QUATERNION DAN APLIKASINYA. Sangadji *
|
|
- Utami Sugiarto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 QUATERNION DAN APLIKASINYA Sangadji * ABSTRAK QUATERNION DAN APLIKASINYA.Dalam matematika, quaternion merupakan perluasan dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga-dimensi. Quaternion diciptakan oleh Sir William Rowan Hamilton( ) pada tahun 84, seorang algebraist, astronomer dan physicist dari Irlandia. Dalam makalah ini di samping membahas arti quaternion dalam matematika juga membahas aplikasi quaternion pada transformasi rotasi dalam ruang. Kata-kata kunci: quaternion, perluasan bilangan kompleks, normed division algebra. ABSTRACT QUATERNION AND ITS APPLICATION.In mathematics, quaternions constitute an extension of complex numbers that is not commutative, and applied in three dimensional mechanics. Quaternions were firstly described by Sir William Rowan Hamilton ( ) in 84, an algebraist, astronomer and physicist from Ireland. The paper discusses not only notion of quaternions in mathematics but also application of quaternions on spatial rotation. Keywords: quaternion, extension of complex numbers, normed division algebra. PENDAHULUAN Suatu quaternion dapat dinyatakan dengan simbol x = x + x i + x j + x, di k mana x, x, x, x bilangan-bilangan real. Perkalian skalar didefinisikan dengan cx = cx + cx i + cx j + cx k, jumlahan x dan y didefinisikan dengan x + y = ( x = ( x + x i + x + y ) + ( x j + x k) + ( y + y ) i + ( x + y i + y + y ) j + ( x j + y k) + y ) k, * Pusat Pengembangan Informatika Nuklir - Batan 0
2 sedangkan hasil kali xy didefinisikan sebagai hasilkali bila kita mengalikan x dan y menggunakan hukum distributif dan konvensi i = j = k =, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j. Himpunan dari semua quaternion dengan hukum komposisi jumlahan dan hasil kali di atas merupakan division ring dan skew field. Himpunan ini memenuhi semua aksioma untuk suatu field, kecuali hukum komutatif untuk perkalian. Quaternion ditemukan oleh Sir William Rowan Hamilton( ) pada tahun 84, seorang algebraist, astronomer dan physicist dari Irlandia. ARTI QUATERNION DALAM MATEMATIKA Dalam matematika, quaternion merupakan ekstensi dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga-dimensi. Dalam bahasa modern, quaternion membentuk normed division algebra empat-dimensi lewat field dari bilangan-bilangan real dan ditulis dengan notasi H. Quaternion juga diterapkan dalam rotasi tiga-dimensi. Setiap quaternion adalah kombinasi linier dari basis quaternion, i, j, dan k, yaitu setiap quaternion disajikan secara tunggal dengan bentuk a + bi + cj + dk di mana a, b, c, dan d adalah bilangan bilangan real. Dengan kata lain, sebagai ruang vektor lewat bilangan bilangan real. Himpunan H dari quaternion quaternion mempunyai dimensi 4 yang mana bidang dari bilangan bilangan komplek mempunyai dimensi. Himpunan dari semua quaternion dengan hukum komposisi jumlahan dan hasil kali di atas merupakan division ring dan skew field. Himpunan ini memenuhi semua aksioma untuk suatu field, kecuali hukum komutatif untuk perkalian. Persamaan z + = 0, di mana z = a + bi + cj + dk, sebagai contoh mempunyai solusi tak berhingga banyak quaternion dengan bentuk z = bi + cj + dk dengan b + c + d =. Conjugate z * dari quaternion z = a + bi + cj + dk didefinisikan sebagai sedangkan nilai absolute dari z didefinisikan dengan 0
3 PENYAJIAN QUATERNION DENGAN MATRIKS Penyajian quaternion dengan matriks dapat dilakukan dengan dua cara. Cara pertama, quaternion a + bi + cj + dk dapat disajikan dengan matriks: Sedangkan cara kedua,quaternion a + bi + cj + dk dapat disajikan dengan matriks: Pada cara pertama, kelebihannya adalah bahwa matriksnya hanya berordo tetapi kekurangannya bahwa elemen-elemen matriksnya terdiri dari bilangan kompleks. Sedangkan pada cara kedua, kelebihannya bahwa elemen-elemen matriksnya semuanya hanya merupakan bilangan real tetapi kekurangannya adalah bahwa matriksnya berordo 4 4. APLIKASI QUATERNION DALAM D Sudah diketahui bahwa hasil kali vektor ada hubungannya dengan rotasi dalam ruang D. Kita akan mencari formula yang menyatakan rotasi dalam ruang D dengan menggunakan hasil kali quaternion. Mirip dengan formula untuk rotasi dalam D yang menggunakan hasil kali kompleks yang berbentuk F ( w) = zw, di mana α i z = e digunakan untuk rotasi dengan sudut, α Formula dalam D tidak dapat berbentuk sebagai hasil kali sederhana dengan quaternion. Seperti diketahui bahwa merotasikan vektor menghasilkan vektor. Tetapi 0
4 mengalikan vektor dengan quaternion yang non trivial menghasilkan quaternion dengan bagian real tidak sama dengan nol, jadi hasilnya bukan merupakan vektor. Perlu dicatat bahwa kita dapat menghilangkan bagian realnya bila kita mengalikan dengan quaternion dari satu sisi dan dengan invers-nya dari sisi yang lain. Misalkan z = a + u adalah suatu quaternion yang tidak sama dengan nol. Pandang fungsi f(v) = z v z - di mana z - adalah invers dari z dan v merupakan suatu vektor yang dipandang sebagai suatu quaternion dengan bagian realnya bernilai nol. Fungsi f dikenal sebagai konjugasi dengan z. Perlu dicatat bahwa bagian real dari f(v) adalah nol, karena pada umumnya zw dan wz mempunyai bagian real yang sama untuk sembarang quaternion z dan w. Jadi dapat ditulis R (z v z - ) = R (v z - z) = R (v ) = 0. Perlu dicatat bahwa bukti ini membutuhkan sifat asosiatif dari hasil kali quaternion. Hasilnya adalah bahwa sudut rotasi α dapat diperoleh jika kita memperhatikan unit quaternion z = a + v: kita mendapatkan. Dapat diperlihatkan bahwa bahwa rotasi yang berlawanan arah dengan jarum jam sebesar sudut α mengelilingi sumbu v dapat disajikan dengan konjugasi oleh unit quaternion z di mana adalah vektor satuan yang berbentuk Quaternion sering digunakan dalam komputer grafik untuk menyatakan rotasi dan orientasi objek objek dalam D. Sebagai contoh pandang rotasi f mengelilingi sumbu u = i + j + k, dengan sudut rotasi 0, atau π radial. 04
5 z (,,) O α u = i + j + k y x Gambar. Rotasi f mengelilingi sumbu u = i + j + k dengan sudut rotasi 0 Menggunakan konjugasi quaternion satuan diperoleh : Jadi dapat diperoleh hasil bahwa rotasi f berbentuk. f(ai + bj + ck) = z (ai + bj + ck) z di mana z = /z. Mengingat z mempunyai modulus diperoleh z = ( i j k)/. Menggunakan aritmetika quaternion, akhirnya dapat disimpulkan bahwa f(ai + bj + ck) = ci + aj + bk. KESIMPULAN 05
6 . Himpunan dari semua quaternion dengan hukum komposisi jamlahan dan hasil kali di atas merupakan division ring dan skew field. Himpunan ini memenuhi semua aksioma untuk suatu field, kecuali hukum komutatif untuk perkalian.. Quaternion sering digunakan dalam komputer grafik untuk menyatakan rotasi dan orientasi objek objek dalam D.. Rotasi yang berlawanan arah dengan jarum jam sebesar sudut α mengelilingi sumbu v dapat disajikan dengan konjugasi oleh unit quaternion z, yaitu f(v) = z v z - DAFTAR PUSTAKA. " quaternions/. eulertoquaternion/ DISKUSI M. BUNJAMIN. Quaternion = jumlah skalar + vector. Jadi apa skalar + vector?. Rotasi di ruang D sebenarnya dapat dilakukan dengan sin/cos biasa, tidak perlu quaternion. SANGADJI. Jadi memang quaternion X adalah sebagai X = X 0 +X i+x j + X k, dimana pada X 0, X, X, X bilangan real dan I,j,k vector-vektor satuan yang berturur-turut searah dengan sumbu-sumbu X +, Y +, Z +. Memang rotasi di ruang D dapat dilakukan dengan sin/cos biasa DAFTAR RIWAYAT HIDUP 06
7 . Nama : Sangadji. Tempat/Tanggal Lahir : Solo, 6 Juni 948. Instansi : PPIN-BATAN 4. Pekerjaan / Jabatan : Peneliti 5. Riwayat Pendidikan : S Matematika FMIPA UGM, 974 S Matematika University of Arizona,USA, 988 S Matematika University of Montana,USA, Pengalaman Kerja : 974-Sekarang,BATAN 998-Sekarang, UBINUS 7. Organisasi Professional : Himpunan Matematika Indonesia 8. Publikasi (Makalah) : Beberapa makalah di bidang matematika diterbitkan di Prosiding LKSTN BATAN Prosiding Himpunan Matematika Indonesia Jurnal SIGMA(USD, Yogyakarta) Jurnal Mat Stat(UBINUS) 07
GEOMETRI EUKLID VERSUS GEOMETRI SFERIK. Sangadji *
GEOMETRI EUKLID VERSUS GEOMETRI SFERIK Sangadji * ABSTRAK GEOMETRI EUKLID VERSUS GEOMETRI SFERIK. Pada makalah ini akan dibahas hubungan antara formula Pythagoras dan formula sinus dari segitiga pada geometri
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciQUATERNION AND IT S PROPERTIES ABSTRAK
QUATERNION AND IT S PROPERTIES Muh. Irwan Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM Info: Jurnal MSA Vol. 3 No. 1 Edisi: Januari Juni 015 Artikel No.: 3 Halaman: 16-0 ISSN: 355-083X Prodi
Lebih terperinciPenggunaan Quaternion dan Matriks pada Perputaran Spasial
Penggunaan Quaternion dan Matriks pada Perputaran Spasial Jeremia Jason Lasiman 13514021 1 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung
Lebih terperinciHasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel
BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciMODUL ATAS RING MATRIKS ( ) Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman Ari Wardayani Universitas Jenderal Soedirman
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-issn : 2550-0384; e-issn : 2550-0392 MODUL ATAS RING MATRIKS Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman arindiadwikurnia@gmail.com Ari
Lebih terperinciuntuk setiap x sehingga f g
Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma
Lebih terperinciTRANSFORMASI MOBIUS 1. Sangadji *
Transformasi Mobius (Sangadji) TRANSFORMASI MOBIUS 1 Sangadji * ABSTRAK TRANSFORMASI MOBIUS. Transformasi Mobius atau bilinear, sudah lama dikenal. Topik ini muncul pada beberapa bidang, misalnya pada
Lebih terperinciSifat Lapangan pada Bilangan Kompleks
Jurnal Analisa 3 (1) (2017) 70-75 p-issn: 2549-5135 http://journal.uinsgd.ac.id/index.php/analisa/index e-issn: 2549-5143 Sifat Lapangan pada Bilangan Kompleks Ida Nuraida 1,a) 1 Prodi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciFUNGSI-FUNGSI PADA TEORI BILANGAN DAN APLIKASINYA PADA PERHITUNGAN KALENDER. Sangadji *
FUNGSI-FUNGSI PADA TEORI BILANGAN DAN APLIKASINYA PADA PERHITUNGAN KALENDER Sangadji * ABSTRAK FUNGSI-FUNGSI PADA TEORI BILANGAN DAN APLIKASINYA PADA PERHITUNGAN KALENDER. Dalam makalah ini dibahas fungsi-fungsi
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciAplikasi Aljabar Geometri dalam Menentukan Volume Parallelepiped Beserta Penurunan ke Rumus Umum dengan Memanfaatkan Sifat Aljabar Vektor
Aplikasi Aljabar Geometri dalam Menentukan Volume Parallelepiped Beserta Penurunan ke Rumus Umum dengan Memanfaatkan Sifat Aljabar Vektor Ade Yusuf Rahardian / 13514079 1 Program Studi Teknik Informatika
Lebih terperinciOktonion I. PENDAHULUAN II. DASAR TEORI
Oktonion Drestanto Muhammad Dyasputro - 13514099 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia dyas@live.com
Lebih terperinciPengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono
Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono bagusco@gmail.com Departemen Statistika FMIPA IPB Notasi Dasar Matriks A mxn, m A n, [a ij ] mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) a ij adalah elemen matriks
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciNilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus Fitri Aryani 1, Tri Novita Sari 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suska.ac.id
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciGEOMETRI PROJEKTIF DAN APLIKASINYA. Sangadji dan Marsodi *
(43-52) GEOMETRI PROJEKTIF DAN APLIKASINYA Sangadji dan Marsodi * ABSTRAK GEOMETRI PROJEKTIF DAN APLIKASINYA. Geometri projektif adalah cabang geometri yang mempelajari sifat-sifat dan konfigurasi geometri
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh DEVI SAFITRI 10654004470 FAKULTAS
Lebih terperinciMATERI 8 MATRIKS. Contoh vektor kolom : Pengoperasian matriks dan vektor. Penjumlahan dan pengurangan matriks
MATERI 8 MATRIKS Sub Materi : 1. Pengertian matriks dan vector 2. Kesamaan matriks dan kesamaan vector 3. Bentuk-bentuk khas matriks 4. Pengubahan matriks 5. Matriks bersekat 6. Determinan matriks 7. Adjoin
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,
Lebih terperinciRuang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com
Ruang Vektor Adri Priadana ilkomadri.com MEDAN SKLAR Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciAplikasi Quartenion pada Game Engine
Aplikasi Quartenion pada Game Engine Ali Akbar - 13514080 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia aliakbr@students.itb.ac.id
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciSuatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciSemi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi Subjudul (jika diperlukan) [TNR14, spasi 1] Suroto, Ari Wardayani Jurusan Matematika
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Artinya, OP = a (di sepanjang
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciTeorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik ( )
Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik (20110060311101) Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang Teorema Dasar Aljabar Mochamad Rofik Program
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah 3. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand
Aljabar Linier Kuliah 3 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 3 Jumlah Langsung, Hasilkali Langsung Himpunan Pembangun (Spans) dan Bebas Linier 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciRANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal. 63 70. RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Eka Wulan Ramadhani, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani INTISARI Rank dari matriks
Lebih terperinciMODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS
MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis
1 I. PENDAHULUAN 1.2 Latar Belakang dan Masalah Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun
Lebih terperinciMatriks Sebagai Representasi Orientasi Objek 3D
Matriks Sebagai Representasi Orientasi Objek 3D Cendhika Imantoro - 13514037 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciVEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciMatriks Simplektik dan Hubungannya Pada Sistem Linier Hamiltonian. Simplectic Matrix and It Relations to Linear Hamiltonian System
Matriks Simplektik dan Hubungannya Pada Sistem Linier Hamiltonian 1 Artmo Dihartomo Laweangi, 2 Jullia Titaley, 3 Mans Lumiu Mananohas 1 Program Studi Matematika, FMIPA, UNSRAT, artmodihartomolaweangi@yahoo.com
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciSILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU
SILABUS Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Ungguan BPPT Darus Sholah Jember kelas : XII IPA Semester : Ganjil Jumlah Pertemuan : 44 x 35 menit (22 pertemuan) STANDAR 1. Menggunakan konsep
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Matrix Rotasi 3D dengan Representasi Euler
5 BAB LANDASAN TEOI.1 Matri otasi 3D dengan epresentasi Euler Matriks otasi untuk grafik 3D dengan representasi euler euler angle terdiri atas rotasi terhadap sumbu,, dan X v 3 v Z v v 1 Y Gambar.1 Vektor
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciPEMETAAN STANDAR ISI (SK-KD)
PEMETAAN STANDAR ISI (SK-KD) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS/SEMESTER : XII IPA / 1 SK KD THP INDIKATOR THP MATERI PEMBELAJARAN RUANG LINGKUP *) 1 2 3 4 5 6 ALOKASI WKT 1. Menggunakan konsep integral
Lebih terperinciIsomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil
Vol. 1, No. 1, 1-8, Juli 015 Isomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil Amir Kamal Amir 1 Abstrak Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan identitas 1, adalah suatu
Lebih terperinciHimpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit
Lebih terperinciMatematika
dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain, dengan sebuah
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciTRANSFORMASI FOURIER QUATERNION DUA SISI DENGAN KERNEL SIFAT-SIFATNYA. MUH. NUR Jurusan Matematika, Universitas Hasanuddin, Makassar
TRANSFORMASI FOURIER QUATERNION DUA SISI DENGAN KERNEL SIFAT-SIFATNYA DAN MUH. NUR Jurusan Matematika, Universitas Hasanuddin, Makassar Email : nur_math@yahoo.com Pada tulisan ini, kita membahas sifat-sifat
Lebih terperinciDiagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan
Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan Fitri Aryani 1, Rahmadani 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suskaacid Abstrak
Lebih terperinciPEMBENTUKAN GELANGGANG POLINOM MIRING DARI QUATERNION
Pembentukan Gelanggang Polinom Miring dari Quaternion (Amir Kamal Amir) PEMBENTUKAN GELANGGANG POLINOM MIRING DARI QUATERNION Amir Kamal Amir 1 1 Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin
Lebih terperinciMatematika Logika Aljabar Boolean
Pertemuan ke-3 Matematika Logika Aljabar Boolean Oleh : Mellia Liyanthy TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS PASUNDAN TAHUN AJARAN 2011/2012 Definisi Aljabar Boolean merupakan aljabar yang terdiri atas : suatu
Lebih terperinciBab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor
Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi
Lebih terperinciOPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 05, No. 1 (2016), hal 9-18 OPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL Dodi Arianto, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI
Lebih terperinciIDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA
IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Stuktur Aljabar II Oleh: Kelompok VI/kelas A 1 Diah Ajeng Titisari (08144100009) Frendy Try Andyasmoko (08144100041) Herna Purwanti (08144100083)
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciMatematika
Fungsi dan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi Definisi Suatu fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut domain,
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciAljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciUNIVERSITAS BINA NUSANTARA. Program Ganda Teknik Informatika Matematika Skripsi Sarjana Program Ganda Semester Ganjil 2005/2006
UNIVERSITAS BINA NUSANTARA Program Ganda Teknik Informatika Matematika Skripsi Sarjana Program Ganda Semester Ganjil 2005/2006 PERANCANGAN APLIKASI ANIMASI PENGGUNAAN QUATERNION SEBAGAI PENGGANTI MATRIKS
Lebih terperinciSUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinci