OLEH : PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU SEKOLAH TINNGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "OLEH : PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU SEKOLAH TINNGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN"

Adi Jayadi
7 tahun lalu
Tontonan:

1 OLEH : 1. ASRIA HIRDA YANTI ( ) 2. ANNIE RACHMAWATI ( ) 3. RUPITA FITRIANI ( ) 4. PERA HIJA TERISTIANA ( ) 5. HARTATI SUSANTI ( ) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU ALAM SEKOLAH TINNGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI LUBUKLINGGAU) 2010

2 RUAS GARIS BERARAH Definisi : Suatu ruas (garis berarah adalah sebuah ruas garis yang salah satu ujungnya dinamakan (titik) pangkal dan ujung yang lain dinamakan (titik) akhir. Apabila A dan B dua titik. Lambang kita gunakan sebagai ruas berarah dengan pangkal A dan titik akhir B. Definisi : apabila S A (A) = D dengan titik P titik tengah BC B D P A C Contoh : Diberikan titik A, B, C dan F pada bidang Euclid seperti berikut : B A Lukis : i) D sehingga ii) E sehingga Penyelesaian F C i. apabila S P (A) = D, dengan P titik tengah. Akibatnya titik D diperoleh dengan cara menarik titik tengah, anda namakan titik P, kemudian mencari D sehingga D = S P (A)

3 ii. apabila S Q (B) = E, dengan Q merupakan titik tengah. Karena S Q (A) = F maka Q merupakan titik tengah. Karena Q titik tengah maka S Q (B) = E. sehingga titik Q, kemudian mencari titik E sehingga E = S P (B) B D A C E F Teorema : Andaikan dan dua garis berarah yang tidak segaris, maka segi empat ABCD sebuah jajaran genjang jika dan hanya jika dan Bukti: 1. Andaikan dan. Jika P titik tengah, maka S p (A) = D menurut definisi ke-ekivalenan: diagonal segiempat ABDC membagi sama panjang di P. Ini berarti ABDC sebuah paralelogram. 2. Andaikan ABDC sebuah paralelogram maka diagonal-diagonal dan berpotongan dititik P. Sehingga S p (A) = D sebuah titk tengah maupun titik tengah. Jadi = Akibat : Jika = dan dan sejajar atau segaris. Contoh : Buktikan bahwa apabila maka AB = CD dan // atau =. Penyelesaian : Kita perhatikan dua kasus, yaitu i. Apabila A, B dan C kolinear, maka =, =

4 ii. Apabila A, B dan c tidak kolinear, maka //, =. Jadi apabila maka = dan // atau = Teorema : Diketahui ruas-ruas garis berarah,, dan maka Bukti : 1. ( sifat refleksi ) 2. Jika maka (simetrik) 3. Jika dan maka (transitif) 1. Namakanlah titik tengah dengan P, maka S p (A) = B. Jadi 2. Karena maka segiempat ABDC jajaran genjang. Karena segiempat CDBA = segiempat ABDC, maka segiempat CDBA jajaran genjang. Akibatnya 3. Karena maka segiempat ABDC jajaran genjang. Akibat lebih lanjut = dan //..... (1) Karena = maka segiempat CDEF jajaran genjang. Akibat lebih lanjut = dan //..... (2) Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimppulkan bahwa : = dan // Jadi segiempat sebuah jajaran genjang. Akibatnya Teorema : Diketahui sebuah titik P dan suatu ruas berarah maka ada titik tunggal Q sehingga = B A R Q P

5 Bukti : Untuk membuktikan keberadaan Q andaikan R titik tengah. Jika Q S r (A) maka atau. Untuk membuktikan ketunggalan titik Q. Andaikan. Jadi S R (A) = T oleh karena R titik tengah. Berhubung peta A oleh S R tunggal, maka T = Q. Jadi ini berarti satu-satunya ruas garis berarah dengan pangkal P dan titik akhir Q yang ekivalen dengan. Akibat I : Jika P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) dan P 3 P = (x 3, y 3 ) titik- titik yang diketahui maka titik P (x 3 + x 2 x 1, y 3 + y 2 y 1 ) adalah titik tunggal sehingga Akibat II : Jika P n = (x n, y n ), n = 1, 2, 3, 4 maka jika dan hanya jika x 2 x 1 = x 4 - x 3 dan y 2 y 1 = y 4 - y 3 Bukti akibat I : Misalkan P = (x, y), karena dan misal R titik tengah maka S R (P 3 ) = P 2 atau R titik tengah. Akibatnya diperoleh hubungan R =, =, Jadi, x = x 3 + x 2 x 1 dan y = y 3 + y 2 y 1 P = (x 3 + x 2 x 1, y 3 + y 2 y 1 ) Bukti akibat II : Karena, misalkan titik tengah, maka R titik tengah akibatnya R =, =, Sehingga x 2 + x 3 = x 1 + x 4 dan y 2 + y 3 = y 1 + y 4

6 Atau x 2 - x 1 = x 4 - x 3 dan y 2 - y 1 = y 4 - y 3 Karena x 2 x 1 = x 4 - x 3 dan y 2 y 1 = y 4 - y 3 dan x x y y x x y y.... (1) Karena x 2 x 1 = x 4 - x 3 dan y 2 - y 1 = y 4 - y 3 dan koefisien arah dari adalah Koefisien arah dari adalah //....(2) Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan Definisi : Andaikan sebuah garis berarah dan k suatu bilangan real. Apabila k > 0, maka k adalah ruas garis berarah sehingga P dan AP = k (AB). Apabila k > 0 maka k adalah ruas gari berarah dengan P anggota sinar yang berlawanan arah dengan sedangkan AP = k AB. Dikatakan bahwa adalah kelipatan. Contoh : Apabila diberikan titik-titik A dan B seperti dibawah ini, lukislah : i. ii. Penyelesaian : i. Karena K = > 0, maka adalah sehinggga P dengan AP = (AB).

7 ii. Karena k = < 0, maka adalah sehingga Q anggota sinar yang berlawanan dengan, dengan AQ = AB = AB. B P A Q Soal : 1. Diketahui titik A, B, C, D tiap tiga titik tak ada yang segaris. Lukislah : a) Titik E sehingga b) Titik F sehingga c) S A ( ) 2. Diketahui A = (2,1), B = (3,4) dan C = (-1,5). Tentukan a) D sehingga b) E sehingga c) F sehingga 3. Jika A = (1, 3), B = (2, 7) dan C = (-1, 4) adalah titik-titik sudut Penyelesaian : parallelogram ABCD. Tentukan koordinat-koordinat titik D. 1. Karena maka. Akibatnya S P (A) = E dengan titik tengah dari. Sehingga titik E diperoleh dengan cara mencari titik P sebagai titik tengah dari, kemudian mencari E sehingga E = S P (A). Karena maka. Akibatnya S P (B) = F dengan Q titik tengah. Sehingga titik F diperoleh dengan cara mencari titik Q sebagai titik tengah dari, kemudian mencari titik F sehingga F = S P (B). Karena S A (A) = A dan B I = S P (B) dengan A titik tengah dari, maka S P ( ) =

8 D C P B A B 1 Q E F 2. Karena, dimisalkan D = (x, y) didapat hubungan x 2 - x 1 = x 4 x 3 dan y 2 - y 1 = y 4 y 3 x (-1) = 3 2 dan y 5 = Sehingga x = 0 dan y = 0. Jadi D = (0, 0). Karena, dimisalkan E = (x, y) didapat hubungan x 2 - x 1 = x 4 x 3 dan y 2 - y 1 = y 4 y 3 x 2 = -1 3 dan y 1 = Sehingga x = -2 dan y = 10. Jadi D = (-2, 10). Karena, k > 0, maka F dan AF = AC. Jadi F titik tengah. Jadi D = (, 3) 3. Karena ABCD suatu jajaran genjang, maka. Misalkan D = (x, y) maka didapat hubungan x 2 - x 1 = x 4 x 3 dan y 2 - y 1 = y 4 y = -1 x dan 7 3 = 4 y. sehingga x = -2 dan y = 0. Jadi D = (-2, 0)

dokumen-dokumen yang mirip

RUAS GARIS BERARAH. Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah AB dan CD. Dalam

RUAS GARIS BERARAH. Andaikan sekarang ada 2 ruas garis berarah AB dan CD. Dalam RUAS GARIS BERARAH 9.1 Definisi dan Sifat-sifat ang Sederhana Untuk melajutkan penelidikan tentang isometri diperlukan pengertian tentang ruas garis berarah sebagai berikut: Definisi: Suatu ruas garis