3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "3 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR"

Transkripsi

1 OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR Pada arena balap mobil, sebuah mobil balap mampu melaju dengan kecepatan (x + 10) km/jam selama 0,5 jam. Berapakah kecepatannya jika jarak yang ditempuh mobil tersebut 00 km? Sumber: Ensiklopedi Umum untuk Pelajaran, 005 Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat menjelaskan pengertian variabel, konstanta, faktor, suku, dan suku sejenis; dapat melakukan operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat pada bentuk aljabar; dapat menerapkan operasi hitung pada bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal; Kata-Kata Kunci: variabel dan konstanta operasi hitung bentuk aljabar faktor dan suku pecahan bentuk aljabar

2 Sebelum kalian mempelajari materi pada bab ini, kalian harus menguasai konsep mengenai faktor sekutu, kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan atau lebih. Konsep mengenai bentuk aljabar dan operasi hitungnya selanjutnya akan sangat bermanfaat dalam mempelajari bab berikutnya. Perhatikan uraian A. BENTUK ALJABAR DAN UNSUR- UNSURNYA Al-Khwarizmi Sumber: Ensiklopedi Matematika dan Peradaban Manusia, 00 Kata aljabar (aljabr) diambil dari judul buku Hisab al Jabr Wa l Muqabalah (Perhitungan dengan Restorasi dan Reduksi), karya seorang ahli matematika Arab, Muhammad Al-Khwarizmi ( M). Aljabar menjadi salah satu cabang ilmu matematika yang sangat bermanfaat dalam ilmu ekonomi dan ilmu sosial lainnya. Nanti pada bab selanjutnya, kalian akan mempelajari penerapan aljabar dalam kegiatan ekonomi. Perhatikan ilustrasi Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika dinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah. Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar. Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar. Contoh bentuk aljabar yang lain seperti x, p, 4y + 5, x x + 7, (x + 1)(x 5), dan 5x(x 1)(x + ). Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan suku tak sejenis. Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian 1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Perhatikan bentuk aljabar 5x + y + 8x 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c,..., z. 80 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

3 Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 x atau 5x = 1 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + y + 8x 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku y adalah, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku 6y adalah 6.. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan x, a dan a, y dan 4y,... Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: x dan x, y dan x, 5x dan y,... b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: x, a, 4xy,... c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh: x +, a 4, x 4x,... d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. (Menumbuhkan kreativitas) Buatlah sebarang bentuk aljabar. Mintalah temanmu untuk menunjukkan unsur-unsur aljabar dari bentuk aljabar tersebut. Lakukan hal ini bergantian dengan teman sebangkumu. Contoh: x x + 1, x + y xy,... Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak. Catatan: Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyak disebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajari pemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua. Operasi Hitung Bentuk Aljabar 81

4 Tentukan koefisien dari x dan faktor dari masing-masing bentuk aljabar a. 7x b. x + 5 c. x + 4x a. 7x = 7 x x Koefisien dari x adalah 7. Faktor dari 7x adalah 1, 7, x, x, 7x, dan 7x. b. x + 5 = x x Koefisien dari x adalah. Faktor dari x adalah 1,, x, x, x, dan x. Faktor dari 5 adalah 1 dan 5. c. x + 4x = x x + 4 x 1 Koefisien dari x adalah. Faktor dari x adalah 1,, x, x, dan x. Koefisien dari 4x adalah 4. Faktor dari 4x adalah 1, 4, x, dan 4x. Faktor dari adalah, 1, 1, dan. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tulislah setiap kalimat berikut dengan menggunakan variabel x dan y. a. Suatu bilangan jika dikalikan, kemudian dikurangi menghasilkan bilangan 5. b. Empat lebihnya dari keliling suatu persegi adalah 16 cm. c. Selisih umur Bella dan Awang adalah 5 tahun, sedangkan jumlah umur mereka 15 tahun. d. Kuadrat suatu bilangan jika ditambah 1 menghasilkan bilangan 50.. Tentukan koefisien x dari bentuk aljabar a. x b. x xy + x + c. 4x 5x + 6 d. 1 5 x x 4 4 e. x + 4x + x. Tentukan konstanta dari bentuk aljabar a. 5x b. y + y 5 c. (x + 5) d. xy + x y + 1 e. 4 x + 5x 8 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

5 4. Tentukan suku-suku yang sejenis dan tidak sejenis pada bentuk aljabar a. m n + 9m + 15n 6 b. 9a ab + 4a + 6ab 18a c. 5x + 6xy 8y xy + 9y d. 8p q p q + 1pq + 5pq + p q e. 5y y + 4y + x y + y 1 5. Termasuk suku berapakah bentuk aljabar berikut? a. x d. a ab + b b. 4x e. c. y x x x4 B. OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR Ingat bahwa untuk sebarang bilangan bulat a dan b, berlaku 1) a b = ab ) a ( b) = ab ) ( a) b = ab 4) ( a) ( b) = ab 1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis. Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada suku-suku yang sejenis. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar a. 4ax + 7ax b. (x x + ) + (4x 5x + 1) c. (a + 5) (4a a + ) a. 4ax + 7ax = ( 4 + 7)ax = ax b. (x x + ) + (4x 5x + 1) = x x + + 4x 5x + 1 = x + 4x x 5x = ( + 4)x + ( 5)x + ( + 1) (kelompokkan sukusuku sejenis) = 6x 8x + c. (a + 5) (4a a + ) = a + 5 4a + a =a 4a + a + 5 = ( 4)a + a + (5 ) = a + a + Operasi Hitung Bentuk Aljabar 8

6 Panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah (x + 1) cm, sedangkan panjang sisi siku-sikunya (x ) cm dan (4x 5) cm. Tentukan luas segitiga tersebut.. Perkalian Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a (b + c) = (a b) + (a c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a (b c) = (a b) (a c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar. a. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai k(ax) = kax k(ax + b) = kax + kb Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah. a. 4(p + q) b. 5(ax + by) c. (x ) + 6(7x + 1) d. 8(x y + z) a. 4(p + q) = 4p + 4q b. 5(ax + by) = 5ax + 5by c. (x ) + 6(7x + 1) = x 6 + 4x + 6 = ( + 4)x = 45x d. 8(x y + z) = 16x + 8y 4z (Berpikir kritis) Diskusikan dengan temanmu. Dengan memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, buktikan perkalian bentuk aljabar (ax + b) (ax b) = a x b (ax + b) = a x + abx + b (ax b) = a x abx + b b. Perkalian antara dua bentuk aljabar Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua (ax + b) (cx + d) = ax cx + ax d + b cx + b d = acx + (ad + bc)x + bd 84 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

7 Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian ax+bcx d axcx d bcx d ax cx ax d bcx b d acx adx bcx bd acx ad bc x bd Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai (ax + b) (cx + dx + e) = ax cx + ax dx + ax e + b cx + b dx + b e = acx + adx + aex + bcx + bdx + be = acx + (ad + bc)x + (ae + bd)x + be (Berpikir kritis) Coba jabarkan perkalian bentuk aljabar (ax + b)(cx + dx + e) dengan menggunakan sifat distributif. Bandingkan hasilnya dengan uraian di samping. Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih. 1. (x + ) (x ). ( 4a + b) (4a + b). (x 1) (x x + 4) 4. (x + ) (x ) 1. Cara (1) dengan sifat distributif. (x + ) (x ) = x(x ) + (x ) = 6x 4x + 9x 6 = 6x + 5x 6 Cara () dengan skema. (x + ) (x ) = x x + x ( ) + x + ( ) = 6x 4x + 9x 6 = 6x + 5x 6. Cara (1) dengan sifat distributif. ( 4a + b) (4a + b) = 4a(4a + b) + b(4a + b) = 16a 8ab + 4ab + b = 16a 4ab + b Operasi Hitung Bentuk Aljabar 85

8 Cara () dengan skema. ( 4a + b) (4a + b) = ( 4a) 4a + ( 4a) b + b 4a + b b = 16a 8ab + 4ab + b = 16a 4ab + b. Cara (1) dengan sifat distributif. (x 1) (x x + 4) = x(x x + 4) 1(x x + 4) = x 4x + 8x x + x 4 = x 4x x + 8x + x 4 = x 5x + 10x 4 Cara () dengan skema. (x 1) (x x + 4) =x x + x ( x) + x 4 + ( 1) x + ( 1) ( x) + ( 1). 4 = x 4x + 8x x + x 4 = x 4x x + 8x + x 4 = x 5x + 10x 4 4. Cara (1) dengan sifat distributif. (x + ) (x ) = x(x ) + (x ) = x x + x 4 = x 4 Cara () dengan skema. (x + ) (x ) = x x + x ( ) + x + ( ) = x x + x 4 = x 4 Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan seperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan. 86 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

9 Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakat bahwa secara umum bentuk perkalian (x + a) (x a) = x a? Diskusikan hal ini dengan temanmu. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar a. 8p + ( p) + 8 b. 9m + 4mn + ( 1m) 7mn c. a + ab 7 5a + ab 4 d. 4x xy + 7y 5x + xy 4y e. 4p + pq 6p + 8pq f. 1kl 0mn 5kl mn. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar a. 4m 5 6m + 8 b. 9p 4pq q 4p + 5pq q c. ( 8a b) 4a + 9b d. 1x 9x 8 15x + 7x + 5 e. (4k l + kl ) + ( 9k l 4kl ) f. 5(m 5m + m) (m + 4m 9m). Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabar berikut sebagai jumlah atau selisih. a. (a b + 5) b. xy(x 4) 1 6 c. x d. (x + ) e. (a + 5) f. p(p ) 4. Nyatakan bentuk aljabar berikut sebagai perkalian konstanta dengan bentuk aljabar. a. 5x 15y b. p + q r c. x + 9xy 18xy d. 4p + 8r 5. Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabar berikut ini. a. (x + ) (x ) b. (x ) (x + 4) c. (4k + 1) d. (m + n) (m n) e. ( a) (5 + a) f. ( + a) (a a + 1). Perpangkatan Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Jadi, untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku n a a aa... a n faktor Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Jumlah dua buah bilangan adalah 5. Jika bilangan kedua adalah lima lebihnya dari bilangan pertama, tentukan hasil kali kedua bilangan itu. Operasi Hitung Bentuk Aljabar 87

10 Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar 1. (p). (x yz ). ( p q) 1. (p) = (p) (p) = 4p. (x yz ) = 7x 6 y z 9. ( p q) = 9p 4 q (Menumbuhkan inovasi) Jabarkan bentuk aljabar suku dua (a + b) n dengan 7 n 10. Tentukan pola koefisien yang terbentuk. Kemudian, tuliskan pola koefisien tersebut dalam segitiga Pascal. Diskusikan hal ini dengan temanmu. Ceritakan hasilnya secara singkat di depan kelas. (Berpikir kritis) Pada bentuk aljabar berikut, tentukan koefisien dari a. x pada (x 5) ; b. x 5 pada (x ) 5 ; c. x y pada (x + y) 4 ; d. x y pada (x + y) 4 ; e. a pada (4 a) 4. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Misalkan kita akan menentukan pola koefisien pada penjabaran bentuk aljabar suku dua (a + b) n, dengan n bilangan asli. Perhatikan uraian (a + b) 1 = a + b koefisiennya 1 1 (a + b) = (a + b) (a + b) = a + ab + ab+ b = a + ab+ b koefisiennya 1 1 (a + b) = (a + b) (a + b) = (a + b) (a + ab + b ) = a + a b + ab + a b + ab + b = a + a b + ab + b koefisiennya 1 1 dan seterusnya Adapun pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b) n dimulai dari a n kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir a 1 pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b 1 pada suku ke- lalu bertambah satu demi satu dan terakhir b n pada suku ke-(n + 1). Perhatikan pola koefisien yang terbentuk dari penjabaran bentuk aljabar (a + b) n di atas. Pola koefisien tersebut ditentukan menurut segitiga Pascal ( a + b) 0 ( a + b) 1 ( a + b) ( a + b) ( a + b) 4 ( a + b) 5 ( a + b) Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

11 Pada segitiga Pascal tersebut, bilangan yang berada di bawahnya diperoleh dari penjumlahan bilangan yang berdekatan yang berada di atasnya. Jabarkan bentuk aljabar a. (x + 5) b. (x y) c. (x + y) d. (a 4) 4 a. (x + 5) = 1(x) + x = 9x + 0x + 5 b. (x y) = 1(x) + (x) ( y) + 1 ( y) c. (x + y) = 4x 1xy + 9y =1x + x (y) 1 + x (y) + 1 (y) = x + 9x y + 7xy + 7y d. (a 4) 4 =1a a ( 4) a ( 4) + 4 a ( 4) + 1 ( 4) 4 = a 4 16 a + 6a a ( 64) = a 4 16a + 96a 56a Pembagian Hasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu faktor sekutu masing-masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilang dan penyebutnya. Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar 1. xy : y. 6a b : a b. x y : (x y : xy) 4. (4p q + 18pq ) : pq x y 1. (faktor sekutu ) y x y 6ab. 6 ab :ab ab ab ab (faktor sekutu ab) ab ab Operasi Hitung Bentuk Aljabar 89

12 . 4. x y xy:( xy : xy) xy: xy xy xy xy: xy xy xy x xy: xy x xy xy 4 pq18pq (4p q 18 pq ):pq pq 6 pq(4p q) pq (4 p q) Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar a. (a) e. (x y) b. (xy) f. (pq) 4 c. ( ab) 4 g. 1 ( ) xy d. (4a b ) h. a(ab ). Jabarkan perpangkatan bentuk aljabar a. (x + ) e. (4x y) b. (x 1) f. 5(a + ) 4 c. (p + q) 4 g. (y + 1) 5 d. ( x y) h. ( x y). Tentukan koefisien (a + b) n pada suku yang diberikan. a. Suku ke- pada (a ) 4. b. Suku ke- pada (x + y). c. Suku ke-4 pada (a b) 4. d. Suku ke-5 pada (x + ) Sederhanakan bentuk aljabar a. 16p : 4p b. 6a 6 b : a b c. x y 5 : x y : xy d. 15p 4 q 5 r : (6p qr : pqr) e. (a bc + 8a b c ) : abc f. (p qr + p q r p 5 q r ) : p qr 5. Substitusi pada Bentuk Aljabar Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut. 90 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

13 1. Jika m =, tentukan nilai dari 5 m.. Jika x = 4 dan y =, tentukan nilai dari x xy + y. Substitusi nilai m = pada 5 m, maka diperoleh 5 m = 5 () = 5 6 = 1 Substitusi x = 4 dan y =, sehingga diperoleh x xy + y = ( 4) ( 4) () + () = (16) ( 1) + (9) = = Menentukan KPK dan FPB Bentuk Aljabar Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya. Perhatikan contoh Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar a. 1pq dan 8pq b. 45x 5 y dan 50x 4 y a. 1pq = p q 8pq = p q KPK = p q = 4pq FPB = p q = 4pq b. 45x 5 y = 5 x 5 y 50x 4 y = 5 x 4 y KPK = 5 x 5 y = 450x 5 y FPB = 5 x 4 y = 5x 4 y Operasi Hitung Bentuk Aljabar 91

14 (Menumbuhkan inovasi) Berdasarkan contoh di atas, buatlah kesimpulan mengenai cara menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar. Diskusikan hal ini dengan temanmu. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Jika a = 6 dan b = 1, tentukan nilai dari bentuk aljabar a. a + ab + b b. a b ab + a b c. a + a b + ab + b d. a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4 e. a b + ab f. a a + ab 5. Hitunglah nilai p qr + p jika a. p = 1, q =, dan r = ; b. p =, q =, dan r = 1; c. p = 1, q = 5, dan r = ; d. p =, q =, dan r = 5.. Tentukan KPK dari bentuk aljabar a. 15ab dan 0ab b. 10a b c dan 15b c d c. 4p q, 6p q, dan 60pqr d. 16pq r, 0qr s, dan 6p r s 5 4. Tentukan FPB dari bentuk aljabar a. x dan x b. 4x y dan 1xy c. 48a b 5 dan 5a b c d. 1pq, 6q r, dan 15p qr C. PECAHAN BENTUK ALJABAR Di bagian depan kalian telah mempelajari mengenai bentuk aljabar beserta operasi hitungnya. Pada bagian ini kalian akan mempelajari tentang pecahan bentuk aljabar, yaitu pecahan yang pembilang, atau penyebut, atau kedua-duanya memuat bentuk a 4 a m x aljabar. Misalnya,,,, dan. p 7bc n x y 1. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya. 9 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

15 Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut, jika x, y 0. x a. 6x y 4x yz b. xy a. FPB dari x dan 6x y adalah x, sehingga x x : x 6x y 6 x y:x 1 xy x Jadi, bentuk sederhana dari 6x y adalah 1. xy b. FPB dari 4x yz dan xy adalah xy, sehingga 4x yz 4 x yz :xy xy xy :xy xz y. Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal a. Penjumlahan dan pengurangan Pada bab sebelumnya, kalian telah mengetahui bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh Sederhanakan penjumlahan atau pengurangan pecahan aljabar p q p q 1q 5p pq qp q 10p 6pq 6pq q10p 6 pq Operasi Hitung Bentuk Aljabar 9

16 . 1 k k1. m n1 m n.. 1 1( k 1) ( k ) k k 1 ( k )( k 1) ( k )( k 1) k 1 k 6 k k k k k 1k 6 k k k 7 k k mn 1 m n1 nm m n mn nm mn n mn m mn mn mn n mn m mn mn mn n m mn n m mn b. Perkalian dan pembagian Ingat kembali bentuk perkalian bilangan pecahan yang dapat dinyatakan sebagai a c ac ; untuk b, d 0 b d bd Hal ini juga berlaku untuk perkalian pada pecahan aljabar. Tentukan hasil perkalian pecahan bentuk aljabar 4 1. ab a x1 y1. y x. x 1 x 5 4 ab 4 ab b 1. a a x1 y1 x1y1. y x y x xy y x 1 xy xy x y 1 xy 94 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

17 . x 1 x ( x 1)x 5 5 x x 15 x x 15 ( 1) Kalian pasti masih ingat bahwa pembagian merupakan invers (operasi kebalikan) dari operasi perkalian. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa membagi dengan suatu pecahan sama artinya dengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut. b c ac a: a c b b untuk b0, c0 a a 1 a : c b b c bc untuk b0, c0 a c a d ad : b d b c bc untuk b0, c0 Hal ini juga berlaku untuk pembagian pada pecahan bentuk aljabar. Sederhanakan pembagian pecahan aljabar 1. 4 p q : q 9p a c. : b 4b. ab b : c ac 4p q 4p 9p 1. : q 9p q q 6 p 6q 6 p q. a c a 4b : b 4b b c 1ab bc 1ab c ab b ab ac. : c ac 1c 1b abc bc a b Operasi Hitung Bentuk Aljabar 95

18 (Berpikir kritis) Tunjukkan berlakunya sifat perpangkatan pecahan bentuk aljabar di samping. Gunakan contoh yang mendukung. c. Perpangkatan pecahan bentuk aljabar Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. 1 a a b b a a a a b b b b a a a a a b b b b b n a a a a a a... b b b b b b sebanyak n kali n n Sederhanakan perpangkatan pecahan aljabar x y a 1. b 5p x x x x 7 x y 5y 5y 5y 4 a1 a1 a1 b b b a1a1 b 4a aa1 4a 4a1 b b 5p 5p 5p 5p5p 4 5p 15p15p9 4 5p 0 p Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

19 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Sederhanakan pecahan-pecahan bentuk aljabar. Tentukan hasil kali pecahan aljabar a. pq, pq, 0 a. q 4 pq p b. x yz m m, xyz,, 0 b. 6xyz n 5n x 15y yz 9mn 6kn c. c., xyz,, 0 xyz 4k m x1 x 6xy 4xy 8xz d. d., xz, 0 y z xz x1 x1. Sederhanakan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar e. x y pq pq a. f. q p p q 4. Tentukan hasil bagi bentuk pecahan aljabar x x x b. y xy x y 16ab 8ab p p a. : d. : 4 1 c. 5c c 1 b. 4 a 9 b 4klm k m 4a a a : e. : d. b c 9 8l b ab x y x y mn 8mn x y 0xy c. : f. e. : x y 6l 15l z 8z 7b b 5. Selesaikan operasi perpangkatan pecahan aljabar f x 9x x 4x 1 g. a. e. y y y y h. x 4xy b. f. a 1 y 9y 4x b p q4 i. 4x a b 6q 9p c. g. y 4m 5m1 j. mn 1n 5 pq d. h. y pq Operasi Hitung Bentuk Aljabar 97

20 D. PENGGUNAAN ALJABAR UNTUK MENYE- LESAIKAN MASALAH Diketahui usia ayah empat kali usia anaknya. Lima tahun kemudian, usia ayah tiga kali usia anaknya. Tentukan masing-masing umur ayah dan anaknya. Misalkan: umur ayah = x; umur anak = y, sehingga diperoleh persamaan x = 4y... (i) x + 5 = (y + 5)... (ii) Substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), diperoleh x + 5 = (y + 5) 4y + 5 = (y + 5) 4y + 5 = y y y = 15 5 y = 10 Untuk y = 10, maka x = 4y x = 4 10 x = 40 Jadi, umur ayah 40 tahun, sedangkan umur anaknya 10 tahun. Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu. 1. Panjang suatu persegi panjang diketahui (x + ) cm dan lebarnya (x ) cm. a. Tentukan keliling persegi panjang dinyatakan dalam x. b. Jika kelilingnya 6 cm, tentukan ukuran persegi panjang tersebut.. Tiga tahun yang lalu jumlah umur seorang ibu beserta anak kembarnya diketahui 5 tahun. Jika pada saat itu umur ibunya 9 tahun, berapa tahunkah umur anak kembarnya sekarang? 98 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

21 . Pak Ketut melakukan suatu perjalanan ke luar kota. Mula-mula ia mengendarai sepeda motor selama jam dengan kecepatan rata-rata (5x ) km/jam. Kemudian Pak Ketut melanjutkan perjalanan dengan naik bus selama jam dengan kecepatan rata-rata (4x + 15) km/jam. Tentukan a. jarak yang ditempuh dalam x; b. nilai x, jika jarak yang ditempuh 9 km. 4. Seekor kambing setiap hari menghabiskan (x + ) kg ransum makanan, sedangkan seekor sapi setiap hari menghabiskan (x 1) kg ransum makanan. a. Nyatakan jumlah ransum makanan untuk seekor kambing dan seekor sapi selama 1 minggu. b. Tentukan nilai x jika jumlah ransum makanan yang habis dalam 1 minggu adalah 70 kg. 5. Suatu model kerangka balok terbuat dari kawat dengan ukuran panjang (x + 1) cm, lebar (x + 5) cm, dan tinggi x cm. Tentukan a. persamaan panjang kawat dalam x; b. nilai x, jika panjang kawat seluruhnya = 104 cm. (Menumbuhkan inovasi) Amatilah lingkungan di sekitarmu. Buatlah contoh masalah sehari-hari yang berkaitan dengan penggunaan operasi hitung bentuk aljabar. Selesaikanlah dan hasilnya ceritakan secara singkat di depan kelas. 1. Variabel, konstanta, faktor, serta suku sejenis dan tak sejenis. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Operasi Hitung Bentuk Aljabar 99

22 . Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis.. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai k(ax) = kax k(ax + b) = kax + kb 4. Perkalian antara dua bentuk aljabar dinyatakan sebagai (ax + b) (cx + d) = acx + (ad + bc)x + bd (ax + b) (cx + dx + e) = acx + (ad + bc)x + (ae + bd)x + be (x + a) (x a) = x a 5. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien sukusukunya ditentukan dengan segitiga Pascal. (a + b) 1 = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) = a + a b + ab + b dan seterusnya 6. Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan cara menyubstitusikan sebarang bilangan pada variabel-variabel bentuk aljabar tersebut. 7. Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana jika pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1 dan penyebutnya tidak sama dengan nol. 8. Hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan aljabar diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Setelah mempelajari mengenai Operasi Hitung Bentuk Aljabar, materi manakah yang telah kalian pahami? Buatlah rangkuman dari materi yang telah kalian pahami. Catatlah materi yang belum kalian pahami. Lalu, tanyakan pada temanmu yang lebih tahu atau kepada gurumu. Berilah contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari beserta penyelesaiannya yang berkaitan dengan operasi hitung bentuk aljabar. Susunlah dalam sebuah laporan dan kumpulkan kepada gurumu. 100 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

23 Kerjakan di buku tugasmu. A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. 1. Koefisien dari x pada bentuk aljabar x 4x + 7adalah... a. c. 4 b. 7 d. 4. Bentuk aljabar berikut yang terdiri atas tiga suku adalah... a. abc + pqr c. ab pq b. ab + ac bc d. ab cd. Bentuk paling sederhana dari (x +y) 4(x 5y) adalah... a. 10x 10y c. x y b. x + 4y d. x y 4. Bentuk sederhana dari 8x 4 6x + 7 adalah... a. x + c. x b. x + d. x 5. Jika p =, q =, dan r = 5, nilai dari p r pq adalah... a. 74 c. 86 b. 46 d Hasil penjabaran dari (x ) adalah... a. 4x + 6x + 9 b. 4x 1x + 9 c. x + 1x + d. x + 6x + 7. KPK dan FPB dari ab c dan b c d adalah... a. b c dan a b c b. ab c d dan b c c. ab c d dan b c d. b c dan ab c d x7 x4 8. Hasil dari adalah... 5 a. 11 x 15 b. 11x c. d. 11x 15 11x Nilai dari adalah... x 5x a. 7 15x b x c. 9 15x d x 10. Panjang sisi-sisi suatu segitiga diketahui berturut-turut p cm, p cm, dan (p + 4) cm. Keliling segitiga tersebut adalah... a. (4p + 4) cm c. (p + 6) cm b. (p + 4) cm d. (p + ) cm B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat. 1. Sederhanakan bentuk aljabar a. 4x + 5y 10x + y b. (5x + 7) (x 5) c. 8x ( 4x + 7) d. (x 5) + ( x + 4) e. x x + 5 x + x 9. Tentukan hasilnya. a. (x 1) ( x + 4) b. ( p + 1) c. ( 5x ) d. x(x + ) (x 1) Operasi Hitung Bentuk Aljabar 101

24 . Tentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar a. 5p q dan 18pq r b. 0pq dan 5p q c. 5p qr, 0pqr, dan 6p q r d. 1pq r, 4pqr, dan 0p q r 4. Sederhanakan bentuk aljabar x1 x a. 5 x1 x1 b. x x xy x c. 6 y p q pq d. : ; pq, Sebuah yayasan sosial memberikan bantuan kepada korban banjir berupa 5 dus mi dan 50 dus air mineral. Satu dus mi berisi 40 bungkus dengan harga Rp900,00/bungkus. Adapun satu dus air mineral berisi 48 buah dengan harga Rp500,00/buah. Tentukan harga keseluruhan mi dan air mineral tersebut. 10 Matematika Konsep dan Aplikasinya 1

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL. Sumber: Dok. Penerbit

PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL. Sumber: Dok. Penerbit 4 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL Sumber: Dok. Penerbit Pernahkah kalian berbelanja alat-alat tulis? Kamu berencana membeli 10 buah bolpoin, sedangkan adikmu membeli 6 buah bolpoin dengan

Lebih terperinci

ALJABAR. Al-Khwarizi adalah ahli matematika dan ahlli astronomi yang termasyur yang tinggal di bagdad(irak) pada permulaan abad ke-9

ALJABAR. Al-Khwarizi adalah ahli matematika dan ahlli astronomi yang termasyur yang tinggal di bagdad(irak) pada permulaan abad ke-9 ALJABAR Al-Khwarizi adalah ahli matematika dan ahlli astronomi yang termasyur yang tinggal di bagdad(irak) pada permulaan abad ke-9 Aljabar adalah salah satu cabang penting dalam matematika. Kata aljabar

Lebih terperinci

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian :

Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm. C. 26 cm B. 52 cm. D. 13 cm Kunci : C Penyelesaian : 1. Jika persegi panjang ABCD di atas diketahui OA = 26 cm, maka panjang BO adalah... A. 78 cm C. 26 cm B. 52 cm D. 13 cm 2. Gambar disamping adalah persegi panjang. Salah satu sifat persegi panjang adalah

Lebih terperinci

Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor

Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers

Lebih terperinci

4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + y = 5 dan x - 2y = -4 adalah... A.{ (1, 4) }

4. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear x + y = 5 dan x - 2y = -4 adalah... A.{ (1, 4) } 1. Diketahui himpunan P = ( bilangan prima kurang dari 13 ) Banyak himpunan bagian dari P adalah... 5 25 10 32 P = {Bilangan prima kurang dari 13} = {2, 3, 5, 7, 11} n(p) = 5 2. Dari diagram Venn di bawah,

Lebih terperinci

SOAL MATEMATIKA SD. Jawaban: 39.788 + 56.895 27.798 = 96.683 27.798 = 68.885 (B)

SOAL MATEMATIKA SD. Jawaban: 39.788 + 56.895 27.798 = 96.683 27.798 = 68.885 (B) SOAL MATEMATIKA SD. Hasil 39.788 + 56.895 7.798 adalah A. 68.875 B. 68.885 C. 68.975 D. 69.885 39.788 + 56.895 7.798 = 96.683 7.798 = 68.885 (B) Pengetahuan prasyarat Aturan Internasional operasi hitung

Lebih terperinci

POLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.

POLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa

Lebih terperinci

LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011

LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011 LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memerebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 0 PENYISIHAN II PERORANGAN LCCM TINGKAT SMP x. I. x x II. x x x 6 x III. x x 6

Lebih terperinci

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA

PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/00 MATEMATIKA PROGRAM STUDI IPA PEMBAHAS :. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 00 . Perhatikan

Lebih terperinci

PREDIKSI DAN LATIHAN SOAL UJIAN AKHIR NASIONAL KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN SOAL UAN 2004-2009

PREDIKSI DAN LATIHAN SOAL UJIAN AKHIR NASIONAL KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN SOAL UAN 2004-2009 PREDIKSI DAN LATIHAN SOAL UJIAN AKHIR NASIONAL KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN SOAL UAN 2004-2009 MATEMATIKA Untuk SMP / MTS Copyright soal-unas.blogspot.com Artikel ini boleh dicopy, dikutip, di cetak dalam

Lebih terperinci

Pengintegralan Fungsi Rasional

Pengintegralan Fungsi Rasional Pengintegralan Fungsi Rasional Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember 25 Maret 2014 Pengintegralan Fungsi Rasional 1 Pengintegralan Fungsi Rasional 2

Lebih terperinci

SOAL UJIAN NASIONAL. PROGRAM STUDI IPA ( kode P 45 ) TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL UJIAN NASIONAL. PROGRAM STUDI IPA ( kode P 45 ) TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL UJIAN NASIONAL PROGRAM STUDI IPA ( kode P 4 ) TAHUN PELAJARAN 8/9. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh

Lebih terperinci

EDISI REVISI 2014 MATEMATIKA. SMA/MA SMK/MAK Kelas. Semester 1

EDISI REVISI 2014 MATEMATIKA. SMA/MA SMK/MAK Kelas. Semester 1 EDISI REVISI 04 MATEMATIKA SMA/MA SMK/MAK Kelas X Semester Hak Cipta 04 pada Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Dilindungi Undang-Undang MILIK NEGARA TIDAK DIPERDAGANGKAN Disklaimer: Buku ini merupakan

Lebih terperinci

MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN METODE EBIK

MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN METODE EBIK MENENTUKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) DENGAN METODE EBIK Nuryadi, S.Pd, M.Pd. 1 A. PENDAHULUAN Pendidikan hendaknya mampu membentuk cara berpikir dan berprilaku

Lebih terperinci

Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB =... A. 4

Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB =... A. 4 1. Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm. Panjang sisi AB =... A. 4 D. (8-2 ) cm B. (4 - ) cm E. (8-4 ) cm C. (4-2 ) cm Jawaban : E Diketahui segitiga sama kaki = AB = AC Misalkan : AB = AC = a

Lebih terperinci

Kata-kata Motivasi ^^

Kata-kata Motivasi ^^ 1 Kata-kata Motivasi ^^ Barang siapa merintis jalan mencari ilmu maka Allah akan memudahkan baginya jalan ke surga. (HR. Muslim) Tak ada rahasia untuk manggapai sukses Sukses itu dapat terjadi karena persiapan,

Lebih terperinci

Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama)

Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama) Bab 15. Interaksi antar dua spesies (Model Kerjasama) Dalam hal ini diberikan dua spesies yang hidup bersama dalam suatu habitat tertutup. Kita ketahui bahwa terdapat beberapa jenis hubungan interaksi

Lebih terperinci

Nama Peserta : No Peserta : Asal Sekolah : Asal Daerah :

Nama Peserta : No Peserta : Asal Sekolah : Asal Daerah : 1. Terdapat sebuah fungsi H yang memetakan dari himpunan bilangan asli ke bilangan asli lainnya dengan ketentuan sebagai berikut. Misalkan akan dicari nilai fungsi H jika x=38. 38 terdiri dari 3 puluhan

Lebih terperinci

KUMPULAN RUMUS MATEMATIKA UNTUK SMP SESUAI DENGAN STANDAR KOMPETENSI LULUSAN UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2009/2010

KUMPULAN RUMUS MATEMATIKA UNTUK SMP SESUAI DENGAN STANDAR KOMPETENSI LULUSAN UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2009/2010 Rumus-rumus Matematika 1 Sesuai SKL UN 2010 KUMPULN RUMUS MTMTIK UNTUK SMP SSUI NGN STNR KOMPTNSI LULUSN UJIN NSIONL THUN PLJRN 2009/2010 SKL Nomor 1 : Menggunakan konsep operasi hitung dan sifat-sifat

Lebih terperinci

Daftar Isi Kata Sambutan... iii Panduan Membaca Buku Ini... iv Kata Pengantar... vi Semester 1 Bab 1 Bilangan Bulat... 1 A. Operasi Hitung Campuran dan Sifat-Sifat Operasi Hitung pada Bilangan Bulat...

Lebih terperinci

BAB 3 : INVERS MATRIKS

BAB 3 : INVERS MATRIKS BAB 3 : INVERS MATRIKS PEMBAGIAN MATRIKS DAN INVERS MATRIKS Pada aljabar biasa, bila terdapat hubungan antara 2 besaran a dengan x sedemikian sehingga ax1, maka dikatakan x adalah kebalikan dari a dan

Lebih terperinci

1. Nilai Tempat Bilangan 10.000 s.d. 100.000 Lambang bilangan Hindu-Arab yang setiap kali kita gunakan menggunakan sistem desimal dengan nilai

1. Nilai Tempat Bilangan 10.000 s.d. 100.000 Lambang bilangan Hindu-Arab yang setiap kali kita gunakan menggunakan sistem desimal dengan nilai 1. Nilai Tempat Bilangan 10.000 s.d. 100.000 Lambang bilangan Hindu-Arab yang setiap kali kita gunakan menggunakan sistem desimal dengan nilai tempat. Menggunakan sistem desimal (dari kata decem, bahasa

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

Sumber: Art & Gallery

Sumber: Art & Gallery Sumber: Art & Gallery Standar Kmpetensi 0. Menentukan kedudukan, jarak, dan besar sudut yang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi dua Kmpetensi Dasar 0. Mengidentifikasi sudut 0. Menentukan

Lebih terperinci

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI

F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI F U N G S I A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.

Lebih terperinci

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Jenis-jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Diskripsi Mata Kuliah Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu

Lebih terperinci

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto

Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,

Lebih terperinci

UPAYA PERBAIKAN KESALAHAN SISWA MENYEDERHANAKAN OPERASI BENTUK ALJABAR DENGAN PEMBELAJARAN KONTEKTUAL

UPAYA PERBAIKAN KESALAHAN SISWA MENYEDERHANAKAN OPERASI BENTUK ALJABAR DENGAN PEMBELAJARAN KONTEKTUAL UPAYA PERBAIKAN KESALAHAN SISWA MENYEDERHANAKAN OPERASI BENTUK ALJABAR DENGAN PEMBELAJARAN KONTEKTUAL Yusuf Octaviano F.M. Mahasiswa S1 Universitas Negeri Malang Pembimbing: Drs. Slamet, M.Si Dosen Universitas

Lebih terperinci

SILABUS INDIKATOR MATERI PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PENILAIAN KHARAKTER

SILABUS INDIKATOR MATERI PEMBELAJARAN KEGIATAN PEMBELAJARAN PENILAIAN KHARAKTER SILABUS NAMA SEKOLAH : SMK Negeri 1 Surabaya MATA PELAJARAN : MATEMATIKA (Kelompok Teknologi Informasi) KELAS / SEMESTER : X / 1 STANDAR : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan riil

Lebih terperinci

Problem A. Raja yang Bijak

Problem A. Raja yang Bijak Problem A Raja yang Bijak Wacat adalah seorang pangeran yang baru saja diangkat menjadi raja menggantikan ayahnya, Hubu, seorang raja yang terkenal bijaksana. Hubu mampu mengambil segala keputusan yang

Lebih terperinci

PEMBELAJARAN BANGUN-BANGUN DATAR (1)

PEMBELAJARAN BANGUN-BANGUN DATAR (1) H. Sufyani Prabawanto, M. Ed. Bahan Belajar Mandiri 3 PEMBELAJARAN BANGUN-BANGUN DATAR (1) Pendahuluan Bahan belajar mandiri ini menyajikan pembelajaran bangun-bangun datar yang dibagi menjadi dua kegiatan

Lebih terperinci

MENENTUKAN BESARAN PADA GERAK LURUS DAN PENERAPANNYA

MENENTUKAN BESARAN PADA GERAK LURUS DAN PENERAPANNYA MENENTUKAN BESARAN PADA GERAK LURUS DAN PENERAPANNYA Identitas Mata Pelajaran Sekolah : SMP N 8 Padang Kelas : VIII Semester : 1 Pelajaran / Materi : IPA / Gerak Lurus Alokasi Waktu : 2 x 40 menit KELOMPOK

Lebih terperinci

BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN

BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN BAB IV PERSAMAAN TAKHOMOGEN Kompetensi Mahasiswa mampu 1. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode koefisien tak tentu 2. Menentukan selesaian khusus PD tak homogen dengan metode variasi

Lebih terperinci

UNIT PENDEKATAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA. Nyimas Aisyah. Pendahuluan

UNIT PENDEKATAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA. Nyimas Aisyah. Pendahuluan UNIT 5 PENDEKATAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA Nyimas Aisyah Pendahuluan P embelajaran matematika di Sekolah Dasar sebagai bagian dari sistem pendidikan nasional, menurut kurikulum 2006, bertujuan antara

Lebih terperinci

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan

Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Fungsi, Persamaaan, Pertidaksamaan Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 9 Agustus 004 di PPPG Matematika Oleh: Drs. Markaban, M.Si. Widyaiswara PPPG

Lebih terperinci

UN SMA IPA 2010 Matematika

UN SMA IPA 2010 Matematika UN SMA IPA 00 Matematika Kode Soal P0 Doc. Name: UNSMAIPA00MATP0 Doc. Version : 0-0 halaman 0. Akar-akar persamaan kuadrat x² + (a - ) x + =0 adalah α dan β. Jika a > 0 maka nilai a =. 8 x 0. Diketahui

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari

BAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Analisis Komponen Utama 211 Pengantar Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari tulisan Karl Pearson pada tahun 1901 untuk peubah non-stokastik Analisis

Lebih terperinci

Peta Konsep. Bab 3 Matematika Keuangan

Peta Konsep. Bab 3 Matematika Keuangan Bab 3 Matematika Keuangan Sumber: Majalah Tempo 29 Des 03-4 Jan 04 Dalam dunia bisnis, ilmu matematika keuangan banyak diterapkan dalam dunia perbankan, perdagangan, bahkan dunia pemerintahan. Dalam dunia

Lebih terperinci

BERKAS SOAL TAHAP FINAL BIDANG STUDI MATEMATIKA MADRASAH IBTIDAIYAH (MI)

BERKAS SOAL TAHAP FINAL BIDANG STUDI MATEMATIKA MADRASAH IBTIDAIYAH (MI) BERKAS SOAL TAHAP FINAL BIDANG STUDI MATEMATIKA MADRASAH IBTIDAIYAH (MI) KOMPETISI SAINS MADRASAH (KSM) 2014 SELEKSI KANTOR WILAYAH KEMENTERIAN AGAMA SURABAYA, 2014 SOAL TAHAP FINAL BIDANG STUDI MATEMATIKA

Lebih terperinci

CONTOH SILABUS BERDIVERSIFIKASI DAN PENILAIAN BERBASIS KELAS

CONTOH SILABUS BERDIVERSIFIKASI DAN PENILAIAN BERBASIS KELAS CONTOH SILABUS BERDIVERSIFIKASI DAN BERBASIS KELAS Mata Pelajaran MATEMATIKA LAYANAN KHUSUS SEKOLAH dan MADRASAH IBTIDAIYAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL Jakarta, 2003 Katalog dalam Terbitan Indonesia.

Lebih terperinci

Bab. Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar. A. Kesebangunan Bangun Datar B. Kekongruenan Bangun Datar

Bab. Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar. A. Kesebangunan Bangun Datar B. Kekongruenan Bangun Datar ab 1 umber: Image Kesebangunan dan Kekongruenan angun atar i Kelas VII, kamu telah mempelajari bangun datar segitiga dan segiempat, seperti persegipanjang, persegi, jajargenjang, belah ketupat, layang-layang,

Lebih terperinci

MODUL LOGIKA MATEMATIKA

MODUL LOGIKA MATEMATIKA PERENCANAAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA MODUL LOGIKA MATEMATIKA AUTHOR: Navel Mangelep UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA & ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA KATA PENGANTAR Salah satu penunjang

Lebih terperinci

BAB I PENGANTAR MATEMATIKA EKONOMI

BAB I PENGANTAR MATEMATIKA EKONOMI BAB I PENGANTAR MATEMATIKA EKONOMI 1.1 Matematika Ekonomi Aktivitas ekonomi merupakan bagian dari kehidupan manusia ribuan tahun yang lalu. Kata economics berasal dari kata Yunani klasik yang artinya household

Lebih terperinci

DIKTAT MEKANIKA KEKUATAN MATERIAL

DIKTAT MEKANIKA KEKUATAN MATERIAL 1 DIKTAT MEKANIKA KEKUATAN MATERIAL Disusun oleh: Asyari Darami Yunus Teknik Mesin Universitas Darma Persada Jakarta 010 KATA PENGANTAR Untuk memenuhi buku pegangan dalam perkuliahan, terutama yang menggunakan

Lebih terperinci

SOAL MATEMATIKA, SMP OLIMPIADE SAINS NASIONAL TAHUN 2014

SOAL MATEMATIKA, SMP OLIMPIADE SAINS NASIONAL TAHUN 2014 SOAL MATEMATIKA, SMP OLIMPIADE SAINS NASIONAL TAHUN 2014 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA TAHUN 2013 SOAL MATEMATIKA,

Lebih terperinci

Geometri Dimensi Dua. Bab 4

Geometri Dimensi Dua. Bab 4 ab 4 Sumber: www.swissworld.org Geometri imensi ua Pada bab ini, nda akan diajak untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan menentukan kedudukan, jarak, dan bidang, di antaranya, dapat menggunakan

Lebih terperinci

RinGkasan MaTeri. 1 balok ubin dinyatakan dalam persen (%) = 100% 1 1 balok ubin dibagi 4 menjadi 4 ubin kecil yang senilai dengan 4

RinGkasan MaTeri. 1 balok ubin dinyatakan dalam persen (%) = 100% 1 1 balok ubin dibagi 4 menjadi 4 ubin kecil yang senilai dengan 4 RinGkasan MaTeri Persen adalah perseratus atau sebuah pecahan yang penyebutnya 00, misal Menyatakan dalam persen (%) 7 % = 7 00 balok ubin dinyatakan dalam persen (%) = 00% balok ubin dibagi 4 menjadi

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Drs. Karso Modul 9 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Modul ang sekarang Anda pelajri ini adalah modul ang kesembilan dari mata kuliah Matematika Sekolah Dasar Lanjut. Adapun

Lebih terperinci

BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER

BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER 3.. Permasalahan Persamaan Non Linier Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.dimana akar sebuah persamaan f(x =0 adalah

Lebih terperinci

CARA MENENTUKAN HASIL AKAR PANGKAT TIGA

CARA MENENTUKAN HASIL AKAR PANGKAT TIGA CARA MENENTUKAN HASIL AKAR PANGKAT TIGA Oleh : Paini, A.Ma.Pd. SDN 1 Karangan Kabupaten Trenggalek Jawa Timur Dalam kehidupan sehari-hari muncul berbagai macam masalah. Masalah-masalah tersebut dapat diselesaikan

Lebih terperinci

PEMBELAJARAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR DAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL DI SD

PEMBELAJARAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR DAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL DI SD PROGRAM BERMUTU Better Education through Reformed Management and Universal Teacher Upgrading TW URI HANDAY AN I TU PEMBELAJARAN FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR DAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL DI SD KEMENTERIAN

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi

Lebih terperinci

PENGARUH PENGGUNAAN METODE KONTEKSTUAL TERHADAP KEMAMPUAN OPERASI HITUNG ALJABAR

PENGARUH PENGGUNAAN METODE KONTEKSTUAL TERHADAP KEMAMPUAN OPERASI HITUNG ALJABAR PENGARUH PENGGUNAAN METODE KONTEKSTUAL TERHADAP KEMAMPUAN OPERASI HITUNG ALJABAR (Studi Eksperimen di Kelas VIII MTs Al-Ikhlas Setupatok Mundu-Cirebon) SKRIPSI Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk

Lebih terperinci

3. Berdasarkan gambar soal nomor 2, alas balok tersebut berbentuk bangun datar... A. Persegi B. Persegi panjang C. Belah ketupat D.

3. Berdasarkan gambar soal nomor 2, alas balok tersebut berbentuk bangun datar... A. Persegi B. Persegi panjang C. Belah ketupat D. Bangun Ruang (1)_soal Kelas 4 SD 1. Jumlah titik sudut bangun ruang kubus ada.... A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 2. Perhatikan gambar berikut! Rusuk yang sama panjang dengan AB adalah.... A. CD B. BC C. BF D. EH

Lebih terperinci

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Kubus Tabung rusuk kubus = a volume = a³ panjang diagonal bidang = a 2 luas = 6a² panjang diagonal ruang = a 3 r = jari-jari t = tinggi volume = π r² t luas = 2πrt Prisma

Lebih terperinci

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

FUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI FUNGSI 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi Definisi Fungsi Suatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORETIS. Soal cerita merupakan permasalahan yang dinyatakan dalam bentuk kalimat bermakna dan

BAB II KAJIAN TEORETIS. Soal cerita merupakan permasalahan yang dinyatakan dalam bentuk kalimat bermakna dan BAB II KAJIAN TEORETIS 2.1 Hakekat Soal Cerita yang Diajarkan di Sekolah Dasar 2.1.1 Pengertian Soal Cerita Soal cerita merupakan permasalahan yang dinyatakan dalam bentuk kalimat bermakna dan mudah dipahami

Lebih terperinci

BAB V PEMBAHASAN DAN DISKUSI HASIL PENELITIAN. Pada BAB V ini, peneliti akan membahas hasil penelitian dan diskusi hasil

BAB V PEMBAHASAN DAN DISKUSI HASIL PENELITIAN. Pada BAB V ini, peneliti akan membahas hasil penelitian dan diskusi hasil 67 BAB V PEMBAHASAN DAN DISKUSI HASIL PENELITIAN Pada BAB V ini, peneliti akan membahas hasil penelitian dan diskusi hasil penelitian. Pembahasan hasil penelitian berdasarkan deskripsi data tentang strategi

Lebih terperinci

PRAKTIKUM 3 DASAR PEMROGRAMAN C

PRAKTIKUM 3 DASAR PEMROGRAMAN C PRAKTIKUM 3 DASAR PEMROGRAMAN C A. TUJUAN 1. Menjelaskan tentang beberapa tipe data dasar (jenis dan jangkauannya) 2. Menjelaskan tentang Variabel 3. Menjelaskan tentang konstanta 4. Menjelaskan tentang

Lebih terperinci

Teori dan Operasi Pada Himpunan

Teori dan Operasi Pada Himpunan Teori dan Operasi Pada Himpunan Oleh: Suprih Widodo Pendahuluan Pada dasarnya setiap hari manusia berhubungan dengan himpunan, klasifikasi himpunan dalam hidup manusia sangat beragam dan banyak sekali,

Lebih terperinci

MAT. 05. Relasi dan Fungsi

MAT. 05. Relasi dan Fungsi MAT. 05. Relasi dan Fungsi i Kode MAT. 05 Relasi dan fungsi BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN

Lebih terperinci

Dokumen Penerbit. Kelajuan dan kecepatan terdiri dari. Beraturan. Kedudukan dan Perpindahan

Dokumen Penerbit. Kelajuan dan kecepatan terdiri dari. Beraturan. Kedudukan dan Perpindahan BAB 10 GERAK Dokumen Penerbit Kompetensi Dasar: Menganalisis data percobaan gerak lurus beraturan dan gerak lurus berubah beraturan serta penerapannya dalam kehidupan seharihari. Standar Kompetensi: Memahami

Lebih terperinci

PENYUSUNAN LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) SEBAGAI BAHAN AJAR

PENYUSUNAN LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) SEBAGAI BAHAN AJAR ARTIKEL PENYUSUNAN LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) SEBAGAI BAHAN AJAR Oleh Dra. Theresia Widyantini, M.Si PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PPPPTK) MATEMATIKA 2013 1 Abstrak

Lebih terperinci

PEMBELAJARAN OPERASI HITUNG PERKALIAN DAN PEMBAGIAN PECAHAN DI SD

PEMBELAJARAN OPERASI HITUNG PERKALIAN DAN PEMBAGIAN PECAHAN DI SD PEMBELAJARAN OPERASI HITUNG PERKALIAN DAN PEMBAGIAN PECAHAN DI SD Penulis: Sukayati Marfuah Penilai: Muh Darwis Supriyono Editor: Ratna Herawati Lay out: Ashari Sutrisno Departemen Pendidikan Nasional

Lebih terperinci

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.

Pertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f. Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. biasa disebut dengan kreativitas siswa dalam matematika. Ulangan Harian Semester Ganjil Tahun Pelajaran 2012/2013 SD Negeri No.

BAB I PENDAHULUAN. biasa disebut dengan kreativitas siswa dalam matematika. Ulangan Harian Semester Ganjil Tahun Pelajaran 2012/2013 SD Negeri No. BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pendidikan merupakan suatu upaya untuk memberikan pengetahuan kepada seseorang dengan tujuan agar orang tersebut mampu menghadapi perubahan akibat adanya kemajuan

Lebih terperinci

OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN 2008 MATEMATIKA NON-TEKNOLOGI SESI 1 (PILIHAN GANDA DAN ISIAN SINGKAT) WAKTU : 120 MENIT

OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN 2008 MATEMATIKA NON-TEKNOLOGI SESI 1 (PILIHAN GANDA DAN ISIAN SINGKAT) WAKTU : 120 MENIT OLIMPIADE SAINS TERAPAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN 2008 MATEMATIKA NON-TEKNOLOGI SESI (PILIHAN GANDA DAN ISIAN SINGKAT) WAKTU : 20 MENIT I. Soal Pilihan Ganda, ada 0 soal dalam test ini. Petunjuk

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0

Lebih terperinci

BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia

BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB VI. PENGGUNAAN INTEGRAL Luas Daerah di Bidang Volume Benda Pejal di Ruang: Metode Cincin Metode Cakram Metode Kulit Tabung

Lebih terperinci

K L P Q 1 2 10 2 2 4 13 4 3 8 18 8. Gambar 4.10 Gambar 4.11

K L P Q 1 2 10 2 2 4 13 4 3 8 18 8. Gambar 4.10 Gambar 4.11 B. Relasi Sebelum mendefinisikan produk Cartesius, terlebih dahulu Anda perlu mengenal pengertian pasangan terurut. Dalam sistem koordinat Cartesius dengan sumbu x dan sumbu y, kita mengetahui bahwa titik

Lebih terperinci

SOAL BANGUN RUANG. a. 1000 dm 3 b. 600 dm 3 c. 400 dm 3 d. 100 dm 3 e. 10 dm 3

SOAL BANGUN RUANG. a. 1000 dm 3 b. 600 dm 3 c. 400 dm 3 d. 100 dm 3 e. 10 dm 3 SOAL BANGUN RUANG Soal Pilihan Ganda 1. Diketahui kubus dengan panjang diagonal sisi 5 2 meter, luas permukaan kubus tersebut adalah a. 5 m 2 b. 25 m 2 c. 100 m 2 d. 150 m 2 e. 250 m 2 2. Dikeatui bak

Lebih terperinci

Pendahuluan. Angka penting dan Pengolahan data

Pendahuluan. Angka penting dan Pengolahan data Angka penting dan Pengolahan data Pendahuluan Pengamatan merupakan hal yang penting dan biasa dilakukan dalam proses pembelajaran. Seperti ilmu pengetahuan lain, fisika berdasar pada pengamatan eksperimen

Lebih terperinci

MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga

MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga MAT. 06. Geometri Dimensi Tiga i Kode MAT. 06 Geometri Dimensi Tiga BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. hlm. 15. 1 Pantur Silaban, Kalkulus Lanjutan, (Jakarta: Erlangga, 1984), hlm. 1.

BAB I PENDAHULUAN. hlm. 15. 1 Pantur Silaban, Kalkulus Lanjutan, (Jakarta: Erlangga, 1984), hlm. 1. BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Bilangan bulat merupakan salah satu pokok bahasan di dalam pelajaran Matematika jenjang SMP/M.Ts. kelas VII. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, bilangan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Materi penjumlahan pada kelas rendah adalah materi yang harus benarbenar

BAB I PENDAHULUAN. Materi penjumlahan pada kelas rendah adalah materi yang harus benarbenar 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Materi penjumlahan pada kelas rendah adalah materi yang harus benarbenar dipahami oleh Peserta didik, sebab materi tersebut merupakan materi yang sangat dasar yang

Lebih terperinci

BAB X FUNGSI BOOLEAN, BENTUK KANONIK, DAN BENTUK BAKU

BAB X FUNGSI BOOLEAN, BENTUK KANONIK, DAN BENTUK BAKU Buku Panduan Belajar atematika Diskrit STIK TRIGUNA DHARA BAB X FUNGSI BOOLEAN, BENTUK KANONIK, DAN BENTUK BAKU 9.1 Fungsi Boolean Pada aljabar Boolean dua-nilai B = {,1}. Peubah (variabel) x disebut peubah

Lebih terperinci

BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI

BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI LAMPIRAN 5 BABAK PENYISIHAN SELEKSI TINGKAT PROVINSI BIDANG KOMPETISI Laporan 2 Pelaksanaan OSN-PERTAMINA 2012 69 Olimpiade Sains Nasional Pertamina 2012 Petunjuk : 1. Tuliskan secara lengkap Nama, Nomor

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. bilangan, (b) aljabar, (c) geometri dan pengukuran, (d) statistika dan peluang

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. bilangan, (b) aljabar, (c) geometri dan pengukuran, (d) statistika dan peluang 7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Pemahaman Konsep Matematika Dalam Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) tahun 2006 untuk Sekolah Menengah Pertama (SMP), disebutkan bahwa standar kompetensi mata pelajaran

Lebih terperinci

BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN

BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN Kode FIS.05 v, t s BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 004 i Kode FIS.05 Penyusun

Lebih terperinci

Bangun Ruang. 2s = s 2. 3s = s 3. Contoh Soal : Berapa Volume, luas dan keliling kubus di bawah ini?

Bangun Ruang. 2s = s 2. 3s = s 3. Contoh Soal : Berapa Volume, luas dan keliling kubus di bawah ini? SD - Bangun Ruang. Kubus H G E F D C s A s B Cii-cii Kubus :. Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang bebentuk buju sangka (ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,). Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G,

Lebih terperinci

Penilaian Unjuk kerja Oleh Kusrini & Tatag Y.E. Siswono

Penilaian Unjuk kerja Oleh Kusrini & Tatag Y.E. Siswono washington College of education, UNESA, UM Malang dan LAPI-ITB. 1 Pebruari 8 Maret dan 8-30 April 2002 di Penilaian Unjuk kerja Oleh Kusrini & Tatag Y.E. Siswono Dalam pembelajaran matematika, sistem evaluasinya

Lebih terperinci

BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA

BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA .1 Pendahuluan BAB II. REGRESI LINIER SEDERHANA Gejala-gejala alam dan akibat atau faktor yang ditimbulkannya dapat diukur atau dinyatakan dengan dua kategori yaitu fakta atau data yang bersifat kuantitatif

Lebih terperinci

PD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono

PD Orde 2 Lecture 3. Rudy Dikairono PD Orde Lecture 3 Rudy Dikairono Today s Outline PD Orde Linear Homogen PD Orde Linear Tak Homogen Metode koefisien tak tentu Metode variasi parameter Beberapa Pengelompokan Persamaan Diferensial Order

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Untuk SMA/MA Kelas X Mata Pelajaran : Matematika (Wajib) Penerbit dan Percetakan Jl. Tengah No. 37, Bumi Asri Mekarrahayu Bandung-40218 Telp. (022) 5403533 e-mail:srikandiempat@yahoo.co.id

Lebih terperinci

Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO

Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen orde-2 Solusi PD pada PD Linier Tak Homogen ditentukan dari solusi umum PD Linier Homogen dan PD Linier Tak Homogen.

Lebih terperinci

CONTOH SOAL MATEKBIS I

CONTOH SOAL MATEKBIS I CONTOH SOAL MATEKBIS I Materi : Deret Ukur dan Deret Hitung 1. Hitunglah S 5, S 14, J 9 dari sebuah deret hitung yang suku pertamanya 1000 dan pembeda antar sukunya : 50. Diketahui : a = 1000, b = 50 Ditanya

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat

Lebih terperinci

Modul Matematika Segi Empat

Modul Matematika Segi Empat Modul Matematika Segi Empat Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP-Standar Isi 2006) Berdasarkan Pendekatan Kontekstual Untuk Siswa SMP Kelas VII Semester 2 Penulis : Tutik Shahidayanti Pembimbing :

Lebih terperinci

PENGUKURAN, LUAS DAN VOLUME

PENGUKURAN, LUAS DAN VOLUME PENGUKURAN, LUAS DAN VOLUME Pengukuran merupakan kegiatan membandingkan suatu besaran yang diukur dengan alat ukur yang digunakan sebagai satuan. Sesuatu yang dapat diukur dan dapat dinyatakan dengan angka

Lebih terperinci

REKAYASA GEMPA GETARAN BEBAS SDOF. Oleh Resmi Bestari Muin

REKAYASA GEMPA GETARAN BEBAS SDOF. Oleh Resmi Bestari Muin MODUL KULIAH REKAYASA GEMPA Minggu ke 3 : GETARAN BEBAS SDOF Oleh Resmi Bestari Muin PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL dan PERENCANAAN UNIVERSITAS MERCU BUANA 010 DAFTAR ISI DAFTAR ISI i III GERAK

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Satuan Pendidikan Mata Pelajaran Kelas/Semester Alokasi waktu : SMA Negeri 1 Sukasada : Matematika : X/1 (Ganjil) : 2 x 4 menit (1 pertemuan) I. Standar Kompetensi

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA 1 1 Program Studi Pend Matematika FKIP UM Ponorogo January 12, 2011 Jenis Pernyataan dalam Matematika Denisi (Denition) Kesepakatan mengenai pegertian suatu istilah. Teorema (Theorem) Pernyataan yang dapat

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

Pertemuan 1 HIMPUNAN. a.himpunan Kosong Ǿ adalah himpunan yang mempunyai nol anggota(tidak mempunyai elemen.)

Pertemuan 1 HIMPUNAN. a.himpunan Kosong Ǿ adalah himpunan yang mempunyai nol anggota(tidak mempunyai elemen.) Pertemuan 1 HIMPUNAN 1.3.1. Definisi a.himpunan Kosong Ǿ adalah himpunan yang mempunyai nol anggota(tidak mempunyai elemen.) b. Misalkan nєν Himpunan S dikatakan mempunyai n anggota jika ada suatu fungsi

Lebih terperinci

3 Antiphon dan Eudoxus Turun Tangan 13

3 Antiphon dan Eudoxus Turun Tangan 13 3 Antiphon dan Eudoxus Turun Tangan Antiphon dan Eudoxus memang tidak setenar Pythagoras. Bahkan nama mereka mungkin tidak pernah disebut-sebut di buku pelajaran matematika sekolah. Padahal, Antiphon (425

Lebih terperinci

UNIT9 HAL-HAL YANG PERLU DIPERHATIKAN DALAM MELAKSANAKAN PEMBELAJARAN. Masrinawatie AS. Pendahuluan

UNIT9 HAL-HAL YANG PERLU DIPERHATIKAN DALAM MELAKSANAKAN PEMBELAJARAN. Masrinawatie AS. Pendahuluan UNIT9 HAL-HAL YANG PERLU DIPERHATIKAN DALAM MELAKSANAKAN PEMBELAJARAN Masrinawatie AS Pendahuluan P endapat yang mengatakan bahwa mengajar adalah proses penyampaian atau penerusan pengetahuan sudah ditinggalkan

Lebih terperinci

PEMBELAJARAN PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT DI SD

PEMBELAJARAN PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT DI SD i Modul Matematika SD Program BERMUTU PEMBELAJARAN PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT DI SD Penulis: Marsudi Rahardjo Sumardi Penilai: Cholis Sa diyah Moch. Ichsan Editor: Cholis Sa diyah Layouter:

Lebih terperinci

4. Bentuk sederhada dari : 3 2 ... D. E. 5. Bentuk sederhana dari

4. Bentuk sederhada dari : 3 2 ... D. E. 5. Bentuk sederhana dari . Pernyataan yang senilai dengan kalimat Jika Fatah dan Ichwan datang maka semua siswa senang adalah. A. Jika Fatah dan Ichwan tidak datang maka semua siswa tidak senang B. Jika Fatah atau Ichwan tidak

Lebih terperinci

Pertemuan ke 11. Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C

Pertemuan ke 11. Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C Pertemuan ke Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C B Empat persegi panjang d D E a c C B b B = CD dan B // CD D = BC dan D //

Lebih terperinci