BAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Matrix Rotasi 3D dengan Representasi Euler

Transkripsi

1 5 BAB LANDASAN TEOI.1 Matri otasi 3D dengan epresentasi Euler Matriks otasi untuk grafik 3D dengan representasi euler euler angle terdiri atas rotasi terhadap sumbu,, dan X v 3 v Z v v 1 Y Gambar.1 Vektor di uang 3 Dimensi X Z Y Gambar. Arah otasi di uang 3 Dimensi

2 6 Matriks otasi terhadap sumbu : Matriks otasi terhadap sumbu : Matriks otasi terhadap sumbu : Karena perkalian matriks tidak bersifat komutatif, maka dengan representasi euler, terdapat 1 urutan rotasi ang dapat dihasilkan, aitu :,,,,,,,,,,,. Untuk urutan rotasi, didapatkan rumus sebagai berikut :

3 sehingga didapatkan Berikut adalah hasil dari setiap urutan rotasi ang mungkin :

4 8

5 9 Karena menggunakan aturan tangan kanan ight Hand rule maka,,, adalah sudut antara -36, berlawanan arah dengan arah jarum jam. epresentasi Euler memiliki masalah ang signifikan, aitu terjadina gimbal lock. Gimbal lock ini disebabkan karena representasi euler terhadap orientasi tertentu tidak bersifat unik aliag. Aliag terjadi karena orientasi menggunakan representasi euler dapat di wujudkan dengan beberapa kombinasi matriks. Apabila menggunakan urutan rotasi, gimbal lock dapat dilihat jika merotasikan sumbu sebesar 9. Menggunakan rumus rotasi di atas, maka apabila 9 diperoleh : adalah matriks gular

6 1 Sehingga rotasi terhadap sudut maupun hana akan menghasilkan rotasi terhadap 1 sumbu rotasi kehilangan 1 sumbu rotasi. Hal ini juga terjadi pada setiap kombinasi rotasi pada representasi euler.. Struktur Aljabar..1 Semigrup Semigrup G,* adalah himpunan tak kosong dengan operasi * ang bersifat : - Tertutup terhadap operasi * - Assosiatif ** ** untuk setiap,, ε G.. Grup Grup adalah himpunan tak kosong dengan satu operasi * ang mempunai sifat sebagai berikut : - Tertutup terhadap * - Asosiatif untuk operasi * - Mempunai Unsur Kesatuan - Setiap elemen memiliki invers Grup ang komutatif disebut juga grup abelian.

7 11..3 ing Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner dan *,,* disebut ing, jika : -, grup komutatif grup abelian -, * semi grup - Berlaku distributif kiri dan kanan o a*bc a*b a*c o ab*c a*c b*c a, b, c..4 Quaternion Bentuk umum Quaternion adalah a bi cj dk, di mana a, b, c, d adalah bilangan eal. Quaternion dapat dibagi menjadi bagian, bagian skalar dan bagian vector. Bagian skalar dari Quaternion abicjdk adalah a, dan bagian vektor na adalah bicjdk. Quaternion adalah Struktur aljabar ang ditemukan oleh William owan Hamilton. Quaternion adalah division ing ang nonkomutatif sehingga quaternion memiliki sifat sifat sebagai berikut : 1. Q, merupakan grup komutatif. Q-{}, * merupakan grup 3. Operasi * distributif terhadap Q { a bi cj dk : a, b, d } Bukti :

8 1 1. Q, merupakan grup komutatif a. Tertutup Quaternion Quaternion Quaternion a bi cj dk e fi gj hk ae bfi cgj dhk a, b, d, e, f, g, h eal b. Assosiatif Quaternion Quaternion Quaternion Quaternion QuaternionQuaternion c. Memiliki Unit Kesatuan a bicjdk ijk abicjdk a, b, d eal d. Setiap Elemen Quaternion memiliki invers a bi cj dk a, b, d eal 1 a bicjdk e. Komutatif a bi cj dk w i j k w i j k a bi cj dk a, b, d, w,,, eal a. Tertutup.Q-{}, * merupakan grup

9 13 Quaternion * Quaternion Quaternion a bi cj dk* w i j k awbcd a bw cdi ab cw d j a bc dwk a, b, d, w,,, eal b. Assosiatif a bi cj dk* w i j k* e fi gj hk a bi cj dk* w i j k* e fi gj hk Bukti : w i j k * e fi gj hk we f-g h wf e h gi wg h e fj wh g f ek a bi cj dk * w i j k * e fi gj hk a we-f-g-h bwfeh-g-cwg-hef dwhg-fe a wfeh-g bwe-f-g-h cwhg-fe dwg-hefi awg hef b whg-fe c we-f-g-h dwfeh-gj awhg-fe b wg-hef- cwfeh-g dwe-f-g-hk awe af-ag-ah bwf-be-bhbg cwgch-ce-cf-dwh-dgdf-de awfaeah-ag bwe bf-bg-bh cwh cg cf ce dwg dh de dfi awg-ahaeaf-bwh-bgbf-be cwe-cf-cg-ch dwfde dh-dgj awhag-afae bwg-bhbebf cwf-ce-chcg dwe-df-dg-dhk a bi cj dk * w i j k aw b-c d a bw c di a b cw dj a b c dwk

10 14 a bi cj dk * w i j k * e fi gj hk aw b-c-de - abwc-df a-bcwdg ab-cdwh aw-b-c-df abwc-de a-bcwdh ab-cdwgi aw-b-c-dg - abwc-dh a-bcwde ab-cdwf j aw-b-c-dh abwc-dg - a-bcwdf ab-cdwek awe-be-ce-de af-bwf-cfdf ag bg-cwg-dg-ah-bhch-dwh awf bf-cf-df aebwece-de ah-bhcwhdh ag-bgcg-dwgi awg-bg-cg-dg ah-bwh-chdh ae-becwede af bf-cf-dwf j awh-bh-ch-dh agbwgcg-dg-afbf-cwf-df ae be-cedwek a, b, d, e, f, g, h, w,,, w i j k * e fi gj hk we f-g h wf e h gi wg h Terbukti c. Mempunai Unsur Kesatuan abicjdk*1ijk abicjdk a, b, d d. Setiap elemen memiliki invers Setiap elemen Quaternion selain mempunai invers sebagai berikut : 1 q _ q q dimana q adalah sekawan dari q dan q adalah normal dari q

11 15 jika q a bi cj dk maka q a bi cj dk q q. q a b c d a, b, d eal, q, q 1 Quaternion 3.Operasi * distributif terhadap q*w qw q q a bi cj dk w w i j k e fi gj hk a, b, d, e, f, g, h, w,,, eal..4.1 Operasi Quaternion Berbeda dengan Bilangan kompleks, quaternion tidak bersifat komutatif. Sifat sifat dasar quaternion i j k ijk 1 p t v t bi cj dk q a u a i j k p q q p non komutatif p q r p q r assosiatif

12 16 Sekawan conjugate dari quaternion * p t v adalah p t v Nilai Mutlak dari quaternion didapat dengan * p pp t b c d Jika p 1, maka p disebut unit quaternion. Karena 1 p * dan untuk unit quaternion, berlaku p 1, maka 1 p p * - Penambahan p t v t bi cj dk, q a u a i j k p q t a u v a t b i c j d k - Perkalian p t v t bi cj dk, q a u a i j k pq at uv av tu v u pq at b c d bt a c di ct a d bj dt a b ck - Perkalian dot

13 17 - Perkalian cross - Invers 1 p p p * pq p q..4. Penggunaan Quaternion Dalam otasi Bentuk umum Quaternion : q a bi cj dk Titik di ruang 3D dengan bentuk quaternion adalah p,, ijk, sehingga jika ingin merotasikan titik dengan menggunakan quaternion maka p rotated 1 qpq, karena q adalah unit quaternion, sehingga 1 q q untuk operasi *. p rotated qpq rotated p -b-c-di a c- d j a - b d k a b - c *a- bi - cj - dk rotated p - b -c- d*a - a c- d*-b -a - b d-c - a b - c *-d i a c- da - b -c - d-b a - b d-d - a b - c -c j - b -c - d-c - a c- d-d a - b da a b - c -b k - b -c- d-d a c- d-c - a - b d-b a b - c a rotated p - ba ca da ab cb db ac - bc dc ad bd - cd i aa ca- da bb cb db - ad bd - dd ac bc cc

14 18 j bc cc dc ad cd- dd aa - ba da - ab - bb cb k bd cd dd - ac - cc dc ab - bb db aa ba - ca rotated p i aa ca- da bb cb db - ad bd - dd ac bc cc j bc cc dc ad cd- dd aa - ba da - ab - bb cb k bd cd dd - ac - cc dc ab - bb db aa ba - ca Apabila dikelompokkan,, maka akan menjadi matriks sebagai berikut aa bb- dd- cc -dacb- ad bc ca db bd ac bc ad da cb cc- dd aa - bb dccd- ba- ab bd- ac db- ca cd dc ab ba dd- cc- bb aa Dalam merepresentasikan rotasi dengan quaternion, hana diperlukan unit quaternion, sehingga karena unit Quaternion memiliki sifat a b c d 1 maka matri diatas menjadi : 1-dd - cc - dacb ca db bc ad 1 - dd - bb dc- ba bd- ac cd ab 1- cc- bb

15 19 Karena quaternion terdiri atas bagian skalar dan bagian vector maka dari abicjd, a adalah besar dari rotasi ang diinginkan, dan bicjd adalah vektor. a θ b ais * θ c ais * θ d ais * θ θ adalah sudut rotasi -36.