GEOMETRI AFFINE A. PENDAHULUAN

Transkripsi

1 1 GEOMETRI FFINE. PENDHULUN Euclides telah mengumpulkan materinya dari beberapa sumber, maka tidak mengherankan bahwa geometri Euclides dapat diambil sarinya berupa dua geometri yang berlainan dalam dasar logikanya, pengertian pangkalnya dan aksiomanya. Kedua geometri itu adalah Geometri ffine dan Geometri bsolut atau Geometri Netral. Pada geometri euclides didasarkan pada 5 kelompok aksioma yaitu: I. Kelompok aksioma urutan II. Kelompok aksioma kongruensi III. Kelompok aksioma insindesi IV. Kelompok aksioma kesejajaran euclides V. Kelompok aksioma kekontunuan Yang pertama memperkenalkan Geometri ffine adalah Leonhard Euler dari Jerman ( ). Dalam geometri ini, garis paralel tunggal, sesuai Postulat Playfair, Melalui satu titik yang diketahui, tidak pada suatu garis yang diketahui, hanya dapat dibuat satu garis yang paralel dengan garis itu, memegang peranan yang penting sekali. Karena dalam geometri ini lingkaran tidak disebut-sebut dan sudut-sudut tidak pernah diukur, maka dapat dikatakan, bahwa geometri ini mempunyai dasar aksioma I dan II, dari aksioma Euclides. ksioma III dan IV tidak berarti sama sekali. Geometri bsolut pertama kali dikenalkan oleh J. Bolyai dari Hongaria ( ). Geometri ini didasarkan pada 4 aksioma pertama dari Euclides dan melepaskan aksioma V. Dengan demikian, geometri ffine dan geometri bsolut mempunyai dasar persekutuan yaitu pada ksioma I dan ksioma II. da pula suatu inti dari dalil-dalil yang berlaku untuk keduanya, yaitu pengertian Keantaraan ( Intermediacy ). Pengertian itu terkandung dalam definisi keempat dari Eulides. 1

2 2 Geometri yang menjadi dasar dari geometri ffine dan geometri bsolut ini disebut Geometi Ordered ( Geometri Terurut ), karena dalam hal ini urutan memegang peranan penting. Geometri Terurut ini berdasarkan dua aksioma pertama dari Euclides, tetapi penyajiannya lebih teliti. Jadi Geometi ffine dan geometri absolut termuat dalam Geometri terurut, sedangkan Geometri Euclides termuat dalam Geometri ffine dan Geometri absolut. Geometri Terurut/ Ordered Geometri ffine Geometri bsolut Geometri Euclides B. PEMBHSN B.1 ksioma-aksioma Dasar Geometri ffine Dasar dari geometri affine adalah geometri Terurut. Bidang affine dipandang sebagai keadaan khusus dari bidang terurut. Pengertian pangkalnya juga sama yaitu titik dan keantaraan ( Intermediacy ). ksioma-aksioma dari geometri terurut yang berlaku adalah : ksioma I : da paling sedikit dua titik 2

3 3 ksioma VII : Jika BC suatu segitiga atau BCD dan CE maka pada garis DE ada satu titik F yang memenuhi FB D C E F B ksioma VIII : Semua titik ada dalam satu bidang ksioma XII : Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam 2 himpunan yang tidak kosong sedemikian hingga ada titik dari masing-masing himpunan yang terletak antara titik dari himpunan lainnya, maka satu titik dari satu himpunan terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik dari himpunan lainnya (ksioma Dedekind). ksioma VIII menyatakan bahwa geometri affine merupakan geometri bidang, dan aksioma XII menyatakan bahwa suatu garis itu kontinu. Selain itu, geometri affine ini juga didapat dari geometri terurut dengan menambahkan 2 aksioma lagi, yaitu : ksioma 1 : Untuk sembarang titik dan sembarang yang tidak melalui, ada paling banyak satu garis yang melalui dalam bidang (, r), yang tidak memotong r. 3

4 4 ksioma 2 : Jika,, B, B, C, C, O adalah 6 buah titik yang berlainan sedemikian hingga, BB, CC adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika garis B // B dan BC // B C, maka C // C. B B O C C kibat dalil 20 mengatakan : Untuk sembarang titik dan sembarang garis r yang tidak melalui ada paling banyak 1 garis yang melalui dalam bidang (,r) yang memotong r. Mengingat dalil 20 dan aksioma 1 ini, maka dapat disimpulkan bahwa sembarang titik dan sembarang garis r ada tepat satu garis yang melalui dalam bidang (,r) yang tidak memotong r. Keadaan ini hampir sama dengan keadaan pada geometri Euclides. r Kesejajaran dalam geometri ffine ini adalah suatu relasi Ekuivalensi, jadi memenuhi sifat-sifat : a) Refleksif, yaitu setiap garis g sejajar dengan g sendiri b) Simetris, yaitu jika g sejajar h, maka h sejajar g c) Transitif, yaitu jika g sejajar h dan h sejajar k, maka g sejajar k 4

5 5 ksioma 2 ini merupakan kebalikan dari separuh dalil berikut : Dalil 1: Jika BC dan B C adalah dua segitiga dengan titik-titik sudut yang berlainan, diletakkan sedemikian hingga BC // B C, C // C, dan B // B, maka ketiga garis, BB, dan CC adalah berpotongan pada satu titik (konkruen) atau sejajar. Bukti : Diketahui : BC // B C, C // C, dan B // B. db. :, BB, CC berpotongan atau sejajar Jika, BB, dan CC ketiganya tidak berpotongan, maka berarti dua dari tiga garis tersebut berpotongan. Misalkan dan BB berpotongan di titik O, dan OC memotong B C dititik C1. Karena B // B dan BC // B C1, maka C // C1. Karena C // C dan C // C1, maka C // C1 berarti C1 pada C. Karena C1 pada C dan C1 juga pada B C, padahal B C suatu segitiga, maka haruslah C dan C1 berimpit. Jadi, BB, dan CC berpotongan di titik O jika ketiganya tidak semuanya sejajar. Dalil 2 berikut ini juga merupakan kebalikan separoh yang lain dari dalil 1. Dalil 2 : Jika,, B, B, C, C adalah 6 buah titik yang berlainan pada 3 garis yang berbeda, BB, dan CC diletakkan sedemikian hingga garis B // B, BC // B C, maka C // C. 5

6 6 B C B C B.2 Transformasi dalam Geometri ffine Dalam geometri ffine, kita juga mengenal beberapa transformasi. Untuk membicarakan ini, perlu didefinisikan dulu tentang Jajaran Genjang. Empat titik, B, C, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu jajaran genjang BCD jika B // DC dan BC // D. D C B 1. Dilatasi Definisi : Suatu dilatasi (suatu perbanyakan) ialah suatu transformasi yang mentransformir setiap garis ke garis yang sejajar. 6

7 7 Dalil 3 : Dua segmen yang diketahui B dan B pada garis-garis yang sejajar menentukan dengan tunggal suatu dilatasi B B. P C P C B B Beberapa hal penting Invers dari dilatasi B B adalah B B. Dilatasi mempertahankan urutan, tetapi tidak mempertahankan ukuran. Hasil kali dilatasi ialah dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain. Berarti, hasil kali dua dilatasi B B dan B B adalah dilatasi B B. Jadi hasil kali dilatasi dengan inversnya adalah identitas B B. Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis-garis invariant. Garis-garis itu berpotongan pada satu titik atau sejajar (ksioma 2). Jika garis-garis yang menghubungkan titik dan banyangannya (yaitu yang menghubungkan dua titik berkorespondensi), berpotongan pada satu titik, maka dilatasi disebut dilatasi sentral. Titik potong garis-garis itu disebut titik pusat dilatasi O dan titik pusat tersebut tunggal. 7

8 8 Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu translasi. Dilatasi Sentral Translasi O C C B B B B 2. Translasi Definisi : Jika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu translasi. Jadi suatu dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila tidak memiliki titik invarian (tapi garis invarian). Jika pada translasi B B,, BB tidak berupa jajaran genjang, maka dapat ditunjukkan jajaran genjang lainnya. Misalkan C C, C C dapat berupa jajaran genjang. Jika B suatu jajaran genjang, maka translasi sama dengan B B Jika,, dan B diketahui, maka letak titik B tidak tergantung dari pemilihan C atau D, sehingga terdapat dalil berikut : Dalil 4 : Sembarang dua titik dan menentukan dengan tunggal translasi. Suatu dilatasi adalah suatu transformasi terurut, hal ini dapat dibuktikan dengan dalil-dalil berikut : Dalil 5 : Dilatasi B B mentransformir setiap titik. 8

9 9 Dalil 6 : Hasil kali dua translasi B dan B C adalah tanslasi C. 3. Setengah Putaran Definisi : Jika dua titik berlainan, misalkan dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal B B atau B, maka transformasi itu disebut setengah putaran (half turn) C B D Jika C sembarang titik diluar garis B, maka untuk mencari bayanganya kita hubungkan C dengan dan B, maka titik potong garis yang melaui B sejajar C dan BC adalah titik D, dan D bayangan dari C. Dalil 7 : Hasil kali dua setengah putaran B dan B C adalah translasi C. Bukti : Jika B tidak sama dengan B C, maka ( B) (B C) tidak mempunyai titik invarian, jadi berupa translasi. Jika DBC suatu jajaran genjang, maka B sama dengan B C dan D sama dengan C B. Hubungan ini tetap berlaku jika jajaran genjang berubah menjadi segmen garis dengan 4 titik letaknya teratur simetrik. C D B Dalil 8 : Setengah putaran B dan C D saa, jika dan hanya jika translasi D dan C B sama. 9

10 10 Dalil 9 : Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi suatu segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar sisi yang lain akan melalui titik tengah sisi yang ketiga. C B C B 4. Transformasi ffiine Suatu transformasi affine atau affinity pada R n adalah sebuah rumus Ta o L dengan Ta suatu translasi dan L GL(n, R). Grup pada semua transformasi ini disebut grup ffine dan ditulis (R n ). Contoh : 1. (x, y) (1 + 2x, 1 + 2y) 2. (x, y) (1 + x + y, 2 + y) Perlu dicatat bahwa transformasi affin tidak mempertahankan jarak dan sudut. Luas dan volum tidak dipertahankan juga. Transformasi affine mempertahankan beberapa sifat geometri a. Collinearity (kesegarisan) Jika,B, dan C kolinear, sehingga bayangan mereka berada pada peta affine. Lebih umum kita mempunyai : Definisi Suatu translasi pada subruang linear pada Rn disebut subruang affine Contoh, gari-garis dan bidang pada R 3 adalah subruang affine 10

11 11 Theorem Transformasi affine subruang peta affine untuk subruang affine Proof Berikut ini fakta bahwa peta-peta linear subruang peta linear untuk subruang linear b. Parallelism (kesejajaran) Teorema Kesejajaran garis dipetakan pada kesejajaran garis. Bukti Dua garis sejajar adalah garis-garis padal bidang affine yang tidak bertemu. Karena transformasi affine mempertahankan bidang dang keterletakkan, bayangan garisnya dalam suatu bidang affine dan tidak bertemu. Oleh karena itu garis-garis itu sejajar. c. Ratios (perbandingan) Teorema Perbandingan panjang interval-interval pada garis dipertahankan. Bukti Berikut ini karena perbandingan dipertahankan oleh peta linear dan oleh translasi. Kenyataannya perbandingan panjang pada pasangan garis parallel dipertahankan. Sifat keantaraan (satu titik terletak diantara dua titik yang lain) juga dipertahankan. B.3 Transformasi ffine di R 2 Misalkan T subset, R 2 f berbentuk : T T transformasi affine pada T. Maka f dapat 11

12 12 x a 0 x e f y c d y w. Transformasi affine tidak mengawetkan kesebangunan. Hal ini dikarenakan factor pengali pada x tidak sama dengan pengali pada y. Perhatikan peta dari beberapa bangun oleh transformasi affine berikut. Secara umum transformasi linier T pada n R, dinyatakan oleh T x x b, dengan adalah matriks nxn yang determinannya tidak nol dan b adalah vector di n R. Sebuah transformasi ditentukan oleh matriks dan vector b. B.4 Teorema-teorema ffine Kenyataan, banyak teoreme-teorema geometri Euclidean adalah teoremateorema ffine. Itu berarti pernyataan dan bukti juga melibatkan konsep yang dipertahan kan oleh transformasi affine. Secara kasar, teorema-teorema affine dapat dibuktikan dengan metode vektor tanpa menggunakan norm atau dot atau hasil kali vektor. 12

13 Contoh : 1. Tengah-tengah dari suatu segitiga bertemu pada sebuah titik (coincident) 13 Bukti Jika sebuah segitia mempunyai garis-garis a, b and c maka mudah diperiksa bahwa garis tengahnya akan bertemu pada suatu titik (a + b + c) /3 2. Teorema Ceva Jika sisi-sisi BC, C, B pada suatu segitiga dibagi oleh titik-titik L, M, N dengan perbandingan 1 :, 1 :, 1 : maka ketiga garis L, BM, CN setitik (konkurent) jika dan hanya jika hasil kali = 1. Bukti Dalam kenyataan, kita akan membuktikan ini tidak dengan menggunakan metode affine.. = CL/LB = CL/ LB = CLP/ LBP = CP/ BP. Dengan cara yang sama = M/MC = BP/ BCP and = BN/N = BCP/ CP dan diperoleh hasil tersebut. 13

14 14 3. Teorema Menelaus Jika sisi-sisi segitiga dibagi oleh titik-titik L, M, N dalam perbandingan 1 :, 1 :, 1 : maka ketiga titik L, M, N adalah segaris jika dan hanya jika hasil kali = -1. Bukti Perlu dicatat bahwa perbandingan dimana titik L membagi sebuah interval B adalah negatif jika L berada diluar sisi B (perpanjangan B). Garis P sejajar ML. Maka 1/ = CM/M = CL/LP dan 1/ = N/NB = PL/LB. Maka 1/( ) = CL/LP. PL/LB = -CL/LB = - dan diperoleh hasil tersebut. Simpulan 1. Seperti dalam kasus isometric, sebuah transformasi affine ditentuka oleh bayangan dari n + 1 titik-titik independent (sesuatu yang tidak segaris dalam sebuah (n - 1)-dimensional subruang affine). Dalam kasus transformasi affine, sebanyak n + 1 titik independent dapat dipetakan pada sebanyak n + 1 titik-titik independent. Secara khusus, dalam R 2 ada suatu transformasi affine tunggal yang menyebabkan segitiga BC menjadi 'B'C'. 2. Umumnya tiga cara mengklasifikasi pada irisan kerucut ellips, hyperbola dan parabola adalah suatu klasifikasi affine. Contoh, dua ellips direlasikan oleh sebuah transformasi affine. 14

15 15 C. PENUTUP Dasar dari geometri ffine adalah geometri Terurut, sehingga aksiomaaksioma dan dalil-dalil utama dari geometri terurut berlaku dalam geometri ffine. Kemudian ditambah dua aksioma lagi. Seperti halnya geometri Euclides, dalam geometri ffine pun terdapat transformasi, diantaranya dilatasi, translasi, dan setengah putaran. Karena dalam geometri ffine sudut-sudut tidak pernah diukur, maka transformasinya diterangkan tanpa menggunakan ukuran sudut. Transformasi affin tidak mempertahankan jarak dan sudut. Luas dan volum tidak dipertahankan juga. Namun transformasi affine mempertahankan kesegarisan, kesejajaran, dan perbandingan. 15

16 16 Referensi Moeharti, Prof. Dra Sistem sistem Geometri. Jakarta : Karunika Univeristas Terbuka Ismaliani.... Rangkuman Geometri. di download Jum at 12 juni 2009 pukul Kata kunci : Gometri ffine... ffine Geometry. john/geometry/lecture/l13.html didownload Senin, 22 Juni 2009 pukul Kata kunci : ffine Geometry 16