Fuat. Buku Ajar GMKM (Seri Kongruensi Segitiga)

Transkripsi

1 Fuat Buku Ajar GMKM (Seri Kongruensi Segitiga) 2014 P R O G R A M S T U D I P E N D I D I K A N M A T E M A T I K A S T K I P P G R I P A S U R U A N

2 Geometri dibangun menurut penalaran deduktif tersusun menurut struktur logis (yang disebut sistem aksioma). Segkan dalam sistem aksioma tersebut yang terpenting adalah suatu urutan pernyataan logis dari sebelumnya mengarah dari pernyataan yang diketahui benar ke pernyataan yang harus dibuktikan. Itulah yang menjadikan tujuan utama dalam pembelajaran geometri yaitu membangun kemampuan membuktikan. Kemampuan membuktikan sendiri terdiri dari dua hal yaitu dapat mengkonstruksi bukti dapat memvalidasi bukti. Mengkonstruksi bukti meliputi kemampuan dalam menggunakan metode pembuktian sistem aksioma serta model bukti yang digunakan untuk menunjukkan kebenaran suatu pernyataan (biasanya adalah suatu teorema). Segkan memvalidasi bukti merupakan kemampuan untuk mengkritisi bukti yang berhubungan dengan jenis-jenis pembuktian yang sering muncul. Hal itu selaras dengan kurikulum di Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan. Tetapi sangatlah sulit untuk memenuhi tujuan tersebut ketambahan lagi di Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan menggolongkan Geometri tersebut dalam MKK Wajib dimana terdistribusi di semester I. Karena kondisi di sekolah hampir bertentangan pembelajarannya dengan tujuan dari Geometri tersebut. Kesulitan juga akan semakin lengkap jika dilihat dari langkanya buku-buku Geometri yang beredar di Indonesia apalagi buku Geometri yang sesuai dengan tujuan tersebut (yaitu membangun kemampuan membuktikan) hampir tidak pernah dijumpai di Indonesia sehingga bahan referensi mahasiswa juga sulit untuk dicari. KATA PENGANTAR

3 Berdasar hal tersebut itulah penyusun berusaha untuk menyajikan buku ini sesuai dengan tujuan utama dari Geometri yaitu membangun kemampuan membuktikan. Untuk itulah buku ini disebut buku GMKM (Geometri yang Membangun Kemampuan Membuktikan). Dimana buku ini adalah hasil dari tesis yang seg dilakukan oleh penyusun. Yang masih terbatas pada materi kongruensi segitiga. Pada buku ajar GMKM ini tersaji beberapa gambar dengan tujuan agar dapat mencuri perhatian pembaca sekalian. Begitu banyaknya gambar yang disajikan pada buku ini sehingga tidak penyusun tulis sumber satu persatu dari gambar itu dengan maksud hanya untuk memenuhi unsur keindahan dari sajian buku saja. Banyak gambar penyusun dapatkan dengan menggunakan mesin pencari Google mulai dari cover buku ajar ini sampai dengan isinya kami susun sedemikian rupa segkan aplikasi penyusun dalam membuat buku ajar ini hanya dengan menggunakan Microsoft Word. Dapat penyusun uraikan sumber selain dari Google Ms. Word adalah dari berbagai sumber yang telah disebutkan penyusun dalam daftar pustaka buku ajar ini. Penyusun berterima kasih sebesar-besarnya kepada Prof. Toto Nusantara M.Si. Dr. I Nengah Parta M.Si yang telah membantu penyusun selama proses penyusunan buku ajar GMKM ini. Serta Dr. Hery Susanto M.Pd. yang telah memvalidasi buku ajar GMKM ini. Dengan segala keterbatasannya penyusun tetap berharap buku ajar GMKM ini dapat bermanfaat. Lebih dari itu buku ajar GMKM ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan diskusi sehingga lebih melengkapi modul ini berikutnya. Kritik saran dapat disampaikan ke boozfuat@gmail.com Penyusun

4 Kata Pengantar... i Daftar Isi... iii Tata Cara Penggunaan Buku Ajar GMKM... iv Daftar Simbol... viii Kompetensi... ix 1. Definisi Sifat Kongruensi Segitiga Kekongruenan Segitiga Teorema Segitiga Sama Kaki Segitiga Sama Sisi Jarak Proyeksi Bisektor Tegaklurus Ketunggalan Hubungan antar Sudut pada Segitiga Ketidaksamaan pada Segitiga DAFTAR ISI Daftar Soal Pendalaman Pengayaan Daftar Pustaka Glosarium Indeks... 59

5 TATA CARA PENGGUNAAN Buku ajar GMKM ini dapat membangun kemampuan membuktikan maka pembaca harus mengikuti tugas-tugas yang terdapat pada buku ini yaitu 1. mengkonstruk definisi berdasar informasi yang telah diberikan 2. memahami aksioma 3. memvalidasi bukti (terkait tentang keruntutan bukti sesuai dengan prinsip logika keefektifan bukti kebenaran pernyataan alasan bukti serta membuat atau melengkapi langkah mengembangkan kerangka bukti atau menulis bukti) 4. mengkonstruk bukti. Hal tersebut terlihat dalam bagian-bagian dari buku ajar GMKM ini adalah sebagai berikut Awal bab berisi keterkaitan materi bab dalam kehidupan nyata Tugas mahasiswa dalam membangun kemampuan membuktikan

6 Memahami aksioma Informasi atau penjelasan lebih lanjut Mengembangkan kerangka bukti

7 Menulis bukti dengan model bukti paragraf. Selain itu ada model bukti dua kolom bukti alir Melukis obyek geometri menggunakan penggaris jangka (RisKa) Latihan Bab terdapat di akhir Bab

8 Penutup dari buku ini daftar soal pendalaman pengayaan

9 DAFTAR SIMBOL Titik A Ukuran Segmen AB. Bisektor Sudut A Tegak lurus jika hanya jika Garis AB Kongruen Sudut A Sinar AB. Bisektor Segmen AB > Lebih dari Jika maka Ukuran sudut A < Kurang dari Segmen AB Segitiga ABC Lebih dari atau sama dengan Kurang dari atau sama dengan Sama dengan Tidak sama dengan

10 Kompetensi Kongruensi Segitiga Standar Kompetensi Memahami konsep-konsep geometri serta dapat mengkonstruk memvalidasi bukti terkait konsep-konsep geometri tersebut. Kompetensi Dasar Setelah mengikuti bab ini mahasiswa dapat mengkonstruk memvalidasi bukti terkait materi pokok pengembangan pengayaan kongruensi segitiga. Indikator Setelah diberikan pembelajaran mengenai kongruensi segitiga mahasiswa dapat 1. Mengkonstruksi bukti terkait materi pokok pengembangan pengayaan kongruensi segitiga. 2. Memvalidasi bukti terkait materi pokok pengembangan pengayaan kongruensi segitiga. Buku Ajar GMKM_ 1

11 Definisi & Sifat Kongruensi Segitiga Apa ini??? Masjid Faisal terletak di sebelah paling utara Islamabad ibukota Pakistan. Namanya diambil dari nama pendirinya Raja Faisal Bin Abdul Aziz ditetapkan sebagai Masjid Nasional Pakistan. Tidak seperti masjid di Asia pada umumnya Masjid Faisal tidak memiliki kubah maupun arca. Bentuknya yang tidak biasa terinspirasi dari tenda yang didirikan salah satu suku Arab Bedouin. Terdapat empat pintu masuk dengan bentuk segitiga besar yang keempatnya kongruen. Pada definisi korespondensi satu-satu dua poligon di bab sebelumnya setiap dua poligon dapat dikaitkan atau dipasangkan satu-satu secara berurutan diantara sudut-sudut sisi-sisi dari dua poligon tersebut. Apabila ditinjau dengan kongruensi segmen kongruensi sudut pada masing-masing sudut sisi yang telah dikorespondensikan tersebut maka anda dapat mempelajari tentang definisi kongruensi segitiga. Bentuk segitiga disini berbeda dengan jenis segitiga berikut jenisnya sama tapi bentuknya berbeda Perhatikan beberapa bentuk bangun di atas. Kemudian korespondensikan satu-satu dengan segitiga yang lain pada gambar tersebut kemudian cari kekongruenan dari masing-masing korespondingnya. Jika dikorespondensikan satu-satu dengan maka ada tiga kemungkinan korespondensi sudutnya sisinya. Tiga kemungkinan korespondensi sudut sisinya diuraikan sebagai berikut Kemungkinan korespondensi sudut 2 _Buku Ajar GMKM Kemungkinan korespondensi sisi

12 Jika masing-masing kemungkinan koresponding tersebut kita gunakan definisi kongruensi sudut kongruensi segmen maka dari semua kemungkinan koresponding tersebut baik korespondensi sudut sisinya ada beberapa yang tidak kongruen. Apabila yang dikorespondensikan satu-satu adalah maka ada tiga kemungkinan korespondensi sudutnya sisinya. Tiga kemungkinan korespondensi sudut sisinya diuraikan sebagai berikut Kemungkinan korespondensi sudut Kemungkinan korespondensi sisi Dari ketiga kemungkinan korespondensi sudut tersebut hanya koresponding yang semuanya kongruen. Segkan semua kemungkinan koresponding sisi tersebut tidak ada yang kongruen. Dan jika pada dikorespondensikan satu-satu maka juga ada tiga kemungkinan korespondensi pada masing-masing sudut sisinya. Dari semua kemungkinan koresponding sudut sisinya menurut anda bagaimana kongruensi pada masing-masing korespondingnya tersebut? Kondisi yang seperti inilah yang disebut kongruensi segitiga. Konstruk Definisi Kongruensi Segitiga berdasar informasi di samping! Berdasarkan uraian terakhir tentang definisi kongruensi segitiga tersebut terdapat hubungan antara korespondensi segmen garis korespondensi sudut. Pada korespondensi segmen garis korespondensi sudut terdapat sifat-sifat pada masing-masing korespondensi tersebut. Sifat tersebut antara lain refleksif simetri transitif. Untuk itu pembahasan berikut akan membahas ketiga sifat tersebut berlaku pada kongruensi segitiga atau tidak. Yaitu sebagai berikut Teorema (Teorema Refleksif Segitiga) Setiap segitiga kongruen dengan segitiga itu sendiri [8]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi Hipotesis segitiga dengan segitiga itu sendiri Konklusi segitiga kongruen dengan segitiga itu sendiri Buku Ajar GMKM_ 3

13 Menyusun rencana Saya akan membuktikan segitiga kongruen dengan segitiga itu sendiri Ditunjukkan semua sisi sudut segitiga tersebut reflektif Hal ini benar dengan menggunakan teorema refleksif segmen garis sudut Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti Definisi segitiga Teorema Refleksif Sudut Poligon yang mempunyai 3 sisi Teorema Refleksif Sudut Definisi Kongruensi Segitiga Baca bukti di samping & Tulis kembali dengan model bukti dua kolom! Teorema Refleksif Segmen Definisi segitiga Teorema Refleksif Segmen Poligon yang mempunyai 3 sisi Teorema Refleksif Sudut (Terbukti) Teorema Refleksif Segmen Teorema (Teorema Simetri Segitiga) Jika segitiga pertama kongruen dengan segitiga kedua maka segitiga kedua kongruen dengan segitiga pertama. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi 4 _Buku Ajar GMKM

14 Hipotesis segitiga pertama kongruen segitiga kedua Konklusi segitiga kedua kongruen segitiga pertama Menyusun rencana Saya akan membuktikan segitiga kedua kongruen segitiga pertama Ditunjukkan semua sisi segitiga kedua segitiga pertama serta sudutnya simetri Hal ini benar dengan menggunakan definisi kongruensi segitiga teorema simetri segmen garis sudut Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti No Pernyataan Alasan Definisi kongruensi segitiga Teorema refleksif segitiga Teorema refleksif segmen garis Teorema transitif segmen no 2 & 4 Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segitiga Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema refleksif segmen garis Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis Definisi kongruensi segitiga (Terbukti) Validasi bukti di samping dengan mengecek runtutan serta kebenaran pernyataan alasan yang disajikan & Tulis kembali dengan model bukti paragraf! Teorema (Teorema Transitif Segitiga) Jika segitiga pertama kongruen segitiga kedua segitiga kedua kongruen dengan segitiga ketiga maka segitiga pertama kongruen dengan segitiga ketiga. Buku Ajar GMKM_ 5

15 Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi Hipotesis segitiga pertama kongruen segitiga kedua segitiga kedua kongruen segitiga ketiga Konklusi segitiga pertama kongruen dengan segitiga ketiga Menyusun rencana Saya akan membuktikan segitiga pertama kongruen segitiga ketiga Ditunjukkan semua sisi sudutnya transitif Hal ini benar dengan menggunakan teorema transitif segmen garis sudut Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti model paragraf. Menulis langkah-langkah bukti TRANSITIF Buktikan Bukti didapat dengan menggunakan definisi kongruensi segitiga. segitiga. Perhatikan 6 _Buku Ajar GMKM Selain itu diketahui juga bahwa Baca bukti di samping & Tulis kembali dengan model bukti alir! dikarenakan definisi kongruensi serta maka dengan teorema transitif segmen garis diperoleh. Segkan jika dari pernyataan serta menggunakan teorema transitif sudut maka. Telah didapat bahwa hal ini memenuhi definisi kongruensi segitiga maka dapat diperoleh bahwa. (Terbukti).

16 1. Susunan bola biliar membentuk segitiga seperti terlihat pada gambar di samping dengan jika serta Penyelesaian Dan D E. C B F A maka tentukan 2 +7 Contoh! +5 + (2 + 7) + ( 7) + ( + 5) + ( 7) ( + 2 ) ( 7) ( + ) ( 7) 2( 2) + 7 ( + 2 ) ( 7) ( 7) Validasi bukti di samping dengan memberikan alasan pada setiap pernyataan yang telah disajikan di samping! Buku Ajar GMKM_ 7

17 Latihan Bab 1 1. Salin dua segitiga kongruen di samping. Kemudian beri label pada titik sudutnya sehingga. Identifikasi setiap pasang sudut sisi korespondingnya! Untuk soal no. 2-7 Pada gambar di bawah ini titik berikut! Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya) 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b V C. Lengkapi titik- T A B U Untuk soal no. 8 berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a b serta Validasi bukti a b 8. Jika adalah siku-siku. 90 maka Bukti a. No _Buku Ajar GMKM Pernyataan siku-siku Alasan Teorema simetri segitiga Definisi kongruensi segitiga Definisi kongruensi segitiga Sifat simetri bilangan real Teorema refleksif sudut Definisi kongruensi segitiga Definisi kongruensi segmen Sifat simetri bilangan real Sifat transitif bilangan real no 10 & 6 Definisi segitiga siku-siku (Terbukti)

18 Bukti b. diperoleh bahwa. Dari dua pernyataan tersebut dapat teorema transitif segitiga. pula bahwa 90 siku-siku dengan definisi sudut siku-siku. Karena siku-siku maka dapat diperoleh bahwa Dapat disimpulkan bahwa siku-siku dikarenakan definisi kongruensi segitiga. siku-siku dengan definisi segitiga siku-siku. (Terbukti). Untuk soal no. 9 Konstruk bukti permasalahan 8 dengan pembuktian yang berbeda. Untuk soal no. 10 & 11 Konstruk bukti 10. Jika maka buktikan bahwa 11. Perhatikan gambar di bawah ini! Jika tengah! adalah titik tengah di titik adalah titik bisektor serta. Buktikan bahwa Buku Ajar GMKM_ 9

19 Kekongruenan Segitiga Apa ini??? Fixed Gear bicycle atau Fixed Wheel bicycle kemudian di kenal di USA dengan istilah Fixie. Sebuah alat transportasi sepeda tanpa menggunakan Free Wheel. Sproket (gear belakang) tanpa free wheel langsung menancap pada fixed Hub. Ketika roda belakang berputar maka pedal akan berputar searah dengan putaran roda belakang. Pada subbab sebelumnya untuk menyatakan dua segitiga itu kongruen maka terlebih dahulu nyatakan bahwa semua sisi sudut yang berkorespondensi antara dua segitiga tersebut adalah kongruen berarti harus mencari enam bagian dari segitiga pertama kongruen dengan enam bagian segitiga kedua. Berdasar hal tersebut maka begitu banyaknya langkah untuk membuktikan dua segitiga itu kongruen. Dua titik sudut dari titik pangkal dari sisi disebut titik sudut berturutan. Contoh adalah titik sudut berturutan. Jika Semua sisinya kongruen & Semua sudutnya Maka kongruen Dua segitiga tersebut kongruen Aksioma-aksioma berikut menyederhanakan langkah untuk membuktikan dua segitiga kongruen dalam hal ini berarti bahwa dengan menggunakan aksioma ini tidak perlu mencari semua sisi sudutnya kongruen atau tidak perlu lagi mencari enam pasang bagian kongruen. Tetapi hanya perlu mencari tiga pasang bagian yang berkorespondensi adalah kongruen. Aksioma-aksioma itu adalah sebagai berikut 10 _Buku Ajar GMKM

20 Aksioma (Aksioma S-Sd-S) Dua segitiga dikatakan kongruen jika dua sisi sudut apit dari dua sisi tersebut dari segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian korespondingnya pada segitiga kedua [19]. Pada aksioma di atas dua sebagai A C disebut kongruen dinotasikan P jika ada korespondensi satu-satu antara dua segitiga R tersebut (misal korespondingnya adalah B ) memenuhi Q salah satu dari tiga kondisi kekongruenan berikut ini a. b. 2. c. Tiang listrik pada gambar di samping diketahui bahwa serta masing-masing adalah Tentukan Penyelesaian Contoh!! Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Tentukan Bukti No Pernyataan ( )+ ( )+ ) + ( + ( ) Alasan Aksioma S-Sd-S (No 1 2 & 3) Definisi kongruensi segitiga no 4 Definisi sudut Definisi kongruensi segitiga no 4 Definisi kongruensi segmen garis Definisi pengurangan ukuran dua segmen garis Definisi kongruensi segmen garis Substitusi no 11 ke 9 Aksioma penambahan operasi penjumlahan Sifat assosiatif penjumlahan bilangan real Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur identitas penjumlahan bilangan real Ketika sudah menulis pernyataan bahwa kemudian nyatakan bagian yang kongruen tetapi yang akan dibutuhkan dalam langkah selanjutnya. Buku Ajar GMKM_ 11

21 Definisi kongruensi segmen garis Aksioma S-Sd-S (No 1 6 & 17) Definisi kongruensi segitiga no 18 Definisi kongruensi segitiga no 18 Definisi sudut Definisi kongruensi sudut Definisi sudut Sifat transitif bilangan real no 22 & 24 Aksioma S-Sd-S (No & 19) Definisi kongruensi segitiga no 26 Definisi kongruensi sudut Sifat simetri bilangan real Gambar Definisi suplemen Subtitusi no 32 ke 31 Sifat penambahan operasi penjumlahan Sifat assosiatif penjumlahan bilangan real Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur identitas penjumlahan bilangan real Penjumlahan bilangan real Sifat transitif bilangan real no (Terbukti) bersuplemen ) ( ( ) Baca bukti di samping & Tulis Langkah Mengembangkan Kerangka Buktinya! Lukis Segitiga R P Q Lukis Segmen. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan Lukis Sudut. Gunakan sebagai pusat untuk membuat sudut dengan ukuran sama dengan (Lihat lukis sudut) Lukis Segmen ke-2. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan Aksioma (Aksioma Sd-S-Sd) Dua segitiga dikatakan kongruen jika dua sudut sisi yang memuat sudut tersebut pada segitiga pertama kongruen dengan bagian-bagian korespondingnya pada segitiga kedua [18]. B A C Q P R Pada aksioma Sd-S-Sd hampir sama dengan aksioma S-Sd-S yaitu dua disebut kongruen dinotasikan sebagai jika ada korespondensi satu-satu antara dua segitiga tersebut (misal korespondingnya adalah a. b. 12 _Buku Ajar GMKM ) memenuhi salah satu dari kondisi berikut ini c.

22 3. Menara pengintai pada gambar di samping diketahui bahwa QPS Contoh! PQR 1 2. Buktikan bahwa PQT adalah segitiga sama kaki. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf misalnya. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti adalah segitiga sama kaki serta dengan menggunakan teorema refleksif segmen didapat bahwa. Kemudian pernyataan 1 2 memenuhi aksioma Sd-S-Sd maka. Dari pernyataan diperoleh melalui definisi kongruensi sudut Subtitusi 1 2 ke + 2 diperoleh 2) + ( 2) ( 1 2 yang diketahui tersebut Dengan definisi penjumlahan ukuran dua sudut maka menjadi ( + + 2) + ( 2) aksioma penambahan operasi penjumlahan. Dengan sifat assosiatif penjumlahan maka pernyataan tersebut menjadi ( 2) ( 2). berturut-turut karena unsur invers penjumlahan bilangan real unsur identitas penjumlahan bilangan real. Dikarenakan definisi kongruensi sudut maka didapat bahwa. Perhatikan bahwa sebelumnya didapat menurut definisi kongruensi segitiga maka 3 4. Dikarenakan memenuhi aksioma Sd-S-Sd sehingga 3 4. Kemudian karena definisi kongruensi segitiga. Kemudian dengan definisi segitiga sama kaki diperoleh bahwa Tulis kembali dengan model Bukti dua kolom! adalah segitiga sama kaki. (Terbukti). Lukis Segitiga X V Lukis Segmen. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan Lukis Sudut. Gunakan sebagai pusat untuk membuat sudut dengan ukuran sama dengan Lukis Sudut ke-2. Lukis Titik Potong. Gunakan sebagai Perpanjang sinar dari pusat untuk sehingga membuat sudut berpotongan di titik dengan ukuran sama dengan Buku Ajar GMKM_ 13 W

23 Aksioma (Aksioma S-S-S) Jika ketiga sisi pada sebuah segitiga adalah CR A P kongruen terhadap sisi-sisi yang berkorespondensi pada segitiga yang kedua maka dua segitiga tersebut kongruen [8]. Tidak seperti pada aksioma sebelumnya yang terdapat tiga kondisi untuk Q B memenuhi aksioma tersebut tetapi dua dinotasikan sebagai disebut kongruen jika ada korespondensi satu-satu antara dua segitiga tersebut (misal korespondensinya adalah memenuhi kondisi berikut Contoh! 4. V. Rumah anjing pada gambar di samping diketahui bahwa adalah segitiga sama kaki U serta adalah sudut siku-siku. Buktikan bahwa. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. ) Menulis langkah-langkah bukti adalah segitiga sama kaki Validasi bukti di samping dengan memberikan alasan pada setiap pernyataan yang telah disajikan di samping serta anak panah sebagai urutan bukti! 14 _Buku Ajar GMKM siku-siku + + ( ) + ( )( + ( ) + + ) + ( + ( +0 ) ) +0

24 Lukis Segitiga C Lukis Segmen. Lukis Segmen ke-2. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan. Diperoleh Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan Lukis Segmen ke-3. Gunakan sebagai pusat untuk membuat busur dengan panjang sama dengan. Diperoleh A Hubungkan Semua Titik. Buat segmen B yang menghubungkan tiap titik yang telah diperoleh sebelumnya Selain ketiga aksioma di atas yang berfungsi untuk menyederhanakan langkah dalam menentukan kongruensi dua segitiga berikut ada beberapa teorema turunan dari ketiga aksioma di atas yang fungsinya sama dengan ketiga aksioma di atas. Teorema tersebut adalah sebagai berikut Teorema (Teorema K-K) Dua segitiga siku-siku kongruen jika kedua kaki siku-siku pada segitiga pertama kongruen dengan kedua kaki siku-siku dari segitiga yang kedua [5]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. D C E Menulis langkah-langkah bukti Bukti No Pernyataan 90 siku-siku 90 siku-siku 90 siku-siku siku-siku A B F Alasan Definisi ukuran sudut siku-siku Definisi segitiga siku-siku Definisi ukuran sudut siku-siku Definisi segitiga siku-siku Sifat simetri bilangan real Sifat transitif bilangan real no 3 & 7 Definisi kongruensi sudut Aksioma S-Sd-S (No. 1 9 & 10) (Terbukti) Tulis langkah Mengembangkan Kerangka Bukti Validasi bukti di samping! Buku Ajar GMKM_ 15

25 F * Teorema (Teorema M-K) Dua segitiga siku-siku kongruen jika sisi miring satu kaki siku-siku segitiga pertama kongruen dengan sisi miring satu kaki siku-siku dari segitiga yang kedua [30]. E D P 4 2 A X * 3 Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi C Hipotesis sisi miring satu kaki siku-siku segitiga pertama kongruen dengan sisi miring satu kaki siku-siku dari 1 segitiga yang kedua B Konklusi Dua segitiga siku-siku kongruen Menyusun rencana Saya akan membuktikan dua segitiga siku-siku kongruen Dibuat segitiga pada segitiga kedua yg kongruen segitiga pertama lalu dicari segitiga yang dibuat tadi kongruen segitiga kedua. Menggunakan teorema transitif segitiga Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti Aksioma konstruksi sudut sampai dengan memperpanjang sehingga kongruen dengan segitiga sebelumnya merupakan proses melukis pada dengan cara aksioma S-Sd-S Buktikan Bukti siku-siku di Dengan aksioma konstruksi sudut diperpanjang sehingga serta diketahui pada siku-siku di.. Kemudian ada karena aksioma garis. Dari didapat bahwa dikarenakan aksioma S-Sd-S. Definisi kongruensi segitiga dari diperoleh segmen garis. bahwa. Dari transitif segmen garis diperoleh dengan teorema simetri. Lihat dikenakan teorema dengan teorema segitiga sama kaki (Lihat teorema pada subbab setelah ini) maka 16 _Buku Ajar GMKM

26 diperoleh 4 3. Kemudian diketahui bahwa siku-siku di siku-siku di karena definisi segitiga siku-siku diperoleh siku-siku siku-siku dengan definisi sudut siku-siku diperoleh bahwa Kembali pada dengan definisi kongruensi segitiga didapat berarti dengan definisi kongruensi segmen garis bahwa. Karena 90 maka 90 dengan aksioma transitif bilangan real 90 dengan aksioma simetri bilangan real didapat dikarenakan aksioma transitif bilangan real. Serta dengan menggunakan aksioma simetri bilangan real definisi penjumlahan ukuran dua segmen didapat 4 + S-Sd-S Sd-S-Sd S-S-S KK M-K Sd-Sd-S menggunakan bagian yang berkorespondensi untuk membuktikan dua segitiga kongruen. Segkan definisi kongruensi segitiga untuk membuktikan kongruensi bagian yang berkorespondensi Lihat kembali bahwa 4 3 dengan definisi kongruensi sudut maka 4 3. Disubtitusi 4 3 ke maka menjadi ( 3) + ( 3 + 2) ( 3) + ( 3 + 1) karena aksioma penambahan operasi penjumlahan serta ( 3) ( 3) karena aksioma assosiatif penjumlahan bilangan real. Kemudian dengan berturut-turut menggunakan unsur invers penjumlahan bilangan real unsur identitas penjumlahan bilangan real maka didapat 2 1. Dengan definisi kongruensi sudut 2 1 dengan convers teorema segitiga sama kaki (Lihat teorema pada subbab setelah ini). Dari dengan definisi kongruensi sudut serta diperoleh bahwa simetri segitiga bahwa dapat karena aksioma S-Sd-S. Dengan teorema maka dapat disimpulkan dikarenakan teorema transitif segitiga. (Terbukti) Konstruk pembuktian yang beda dengan bukti di samping! Tidak seperti dua teorema di atas yang dikhususkan hanya untuk segitiga siku-siku teorema berikut (seperti tiga aksioma sebelumnya) dapat digunakan pada semua jenis segitiga yaitu sebagai berikut Teorema (Teorema Sd-Sd-S) Jika dua sudut sisi yang tidak terletak di antara dua sudut dari segitiga pertama adalah kongruen ke koresponding dua sudut sisi yang tidak terletak di antara dua sudut segitiga yang lain maka segitiga tersebut kongruen [31]. B A C E D F Kesulitan apa yang dihadapi ketika mengkonstruk pembuktian teorema di samping! Buku Ajar GMKM_ 17

27 Latihan Bab 2 1. Salin dua segitiga kongruen di samping. Kemudian beri label pada titik sudutnya sehingga. Identifikasi tiga pasang korespondingnya sehingga memenuhi aksioma pernyataan pada bab 2 di atas! Untuk soal no. 2-4 Pada gambar di bawah ini tentukan koresponding ketiga yang kongruen sehingga akan membuktikan bahwa dua segitiga di bawah adalah kongruen! Dan tentukan menggunakan aksioma atau teorema apa? Untuk soal no. 5 berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a b serta Validasi bukti a b _Buku Ajar GMKM siku-siku di. Buktikan bahwa siku-siku di!

28 Bukti a. siku-siku di siku-siku di siku-siku Definisi segitiga siku-siku 90 Definisi sudut siku-siku Teorema transitif sudut 90 Definisi segitiga Definisi sudut siku-siku Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya) 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b Definisi kongruensi sudut Teorema Sd-Sd-S (Terbukti) Bukti b. No Pernyataan siku-siku di siku-siku di Alasan Teorema refleksif segitiga Teorema K-K (Terbukti) Untuk soal no. 6-8 Konstruk bukti berikut! 6. Jika pada gambar di samping diketahui bahwa maka buktikan 8. Dari soal no 6 di atas buktikan 12! Dari soal no 6 di atas buktikan! adalah bisektor tegaklurus! 34 Buku Ajar GMKM_ 19

29 Teorema Segitiga Sama Kaki Segitiga Sama Sisi Apa ini??? The Three Pagodas adalah suatu rangkaian menara pagoda yang diatur letaknya sehingga jika tiga menara tersebut sebagai titik sudutnya maka akan membentuk segitiga sama sisi dekat kota Dali propinsi Yunnan Cina berasal dari zaman Kerajaan Nanzhao Kerajaan Dali Pada sub bab berikut akan dibahas tentang beberapa teorema yang berlaku pada segitiga sama kaki segitiga sama sisi. Tetapi untuk memulai membahas hal tersebut diperlukan definisi interior segitiga aksioma Pasch yang akan diuraikan sebagai berikut. P A Himpunan titik sedemikian sehingga jika suatu sinar yang C S R Q berpangkal di titik sudut melalui sebarang titik dari himpunan tersebut B maka sinar-sinar itu berada diantara kaki-kaki sudut disebut sebagai interior sudut. Jika interior diinterpretasikan seperti pada gambar di samping dimana salah satu sinar (kaki sudutnya) dari masing-masing sudut tersebut segaris tapi bukan dua sinar yang berlawanan serta sinar yang lain dari dua sinar tersebut berpotongan. Maka dari dua sudut tersebut terbentuk sebuah segitiga. Apabila diletakkan titik seperti pada gambar di samping maka keempat titik tersebut berbeda ditinjau dari. Perbedaan keempat titik tersebut diuraikan pada tabel berikut Titik Konstruk Definisi Interior Segitiga! Ditinjau dari Eksterior Interior Dilihat dari tabel di atas titik Ditinjau dari Interior Eksterior salah satu contoh titik dari himpunan titik yang terletak di interior segitiga tersebut. Segkan titik contoh titik di eksterior segitiga titik segitiga. 20 _Buku Ajar GMKM merupakan merupakan contoh titik pada

30 Selain definisi interior segitiga di atas. agar dapat menguraikan teorema segitiga sama kaki maka dibutuhkan aksioma Pasch. Aksioma ini membahas suatu garis pada segitiga secara jelas sebagai berikut Aksioma (Aksioma Pasch) Suatu garis berinteraksi dengan memotong salah satu sisi segitiga masuk pada daerah interiornya pasti berinteraksi dengan memotong sisi yang lain dari segitiga tersebut [19]. Perhatikan gambar di samping bawah ini yang memenuhi aksioma Pasch tersebut adalah seperti pada. Segkan tidak memenuhi aksioma Pasch dikarenakan pada memotong salah sisi segitiga tetapi tidak masuk pada daerah interior segitiganya pada tidak memotong salah satu sisi segitiga. Jadi suatu garis dapat menggunakan aksioma Pasch apabila memotong salah satu sisi segitiga masuk pada interior segitiganya. Dari definisi interior segitiga aksioma Pasch di atas dapat digunakan dalam membuktikan teorema berikut Teorema (Teorema Segitiga Sama Kaki) Jika dua sisi suatu segitiga adalah kongruen maka sudut dihadapan ke dua sisi tersebut kongruen [18]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi Hipotesis dua sisi segitiga kongruen Konklusi sudut dihadapan ke dua sisi tersebut kongruen Menyusun rencana Saya akan membuktikan sudut dihadapan ke dua sisi tersebut kongruen Ditunjukkan pada segitiga tersebut menjadi dua segitiga yang kongruen Membuat garis dengan aksioma bisektor sudut aksioma Pasch C Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan X A Buku Ajar GMKM_ D 21 B

31 Bukti memotong bisektor Aksioma bisektor sudut Baca bukti di samping & Tulis kembali dengan model Bukti paragraf! di titik D Teorema refleksif Segmen Aksioma Pasch Aksioma S-Sd-S Definisi sudut Definisi bisektor sudut Definisi kongruensi sudut Definisi kongruensi segitiga (Terbukti) Bentuk suatu teorema adalah berupa implikasi segkan. Convers dari teorema merupakan bentuk. Teorema simetri sudut Teorema (Convers Teorema Segitiga Sama Kaki) Jika dua sudut suatu segitiga adalah kongruen maka sisi-sisi dihadapan kedua sudut tersebut kongruen [16]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. C Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti No Tentukan langkah Pengembangan Buktinya! Pernyataan bisektor memotong di X A D B Alasan Aksioma bisektor sudut Aksioma Pasch Definisi bisektor sudut Definisi kongruensi sudut Teorema refleksif segmen Teorema Sd-Sd-S (No 1 5 & 6) Definisi kongruensi segitiga Teorema simetri segmen garis (Terbukti) Teorema berikut merupakan akibat dari teorema segitiga sama kaki convers teorema segitiga sama kaki. Suatu teorema yang diakibatkan dari teorema lain biasanya disebut sebagai Corolarry. Teorema tersebut adalah 22 _Buku Ajar GMKM

32 Teorema (Teorema Segitiga Sama Sisi) Jika suatu segitiga adalah sama sisi maka segitiga tersebut sama sudut [20]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi Hipotesis segitiga sama sisi Konklusi segitiga sama sudut Menyusun rencana Akan dibuktikan segitiga sama sudut Ditunjukkan sudut dihadapan sisi yang kongruen adalah kongruen Menggunakan teorema segitiga sama kaki Menulis Bukti C Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti sama sisi A sama sudut Menurut definisi segitiga sama sisi bahwa. Kemudian dengan teorema segitiga sama kaki didapat. Definisi segitiga sama sisi juga dapat diperoleh serta dengan teorema segitiga sama kaki didapat juga bahwa. Dari digunakan teorema transitif sudut dapat diperoleh dapat disimpulkan bahwa. Dengan definisi segitiga sama sudut dapat dinyatakan bahwa sama sudut. (Terbukti). B Validasi bukti di samping dengan mengecek runtutan serta kebenaran pernyataan alasan yang disajikan! Buku Ajar GMKM_ 23

33 Teorema (Teorema Segitiga Sama Sudut) Jika sebuah segitiga adalah sama sudut maka segitiga tersebut sama sisi [28]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti sama sudut sama sisi sama sudut Validasi bukti di samping dengan memberikan alasan pada setiap pernyataan yang telah disajikan di samping serta anak panahnya! 24 _Buku Ajar GMKM sama sisi

34 Latihan Bab 3 Untuk soal no. 1-4 Perhatikan gambar di bawah! Isilah titik-titik berikut berikan alasan menggunakan teorema apa! 1. Jika 2. Jika 3. Jika 4. maka Jika maka maka maka Untuk soal no pada masing-masing pernyataan katakan kondisinya dengan kag selalu atau tak pernah benar. Dukung jawaban anda dengan sketsa gambar! 5. Segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki 6. Sudut puncak dari segitiga sama kaki kongruen dengan sudut kakinya 7. Segitiga sama kaki adalah segitiga siku-siku 8. Segitiga sama sisi segitiga tumpul kongruen 9. Sudut kaki segitiga sama kaki adalah sudut tumpul 10. Segitiga sama kaki adalah segitiga lancip Untuk soal no. 11 berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a b serta Validasi bukti a b 11. Jika Bukti a. No maka Pernyataan sama kaki sama kaki Alasan Teorema simetri segitiga Definisi kongruensi segitiga Convers teorema segitiga sama kaki Definisi kongruensi segmen Definisi segitiga sama kaki (Terbukti) Buku Ajar GMKM_ 25

35 Bukti b. Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya) 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b Definisi kongruensi segitiga Definisi kongruensi segitiga Definisi kongruensi segitiga sama kaki Definisi segitiga sama kaki Untuk soal no. 12. Konstruk bukti no 11 di atas dengan pembuktian yang beda Untuk soal no Konstruk buktinya 13. Jika pada 14. Jika miring 26 _Buku Ajar GMKM titik tengah maka adalah segitiga siku-siku sama kaki maka sama kaki titik tengah sisi

36 Jarak Proyeksi Bisektor Tegaklurus Apa ini??? Bercermin merupakan penggambaran nyata tentang proyeksi. Pada geometri disini yang dimaksud adalah proyeksi ortogonal. Segkan jenis lain dari proyeksi adalah proyeksi sentral contohnya adalah seperti pada LCD OHP dll. Seperti halnya pada subbab teorema segitiga sama kaki sama sisi subbab ini juga termasuk penerapan dari kongruensi segitiga. Artinya dengan menggunakan kongruensi segitiga dapat membuktikan beberapa teorema yang terkait tentang proyeksi bisektor tegaklurus ketunggalan. Tetapi sebelum mempelajari tentang teorema-teorema tersebut terlebih dahulu akan didefinisikan jarak proyeksi. C G P R F Q B D A E Dari dua obyek geometri tersebut ( ) dapat dibuat segmen garis yang menghubungkan dua obyek geometri tersebut. Segkan segmen garis hubung tersebut terdapat banyak kemungkinan segmen garis yang berbeda misalnya lain sebagainya. Dari beberapa segmen garis hubung tersebut obyek disebut sebagai jarak antara Konstruk Definisi jarak antara dua obyek!. Segkan definisi dari proyeksi tergambarkan seperti gambar di atas. Gambar di atas ada dimana letaknya di luar. Proyeksi pada pada gambar di atas adalah Segkan pada. serta. bukan proyeksi Buku Ajar GMKM_ Konstruk Definisi proyeksi titik di luar garis! 27

37 Berikut disajikan teorema pertama dalam subbab ini yaitu teorema proyeksi. Secara lengkap teorema tersebut adalah sebagai berikut Teorema (Teorema Proyeksi) Jika dua titik proyeksinya berjarak sama terhadap garis yang sama maka kedua titik tersebut berjarak sama terhadap titik-titik proyeksi yang satu terhadap yang lain [3]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi Hipotesis dua titik proyeksinya berjarak sama terhadap garis yang sama Konklusi kedua titik tersebut berjarak sama terhadap titik-titik proyeksi yang satu terhadap yang lain Menyusun rencana Saya akan membuktikan Tunjukkan Lengkapi langkah Mengembangkan Kerangka Bukti di samping! Dengan menggunakan Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom misalkan dipakai pada pembuktian teorema ini. Menulis langkah-langkah bukti 28 _Buku Ajar GMKM proyeksi proyeksi Buktikan di di serta berjarak sama serta berjarak sama

38 Bukti No Pernyataan ʹ proyeksi di ʹ ʹ siku-siku ʹ proyeksi di ʹ ʹ ʹ siku-siku siku-siku serta berjarak sama berpotongan di serta ʹ ʹ berjarak sama Alasan Definisi proyeksi Definisi tegaklurus Definisi proyeksi Definisi tegaklurus Teorema kongruensi sudut sikusiku Aksioma titik-garis Definisi segitiga siku-siku Definisi jarak Definisi kongruensi segmen garis Teorema refleksif segmen garis Teorema K-K no 12 & 13 Definisi kongruensi segitiga no 14 Definisi kongruensi segitiga no 14 Definisi kongruensi segitiga no 14 Teorema simetri sudut Teorema sudut berkomplemen Teorema perpotongan dua garis Definisi sudut Definisi sudut Aksioma Sd-S-Sd no & 22 Definisi kongruensi segitiga no 23 Definisi kongruensi segitiga no 23 Teorema sudut bertolak belakang Aksioma S-Sd-S no & 25 Definisi kongruensi segitiga no 27 Definisi kongruensi segmen Definisi jarak (Terbukti) Tulis kembali dengan model Bukti alir! Tiga teorema berikut berkaitan dengan bisektor segmen garis bisektor sudut tegaklurus. Teorema berikut adalah sebagai berikut Teorema (Teorema Dua Titik Berjarak Sama) Jika dua titik masingmasing berjarak sama dari titik ujung-titik ujung suatu segmen garis maka perpotongan garis persekutuannya merupakan bisektor tegaklurus segmen garis tadi [7]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti Buku Ajar GMKM_ 29

39 Untuk membuktikan bisector tegaklurus maka buktikan bahwa garis tersebut merupakan bisektor segmen tegaklurus segmen tersebut ke ke berjarak sama ke ke berjarak sama bisektor tegaklurus Buktikan Bukti bahwa ke ke berjarak sama serta berjarak sama. Menurut definisi jarak berarti bahwa ke. Berdasar garis Dan.. dikarenakan definisi kongruensi segitiga. Segkan didapatkan maka dengan aksioma S-S-S diperoleh bahwa hal ini maka dengan definisi sudut serta teorema refleksif segmen menurut teorema perpotongan dua garis juga berdasar definisi kongruensi segmen garis didapat ke berpotongan di. Dari dapat dituliskan bahwa karena teorema refleksif segmen garis. Dari dapat dikenakan aksioma S-Sd-S sehingga. Dari didapat bahwa dikarenakan definisi kongruensi segitiga. Kemudian dengan definisi segmen garis dari diperoleh bahwa. Jika berturut-turut menggunakan definisi titik tengah definisi bisektor segmen garis maka dapat disimpulkan bahwa bisektor dikarenakan aksioma garis. Dari bahwa bisektor pada gambar terlihat bersisihan maka dengan menggunakan teorema ketegaklurusan diperoleh bahwa Tulis kembali dengan model Bukti dua kolom!. Dan. Sudah diperoleh bahwa. Dan dengan aksioma garis maka bisektor disimpulkan bahwa bisektor tegaklurus. (Terbukti). maka dapat Teorema (Teorema Bisektor Tegaklurus) Jika suatu titik terletak pada bisektor tegaklurus segmen garis maka titik tersebut berjarak sama dari titik ujung-titik ujung segmen garis [20]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan 30 _Buku Ajar GMKM bisektor tegaklurus terletak pada ke ke berjarak sama

40 Bukti diketahui siku-siku Definisi tegaklurus Teorema berpotongan siku-siku terletak pada diketahui siku-siku siku-siku Definisi sudut Aksioma titik-garis siku-siku Definisi segitiga siku-siku bis. diketahui Definisi bisector segmen Definisi titik tengah Teorema refleksif segmen garis Definisi kongruensi segmen garis Definisi kongruensi segmen garis ke ke Definisi jarak Validasi bukti di samping dengan melengkapi pernyataan alasannya serta memberikan anak panah sebagai urutan buktinya! Definisi kongruensi segitiga berjarak sama (Terbukti) Buku Ajar GMKM_ 31

41 Teorema ini dengan rencana pengembangannya dapat disebut dengan Teorema Garis Bagi pada Segitiga Sama Kaki Garis bagi yang melalui titik sudut dua sisi kongruen pada segitiga sama kaki dapat disebut garis berat garis tinggi Teorema (Convers Teorema Bisektor Tegaklurus) Jika sebuah titik berjarak sama terhadap titik ujung-titik ujung sebuah segmen garis maka titik tersebut terletak pada bisektor tegaklurus segmen garis tersebut [21]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi Hipotesis sebuah titik berjarak sama terhadap titik ujung-titik ujung sebuah segmen garis Konklusi titik tersebut terletak pada bisektor tegaklurus segmen garis Menyusun rencana Saya akan membuktikan Tunjukkan Lengkapi langkah mengembangkan kerangka bukti di samping! Dengan menggunakan Menulis Bukti C Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti X A D B Buktikan bisektor tegaklurus Bukti No 1. Validasi serta lanjutkan pembuktian di samping sehingga menjadi bukti dua kolom yang benar! 32 _Buku Ajar GMKM serta berjarak sama Pernyataan serta sama bisektor berjarak Alasan Definisi kongruensi segmen garis Aksioma Pasch (Terbukti)

42 Latihan Bab 4 Untuk soal no. 1-3 Perhatikan gambar di bawah ini! Isilah titik-titik berikut menggunakan teorema apa? 1. Jika adalah bisektor tegaklurus maka berjarak sama dari 2. Jika serta 3. Jika berjarak sama dari berjarak sama maka maka berada pada Untuk soal no. 4-5 Pada masing-masing pernyataan katakan kondisinya dengan kag selalu atau tak pernah benar dukung jawaban anda dengan sketsa gambarnya! 4. Garis tinggi segitiga sama sisi adalah garis bisektor tegaklurus terhadap sisinya 5. Sinar bisektor tegaklurus terhadap sisi alas segitiga adalah sinar bisektor sudut puncaknya Untuk soal no. 6-7 Konstruk buktinya! 6. Diantara nomor 4 5 di atas jawaban yang kondisinya selalu benar. 7. Titik potong antar bisektor tegaklurus dari segitiga berjarak sama dari titik sudut segitiga tersebut Buku Ajar GMKM_ 33

43 Hubungan antar Sudut pada Segitiga Apa ini??? Kapal berukuran 585 meter lebar 95 meter dari kelas Barquentine ini dibangun di H.C. Stulchen & Sohn Hamburg Jerman Barat pertama diluncurkan pada tanggal 24 Januari 1953 pada bulan Juli nya dilayarkan ke Indonesia oleh taruna AL kadet ALRI. Setelah itu KRI Dewaruci yang berpangkalan di Surabaya ditugaskan sebagai kapal latih yang melayari kepulauan Indonesia juga ke luar negeri. Pada buku geometri yang lain pembuktian teorema ini dilakukan dengan menggunakan cara kesejajaran (dua garis yang sejajar) Teorema (Teorema Jumlah Ukuran Sudut Segitiga) Jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga sama dengan 1800 [17]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi Hipotesis ukuran sudut-sudut segitiga Konklusi jumlahnya sama dengan 1800 Menyusun rencana Akan dibuktikan jumlah ukuran sudut-sudutnya sama dengan 1800 Dapat ditunjukkan bahwa dapat dilukis dua sudut pada sudut yang lain sehingga ketiganya besuplemen Hal ini benar dengan menggunakan melukis cara aksioma S-Sd-S definisi suplemen Tulis langkah Menulis Buktinya! Bukti teorema (Teorema jumlah ukuran sudut segitiga) di atas secara sederhana dapat diilustrasikan dengan gambar di samping ini. Yaitu memotong setiap sudutnya menggabungkannya sehingga ketiga sudutnya bersuplemen. Sehingga untuk dapat menjelaskan kebenaran dari teorema jumlah ukuran sudut segitiga pada siswa tingkat dasar dapat lebih mudah. 34 _Buku Ajar GMKM

44 Teorema jumlah ukuran sudut segitiga tersebut sebagai dasar dalam menentukan kebenaran beberapa teorema berikut ini. Teorema (Teorema Kongruensi Sudut Segitiga) Jika dua sudut pada suatu segitiga adalah kongruen terhadap dua sudut segitiga yang kedua maka sudut yang ketiganya kongruen [14]. C A B Menulis Bukti R P Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti ; diketahui Teorema jumlah ukuran sudut segitiga diketahui Teorema jumlah ukuran sudut segitiga Aksioma simetri bilangan real diketahui diketahui Definisi kongruensi sudut Definisi kongruensi sudut Subtitusi Aksioma penambahan operasi penjumlahan (Terbukti) Definisi kongruensi sudut Unsur invers Validasi bukti di samping dengan melengkapi pernyataan alasannya serta memberikan anak panah sebagai urutan buktinya! Buku Ajar GMKM_ 35 Q

45 D Wiper atau pembersih kaca mobil di samping sering kita lihat. Dari C wiper tersebut dapat anda bayangkan pergerakannya pada saat membersihkan air pada kaca mobil tersebut. Dari pergerakan wiper tersebut A B dapat terlihat bahwa ada hubungan antara dengan. Hubungan antara sudut eksterior dengan dua sudut interior yang tidak bersisihan. Hubungan tersebut dinyatakan oleh teorema berikut Teorema (Teorema Ukuran Sudut Eksterior Segitiga) Ukuran sudut eksterior suatu segitiga adalah sama dengan jumlah ukuran sudut interiornya yang tidak bersisihan [16]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi Hipotesis ukuran sudut eksterior suatu segitiga Konklusi ukuran sudut tersebut sama dengan jumlah ukuran sudut interiornya yang tidak bersisihan Menyusun rencana Saya akan membuktikan ukuran sudut eksterior sama dengan jumlah ukuran sudut interiornya yang tidak bersisihan Akan ditunjukkan sudut eksterior dengan sudut interior yg bersisihan bersuplemen kemudian ditransitif dng jumlah ukuran sudut segitiga Dengan menggunakan definisi bersuplemen teorema jumlah ukuran sudut segitiga aksioma transitif Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti No _Buku Ajar GMKM 4 sudut eksterior Pernyataan 4 sudut eksterior Alasan

46 bersuplemen dengan ( 3 + 4) 3 ( ) 3 ( 4 + 3) 3 ( ) ( 3 3) ( 1 + 2) + ( 3 3) ( 1 + 2) + ( 3 3) ( 1 + 2) Teorema jumlah ukuran sudut segitiga Aksioma simetri bilangan real Gambar Definisi sudut-sudut bersuplemen Subtitusi no 4 ke no 6 Aksioma penambahan operasi pengurangan Aksioma komutatif bilangan real Aksioma assosiatif bilangan real Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur invers penjumlahan bilangan real Unsur identitas penjumlahan bilangan real (Terbukti) Validasi bukti di samping & Konstruk bukti yang lebih sederhana! Bukti teorema (Teorema ukuran sudut eksterior segitiga) tersebut secara sederhana dapat diilustrasikan pada gambar di samping. Ilustrasi pada gambar tersebut dengan memotong sudut yang tidak bersisihan dengan sudut eksterior yang akan dicari tersebut kemudian meletakkan potongan dua sudut tersebut ke sudut eksteriornya. Dapat terlihat bahwa ukuran sudut eksterior adalah sama dengan jumlah dua ukuran sudut interior segitiga yang tidak bersisihan dengan sudut eksterior tersebut. Teorema berikut ini membahas lebih lanjut tentang ciri khas dari segitiga siku-siku segitiga sama sisi. Teorema tersebut adalah sebagai berikut Teorema (Teorema Sudut Lancip Segitiga Siku-siku) Sudut-sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah berkomplemen [31]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti siku-siku di berkomplemen dengan siku-siku dengan definisi sudut siku-siku berarti 90. juga bahwa berarti karena teorema jumlah ukuran sudut segitiga. Pernyataan 90 disubtitusi Buku Ajar GMKM_ 37

47 pada maka dengan aksioma komutatif Aksioma penambahan operasi penjumlahan dapat diperoleh ( ) + ( 90 ) ( 90 ). Digunakan aksioma assosiatif ( + ) Tulis langkah Mengembangkan Kerangka Buktinya & Konstruk bukti yang lebih efektif! ( 90 ) ( 90 ). Kemudian jika berturut-turut unsur invers unsur identitas penjumlahan bilangan real serta penjumlahan bilangan real maka akan diperoleh bahwa Hal ini berarti bahwa berkomplemen dengan dikarenakan definisi sudut berkomplemen. (Terbukti). Teorema (Teorema Ukuran Sudut Segitiga Sama Sisi) Ukuran sudut segitiga sama sisi adalah 600 [8]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. C Menulis langkah-langkah bukti A B Buktikan Bukti sama sisi sama sisi diketahui Teorema jumlah ukuran sudut segitiga Definisi kongruensi sudut Definisi segitiga sama sisi Substitusi Penjumlahan biangan real Aksioma penambahan operasi pembagian Validasi bukti di samping! _Buku Ajar GMKM Unsur invers perkalian bilangan real Unsur identitas perkalian bilangan real Pembagian bilangan real 60 (Terbukti)

48 Latihan Bab 5 Untuk soal no. 1-6 Perhatikan gambar di bawah! Isilah titik-titik berikut menggunakan teorema apa anda! Untuk soal no Lengkapi pernyataan berikut menggunakan selalu kag atau tak pernah! 7. Segitiga sama kaki adalah segitiga sama sisi 8. Segitiga tumpul adalah segitiga sama kaki 9. Suatu sudut interior dari segitiga satu dari sudut yang bersisihan dengan sudut eksterior adalah bersuplemen 10. Sudut lancip dari segitiga siku-siku adalah berkomplemen 11. Segitiga memiliki sudut siku-siku sudut tumpul Untuk soal no. 12 berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a b serta Validasi bukti a b 12. Jika ukuran sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah 4 kali ukuran sudut lancip yang lain maka ukuran sudut lancip terkecil adalah 18 0 Bukti a. No Pernyataan siku-siku di Alasan Teorema sudut lancip segitiga siku-siku Definisi dua sudut berkomplemen Substitusi no.2 ke no.4 Buku Ajar GMKM_ 39

49 Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya) 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b (Terbukti) Bukti b. siku-siku di 90 karena definisi sudut siku-siku. pula bahwa 4. Dengan teorema ukuran sudut eksterior segitiga didapat Dari 90 4 disubtitusi ke diperoleh (4 + ) dikarenakan aksioma simetri bilangan real. Dengan penjumlahan bilangan real diperoleh Secara berturut-turut aksioma penambahan operasi pengurangan aksioma assosiatif bilangan real unsur invers unsur identitas penjumlahan maka diperoleh bahwa Kemudian dikenakan aksioma penambahan operasi pembagian unsur invers perkalian unsur identitas serta pembagian bilangan real dapat disimpulkan 18. (Terbukti). Untuk soal no. 13 & 14 berikut konstruksi buktinya! 13. Perhatikan gambar di bawah!. Jika 375. Maka Tentukan dari gambar di bawah ini! (6 5) (11 + 1) 40 _Buku Ajar GMKM

50 Ketidaksamaan pada Segitiga Apa ini??? Stadion Nasional Beijing secara resmi Stadion Nasional juga dikenal sebagai Sarang Burung adalah stadion di Beijing Cina. Stadion ini dirancang untuk digunakan di seluruh Olimpiade Musim Panas 2008 Paralimpiade. Terletak di Olympic Green stadion biaya US $ 423 juta. Desain diberikan kepada pengajuan dari Swiss arsitektur perusahaan Herzog & de Meuron. Lukislah segitiga tumpul sebarang serta beri nama pada segitiga tersebut! Kemudian dari segitiga tersebut tentukan sudut terbesar sisi terpanjangnya kemudian tentukan pula sudut terkecil sisi terpendek dari segitiga tersebut! C A B Sudut terbesar... Sisi terpanjang... Sudut terkecil... Sisi terpendek... Dari kegiatan tersebut dapat diketahui bahwa pada suatu segitiga sebarang terdapat hubungan antara sudut terbesar atau terkecilnya dengan sisi terpanjang atau terpendeknya. Hubungan tersebut disajikan pada dua teorema berikut Teorema (Teorema Dua Sisi Segitiga Tidak Kongruen) Jika dua sisi segitiga tidak kongruen maka sudut dihadapan sisi yang lebih panjang adalah sudut yang lebih besar [11]. Hati-hati pada penulisan tanda kurang dari dengan sudut < Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi Hipotesis dua sisi segitiga tidak kongruen Buku Ajar GMKM_ 41

51 Konklusi sudut dihadapan sisi yang lebih panjang adalah sudut yang lebih besar Menyusun rencana Saya akan membuktikan Akan ditunjukkan Lengkapi Mengembangkan Kerangka Buktinya! Dengan menggunakan Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti dua kolom. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti No Validasi bukti di samping! 42 _Buku Ajar GMKM dengan 1 > 2 Pernyataan > diperpanjang ke sehingga 1 > > > 1 > > Aksioma garis Alasan Aksioma titik garis Teorema ukuran sudut eksterior segitiga Dari no. 4 diketahui Teorema jumlah ukuran sudut pada segitiga Teorema segitiga sama kaki Definisi kongruensi sudut Subtitusi no. 7 ke 5 Definisi penjumlahan ukuran dua sudut Dari no. 9 Dari no (Terbukti)

52 Teorema (Teorema Dua Sudut Segitiga Tidak Kongruen) Jika dua sudut suatu segitiga tidak kongruen maka sisi-sisi dihadapan dari sudut-sudut tersebut tidak kongruen sisi dihadapan sudut yang lebih besar adalah lebih panjang [2]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti paragraf. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti dengan 1 > 2 > diperpanjang ke 1 > 2. sehingga 2 dikarenakan 1 aksioma garis karena aksioma garis-titik. Dengan menggunakan definisi kongruensi segmen maka simetri bilangan real. Dikarenakan serta karena aksioma maka teorema segitiga sama kaki. Kemudian dengan definisi penjumlahan ukuran dua segmen diperoleh bahwa disimpulkan bahwa > + dari pernyataan tersebut dapat. (Terbukti). Validasi bukti di samping Tulis kembali dengan model Bukti alir! Jika disajikan 3 segmen garis maka dengan menggunakan aksioma S-S-S dapat dilukis suatu segitiga. Tetapi tidak semua 3 segmen garis yang disajikan tersebut dapat dilukis menjadi suatu segitiga. Misal disajikan 3 ukuran segmen garis sebagai berikut (a) 5 cm 4 cm 2 cm (b) 5 cm 2 cm 2 cm (c) 5 cm 3 cm 2 cm. Dengan aksioma S-S-S dilukis sebagai berikut (a) (b) (c) Lukisan tersebut dimulai dari sisi terpanjang diikuti dua segmen garis berikutnya sampai bertemu pada satu titik dari gambar terlihat bahwa dua segmen garis yang lain tidak cukup panjang untuk membentuk suatu segitiga. Hal tersebut yang menjadi dasar teorema berikut Buku Ajar GMKM_ 43

53 Teorema (Teorema Jumlah Dua Sisi Segitiga) Untuk sebarang segitiga jumlah panjang sebarang dua sisinya adalah lebih besar daripada panjang sisi yang ketiga [1]. Menulis Bukti Memilih model bukti. Bukti alir. Menulis langkah-langkah bukti Buktikan Bukti Perpanjang sehingga + > + sama kaki Tulis langkah Mengembangkan Kerangka Bukti & Validasi bukti di samping! 44 _Buku Ajar GMKM > > + > + >

54 Pada gambar berikut ditunjukkan sebuah pintu yang terbuka terlihat bahwa terbentuk beberapa segitiga dengan dua sisi yang kongruen. Dan juga terlihat pula bahwa yang berubah-ubah sesuai dengan sebaliknya. Teorema (Teorema Ketaksamaan Sudut Apit) Jika dua sisi suatu segitiga masing-masing kongruen terhadap dua sisi suatu segitiga yang lain sudut apit dari segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga kedua maka sisi dihadapan sudut apit segitiga pertama lebih panjang daripada sisi dihadapan sudut apit segitiga kedua [28]. Mengembangkan Kerangka Bukti Mengidentifikasi hipotesis konklusi Hipotesis Konklusi Menyusun rencana dengan ; ; > > Saya akan membuktikan > Akan dilukis pada dengan ambil maka tunjukkan ambil pada bisektor tunjukkan. Dengan menggunakan Aksioma S-S-S S-Sd-S serta teorema jumlah dua sisi segitiga. Konstruk bukti di samping! Buku Ajar GMKM_ 45

55 Teorema (Teorema Ukuran Sudut Dihadapan Sisi) Jika terdapat dua segitiga dengan hanya dua pasang sisi-sisinya yang berkorespondensi Konstruk bukti Teorema ini! kongruen maka ukuran sudut dihadapan sisi yang tidak kongruen yang lebih panjang memiliki ukuran yang lebih besar [24]. Untuk membuktikan teorema tersebut gunakan suatu kontradiksi maka kontradiksi dari ukuran sudut dihadapan sisi yang tidak kongruen yang lebih panjang memiliki ukuran yang lebih besar adalah ukurannya tidak lebih besar. Berarti ada 2 kasus nantinya dalam mengkonstruk bukti kontradiksinya yaitu untuk yang sama dengan lebih kecil. Latihan Bab 6 Untuk soal no. 1-6 Daftar sisinya sudutnya berurutan dari terkecil ke terbesar! Untuk soal no. 7-9 Lengkapi pernyataan berikut menggunakan selalu kag 2 3 atau tidak pernah 1 7. Ukuran sudut eksterior segitiga lebih besar dari sudut interior yang tidak bersisihan 8. Sisi miring segitiga siku-siku lebih kecil dari sisi yang lain 46 _Buku Ajar GMKM

56 9. Ukuran sudut lancip yang satu dengan yang lain pada suatu segitiga adalah sama Untuk soal no. 10 berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a b serta Validasi bukti a b 10. Ukuran sudut eksterior segitiga lebih besar dari ukuran sudut interior yang tidak bersisihan Bukti a. 1 adalah sudut eksterior serta 2 3 adalah sudut interior yang tidak bersisihan dengan dikarenakan teorema jumlah ukuran sudut segitiga. Dengan menggunakan teorema sudut lancip segitiga siku-siku dapat diperoleh Dari pernyataan dapat disimpulkan bahwa 1 > 2 1 > 3. (Terbukti). Bukti b. No Pernyataan > 2 1 > 3 Alasan Teorema ukuran sudut eksterior segitiga Dari no.1 Dari no.1 (Terbukti) Untuk soal no. 11 & 12 Konstruksi bukti 11. Jika 12. Pada Maka adalah median dari > maka tumpul bisektor berpotongan dengan bisektor pada titik. lebih besar atau Buku Ajar GMKM_ 47

57 Daftar Soal Pendalaman & Pengayaan Untuk soal no. 1-4 Tentukan apakah benar atau salah masing-masing pernyataan berikut jika ABC DEF Dan dua sisi kongruen dengan sisi maka Untuk soal no. 5-8 Dalam membuktikan dua segitiga sebarang itu kongruen dapat menggunakan Aksioma S-Sd-S Aksioma Sd-S-Sd Aksioma S-S-S Teorema Sd-Sd-S. Tentukan dari empat cara tersebut mana yang dapat digunakan dalam membuktikan ABC PQR jika diketahui sbb Dan dua segitiga tersebut segitiga sama kaki dengan salah satu kakinya 8. Dan dua segitiga tersebut segitiga sama kaki dengan salah satu kakinya 9. Dengan perintah yang sama seperti di atas bagaimana membuktikan jika diketahui sbb a. b. adalah titik tengah d. bisektor c. Untuk soal no Tentukan nilai x jika diketahui kondisi sbb _Buku Ajar GMKM (3 2) 3 60

58 Untuk soal no Tentukan titik berikut dengan < > atau Jelaskan! B 32 M D A 16. K Q L N P C 22 J S U 1 1 T R Untuk soal no berikut sudah disajikan langkah menulis buktinya tentukan langkah mengembangkan kerangka bukti a b serta Validasi bukti a b C 3 4 Buktikan 1 A Bukti a. F 3 B 4 D 2 E Dengan menggunakan definisi kongruensi sudut dapat diperoleh dikarenakan teorema ukuran sudut eksterior segitiga. 3 4 disubsitusi ke sehingga ( + 4) + ( 4) ( + 4) + ( 4) karena aksioma penambahan operasi penjumlahan. Kemudian secara berturut-turut digunakan aksioma assosiatif unsur identitas unsur invers penjumlahan bilangan real maka dapat diperoleh. Dan karena definisi kongruensi sudut.. Lalu segmen. Dan ( ) + ( definisi kongruensi segmen karena definisi penjumlahan ukuran dua )( + ) karena aksioma ) + ( Ingat bahwa validasi itu adalah 1) membaca 2) melengkapi jika ditemukan kekeliruan (baik dari segi keruntutatnnya atau kebenarannya) 3) membandingkan keefektifan bukti a dengan bukti b penambahan operasi penjumlahan. Kemudian secara berturut-turut digunakan aksioma assosiatif unsur invers unsur identitas penjumlahan bilangan real maka dapat diperoleh. Dan 1 2 dikarenakan definisi kongruensi segmen. Dari dengan teorema Sd-Sd-S maka Dengan definisi kongruensi segitiga dapat disimpulkan bahwa.. (Terbukti) Buku Ajar GMKM_ 49

59 Bukti b. 1 2 pada gambar jelas bahwa bersuplemen dengan 2. Maka dengan menggunakan teorema sudut bersuplemen dapat dikatakan bahwa kongruensi segmen. Lalu. + karena definisi penjumlahan ukuran dua segmen ( bersuplemen dengan 1 ) + ( + )( + ) + ( + definisi + +. Dan ) karena aksioma penambahan operasi penjumlahan. Kemudian secara berturut-turut digunakan aksioma assosiatif unsur invers unsur identitas penjumlahan bilangan real maka dapat diperoleh. Dan didapat bahwa bahwa dikarenakan definisi kongruensi segmen. Dari serta diketahui 3 4 maka dapat digunakan aksioma Sd-S-Sd. Dengan definisi kongruensi segitiga dapat disimpulkan. (Terbukti) 20. Alas ABC yaitu BC diperpanjang sampai di D. Bisektor B ACD berpotongan di titik E. Dapatkah ditunjukkan bahwa ue ua. Bukti a. 4 5 No _Buku Ajar GMKM Pernyataan bisektor 4 5 bisektor ( 1 + 2) + ( 4 + 5) ( 1 + 1) + ( 5 + 5) (2 1) ( + 2 5) ( ( ) + 2 5) (2 5) ( + 5) + ( 5) ( 5) + 5 Alasan Definisi bisektor sudut Definisi bisektor sudut Teorema simetri sudut Teorema ukuran sudut eksterior segitiga Definisi penjumlahan ukuran dua sudut Subtitusi no. 2 5 ke 7 Penjumlahan bilangan real Aksioma penambahan operasi pembagian Aksioma assosiatif perkalian bilangan real Unsur invers perkalian Unsur identitas perkalian Aksioma simetri Aksioma transitif no Mengapa? Sifat assosiatif perkalian Unsur invers perkalian Unsur identitas perkalian Aksioma penambahan operasi pengurangan

60 ( 5) ( 5 + 5) Sifat assosiatif penjumlahan Unsur invers penjumlahan Unsur identitas penjumlahan (Terbukti) Bukti b. bisektor bisektor ( 1 + 2) + ( 4 + 5) 2 1 ( 1 + 1) + ( 5 + 5) ( + 5) ( ) 2 5 ( + 2 5) ( ) + ( ) 1 1 (2 ) ( ) Buku Ajar GMKM_ 51

61 Untuk soal no Konstruk bukti permasalahan 19 & 20 dengan pembuktian yang berbeda. Untuk soal no Konstruksi bukti 23. Buktikan dua segitiga siku-siku kongruen jika salah satu kaki tegak salah Soal no 23 sd 26 di samping biasanya berturut-turut dikenal sebagai Teorema K-Sd Teorema M-Sd Teorema Bisektor Sudut Convers Teorema Bisektor Sudut satu sudut lancip pada segitiga pertama kongruen dengan salah satu kaki tegak sudut lancip pada segitiga kedua. 24. Buktikan dua segitiga siku-siku kongruen jika sisi miring salah satu sudut lancip pada segitiga pertama kongruen dengan sisi miring salah satu sudut lancip pada segitiga kedua. 25. Buktikan bahwa jika suatu titik pada bisektor sudut maka titik tersebut berjarak sama ke kaki dari sudut tersebut. 26. Buktikan bahwa jika suatu titik interior sudut titik tersebut berjarak sama dari kaki sudutnya maka titik tersebut terletak pada bisektor sudut Buktikan 28. Dari gambar no. 27 di atas diketahui Buktikan bisektor 2 Buktikan 30. Buktikan titik tengah Buktikan 52 _Buku Ajar GMKM titik tengah 2 1

62 32. Buktikan 33. Buktikan 34. Buktikan C C bisektor D 4 D B C E A C E F bisektor Buktikan B A E D F 1 3 B 2 B A 36. Diberikan sebuah segitiga sama kaki dengan bisektor dari masing-masing sudut alasnya. Buktikan bahwa garis yang digambar dari titik puncak segitiga itu melewati titi potong bisektor tersebut akan tegak lurus pada alas segitiga tersebut. 37. Diberikan dua garis tinggi pada dua sisi segitiga sama sisi. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik sudut ketiga dengan titik potong dua garis tinggi itu merupakan bisektor tegak lurus dari sisi ketiga itu. 38. Pada gambar di samping ini diketahui 70 adalah garis tinggi 40. Berapakah D. B Buku Ajar GMKM_ 53 A C

63 39. Pada gambar di samping ini 2. Buktikan bahwa sama kaki dengan siku-siku Pada gambar di samping ini A D B C A B E C D. Buktikan bahwa ke B D. 180 ( + ). 44. F bisektor. > > > 45. segi empat Buktikan U R T pada segitiga lancip + Buktikan 54 _Buku Ajar GMKM jika diperpanjang berpotongan di titik. Dapatkah ditunjukkan titik. Buktikan E. dengan adalah sudut tumpul. Garis tinggi ke 43. Garis tinggi ke sisi C F bahwa A 90 + adalah bisektor bisektor 41. Pada gambar berikut ini Apakah dengan diagonal adalah sudut siku-siku > S berpotongan di

64 Daftar Pustaka [1]. Altshiller N. & Court College Geometry. New York Dover Publications Inc. [2]. Brumfiel C. F. Eicholz R. E. & Shanks M. E Geometry. London Addison-Wesley Publishing Company Inc. [3]. Cifarelli V. Gloag A. Greenberg D. Sconyers J. & Zahner B Geometry. CK-12 Foundation. [4]. Cirillo M. & Herbst P. G Moving toward more authentic proof practice in geometry. Journal The Mathematics Educator Vol. 21 No [5]. Coxford A. F. and Usiskin Z. P Geometry A Transformation Approach. Illinois Laidlaw Brothers Publishers. [6]. Fuat Modul Geometri 1. Pasuruan STKIP PGRI Pasuruan. [7]. Gantert A. X Geometry. New York AMSCO School Publication Inc. [8]. Geometry McDougal Littell. Dari Nexuslearning (Online) (http// http// diakses tanggal 12 Juni [9]. Gibilisco S Geometry Demystified. McGraw-Hill Companies. [10]. Greenberg M. J Euclidean and Non-Euclidean Geometries Development and History. New York W. H. Freeman and Company. [11]. Herzog D. A Geometry. New Jersey Wiley Publishing Inc. [12]. Jurgensen R. C. Brown R. G. & Jurgensen J. W Geometry Students Edition. McDougal Littell. [13]. Kohn Ed Geometry. New York Hungry Minds Inc. [14]. Koberlein G. M. & Alexander D. C Elementary Geometry for College Students. Canada Brooks/Cole Cengage Learning. [15]. Kusno Geometri. Jember Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember. [16]. Larson R. Boswell L. Kanold T. D. & Stiff L Geometry. Evanston McDougal Littell A Division of Houghton Mifflin Company. [17]. Leff L. S Barrons Regents Exams and Answer Geometry. New York Barron s Educational Series Inc. Buku Ajar GMKM_ 55

65 [18]. Lewis H Geometry A Contemporary Course. Canada D. Van Nostrand Company Inc. [19]. Mulyati S. Geometri Euclid. Malang Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Malang. [20]. Musser G. L. Trimpe L. E. & Maurer V. R College Geometry A Problem-Solving Approach with Application. New Jersey Pearson Education Inc. [21]. Prenowitz W. & Jor M Basics Concept of Geometry. London Blaisdell Publishing Company. [22]. Purwanto Argumen Valid. Yogyakarta Aditya Media Publisihing. [23]. Rich B Geometri (Wibi Hari Ed.). Jakarta Penerbit Erlangga. [24]. Serra M Discovering Geometry An Investigate Approach. Key Curriculum Press. [25]. Soewardi Melukis Bentuk Geometri. Jakarta Penerbit PT Gramedia. [26]. Staff of Research & Education Association Problem Solvers Geometry Plane-Solid-Analytic. New Jersey Research & Education Association Inc. [27]. Sova D. B How to Solve Word Problems in Geometry. New York McGraw-Hill. [28]. Wallace E. C. & West S. F Roads to Geometry. New Jersey Prentice Hall Inc. [29]. Wentworth G. & Smith D. E Plane Geometry. Boston Ginn and Company. [30]. Wheater C Geometry. McGraw-Hill Companies. [31]. http//dragonometry.net/geometry/geometry_holt_pages.php 56 _Buku Ajar GMKM

66 Glosarium Aksioma pernyataan-pernyataan atau hukum-hukum dasar yang secara umum kebenarannya dapat diterima tanpa perlu dibuktikan. Big termasuk undefined digambarkan dengan segiempat. Bisektor Segmen Garis garis yang memotong segmen garis pada titik tengahnya. Bisektor Sudut sinar sedemikian sehingga titik pangkalnya titik sudut itu membentuk dua sudut yang sama ukurannya dengan kaki sudut semula. Convers implikasi menjadi Corolarry teorema yang diakibatkan teorema lain Daerah Segitiga gabungan himpunan titik-titik yang termuat pada segitiga interiornya. Disjungsi penghubung proposisi yang nilainya salah apabila kedua proposisi keduanya salah jika tidak proposisi tersebut bernilai benar. Deduktif membuat bentuk khusus dari bentuk umum (general) Definisi istilah yang digunakan dalam sistem bukan istilah dasar dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar. Eksterior himpunan titik-titik yang tidak terletak pada sisi bangun interiornya. Eksistensi Ketunggalan terdapat satu hanya satu. Garis termasuk undefined digambarkan dengan sebuah coretan yang lurus. Garis Bagi lihat bisektor segmen garis. Garis Berat segmen garis yang ditarik dari sembarang titik sudutnya ke titik tengah sisi dihadapan sudut tadi. Garis Tinggi segmen garis yang ditarik dari sembarang titik sudutnya tegak lurus terhadap sisi dihadapannya. Hipotesis bagian teorema yang mendasari dalam membuktikan teorema tersebut. Interior himpunan titik yang terletak di daerah dalam suatu bangun. Implikasi penghubung proposisi yang nilainya salah apabila nilai masingmasing proposisi benar salah jika tidak proposisi tersebut bernilai benar. Jarak ukuran segmen garis hubung terpendek diantara dua bangun. Konjungsi penghubung proposisi yang nilainya benar apabila kedua proposisi keduanya benar jika tidak proposisi tersebut bernilai salah. Kongruen ukurannya sama. Kongruensi lihat kongruen. Konklusi bagian teorema yang akan dibuktikan. Konstruk membangun sendiri Kontradiksi pernyataan majemuk yang nilainya selalu salah bagaimanapun nilai komponen-komponennya. Korespondensi pemasangan anggotaanggota dari dua himpunan yang berbeda. Negasi proposisi yang nilai kebenarannya kebalikan dari nilai kebenaran dari proposisi yang lain. Pembuktian mencari kebenaran dari pernyataan dengan membangun silogisme dengan pernyataanpernyataan yang lain yang bernilai benar. Postulat lihat aksioma. Buku Ajar GMKM_ 57

67 Proyeksi penarikan garis tegak lurus titik-titik suatu bangun terhadap suatu big. Refleksif dibanding dengan dirinya sendiri. Ruas Garis himpunan titik-titik dari garis yang memuat titik paling ujung semua titik diantara titik ujung tersebut. Segitiga poligon yang mempunyai tiga sisi. Segitiga Sama Sisi segitiga yang ketiga sisinya kongruen. Segitiga Sama Kaki segitiga dimana dua sisinya kongruen. Segitiga Sama Sudut segitiga yang ketiga sudutnya kongruen. Segitiga Siku-siku segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku. Segitiga Lancip segitiga yang ketiga sudutnya lancip. Segmen Garis lihat ruas garis. Sinar himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari titik pangkal sinar garis semua titik pada sisi yang sama terhadap titik pangkalnya. Sinar berlawanan dua sinar berlainan pada garis yang sama mempunyai titik pangkal yang sama. Simetri posisi kesamaan atau kongruensi dua obyek yang dapat dipertukarkan Sudut himpunan titik dari gabungan dua sinar yang kedua titik pangkalnya berserikat tapi tidak terletak pada garis yang sama. Sudut Berkomplemen beberapa sudut yang jumlah ukurannya 90. Sudut Bersuplemen beberapa sudut yang jumlah ukurannya 180. Sudut Bertolakbelakang dua sudut sedemikian sehingga kaki-kaki sudut yang satu merupakan sinar-sinar berlawanan dengan kaki-kaki sudut kedua. Sudut Bersisihan dua sudut yang mempunyai satu kaki sudut yang berserikat. Sudut Lurus sudut yang berukuran 180. Sudut Lancip sudut yang ukurannya lebih dari 0 kurang dari 90. Sudut Siku-siku sudut yang berukuran 90. Sudut Tumpul sudut yang ukurannya lebih dari 90 kurang dari 180. Tangent lihat garis singgung. Tegak Lurus membentuk sudut siku-siku. Teorema pernyataan yang belum jelas nilai kebenarannya. Titik termasuk undefined digambarkan dengan noktah/noda. Titik Tengah suatu titik pada segmen garis sedemikian sehingga ukuran dua segmen garis yang dibentuk oleh titik tersebut ke titik ujung segmen garis semula adalah sama. Transitif salah satu sifat dari penarikan kesimpulan pada operasi misal ; maka. 58 _Buku Ajar GMKM

68 Indeks B Bisektor Tegak lurus E Eksistensi Garis tegak lurus 26 Ketunggalan 26 I Interior Segitiga 16 J Jarak 20 Jumlah Dua sisi Segitiga 34 Ukuran Sudut Segitiga 27 K Ketaksamaaan Sudut Apit 35 Kongruensi Segitiga 2 7 Segitiga siku-siku 1314 Sudut Segitiga 28 K-K 13 L Lukis Segitiga M M-K 14 P Pasch 16 Proyeksi 21 R Refleksif Segmen 4 Segitiga 3 Sudut 4 S S-S-S 12 S-Sd-S 8 Sd-S-Sd 10 Sd-Sd-S 15 Segitiga Kongruen 2 7 Tidak Kongruen Sama Kaki 17 Sama Sisi 18 Sama Sudut 19 Siku-siku 30 Simetri Segmen 5 Segitiga 4 Sudut 5 Sisi Kongruen 7 Segitiga Tidak Kongruen 32 Sudut Apit 35 Dihadapan Sisi 35 Eksterior Segitiga 29 Kongruen 7 Lancip Segitiga Siku-siku 30 Segitiga 27 Sama Sisi 31 Tidak Kongruen 33 T Tegaklurus 43 Titik Berjarak Sama 23 Diluar Garis 26 Pada Garis 26 Transitif Segmen 6 Segitiga 4 Sudut 6 U Ukuran Sudut dihadapan Sisi 35 Sudut Segitiga 27 Sudut Segitiga Sama Sisi 31 Sudut Eksterior Segitiga 29 Buku Ajar GMKM_ 59

69