Modul 1. Geometri Datar. 1.1 Perkembangan Geometri

Transkripsi

1 Modul 1 Geometri Datar 1.1 erkembangan Geometri enda-benda alam yang konkrit, seperti televisi, batu bata, lapangan sepakbola, lapangan soft-ball, bola, bola rugby dan sebagainya merupakan awal diselidikinya geometri. Sedangkan metode yang digunakan adalah empiris, teoremateoremanya ditetapkan berdasarkan pendekatan induksi. ada tahap ini belum dilakukan usaha untuk menghubungkan secara logis antara teorema yang satu dengan yang lainnya. erubahan perkembangan pemikiran merubah atau mengalami perubahan perkembangan dari benda yang konkrit menjadi benda pikiran yang diperoleh dari alam dengan mengambil beberapa sifat yang perlu. Misal sebuah lapangan sepak bola, yang perlu diperhatikan adalah lebar dan panjangnya saja, tidak perlu memikirkan apakah ada rumput atau tidak, begitu juga seutas tali, tidak perlu melihat berapa besar talinya, tetapi cukup diperhatikan panjang talinya. ada tahap ini mulai dikenal obyek geometri yang berupa titik, garis dan bidang yang merupakan hasil pemikiran. Metode yang digunakan didapat dari faktafakta dan ditetapkan hukum-hukumnya dengan penalaran deduktif. Sedangkan teorema yang baru diperoleh dari teorema-teorema sebelumnya. Setelah ditemukan obyek hasil pemikiran sebagai obyek geometri maka di- 1

2 Modul 1. Geometri Datar 2 susun dalam susunan aksiomatik. Dalam penyusunan ditetapkan sekelompok pengertian yang tidak didefinisikan dan cukup jelas yang disebut dengan pengertian dasar. Ditetapkan pula sekelompok yang tidak diragukan kebenarannya tanpa harus dibuktikan yaitu aksioma. Dengan menggunakan aksioma yang sudah ada dapat diturunkan beberapa teorema secara deduktif Deduktif-ksiomatik enalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan dari hal yang umum ke hal yang khusus, sedangakn ilmu deduktif adalah suatu sistem S dari pernyataanpernyataan yang memenuhi persyaratan sebagai berikut: 1. Semua pernyataan S harus mengenai satu hal yang nyata 2. Semua pernyataan S harus akurat 3. Jika ada pernyataan merupakan anggota S, maka kesimpulan logis dari pernyataan itu adalah juga anggota S. 4. Didalam S dapat ditunjuk sekelompok istilah dengan persyaratan sebagai berikut: (a) rti istilah tersebut tidak membutuhkan penjelasan yang disebut dengan pengertian dasar (b) rti semua istilah yang lain yang terdapat dalam S harus dapat didefinisikan dengan istilah tadi 5. Dalam S dapat ditunjuk sekelompok pernyataan dengan sifat sebagai berikut: (a) Kebenaran pernyataan itu jelas dan tak perlu bukti (b) Semua pernyataan S lainnya harus dapat diperoleh dari pernyataan tadi secara deduktif enalaran deduktif disebut juga sebagai penalaran silogistik dan didalam silogistik dikenal tiga pernyataan yaitu pernyataan sebagai premis mayor, premis minor dan kesimpulan. ontoh remis Mayor remis Minor Kesimpulan Semua sudut yang berse- α dan β adalah sudut α + β = berangan jumlahnya berseberangan Segitiga siku hanya adalah segitiga hanya mempunyai mempunyai satu sudut siku satu sudut siku siku

3 Modul 1. Geometri Datar engertian Dasar, ksioma dan Teorema engajaran geometri secara khusus diberikan secara deduktif-aksiomatik. ada pokok pembahasan garis sejajar, garis siku atau yang lainnya, perlu dimulai dengan menetapkan pengertian dasar, kemudian dikenalkan sekumpulan aksioma dan definisi serta teorema. eberapa pengertian dasar dan definisi yang ditetapkan adalah 1. Titik 2. Garis 3. Ruas garis 4. Titik terletak pada garis atau garis melalui titik 5. Titik diluar garis atau garis tidak melalui titik dan definisi, sebagai berikut 1. Sudut 2. Sudut bertolak belakang 3. Dua garis berimpit 4. Dua garis sejajar 5. Dua garis berpotongan Sedangkan aksioma yang dapat dibuat, adalah ksioma-1: da sedikitnya dua titik yang berbeda ksioma-2: Melalui dua titik yang berbeda, dapat dibuat tepat sebuah garis ksioma-3: Setiap garis dapat dimuat sedikitnya dua titik yang berbeda ksioma-4: da titik di luar garis ksioma-5: Melalui sebuah titik tertentu di luar garis yang diketahui dapat tepat satu garis sejajar yang diketahui

4 Modul 1. Geometri Datar 4 Dari sistem aksioma tersebut dapat diturunkan beberapa teorema yang kebenarannya dapat dibuktikan berdasarkan aksioma-aksioma tersebut. Teorema Sedikitnya ada sebuah garis. ukti: Dengan menggunakan ksioma-1 dan ksioma-2 dapat dibuat sebuah garis. Teorema Sedikitnya ada tiga titik yang berbeda yang tidak terletak pada sebuah garis. ukti: Dengan menggunakan ksioma-1, ksioma-3 dan ksioma-4 dapat dibuat sebuah garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis tersebut. 1.2 Melukis angun Datar ada saat menginginkan suatu gambar dari suatu obyek yang dikehendaki dalam geometri datar, misal obyek yan berbentuk garis, sudut, persegi atau yang lainnya, maka diperlukan dua peralatan dasar yaitu penggaris dan jangka. enggaris dapat berbentuk penggaris segitiga siku yang biasanya berpasangan dan jangka yang mutlak diperlukan. Dengan mengunakan aksioma, teorema dan definisi diatas, dapat dibuat gambar yang berbentuk segitiga, persegi atau lainnya. Gambar-gambar tersebut merupakan rangkaian dari dua gambar dasar yaitu garis dan lingkaran. Sesuai dengan aksioma diatas dengan dua buah titik dapat dibuat sebuah garis dan dengan menggunakan sebuah jangka dan titik pusat dapat dibuat banyak titik yang jaraknya sama yang biasanya disebut dengan jari-jari Melukis Segitiga Sebelum dipelajari bangun-bangun yang lainnya, perlu dipelajari bangun segitiga, karena bagun segitiga merupakan dasar dari bangun-bangun yang lainnya,

5 Modul 1. Geometri Datar 5 R Gambar 1.1 Garis dan Lingkaran artinya bangun yang lainnya dapat dibentuk oleh beberapa segitiga. Oleh karena itu perlu disimak terlebih dahulu sifat-sifat segitiga. Sifat-sifat Segitiga 1. angun segitiga terdiri dari tiga sisi dan atau tiga sudut. 2. Ketiga sisinya mempunyai pertidaksamaan segitiga yaitu jumlah dua sisi akan lebih besar dari sisi yang lainnya 3. Jumlah ketiga sudutnya adalah Sudut terbesar terletak berhadapan dengan sisi terpanjang. Dengan menggunakan sifat segitiga, dapat dilukis sebuah segitiga dengan mengambil tiga unsur dari enam unsur yang diketahui (tiga sisi dan tiga sudut), yaitu: 1. Ketiga unsurnya adalah sisi, (s, s, s) 2. Dua buah sisi dan sebuah sudut yang diapit oleh sisinya, (s, sd, s) 3. Dua buah sudut dan sebuah sisi yang diapit oleh sudut, (sd, s, sd) 4. Dua buah sisi dan sebuah sudut yang tidak diapit oleh sisinya, (s, s, sd) 5. Dua buah sudut dan sebuah sisi yang tidak diapit oleh sudut, (s, sd, sd) Tidak menutup kemungkinan melukis segitiga dengan unsur yang lebih sedikit dan informasi yang lainnya Melukis Segi-n eraturan Segi-n beraturan adalah suatu obyek yang mempunyai n sisi yang sama panjang dan mempunyai n sudut yang sama besar. Segitiga sama sisi adalah suatu segitiga

6 Modul 1. Geometri Datar 6 yang mempunyai tiga sisi sama panjang dan sudut sama besar yaitu Segi-n beraturan mempunyai jumlah sudutnya adalah (n 2) dan setiap sudutnya mempunyai besar yang sama, yaitu (n 2) n ontoh Segi-3 atau segitiga mempunyai jumlah sudut sebesar: dan besar sudutnya adalah (3 2) = = 60 0 ontoh Segi-4 atau persegi mempunyai jumlah sudut sebesar: dan besar sudutnya adalah (4 2) = = anjang Sisi Segi-n eraturan Keliling dari sebuah lingkaran dengan jari-jari R dan pusat O dengan n titik pada keliling lingkaran akan membentuk segi-n beraturan oleh: 1. Tali busur yang menghubungkan titik di keliling lingkaran, dinamakan segin dalam beraturan atau 2. Garis singgung di titik sekeliling lingkaran dinamakan segi-n luar beraturan Tabel berikut berisi panjang sisi dari segi-n dalam beraturan dengan jari-jari lingkaran R n Jumlah Sudut esar Sudut anjang Sisi R R R R R R( 1 + 5) R 2 3

7 Modul 1. Geometri Datar Garis Sejajar Dua buah garis lurus, misal garis a dan garis b, dikatakan sejajar satu dengan yang lainnya apabila kedua garis tersebut terletak pada bidang datar dan tidak berpotongan satu dengan yang lainnya. Dua garis lurus a dan b yang sejajar ditulis dengan a b dan dibaca garis a sejajar dengan garis b. Gambar 1.2 Dua Garis sejajar Jika ada dua garis lurus sejajar terpotong oleh sebuah garis lurus yang lain, garis yang memotong dinamakan transversal dari dua garis sejajar Gambar 1.3 Dua Garis sejajar dengan Transversal Sedangkan sudut-sudut yang terbentuk oleh kedua garis sejajar dan transversalnya, jika berada diantara kedua garis sejajar disebut dengan sudut dalam dan jika berada diluar kedua garis sejajar disebut dengan sudut luar. Dari Gambar 1.3, istilah-istilah yang perlu diperhatikan sebagai berikut: No Istilah ontoh 1 Sudut Dalam 3, 4, 1, dan 2, 2 Sudut Luar 1, 2, 3, dan 4, 3 Sudut Dalam Sepihak 3, dan 2 4 Sudut Dalam erseberangan 3, dan 1 5 Sudut Luar Sepihak 1, dan 4 6 Sudut Luar erseberangan 2, dan 4 7 Sudut Sehadap 1, dan 1

8 Modul 1. Geometri Datar 8 Untuk melukis dua garis lurus yang sejajar diperlukan dua buah garis siku atau mistar dan jangka. ksioma dan Teorema Garis Sejajar Dengan aksioma, teorema dan definisi diatas dapat dibangun teorema atau aksioma khusus pada garis lurus yang sejajar, antara lain Teorema Jika sebuah garis memotong salah satu dari dua garis yang sejajar, maka garis itu juga akan memotong garis yang kedua Teorema Jika garis sejajar dengan salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut sejajar juga dengan garis keduanya. Teorema Jika dua buah garis masing-masing sejajar dengan sebuah garis yang diketahui, maka kedua garis itu sejajar Teorema Jika dua garis sejajar a dan b dipotong oleh transversal p, maka a. sudut sehadap sama besar b. sudut dalam berseberangan sama besar c. sudut luar berseberangan sama besar d. tiap dua sudut dalam sepihak berjumlah e. tiap dua sudut luar sepihak berjumlah Sebangun dan Kongruen Di dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai obyek-obyek yang mempunyai bentuk yang sama tetapi ukuran yang berbeda. ontoh konkrit yang sering

9 Modul 1. Geometri Datar 9 dilihat adalah obyek pohon di televisi dengan ukuran 21 inchi dengan obyek yang sama pada televisi dengan ukuran 34 inchi. Obyek-obyek yang bentuknya sama tetapi mempunyai ukuran yang berbeda disebut dengan obyek sebangun. Sedangkan kongruen, yaitu obyek yang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama Sebangun Kata lain dari sebangun adalah penskalaan, jika dua obyek yang sama tetapi ukuran yang berbeda mempunyai makna bahwa obyek yang lebih kecil mewakili obyek yang lebih besar, seperti peta sebuah pulau atau denah dari sebuah pertokoan dan lain-lain. Dua buah obyek yang bersisi lurus dikatakn sebangun jika memnuhi dua syarat, yaitu: 1. sudut yang bersesuaian mempunyai besar yang sama 2. sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sebanding ini Untuk lebih memahami, perhatikan contoh dua obyek yang sebangun dibawah 8 Q D 4 S 8 R Gambar 1.4 Dua Obyek Sebangun Dua obyek persegi-empat, yaitu persegi-empat D dan QRS, perhatikan bahwa kedua obyek tersebut adalah sebangun, sebab: 1. sudut yang bersesuaian mempunyai besar yang sama, yaitu masing-masing bersudut sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sebanding, yaitu : Q = 4 : 8 = 1 : 2 : QR = 3 : 6 = 1 : 2

10 Modul 1. Geometri Datar 10 D : RS = 4 : 8 = 1 : 2 D : S = 3 : 6 = 1 : 2 Karena memenuhi kedua syarat diatas maka kedua obyek tersebut sebangun. Dua Segitiga Sebangun Telah diketahui diatas bahwa segitiga adalah bangun yang sangat penting dari geometri datar, artinya bahwa obyek-obyek selain segitiga dapat dipecahkan dengan bantuan obyek segitiga. Oleh karena itu perlu dibahas lebih detil sedikit. Definisi Dua segitiga dikatakan sebangun jika kedua segitiga tersebut sisi-sisinya yang bersesauaian mempunyai panjang yang sebanding atau sudutsudut yang bersesuaian mempunyai besar yang sama Jika dua segitiga sebangun, misal segitiga dan QR dapat ditulis dengan lambang: QR ini Untuk lebih memahami, perhatikan contoh dua obyek yang sebangun dibawah 14 Q R Gambar 1.5 Dua Segitiga Sebangun erhatikan gambar dua segitiga yang sebangun, yaitu QR, untuk membuktikan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun, bandingkan sisisisinya, yaitu Q = QR = R = 1 2 oleh karena aperbandingan sisi-sisinya sama, maka kedua segitiga tersebut sebangun.

11 Modul 1. Geometri Datar 11 Dengan mengetahui bahwa dua segitiga sebangun, dapat dicari panjang sisi yang tidak diketahui dari segitiga yang lainnya. 12 Q R Gambar 1.6 Dua Segitiga Sebangun ontoh erhatikan Gambar 1.6, dua segitiga sebangun, yaitu QR, arilah panjang sisi pada segitiga dan panjang sisi R pada segitiga QR Jawab: Karena kedua segitiga sebangun, maka ketiga sisinya sebanding, yaitu Q = QR = R = 1 2 atau 6 12 = 10 = 4 R = 1 2 jadi panjang sisi = 5, dan panjang sisi R = 8 Garis Sejajar pada Segitiga Jika sebuah segitiga dilukis garis yang sejajar pada salah satu sisinya maka terjadi dua segitiga yang sebangun. andang Gambar 1.7 dari sebuah segitiga ditarik sebuag garis sejajar pada sisi yang lain akan didapat dua segitiga yang sebangun, yaitu R Garis Tinggi pada Segitiga Siku Jika sebuah segitiga siku dilukis garis tinggi pada sisi miringnya maka terjadi tiga segitiga yang sebangun.

12 Modul 1. Geometri Datar 12 R Gambar 1.7 Segitiga Sebangun dari Garis Sejajar Gambar 1.8 Segitiga Sebangun dari Garis Tinggi Segitiga Siku andang Gambar 1.8 dari sebuah segitiga siku ditarik sebuag garis tinggi pada garis sisi miring akan didapat tiga segitiga siku yang sebangun, yaitu Kongruen Dua obyek dikatakan mempunyai sifat kongruen jika sama bentuknya dan ukurannya. Kongruen dapat dikenakan pada dua ruas garis, dua sudut, dua segitiga atau obyek yang lainnya. Dua obyek dikatakan kongruen pada bidang datar, maka a. Unsur-unsur yang bersesuaian sama b. Luas daerahnya sama Untuk memastikan dua buah segitiga mempunyai sifat kongruen, jika a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s, s, s)

13 Modul 1. Geometri Datar 13 Gambar 1.9 Segitiga Kongruen b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang serta sudut yang diapitnya sama besar (s, sd, s) c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang diapitnya sama panjang (sd, s, sd) Lihat Gambar 1.9 segitiga kongruen dengan 1.5 lingkaran sering dijumpai obyek-obyek yang berbentuk lingkaran, seperti roda kendaraan, roda gigi mesin dan lian-lain. erdasarkan kurikulum matematika SLT pada pokok pembahasan tentang lingkaran yang terdiri dari beberapa sub-pokok pembahasan yaitu pengertian, unsur keliling dan luas lingkaran, begitu juga hubungan antara sudut dalam lingkaran, garis singgung, lingkaran dalam dan luar segitiga. Tetapi pada modul ini hanya akan dibahas beberapa sub-pokok bahasan yaitu hubungan antara sudut dan lingkaran, lingkaran dalam dan luar segitiga ntara Sudut pada Lingkaran embahasan hubungan antara sudut pada lingkaran akan dibahas secara detil setelah diketahui hal pokok tentang: sudut pusat, sudut keliling, sudut dalam lingkaran dan sudut luar lingkaran. ada Gambar 1.10, menunjukan sebuah lingkaran dengan pusat. Sudut pusat dari gambar tersebut adalah, atau, atau. Sedangkan sudut yang titik sudutnya pada busur lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah

14 Modul 1. Geometri Datar Gambar 1.10 Segitiga didalam Lingkaran tali busur-tali busur lingkaran tersebut dinamakan sudut keliling lingkaran, contohnya adalah. esarnya sudut pusat dengan bentuk kaki seperti pada Gambar 1.10 dua kali besarnya sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur yang sama. ontohnya, = 2, = 2, dan = 2. E D Gambar 1.11 Segitiga Dalam Lingkaran erhatikan Gambar 1.11, lingkaran dengan pusat, dua talibusur dan D memotong di E, sehingga terbentuk sudut ED, E, E dan ED sudut-sudut tersebut dinamakan sudut dalam keliling lingkaran atau sudut keliling dalam lingkaran. erlu diketahui bahwa besarnya sudut dalam keliling lingkaran sama dengan setengah jumlah kedua busur di dalam sudut itu dan sudut yang bertolak belakang. ontohnya: ED = 1 (bs D + bs D), buktikan. 2 erhatikan Gambar 1.12, lingkaran dengan pusat, dua talibusur dan D memotong di Q terletak diluar lingkaran, sehingga terbentuk sudut QD yang disebut dengan sudut luar keliling lingkaran atau sudut keliling luar lingkaran. erlu diketahui bahwa besarnya sudut luar keliling lingkaran sama dengan setengah selisih kedua busur di dalam sudut itu.

15 Modul 1. Geometri Datar 15 D Q Gambar 1.12 Segitiga Luar Lingkaran ontohnya: Q = 1 (bs + bs D), buktikan. 2 D E F Gambar 1.13 Sudut Segmen Segitiga didalam Lingkaran erhatikan Gamba1.13, sudut kelilig, D, E, dan F, menghadap segmen yang sama yaitu. Sifat besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama, maka besar = D = E = F, Jadi sudutsudut dalam segmen yang sama besarnya adalah sama Lingkaran Dalam Segitiga andang sebuah segitiga sebarang, tarik garis bagi pada setiap sudutnya, maka akan ditemukan sebuah titik potong garis bagi-garis bagi, misal titik, maka jarak ketiga sisi segitiga terhadap titik adalah sama. Jika pada titik dibuat lingkaran dengan jari-jari jarak titik terhadap salah satu garis segitiga, maka lingkaran tersebut akan menyinggung semua sisi yang lainnya. Garis bagi D dan garis bagi E berpotongan di titik yang berjarak sama terhadap garis, dan, sehingga adalah pusat lingkaran dalam segitiga yang menyinggung sisi, dan, jadi jari lingkaran dalamnya adalah G. anjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah:

16 Modul 1. Geometri Datar 16 E D F G Teorema Gambar 1.14 Lingkaran Dalam Segitiga Jari-jari lingkaran dalam segitiga sama dengan luas segitiga itu dibagi dengan setengah keliling lingkaran. atatan: uktikan teorema tesebut Lingkaran Luar Segitiga andang segitiga, tarik ketiga sumbu dari setiap sisinya, perpotongan ketiga garis tersebut adalah, berarti jarak,, dan adalah sama. Jika dari pusat dibuat lingkaran dengan jari-jari, maka lingkaran tersebut akan menyinggung titik dan titik. erhatika Teorema diabwah ini. R R R Teorema Gambar 1.15 Lingkaran Luar Segitiga Jari-jari lingkaran luar segitiga sama dengan hasil kali ketiga sisi-sisinya dibagi oleh empat kali luas segitiga itu. atatan: uktikan teorema tesebut.

17 Modul 2 Geometri Ruang Mencari rumus suatu volume benda atau obyek didasarkan pada dua pendekatan, yaitu dengan cara induktif dan deduktif. encarian rumus yang diawali dengan suatu eksprimen atau percobaan atau pengamatan kemudian ditemukan suatu rumusan, pendekatan tersebut dinamakan pendekatan induktif. Sedangkan pendekatan deduktif adalah pendekatan yang dilakukan berdasarkan teorema, definisi atau postulat yang berlaku yang sudah teruji kebenarannya. ada modul ini akan dicari rumus volume beberapa obyek di ruang atau di dimensi tiga, antara lain volume kubus, balok, prisma tegak, tabung, kerucut, bola dan limas. 2.1 enurunan Rumus Secara Induktif Volume atau isi dari suatu obyek yang berongga adalah banyak satuan ukuran atau takaran yang digunakan, biasanya ukurannya lebih kecil dari obyek yang diukur. ontoh sederhana, Volume dari suatu termos adalah lima belas gelas, artinya dalam satu termos dapat diisi oleh lima belas gelas, kalau satuan ukuran terkecilnya adalah gelas. Dalam bagian ini digunakan satuan takaran terkecil adalah satuan yang sudah disepakati yaitu centimeter (cm), selanjutnya disebut dengan satuan saja. 17

18 Modul 2. Geometri Ruang Volume Kubus S s s Gambar 2.1 Kubus dengan panjang rusuk s Kubus adalah obyek yang mempunyai ukuran panjang, lebar dan tinggi yang sama. Lihat Gambar 2.1, kubus yang mempunyai ukuran panjang, lebar dan tinggi yaitu s, jadi V olume Kubus = V kubus = s s s = s 3 = (Luas las) (T inggi) (2.1) Volume alok t p l Gambar 2.2 alok dengan ukuran p, l dan t alok adalah obyek yang mempunyai ukuran panjang, lebar dan tinggi yang tidak sama. Lihat Gambar 2.2, balok yang mempunyai ukuran panjang, lebar dan tinggi yaitu p, l dan t jadi V olume alok = V balok = p l t = (Luas las) (T inggi) (2.2) Volume risma Tegak Siku risma tegak siku ( T S) adalah balok yang dipotong menjadi dua bagian sama besar seperti terlihat pada Gambar 2.3, balok yang mempunyai ukuran panjang,

19 Modul 2. Geometri Ruang 19 t p l Gambar 2.3 risma Tegak Siku lebar dan tinggi yaitu p, l dan t, maka volume prisma tegak siku adalah setengah dari volume balok, jadi V olume T S = V prisma tsk = 1 (p l t) = (Luas las) (T inggi) (2.3) Volume risma Tegak Sebarang t Gambar 2.4 risma Tegak Sebarang risma Tegak Sebarang ( T Se) adalah suatu prisma tegak yang alasnya merupakan segitiga sebarang. Jika salah satu titik dari segitiga ditarik sebuah garis sehingga memotong sisi dihadapannya tegak lurus, maka alas segitiga tersebut menjadi dua bagian segitiga siku, seperti terlihat pada Gambar 2.4, sehingga volume prisma tegak sebarang adalah V olume T S = V prisma sbr = V 1 + V 2 = 1 t + 2 t = ( )t V prisma sbr = t = (Luas las) (T inggi) (2.4)

20 Modul 2. Geometri Ruang Volume risma Tegak Segi-n 3 4 t n 1 Gambar 2.5 risma Tegak Segi-n risma Tegak Segi-n (TS-n) adalah suatu prisma tegak yang alasnya merupak segi-n. Jika setiap titik sudut ditarik sebuah garis sedemikian hingga membentuk sebuah prisma dengan banyak segitiga. Sesuai dengan prisma tegak segitiga sebarang, bahwa volume prisma tegak segi-n merupakan perluasan dari volume prisma tegak sebarang, seperti terlihat pada Gambar 2.5, sehingga volume prisma tegak segi-n adalah V olume T S n = V prisma segi n = V 1 + V 2 + V V n = 1 t + 2 t + 3 t + + n t Volume Tabung = ( n )t V prisma segi n = t = (Luas las) (T inggi) (2.5) t r Gambar 2.6 Tabung dengan Jari-jari r dan Tinggi t

21 Modul 2. Geometri Ruang 21 Jika n pada prisma tegak segi-n adalah besar sekali, maka dapat dikatakan bahwa prisma tegak tersebut adalah sebuah tabung. Dengan demikian volume tabung merupakan perkalian luas alas tabung yang merupakan luas lingkaran dan tinggi tabung, jadi V olume T abung = V prisma segi n = (Luas las) (T inggi) V tabung = π r 2 t (2.6) Volume Kerucut r t t r Gambar 2.7 Kerucut dengan Jari-jari r dan Tinggi t Untuk mendapatkan volume kerucut perlu dilakukan pecobaan sederhana. uatlah kerucut dengan luas alas sama dengan luas alas tabung, misal luas alas lingkaran dengan jari-jari r dan tinggi t yang juga merupakan tinggi tabung. Gunakan beras atau pasir atau yang lainnya, misal digunakan pasir. mbil pasir dengan menggunakan kerucut, kemudian tuangkan pada tabung, hitung berapa kali tuangan yang dapat dilakukan. erdasarkan percobaan hanya tiga kali tuang, jadi volume tabung adalah tiga volume kerucut. Dengan kata lain, volume kerucut adalah sepertiga volume tabung, yaitu V tabung = 3 V kerucut V kerucut = 1 3 V tabung = 1 3 π r2 t (2.7) Volume ola Untuk mendapatkan volume bola perlu dilakukan pecobaan sederhana. uatlah setengah bola dengan jari-jari yang sama dengan jari-jari alas tabung yaitu r.

22 Modul 2. Geometri Ruang 22 r 2r Gambar 2.8 ola dengan Jari-jari r Gunakan beras atau pasir atau yang lainnya, misal digunakan pasir. mbil pasir dengan menggunakan setengah bola, kemudian tuangkan pada tabung, hitung berapa kali tuangan yang dapat dilakukan. erdasarkan percobaan hanya tiga kali tuang, jadi volume tabung adalah tiga volume setengah bola. Dengan kata lain, volume bola adalah sepertiga volume setengah bola, yaitu Volume Limas V tabung = 3 V 1 2 bola V 1 2 bola = 1 3 V tabung = 1 3 π r2 t = 1 3 π r2 2r V bola = 4 3 π r3 (2.8) Volume Limas pada dasarnya sama seperti pencarian volume kerucut. Limas yang dimaksud adalah limas dengan alas yang sama dengan alas pada prisma tegak segi-n, sehingga proses pencari volume limas sama dengan pencarian volume kerucut, sehingga volume limas adalah V prisma segi n = 3 V limas V limas = 1 3 V prisma segi n = 1 3 (Luas las) (T inggi) (2.9)

23 Modul 2. Geometri Ruang enurunan Rumus Secara Deduktif erpikir deduktif adala berpikir berdasarkan aturan yang sudah ada atau aturan yang berlaku. turan-aturan tersebut dapat berbentuk postulat, definisi atau teorema yang kebenarannya sudah dijamin. ontoh suatu definisi sebagai berikut: Gambar 2.9 Limas Segitiga Definisi Limas segitiga adalah bangun atau obyek yang dibatasi oleh empat-bidang datar yang berbentuk segitiga. (Lihat Gambar 2.9) Empat bidang datar segitiga yang dimaksud adalah segitiga,, dan. ostulat ostulat avalieri Jika ada dua obyek ruang mempunyai tinggi yang sama, ketika dua obyek tersebut dipotong oleh bidang datar pada tinggi yang sama, dan jika luas dari kedua potongan tersebut juga sama, maka kedua obyek tersebut mempunyai volume yang sama. ontoh mbil dua obyek ruang yang sama misal 1 dan 2 mempunyai tinggi t, jika dipotong oleh bidang datar H, luasan yang didapat yaitu L b1 dan L b2, jika L b1 = L b2, maka volume kedua obyek tersebut adalah sama. Lihat Gambar 2.10.) Oleh karena itu, untuk membuktikan besarnya suatu volume-volume dari obyek ruang, perlua dikaji terlebih dasar geometri datar yang akan dipakai pada geometri ruang. erhatika beberapa teorema-teorema dibawah ini: Teorema 2.2.3

24 Modul 2. Geometri Ruang H L b1 L b2 Gambar 2.10 Dua Obyek Ruang mempunyai Volume yang Sama Limas segitiga T. dengan tinggi t 2, dipotong pada bagian tengah sejauh t 1 dari puncak yang sejajar dengan alasnya, misal titik potongnya adalah QR, maka L QR = t2 1 L t 2 2 T M N Q R t 1 t 2 Gambar 2.11 Limas T. ukti: andang Gambar 2.11, karena bidang irisannya sejajar dengan alas, berakibat 1. garis Q sejajar dengan garis, garis R sejajar dengan garis, dan garis QR sejajar dengan garis, 2. T sebangun dengan T Q, T sebangun dengan T R, dan T sebangun dengan QT R

25 Modul 2. Geometri Ruang 25 maka Q = R = T R T jika T N dan T M tinggi limas bawah dan atas yang merupakan akibat bidang QR sejajar dengan bidang, maka garis MR sejajar dengan garis N, sehingga berakibat T MR sebangun denga T N, sehingga dimisalkan R Q = = α, maka Teorema T R T = T M T N = RM N = t 1 = λ t 2 L QR L = 1 Q RM 2 1 N = λ2 = t2 1 t Jika dua limas segitiga mempunyai alas dan tinggi yang sama, maka volume kedua limas tersebut adalah sama. T T R Q Silahkan dibuktikan! Gambar 2.12 Dua Limas T. dan T. QR Teorema Volume limas segitiga adalah V limas = 1 las T inggi 3

26 Modul 2. Geometri Ruang 26 R Q Gambar 2.13 risma Tegak QR. R R R Q Gambar 2.14 Hasil erpotongan dari risma Tegak QR. ukti: andang prisma tegak QR. seperti pada Gambar 2.13, kemudian potong sesuai dengan garis-garis yang ada sehingga menjadi tiga limas segitiga seperti pada Gambar andang limas pertama dan kedua, sesuai dengan Teorema 2.2.4, maka kedua limas tersebut mempunyai volume yang sama. Untuk limas kedua dan ketiga, bidang atau QR dan mempunyai luas yang sama, karena segi-empat dibagi menjadi dua bagian oleh diagonalnya, karena sama kedua bidang tersbut jadikan sebagai alasnya prisma R. Q dan R. yang mempunyai tinggi yang sama, sehingga kedua limas tersbut mempunyai volume yang sama pula. Jadi

27 Modul 2. Geometri Ruang 27 volume limas terhadap volume prisma adalah V limas = 1 las T inggi 3 Teorema Volume limas sebarang adalah V limas = 1 las T inggi 3 Silahkan dibuktikan! O Gambar 2.15 Lingkaran dengan Juring O Teorema ada lingkaran berlaku: Luas Juring O Luas Lingkaran = = sudut juring O sudut satu lingkaran panjang busur panjang keliling lingkaran ukti: Kalau titik tetap dan titik bergerak memutar sepanajang lingkaran, maka titik akan mencapai titik. Oleh karena itu perbandingan kedua sudut dan busur, adalah sebagai berikut: No Jenis Juring Lingkaran 1 sudut α busur 2πr 3 luas O πr 2 dengan mengambil α sebesar 90 0, maka = K 4 0 K = frac14l L = 1 4

28 Modul 2. Geometri Ruang 28 cobalah dengan besar alpha yang berbeda. Teorema Kerucut lingkaran tegak dengan jari-jarialas r, tinggi t dan apotema (ruas garis pelukis) s, maka Volume V = 1 3 πr2 t Luas selimut L = πrs Sudut juring α = r s 3600 ukti: Kerucut dianggap sebagai limas segi-n beraturan, maka volume dari kerucut sama dengan volume limas, yaitu sepertiga luas alas dikalikan dengan tingginya, atau V kerucut = 1 Luas las T inggi 3 = 1 3 πr2 t = 1 3 πr2 t T t r s T s 2 r Gambar 2.16 Kerucut dan Selimut Kerucut Untuk menghitung luas selimut kerucut, lihat Gambar 2.16 dan Teorema 2.2.7, maka LuasJuring LuasLingkaranjarir = 2πr 2πs = r s jadi luas selimut kerucut adalah L selimut = πrs

29 Modul 2. Geometri Ruang 29 erdasarkan Teorema 2.2.7, didapat pula jadi sudut juring adalah sudutjuring sudutsatuputaraqn = 2πr 2πs = r s α = r s 3600 Teorema Kerucut terpancung, seperti pada Gambar ker-pancung, dengan jari-jari alas R, jari-jari atasnya r, tinggi t dan apotema s, maka volume kerucut terpancung adalah V = 1 3 πt(r2 + rr + r 2 ) dan luas selimut kerucut terpancung adalah Silahkan dibuktikan! L = πs(r + r) Teorema Sebuah bola dengan jari-jari R, maka volume bola adalah V = 4 3 πr3 dan luas permukaan bola adalah L = 4πR 2 Silahkan dibuktikan!