GEOMETRI EUCLID D I S U S U N OLEH :

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "GEOMETRI EUCLID D I S U S U N OLEH :"

Transkripsi

1 GEOMETRI EUCLID D I S U S U N OLEH : SARI MEILANI ( ) TITIS SETYO BAKTI ( ) DEWI AYU FATMAWATI ( ) INKA SEPIANA ROHMAH ( ) KELAS II B MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PONOROGO TAHUN AJARAN 2011/2012

2 GEOMETRI EUCLID Geometri berasal dari Yunani, Geo dan Metri berarti tanah dan pengukuran.geo, cabang matematika yang mempelajari titikl, garis, bidang, dan benda-benda ruang tentang sifat dan ukurannya serta hubungannya. Pengertian Pangkal Definisi Postulat / Aksioma Dalil Euclides dari Aleksandria, kira-kira 300 tahun sebelum Masehi. Dalam bukunya pertama dimulai dengan 23 definisi, 5 Postulat, 5 Aksioma, dan 45 Dalil. Definisi definisi 1. Titik ialah yang tidak mempunyai bagian 2. Garis ialah panjang tanpa lebar 3. Ujung-ujung suatu garis yang terletak rata dengan titik-titik padanya 4. Sauatu garis lurus ialah garis yang terletak rata titik-titik padanya 5. Suatu bidsng adalah hanya mempunyai panjang dan lebar 6. Ujung-ujung suatu bidang adalah garis 7. Suatu bidang datar ialah suatu bidang yang terletak rata dengan garis-garis padanya 8. Suatu sudut datar ialah inklinasi ( kemiringan ) sesamanya dari 2 garis dalam 1 bidang datar yang bertemu dan tidak terletak pada suatu garis lurus

3 9. Jika garis-garis yang memuat sudut itu lurus, maka sudut itu disebut sudut garis lurus 10. Jika suatu garis lurus berdiri pada suatu garis lurus dan membuat sudut yang bersisilah sama, masing-masing sudut ini disebut siku-siku dan garis yang berdiri pada garis lainnya tadi disebut tegak lurus pada garis yang lain 11. Suatu sudut tumpul ialah sudut yang lebih besar dan dari suatu sudut siku-siku 12. Sudut lancip ialah sudut yang lebih kecil dari suatu sudut siku-siku 13. Sudut batas ialah ujungnya ( akhirnya ) sesuatu 14. Suatu bangun adalah sesuatu yang termuat dalam suatu batas atau beberap batas 15. Suatu lingkaran ialah suatu bangundatar yang termuat dalam 1 garis sedemikian, hingga semua garis lurus yang melalui suatu titik dalam bangun itu dan mengenai garis tadi sama panjang 16. Titik itu disebut titik lingkaran 17. Suatu garis tengah lingkaran ialah sebarang garis lurus yang melalui titik pusat dan pada kedua arahnya berakhir pada keliling lingkaran dan garis itu membagi 2 sama lingkaran itu 18. Suatu setengah lingkaran adalah bangun yang termuat dalam suatu garis tengah dan keliling lingkaran yang terbagi oleh garis tengah itu, titik pusat setengah lingkaran sama dengan titik pusat lingkaran 19. Bangun-bangun garis lurus ialah bangun-bangun yang termuat dalam (dibatasi oleh) garis-garis lurus. Bangun-bangun Inlateral ialah yang dibatasi oleh tiga, Quadrilateral dibatasi oleh 4 dan Multilateral dibatasi oleh lebih dari 4 garis 20. Dari bangun-bangun Trilateral (sisi tiga) suatu segitiga sama sisi ialah yang mempunyai 3 sisi sama, suatu segitiga sama kaki ialah yang hanya 2 sisinya sama dan suatu segitiga miring ialah semua sisinya tidak sam 21. Dan titik itu disebut titik pusat lingkaran 22. Selanjutnya dari bangun segitiga, suatu segitiga siku-siku yang mempunyai suatu sudut siku-siku, segitiga tumpul yang mempunyai sudut tumpul, segitiga lancip ketiga sudutnya lancip 23. Bangun-bangun sisi 4 yaitu suatu bujur sangkar yang sama sisi dan bersudut sikusiku. Suatu 4 persegi panjang yang bersudut siku-siku tetapi tidak bersudut sikusiku. Suatu jajargenjang yang sisinya dan sudutnya yang berhadapan sam. Tetapi tidak sama sisi dan tidak bersudut siku-siku, sisi empat yang lain dariini semua disebut trapesium. 24. Garis-garis lurus pararel ( sejajar ) ialah garis lurus yang terletak dalam suatu bidang datar dan jika diperpanjang tak terbatas pada ke-2 arahnya tidak akan bertemu pada arah yang manapun

4 Postulat postulat Hendaknya berikut dipostulatkan : 1. Menarik garis lurus dari sebarang tititk ke sebarang titik yang lain 2. Memperpanjang suatu ruas garis secara kontinu menjadi garis lurus 3. Melukis lingkaran dengan sebarang titik pusat dan sebarang jarak 4. Bahwa semua sudut siku siku adalah sama. 5. Bahwa, jika suatu garis lurus memotong 2 garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari 2 sudut siku-siku maka garis itu jika diperpanjang tak terbatas. Akan bertemu dipihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari 2 sudut siku-siku Pastikan akan memotong karena kurang dari 30 0

5 Aksioma aksioma 1) Benda-benda yang sama dengan suatu benda yang sama, satu sama lainnya juga sama. Jika A = C A = B B = C 2) Jika suatu yang sama ditambah dengan suatu yang sama, jumlahnya sama. A = B A + C = B + C 3) Jika suatu yang sama sikurangi dengan suatu yang sama maka sisanya sama. A = B A - C = B - C 4) Benda-benda yang berhimpit satu sama lain, suatu sama lainnya sama. 5) Seluruhnya lebih besar bagiannya. AB = CD Berimpit sama panjang dan semua unsurnya AOB < AOC AOC BOC 6) Suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya. Buku yang dipindah dari 1 tempat ke tempat yang lain tetap sama berbentuk buku

6 7) Setiap sudut mempunyai garis bagi. Tiap sudut bisa dibagi menjadi 2garis bagi Membagi 2 sudut sama sebar 8) Setiap sudut mempunyai titik pertengahan. A M B AM = BM 9) Setiap segmen garis dapat diperpanjang sehingga sama dengan luas garis yang diketahui. 10) Semua sudut siku-siku adalah sama atau semua sudut lurus adalah sama.

7 TEOREMA TEOREMA TEOREMA 1 Sudut-sudut bertolak belakang sama besar Diketahui : garis L dan M berpotongan di O. L M 2 1 o 3 4 Buktikan : <1 = <3 <2 = <4 1. Definisi 9 ( Jika garis garis yang memuat sudut itu lurus maka sudut itu disebut sudut garis lurus ) 2. <1 + <2 <3 + <4 <1 + <2 + <2 + <3 sehingga <1 = <3 3. Satu sama lain juga sama TERBUKTI

8 TEOREMA 2 Melukis sebuah segita sama sisi pada sebuah garis terbatas diketahui Diketahui : garis AB A B Buktikan : segitiga ABC sama sisi 1. Postulat 3 ( Melukis lingkaran dengan sembarang titik pusat dan sembarang jarak ) C A B 2. Melalui titik A ke B dapat dibuat sebuah lingkaran yang berpusat dititik A. 3. Melalui titik B ke A dibuat sebuah lingkaran yang berpusat dititik B. 4. Definisi 15 ( segitiga yang ketiga sisinya sama maka disebut segitiga sama sisi )

9 TEOREMA 3 Dua buah segitiga mempunyai 2 sisi dan sudut apitnya yang sama,sisi ketiganya adalah sama Diketahui : ABC dan DEF Buktikan : AC = DF, AB = DE, A = D BC = BF Bukti : Dengan cara kontradiksi, andai BC EF BC > EF, BC < EF a. Misal BC > EF b. Aksioma 4 ( benda benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama ) c. Aksioma 6 ( suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya ) d. ABC dipindah berhimpit dengan DEF e. Titik C terletak diperpanjang garis EF c F i. a D E b f. Akibatnya < BCA < EDF <A > <D g. Ada kontradiksi antara <A dan <D karena <A = <D h. Ada kontradiksi dengan kata lain BC > EF i. Aksioma 4 ( benda benda yang berimpit satu sama lain, satu sama lain sama ) j. Aksioma 6 ( suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya) k. ABC dipindah berhimpit dengan DEF l. Titik C terletak pada garis EF

10 TEOREMA 4 Dua buah segitiga mempunyai dua sudut dan satu sisi apitnya yang sama maka sisi yang lainnya adalah sama C F A B D E Diketahui : ABC = DEF Buktikan : A = D, C = F, AC = DF Buktikan AB = DE dan BC = EF Misal AB > DE 1. Aksioma 4 Benda benda yang berhimpit satu sama lain, satu sama lain sama 2. Aksioma 6 Suatu gambar geometri dapat dipindah tanpa mengubah bentuk dan besarnya D FC E 3. ABC dipindahkan berhimpit DEF 4. Akibatnya, Titik B terletak pada perpanjangan garis DE. <C > <F Kontradiksi dengan pernyataan <C = <F. > SALAH B Misal < D A F Titik B terletak digaris Akibatnya F > C Ada kontradiksi antara F dan C karena F = C < SALAH Pengandaian salah, maka = B E TERBUKTI

11 TEOREMA 5 Melalui suatu titik pada suatu garis pada tepat satu garis yang tegak lurus pada garis tersebut Diketahui : Suatu garis lurus AB dan satu titik pada garis tersebut Buktikan : Ada satu garis yang tegak lurus a. membuat satu garis lurus AB A m B b. Letakkan satu titik pada garis tersebut c. Menarik garis lurus dari sebarang titik ke sebarang titik lain ( Postulat 1 ) d. Definisi 10

12 TEOREMA 6 Melalui suatu titik diluar garis pada tepat satu garis yang tegak lurus pada garis tersebut Diketahui Ditanya : Suatu garis lurus PQ dan suatu titik diluar garis tersebut : Buktikan ada satu garis yang tegak lurus a. Membuat satu gurus lurus PQ P m Q b. Letakkan satu titik diluar garis tersebut c. Menarik garis lurus dari sebarang titik kesebarang titik lain d. Definisi 10

13 TEOREMA 7 Sebuah sudut diluar segitiga lebih besar dari salah satu sudut dalam yang tidak bersisisan dengan luar tersebut Diketahui : Garis AB yang diperpanjang hingga titik D ( Aksioma 9 ) Ditanya : Buktikan CBD > BAC CBD > ACB C E F A B D a. Menarik garis lurus dari titik B hingga titik C ( Postulat 1 ) b. Setiap segmen garis mempunyai titik pertengahan. Titik E dipertengahan garis BC sehingga BE = CE ( Aksioma 8 ) c. Tarik garis A ke E ( Postulat 1 ) d. Memperpanjang garis AE sampai titik F sehingga AE = EF ( Aksioma 9 ) e. Tarik garis dari C ke F ( Postulat 1 ) f. Tarik garis dari B ke F ( Postulat ) g. Perhatikan BEF dan ACE BEF dan AEC kongruen h. CAE = EFB dan ACE = EBF i. CBD ACE karena seluruhnya lebih besar dari baginya (Aksioma 5) TERBUKTI

14 TEOREMA 7.1 Dua buah garis sejajar dipotong oleh garis transversal maka : 1. Sudut sudut yang sehadap besarnya sama 2. Sudut dalam bersebrangan besarnya sama Diketahui : P 2 P 3 P 1 P 4 K Q 2 Q 1 Q 3 Q 4 m L Ditanya : Buktikan! i. P1 = Q1 ii. P3 = Q1 P2 = Q2 P4 = Q2 P3 = Q3 P4 = Q4 Penjelasan pertama : a. Misal Q4 > P4, maka K dan L akan membentuk sebuah segitiga, padahal K dan L sejajar ( Kontradiksi ) b. P1 + P4 = Q1 + Q4 = sudut garis lurus P4 = Q2 ( i.a ) P1 + Q4 Q4 = Q1 + Q4 Q4 ( Aksioma 3 ) c. Penjelasan selanjutnya sama. Penjelasan kedua : a. P3 + P4 = Q1 + Q4 = sudut garis lurus b. P3 + Q4 = Q1 + Q4 ( ii. A ) c. P3 + Q4 Q4 = Q1 Q4 ( Aksioma 3 ) P3 = Q1 d. Penjelasan selanjutnya sama. TERBUKTI

15 Definisi Suatu bentuk geometri dikatakan kongruen dengan bentuk lain bila ada korespondensi dan korespondensi tersebut mempunyai ukuran yang sama. Korespondensi antara dua segitiga merupakan kongruensi jika sudut-sudut yang berkorespondensi dan sisi-sisi yang berkorespondensi kongruen. Postulat Kesejajaran Euclid Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga jumlah sudut dalam sepihak dari transversal tersebut kurang dari 180, maka dua grais terseut akan berpotongan pada pihak dari transversal yang jumlah sudutnya kurang dari 180.

16 TEOREMA 8 Jika dua garis dipotong oleh suatu transversal sedemikian hingga sudut sudut dalam bersebrangan sama, maka dua garis itu adalah sejajar. Diketahui : Dua garis K dan L yang dipotong oleh suatu transversal garis M P K Q L Ditanya : Buktikan K L Dungun cara kontradiksi Misal K tidak L, maka K dan L akan berpotongan dititik C K P C L Q a. Titik P, Q, dan C membentuk suatu segitiga PQC b. Sudut diluar segitiga lebih besar dari sudut didalam segitiga yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut, P1 > Q1 dan Q4 > P4 c. Sudut bertolak belakang sama besar ( Teorema 1 ) P1 = P2, P1 = P3 Q1 = Q3, Q4 = Q2 Dari pemisalan garis tersebut dapat dilihat bahwa : P3 > Q1 P4 < Q2 Terbukti kontradiksi Karena K L adalah salah, maka TERBUKTI bahwa K L.

17 TEOREMA 9 Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis adalah sejajar Diketahui : Garis p dan garis q garis l, dan Berpotongan dititik m dan n Buktikan : p q Andai p q, maka akan berpotongan dititik s p q dititik m maka m1 = 90 q dititik n maka n1 = 90 m1 = n1 (fakta) lihat Δ msn n1 m1 (Teorema 7) KONTRADIKSI dengan yang diketahui, sehingga pengandaian salah Maka, p q TERBUKTI

18 Diketahui : Segitiga ABC Buktikan : A B 180 B C 180 A C 180 TEOREMA 10 Jumlah sembarang dua sudut dalam suatu segitiga kurang dari 180 (Postulat 1) (Aksioma 9) Garis diperpanjang sedemikian hingga (Aksioma 9) Menarik garis lurus dari titik B ke titik O sehingga (Postulat 1) B 1 B 2 B (sudut lurus) B 2 C (Teorema 7.1) B 3 A (Teorema 7.1) B 1 B 2 B B 2 B B 1 B 2 B C A 180 TERBUKTI Melalui titik C dapat dibuat garis yang sejajar C 1 C 2 C (sudut lurus) C 1 A (Teorema 7.1) C 3 B (Teorema 7.1) C 1 C 2 C C 1 C C 2 C 1 C A B 180 TERBUKTI diperpanjang sedemikian hingga Menarik garis lurus dari titik B ke titik O sehingga (Postulat 1) A 1 A 2 A (sudut lurus) A 2 C (Teorema 7.1) A 3 A (Teorema 7.1) A 1 A 2 A A 2 A A 1 A 2 A C B 180 TERBUKTI

19 TEOREMA 11 Diketahui : Segitiga ABC Buktikan : A B C 180 Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 Menarik garis lurus dari titik C ketitik yang lain sehingga (Postulat 1) Karena maka teorema sudut bersebrangan dapat diterapkan sehingga diperoleh C 1 BAC, C 2 ACB, C 3 BC Jadi, C1 C2 C3 180 TERBUKTI

20 TEOREMA 12 Sebuah segitiga jika dua sudutnya sama maka sisi didepan sudut sama Diketahui : Segitiga ABC A B Buktikan : = 1. Setiap sudut mempunyai garis bagi melalui C ditarik garis bagi sehingga memotong dititik D 2. Lihat ΔAD2C2 dan ΔBD1C1 C1 C2 (Aksioma 7 ) (Aksioma 4) A C2 D2 180 B C1 D1 180 A C2 D2 B C1 D1 D2 1 (Aksioma 2) Karena : C1 C2 D2 1 Sehingga ΔAD2C2 ΔBD1C1 (sudut, sisi, sudut) Maka, = TERBUKTI

21 TEOREMA 13 Sebuah segitiga jika dua sisinya sama maka sudut didepan sisi tersebut sama Diketahui : Segitiga ABC = Buktikan : A B 1. Tarik garis bagi dan titik C sehingga memotong garis dititik D (Aksioma 7) 2. Lihat ΔAD1C1 dan ΔBD2C2 C2 C1 (Aksioma 7 ) (Aksioma 4) Karena : C2 C1 Sehingga AD1C1 ΔBD2C2 (sisi, sudut, sisi) Maka, A B TERBUKTI

22 TEOREMA 14 Diketahui : Sebuah segitiga Tiga sudut dalam suatu segitiga sama A B C Buktikan : ketiga sisinya sama jika 3 sudut dalam suatu segitiga sama maka ketiga sisinya sama = = Bukti selanjutnya 1. Tarik garis bagi dari titik C ke titik D (Aksioma 7) Sehingga C 2 C 1 Maka membentuk 2Δ yaitu ΔACD dan ΔDCB 2. A B ( Diketahui ) C 1 C 2 (Aksioma 7) (Aksioma 4) 3. A C 1 D (T.11 ) B C 2 D A C 1 D 1 B C 2 D D 1 D 2 Jika C 1 C 2,, D 1 D 2 Sehingga ΔACD ΔDCB (sisi, sudut, sisi) Maka = TERBUKTI 1. Tarik garis dari titik B ke titik D (Aksioma 7) Sehingga B 1 B 2 Terbentuk 2 Δ yaitu ABD dan ΔDBC 2. A C ( Diketahui ) (Aksioma 4) B 1 B 2 (Aksioma 7) 3. A B 2 D (T.11 ) B B 1 D A B 2 D 2 C B 1 D D 2 D 1 Jika B 1 B 2,, D 1 D 2 Sehingga ΔABD ΔCBD (sisi, sudut, sisi) Maka = = TERBUKTI

23 TEOREMA 14.1 Jumlah ukuran sudut suatu segi-n dirumuskan dengan (n-2) 180 Diketahui : Tiga buah segi-n yaitu a. Segi empat jumlah ukuran sudut 360 b. Segi lima jumlah ukuran sudut 540 c. Segi enam jumlah ukuran sudut 720 Buktikan : Jumlah ukuran sudut suatu segi-n adalah (n-2) 180 Bukti a. Segi empat jumlah ukuran sudut 360 Menarik garis dari titik A ke C (Postulat 1) Dari gambar diatas diketahui bahwa segi empat merupakan gabungan dari 2 segitiga Berdasarkan teorema 10 maka jumlah sudut segi empat adalah TERBUKTI b. Segi lima jumlah ukuran sudut 540 Menarik garis lurus dari titik B ke titik F dan titik C ketitik E (Posulat 1) Dari gambar diatas diketahui bahwa segi enam merupakan gabungan dari empat segitiga Berdasarkan Teorema 10, maka jumlah sudut segi enam adalah TERBUKTI Menarik suatu garis dari titik A ke titik C dan dari titik E ke titik C Dari gambar diatas diketahui bahwa segi lima merupakan gabungan dari tiga segi tiga Berdasarkan teorema 10, maka jumlah sudut segi lima adalah c. Segi enam jumlah ukuran sudut 720 Dari pola diatas dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah ukuran suatu segi-n adalah (n-2) 180 TERBUKTI

24 SEGI EMPAT Trapesium Adalah Segi Empat Dengan Sepasang Sisi Yang Berhadapan Sejajar (Minimal Sepasang) Jajar Genjang Adalah segi empat dengan kedua pasang sisi yang berhadapan sejajar Persegi panjang adalah jajar genjang dengan ke empat sudutnya sikusiku Belah Ketupat Adalah Jajar Genjang Dengan Ke Empat Sisinya Kongkruen Bujur Sangkar Adalah Persegi Panjang Dengan Ke Empat Sisinya Kongkruen

25 TEOREMA 15 Diagonal jajaran genjang membentuk 2 segitiga yang konkruen Diketahui : Sebuah Jajar Genjang ABCD dan dan Adalah Diagonal Jajar Genjang Ditanyakan : Buktikan : 1) 2) 1) Perhatikan (Berimpit) (Sudut-Sudut Dalam bersebrangan) (Sudut-Sudut Dalam bersebrangan) (Sudut, Sisi, Sudut) 2) Perhatikan (Sudut-Sudut Dalam bersebrangan) (Sudut-Sudut Dalam bersebrangan) (Sudut, Sisi, Sudut)

26 Diketahui : TEOREMA 16 Sisi yang berhadapan pada jajaran genjang kongkruen Sebuah Jajar Genjang ABCD Ditanyakan : Buktikan : 1) 2) 1) Tarik garis lurus dari titik A ke titik C (Postulat 1) 2) AC adalah diagonal jajar genjang 3) Berdasarkan Teorema 15 ( Berimpit) 4) Karena semua yang berkrokuensi sama maka = dan =

27 TEOREMA 17 Sudut Sudut Yang Berhadapan Pada Jajar Genjang Adalah Kongkruen Diketahui : Sebuah Jajar Genjang ABCD Ditanyakan : Buktikan : 1) 2) 1) Menarik garis lurus dari titik B ke titik d (Postulat 1) 2) BD adalah diagonal jajar genjang 3) Berdasarkan Teorema 15 4) Karena semua berkrongkuensi sama maka 5) 6)

28 Diketahui : TEOREMA 18 Jika dua garis sejajar maka tiap dua titik pada satugaris berjarak sama terhadap garis lain Garis a garis b Titik C dan D di garis a Titik P dan Q di garis b Ditanyakan : Buktikan Jarak 1. jarak garis a ke b maka tegak lurus terhadap garis b 2. jarak garis a ke b maka tegak lurus terhadap garis b 3. (Teorema 9 Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis adalah sejajar) 4. CDQP adalah jajar genjang (Definisi Jajar Genjang)

29 Diketahui : TEOREMA 19 Diagonal-diagonal jajar genjang saling membagi 2 sama panjang JAJAR GENJANG ABCD dan adalah diagonal jajar genjang Ditanyakan : Buktikan Jarak Maka, (Sudut, Sudut, Sudut)Karena semua yang berkongruensi sama. Komplemen = 90 Suplemen = 180

30 Diketahui : TEOREMA 20 Tiap dua sudut yang berurutan pada jajar genjang saling bersuplemen Ditanyakan : Suatu Jajar Genjang ABCD Buktika A B 180 B C 180 C 180 A D 180 Perpanjang garis sampai E (Postulat 2) Perpanjangan garis sampai F (Postulat 2) Karena, maka A 2 B 1 (Sudut dalam bersebrangan) A 1 B 1 A 1 A (Sudut Pelurus) A 1 C (Teorema 17) B 1 C B 1 A (Sudut Pelurus) 1 (Teorema 17) C D C B (Sudut Pelurus) A 1 A 1 B 1 C D C B (Sudut Pelurus)

31 TEOREMA 21 Diketahui : Persegi panjang ABCD dan, diagonal persegi panjang ABCD Buktikan : = Diagonal persegi panjang kongruen = ( Berimpit ) = ( Teorema 16 ) A = B ( Definisi Persegi panjang ) ΔABD ΔABC ( sisi, sudut, sisi ) Semua yang berkongruensi sama, maka = TERBUKTI

32 TEOREMA 22 Jika kedua pasang sisi yang berhadapan dari suatu segi empat sejajar, maka segi empat itu adalah jajar genjang Diketahui : Segiempat ABCD dan Buktikan : ABCD Jajar genjang 1. Tarik garis dari titik A ke titik C ( Postulat 1 ) 2. (Berimpit) A2 C3 (Bersebrangan dalam) A1 C4 (Bersebrangan dalam) ΔABC ΔACD (sudut, sisi, sudut )Semua yang berkongruensi sama, maka ABCD Jajar Genjang (Teorema 15) TERBUKTI

33 TEOREMA 23 Diagonal belah ketupat saling tegak lurus Diketahui : Belah ketupat ABCD Buktikan : = = dan, diagonal belah ketupat O1 O2 (Tolak Belakang) O2 O4 (Tolak Belakang) O1 O2 180 (Garis Lurus) O1 O1 180 (Garis Lurus) 2 O1 180 O1, O2 O1 O2 (Teorema 13) O3 O4 (Teorema 13) O3 O4 180 (Berpelurus) O3 O3 180 (Berpelurus) 2 O3 180 O3, O4 O1 O2 O3 O4 maka (Definisi 10) TERBUKTI

34 TEOREMA 24 Diagonal belah ketupat merupakan garis bagi sudut-sudutnya Diketahui : Belah ketupat ABCD dan diagonal belah ketupat ABCD Buktikan : ACB = ACD Perhatikan ΔACB dan ΔACD (Berimpit) (Diketahui) (Diketahui) ΔACB ΔACD (sisi, sudut, sisi) Dua segitiga yang kongruen mempunyai sudut-sudut yang bersesuaian sama besar ΔABC ΔACD TERBUKTI

35 TEOREMA 25 Jika dua sisi dan suatu segi empat sejajar dan konguen, maka segi empat tersebut jajaran genjang Diketahui : Segi empat ABCD, Buktikan : ABCD Jajar genjang Tarik garis dari titik A ke titik C, sehingga terbentuk diagonal ABCD A1 C4 (Bersebrangan dalam) A2 C3 (Bersebrangan dalam) (Berimpit) ΔABC ΔACD ( sudut, sisi, sudut ) Sehingga ABCD Jajar genjang (Teorema 15) TERBUKTI

36 TEOREMA 26 Jika suatu segmen ditarik dari titik tengah dua sisi segitiga maka segmen tersebut sejajar dengan sisi yang ke tiga dan panjangnya setengah dari sisi yang ke tiga Diketahui : ΔABC (D titik tengah ) (E titik tengah ) Buktikan : f. (akibat kongruensi) g. (diketahui) h. (dari f dan g) 1. Perpanjangan garis sampai titik F sehingga 2. Tarik garis dari titik B ke tititk F a. E1 E2 (bertolak belakang) b. (diketahui) c. (dari 1) ΔDEC ΔFEB (sisi, sudut, sisi) d. F3 D4 (akibat kongruensi) i. (dari e dan h) j. ABFD jajar genjang (dari h dan I, Teorema 25) k. (dari j) e. (akibat kongruensi) l. ( bagian dari dan k)...(1)terbukti m. (diketahui) n. (dari j) o. (dari m dan n)...(2)terbukti

37 TEOREMA 27 Median suatu trapezium sejajar dengan sisi-sisi yang sejajar dan panjangnya setengah dari jumlah sisi-sisi yang sejajar Diketahui : Trapesium ABCD Buktikan : ) 1. Tarik garis dari titik D ke titik G melalui titik A 2. Perpanjangan garis sampai titik G Perhatikan ΔGFB dan ΔDFC a. F1 D2 (Teorema 1) b. (diketahui) c. B3 4 (Bersebrangan dalam) d. ΔGFB (sudut, sisi, sudut) Perhatikan ΔADG e. (akibat d) f. (Diketahui) g. (Teorema 26) h. ( bagian dari ) Teorema 26 i. ( atau dari definisi trapesium) j. + ) (Teorema 26) k. (dari d) l. + ) (dari j dan k) TERBUKTI

38 TEOREMA 28 Jika suatu garis sejajar terhadap suatu sisi segitiga dan membagi dua sama panjang sisi ke dua, maka membagi dua juga sisi yang ke tiga Diketahui: 1. ΔABC Buktikan : 1. Tarik garis titik E ke titik F dan G sehingga 2. Tarik garis titik C ke titik F sehingga a. ( ) b. (diketahui) c. DEFC jajargenjang (a dan b) d. ( ) e. ( ) f. AGED jajargenjang (d dan e) g. (Teorema 16 e) h. (Teorema 16 ) i. (Diketahui) j. (g,h, dan i) k. E1 E2 (Bertolak belakang) l. F3 B4 (Bersebrangan dalam) m. ΔCEF (sudut, sisi, sudut) n. (Akibat m) TERBUKTI

39 Diketahui : Trapesium ABCD Buktikan : TEOREMA 29 Jika suatu garis sejajar terhadap sisi yang sejajar, pada suatu trapezium dan membagi sama panjang. Salah satu sisi yang tidak sejajar maka akan membagi dua sama panjang sisi yang tidak sejajar lainya 1. Tarik garis titik C ke titik G sehingga 2. Tarik garis titik F ke titik H sehingga a. ( b. (Diketahui) c. EGCD Jajar genjang (a dan b) d. Diketahui e. ( ) f. AHFE Jajar genjang (d dan e) g. (Teorema 16 dari c) h. (Teorema 16 dari f) i. (Diketahui) j. C1 F2 (Sehadap) k. G3 H4 (Sehadap) l. (Akibat c) m. (Akibat f) n. ( ) o. ΔGFC (sudut, sisi, sudut) p. (Akibat o) TERBUKTI

40 TEOREMA 30 Ada tiga garis sejajar dipotong sebuah garis transversal, sedemikian hingga membuat perbandingan yang sama maka ada garis transversal lain yang memotong garis sejajar itu dengan perbandingan yang sama pula Diketahui : Buktikan : 1. Tarik garis titik D ke titik G sehingga 2. Tarik garis titik E ke titik H sehingga a. ( bagian dari, ) b. (Akibat 1) c. ABGD Jajar genjang (dari a dan b) d. ( bagian dari, ) e. (dari 2) f. BCHE Jajar genjang (dari d dan e) g. D1 E3 (Sehadap) h. G2 H4 (Sehadap) i. (dari b dan e, ) j. ΔGED (sudut, sisi, sudut) k. (akibat j) TERBUKTI

41 Diketahui : Δ ABC TEOREMA 31 Jika dua sisi suatu segitiga tidak kongruen, maka sudut-sudut dihadapan sisi itu tidak kongruen, dan sudut yang lebih kecil berhadap dengan sisi yang lebih pendek A D Buktikan : 1. A B, A D 2. Sudut yang kecil menghadap sisi yang pendek 1. Tarik garis dari titik C ke garis sehingga 2. Δ ADC sama kaki Maka, A D (Teorema 13) D1 B (Teorema 7) A B 3., menghadap A A B, maka menghadap B TERBUKTI

42 KESEBANGUNAN DEFINISI : Dua poligon dikatakan sebangun jika hanya jika sudut-sudut yang berkorespondens dari dua segitiga itu kongruen dan sisi-sisi yang berkorespondens merupakan proposional. Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang berkorespondens kongruen. Proposional adalah jika ada dua atau lebih perbandingan bernilai sama. Ilustrasi: Bukti : 1. (Siku-siku) 2. (Berimpit) 3. Karena, maka Perbandingan :

43 TEOREMA 32 A B C Jika dan hanya jika D BC, B 0 dan D 0 Teorema ini mempunyai dua pembuktian : PEMBUKTIAN PERTAMA Jika maka, B 0 dan D Kalikan BD TERBUKTI!! PEMBUKTIAN KEDUA Jika maka, B 0 dan D Dibagi BD TERBUKTI!!

44 TEOREMA 33 Tiga buah garis sejajar dipotong oleh dua garis transversal, maka garis pembagi transversal dengan perbandingan proposional. Diketahui : l m n Ditanya : Buktikan 1. : = : 2. : = : 1. Tarik garis sejajar dari titik B Lihat! ABCC adalah jajar genjang CC EE adalah jajar genjang 2. Lihat dan Maka (Berimpit)-(Aksioma 4) (Sehadap) (Sehadap) Sehingga dan sebangun TERBUKTI!!

45 TEOREMA 34 Jika suatu garis memotong bagian dalam (interior) suatu segitiga dg sejajar pada salah satu sisi maka garis tersebut membagi dari sisi yg lain secara proposional. Diketahui : - Ada - Garis l memotong bagian dalam dititik D dan E - Ditanya : Buktikan! Lihat dan (Berimpit)-(Aksioma 4) (Sehadap)-(Teorema 7.1) (Sehadap)-(Teorema 7.1) Sehingga, maka TERBUKTI!!

46 TEOREMA 35 Jika suatu garis memotong bagian dalam (interior) suatu segitiga dengan sejajar pada suatu sisi maka sisi-sisi lain dipotong garis tersebut menurut suatu korespondens Diketahui : - Ada - Garis l memotong bagian dalam dititik D dan E - Ditanya : Buktikan! 1. Tarik garis dari titik E sejajar (Sehadap)-(Teorema 7.1) (Sehadap) Maka Sehingga, maka 2. Lihat AFDE Maka AFDE adalah jajar genjang Sehingga (Teorema 16), TERBUKTI!!

47 TEOREMA 36 Garis bagi suatu segitiga membagi sisi dihadapannya menjadi segmen-segmen secara proposional dengan perbandingan sisi-sisi yang mengapit sudut (segitiga harus sama kaki). Diketahui : - Ada - - adalah garis bagi Ditanya :Buktikan! Lihat = (Aksioma 4) (Diketahui) (Diketahui) Sehingga (sisi, sudut, sisi), maka TERBUKTI!!

48 TEOREMA 37 Jika sudut-sudut suatu segitiga kongruen dengan sudut-sudut segitiga lain, maka dua segitiga tersebut sebangun. Diketahui : dan DEF Ditanya : Buktikan ABC DEF! 1. (Diketahui) 2. Buat x pada, sehingga = 3. Buat y pada, sehingga = 4. Tarik garis dari titik x ke titik y (Postulat 1) 5. (Sisi, Sudut, Sisi) 6. = 7. = 8. = 9. (Teorema 8) 10. = 11. Karena = dan =, maka = (Teorema 28) 12. = (Diketahui) 13. Buat s pada, sehingga = 14. Buat t pada, sehingga = 15. Tarik garis dari titik s ke titik t (Postulat 1) 16. (Sisi, Sudut, Sisi) 17. = 18. = 19. = 20. // 21. = (Teorema 28) 22. Karena = dan =, maka = Karena = =, maka ABC DEF

49 TEOREMA 38 Jika dua sudut suatu segitiga kongruen dengan dua sudut segitiga lain, maka kedua segitiga tersebut sebangun. Diketahui : dan DEF Ditanya : Buktikan ABC DEF! 1. Pada 2. Pada DEF (Teorema 10) (Teorema 10) Karena dan, maka Berdasarkan Teorema 37 (Sudut, Sudut, Sudut), maka ABC DEF

50 TEOREMA 39 Jika dua segitiga siku-siku mempunyai sudut lancip yang kongruen sudut lancip segitiga siku-siku yang kedua, maka kedua segitiga siku-siku tersebut sebangun. Diketahui : - dan XYZ - (Siku-Siku) - Ditanya : Buktikan ABC XYZ! 1. Pada 2. Pada (Teorema 10) (Teorema 10) Karena dan, maka Berdasarkan Teorema 37 (Sudut, Sudut, Sudut), maka ABC XYZ

51 TEOREMA 40 Jika suatu garis sejajar dengan salah satu sisi dari suatu segitiga dan menentukan segitiga kedua, maka segitiga kedua sebangun dengan segitiga awal. Diketahui : - - Ditanya : Buktikan ABC XYC! 1. Putar ABC Sebesar, sehingga (Aksioma 6) 2. (Bertolak Belakang) 3. (Sudut dlm bersebrangan) 4. (Sudut dlm bersebrangan) Berdasarkan Teorema 37 (Sudut, Sudut, Sudut), maka ABC XYC

52 TEOREMA 41 Jika satu sudut dari suatu segitiga kongruen dengan satu sudut dari segitiga lain, dan sisi sisi yang mengapit kedua sudut tersebut proporsional, maka kedua segitiga sebangun. Diketahui : dan DEF Ditanya : Buktikan ABC DEF! 1. Memindah DEF ke ABC (Aksioma 6) 2. Karena, maka berdasarkan Teorema (Sehadap) 4. (Berimpit) 5. (Sehadap) Karena ketiga sudut ABC dan DEF kongruen yang berdasarkan teorema 37, maka ABC DEF

53 TEOREMA 42 Jika sisi-sisi yang berkorespondensi dari dua segitiga proporsional, maka kedua segitiga kongruen. Diketahui : - - dan DEF Ditanya : Buktikan ABC DEF! 1. Mencari sisi sisi yang berkorespondensi dari perbandingan yang proporsional (Diketahui) 2. Karena, maka berdasarkan teorema 30 (Sehadap) (Sehadap) (Teorema 10) (Teorema 10) Karena dan, maka Karena sisi-sisinya memiliki perbandingan yang proposional dan ketiga sudutnya sama, maka ABC DEF

54 TEOREMA 43 Keliling dua segitiga kongruen proposional dengan sisi yang berkorespondens. Diketahui : dan DEC Kongruen proposional Ditanya : Buktikan! 1. Keliling = 2. Keliling = 3. TERBUKTI!!

55 Garis tinggi suatu segitiga adalah ruas garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga dan tegak lurus terhadap sisi dihadapannya. TEOREMA 45 Garis tinggi dua segitiga kongruen roposional dengan sisi yang berkorespondens. Diketahui : dan MNO kongruen proposional - adalah garis tinggi - adalah garis tinggi MNO - (Siku-siku) Ditanya : Buktikan! 1. Pindahkan MNO ke, sehingga garis berimpit dengan garis 2. Perhatikan ACD dan MOP! (Diketahui) (Diketahui) 3. Berdasarkan Teorema 38, maka ACD MOP, sehingga 4. Karena, maka TERBUKTI!!

56 Garis berat suatu segitiga adalah ruas garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga ke pertengahan sisi dihadapannya. Diketahui : TEOREMA 46 Garis berat dua segitiga kongruen proposional dengan pasangan sisi yang berkorespondens. dan MNO kongruen proposional - adalah garis berat - adalah garis berat MNO - - Ditanya : Buktikan! 1. Karena, maka 2. Karena = dan =, maka 3. Perhatikan Pindahkan dan, sehingga (Diketahui) (Dari 2) 4. Karena Berdasarkan Teorema 41, maka, sehingga, maka

57 TEOREMA 47 Garis tinggi ke sisi miring suatu segitiga menjadikan dua segitiga yang sebangun dengan segitiga asal. Diketahui : - Suatu - adalah sudut siku-siku - adalah garis dari garis tinggi ke sisi miring Ditanya : Buktikan, a. b. 1. Karena adalah segitiga siku-siku, maka garis, sehingga (Siku-siku) 2. Perhatikan (Siku-siku) (Berimpit) Berdasarkan Teorema 38, maka 3. Perhatikan (Siku-siku) (Berimpit) Berdasarkan Teorema 38, maka

58 TEOREMA PHYTHAGORAS Pada sebarang segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi lainnya. PEMBUKTIAN PERTAMA : Diketahui : 4 buah segitiga siku-siku yang sama Ditanya : Buktikan! 1. Susun 4 segitiga siku-siku seperti bujur sangkar berikut 2. LUAS Persegi dengan sisi c + 4 LUAS segitiga siku-siku = LUAS bujur sangkar dg sisi (a+b) TERBUKTI!!

59 PEMBUKTIAN KEDUA : Diketahui : - Suatu MNO siku-siku di M Ditanya : Buktikan! 1. Perpanjang garis menjadi (Postulat 2) sehingga 2. Tarik garis dari titik P ke titik Q (Postulat 1),, 3. Tarik garis dari titik Q ke titik O dan titik Q ke titik N (Postulat 1) 4. MNQP adalah Trapesium ( ) 5. adalah segitiga siku-siku (Sudut Pelurus) 6. LUAS trapezium MNQP = = = (1) 7. LUAS trapezium MNQP = LUAS 3 Segitiga = LUAS MNO + LUAS OPQ + LUAS NOQ = + + = = (2) 8. Dari persamaan (1) dan persamaan (2) diperoleh = TERBUKTI!!

60 PEMBUKTIAN KETIGA : Diketahui : - Sebuah siku-siku di A (Siku-siku) Ditanya : Buktikan! 1. Perhatikan (Siku-siku) (Berimpit) (Teorema 10) (Teorema 10) Karena, maka Dari analisis di atas, maka 2. Perhatikan (Diketahui) (Berimpit) (Teorema 10) (Teorema 10) Karena Karena, maka Dari analisis di atas, maka 3. Karena, maka (1) 4. Karena, maka (2) 5. Karena c = +, maka berdasar persamaan (1) dan(2) diperoleh c + TERBUKTI!!

50 LAMPIRAN NILAI SISWA SOAL INSTRUMEN Nama : Kelas : No : BERILAH TANDA SILANG (X) PADA JAWABAN YANG DIANGGAP BENAR! 1. Persegi adalah.... a. Bangun segiempat yang mempunyai empat sisi dan panjang

Lebih terperinci

SD kelas 6 - MATEMATIKA BAB 11. BIDANG DATARLatihan Soal 11.1

SD kelas 6 - MATEMATIKA BAB 11. BIDANG DATARLatihan Soal 11.1 SD kelas 6 - MATEMATIKA BAB 11. BIDANG DATARLatihan Soal 11.1 1. Perhatikan gambar di bawah ini! http://primemobile.co.id/assets/uploads/materi/123/1701_5.png Dari bangun datar di atas, maka sifat bangun

Lebih terperinci

SILABUS PEMELAJARAN. Indikator Pencapaian Kompetensi. Menjelaskan jenisjenis. berdasarkan sisisisinya. berdasarkan besar sudutnya

SILABUS PEMELAJARAN. Indikator Pencapaian Kompetensi. Menjelaskan jenisjenis. berdasarkan sisisisinya. berdasarkan besar sudutnya 42 43 SILABUS PEMELAJARAN Sekolah :... Kelas : VII (Tujuh) Mata Pelajaran : Matematika Semester : II (dua) GEOMETRI Standar Kompetensi : 6. Memahami konsep segiempat dan segitiga serta menentukan ukurannya

Lebih terperinci

Oleh : Sutopo, S.Pd., M.Pd. Prodi P Mat-Jurusan PMIPA FKIP UNS

Oleh : Sutopo, S.Pd., M.Pd. Prodi P Mat-Jurusan PMIPA FKIP UNS Oleh : Sutopo, S.Pd., M.Pd. Prodi P Mat-Jurusan PMIPA FKIP UNS Materi KKD I Konsep dasar geometri dan segitiga (termasuk teorema dan aksioma terkait) KKD II Poligon dan Lingkaran (sifat dan luas) KKD III

Lebih terperinci

Kajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas : 3A3 Tanggal Pengumpulan : 14 Desember 2015

Kajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas : 3A3 Tanggal Pengumpulan : 14 Desember 2015 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA TAHUN 2015 Mata Kuliah Dosen Pengampu : : Kajian Matematika SMP Palupi Sri Wijiyanti, M.Pd Semester/Kelas

Lebih terperinci

A. Pengantar B. Tujuan Pembelajaran Umum C. Tujuan Pembelajaran Khusus

A. Pengantar B. Tujuan Pembelajaran Umum C. Tujuan Pembelajaran Khusus Modul 4 SEGIEMPAT A. Pengantar Materi yang akan di bahas pada kegiatan pembelajaran ini terdiri atas pengertian berbagai macam segiempat: jajargenjang, belah ketupat, layang-layang dan trapesium. Disamping

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang digunakan pada bagian pembahasan. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai unsur-unsur kajian geometri, aksioma kekongruenan,

Lebih terperinci

IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2

IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2 IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2 ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 4/14/2012 KUMPULAN DEFINISI DAN AKSIOMA DALAM GEOMETRI Nama Definisi 2.1 Definisi 2.2 Definisi 2.3 Definisi 2.4 Definisi 2.5

Lebih terperinci

Pengertian Dan Sifat-Sifat Bangun Segi Empat 1. Jajaran Genjang

Pengertian Dan Sifat-Sifat Bangun Segi Empat 1. Jajaran Genjang Pengertian Dan Sifat-Sifat Bangun Segi Empat 1. Jajaran Genjang Jajaran genjang dapat dibentuk dari gabungan suatu segitiga dan bayangannya setelah diputar setengah putaran dengan pusat titik tengah salah

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Pertemuan 2 N.A

MATEMATIKA. Pertemuan 2 N.A MATEMATIKA Pertemuan 2 N.A smile.akbar@yahoo.co.id Awali setiap aktivitas dengan membaca Basmallah Soal 1 (Operasi Bentuk Aljabar) Bentuk Sederhana dari adalah a. b. c. d. Pembahasan ( A ) Soal 2 (Pola

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. B. Tujuan. D. Rumusan Masalah

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. B. Tujuan. D. Rumusan Masalah I PENDHULUN. Latar elakang Geometri (daribahasayunani, geo = bumi, metria = pengukuran) secaraharfiah berarti pengukuran tentang bumi, adalahcabangdarimatematika yang mempelajari hubungan di dalamruang.

Lebih terperinci

Modul 2 SEGITIGA & TEOREMA PYTHAGORAS

Modul 2 SEGITIGA & TEOREMA PYTHAGORAS Modul 2 SEGITIGA & TEOREMA PYTHAGORAS A. Pengantar Materi yang akan di bahas pada kegiatan pembelajaran ini terdiri atas pengertian segitiga, hubungan sisi-sisi segitiga, jenis-jenis segitiga ditinjau

Lebih terperinci

Geometri Ruang (Dimensi 3)

Geometri Ruang (Dimensi 3) Geometri Ruang (Dimensi 3) Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Kubus Tabung volume = a³ luas = 6a² rusuk kubus = a panjang diagonal = a 2 panjang diagonal ruang = a 3 r = jari-jari t = tinggi volume =

Lebih terperinci

DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI

DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI DALIL PYTHAGORAS DAN PEMECAHAN MASALAH GEOMETRI Segitiga 1. Beberapa sifat yang berlaku pada segitiga adalah : Jumlah sudut-sudut sembarang segitiga adalah 180 0 Pada segitiga ABC berlaku AC = BC B = A

Lebih terperinci

Geometri Dimensi Dua

Geometri Dimensi Dua Geometri Dimensi Dua Materi Pelatihan Guru SMK Model Seni/Pariwisata/Bisnis Manajemen Yogyakarta, 28 November 23 Desember 2010 Oleh Dr. Ali Mahmudi JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN

Lebih terperinci

UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI

UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana

Lebih terperinci

Geometri Bangun Datar. Suprih Widodo, S.Si., M.T.

Geometri Bangun Datar. Suprih Widodo, S.Si., M.T. Geometri Bangun Datar Suprih Widodo, S.Si., M.T. Geometri Adalah pengukuran tentang bumi Merupakan cabang matematika yang mempelajari hubungan dalam ruang Mesir kuno & Yunani Euclid Geometri Aksioma /postulat

Lebih terperinci

GEOMETRI EUCLID. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Dosen Pembimbing: Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si.

GEOMETRI EUCLID. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Dosen Pembimbing: Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si. GEOMETRI EUCLID Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Geometri Dosen Pembimbing: Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si. UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA FAKULTAS PASCA SARJANA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN

Lebih terperinci

MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT

MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT MENGGAMBAR BIDANG A. MEMBAGI GARIS DAN SUDUT 1. MEMBAGI GARIS a. Membagi garis menjadi 2 bagian yang sama panjang Membagi garis menjadi 2 bagian yang sama panjang menggunakan jangka dapat diikuti melalui

Lebih terperinci

Segiempat. [Type the document subtitle]

Segiempat. [Type the document subtitle] Segiempat [Type the document subtitle] [Type the abstract of the document here. The abstract is typically a short summary of the contents of the document. Type the abstract of the document here. The abstract

Lebih terperinci

Rasio. atau 20 : 10. Contoh: Tiga sudut memiliki rasio 4 : 3 : 2. tentukan sudut-sudutnya jika:

Rasio. atau 20 : 10. Contoh: Tiga sudut memiliki rasio 4 : 3 : 2. tentukan sudut-sudutnya jika: Rasio Rasio adalah perbandingan ukuran. Rasio digunakan untuk membandingkan besaran dengan pembagian. Misal dua segitiga memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda. Salah satu sisinya yang seletak

Lebih terperinci

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan

Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Beberapa Benda Ruang Yang Beraturan Kubus Tabung rusuk kubus = a volume = a³ panjang diagonal bidang = a 2 luas = 6a² panjang diagonal ruang = a 3 r = jari-jari t = tinggi volume = π r² t luas = 2πrt Prisma

Lebih terperinci

Dengan makalah ini diharapkan para siswa dapat mengetahui tentang sudut, macam-macam sudut, bangun datar dan sifat-sifat bangun datar.

Dengan makalah ini diharapkan para siswa dapat mengetahui tentang sudut, macam-macam sudut, bangun datar dan sifat-sifat bangun datar. BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Bagi setiap tingkatan kelas di sekolah dasar, pembelajaran geometri dapat dikategorikan kepada materi yang cukup sukar serta memerlukan pemahaman yang cukup tinggi.

Lebih terperinci

MAKALAH. Pembuktian Teorema Pythagoras

MAKALAH. Pembuktian Teorema Pythagoras MAKALAH Pembuktian Teorema Pythagoras Disusun Oleh: Kelompok 12 1. Muhammad Naufal Faris 12030174229 2. Weni Handayani 14030174003 3. Wahyu Okta Handayani 14030174024 4. Faza Rahmalita Maharani 14030174026

Lebih terperinci

PENGAYAAN MATERI OLIMPIADE MATEMATIKA SD GEOMETRI. Oleh : Himmawati P.L

PENGAYAAN MATERI OLIMPIADE MATEMATIKA SD GEOMETRI. Oleh : Himmawati P.L PENGAYAAN MATERI OLIMPIADE MATEMATIKA SD GEOMETRI Oleh : Himmawati P.L Soal matematika yang diujikan di sekolah-sekolah maupun di Ujian Nasional pada umumnya dapat diselesaikan dengan cara-cara biasa.

Lebih terperinci

Modul 3 SIMETRI, PERSEGIPANJANG, PERSEGI, DAN KESEJAJARAN GARIS

Modul 3 SIMETRI, PERSEGIPANJANG, PERSEGI, DAN KESEJAJARAN GARIS Modul 3 SIMETRI, PERSEGIPANJANG, PERSEGI, DAN KESEJAJARAN GARIS A. Pengantar Materi yang akan di bahas pada kegiatan pembelajaran ini terdiri atas pengertian simetri lipat, simetri putar, setengah putaran,

Lebih terperinci

BAB I TITIK DAN GARIS

BAB I TITIK DAN GARIS 1. Titik, garis, sinar dan ruas garis BB I TITIK DN GRIS Geometri dibangun atas dasar unsur-unsur yang tidak didefinisikan yaitu: titik, garis, dan bidang. Titik dipahami secara intuisi sebagai sebuah

Lebih terperinci

BAHAN BELAJAR: BANGUN DATAR. Untung Trisna Suwaji. Agus Suharjana

BAHAN BELAJAR: BANGUN DATAR. Untung Trisna Suwaji. Agus Suharjana BAHAN BELAJAR: BANGUN DATAR Untung Trisna Suwaji Agus Suharjana KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PPPPTK) MATEMATIKA YOGYAKARTA

Lebih terperinci

BAB 7 GEOMETRI NETRAL

BAB 7 GEOMETRI NETRAL BAB 7 GEOMETRI NETRAL Ilmuwan besar matematika ini lahir pada bulan April 1777, di Brunswick, Daerah duke Brunswick (sekarang Negara Jerman). Gauss tumbuh didalam keluarga yang agak sederhana, bukan kaya

Lebih terperinci

RINGKASAN MATERI MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS III SEMESTER 2 PEMBELAJARAN 1 PECAHAN SEDERHANA

RINGKASAN MATERI MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS III SEMESTER 2 PEMBELAJARAN 1 PECAHAN SEDERHANA MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS III SEMESTER 2 PEMBELAJARAN PECAHAN SEDERHANA. Pecahan - Pecahan Daerah yang diarsir satu bagian dari lima bagian. Satu bagian dari lima bagian artinya satu dibagi lima

Lebih terperinci

Menemukan Dalil Pythagoras

Menemukan Dalil Pythagoras Dalil Pythagoras Menemukan Dalil Pythagoras 1. Perhatikan gambar di bawah ini. Segitiga ABC adalah sebuah segitiga siku-siku di B dengan sisi miring AC. Jika setiap petak luasnya 1 satuan, tentukan luas

Lebih terperinci

PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP

PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP Dibuat untuk persiapan menghadapi UN 2012 PREDIKSI UN 2012 MATEMATIKA SMP Lengkap dengan kisi-kisi dan pembahasan Mungkin (tidak) JITU 12 1. Menghitung hasil operasi tambah, kurang, kali dan bagi pada

Lebih terperinci

Pendahuluan. 1.1 Latar Belakang

Pendahuluan. 1.1 Latar Belakang Pendahuluan 1.1 Latar elakang Geometri datar, merupakan studi tentang titik, garis, sudut, dan bangun-bangun geometri yang terletak pada sebuah bidang datar. erbagai mekanisme peralatan dalam kehidupan

Lebih terperinci

DASAR-DASAR GEOMETRI Suatu Pengantar Mempelajari Sistem-sistem Geometri

DASAR-DASAR GEOMETRI Suatu Pengantar Mempelajari Sistem-sistem Geometri DASAR-DASAR GEOMETRI Suatu Pengantar Mempelajari Sistem-sistem Geometri Budiyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Abstrak Dengan memandang geometri sebagai sistem deduktif,

Lebih terperinci

BAB 5 POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES

BAB 5 POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES BAB 5 POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES Leonhard Euler dilahirkan di Basel (Switzerland), pada tanggal 15 April 1707 di St Petersburg (Rusia).Keluarga Leonhard Euler pindah ke Riehen, daerah yang tidak jauh

Lebih terperinci

LINGKARAN SMP KELAS VIII

LINGKARAN SMP KELAS VIII LINGKARAN SMP KELAS VIII Oleh, Deddy Suharja Januari 2013 A. Pengertian Dan Unsur Unsur Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan ( locus ) titik titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Gambar

Lebih terperinci

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB XII BANGUN DATAR

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB XII BANGUN DATAR SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB XII BANGUN DATAR Dr. Djadir, M.Pd. Dr. Ilham Minggi, M.Si Ja faruddin,s.pd.,m.pd. Ahmad Zaki, S.Si.,M.Si Sahlan Sidjara, S.Si.,M.Si

Lebih terperinci

Inisiasi 2 Geometri dan Pengukuran

Inisiasi 2 Geometri dan Pengukuran Inisiasi 2 Geometri dan Pengukuran Apa kabar Saudara? Semoga Anda dalam keadaan sehat dan semangat selalu. Selamat berjumpa pada inisiasi kedua pada mata kuliah Pemecahan Masalah Matematika. Kali ini topik

Lebih terperinci

BAB 2 MENGGAMBAR BENTUK BIDANG

BAB 2 MENGGAMBAR BENTUK BIDANG BAB 2 MENGGAMBAR BENTUK BIDANG 2.1 Menggambar Sudut Memindahkan sudut a. Buat busur lingkaran dengan A sebagian pusat dengan jari-jari sembarang R yang memotong kaki-kaki sudut AB dan AC di n dan m b.

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA

BAB II KAJIAN PUSTAKA BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada Bab II ini akan diuraikan berbagai konsep dasar yang digunakan pada bagian pembahasan. Pada bab II ini akan dibahas pengenalan Geometri Non- Euclid, Geometri Insidensi, Geometri

Lebih terperinci

BUKU AJAR. Matakuliah : Pembelajaran Geometri di SD : 3 (tiga) Semester : Ganjil 2016/2017 Program Studi : Pendidikan Guru Sekolah Dasar. Akina.

BUKU AJAR. Matakuliah : Pembelajaran Geometri di SD : 3 (tiga) Semester : Ganjil 2016/2017 Program Studi : Pendidikan Guru Sekolah Dasar. Akina. BUKU AJAR Matakuliah : Pembelajaran Geometri di SD SKS : 3 (tiga) Semester : Ganjil 2016/2017 Program Studi : Pendidikan Guru Sekolah Dasar Oleh: Akina PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN KELAS EKSPERIMEN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN KELAS EKSPERIMEN LAMPIRAN Standar Kompetensi RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN KELAS EKSPERIMEN Nama Sekolah : SMP Negeri Tempel Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester : VII (Tujuh)/ Materi Pokok : Segitiga Alokasi

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Pada bab pembahasan ini akan dibahas mengenai Geometri Hiperbolik yang

BAB III PEMBAHASAN. Pada bab pembahasan ini akan dibahas mengenai Geometri Hiperbolik yang BAB III PEMBAHASAN Pada bab pembahasan ini akan dibahas mengenai Geometri Hiperbolik yang didasarkan kepada enam postulat pada Geometri Netral dan Postulat Kesejajaran Hiperbolik. Akan dibahas sifat-sifat

Lebih terperinci

KISI-KISI PENULISAN SOAL UNTUK MENGUKUR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS

KISI-KISI PENULISAN SOAL UNTUK MENGUKUR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS KISI-KISI PENULISAN SAL UNTUK MENGUKUR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS Mata Pelajaran : Matematika Materi Pokok : Segiempat dan Segitiga Kelas / semester : VII / 2 Standar Komptensi : Memahami konsep segi empat

Lebih terperinci

HUBUNGAN SATUAN PANJANG DENGAN DERAJAT

HUBUNGAN SATUAN PANJANG DENGAN DERAJAT GEOMETRI BIDANG Pada bab ini akan dibahas bentuk-bentuk bidang dalam ruang dimensi dua, keliling serta luasan dari bidang tersebut, bentuk ini banyak kaitannya dengan kegiatan ekonomi (bisnis dan manajemen)

Lebih terperinci

MAKALAH SEGITIGA BOLA. disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Astronomi. Program Studi Pendidikan Fisika. oleh. 1. Dyah Larasati ( )

MAKALAH SEGITIGA BOLA. disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Astronomi. Program Studi Pendidikan Fisika. oleh. 1. Dyah Larasati ( ) MAKALAH SEGITIGA BOLA disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Astronomi Program Studi Pendidikan Fisika oleh 1. Dyah Larasati (4201412042) 2. Lina Kurniawati (4201412091) 3. Qonia Kisbata Rodiya (4201412116)

Lebih terperinci

SEGIEMPAT SACCHERI. (Jurnal 7) Memen Permata Azmi Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia. 4 2 l2

SEGIEMPAT SACCHERI. (Jurnal 7) Memen Permata Azmi Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia. 4 2 l2 SEGIEMPT SCCHERI (Jurnal 7) Memen Permata zmi Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Segiempat saccheri merupakan materi perkuliahan geometri pada pertemuan ke-7. Perkuliah

Lebih terperinci

Unit 3 KONSEP DASAR GEOMETRI DAN PENGUKURAN. Edy Ambar Roostanto. Pendahuluan

Unit 3 KONSEP DASAR GEOMETRI DAN PENGUKURAN. Edy Ambar Roostanto. Pendahuluan Unit 3 KONSEP DASAR GEOMETRI DAN PENGUKURAN Edy Ambar Roostanto Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam Geometri dan Pengukuran yang terdiri dari bangun datar geometri

Lebih terperinci

Konsep Dasar Geometri

Konsep Dasar Geometri Konsep Dasar Geometri. Segitiga 1. Definisi Segitiga Segitiga merupakan model bangun ruang datar yang dibatasi oleh tiga ruas garis. 2. Klasifikasi Segitiga a) Segitiga menurut panjang sisinya 1) Segitiga

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN BAB III METODE PENELITIAN Rancangan penelitian merupakan salah satu komponen yang akan menentukan berhasil tidaknya pengumpulan data dan hasil penelitian. Rancangan penelitian yang tepat dan teliti akan

Lebih terperinci

PENGERTIAN PHYTAGORAS

PENGERTIAN PHYTAGORAS Pythagoras adalah seorang ahli filsafat. Ia tidak hanya mempelajari matematika, tetapi juga music dan ilmu-ilmu lain. Ia lahir di Yunani, tetapi pergi belajar ke Mesir dan Babilonia. Ia terkenal karena

Lebih terperinci

C. 9 orang B. 7 orang

C. 9 orang B. 7 orang 1. Dari 42 siswa kelas IA, 24 siswa mengikuti ekstra kurikuler pramuka, 17 siswa mengikuti ekstrakurikuler PMR, dan 8 siswa tidak mengikuti kedua ekstrakurikuler tersebut. Banyak siswa yang mengikuti kedua

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) 1 KELOMPOK TTW

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) 1 KELOMPOK TTW RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) 1 KELOMPOK TTW Nama Sekolah : SMP N Berbah Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester : VII/Genap Alokasi Waktu : x 40 menit ( jam pelajaran) Standar Kompetensi :

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. Identitas Sekolah Mata Pelajaran Kelas/ Semester : SMP N 6 Yogyakarta : Matematika : VII/ II Materi Pembelajaran : Segitiga Alokasi Waktu B. Standar Kompetensi

Lebih terperinci

Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2010/2011

Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2010/2011 Soal-soal dan Pembahasan UN Matematika SMP/MTs Tahun Pelajaran 2010/2011 1. Diketahui A = 7x + 5 dan B = 2x 3. Nilai A B adalah A. -9x +2 B. -9x +8 C. -5x + 2 D. -5x +8 BAB II BENTUK ALJABAR A B = -7x

Lebih terperinci

Oleh Nialismadya dan Nurbaiti, S. Si

Oleh Nialismadya dan Nurbaiti, S. Si Oleh Nialismadya dan Nurbaiti, S. Si Standar Kompetensi 6. Memahami konsep segi empat dan segitiga serta menentukan ukurannya. Kompetensi Dasar 6.3 Menghitung keliling dan luas bangun segitiga dan segi

Lebih terperinci

BAB V GEOMETRI DAN TRANSFORMASI

BAB V GEOMETRI DAN TRANSFORMASI BAB V GEOMETRI DAN TRANSFORMASI Pernahkah anda mengamati proses pekerjaan pembangunan sebuah rumah? Semua tahap pekerjaan tersebut, mulai dari perancangan hingga finishing, tidak terlepas dari penerapan

Lebih terperinci

GEOMETRI Geometri Dasar Oleh: WIDOWATI Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

GEOMETRI Geometri Dasar Oleh: WIDOWATI Jurusan Matematika FMIPA UNDIP GEOMETRI Geometri Dasar Oleh: WIDOWATI Jurusan Matematika FMIPA UNDIP 1 Geometri dasar Himpunan berbentuk beserta sistem aksioma yang melibatkan 5 aksioma disebut Struktur Geometri Euclid, dengan unsurunsur

Lebih terperinci

KONSISTENSI PADA GEOMETRI EUCLID DAN GEOMETRI HIPERBOLIK

KONSISTENSI PADA GEOMETRI EUCLID DAN GEOMETRI HIPERBOLIK KONSISTENSI PADA GEOMETRI EUCLID DAN GEOMETRI HIPERBOLIK (Jurnal 9) Memen Permata Azmi Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Setelah beberapa pertemuan mempelajari tentang

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA SMP - 01

TRY OUT MATEMATIKA SMP - 01 1. Suhu udara di puncak gunung 1 C, karena hari hujan suhunya turun lagi 4 C, maka suhu udara di puncak gunung tersebut sekarang adalah a. 5 C b. 3 C c. 3 C d. 5 C 2. Dari 42 siswa kelas IA, 24 siswa mengikuti

Lebih terperinci

PAKET Hasil dari. adalah...

PAKET Hasil dari. adalah... 1. Hasil dari A. B. C. D. 1 7 60 19 7 20 19 12 60 1 12 60 2 2 5,25 4 2 adalah... 5 2. Operasi @ artinya kalikan bilangan pertama dengan dua, kemudian kurangilah hasilnya dengan tiga kali bilangan kedua.

Lebih terperinci

SD V BANGUN DATAR. Pengertian bangun datar. Luas bangun datar. Keliling bangun datar SD V

SD V BANGUN DATAR. Pengertian bangun datar. Luas bangun datar. Keliling bangun datar SD V SD V BANGUN DATAR Pengertian bangun datar Luas bangun datar Keliling bangun datar SD V Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Allah Subahanahu wa Ta ala, yang Maha Kuasa atas rahmat dan karunianya, sehingga

Lebih terperinci

SILABUS PEMELAJARAN. Indikator Pencapaian Kompetensi. Tes tertulis

SILABUS PEMELAJARAN. Indikator Pencapaian Kompetensi. Tes tertulis Sekolah :... Kelas : VII (Tujuh) Mata Pelajaran : Matematika Semester : II (dua) SILABUS PEMELAJARAN ALJABAR Standar : 4. Menggunakan konsep dan diagram Venn dalam pemecahan masalah Kegiatan 4.1 Mema-hami

Lebih terperinci

BAB V BAHAN LATIHAN DAN SARAN PEMECAHANNYA

BAB V BAHAN LATIHAN DAN SARAN PEMECAHANNYA V HN LTIHN N SRN PMHNNY. ahan Latihan Kerjakanlah soal-soal berikut. Jangan mencoba melihat petunjuk atau kunci, sebelum benar-benar nda mengalami jalan buntu. 1. alam sebuah persegipanjang ditarik 40

Lebih terperinci

Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 1986 Matematika

Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 1986 Matematika Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional Tahun 986 Matematika EBTANAS-SMP-86-0 Himpunan faktor persekutuan dari dan 0 {,,, 6} {,, 6} {, } {6} EBTANAS-SMP-86-0 Bilangan 0,0000 jika ditulis dalam bentuk baku.0

Lebih terperinci

A. Pengantar B. Tujuan Pembelajaran Umum C. Tujuan Pembelajaran Khusus

A. Pengantar B. Tujuan Pembelajaran Umum C. Tujuan Pembelajaran Khusus Modul 5 LINGKARAN A. Pengantar Materi yang akan di bahas pada kegiatan pembelajaran ini terdiri atas pengertian berbagai macam segiempat: jajargenjang, belah ketupat, layang-layang dan trapesium. Disamping

Lebih terperinci

SKRIPSI PERBANDINGAN SEGIEMPAT SACCHERI PADA GEOMETRI EUCLID DAN GEOMETRI NON EUCLID. Universitas Negeri Yogyakarta

SKRIPSI PERBANDINGAN SEGIEMPAT SACCHERI PADA GEOMETRI EUCLID DAN GEOMETRI NON EUCLID. Universitas Negeri Yogyakarta SKRIPSI PERBANDINGAN SEGIEMPAT SACCHERI PADA GEOMETRI EUCLID DAN GEOMETRI NON EUCLID Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Sebagian

Lebih terperinci

Tabel 1. Rata-rata Nilai Ujian Nasional Secara Nasional

Tabel 1. Rata-rata Nilai Ujian Nasional Secara Nasional Rekap Nilai Ujian Nasional tahun 2011 Pada tahun 2011 rata-rata nilai matematika 7.31, nilai terendah 0.25, nilai tertinggi 10, dengan standar deviasi sebesar 1.57. Secara rinci perolehan nilai Ujian Nasional

Lebih terperinci

Pelatihan-osn.com Konsultan Olimpiade Sains Nasional contact person : ALJABAR

Pelatihan-osn.com Konsultan Olimpiade Sains Nasional  contact person : ALJABAR ALJABAR 1. Diberikan a 4 + a 3 + a 2 + a + 1 = 0. Tentukan a 2000 + a 2010 + 1. 2. Diberikan sistem persamaan 2010(x y) + 2011(y z) + 2012(z x) = 0 2010 2 (x y) + 2011 2 (y z) + 2012 2 (z x) = 2011 Tentukan

Lebih terperinci

Pertemuan ke 11. Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C

Pertemuan ke 11. Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C Pertemuan ke Segiempat Segiempat adalah bidang datar yang dibatasi oleh empat potong garis yang saling bertemu dan menutup D C B Empat persegi panjang d D E a c C B b B = CD dan B // CD D = BC dan D //

Lebih terperinci

2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1,z 1 ) dan R (x 2,y 2,z 2 ) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z P Q R

2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x 1,y 1,z 1 ) dan R (x 2,y 2,z 2 ) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z P Q R . Jika dan vektor-vektor tak kolinear dan A = ( x + 4y ) + ( 2x + y + ) dan B = ( y 2x + 2 ) + ( 2x 3y -), maka carilah nilai x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesian: 3A = 2 B 3(x + 4y ) +3 ( 2x + y + )b

Lebih terperinci

PAKET 5 1. Hasil dari 4 5 2, 6 adalah B C D.

PAKET 5 1. Hasil dari 4 5 2, 6 adalah B C D. 1 3 1. Hasil dari 4 5 2, 6 adalah... 2 4 A. 13 7 B. 17 7 C. 13 12 D. 17 12 2. Operasi @ artinya kalikan bilangan pertama dengan dua, kemudian kurangilah hasilnya dengan tiga kali bilangan kedua. Nilai

Lebih terperinci

. A.M. A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI

. A.M. A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI A. Titik, Garis, dan Bidang BANGUN GEOMETRI Suatu titik menyatakan letak atau posisi dari sesuatu yang tidak mempunyai ukuran, maka titik tidak mempunyai ukuran. Dikatakan bahwa titik berdimensi nol (tak

Lebih terperinci

1. Titik, Garis dan Bidang Dalam Ruang. a. Defenisi. Titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai ukuran sehingga dikatakan berdimensi nol

1. Titik, Garis dan Bidang Dalam Ruang. a. Defenisi. Titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai ukuran sehingga dikatakan berdimensi nol 1. Titik, Garis dan Bidang Dalam Ruang a. Defenisi Titik ditentukan oleh letaknya dan tidak mempunyai ukuran sehingga dikatakan berdimensi nol Titik digambarkan dengan sebuah noktah dan penamaannya menggunakan

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT PERSEGIPANJANG. Oleh Nialismadya & Nurbaiti, S. Si

SIFAT-SIFAT PERSEGIPANJANG. Oleh Nialismadya & Nurbaiti, S. Si SIFAT-SIFAT PERSEGIPANJANG Oleh Nialismadya & Nurbaiti, S. Si Standar Kompetensi 6. Memahami konsep segi empat dan segitiga serta menentukan ukurannya. Kompetensi Dasar 6.2 Mengidentifikasi sifat-sifat

Lebih terperinci

SEGI BANYAK BAHAN BELAJAR MANDIRI 2

SEGI BANYAK BAHAN BELAJAR MANDIRI 2 BAHAN BELAJAR MANDIRI 2 SEGI BANYAK PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang segitiga, segiempat, segilima, kongruensi dan kesebangunan. Setelah mempelajari BBM 2 ini anda

Lebih terperinci

SILABUS PEMELAJARAN Sekolah : SMP Negeri 1 Poncol Kelas : VII (Tujuh) Mata Pelajaran : Matematika Semester : II (dua) GEOMETRI

SILABUS PEMELAJARAN Sekolah : SMP Negeri 1 Poncol Kelas : VII (Tujuh) Mata Pelajaran : Matematika Semester : II (dua) GEOMETRI Lampiran 1.1 45 Lampiran 1.2 46 47 Lampiran 2.1 SILABUS PEMELAJARAN Sekolah : SMP Negeri 1 Poncol Kelas : VII (Tujuh) Mata Pelajaran : Matematika Semester : II (dua) GEOMETRI Standar Kompetensi : 6. Memahami

Lebih terperinci

SOAL PERSIAPAN UJIAN AKHIR SEMESTER 2 SMP KELAS 7 MATEMATIKA A.

SOAL PERSIAPAN UJIAN AKHIR SEMESTER 2 SMP KELAS 7 MATEMATIKA A. SOAL PERSIAPAN UJIAN AKHIR SEMESTER 2 SMP KELAS 7 MATEMATIKA A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar, dengan memberikan tanda silang (x) pada huruf a, b, c atau d!. Pernyataan berikut yang merupakan

Lebih terperinci

1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4

1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4 1. Jika B = {bilangan prima kurang dari 13} maka jumlah himpunan penyelesaiannya... A. 4 C. 6 B. 5 D. 7 Kunci : B B = (bilangan prima kurang dan 13) Anggota himpunan B = (2, 3, 5, 7, 11) Sehingga banyaknya

Lebih terperinci

TRY OUT 1 UJIAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH PERTAMA Tahun Pelajaran 2011/2012

TRY OUT 1 UJIAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH PERTAMA Tahun Pelajaran 2011/2012 TRY OUT 1 UJIAN NASIONAL SEKOLAH MENENGAH PERTAMA Tahun Pelajaran 2011/2012 Mata Pelajaran : Matematika Jenjang : SMP/MTs Hari/Tanggal : - Waktu : 120 menit Jam : 08.00 10.00 PETUNJUK UMUM 1. Isikan identitas

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI A. Titik, Garis, dan Bidang Pada geometri, tepatnya pada sistem aksioma, terdapat istilah tak terdefinisi. Istilah tak terdefinisi adalah istilah dasar yang digunakan dalam membangun

Lebih terperinci

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA

SELEKSI TINGKAT PROPINSI MATEMATIKA SMA/MA SELEKSI TINGKAT PROPINSI CALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 01 MATEMATIKA SMA/MA PETUNJUK UNTUK PESERTA: 1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 0 soal isian singkat dan tes

Lebih terperinci

INSTRUMEN VALIDITAS DAN RELIABILITAS

INSTRUMEN VALIDITAS DAN RELIABILITAS INSTRUMEN VALIDITAS DAN RELIABILITAS 79 80 UJI VALIDITAS ANGKET Data diri Nama Lengkap : Sekolah : Kelas : Petunjuk pengisian! Di bawah ini terdapat sejumlah pernyataan tentang cara-cara yang kamu gunakan

Lebih terperinci

SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL MATEMATIKA SMP/MTs TAHUN PELAJARAN 2009/2010

SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL MATEMATIKA SMP/MTs TAHUN PELAJARAN 2009/2010 SOAL-SOAL UJIAN NASIONAL MATEMATIKA SMP/MTs TAHUN PELAJARAN 2009/2010 1. Hasil dari 8 + ( 3 x 4) ( 6 : 3) adalah... A. 6 B. 2 C. -2 D. -6 BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN 8 + ( 3 x 4) ( 6 : 3)

Lebih terperinci

LAMPIRAN Data Penelitian Nilai Siswa

LAMPIRAN Data Penelitian Nilai Siswa LAMPIRAN Data Penelitian Nilai Siswa No Parameter Satuan Baku mutu Metode analisis G43 67 44 53 51 G44 67 43 39 39 G45 68 37 45 52 G46 71 41 41 53 G47 61 33 45 52 G48 66 39 41 53 G49 67 44 40 42 G50 75

Lebih terperinci

PEMBELAJARAN BANGUN-BANGUN DATAR (1)

PEMBELAJARAN BANGUN-BANGUN DATAR (1) H. Sufyani Prabawanto, M. Ed. Bahan Belajar Mandiri 3 PEMBELAJARAN BANGUN-BANGUN DATAR (1) Pendahuluan Bahan belajar mandiri ini menyajikan pembelajaran bangun-bangun datar yang dibagi menjadi dua kegiatan

Lebih terperinci

SILABUS MATEMATIKA KELAS VII. Menjelaskan jenis-jenis. segitiga. berdasarkan sisisisinya. berdasarkan besar. pengertian jajargenjang,

SILABUS MATEMATIKA KELAS VII. Menjelaskan jenis-jenis. segitiga. berdasarkan sisisisinya. berdasarkan besar. pengertian jajargenjang, LAMPIRAN 1. Silabus SILABUS MATEMATIKA KELAS VII Standar Kompetensi : GEOMETRI 4.Memahami konsep segi empat dan serta menentukan ukurannya Kompetensi 6.1 Segiempat dan Mengident i fikasi sifat-sifat berdasarka

Lebih terperinci

KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN

KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN Tugas ini Disusun guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika SMP 2 Dosen Pengampu :Koryna Aviory, S.Si, M.Pd Oleh : 1. Siti Khotimah ( 14144100087 ) 2. Reza Nike Oktariani

Lebih terperinci

Tidak diperjualbelikan

Tidak diperjualbelikan MATEMATIKA KATA PENGANTAR Keputusan Menteri Pendidikan Nasional No. 153/U/003, tanggal 14 Oktober 003, tentang Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran 003/004, antara lain menetapkan bahwa dalam pelaksanaan

Lebih terperinci

SD kelas 5 - MATEMATIKA BAB 6. BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANGLatihan Soal 6.2

SD kelas 5 - MATEMATIKA BAB 6. BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANGLatihan Soal 6.2 1. Perhatikan gambar berikut ini! Image not readable or empty assets/js/plugins/kcfinder/upload/image/6.2%201.png SD kelas 5 - MATEMATIKA BAB 6. BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANGLatihan Soal 6.2 Jajaran genjang

Lebih terperinci

LAMPIRAN 4. Kisi-kisi Soal dan Soal Tes

LAMPIRAN 4. Kisi-kisi Soal dan Soal Tes LAMPIRAN 4. Kisi-kisi Soal dan Soal Tes SOAL PRETEST Mata pelajaran : Nama : 1. Sebutkann jenis-jenis segitiga berdasarkan panjang sisinya? 2. Jika kedua sisi yang berhadapan dari suatu segiempat sejajar.

Lebih terperinci

PAKET 2 1. Hasil dari. adalah...

PAKET 2 1. Hasil dari. adalah... 1. Hasil dari A. B. C. D. 1 7 17 7 1 12 17 12 1 5, 75 4 2 adalah... 2 5 2. Operasi @ artinya kalikan bilangan pertama dengan tiga, kemudian kurangilah hasilnya dengan dua kali bilangan kedua. Nilai dari

Lebih terperinci

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL

Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 013 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 014 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 013

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI. Tabel 2.1 Perbandingan Aplikasi Pembelajaran. Sekolah Dasar Berbasis. (2014) Untuk Taman Kanak-

BAB II TINJAUAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI. Tabel 2.1 Perbandingan Aplikasi Pembelajaran. Sekolah Dasar Berbasis. (2014) Untuk Taman Kanak- BAB II TINJAUAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI 2.1 Tinjauan Pustaka Tinjauan pustaka bertujuan untuk membantu member gambaran tentang metode dan teknik yang dipakai dalam penelitian yang mempunyai permasalahan

Lebih terperinci

TEOREMA PYTHAGORAS. Contoh Hitunglah nilai kuadrat bilangan-bilangan berikut

TEOREMA PYTHAGORAS. Contoh Hitunglah nilai kuadrat bilangan-bilangan berikut Teorema pythagoras berasal dari seorang matematikawan dari Yunani yang bernama Pythagoras, tetapi ada juga yang menyebutkan bahwa teorema pythagoras berasal dari Cina karena ada sebuah buku yang merupakan

Lebih terperinci

Dr. Winarno, S. Si, M. Pd. - Modul Matematika PGMI - 1 BAB I PENDAHULUAN

Dr. Winarno, S. Si, M. Pd. - Modul Matematika PGMI - 1 BAB I PENDAHULUAN Dr. Winarno, S. Si, M. Pd. - Modul Matematika PGMI - 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Ada beberapa pendapat yang disampaikan para ahli mengenai definisi dari istilah matematika. Matematika didefinisikan

Lebih terperinci

PERSEGI // O. Persegi merupakan belah ketupat yang setiap sudutnya siku-siku Sisi Sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan semua sisinya sama panjang

PERSEGI // O. Persegi merupakan belah ketupat yang setiap sudutnya siku-siku Sisi Sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan semua sisinya sama panjang 2/15/2012 1 PERSEGI D // // O // // Persegi merupakan belah ketupat yang setiap sudutnya siku-siku Sisi Sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan semua sisinya sama panjang 2/15/2012 2 D // // O // // Sudut

Lebih terperinci

Bab 6 - Segitiga dan Segi Empat

Bab 6 - Segitiga dan Segi Empat Gambar 6.1 Keindahan panorama yang diperlihatkan layar-layar perahu nelayan di bawah cerah matahari di Bali Sumber: Indonesia Untaian Manikam di Khatulistiwa Perhatikan gambar 6.1 di atas! Perahu layar

Lebih terperinci

Feni Melinda Safitri. Sudah diperiksa. Pengertian Teorema Phytagoras. Rumus Phytagoras

Feni Melinda Safitri. Sudah diperiksa. Pengertian Teorema Phytagoras. Rumus Phytagoras BY : Feni Malinda Safitri Sudah diperiksa Pengertian Teorema Phytagoras Phytagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani pada tahun 569-475 sebelum masehi, ia mengungkapkan bahwa

Lebih terperinci

Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2011 Jenjang SMA Bidang Matematika

Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 2011 Jenjang SMA Bidang Matematika Tutur Widodo Pembahasan OSP Matematika SMA 011 Pembahasan OSN Tingkat Provinsi Tahun 011 Jenjang SMA Bidang Matematika Bagian A : Soal Isian Singkat 1. Diberikan segitiga sama kaki ABC dengan AB = AC.

Lebih terperinci