengan perubahan tenaga knetk balok, sebab tdak seluruh tenaga knetk yang telah dambl dar balok oleh gaya gesek dbuang keluar dar balok melankan dubah ke dalam bentuk tenaga panas dan sebagan panas tersebut dssakan dalam balok. Jad, jumlah tenaga yang dpndahkan keluar dar balok oleh gaya gesek tdak sama dengan perubahan tenaga knetk balok. Jumlah tenaga yang dpndahkan keluar dar balok oleh karena tu sama dengan jumlah tenaga panas yang dterma oleh permukaan lanta, dan sebesar tulah usaha yang telah dlakukan oleh gaya gesek knets. Jad, tanpa melakukan pengukuran yang kta ketahu hanyalah bahwa W g E k atau W g f g d. Tenaga knetk senla mgd = f g d. dambl dar balok dan dubah menjad panas lalu sebagan dkembalkan ke balok dan sebagan dberkan ke lanta. Dalam hal n dkatakan bahwa gaya gesekan knets melakukan dspas tenaga.

33 Mekanka Klask, M.F.Rosyd Daya Daya ddefnskan sebaga usaha yang dlakukan suatu gaya tap satu satuan waktu. Satuan daya adalah J/s atau watt dan dsngkat sebaga W. Andakan terdapat gaya F yang bekerja pada suatu benda dan benda tu bergeser sejauh dr. Bla tenaga knetk merupakan satu-satunya bentuk tenaga yang dpndahkan oleh gaya tu, maka gaya tu melakukan usaha sebesar dw = F dr. Dan bla pergeseran sejauh dr dlakukan selama, maka daya ratarata yang dberkan oleh gaya tu adalah dw P rat = = F (dr/). Padahal dr/ = v, yakn kecepatan sesaat benda tu. Jad, daya yang dberkan oleh gaya tu adalah P = F v. 4. Usaha oleh gaya kolot dan tenaga potensal Suatu medan gaya F(r) dkatakan medan gaya kolot atau konservatf apabla usaha yang dlakukan oleh gaya tu sepanjang sembarang lntasan tertutup sama dengan nol, F dr = 0. Berdasarkan teorema Stokes, persamaan d atas dapat dtuls sebaga F dr = ( F) da = 0. A Karena hal n berlaku untuk sembarang lntasan, maka haruslah berlaku F = 0. Tentu ada sebuah medan skalar V(r) sedemkan rupa sehngga F = V(r). Medan skalar V(r) dsebut tenaga potensal. Apabla medan gaya konservatf F bekerja pada sebuah benda yang menyusur sebuah lntasan yang menghubungkan ttk A dan ttk B dalam ruang, maka usaha yang dlakukan oleh medan gaya tu adalah B W AB = A B F dr = A B V(r) dr = A dv(r) = [V(r A ) V(r B )]

34 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 34 Dar sn dapat dsmpulkan bahwa usaha yang dlakukan oleh sebuah medan gaya konservatf sama dengan mnus perubahan tenaga potensal, apabla tenaga knetk merupakan satu-satunya bentuk tenaga yang terlbat dalam usaha yang dlakukan oleh medan gaya tu : dw = dv. Pengertan V sebaga besaran fss tdaklah esensal karena orang tdak dapat mengukur nla V, sebab nla V tdak memlk patokan yang natural. Yang bersfat fss adalah selsh/perubahan tenaga potensal dv atau V. 5. Hukum Kelestaran Tenaga Mekank Apabla tenaga knetk merupkan satu-satunya tenaga yang terlbat dalam pertukaran/perpndahan tenaga oleh suatu gaya konservatf, maka berlakulah bahwa atau dw = dv = de k dv + de k = d(v + E k ) = 0. Dengan kata lan, besaran V + E k bersfat tetap atau lestar. Karena V + E k dsebut tenaga mekank, maka persamaan terakhr menunjukkan hukum kelestaran tenaga mekank.

35 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 35 Bab 6 Medan Potensal Terpusat 1. Hukum Newton Tentang Gravtas Andakan bahwa benda pertama (dengan massa m 1 ) terletak pada vektor poss r 1 dan benda kedua (dengan massa m ) terletak pada poss r. Maka poss relatf benda kedua dlhat dar benda pertama adalah vektor r 1 = r r 1. Menurut Newton, benda kedua akan menderta gaya gravtas F 1 karena tarkan oleh benda pertama. Gaya F 1 secara vektor dberkan oleh Gm1m F 1 = 3 r 1 r 1. m 1 r r 1 m 1 F 1 F 1 r 1 m r 1 m r r. Gravtas Newton Oleh Kult Bola dan Bola Pejal Homogen (a) R R r m Kult bola berjar-jar R yang memlk ketebalan R serta massa M dan partkel ttk bermassa m (a) dapat dgant dengan se-buah partkel bermassa M yang terletak d pusat kult bola dan partukel bermassa m (b). (b) M r m

36 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 36 Kadah Kult Bola : Suatu kult bola dengan kepadatan merata akan menark setap partkel ttk yang berada d luar kult bola tu sedemkan rupa sehngga seakan-akan seluruh massa kult bola tu berada keseluruhannya (terkonsentras) d ttk pusat kult bola tu. Selanjutnya, setap partkel ttk yang berada d dalam kult bola tu sedktpun tdak mengalam gaya gravtas kult bola tu. Jad, sebuah kult bola yang homogen (kepadatannya merata), katakanlah bermassa M berjejar R, dan sebuah partkel ttk bermassa m yang berada d luar kult bola sejauh r dar pusat kult bola dapat dpandang sebaga dua partkel ttk masng-masng bermassa M dan m dan terpsah oleh jarak sejauh r (lhat gambar). Oleh karena tu, besar gaya gravtas yang dalam oleh partkel ttk karena kehadran kult bola adalah GMm F =. r Sedangkan partkel ttk yang berada d dalam kult bola tdak mengalam gaya gravtas apapun dar kult bola (tdak merasakan kehadran kult bola). Sebuah partkel ttk bermassa m berada sejauh r dar pusat sebuah bola pejal homogen bermassa M. Berapakah gaya gravtas yang dalam oleh partkel ttk bermassa m tu? Bola pejal tersebut dbayangkan tersusun atas kult-kult bola sepusat. Oleh karenanya, partkel ttk bermassa m tu berada d luar kult-kult bola. Berdasarkan kadah kult bola, kult-kult bola sepusat tu bsa dgant dengan partkel ttk yang massanya sama dengan massa total kult-kult bola tu. Padahal, massa keseluruhan kult-kult bola tu sama dengan massa bola pejal, maka partkel ttk penggant haruslah bermassa M. Jad, masalah d atas setara dengan masalah dua partkel ttk yang terpsah oleh jarak sejauh r. Jad, partkel ttk tu menderta gaya sebesar R 3. Tenaga Potensal Gravtas GMm F =, r Tenaga potensal gravtas yang dmlk oleh sebuah sstem yang tersusun atas dua benda ttk (bermassa m 1 dan m ) yang terpsah oleh jarak sejauh r adalah usaha yang dlakukan oleh gaya gravtas antara kedua benda selama

37 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 37 proses pemsahan kedua benda tu sehngga keduanya terpsah oleh jarak yang tak terhngga jauhnya. Tenaga potensal gravtas dberkan oleh U(r) = Gm m 1, r Apabla terdapat aghan partkel dengan rapat massa (r), maka pada ttk dengan vektor poss r p massa uj sebesar m memlk tenaga potensal sebesar U(r p ) = Gm V ( r) r r P dv. Gaya gravtas yang dalam oleh massa uj d ttk r p adalah 4. Medan Potensal Terpusat F = U(r p ). Suatu medan potensal dkatakan sebaga medan terpusat apabla, nla medan potensal tu hanya bergantung pada r, yakn jarak partkel tu dar pusat/pangkal koordnat. Jad, jka U suatu potensal terpusat, maka U(r) = U(r) dan medan gaya yang terkat dberkan oleh d F(r) = U(r) = U(r) er = f(r) e r, dr dengan e r vektor satuan searah dengan r. Oleh karena tu, medan gaya F(r) selalu searah maupun berlawanan dengan r, yakn menuju ke pusat koordnat atau menjauhnya. 5. Momentum Sudut Dalam Medan Terpusat Karena medan gaya terpusat selalu dapat dtuls sebaga F(r) = f(r) e r, maka sebuah benda yang berada dalam pengaruh medan gaya terpusat memenuh persamaan d L = r F(r) = f(r) r er = 0. Jad, momentum sudut benda tersebut tetap : L = konstanta. Karena momentum sudut L tegak lurus dengan vektor r dan vektor p, maka benda yang berada dalam pengaruh potensal terpusat memlk lntasan (orbt) yang

38 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 38 berada pada sebuah bdang, dsebut bdang orbt. Oleh karena tu, untuk mennjau gerak semacam tu cukup dengan sstem koordnat polar. dr Karena v = er + d r e, maka besarnya momentum sudut dberkan oleh d L = mr = tetapan. 6. Hukum Kepler Dar data-data Brahe Kepler mendapatkan pola-pola menark tentang orbt dan perode planet-planet dalam berevolus mengellng matahar. Kepler menyatakan pola-pola keteraturan tu dalam tga hukum emprsnya : 1. Semua planet bergerak pada lntasan yang berbentuk elps dengan matahar terletak pada salah satu ttk fokusnya.. Gars yang menghubungkan tap planet ke matahar menyapu luasan yang sama dalam waktu yang sama. 3. Kuadrat kala revolus tap planet sebandng dengan pangkat tga jarak rata-rata planet dar matahar. Bla T P kala revolus suatu planet dan R P jarak rata-rata planet tu dar matahar, maka hukum ketga Kepler mengatakan berlakunya persamaan TP = C, 3 RP dengan C suatu tetapan yang nlanya berbandng terbalk dengan massa matahar (lhat uraan mendatang). Bla jarak rata-rata bum dar matahar dsepakat sebaga 1 SA (SA sngkatan dar satuan astronoms), maka tetapan C dapat dhtung sebaga C = (365,5 4 jam) /(1 SA) 3 = ,0 jam /SA 3. Dengan mengukur jarak rata-rata suatu planet orang dapat menghtung kala revolus planet tu. Atau sebalknya, dengan mengukur kala revolus suatu planet orang dapat menghtung berapa jarak rata-rata planet tu dar matahar. Kesemua hukum Kepler tu dapat djelaskan secara memuaskan dengan teor gravtas Newton. (Lhat Fowles mula halaman 14.)

39 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 39 Bab 7 Gerak Benda Tegar Pada Bdang 1. Konsep Benda Tegar 1.1 Batasan : Benda tegar adalah sebuah benda sedemkan rupa sehngga jarak antar ttk-ttk massa pada benda tu tdak berubah (tetap). 1. Contoh : a. Gas yang berada d dalam sebuah balon manan bukan merupakan benda tegar sebab jarak partkel-partkel gas tu satu dar yang lan berubah-ubah. b. Sepotong ppa paralon yang menggelndng (tanpa tergencet) merupakan benda tegar. c. Sstem tata surya kta bukan merupakan benda tegar karena jarak satu planet dengan planet yang lan maupun jarak masng-masng planet dar matahar selalu berubah-ubah. d. Beberapa bola kecl yang dhubungkan dengan batang-batang yang kukuh (lhat gambar d bawah) merupakan benda tegar. e. Sstem yang tersusun atas n buah partkel yang masng-masng memlk vektor poss r 1, r,..., r,..., r j,..., r n dkatakan sebaga benda tegar apabla berlaku untuk setap, j = 1,,..., n. r r j = konstanta

40 Mekanka Klask, M.F.Rosyd Pertanyaan : a. Apakah bum kta merupakan benda tegar. Mengapa? Jelaskan! b. Dapatkah sekumpulan partkel-partkel yang bergerak-gerak dkatakan bukan merupakan benda tegar? c. Perhatkan gambar d bawah n. Gambar tersebut memperlhatkan kedudukan sstem tga partkel pada saat t 1, t dan t 3 sembarang. Dapatkah sstem tga partkel tu dkatakan sebaga benda tegar? t = t t = t 1 t = t 3. Pusat Massa Benda Tegar.1 Batasan : Pusat massa sebuah benda tegar adalah suatu ttk dalam ruang yang menjad poss terpusatnya seluruh massa benda tegar tu. Jad, pusat massa sebuah benda tegar adalah poss sebuah partkel ttk yang memlk massa sebesar benda tegar tu.. Rumus : a. Aghan dskret : R CM = X CM + Y CM j + Z CM k, dengan X CM = n 1 n 1 m x m, Y CM = n 1 n 1 m y m, Z CM = n 1 n 1 m z m b. Aghan kontnyu dengan massa total M : R CM = X CM + Y CM j + Z CM k, dengan

41 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 41.3 Contoh : X CM = xdm, Y CM = M ydm, Z CM = M zdm M a. Perhatkan sstem lma partkel berkut. Partkel pertama bermassa m 1 = 0,1 kg berada d ttk (0, 0, 1 m). Partkel kedua bermassa m = 0, kg berada d ttk (0, 0, 1 m). Partkel ketga bermassa m 3 = 0,4 kg berada d ttk (0, 0, m, 0). Partkel keempat bermassa m 4 = 0,1 kg berada d ttk (0,5 m, 1 m, 0,5 m). Partkel kelma bermassa m 5 = 0, kg berada d ttk (0,5 m, 1 m, 0,5m). Apabla massa batang dapat dabakan, tentukan poss pusat massa. z m 1 m 3 m 4 y m 5 x m Jawab : In adalah benda tegar dengan aghan dskret. Massa keseluruhan benda tegar tu adalah M Jad, 5 m 1 = 0,1 kg + 0, kg + 0,4 kg + 0,1 kg + 0, kg = 1,0 kg. X CM = n 1 m x M = 1 1,0 kg [(0,1 kg)(0) + (0, kg)(0) + (0,4 kg)(0) + (0,1 kg)(0,5 m) + (0, kg)(0,5 m)] = 0,15 m.

42 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 4 Y CM = n 1 m y M = 1 1,0 kg [(0,1 kg)(0) + (0, kg)(0) + (0,4 kg)(0, m) + (0,1 kg)(1 m) + (0, kg)(1 m)] = 0,38 m. Z CM = n 1 n 1 m z m = 1 1,0 kg [(0,1 kg)(1m) + (0, kg)( 1 m) + (0,4 kg)(0) + (0,1 kg)(0,5 m) + (0, kg)( 0,5 m)] = 0,15 m. R CM = (0,15 m) + (0,38 m) j (0,15 m) k b. Gambar berkut n memperlhatkan separo bola pejal homogen dengan jar-jar b dlhat dar sumbu-x. In adalah benda tegar dengan aghan kontnyu. Maka poss ttk pusat massanya adalah R CM = 3 b k (lhat buku Fowles hal. 19) 8 z.4 Pertanyaan : a. Haruskan pusat massa sebuah benda tegar berada d dalam benda tegar tu? b. Perkrakanlah kedudukan ttk pusat massa benda-benda berkut n. y

43 Mekanka Klask, M.F.Rosyd Rotas Terhadap Sumbu Tetap Anda telah belajar tentang gerak lurus, gerak parabola dan gerak melngkar. Gerak-gerak semacam tu dsebut gerak translas. Pada gerak translas, hal yang menjad pokok perhatan adalah poss dan pergeseran. Benda dkatakan bergerak bla possnya berubah. Artnya, benda tu mengalam pergeseran. Kecepatan (sesaat), msalnya ddefnskan sebaga pergeseran poss tap satu satuan waktu. Konsep setelah kecepatan adalah percepatan, yakn perubahan kecepatan persatusatuan waktu. Gerak kemudan dklasfkaskan berdasarkan perlaku percepatan n. Ada gerak lurus beraturan ada gerak lurus berubah beraturan, dan lan sebaganya. 3.1 Konsep-konsep yang terkat : a. Rotas adalah gerak yang menyangkut orentas dan perputaran. Jad, orentas merupakan padanan poss dan perputaran adalah padanan pergeseran. Perhatkanlah gambar berkut. Gambar (a) dan (b) memperlhatkan benda yang sama, hanya saja berbeda orentas. Kalau poss sebuah benda dungkapkan melalu vektor poss, maka orentas sebuah benda basanya dungkapkan melalu sudut yang l 0 k k k (a) l (b) l (c) dbentuk oleh sebuah gars yang menempel pada benda tu (gars l, msalnya) dan gars lan (gars k, msalnya) yang kta sepakat sebaga gars pangkal atau acuan Maka gambar (a) memperlhatkan benda tu pada saat memlk orentas 0. Saat tu gars l dan gars k (gars acuan) bermpt. Sementara gambar (b) memperlhatkan benda yang sama memlk orentas. Gars l membentuk sudut terhadap gars acuan k. Gambar (c) memperlhatkan benda tersebut mengalam perubahan orentas (perputaran) sejauh dar orentas semula, yakn. Basanya perubahan orentas yang searah putaran jarum jam

44 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 44 dtuls sebaga perputaran negatf, sedang yang berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dsebut perputaran postf. b. Sumbu rotas : tempat kedudukan ttk-ttk yang tdak bergemng terhadap perubahan orentas. Gars yang tegak lurus bdang gambar dan melalu ttk perpotongan gars l dan gars k merupakan sumbu rotas. Sudut dsebut sudut perputaran dan dukur dalam radan. Dalam bagan n hanya akan kta tnjau kasus-kasus dengan sumbu putar yang dam. Jad, kasus-kasus sepert roda atau slnder yang menggelndng d jalan dlhat oleh pengamat yang dam d jalan belum akan dbcarakan d sn. Perputaran matahar pada porosnya, juga tdak akan dsnggung karena kta membatas uraan d ss hanya untuk benda-benda tegar (matahar bukanlah benda tegar). 3. Contoh : a. Sstem lma benda d atas dputar mengellng sumbu putar yang berupa gars yang bermpt dengan vektor satuan n = n x I + n y j + n z k. z m 1 n m 3 m 4 y m 5 x m Hubungan antara vektor n, yakn vektor satuan sumbu rotas dan kecepatan sudut adalah = n. adalah laju sudut, perubahan orentas tap satu satuan waktu.

45 Mekanka Klask, M.F.Rosyd Momen Inersa 4.1 Pengertan Dasar : momen nersa adalah kelembaman (nersa) untuk gerak rotas. Jad, momen nersa menunjukkan keengganan untuk melakukan perubahan rotas. Pentng : Momen nersa bergantung pada sumbu rotas yang dplh. 4. Rumus : 1. Aghan dskret : n I = m r 1, dengan r jarak partkel/benda nomor dar sumbu rotas.. Aghan kontnyu : I = r dm, dengan r jarak unsur massa dm dar sumbu rotas. 4.3 Contoh : a. Perhatkan sstem empat partkel berkut. Partkel pertama bermassa m 1 = 0,1 kg berada d ttk (0, 0, 1 m). Partkel kedua bermassa m = 0, kg berada d ttk (0, 0, 1 m). Partkel ketga bermassa m 3 = 0,4 kg berada d ttk (1 m, 1 m, 0). Partkel keempat bermassa m 4 = 0,1 kg berada d ttk ( 1 m, 1 m, 0). Apabla massa batang dapat dabakan, tentukan momen nersa terhadap sumbu z. z m 1 m 4 y m 3 x m

46 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 46 Jawab : In merupakan benda tegar dengan aghan dskret. Oleh karena tu, momen nersa terhadap sumbu-z adalah 5 I m r = (0,1 kg)(0) + (0, kg)(0) + (0,4 kg)[(1 m) + (1 m) ] + (0,1 1 kg)[( 1 m) + (1 m) ] = 1,0 kg m. b. Momen nersa bola pejal homogen bermassa m berjar-jar a terhadap sumbu yang melalu ttk pusatnya adalah I = ma. (lhat Fowles hal. 198) 5 5. Teorema Sumbu Sejajar 5.1 Teorema : Andakan I CM momen nersa sebuah benda tegar bermassa M terhadap sebuah sumbu putar S CM yang melalu ttk pusat massanya. Momen nersa benda tu terhadap sebuah sumbu S yang sejajar dengan sumbu S CM dberkan oleh I = I CM + Mh, dengan h adalah jarak sumbu S dar sumbu S CM. S CM S h Pusat massa S CM S 5. Contoh : Momen nersa bola pejal homogen bermassa m berjar-jar a terhadap sumbu yang menynggung permukaannya adalah

47 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 47 I = ma + 5 ma = 7 ma. 5 Dalam hal n h = a. 6 Teorema Sumbu Tegak 6.1 Teorema : Momen nersa sebuah lempeng terhadap sebuah sumbu S 1 yang tegak lurus pada bdang lempeng tu, sama dengan jumlahan dua momen nersa lempeng tu terhadap dua sumbu S dan S 3 yang salng tegak lurus dan memotong sumbu S 1 secara tegak lurus pula (S dan S 3 kedua-duanya terletak pada bdang lempeng). S 1 S 3 S 6. Contoh : Momen nersa cakram tps homogen bermassa m dan berjejar a terhadap sumbu z sama dengan jumlahan momen cakram tu terhadap sumbu x dan momen nersa cakram tu terhadap sumbu y. sebab I z I x I y 1 4 ma 1 4 ma 1 ma I x 1 I y ma. (lhat Fowles hal. 197) 4

48 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 48 z y x 7 Bandul (Pendulum) Fss Perode getar bandul fss dberkan oleh I T, mgl dengan l jarak ttk pusat massa dar sumbu ayunan. l sumbu ayunan Pusat massa W = mg

49 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 49 Bab 8 Gerak Benda Tegar Dalam Ruang 1. Momentum Sudut dan Moment Gaya 1.1 Konsep elementer : a. Sebuah partkel bermassa m yang bergerak dalam ruang dengan kecepatan v(t) dan poss r(t) dkatakan memlk momentum sudut L = r mv = r p relatf terhadap ttk pangkal koordnat. b. Apabla sebuah gaya F bekerja pada benda d atas, maka benda tu dkatakan menderta momen gaya N = r F relatf terhadap ttk pangkal koordnat. 1. Pada benda tegar a. Benda tegar yang tersusun atas n buah partkel yang masngmasng memlk vektor poss r 1, r,..., r,..., r n dan momentum lnear p 1 = mv 1, p = mv,..., p = mv,..., p n = mv n mempunya momentum sudut total n L = 1 r m v = n 1 r p relatf terhadap ttk pangkal koordnat. b. Bla pada masng-masng partkel tu bekerja gaya F 1, F,..., F,..., F n, maka momen gaya yang dderta oleh sstem partkel tu relatf terhadap pangkal koordnat adalah

50 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 50 n N = 1 n N = 1 r F.. Hukum Newton untuk rotas Apabla sebuah benda tegar pada saat t memlk momentum sudut L(t) dan pada saat tu menderta momen gaya total N, maka terdapat katan d N = L. Jad, momen gaya total yang bekerja pada sebuah benda tegar sama dengan perubahan momentum sudut benda tegar tu tap satu-satuan waktu. Apabla momen gaya total yang bekerja pada sebuah benda tegar nol, maka momentum sudut benda tegar tu tetap. 3. Tensor Inersa Dtnjau sebuah benda tegar yang tersusun atas n buah partkel dengan massa masng-masng m dan vektor poss r = x + y j + z k. Momen nersa sstem n partkel n terhadap sumbu yang bermpt dengan vektor satuan n = n x + n y j + n z k dberkan oleh I = n I n, dengan I merupakan sebuah tensor yang dsebut tensor nersa, yakn sebuah besaran yang memlk 9 buah komponen yang basanya dsajkan dalam bentuk matrks I = I I I xx yx zx I I I xy yy zy I I I xz yz zz, z m 1 m dengan n I xx = 1 m ( y z ), m n n m 3 m 4 m 5 y x m

51 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 51 n I yy = 1 m ( x z ) n I zz = 1 m ( x y ) I xy = I yx = n 1 m x y, I xz = I zx = n 1 m x z, I yz = I zy = n 1 m y z. Jka vektor n dsajkan dalam bentuk matrks kolom n = n n n x y z, maka I = n I n = n T I n = n x n y n z I I I xx yx zx I I I xy yy zy I I I xz yz zz n n n x y z. Untuk benda tegar dengan aghan malar/kontnyu I = (y z ) dm xx, yy I = (x z ) dm, zz I = (x y ) dm I xy = I yx = xy dm, I xz = I zx = xz dm, I yz = I zy = zy dm. Unsur I xy = I yx, I xz = I zx dan I yz = I zy dsebut hasl kal kelembaman (produk nersa). Pentng : Tensor nersa tdak bergantung pada sumbu rotas. 3.1 Contoh :

52 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 5 Tentukanlah momen nersa sebuah lempeng bujursangkar seragam dengan ss a yang terletak pada bdang xy terhadap sumbu dengan persamaan y = x. Tensor nersa lempeng tu adalah (lhat Fowles hal. ) : I = 1/ 3 1/ 4 0 ma 1/ 4 1/ / 3 Sumbu yang mempunya persamaan y = x Mempunya vektor satuan y y = x n = j. x Jad, I = n I n = 1 1/ 3 1/ ma 0 1/ 4 1/ 3 0 = 0 0 / ma Momentum Sudut, Tenaga Knetk Rotas, dan Tensor Inersa Dengan demkan vektor momentum sudut benda tegar dapat dtuls sebaga L = I = I n I xx I xy I = I yx I yy I I zx I zy I xz yz zz n n n x y z. Apabla benda tu berputar mengellng sumbu yang bermpt dengan vektor n dengan laju. Komponen momentum sudut sepanjang sumbu putar (ke arah n) adalah n L = n I n = I.

53 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 53 Pentng : Arah momentum sudut tdak harus sama dengan arah kecepatan sudut. Hal n berbeda dar gerak translas, momentum lnear selalu searah dengan kecepatan lnear. Tenaga knetk rotas benda tegar adalah atau T rot = 1 I = 1 n I n = 1 I T rot = 1 L. 5. Sumbu Utama Pemlhan sstem koordnat sangat mempengaruh bentuk tensor nersa. Secara prnsp, untuk setap benda tegar palng tdak terdapat sebuah sstem koordnat kartesus sedemkan rupa sehngga semua hasl kal kelembaman lenyap, yakn I xy = I yx = I xz = I zx = I yz = I zy = 0. Sumbu-sumbu koordnat suatu sstem koordnat sedemkan rupa sehngga I xy = I yx = I xz = I zx = I yz = I zy = 0 dsebut sumbu-sumbu utama. Tensor nersa sebuah benda tegar relatf terhadap sumbu-sumbu utama dapat dsajkan sebaga matrks dagonal, I = I 0 0 xx I 0 yy 0 0 I1 0 0 I zz 0 0 I 0 0 0, I 3 dengan I xx = I 1, I yy = I dan I zz = I 3. Jka 1 := x, := y, 3 := z dan e 1 =, e = j, dan e 3 = k, maka I = I 1 n 1 + I n + I 3 n 3, L = I 1 1 e 1 + I e + I 3 3 e 3, T rot = 1 (I1 1 + I + I 3 3 ). 6. Persamaan Gerak Euler Persamaan gerak untuk benda tegar dkenal sebaga persamaan Euler : d L = L + L, t

54 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 54 dengan L : laju perubahan vektor momentum sudut dukur dar kerangka acuan t nersal (sstem koordnat) yang tetap. d L : laju perubahan vektor momentum sudut dukur dar kerangka acuan (sstem koordnat sumbu utama) yang menempel pada benda tegar yang berotas. Karena momen gaya keseluruhan pada benda tegar N = L, maka t d N = L + L.

55 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 55 Bab 9 Kendala dan Koordnat Umum 1. Kendala Seluruh masalah dalam mekanka secara prnsp dapat dkembalkan ke persamaan d x ( t) = 1 m n j F x Fx, (1a) j d y ( t) = 1 m n j F y Fy, (1b) j d z ( t) = 1 m n j F z Fz, (1c) j dengan = 1,, 3,..., n adalah ndeks/nomor partkel, F adalah gaya luar total yang bekerja pada partkel nomor dan F j adalah gaya nteraks yang dalam oleh partkel nomor akbat keberadaan partkel nomor j. Prosedur penyelesaannya seolah-olah tampak jelas : memasukkan komponen-komponen gaya yang terlbat, mencar jawaban persamaan dferensal dan yang terakhr menentukan tetapan-tetapan berdasarkan syarat awal. Tetap, tdak semuanya sederhana. Masalah muncul apabla terdapat kendala-kendala (constrants). Kendala-kendala n membatas partkelpartkel untuk salng bebas. Jens-jens kendala : a. Kendala Holonomk Apabla kendala dapat dtulskan sebaga persamaan-persamaan yang menghubungkan poss-poss partkel dalam bentuk

56 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 56 f(r 1, r,..., r n ) = 0, () maka kendala semacam n dsebut kendala holonomk. Contoh : 1. Suatu sstem N partkel yang membentuk benda tegar. Dalam hal n berlaku persamaan dengan c j tetapan-tetapan. (r r j ) c j = 0,. Sebuah mank-mank yang dunta pada seutas kawat yang berbentuk lngkaran berjar-jar a. Dalam hal n berlaku persamaan x + y a = 0 dan z = tetapan. b. Kendala Nonholonomk adalah kendala yang tdak holonomk. Artnya, kendala yang tdak dapat dtulskan sebaga persamaan-persamaan sepert d atas. Contoh : 1. Sebuah benda yang dkukung dalam tangk berbentuk slnder berjar-jar a dan tngg h mengalam kendala x + y a < 0 dan 0 < z < h.. Sebuah benda yang berada d luar sebuah bola berjar-jar a terkekang oleh kendala yang hanya dapat dtulskan dalam bentuk ketdaksamaan. Koordnat Umum x + y + z a 0. Adanya kendala mengakbatkan dua masalah dalam penyelesaan masalah mekanka : Pertama, koordnat x, y dan z tdak lag bebas satu dar yang lan sehngga persamaan-persamaan (1) tdak bebas satu dar yang lan. Kedua, adanya gaya kendala yang tdak dapat dtentukan terlebh dahulu sebab gaya tersebut termasuk ke dalam masalah yang harus dselesakan.

57 Mekanka Klask, M.F.Rosyd 57 Untuk kendala yang holonomk, masalah pertama dapat dselesakan dengan memperkenalkan koordnat umum. Andakan sstem mekans yang dtnjau tersusun atas N buah partkel. Oleh karena tu dperlukan 3N koordnat (x 1, y 1, z 1, x, y, z,..., x, y, z,..., x N, y N, z N ) untuk menggambarkan konfguras sstem (yakn poss masng-masng partkel). Hal n berart terdapat 3N derajat kebebasan. Apabla terdapat k buah persamaan kendala f 1 (x 1, y 1, z 1, x, y, z,..., x, y, z,..., x N, y N, z N ) = 0, f (x 1, y 1, z 1, x, y, z,..., x, y, z,..., x N, y N, z N ) = 0... f k (x 1, y 1, z 1, x, y, z,..., x, y, z,..., x N, y N, z N ) = 0, maka derajat kebebasan sstem menyusut menjad 3N k. Dalam hal n dperlukan sstem koordnat umum yang terdr dar 3N k koordnat, katakanlah (q 1, q,..., q 3N k ). Terdapat transformas koordnat.1 Contoh : r 1 = r 1 (q 1, q,..., q 3N k ) r = r (q 1, q,..., q 3N k ) (3) r N = r N (q 1, q,..., q 3N k ) 1. Dua buah kelereng bes dsambung dengan batang tegar yang panjangnya l, sehngga membentuk semacam barbel. Persamaan kendala untuk dua kelereng tu adalah (x 1 x ) + (y 1 y ) + (z 1 z ) = l. Derajat kebebasannya adalah (3)() 1 = 5. Koordnat umum yang dapat dpaka msalnya (X, Y, Z,, ), dengan (X, Y, Z) koordnat pusat massa dan (, ) menyatakan orentas barbel tu, yakn gars lntang dan gars bujur.