PAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I MATEMATIKA DEMOGRAFI Topik: Model Matriks. Mahdhivan Syafwan

Transkripsi

1 PAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I MATEMATIKA DEMOGRAFI Topik: Model Matriks Mahdhivan Syafwan

2 Life Table vs Model Matriks? Life Table Dikotomi antara hidup dan mati Hanya memuat peluang mati Model Matriks Perbedaan dengan banyak karakteristik: umur, jenis kelamin, status pernikahan, status pekerjaan, kedewasaan, dll. Selain memuat peluang mati, juga memuat peluang pindah ke kelompok lain (contoh: orang yang tak bekerja menjadi bekerja) atau peluang menghasilkan sejumlah individu baru (karena reproduksi) -> menghitung proyeksi populasi Informasi yang dibutuhkan untuk proyeksi dapat ditulis dengan mudah dalam bentuk matriks (disebut matriks proyeksi populasi). Model populasi matriks diperkenalkan pada tahun 1940an oleh Bernardelli (1941), Lewis (1942), dan Leslie (1945, 1948). 2

3 Matriks Leslie Misalkan umur maksimum yang dicapai oleh individu dalam suatu populasi adalah L. Bagi populasi tersebut menjadi m kelas umur. Kelas Umur Interval Umur 1 [0, L/m) 2 [L/m, 2L/m) m 1 m [ m 2 L/m, m 1 L/m) [ m 1 L/m, L] 3

4 Matriks Leslie Pandang kasus populasi dengan 3 kelas umur : [0,1), 1,2, [2,3] (misalkan dalam tahun). Misalkan n i (t) menyatakan jumlah individu pada kelas umur ke-i pada waktu t. Definisikan vektor n t = n 1 (t) n 2 (t) n 3 (t) yang menyatakan keadaan populasi pada waktu t (disebut juga vektor populasi atau vektor distribusi umur). 4,

5 Matriks Leslie Perhatikan bahwa individu-individu pada kelas umur ke-2 dan 3 pada waktu t + 1 adalah mereka yang bertahan hidup dari kelas umur sebelumnya pada waktu t. Jadi, n 2 t + 1 = P 1 n 1 t, (1) n 3 t + 1 = P 2 n 2 t, (2) dimana P i menyatakan peluang individu pada kelas ke-i yang dapat bertahan hidup paling tidak selama setahun (yaitu mencapai kelas umur ke-(i + 1)). Individu baru pada kelas ke-1 muncul dari proses kelahiran. Jadi, n 1 t + 1 = F 1 n 1 t + F 2 n 2 t + F 3 n 3 t, (3) dimana F i menyatakan fertilitas per-kapita dari kelas umur ke-i, yaitu rata-rata individu yang lahir dari tiap individu pada kelas ke i pada waktu t. 5

6 Matriks Leslie Persamaan (1)-(3) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: n t + 1 = Ln t, dimana F 1 F 2 F 3 L = P P 2 0 L disebut matriks proyeksi populasi atau juga dikenal dengan matriks Leslie. Matriks L adalah matriks non-negatif dengan entri positif hanya pada baris pertama (fertilitas) dan subdiagonal (peluang hidup). 6

7 Klasifikasi Model Populasi Matriks n(t + 1) = Ln(t) n(t + 1) = L n(t) n(t) n(t + 1) = L t n(t) n(t + 1) = L n t, t n(t)

8 Proyeksi: Analisis Sederhana Contoh 1. Model linier invarian waktu n t + 1 = n t, n 0 =

9 Proyeksi: Analisis Sederhana Contoh 2. Pengaruh syarat awal n 0 = n t + 1 = n t. n 0 = n 0 =

10 Proyeksi: Analisis Sederhana Contoh 3. Pengaruh perturbasi L = L =

11 Empat Pertanyaan Dasar dalam Analisis Demografik

12 Empat Pertanyaan Dasar dalam Analisis Demografik

13 Matriks Leslie dan Life Table Nilai-nilai parameter pada model matriks berdasarkan klasifikasi umur diturunkan dari life table. Dalam hal ini, populasi dibedakan atas: Birth-flow population, yaitu kelahiran terjadi terusmenerus (kontinu) selama interval proyeksi. -> lebih cocok untuk manusia Birth-pulse population, yaitu reproduksi terjadi saat musim kawin (yang singkat) dalam interval proyeksi. -> lebih cocok untuk hewan mamalia, burung, dan organisme lainnya yang dipengaruhi oleh lingkungan musiman [tidak dibahas]. 13

14 Birth-Flow Population: (i) Peluang hidup birth-flow Misalkan l(x) menyatakan peluang suatu individu dapat bertahan hidup sejak lahir sampai mencapai umur x. Peluang individu dapat bertahan hidup dari umur (secara tepat) x ke x + 1 adalah l(x + 1)/l(x). Namun dalam hal kelas umur, berlaku i+1 l(x) dx i P i = i l(x) dx. i 1 Dengan menggunakan aturan trapesium, P i dapat diaproksimasi oleh l i + l i + 1 P i l i 1 + l i. 14

15 Perhatikan bahwa Birth-Flow Population: (ii) Fertilitas birth-flow n 1 t + 1 = F i n i (t). Misalkan B (t,t+1) menyatakan jumlah total kelahiran pada interval (t, t + 1). Misalkan n(x, t) menyatakan banyaknya individu yang berumur (x, x + dx) di waktu t. [Catat bahwa x adalah variabel kontinu] Pada waktu t, individu yang berumur x bereproduksi (melahirkan) dengan laju m x n(x, t), dimana m x dx adalah rata-rata jumlah keturunan perempuan yang lahir dari seorang perempuan yang berumur x pada interval (x, x + dx). i 15

16 Birth-Flow Population: (ii) Fertilitas birth-flow Integralkan terhadap waktu dan umur, diperoleh [jelaskan!] B (t,t+1) = 0 m(x) t+1 t n(x, z) dzdx = 1 2 m x i=1 i=1 n x, t + n x, t m i n i t + n i t + 1 m i + P i m i+1 n i t Jumlah kelahiran tidak persis sama dengan n 1 (t + 1), karena beberapa tidak akan dapat bertahan hidup sampai t + 1. Secara rata-rata, setiap individu akan dapat bertahan hidup selama setengah interval proyeksi, yaitu dengan peluang l(0,5). Jadi F i = l 0,5 m i + P i m i+1. 2 Jika nilanya tidak diketahui, l(0,5) dapat diaproksimasi dengan l 0 + l 1 l 0,5. 2. dx 16

17 Contoh Diberikan life table dan hasil kelahiran pada suatu populasi sebagai berikut: a) Hitunglah aproksimasi dari P i dan F i. b) Buatlah matriks Leslie dari populasi tersebut. 17

18 Graf Siklus Hidup Model populasi matriks yang dibahas selama ini adalah model berdasarkan klasifikasi umur (age-classified model). Sekarang akan dibahas model dengan klasifikasi yang lebih umum, dinamakan model berdasarkan klasifikasi tahapan (stageclassified model). Untuk memudahkan melihat siklus hidup suatu populasi, digunakan graf siklus hidup. 18

19 Graf Siklus Hidup Contoh 1 Graf siklus hidup untuk age-classified model, dimana lebar dari kelas umur sama dengan interval proyeksi. Matriks proyeksi: L A a = 0 F 2 P P F 3 F P

20 Graf Siklus Hidup Contoh 2 Graf siklus hidup untuk standard size-classified model Matriks proyeksi: A b =. 20

21 Graf Siklus Hidup Contoh 3 Graf siklus hidup untuk ikan paus pembunuh. Simpul (titik) menandakan tahapan: (1) yearling [umur setahun], (2) remaja, (3) betina dewasa, (4) betina pascareproduktif. Matriks proyeksi: A c =? 21

22 PAM 453 KS MATEMATIKA TERAPAN I MATEMATIKA DEMOGRAFI Topik: Kelahiran dan Pertumbuhan Populasi dari Model Matriks Mahdhivan Syafwan

23 Solusi Persamaan Proyeksi Model populasi matriks: n t + 1 = An t, dimana n t adalah vektor populasi pada waktu t dengan s buah stage dan A adalah matriks proyeksi stage-classified berukuran s s. Solusi model tersebut diberikan oleh [jelaskan!]: s n t = λ i t w i v i n 0 i=1 dimana n 0 adalah vektor populasi pada keadaan awal, λ i, w i, dan v i berturut-turut adalah nilai eigen, vektor eigen (kanan), dan kompleks konjugat dari transpos vektor eigen kiri dari matriks A. 2,

24 Pengaruh Nilai Eigen Jika semua λ i < 1, maka jumlah populasi akan menuju ke satu nilai tertentu -> stabil asimtotik. Jika ada λ i > 1, maka jumlah populasi akan meningkat -> tidak stabil. Jika semua λ i = 1, maka jumlah populasi akan konstan (untuk λ i bernilai riil) atau harmonik (untuk λ i bernilai kompleks) -> stabil 3

25 Tugas Presentasi Teorema Perron-Frobenius Laju pertumbuhan populasi Matriks imprimitif Matriks reducible 4

26 Teorema Ergodic Kuat Definisi (Populasi Ergodic) Suatu populasi dikatakan ergodic jika prilaku akhirnya tidak bergantung dari keadaan awalnya. Definisi (Matriks non-negatif dan positif) Suatu matriks dikatakan non-negatif jika semua elemennya bernilai tak-negatif. Suatu matriks dikatakan positif jika semua elemennya bernilai positif. Semua matriks proyeksi populasi adalah nonnegatif. [why?] 5

27 Pembagian Matriks Non-Negatif Untuk menjelaskan jenis-jenis matriks tersebut, kita perlu terlebih dahulu mendefinisikan beberapa istilah dalam graf siklus hidup. 6

28 Lintasan Beberapa Istilah dalam Graf Siklus Hidup Loop Self-loop 7

29 Reducible vs Irreducible 8

30 Primitif vs Imprimitif 9

31 Menghitung Irreducibility dan Primitivity secara Numerik 10

32 Teorema Perron-Frobenius 11

33 Periode Osilasi Nilai eigen dari matriks proyeksi yang bernilai kompleks menghasilkan osilasi pada distribusi tahapan (stage) dengan periode yang diberikan oleh ρ i = 2π θ = 2π i tan 1 Im(λ. i) Re(λ i ) Komponen osilasi yang bertahan lama bersesuaian dengan λ 2. Contoh: 12

34 Jarak ke Distribusi Stage yang Stabil Kita ingin mengukur jarak antara n(t) dan populasi stabil w. Tanpa mengurangi keumuman, w dapat diskala sehingga i w i n(t) dapat ditransformasi menjadi x t = n(t). Ukuran Keyfitz i n i (t) = 1 dan Δ x, w = 1 2 i x i w i. Jelas bahwa 0 Δ 1. Jarak kumulatif Cohen Misalkan n 0 = n 0. Perhatikan bahwa n(t) λ t 1 c 1 w 1. Cohen mendefinisikan s A, n 0, t = t i=0 n(i) λ 1 i c 1 w 1, r A, n 0, t = t i=0 n(i) λ 1 i c 1 w 1 yang berurut-turut menyatakan akumulasi dari selisih antara n(t) λ 1 t dan c 1 w 1 dan nilai mutlaknya., 13

35 Jarak ke Distribusi Stage yang Stabil Jarak kumulatif Cohen (lanjutan) Sebagai ukuran dari jarak kumulatif antara populasi awal n 0 dan distribusi limitnya, Cohen mengajukan D 1 = D 2 = i i lim s i (A, n 0, t) t lim r i (A, n 0, t) t Selanjutnya Cohen memberikan ekpresi analitik untuk limit pada D 1. Misalkan B = w 1 v 1 dan Z = I + B A λ 1 1, maka lim s A, n 0, t = Z B n 0. t,. 14

36 Jarak ke Distribusi Stage yang Stabil 15