Analisa Problem Difraksi Pada Celah dengan Regularisasi TSVD dan Tikhonov

Transkripsi

1 Prodng SNPPI 0 ISBN: Anala Problem Dfrak Pada Celah dengan Regulara SVD dan khonov Mudrk Alaydru eknk Elektro, Unverta Mercu Buana J. Raya Meruya Selatan, Kembangan, Jakarta, 650 E-mal : mudrkalaydru@yahoo.com Abtrak-- Dalam problem dfrak erkng dketahu gelombang dfrak dan dcar gelombang umber dar dfrak n. Jka data gelombang dfrak yang dukur mengandung kealahan, malnya dakbatkan oleh noe, maka olu problem nver dengan nvere matrk akan memberkan hal yang ecara fka tdak memlk makna. Problem yang epert n memlk maalah dengan tabltanya, ehngga perlu dlakukan regulara. Pendekatan yang dlakukan adalah dengan mengamat nla ngular dar matrk tm dengan Sngular Value Decompoton. Metoda regulara runcated Sngular Value Decompoton memotong nla ngular yang lebh kecl dar noe edangkan regulara khonov menggunakan ebuah fung flter, yang melakukan modfka pada factor pembeban etap nla ngular. Hal pengamatan menunjukkan model ba drekontruk dengan cukup bak, tetap bearan ampltudonya mengecl cukup gnfkan. Kata Kunc : dfrak gelombang, problem nver, regulara khonov, SVD, SVD I. PENDAHUUAN Problem dfrak memankan peranan pentng dalam pelbaga aplka teknk dar dpln lmu fka. Gelombang elektromagnetka (termauk d dalamnya cahaya) dan gelombang uara, jka berada d ruang yang homogen, akan merambat epanjang gar luru. Jka d ruang terebut terdapat gangguan, malnya terdapat truktur yang memlk karaktertk materal yang berbeda, maka akan terjad dfrak atau penghamburan gelombang. D dalam fka dkenal konep ntegral lpatan (convoluton ntegal), dengan ntegra n ba dhtung gelombang dfrak, jka umber dfrak (malnya aru ltrk) dkenal. Operator atau kernel ntegra n, yang kerap debut ebaga fung Green, memankan peranan pentng dalam proe perhtungan tu endr. Dengan proe ntegra n, ada tga hal yang memankan peranan, yang pertama lngkungan terjadnya dfrak, dnyatakan oleh operator atau tm, yang kedua nput, berupa umber terjadnya dfrak dan yang ketga adalah bearan gelombang dfrak tu endr. II. PROBEM DIFRAKSI CAHAYA PADA CEAH Formula maalah yang dbaha d peneltan n adalah ebuah gelombang elektromagnetka m(θ) yang datang membentuk udut θ terhadap bdang normal. Gelombang n mengena bdang yang opaque (malnya metal) dengan ebuah celah dengan lebar a. D ruang ebelah kanan (gambar ) akan terbentuk gelombang dfrak d(φ) []. Gambar. Formula maalah Permaalahan n ba dberkan dengan hubungan ntegra berkut n π / d ( ϕ) = G( ϑ, ϕ) m( ϑ) dϑ dengan π / () πa n ( nϑ + nϕ) (, ) ( co co ) λ () G ϑ ϕ = ϑ + ϕ πa ( n n ) ϑ + ϕ λ Pada problem maju/langung (forward atau drect problem) dberkan nla dar gelombang datang m(ϑ), dengan ntegra yang dberkan d peramaan () dan kernel d peramaan (). Perhtungan ntegra n pada realanya dlakukan dengan bantuan komputer, yatu algortma ntegra numerk, yang bekerja ecara dkret. Gambar menunjukkan po dkret dar pengamatan π π ϕ = + ( ) =,,, n n Dan ttk ntegra 78

2 Prodng SNPPI 0 ISBN: π π ϑ j= + ( j ), untuk j =,,..., n n Demkan juga untuk =5, karena metr dar matrk G, maka d untuk ekta n, ama dengan G(:,6). Gambar. Formula maalah ke wlayah dkret Peramaan ntegral ba dubah menjad tm peramaan lner, Gambar 4. Data d dengan ekta m(=0)=, dan m()=0 untuk 0. ( ϑ, ϕ ) m( ϑ ) Δϑ + + G( ϑ ϕ ) m( ϑ ) Δϑ d ϕ ) G, ( j = j n j n untuk j=,,..,n. Dengan nota matrk ddapatkan peramaan [ d ] = [ G][ m] (3) Gambar 3 menunjukkan kolom dar matrk G untuk n = 0. Kolom matrk n berfat metr G(:,)=G(:,0), dan eterunya. Karaktertk dar matrk G yang metr n memberkan hal yang juga metr. Kolom dar matrk G n membentuk ruang kolom (column pace) yang kombna lnernya merupakan gelombang dfrak d [3]. Gambar 5. Data d dengan ekta m(=5)=, dan m()=0 untuk 5. III. PROBEM INVERSI DAN SINGUAR VAUE DECOMPOSIION (SVD) Pada prakteknya erng kal dtemukan, jutru gelombang dfraknya yang dkenal (malnya melalu uatu pengukuran), dan m perlu dhtung. Dar peramaan (3), ecara teoret ba dhtung nver dar matrk G, ehngga = [ G] [ (4) Gambar 3. Ruang kolom (column pace) dar matrk G (d adalah kombna lner dar ruang kolom n) Dengan menggunakan gelombang datang (exctaton) berupa mpul (pke) berturut-turut pada = 0 dan 5, dhalkan data d pada gambar 4 dan 5. Hal n ba dpredk dar gambar 3. Untuk ekta mpul pada =0, maka vektor m, yang merupakan faktor pengal dar kombna lner kolom-kolom matrk G, hanya memlk nla d m(0)=, yang lannya bernla 0, ehngga gelombang dfrak d, memlk nla yang ama dengan G(:,0). Menggunakan matrk G dan data d yang telah dkenal d gambar 4 dan gambar 5, proedur d peramaan (4) ecara prakt memberkan hal mpul nyal m pada =0 dan =5. Data hal pengukuran, d, baanya mengandung noe. Data d yang ada pada gambar 4 dkontamnakan dengan noe dengan varan 0-6. Gambar 6 menunjukkan data d tanpa noe, yang dberkan ecara logartma untuk lebh menampakkan eberapa kecl noe dbandngkan dengan data. D gambar 6 n-pun terlhat, data d dan data d + noe hampr tak ada bedanya, karena noe yang cukup kecl. 79

3 Prodng SNPPI 0 ISBN: [ G ] [ V][ S] [ U] + = (6) Dengan peudo-nvere n ba dhtung model, atau + [ G] [ = (7) Gambar 6. Data d dengan ekta m(=0)=, dan m()=0 untuk 0, addtve noe dengan varan 0-6, dan d + noe. Solu permaalah dengan menggunakan peramaan (4) dkenal juga dengan olu naf, untuk kau dengan noe n, memberkan hal m epert yang dtunjukkan d gambar 7. erlhat fluktua data yang angat cepat dan ampltudo yang angat tngg. Data n ecara fka pat alah, karena energ yang terkandung angat bear. Dar defn Hadamard [], problem yang epert n debut juga problem llpoed. Yatu uatu jen problem yang tdak tabl, yang karena ada edkt perubahan pada uatu nyalnya (dalam hal n data), maka terjad perubahan yang angat bear pada modelnya m. Gambar 7. Data rekontruk m dengan d yang terkena noe dengan varan 0-6. Untuk mendapatkan nforma mengena kejadan terebut d ata, dlakukan pengamatan lebh lengkap terhadap matrk G. Setap matrk pada daarnya ba ddekompokan dalam nla ngulernya [3], [ G ] = [ U] [ S] [ V] (5) Andakan matrk G adalah matrk egempat dengan dmen m x n. Matrx [U] dan [V] berfat ortonormal dan kuadrat edangkan matrx [S] adalah matrx dagonal dengan elemennya merupakan nla ngular yang bernla potf. Moore dan Penroe [] menguulkan cara untuk menghtung nvere dar matrx G dengan menggunakan SVD, nvere n merupakan generala nvere, atau debut juga peudo-nvere dar G, yatu Invere epert n dnamakan Moore-Penroe peudonvere. Sehngga vector model ba dhtung menjad + + = [ G] [ = Dengan [ z] = S [ V ] [ S] [ U ] [ = z V., [ ] [ U ] 0 = M 0 0 [ z] = M 0 Sehngga + = = 0 0 n [ U ]., [ O O n = 0 U., d U., d M M M U., m d m m 0 U U M U m.,.,., m U., U., = M M U., m m [ [ V ] (8)., Peramaan (8) memberkan nforma yang angat jela terhadap fenomena ddapatnya nla m yang angat bear d gambar 7. D peramaan (8) terlhat m berbandng luru dengan hal bag noe dengan nla nguler. Jad jka nla ngulernya angat kecl, jauh lebh kecl dar noe, akan ddapatkan nla yang bear. Gambar 8 memberkan nla nguler dar matrk G untuk kau n=0, tampak nla nguler dengan ordo 0-5. Dengan noe bervaran 0-6, ddapatkan perbandngan 0 9, eua dengan bearan yang ddapatkan d gambar 7. 80

4 Prodng SNPPI 0 ISBN: Gambar 8. Nla ngular dar matrk G untuk n = 0. IV. REGUARISASI SVD DAN IKHONOV Regulara adalah uatu langkah yang dlakukan untuk mendapatkan hal yang wajar. angkah n djalankan dengan mengubah problem atau truktur dar problem, yang pada akhrnya akan ddapatkan uatu kond trade-off antara hal yang mauk akal dan problem yang benar-benar telah dubah. Jen regulara yang pertama adalah regulara berbakan pada pemotongan dekompo nla ngular (runcated Sngular Value Decompoton/SVD). Floof dar regulara SVD n berangkat dar peramaan (8). Bahwa hal m menjad tdak wajar, jka noe lebh bear dar nla ngular. Kond Pcard [4] ddefnkan untuk menjamn ddapatkannya hal model m yang wajar atau tdak, yatu dengan membandngkan bear nla ngular dengan noe yang ada. Gambar 9 menunjukkan perbandngan nla ngular dengan noe yang ada. Dar gambar terebut terlhat, bak untuk dkreta yang kaar (coare) n=0 ataupun yang halu n=00, ddapatkan hanya ektar nla ngular yang pertama, yang lebh bear dar noe bervaran 0-6. p [ U ] +., [ = [ V ] (9)., = p adalah jumlah nla ngular yang dkut ertakan dalam perhtungan model. Gambar 9. Perbandngan nla ngular dengan noe varan 0-6 (ata n=0, bawah n=00) Selan dar tu, d peneltan n juga dbaha metoda regulara lan, yatu regulara khonov. Regulara khonov berbakan pada mnmala uatu fungonal, mn { G m d + α m } α adalah parameter regulara. Secara matrk ba dformula menjad G d mn m α I 0 Selama α tdak nol, tambahan n buah bar berfat ndependen, ehngga matrk yang ddapatkan berfat full-rank, dan ba dolukan dengan cara yang baa, yatu A x = b A A x = A b Atau dengan A= G, menjad α I G d [ ] = [ ], G α I m G α I α I 0 ( G G + α I ) m = G d ( VS U USV + α I ) m = VS U d ( VS SV + α I ) m = VS U d Sehngga ddapatkan hal akhr U [ n., m α = V., = + α (0) Beda antara SVD dan Regulara khonov adalah: Pada SVD damat hanya ebagan dar elemen nla nguler tertentu, edangkan pada regulara khonov emua dmaukan dalam perhtungan, tetap dengan menggunakan faktor flter 8

5 Prodng SNPPI 0 ISBN: f = () +α Yang bernla, jka nla nguler cukup bear, tetap bernla nol, jka nla nguler terlalu kecl. V. HASI D bagan n dtamplkan hal rekontruk dengan regulara SVD. Dengan menggunakan data yang terkontamna noe (gambar 6), dgunakan peramaan (9) dengan berbaga macam nla p. Jka eluruh nla ngular dkut ertakan (p=0), maka ddapatkan hal rekontruk model d gambar 7. Gambar 0 menunjukkan kau untuk nla p < 0, jad tdak emua nla ngular dmaukkan dalam perhtungan. Bahkan untuk p = pun, hal rekontruk mah belum menunjukkan hal yang ba dtpercaya. Dengan nla p=0 (d gambar 9, nla ngular untuk =,,..0 lebh bear dar noe), baru ddapatkan rekontruk yang mula bak, walaupun dengan nla makmal yang jauh d bawah,0, yatu hanya ektar 4,5. Pemlhan nla p yang lebh kecl lag, d gambar 0 p=, memberkan hal yang menjauh dar nla ekak yang eharunya drekontruk. Jad ada uatu nla optmal tertentu, yang d n hanya 0 nla ngular. Gambar 0. Hal rekontruk model untuk berbaga macam nla p (jumlah nla ngular yang dkutkan) Selanjutnya dlhat hal dar regulara khonov. angkah pertama adalah penentuan nla parameter regulara α. Hanen d [4] memperkenalkan cara penentuannya dengan menggunakan metoda kurva (-curve). Gambar menunjukkan grafk dar modfka nla α, yang berpengaruh terhadap mnmala dar norm redu dan norm olu. Metoda kurva- mencar nla deal dar kedua mnmala n, yang menurut [4] dplh ttk pojok dar kurva, mplementa metoda n dberkan dalam bahaa Matlab [5]. Dengan routne l_curve ddapatkan nla parameter regulara α=8, oluton norm x e e e-0.473e e e e curve, kh. corner pada α= e redual norm A x - b Gambar. Kurva penentuan parameter regulara α. Jka parameter regulara α tdak ddapat/dhtung, dlakukan beberapa kau dengan nla α yang berbeda-beda, gambar 3 menunjukkan efek dar parameter n terhadap hal rekontruk. erlhat ampltude yang ddapat dar regulara n juga lebh kecl dar ampltude gelombang datang yang ebenarnya Gambar menunjukkan perbandngan untuk jumlah rekontruk yang berbeda, n=0 dan n=00, terlhat dkreta yang lebh bear, hanya memperhalu bentuk dar hal rekontruk. Gambar 3. Hal model rekontruk regulara khonov dengan parameter berbeda-beda. Gambar. Perbandngan hal rekontruk untuk dkreta n=0 dan n=00. Dengan parameter regulaa α=8, , dhtung model rekontruk m menggunakan peramaan (0). Gambar 4 menunjukkan perbandngan hal yang ddapatkan dengan SVD dan regulara khonov. erlepa dar deva yang 8

6 Prodng SNPPI 0 ISBN: kecl, ecara keeluruhan keduanya memberkan hal yang ama. Gambar 4. Perbandngan model rekontruk dengan regulara SVD dan khonov. VI. KESIMPUAN Regulara problem nvere dengan runcated Sngular Value Decompoton (SVD) dan regulara khonov memberkan peluang untuk tetap memberkan hal rekontruk yang relatve mendekat model yang dngnkan dan ecara fka memlk makna. SVD menyaratkan pemotongan jumlah nla ngular, yang haru lebh bear dar noe yang ada. Sedangkan regulara khonov menyaratkan nla parameter α yang tepat, ehngga hal ekak akan terdekat dengan lebh bak. Ampltudo dar model yang drekontruk memlk nla yang lebh kecl dar model yang ebenarnya. DAFAR PUSAKA: [] Ater, R.C., Borcher, B., hurber, C.H., Parameter Etmaton and Invere Problem, nd ed., Academc Pre, Elever, Amterdam, 0. [] Hanen, P.C., Dcrete Invere Problem, Inght and Algorthm, SIAM Pre, Phladelpha, 00. [3] Strang G., Introducton to near Algebra, 4 th ed., Welleley, Cambrdge Pre, 009. [4] Hanen, P.C., Rank-Defcent and Dcrete Ill- Poed Problem: Numercal Apect of near Inveron, SIAM, Phladelpha, 998. [5] Hanen, P. C. Hanen. Regularzaton tool: A MAAB package for analy and oluton of dcrete ll-poed problem. Numercal Algorthm, 6(I II): 35, 994. he oftware avalable n: utool/regutool.html. 83