BAB DINAMIKA ROTASI DAN KESEIMBANGAN BENDA TEGAR

Transkripsi

1 BAB DINAMIKA ROTASI DAN KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Contoh 5. Pemahaman konsep tors (a) Tentukan tors terhadap poros O oleh gaya 0 N pada gambar d bawah n. Gars kerja gaya 0 N adalah gars g. Gars yang dtark dar ttk O tegak lurus terhadap gars g, memotong g d ttk L (lhat gambar). Dengan demkan lengan tors adalah OL. OLP sku-sku: o OL OP sn 0 ( ),5 m Gaya 0 N cenderung memutar tongkat OP searah jarum jam terhadap poros O (tors bertanda -). Dengan demkan momen gaya adalah τ - (b) Tentukan tors tap gaya dan tors totalnya terhadap poros o. Untuk menghtung tors gaya 8,0 N, lebh bak jka gaya tu durakan menjad komponenkomponen (lhat gambar d bawah) menjad 8 cos 7 o dan 8 sn 7 o. Lengan momen dan momen tap gaya dtunjukkan pada table berkut. Gaya (N) Lengan Tors Tors 5,0 OA x 0,4 0,0 0 8 cos 7 o OB x 0,0 0, 0 8 sn 7 o OC 0,0 OD 0,0-0,0 x 5,0 -,0-0,0 x 0 -,0-0,0 x 8 cos 7 0-0,64 +0,0 x 8 sn ,96 Searah jarum jam Searah jarum jam Searah jarum jam Berlawanan jarum jam Jarum jam Contoh 6. Pengertan momen nersa Seorang ahl mesn sedang mendesan suatubagan mesn yang terdr dar tga penyambung yang dhubungkan oleh tga topangan rngan (lhat gambar). Ketga penyambung dapat danggap sebaga partkel yang dhubungkan oelh batang-batang rngan (massanya dapat dabakan). (a) Berapa momen nersa bagan mesn n terhadap poros melalu A? (b) Berapa momen nersa terhadap poros yang bertepatan dengan batang BC? (a) Partkel A terletak pada poros sehngga jarak partkel n terhadap poros A sama dengan nol (r A 0). AC AB BC 0,50 0,0 0,6 AC 0,6 0, 4 m. Jarak partkel B dan C terhadap poros A dapat dhtung dengan Persamaan (6-7). I m r m r + m r + m r A A B B C C 0 + (0,0 kg) (0,50 m) + (0,0 kg) (0,40 m),057 kg m

2 (b) Partkel B dan C terletak pada poros BC sehngga momen nersa yang dhasllkan keduanya sama dengan nol. Jad, hanya partkel A yang menghaslkan momen nersa terhadap poros BC, dengan r A AC 0,40 m. I m r m r A A (0,0 kg) (0,40 m) 0,048 kg m Contoh 6. Menentukan momen nersa batang (satu dmens) Sebuah batang homogen memlk masa M dan panjang L. Tentukan momen nersa batang terhadap poros melalu: (a) ttk tengah batang; (b) ttk ujung batang. Gambar 6.9 Bayangkan batang homogen terdr atas berbaga elemen dx yang memlk koordnat x terhadap poros. Untuk poros melalu ttk tengah batang (ttk O), koordnat x mula dar - / sampa dengan (kasus b). Bayangkan batang homogen terdr atasa berbaga elemen dx yang memlk koordnat x terhadap poros. Momen nersa batang dapat dhtung dengan persamaan (6-8). I r dm M dengan r x dan dm dx (lhat persaman (6-9)), maka persamaan menjad L M I r dx M x dx L L M x I L (a) Untuk poros melalu ttk tengah batang (kasus (a) pada Gambar 6.9), sumbu tegak yang melalu O adalah Y O dan tampak bahwa koordnat x mula dar x L/ sampa dengan x +L/. Karena ttk tengah batang yang dperoleh dar Persamaan (6-0) adalah L / M x I L L / M [( L / ) ( L / ) ] L M ( L / 8 + L / 8) L M L ML L 8 (sesua dengan Tabel 6. (a)) (b) Untuk poros melalu ttk ujung batang (kasus (b) pada gambar 6.9), sumbu tegak yang melalu P adalah Y P dan tampak bahwa koordnat x mula dar x 0 sampa dengan x L. Karena tu, momen nersa batang terhadap poros melalu ttk ujung batang yang dperoleh dar Persamaan (6-0) adalah

3 I L M x L 0 M ( L 0) L ML (sesua dengan Tabel 6. (b)) Contoh 6.4 Katan tors dengan percepatan sudut pada gerak melngkar berubah beraturan m Sebuah batu gernda,0 kg yang memlk jar-jar 0 cm dputar pada rad/s. Motor dpadamkan dan sebuah pahat dtekankan pada permukaan batu gernda dengan suatu gaya yang memlk komponen tangensal,0 N (lhat gambar). Berapa lama dperlukan oleh batu gernda untuk berhent sejak gaya dberkan? Massa M,0 kg Jar-jar R 0 cm 0 x 0 - m 0,0 m Kecepatan sudut awal ω 0 0 rad/s Pada saat motor dpadamkan, bekerja gaya gesek tangensal F N menghaslkan momen gaya τ yang memberkan perlambatan sudut α yang akhrnya memberhentkan putaran batu gernda. Batu gernda berbentuk slnder pejal, sehngga sesua Tabel 6. (f), momen nersanya adalah I MR (,0 kg)(0,0 m) 0,0kg m Tors yang dhaslkan oleh gaya tangensal F dengan lengan tors R adalah τ RF ( 0,0 m)( N) 0,0 m N Tanda negatf dberkan karena momen gaya τ berlawanan dengan arah putaran batu gernda. Momen gaya τ menghaslkan percepatan sudut sesua dengan percepatan sudut tetap dan kecepatan sudut awal ω 0 0 rad/s dperlambat oleh α -0 rad/s sampa berhent (ω(t) 0) ω (t) ω 0 + α t ω( t) ω0 0 (0rad / s) t 6s α 0rad / s Jad, dperlukan waktu 6 s sejak motor dpadamkan sampa batu gernda berhent. Contoh 6.5 Slnder pejal menggelndng menurun bdang mrng Sebuah slnder penjal homogen dengan jar-jar R dan massa M menggelndng dar puncak bdang mrng sepert pada gambar. Tentukan kelajuan slnder pada saat tba d dasar bdang (nyatakan dalam g dan h). Strateg : Tnjau slnder pejal m, gambar gaya-gaya yang bekerja padanya. Gunakan τ Iα untuk gerak rotas slnder dan F ma untuk gerak tranlas slnder menurun bdang.

4 4 Jangan lupa α R a. Akhrnya, kelajuan slnderd dasar bdang dhtung dengan persamaan dhtung dengan persamaan knematka translas: v v + a, dengan v 0 dan x panjang lntasan yang dtempuh slnder. 0 x Perhatkan gambar (a) gaya-gaya yang bekerja pada slnder pejal adalah: gaya gesekan f, gayaberat g, gaya normaln.bak mg maupun Nmelalu ttk poros O sehngga tdak menyebabkan gerak rotas. Satu-satunya gaya yang menyebabkan slnder berotas terhadap poros O adalah gaya gesekanf, dengan momen OP jar-jar R. Penggunaan hukum II Newton untuk rotas slnder memberkan Στ Iα fr ( fr f MR a MR ( ) R Ma ) α fi a α R MR (bentuk slnder pejal) Perhatkan gambar (b), gaya-gaya N dan Mg cos θ tdak menyebabkan gerak tranlas slnder menurun bdang hanyalah Mg sn θ (arah postf) dan f (arah negatf). Penggunaan hukum II Newton untuk gerak tranlas slnder memberkan F ma +Mg sn θ - f Ma Mg sn θ - Ma Ma (substtus f Ma dar (*)) Mg sn θ Ma g sn a θ Akhrnya, dengan menerapkan persamaan knematka v v0 + a x dengan keadaan awal dam d puncak bdang (v 0 0) dan keadaan kahr d dasar bdang, v v v 0 + a x g snθ h 0 + snθ 4gh 4gh v v Msalkan g 0 m/s dan h 6 m, maka 4(0)(6) v 8 4 5m Contoh 6.6 Dua benda bergantungan pada katrol melalu seutas tal Sebuah katrol, massa M dan jar-jar R, dlltkan dengan seutas tal. Pada ujung-ujung tal terkat benda yang massanya m, dan m (m > m ). Tentukan percepatan masng-masng benda bla: (a) katrol dapat danggap lcn sehngga tal meluncur pada katrol;

5 5 (b) katrol tdak lcn sehngga katrol mengalam gerak rotas. (a) untuk kasus katrol lcn, katrol tdak berputar bersama tal (katrol dam), sehngga α 0. Kta tnjau dahulu dagram gaya pada katrol (Gambar (c)). Karena m > m, maka katrol cenderung berotas searah jarum jam (seandanya katrol tdak lacn). Karena tu kta tetapkan arah searah jarum jam adalah postf. Dengan demkan gaya T menghaslkan momen T R (berlawanan arah jarum jam) dan gaya T menghaslkan momen +T R (searah jarum jam). Hukum II Newton untuk gerak rotas memberkan τ Iα 0 sebab α 0 T R + T R 0 atau T T T Tnjauan dagram gaya pada benda m (Gambar (b)) dan benda m (Gambar (d)). Karena m > m, maka m akan bergerak ke atas dan m akan bergerak ke bawah. Oleh karena tu, untuk benda m kta tetapkan arah ke atas sebaga postf. Hukum II Newton untuk gerak tranlas m dan m memberkan Σ m a Σ m a -T m g m a () + m g - T m a () Dengan T T t dan a a a, kta peroleh T m g m a (*) -T + m g m a (**) Dengan menjumlahkan Persamaan (*) dan (**) kta peroleh: T m g m a (*) -T + m g m a (**) + (m m )g (m m )a m m a g (***) m m (b) Untuk katrol kut berputar bersama tal, Persamaan (*) dan (**) yang dperoleh dar (a) tetap. Yang berbeda adalah hukum II Newton untuk gerak rotas pada katrol karena α 0. Penggunaan hukum II Newton untuk gerak rotas katrol memberkan Στ Iα T R T R Iα () Sekarang, perhatkan besaran-besaran yang akan menghubungkan, Persamaan (), (), dan (): A a a α R a Untuk katrol danggap berbentuk slnder pejal, I Persamaan menjad: MR. T m g m a () M g T m a () a (T T ) R I R () (T T ) R MR R a T T Ma atau T T - Ma Dengan menjumlahkan Persamaan () dan () kta peroleh (4)

6 6 T m g m a M g T m a + T T + (m m )g (m + m ) a T T + (m + m )g - (m - m ) g (5) Dengan memutar T T dar persamaa (5) ke dalam Persamaan (4), kta peroleh - Ma (m + m ) a - (m m ) g (m m ) g (m + m ) a + Ma (m m ) g (m + m + M )a ( m m ) a g (****) ( m + m + M ) Dskus:Jka massa katrol dabakan atau M 0, maka perwsamaan (****) memberkan ( m m ) a g, sama dengan hasl pada Persamaan (***). ( m + m) Jad, bak kasuskatrol lcn maupun kasus massa katrol dabakan akan memberkan percepatanyang sama. Dnamka tranlas yang anda pelajar d kelas selalumenganggap massa katrol dabakan atau katrol lcn sempurna. Oleh karena tu, hasl htungan ( m m ) percepatan yang Andadapatkan adalah a g. ( m + m ) Contoh 6.7 Energ knetk rotas roda Sebuah roda dgunakan sebaga penympan energ dalam pembangkt lstrk. Roda datur berputar selama perode beban rendah oleh sebuah motor lstrk. Rodaakan bertndak sebaga generator untuk mengembalkan energ yang dsmpan menjad energ lstrk ketka permntaan lstrk tngg. (a) Tentukan energ knetk rotas roda ermassa,0 x 0 5 kg yang memlk jar-jar,0 m dan berputar pada 00 rad/s. (b) berapa jamdperlukan roda untuk mensupla daya lstrk,0 MW? (a) Momen nersa roda yang berbentuk slnder pejal dengan M,0 x 0 5 kg dan R,0 m dperoleh dar Tabel 6. (f). I MR (,0 x 0 5 kg)(,0 m) 4,0 x 0 5 m Energ knetk rotas dengan ω 00 rad/s dhtung dengan Persamaan (6-7): EK rotas Iω (4,0 x 0 5 kg m )(00 rad/s),8 x 0 0 J (b) Daya lstrk P,0 MW,0 x 0 6 W akan dsupla oleh roda dalam waktu EK EK P x t atau t P

7 7 0,8 x0 J,8 x 0 4 s 6,0 x0 W,8 0 4 s x ( jam/ 600 s) 5 jam Contoh 6.8 Energ knetk benda yang menggelndng Sebuah bola kayu pejal dengan berat 7 N dan memlk jar-jar 0,5 m, bergerak pada kelajuan 0 m/s sambl berputar. Tentukan total energ knetknya (g 0 m/s ). Berat W 7 N Jar-jar bola R 0,5 m Kecepatan lnear v 0 m/s Untuk menghtung total energ knetk bendang menggelndng dengan Persamaan (6-8), kta harus menghtung massa m, momen nersa I, dan kecepatan sudut ω terlebh dahulu. Massa dapat dhtung dar berat: w mg atau w m g 7N 0m / s 7, kg Momen nersa bola pejal sesua Tabel 6. (h) adalah I mr 5 5 (7, kg)(0,5 m) 0,0648 kg m Kecepatan sudut ω dapat dhtung dengan v R ω atau v ω R 0 m/s 0,5 m 00 rad/s Total energ knetk dhtung dengan Persamaan (6-8): EK mv + I ω (7, kg)(0 m/s) + (0,648 kg m )(00 rad/s) 40 J + 96 J 4 56 J. Sebuah slnder homogen dengan jar-jar R dan massa m berada dpuncak suatu bdang mrng (lhat gambar). Manakah yang kelajuannya lebh besar saat tba d dasar bdang mrng-slnder yang meluncur tanpa gesekan? Atau slnder yang menggelndng?

8 8 Untuk slnder yang meluncur tanpa gesekan, hukum kekekalan energ mekank memberkan EP puncak + EK puncak EP dasar + + EK dasar mgh ( mv + I ω ) gh ( V atau V gh ) Untuk slnder yang menggelndng, energ knetk d dasar bdang adalah gabungan energ knetk tranlas dan rotas sehngga hukum kekekalan energ mekank memberkan EP puncak + EK puncak EP dasar + + EK dasar mgh ( mv + I ω ) Untuk slnder penjal, I menjad mgh mv + ( m R (Tabel 6. (f)), dan V Rω atau ω V/R, sehngga persamaan R m ) V 4 gh V + R R 4 gh V V 4gh atau V 4 gh V R Jad slnder yang enggelndng lebh lambat menurun bdang mrng darpada slnder yang meluncur tanpa gesekan. In karena sejumlah energ dserap oleh gerak rotas benda. Energ total slnder d dasar bdang adalah sama pada kedua kasus. Contoh 6.9 Soal konsep Cncn kawn, kelereng, batu batera, kaleng cola kosong, kaleng cola penuh yang belum dbuka, dan sebuah kotak yang dmnyak sehngga dapat meluncur ke bawah tanpa gesekanjka keenam benda tegak tersebut dbebaskan dar keadaan dam pada ketnggan yang sama pada sebuah bdang mrng, dengan urutan bagamanakah benda-benda tersebut mencapa dasar bdang mrng? Dalam contoh 6.8b telah dbahas bahwa untuk kasus benda tegar menurun suatu bdang mrng mula dar keadaan dam, energ potensal gravtas pada poss dbebaskan terhadap acuan dasar bdang mrng berubah menjad energ knetk benda d dasar bdang. Energ knetk d dasar bdang adalah total dar energ knetk tranlas pusat massa dan energ knetk rotas terhadap pusat massa sebaga poros. Secara matemats dtulskan: Mgh mv + I ω Momen nersa benda tegar dapat kta tulskan sebaga I kmr dengan k adalah faktor numerc yang menyatakan bagmana massa benda tegar ddstrbuskan terhadap porosnya. Makn tersebar massa benda tu terhadap porosnya, makn besar nla k Dengan demkan persamaan datas dapat dtuls menjad x 4 m

9 Mgh MV + V (kmr) R gh V + ( + k) karena ω R V gh V (*) (perss sepert Persamaan (6-) + k Telah djelaskan bahwa makn tersebar massa benda tu terhadap porosnya makn besar nla k, dan berart makn kecl makn kecl nla kecepatan pusat massa V. Mar kta urutkan dahulu nla kecepatan pusat massanya. Kotak dmnyak yang meluncur tanpa gesekan memlk nla k 0, yatu nla k palng kecl, sehngga nla V palng besar, dan past muncul sebaga pemenang nomor. ccncn kawn dapat kta anggap sebaga lngkaran tps dengan massanya terdstrbuskan pada jarak R, sehngga nla k palng besar dan tentu saja nla V palng kecl. Kaleng kosong adalah slnder berongga (bulatan + kepng) yang massanya terdstrbus hamr pada R. sehngga nal V-nya lebh besar darpada cncn. Batu batera (slnder pejal) massanya terdstrbus mula dar r 0 sampa dengan r R pada keseluruhan panjang slnder. Kelereng (bola pejal)massanya terdstrbus dar r 0 sampa dengan r R secara konsentrs (tdak memanjang sepert slnder penjal). Karena tu nla kelereng < k batera, dan tentu saja V kelereng > V batera. Dengan demkan urut-urutan benda mencapa dasar bdang mrng dtunjukkan pada Gambar 6.4. Bagamana dengan kecepatan kaleng cola penuh? Kaleng cola penuh yang belum dbuka lebh rumt. Kaleng n tdak bsa danggap slnderpadat karena caran cola ddalamnya dapat bergerak dan akan mengeluarkan sedkt energ, sehngga kta bsa menganggap kaleng tu lebh lambat dar pada batera. Tetap hanya tulah yang dapat kta katakana dengan yakn. Jka dbandngkan dengan kaleng cola penuh lebh cepat atau lebh lambat darpada kaleng cola kosong. Contoh 6.0 Menemtukan momentum sudut Dua benda sedang bergerak, sepert dtunjukkan pada gambar. Tentukan besar dan arah momentum sudut total terhadap ttk poros O. Strateg: Karena lengan tors terhadap poros O dan kecepat lnear dberkan, maka momentum sudut tap benda sebaknya dhtung dengan Persamaan (6-0): L mrv. Perhatkan, arah momentum sudut dtentukan dengan kadah tangan kanan, sehngga kta etapkan arah berlawanan jarum jam bertanda postf dan arah searah jarum jam bertanda negatf. Momentum sudut benda m 5 kg dengan r m dan v 4 m/s (lhat gambar) adalah L - m r v. (tanda (-) karena putaran tangan kanan searah jarum jam) L (5 kg) ( m) (4 m/s) -40 kg m s - Momentum sudut benda m kg dengan r 4 m dan V m/s (lhat gambar) adalah L + m r v. (tanda (+) karena putaran tangan kanan berlawanan dengan arah jarum jam) L ( kg) (4 m) ( m/s) +4 kg m s - Momentum sudut total terhadap poros O adalah ΣL L + L kg m s - Tanda negatf menyatakan bahwa arah momentum sudut total terhadap poros O adalah searah jarum jam. 9

10 Contoh 6. Aplkas hkum kekekalan momentum sudut pada sstem yang berotas (a) Seorang penar sepatu es memlk momen nersa 4,0 kg m ketka kedua lengannya terentang dan, kg m ketka kedua lengannya merapat ketubuhnya. Penar mula berputar pada kelajuan,8 putaran/s ketka kedua lengannya terentang. Berapa kelajuan sudut ketka kedua lengannya merapat ke tubuhnya? Keadaan awal ketka kedua lengannya terentang: I 4,0 kg m ω,8 putaran/s Keadaan akhr ketka kedua lengan merapat ke tubuh: I, kg m ω? Kekelan momentum (Persamaan (6-)) memberkan L L I ω I ω I ω ω I 4,0 kg m, kg m x (,8 putaran/s) 6 putaran/s (b) Sebuah meja Putar terdr dar sebuah cakram tps mendatar dengan maassa M dan jar-jar R, dan berputar tanpa gesekan dengan kelajuan tetap ω. Pada suatu waktu, setetes lem M dengan massa m jatuh vertkal pada meja putar dan melekat d suatu ttk pada jarak r 0 0 R dar poros. Tentukan kelajuan sudut putar sekarang. 4 Strateg: Sstem mula-mula adalah cakram dengan nersa I m r (cakram slnder pejal) yang berputar dengan kelajuan ω. Sstem sekarang adalah cakram (momen nersa I ) dan setetes lem dengan nersa I m r (lem danggap sebaga partkel), sebaga suatu sstem yang berotas dengan kelajuan sudut baru ω. Dengan menggunkan hukum kekekalan momentum sudut, kta dapat menghtung ω. Massa cakram m M; jar-jar r R; momen nersa cakram I m r MR ; kecepatan sudut mula-mula: ω ω; momentum sudut mula-muola: L ω I ω( MR ). Massa lem m M, melekat pada jarak dar poros r 0 danggap sebaga partkel) adalah R. Dengan demkan, momen nersa lem (lem 4 I m r M R 9MR Sstem sekarang adalah (cakram + lem) sebaga satu sstem yang bergerak dengan kecepatan sudut sudut ω ω ω. Dengan menggunakan hukum kekekalan momentum kta peroleh L + L L + L ω I ω I + ω I

11 ω I ω I + ω I ω I ω (I +I ) ω I ω I + I 80 ω ω 89 ω MR ( MR ) + 80ω MR 9MR 80 MR + 9 MR 60 Contoh 6. Menentukan ttk berat mobl Majalah otomotf melaporkan bahwa sebuah mobl seda memlk 5% berat pada roda-roda depannya dan 47% bertapadaroda-roda belakangnya, dengan jarak antara poros roda depan dan belakang adalah,46 m (Gambar 6.7). n berart bahwa gaya normal total pada kedua roda depan adalah 0,5w dan pada kedua roda belakang adalah,47w, dengan w adalah berat total mobl. Berapa jauh dar poros roda belakang ttk berat mobl tersebut? Dengan menggunakan Persamaan (6-7) Anda dapat menghtungttk berat mobl (x G ) dukur dar poros roda belakang (poros roda belakang dtetapkan memlk x 0) w w x + wx 0,47w(0) + 0,5w(,46) X G w w + w 0,47w + 0,5w 0+,5w (,64) X G,0 meter w Contoh 6. Menentukan pusat massa sstem Sebuah palu terdr dar bagan kepalayang berbentukslnder dengan massa,00 kgdan dameter 8,00 cm dan tangka yang juga berbentuk slnder dengan massa 0,500 kg dan panjang 8,00 cm, sepert dtunjukkan pada Gambar 6.8a. Jka palu n dlemparkan berputar ke udara, berapa jauh d atas dasar tangka letak ttk yang membentuk lntasan parabola? Strateg: Ketka palu dlemparkan berputar ke udara, maka ttk yang membentuk lntasan parabola adalah pusat massa (atau ttk berat) palu. Ambl sumbu x sebaga gars yang melalu tengah-tengah palu, dan sumbu ysebaga gars tegal lurus sumbu x yang melalu dasar tangka pada (x 0 0,00 cm), lhat gambar 6.8b. Ttk berat tangka paluada d tengah-tengah tangka,dber ndeks () (Gambar 6.8b), dmana 6,0 X,0 cm Ttk berat palu ada dtengah-tengah kepala palu, dber ndeks () (Gambar 6.8b), dmana 8,0 X 6,0 + 0,0 cm Ttk berat palu, yatu ttk G, Dapat Anda tentukan dengan enggunakan Persamaan (6-7)

12 X G m m mx + mx w + m (00) + (0,500)() 6,6 cm ,500 Jad letak ttk yang membentuk lntasa parabola ketka dlemparkan dengan berputar ke udara adalah ttk yang berjarak 6,6 cm dar dasar tangka Contoh 6.4 Ttk berat benda homogen yang berlubang Tentukan letak ttk berat bdang yang draster, terhadap ttk potong dagonal bdang ABCD. Strateg: Untuk benda homogenberbentuk luasan (dua dmens), massa tap partkel dalam benda dapat kta nyatakan dalam luas partkel sebaga berkut: M ρv ρa t Dengan ρ dan t masng-masng adalah assa jens dan tebal benda homogen yang serba sama karena tu Persamaan (6-7) dapat dtuls x G x G m m A A Σ(ρ At ) ρtσa ΣρAt ρtσa A x + A x + A x... A + A + A... (6-9) y G A A A x + A x + A x... A + A + A... (6-0) Benda yang draster adalah bdang ABCD dkurang bdang lngkaran. A AB x BC 5 x 5 5 cm x 0 y 0 Bdang lngkaran: A π π() 9π x 7,5 4,5 y -(7,5-5) -,5 Ttk berat benda yang draster terhadap ttk O X 0 A A x A x A A A (5)(0) (9π )(4,5) 5 9π 9(4,5π ) 4,5π cm 9(5 π ) 5 π

13 y 0 A A x + A x. A A + A (5)(0) (9π ) (,5) + 9(,5π ),5π cm 5 9π 9(5 π ) 5 π Jad, koordnat ttk berat benda yang draster terhadap ttk potong dagonal bdang ABCD adalah 4,5π,5π, cm atau (0,65; 0,6) cm 5 π 5 π Contoh 6.5 Demonstras ttk berat benda homogen berbentuk kurva Pada gambar 6.9a kta tunjukkan dengan jelasbahwa selembar baja tps tdak akan sembang jka satu ujungnya dletakkan pada ujung meja. Msal kta sambungkan lag dua lembar baja, sepert pada Gambar 6.9b. Semua lembar baja memlk massa jens dan luas penampang yang sama (n berart massa lembaran baja hanya sebandng dengan panjang lembaran baja). Sekarang sstem dapat kta buat sembang asalkan kta dapat menentukan panjang lembaran! "##$"# %&&%&$& $'"(""&"" % '"% ( &) (" "& %' ( # ""&"%&"*%#+',%%&%&"&% ) ) $)% # % " (" & %'"## (")"% ( -&#%(( ##&&*"&&%"&". %% % $ ","/0%/%%&" A A x + A x + A x... x G (6-) A A + A + A... y G A A A x + A x + A x... A + A + A... (6-) +#! #&"*%#+'"% '%&"((% #""#&""% ( ##$! 4% 4 ##$%&!4%04 ##$! 4% 04.#""# #& %& % "/! x + x + x X 0 + +

14 0 (0,0)(5,0) + (5,0)(9,5) ( ) 0,0 0,0 + 5, ,5-0 0%&&"% %& 0 ± (95) 0 ± %#) ("7 84 %"&)"""# %&&%&$& $'$ ##$ &"84 Contoh 6.6 Kesembangan stats sstem partkel oleh tga buah gaya % % # /9 &) # : % % & % % % ;& %%&)! ;$&.% # ) )) #$%.%"# "&#&<%*"# "&#&- ) ) %"&#&<% "&#& ") "# ""! > % >)? %& "%% & % +#! ) )) #$%.%&$&%#/9#)&! )##%+ %.; % ; %; %; )A"% ;%;%;) #/94 ; ; 4("8 9; ;;4(" /; ; ); "8 /; ;);" 9; &""# ""! >%>),%&&"(( )("7&&" &% 7&&#+& > >) ;B; ; )6;)B+ ;; /; 69;: 4

15 /;9; /; 69;: CC 0,6T T ; 0,8 4 C T? "&#&"; 4 dar (*) ke dalam (**), kta dapat menghtung tegangan tal T. T 0,6 + 0,8T 400 4,8T +,T 600 (kalkan kedua ruas dengan 4) 5,0T 600 T 0 N Substtuskan kembal T 0 ke dalam (*) dperoleh T. (0) T 40 N 4 Contoh 6.7 Kesembangan pada papan mendatar yang dber penumpu. Anak lak-lak dengan berat 50 N dan anak perempuan dengan berat 40 N duduk pada papan kayu yang panjangnya m dan beratnya 0 N. papan tersebut d tumpu oleh batang kayu berbentuk slnder, sepert dtunjukkan pada gambar 6.9a. Papan kayu n memlk ketebalan merata ttk beratnya dtengah-tengah papan dan sembang d atas penumpu batang kayu sebelum kedua anak duduk d atasnya kedua anak tersebut duduk d atas papan pada ss yang berlawanan. Jka anak perempuan duduk d ujung kanan papan, d manakah anak lak-lak harus duduk agar papan tetap sembang? Strateg: Psahkan papan kayu, gambar gaya-gaya yang bekerja pada papan (lhat Gambar 6.9b). Karena gaya R tak dketahu dan tak dnyatakan, untuk memudahkan perhtungan sebaknya kta plh ttk P sebaga poros, dan menggunakan syarat kesembangan rotas Στ p 0. Msalkan anak lak-lak duduk d A pada jarak x meter dar oros P, maka x dapat kta htung cukup dengan syarat Στ p 0. Perhatkan, gaya R yang tak dketahu dan gaya 0 N tak menghaslkan tors terhadap P sebab gars kerja kedua gaya n melalu P. Στ p 0 -x (50) + (40) 0 x 0,8 m Dengan demkan, anak lak-lak harus duduk 0,8 m d kr poros P. g. Seorang tukang cat yang beratnya 550 N mengatur dua buah kuda-kuda penopang. Sebuah papan yang beratnya 60 N dgunakan sebaga tempat berpjak ketka a mencat dndng. Kuda-kuda penopang A dan B dtempatkan m dar tap ujung papan sepert tampak pada Gambar 6.40a. Ia meletakkan kaleng yang beratnya 0 N sejauh 0,5 m dar ujung ss kr papan. Secara perlahan-lahan a mengecat sambl menggeser ke kanan. Berapa jauh ke kanankah a dapat bergeser sebelum papan tepat terangkat dar kuda-kuda penopang A? 5

16 6 Strateg: Psahkan papan pjakan, gambar gaya-gaya yang bekerja pada papan (lhat Gambar 6.40b). ketka papan tepat terangkat dar kuda-kuda penopang A, maka gaya penopang A pada kayu sama dengan nol (R S ). Karena gaya penopang yang ttk kerjanya d P, yatu R B, tak dketahu dan tak dtanyakan, maka untuk memudahkan perhtungan sebaknya kta plh ttk P sebaga poros, dan enggnakan syarat kesembangan rotas Στ p 0. Msalkan ketka tukang cat berada sejauh x meter dar poros P, papan tepat akan terangkat dar penopang A (R A 0), maka x dapat kta htung cukup dengan menggunakan syarat kesembangan rotas Στ p 0. Perhatkan, gaya R B yang tak dketahu tdak menghaslkan tors terhadap P sebab gars kerjanya melaklu P. Στ p 0 -,5(0) (60) + x (550) x 0 x 0, m. 550 Dengan demkan, papan tepat akan terangkat dar penopang A ketka tukang cat berdr 0, m d sebelah kanan P. Contoh 6.8 Kesembangan pada batang berengsel yang dber beban dan dtopang oleh kabel Batang homogen berengsel yang beratnya 50 N (lhat gambar 6.4a) berada dalam keadaan sembang. Htunglah tegangan dalam kabel pendukungnya. Strateg: Psahkan batang, gambar gaya-gaya yang bekerja pada batang (lhat Gambar 6.4b). Perhatkan, berat batang homogen (50 N) bekerja d ttk berat batang homogen, yatu dtengah-tengah batang. Untuk dapat langsung menghtung tegangan dalam kabel, T, plhlah ttk P sebaga poros dan gunakan syarat kesembangan rotas, Στ p 0. Gaya-gaya yang bekerja pada batang adalah berat batang, 50 N, dengan ttk kerja tepat d tengah-tengah batang; tegangan tal T; beban 00 N; dan gaya engsel dengan komponen horzontal H dan komponen vertkal V (lhat Gambar 6.4b). Dengan menetapkan arah mendatar sebaga sumbu-x dan arah vertkal sebaga sumbu-y, maka gaya yang perlu kta urakan atas komponen-komponennya hanyalah gaya tegangan T, yatu T x dan T y, d mana T x T cos 7 0 0,80T dan T y T sn 7 0 0,60T. Karena gaya horzontal dan vertkal engsel, yatu H dan V, yang bekerja d ttk P tdak dketahu, maka sebaknya ttk P kta tetapkan sebaga poros. Dengan menetapkan P sebaga poros, maka gaya-gaya H, V, dan T x tdak menghaslkan tors karena gars kerja ketganya melalu poros P. Στ p 0

17 7-50(70) T y (00) + 00(40) 0 5 T y (bag kedua ruas dengan 00) T y 75,60T 75 T 75 9 N 0,60 Bagamanakah jka gaya pada engsel dtanyakan? Tentu saja kta terlebh dahulu menghtung gaya horzontal engsel, H, dengan Στ x 0 dan gaya vertkal, V, dengan Στ y 0. Στ x 0 +H T x 0 H 0,80 T 0,80 (9) 4 N Στ y 0 +V 50 + T y 00 0 V 50 0,60T V 50 0,60(9) -5, N Tanda negatf pada V menyatakan bahwa arah V sesungguhnya adalah ke bawah, berlawanan dengan arah pemsalan kta semula. Besar gaya engsel, F p, dhtung dengan dall Pythagoras (lhat gambar d sampng). F p H +V 4 + 5, 5, N Contoh 6.9 Kesembangan pada tangga Sebuah tangga homogen AB panjangnya 5 m dan beratnya w. ujung A dsandarkan pada dndng lcn dan ujung B nertumpu pada lanta kasar (lhat Gambar). Tentukan koefsen gesekan antara lanta dan tangga pada saat tangga tepat akan tergelncr. Strateg: Psahkan tangga, gambar gaya-gaya yang bekerja pada tangga (lhat gambar). Plh A sebaga poros dan gunakan Στ y 0. Gaya-gaya yang bekerja pada tangga adalah berat tangga homogen, w, dengan ttk kerja tepat d tengah-tengah batang (ttk P); gaya tekan dndng pada tangga, N A ; gaya tekan lanta pada tangga, N B ; dan gaya gesekan lanta kasar pada tangga, f B ; d mana f B µ s N B (lhat Gambar 6.4). Msalkan AB L, maka AP PB L. Untuk A sebaga poros, gaya N A tak menghaslkan tors sebab gars kerjanya melalu A. Lengan tors w adalah AP ; lengan tors f B adalah AB ; dan lengan tors N B adalah AB. AP AP cos θ L cos θ AB AB sn θ L sn θ AB AB cos θ L cos θ Στ y 0 +w. AP + f B. AB N B. AB 0 w ( L cos θ) +(µ s N B )( L sn θ) N B ( L cos θ) 0 µ s L N B sn θ L (N B cos θ - w cos θ) (*) ΣF y 0

18 -w + N B 0 N B w (**) Substtuskan N B w dar (**) dalam (*), kta dapat menyatakan µ s dalam θ. µ s Lw sn θ L (w cos θ - w cos θ) µ s Lw sn θ Lw cos θ Lw cos µ s cos Lw sn µ s tan Perhatkan sku-sku BBA (lhat Gambar 6.4). AB tan θ ; AB AB BB 5 4 BB tan θ 4 8 Dengan demkan koefsen gesekan stats, µ s, adalah µ s tan θ ( ) 4 (c) Sebuah tangga dengan berat 0 N bersandar pada tembok lcn dan bertumpu pada lanta kasar. Amr yang beratnya 400 N berdr pada tangga (lhat Gambar 6.4a). Jka sstem sembang, htung besar gaya yang bekerja pada tembok dan lanta. Htung juga koefsen gesekan lanta d A. Psahkan tangga dan gambar gaya-gaya yang bekerja pada tangga, sepert dtunjukkan pada Gambar 6.4b. Gaya-gaya tersebut adalah: () gaya berat tangga (00 N) yang ttk kerjanya d tengah-tengah tangga; () gaya berat orang (400 N) yang ttk kerjanya m dar puncak tangga; () gaya normal yang dkerjakan tembok pada tangga, yakn N D yang arahnya tegak lurus tembok ke kr; (4) komponen gaya-gaya yang dkerjakan lanta pada tangga, yakn gaya gesek f A ke kanan dan gaya normal N A ke atas. Kta tdak perlu mengurakan gaya-gaya karena tdak ada gaya yang mrng. Karena pada ttk A bekerja palng banyak gaya yang tdak dketahu (f A dan N A ), maka kta plh A sebaga poros; n akan memudahkan kta untuk menggunakan syarat kesembangan rotas Στ y (BA) (CA) ND (DA) 0 Karena panjang tangg /#/:#. 4(" // 9

19 9 D.:4(" / :?.4(" /9 :9? "&,"C#" )?%& 96::B?:9 /60/B:9? 0? 8 4,8 &")"# "! ΣF y 0 + f A N P 0 f A N P 0 ΣF y 0 + NA N A 60 newton Dengan demkan, Gaya pada tembok: N P 75 N Gaya pada lanta: K f A + N A (75) + (600) 5 ( + 4 ) N fs f A Koefsen gesekan lanta d A, µ s µ s 0, 46 N N A