Janos meninggalkan sekolahnya pada saat kelas 4. Ia

Transkripsi

1 4 PENGENLN GEOMETRI FFINE Janos olyai dilahirkan pada tanggal 15 Desember 1802 di Koloszvar, sekarang luj, bagian dari Romania Transylvania. Orang tua dari Janos olyai adalah Farkas Wolfgang olyai dan Zsuzsanna enko. yahnya Farkas olyai mempunyai pekerjaan di Perguruan Tinggi alvinist sebagai pengajar Matematika, Ilmu Fisika dan Ilmu Janos meninggalkan sekolahnya pada saat kelas 4. Ia Kimia. masuk di Perguruan Tinggi alvinist di Marosvasarhely pada umur 12 tahun dan selama 3 tahun lebih ia dijuluki sebagai a real child genius. Dan saat umur 13 tahun dia telah menguasai kalkulus dan analitis, mekanika dan yang lain. Pada umur 15 tahun, ia telah menemukan solusi dalam menggunakan salah satu cabang dari hiperbola xy=c. Ia juga ahli bahasa yang terkemuka yang menguasai sembilan bahasa asing termasuk ina dan Tibet. Ia belajar di kademi Rancang-angun di kerajaan Vienna dari tahun 1818 sampai Setelah itu ia bergabung di ngkatan Perang Kesatuan Rancang-angun selama 11 tahun. Kemudian pada tahun 1833 ia dipensiunkan di rangking Kapten karena sering terkena penyakit. Kemudian ia tinggal di pengasingan dengan keluarganya di Marosvasarhely tanpa memperoleh informasi tentang peristiwa ilmiah. Meskipun demikian ia mencapai hasil penting didalam matematika. ntara tahun 1820 dan 1824, ia mengembangkan ilmu ukur non-euclide-nya yang baru yang berasal dari solusi permasalahan dalam parallel. Pada saat berusia 21 Geometri ffine / 77

2 tahun, ia melaporkan temuannya pada ayahnya: ku sudah menemukan hal yang bagus dan aku sangat dikejutkan ku sudah menciptakan sesuatu yang baru, dunia yang lain, yang keluar dari tidak ada apapun. Suatu catatan tersebut adalah gambaran ilmu ukur kemutlakan yang disebut ilmu ukur hyperbolic, dan diterbitkan sebagai catatan tambahan pada buku teks ayahnya yang berjudul Tentamen pada tahun Judulnya adalah catatan tambahan, Scientiam Spatii Veram bsolut Exhibens, yaitu Ilmu Pengetahuan Riil yang bsolut. Melalui ayahnya, ia menerima suatu catatan oleh Lobachevski berjudul Geometriche Untersuchungen Zur Theorie der Parallellinien (Penyelidikan Geometris mengenai Teori Garis Sejajar), yang mana catatan tersebut hampir sama dengan catatan tambahan dan dimana orang Rusia hli Matematik menguraikan Ilmu Ukur non-euclide hyperbolic. Pada tahun 1850, olyai mulai menyiapkan suatu naskah yang diberi hak Jerman yang berjudul Raumlehre (Ilmu Pengetahuan Ruang). Ia mencoba untuk mengembangkan suatu system Geometris lengkap berdasar pada aksioma, tetapi pekerjaan ini tidak diselesaikan. olyai juga mengembangkan suatu konsep Geometris kaku tentang angka-angka kompleks sebagai penghembus dari angka-angka riil. Walaupun ia tidak pernah menerbitkan lebih dari 26 halaman catatan tambahan, namun pemikirannya telah dibukukan lebih dari halaman naskah mathematical. Dan pada saat itulah ia meninggal. hli Matematika tulen telah ditemukan. Dialah Janos olyai yang sebagian besar menghasilkan teori baru. Dasar dari Geometri ffine adalah adalah Geometri Terurut. idang ffine dipandang sebagai keadaan khusus dari bidang terurut. Pengertian pangkalnya sama yaitu titik dan keantaraan. ksiomaaksioma dari geometri terurut yang berlaku adalah 78 /Geometri ffine

3 ksioma 3.1, 3.7, 3.8, 3.9 ksioma 4.1 da paling sedikit dua titik ksioma 4.2 Jika suatu segitiga, [ D] dan [ E ], maka pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [F]. ksioma 4.3 (Dalam ruang dimensi dua) Semua titik ada dalam satu bidang ksioma 4.4 Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masingmasing himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik himpunan lainnya. ksioma 4.5 Untuk sebarang titik dan sebarang garis r yang tidak melalui ada paling banyak satu garis melalui dalam bidang r, yang tidak memotong r. ksioma 4.6 Jika,,,,, O adalah 7 buah titik berlainan sedemikian hingga,, adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika //, //, maka // Geometri ffine / 79

4 Kesejajaran dalam Geometri ffine ini adalah suatu relasi ekuivalensi. Jadi memenuhi sifat-sifat: a. refleksi, yaitu setiap garis a sejajar dengan a sendiri b. simetrik, yaitu jira garis a sejajar denga garis b, maka garis b sejajar dengan garis a c. transitif, yaitu jira garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar denan garis c. ksioma 2 dapat kita gambarkan sebagai berkut: Teorema 4.1 Jika dan adalah 2 segitiga dengan titik-titik sudut yang berlainan, diletakkan sedemikian,hingga //, / dan //, maka ketiga garis, dan adalah berpotongan pada satu titik (konkuren) atau sejajar. Diketahui : //, /, // Dibuktikan :, dan berpotongan pada satu titik atau sejajar. ukti: Jika ketiga garis, dan tidak semuanya sejajar, dua diantaranya tentu berpotongan, misalnya dan berpotongan di 0 dan 0 memotong di. Maka didapat, dan berpotongan di 0 dan //, //, karena pada. Menurut ksioma 4.6 // /Geometri ffine

5 Diketahui //, maka pada, juga pada (menurut pemisalan). Karena suatu segitiga, maka haruslah berimpit dengan. jadi, dan berpotongan pada satu titik 0, jika, dan tidak semuanya sejajar. 1 Teorema 4.2 Jika,,,,,, adalah 6 titik berlainan pada 3 garis sejajar berlainan,, dan, diletakkan sedemikian, hingga garis sejajar dengan. sejajar dengan, maka juga sejajar dengan. Diketahui : // // // dan // Dibuktikan : //. ukti Melalui dilukis, sejajar, sehingga terletak pada. Maka //, dan // dan //, jadi menurut Teorema 4.1, // 1 //. Karena diketahui, bahwa // //, maka terletak pada, juga terletak pada. Karena garisgaris dan berlainan, maka tidak mungkin terletak pada. jadi dari pada dan pada dapat disimpulkan bahwa berimpit dengan dengan demikian sejajar dengan. D P Geometri ffine / 81

6 Definisi 4.1 Empat titik,,, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu jajargenjang D jika sejajar dengan D dan sejajar dengan D.,,, dan D adalah titik-titik sudutnya. Segmensegmen,, D dan D adalah sisi-sisinya dan segmen-segmen dan D diagonal diagonalnya. Karena dan D pada pihak yang berlainan dari, maka diagonal-diagonal berpotongan di suatu titik yang disebut pusat jajargenjang. Definisi 4.2 Suatu dilatasi ialah suatu transformasi yang mentransformasikan setiap garis ke garis yang sejajar. Teorema 4.3 Dua segmen yang diketahui dan pada garisgaris yang sejajar menentukan dengan tunggal suatu dilatasi. ukti P P /Geometri ffine

7 Misalkan P sebarang titik pada bidang. Untuk melukis bayangan P 1 di buat garis melaui yang sejajar P dan garis melalui yang sejajar P. Titik potong kedua garis ini ialah P 1, bayangan dari P. Garis-garis melalui dan tidak mungkin sejajar, sebab P dan P tidak sejajar. Dengan jalan serupa, jika diketahui, maka dapat dilukis. Menurut Teorema 4.1, maka // // PP 1. jadi jika garis-garis sejajar dan tidak berimpit, maka garis-garis dan, dan PP 1 adalah konkuren atau sejajar, sehingga P 1 sejajar dengan P. Jadi transformasi itu betul suatu dilatasi dan tunggal. Jika garis-garis dan 1 1 berimpit, maka transformasi dapat dipandang sebagai 1 1. Sehingga dua segmen sejajar menentukan dengan tunggal suatu latasi Definisi 4.3 Invers dari dilatasi ialah dilatasi. Definisi 4.4 Yang dimaksud dengan hasil kali dua dilatasi ialah suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain. Maka hasil kali dua dilatasi dan ialah dilatasi Geometri ffine / 83

8 Hasil kali suatu dilatasi dengan inversnya adalah identitas. Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangnya adalah garis-garis invarian. Garis-garis ini berpotongan pada satu titik atau sejajar. Jika garis-garis yang menghubungkan titik dan bayangannya, yaitu yang menghubungkan dua titik berkorespondensi, berpotongan pada satu titik, dilatasi disebut dilatasi sentral. Titik potong garis-garis itu disebut titik pusat dilatasi 0, titik pusat dilatasi ini tunggal. Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu translasi. 84 /Geometri ffine

9 Jika pada translasi, tidak berupa jajargenjang dapat ditunjukkan jajargenjang lainnya seperti pada gambar berikut D D sama dengan 1 1 dengan 1 1 suatu jajargenjang atau D D suatu jajargenjang. Jika, dan diketahui, maka letak tidak tergantung dari pemilihan atau D, sehingga terdapat Teorema berikut Teorema 4.4. Sebarang dua titik dan menentukan dengan tunggal translasi. ukti Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan Geometri ffine / 85

10 hanya bila tidak mempunyai titik invarian. Translasi sama dengan translasi. Jika suatu jajargenjang.. Teorema 4.5 Dilatasi mentransformasikan setiap titik. ukti atau. P Dalam Geometri P Terurut, ada Teorema yang mengatakan, bahwa jika dan merupakan dua pasangan 3 titik yang segaris sedemikian, hingga garis-garis,, dan tidak mempunyai titik potong dan jika [] maka [ ]. jika kita misalkan garis ialah garis, garis ialah garis b dan garis ialah garis c maka kita dapat []. Maka untuk setiap titik, titik potong dengan suatu segmen dengan pada a dan pada b, 86 /Geometri ffine

11 berlaku []. Maka Teorema di atas terbukti. a c b Jika dan merupakan 2 pasangan 3 titik yang segaris pada garis-garis yang berlainan sedemikian hingga ketiga garis dan mempunyai titik persekutuan O yang tidak terletak antara dan, tidak terletak antara dan dan juga tidak antara dan, dan jika [], maka [ ]. Hal ini juga mudah dibuktikan mengingat bahwa sinar O terletak di dalam sudut O sehingga untuk setiap titik, titik potong O dengan suatu segmen dengan pada sinar O dan pada sinar O dipenuhi [ ]. D a b c D Geometri ffine / 87

12 Untuk titik-titik, dan yang terletak pada garis invarian digunakan garis-garis sejajar sebagai pertolongan untuk menunjukkan kebenaran Teorema 4.5 ini. [] [11] [2 2] [ ] [] [11] [2 2] [ ] Jadi terbukti, jika [], maka [ ] a c b a ' b ' c' 0 b c a a ' 2 c ' b ' 2 Teorema 4.6 Hasil kali 2 translasi dan adalah translasi ukti Hasil kali 2 dilatasi adalah suatu dilatasi. ndaikan hasil kali 2 translasi ini bukan suatu translasi, maka tentu ada titik invariannya O, oleh translasi pertama, titik O dibawa ke O. karena titik O titik invarian oleh maka titik O dibawa ke-o O O adalah invers dari O O. jadi hasil kali dua translasi mempunyai titik invarian jika yang satu invers dari yang lain, dan hasil kali ini berupa identitas. Jadi hasil kali dua translasi adalah suatu translasi, yaitu dilatasi yang tidak ada titik 88 /Geometri ffine

13 invariannya. Hasil kali dua translasi ini memenuhi sifat komutatif. Hal ini mudah dibuktikan, D Misalkan kedua translasi itu tidak menurut dua garis sejajar. Dengan melukis jajargenjang D, tampak bahwa sama dengan D dan sama dengan D, = ( ) ( ) = ( D) (D ) = ( ) ( ) (terbukti) Jika kedua translasi menurut garis yang sama, misalkan kedua translasi T dan X, misalkan translasi Y suatu translasi yang tidak menurut garis yang sejajar dengan translasi-translasi di atas, maka X dan Y komutatif, demikian pula X dan TY. T(X Y) = T(Y X) = (T Y)X = X(TY) (TX)Y = (XT)Y, sehingga TX = XT (terbukti) Definisi 4.5 Jika 2 titik berlainan, misalnya dan ditukar oleh suatu dilatasi tunggal atau, maka transformasi itu disebut setengah putaran. Jika sebarang titik diluar garis, maka untuk mencari bayangannya, kita hubungkan dengan dan, maka titik potong garis yang melalui Geometri ffine / 89

14 sejajar dan yang melalui sejajar ialah D, bayangan dari. T O T D Jika D adalah suatu jajargenjang. Setengah putaran itu dapat dinyatakan dengan D. garisgaris invarian dan D, karena diagonal-diagonal suatu jajargenjang, berpotongan di titik O, yang menjadi titik invarian dari setengah putaran. Titik O adalah titik pusat jajargenjang. Pada setengah putaran, titik O adalah titik tengah segmen. Untuk melukis bayangan titik T pada garis, dihubungkan T dengan (atau D) dan kemudian dilukis garis melalui D (atau ) yang sejajar dengan T (atau TD) dan terdapat T pada garis. Hasil kali dua setengah putaran dapat dinyatakan sebagai ( ) atau ( ). andaikan hasil kali ini mempunyai suatu titik invarian O, maka oleh setengah putaran, O dibawa ke-o. Jadi sama dengan O O. oleh setengah putaran maka O dibawa ke O, jadi sama dengan O O. Jadi ada titik invarian jika =. dalam hal ini yang lain tidak ada titik invarian. 90 /Geometri ffine

15 Teorema 4. 7 Hasil kali 2 setengah putaran dan adalah translasi. ukti : Jika tidak sama dengan, maka ( ) ( ) tidak mempunyai titik invarian. Jadi berupa translasi. Jika D suatu jajargenjang, maka sama dengan D dan D sama dengan Hubungan ini tetap berlaku jika jajargenjang berubah O D D menjadi segmen garis dengan 4 titik yang letaknya teratur simetrik. ontoh Diketahui ( ) ( ) = ( ), tunjukkan bahwa sebarang yang ditentukan adalah titik invarian dari suatu setengah putaran, dengan mengganti = dalam persamaan Penyelesaian ( ) ( ) = ( ) Jika =, maka diperoleh ( ) ( ) = ( ) ( ), berarti suatu titik invarian. Teorema 4.8 Setengah putaran dan D sama, bila dan hanya bila translasi Diketahui = D D dan sama. Geometri ffine / 91

16 Dibuktikan : D = ukti: D = ( ) ( D) = ( D) ( D) = ( D) (D ) = Diketahui D = Dibuktikan : = D ukti: = ( D) (D ) = ( ) (D ) = ( ) ( D) = D Jika dan D berimpit, yang dapat disebut, maka adalah titik tengah bila dan hanya bila translasi dan sama. Kemudian dapat dibuat jajargenjang dan dan terdapat dengan, dan sebagai titik-titik tengah sisi-sisinya. Kemudian diperoleh Teorema berikut. ontoh 4.2 Jika ketiga diagonal dari suatu segienam (tidak perlu konveks) mempunyai titik tengah yang sama, maka buktikan sebarang dua sisi berhadapan sejajar. Diketahui: O = OD, O = OE, O = OF Dibuktikan : 2 sisi berhadapan adalah sejajar. ukti: D = E D E = (Teorema 4.8) 92 /Geometri ffine

17 erarti DE sejajar dengan D = F F D = F (terbukti) E O D Jadi D sejajar dengan F E = F E F = (terbukti) Jadi EF sejajar dengan. Terbukti sisi-sisi yang berhadapan sejajar. Teorema 4.9 Garis yang menghubungkan titik-titik tengah DU sisi suatu segitiga adalah sejajar dengan sisi yang ketiga dan suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar dengan sisi yang lain akan melalui titik tengah sisi yang ketiga. ontoh 4.3 Titik-titik tengah sisi-sisi suatu segi empat sebarang adalah titik-titik sudut suatu jajargenjang. Teorema ini ditemukan oleh Pierre Varignon ( ). Diketahui: D segi empat sebarang P, Q, R dan S berturut-turut titik-titik tengah,, D dan D. Geometri ffine / 93

18 D R S Q Dibuktikan : PQRS suatu jajargenjang. P ukti: Dipandang D dan. Maka SR sejajar dengan dan P sejajar dengan (menurut Teorema 9). Jadi SR sejajar dengan PQ. Dipandang D dan D. Maka PS sejajar dengan D dan QR PQRS suatu segiempat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar, jadi PQRS suatu jajargenjang. LTIHN 4 1. uktikan Teorema /Geometri ffine