BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Banyak ditemukan masalah nyata di alam ini yang dapat dibuat model matematikanya. Persamaan integral merupakan salah satu model matematika yang banyak digunakan pada masalah nyata tersebut. Pada bidang ekonomi, persamaan integral digunakan untuk mencari fungsi biaya total. Fungsi biaya total diperoleh dengan cara mengintegralkan fungsi biaya marginal. Dalam hal ini, fungsi biaya marginal adalah integrand, dan fungsi biaya total adalah primitif dari fungsi biaya marginal. Dalam hal batas integral yang digunakan adalah konstanta, maka persamaan integral tersebut termasuk dalam persamaan integral Fredholm. Hal ini memberikan bahwa persamaan integral Fredholm merupakan salah satu jenis persamaan integral yang banyak digunakan. Oleh karena itu, sangat diperlukan mencari metode untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm tersebut. Penyelesaian persamaan integral Fredholm dibagi menjadi dua yaitu melalui metode analitik dan metode numerik. Metode analitik menghasilkan solusi eksak sedangkan metode numerik menghasilkan suatu solusi yang berupa pendekatan terhadap solusi eksak. Pada bahasan ini, akan diberikan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm. Metode numerik sangat dibutuhkan karena tidak semua persamaan dapat ditemukan solusi analitiknya. Pada umumnya, berbagai metode yang ada untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm berbeda-beda pengasumsian solusinya. Berdasarkan hal tersebut, maka penulis mengambil metode Kolokasi dengan basis interpolasi linear sepotong-sepotong untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua Rumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas adalah sebagai berikut : 1

2 2 1. Bagaimana langkah-langkah dari metode Kolokasi dengan basis interpolasi linear sepotong-sepotong untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua? 2. Bagaimana implementasi metode Kolokasi dalam penyelesaian persamaan integral Fredholm linear jenis kedua? 3. Bagaimana perbandingan solusi eksak dan solusi pendekatan dari solusi persamaan integral Fredholm linear jenis kedua? 1.3. Batasan Masalah Masalah yang dibahas pada skripsi ini dibatasi pada penyelesaian persamaan integral Fredholm linear jenis kedua dengan menggunakan metode Kolokasi dengan basis interpolasi linear sepotong-sepotong Maksud dan Tujuan Penelitian Maksud penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi syarat kelulusan Prodi Strara-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada. Tujuan dari penulisan skripsi adalah sebagai berikut : 1. Mengetahui langkah-langkah dari metode Kolokasi dengan basis interpolasi linear sepotong-sepotong untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua. 2. Mengetahui pengimplementasian metode Kolokasi linear sepotong-sepotong dalam penyelesaian persamaan integral Fredholm linear jenis kedua. 3. Mengetahui perbandingan solusi eksak dan solusi pendekatan dari solusi persamaan integral Fredholm linear jenis kedua Tinjauan Pustaka Bentuk umum persamaan integral diberikan oleh Polyanin dan Manzhirov (2008). Macam-macam dan jenis persamaan integral diberikan oleh Polyanin dan

3 3 Manzhirov (2008). Konsep tentang linear dan homogen pada persamaan integral diberikan oleh Wazwaz (2011). Metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm jenis kedua, yaitu metode kolokasi diberikan oleh Atkinson (1997) dan Kress (2014). Metode analitik untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua diberikan oleh Wazwaz (2011). Langkah-langkah sistematis untuk penyelesaian persamaan integral Fredholm linear jenis kedua dengan metode kolokasi diberikan oleh Rihan (2013). Definisi ruang linear, sub ruang, kebebaslinearan, vektor pembangun, dimensi dan basis pada ruang linear, ruang bernorma, barisan Cauchy, ruang Banach, dan operator linear diberikan oleh Atkinson dan Han (2009). Definisi kekonvergenan barisan pada ruang bernorma diberikan oleh Kress (2014). Definisi operator linear terbatas diberikan oleh Kress (2014). Definisi operator proyeksi diberikan oleh Atkinson dan Han (2009). Metode integrasi numerik, yaitu metode trapesium dan order konvergensi diberikan oleh Aryati (2012). Metode interpolasi linear sepotong-sepotong diberikan oleh Gautschi (2012). Definisi matriks, perkalian matriks, penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian matriks dengan skalar, dan transpos matriks diberikan oleh Anton (2010) Metode Penelitian Metode penulisan yang digunakan dalam skripsi ini adalah studi literatur. Diawali dengan mempelajari bentuk umum dari persamaan integral beserta jenisjenisnya melalui literatur-literatur yang berisi topik tersebut. Selanjutnya, karena pada skripsi ini secara khusus akan dibahas mengenai persamaan integral Fredholm linear, maka langkah sesudahnya adalah dengan mempelajari kelinearan pada persamaan integral dan metode analitik untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua. Penulis memilih persamaan integral Fredholm linear jenis kedua pada pembahasan skripsi ini. Hal ini dikarenakan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua lebih umum dari persamaan integral Fredholm jenis pertama. Sehingga kemungkinan besar akan lebih banyak ditemukan masalah dalam bentuk persamaan integral Fredholm linear jenis kedua.

4 4 Berdasarkan tujuan yang akan dicapai, maka selanjutnya adalah mempelajari metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua. Dari berbagai metode numerik yang dapat digunakan, dipilih metode Kolokasi dengan basis interpolasi linear sepotong-sepotong. Selanjutnya, mempelajari langkah-langkah dari metode yang dipilih tersebut melalui studi literatur. Setelah mempelajari langkah-langkah dari metode Kolokasi, kemudian berlatih menyelesaikan persoalan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua menggunakan metode yang dipilih tersebut. Mengkonsultasikan secara terus-menerus hasil belajar kepada dosen pembimbing skripsi agar diperoleh hasil penelitian yang tepat. Hasil studi literatur pada skripsi ini untuk memperoleh suatu solusi pendekatan dari solusi eksak persamaan integral Fredholm linear jenis kedua. Solusi pendekatan tersebut diperoleh dengan menggunakan metode Kolokasi dengan basis interpolasi linear sepotong-sepotong Sistematika Penulisan Sistematika penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut : BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi latar belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penelitian. BAB II DASAR TEORI Bab ini berisi teori yang mendasari pembahasan skripsi ini yang berkaitan dengan penyelesaian persamaan integral Fredholm linear jenis kedua menggunakan metode Kolokasi dengan basis interpolasi linear sepotong-sepotong. BAB III PERSAMAAN INTEGRAL Bab ini berisi tentang pembahasan definisi dan bentuk umum persamaan integral, jenis-jenis persamaan integral, solusi persamaan integral, dan metode analitik untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua.

5 5 BAB IV METODE NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMA- AN INTEGRAL FREDHOLM LINEAR JENIS KEDUA Bab ini berisi tentang pembahasan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua. Metode numerik yang dimaksud yaitu metode Kolokasi dengan basis interpolasi linear sepotong-sepotong. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan dan saran dari pembahasan penyelesaian persamaan integral Fredholm linear jenis kedua dengan menggunakan metode Kolokasi dengan basis interpolasi linear sepotong-sepotong.