TEOREMA MENELAOS DAN TEOREMA DE CEVA DALAM SEGITIGA

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "TEOREMA MENELAOS DAN TEOREMA DE CEVA DALAM SEGITIGA"

Susanti Widjaja
6 tahun lalu
Tontonan:

1 pril 18, 2015 [DOKUE HFIUDI S.] TEOE EEOS D TEOE DE EV D SEGITIG. EDHUU Teorema enelaos ini terkait dengan penentuan titik yang segaris dalam segitiga dan sangat berguna untuk membuktikan titik-titik kolinier, sedangkan teorema De eva merupakan teorema berguna dalam membuktikan garis-garis yang konkuren. Intinya teorema De eva terkait dengan tiga garis yang berpotongan di satu titik, sedangakan teorema enelaos terkait dengan tiga titik yang segaris. Definisi 1 Garis transversal sisi adalah sebarang garis yang memotong sisi-sisi atau perpanjangan sisi sebuah segitiga. Garis transversal sudut adalah sebarang garis yang melalui titi sudut sebuah segitiga l k Gambar 1 Garis k adalah transversal sisi, garis l adalah transversal sudut Definisi 2 Sejumlah garis disebut konkuren, jika semua garis itu berpotongan pada sebuah titik. Gambar 2. Tiga garis,, berpotongan (konkuren) di dalam segitiga, di titik Definisi 3 Tiga buah titik atau lebih disebut kolinier, apabila ketiga buah titik atau lebih itu semuanya terlatak tepat pada sebuah garis. D Gambar 3. Tiga buah titik,, adalah kolinier. Titik D tidak kolinier dengan ketiga titik,,. S2 endidikan atematika rogram ascasarjana UHO hal. 1

2 pril 18, 2015 [DOKUE HFIUDI S.]. TEOE DE EV ) Tiga buah garis yang ditarik dari titik-titik sudut,, dan pada segitiga yang berturut-turut memotong sisi-sisi di hadapan titik-titik tersebut di titik,, dan (,, dan ) adalah konkuren melalui titik jika dan hanya jika.. =1 ukti bagian pertama. Diketahui:, dengan pada, pada dan pada, serta, dan adalah konkuren di seperti tampak pada Gambar 4. Dibuktikan:.. =1 S Gambar 4 Gambar garis melalui, sejajar dengan, dan memotong di S serta di, sehingga S, dan akhirnya dapat dikatahui bahwa: (i) S S, sehingga (1) (ii), sehingga (2) (iii) S, sehingga S (3) (iv), sehingga (4) Dari (iii) dan (iv) diperoleh atau S S (5) Dengan mengalikan (1),(2) dan (5) didapatkan S =1 S S2 endidikan atematika rogram ascasarjana UHO hal. 2

3 pril 18, 2015 [DOKUE HFIUDI S.] ukti bagian kedua. Diketahui:, dengan pada, pada dan pada, serta Dibuktikan:, dan adalah konkuren. ukti:.. = 1 isalkan dan berpotongan di, dan perpanjangan memotong di. ' Karena, dan ' konkuren, maka.. =1. Karena diketahui ' ' '.. =1, maka. =.. =. 1= 1 ' ' ' = = berarti dan berimpit. Jadi tiga garis itu konkuren. ' ontoh 1 Garis-garis sudut, tinggi dan berat dari suatu segitiga adalah konkuren (berpotongan tepat di satu titik). Untuk garis median (berat) Untuk garis bagi S2 endidikan atematika rogram ascasarjana UHO hal. 3

4 pril 18, 2015 [DOKUE HFIUDI S.] Untuk garis tinggi dari suatu segitiga adalah konkuren Gambar ontoh 2 Sebuah lingkaran berpusat di titik T. Jika = 6 cm, = 18 cm, = 3 cm, buktikan bahwa, T dan S berpotongan di satu titik. T S. TEOE EEOS agian I. Jika sebuah garis transversal memotong sisi-sisi, dan dari di titik, dan yaitu ketiga titik itu kolinier (segaris), maka = 1 agian II. Jika titik-titik,, dan terletak pada sisi-sisi,, dan dari sehingga = 1, maka,, dan adalah kolinier. S2 endidikan atematika rogram ascasarjana UHO hal. 4

5 pril 18, 2015 [DOKUE HFIUDI S.] D D Gambar 8a Gambar 8 b ukti bagian I. Ttitik-titik,, dan adalah kolinear. elalui dilukis garis yang sejajar dan memotong di D. Karena D, maka D. atau D = (6) Karena D, maka D. atau D = (7) Dari (6) dan (7) diperoleh.. = atau.. =.. yang menunjukkan bahwa = 1 ukti bagian II. ada Gambar di atas, misalkan garis yang melalui dan memotong di. ' aka menurut teorema bagian I, haruslah = 1. Tetapi telah diketahui pula ' bahwa = 1. ' ' Dengan demikian = = =. Ini berarti dan ' ' berimpit. Jadi garis yang melalui dan juga melalui, sehingga titik,, dan kolinier. S2 endidikan atematika rogram ascasarjana UHO hal. 5

6 pril 18, 2015 [DOKUE HFIUDI S.] erdasarkan pernyataan dari kedua teorema (Teorema De eva dan enelaos), maka Teorema De eva dapat pula dibuktikan dengan menggunakan Teorema enelaos. Dengan menggunakan perangkat Teorema elenaos, pembuktiannya menghasilkan langkah-langkah yang lebih ringkas. Teorema De eva.. = 1 ukti (enggunakan Teorema enalaos) erhatikan. enurut Teorema enalaos.. = 1 (8) erhatikan. enurut Teorema enalaos.. = 1 (9) Dari (9) didapatkan.. (10) ersamaan (10) disubtitusi ke (8) didapatkan.. = 1.. = 1 = 1 atihan: 1. Soal T V U W Diketahui W = 2 W dan U = U. Hitung perbandingan luas segiempat UWV. WV dengan luas 2. Soal: erhatikan gambar berikut. Diketahui memotong longkaran di titik-titik,,,,, dan. ila, dan konkuren, buktikan bahwa, dan konkuren juga. S2 endidikan atematika rogram ascasarjana UHO hal. 6

dokumen-dokumen yang mirip

Jarak Titik ke Bidang

Jarak Titik ke Bidang Jarak itik ke idang Jika sebuah titik terletak pada bidang α maka jarak antara titik dengan bidang α adalah 0. Sedangkan jika titik tidak terletak pada bidang α maka jaraknya dapat ditentukan dengan langkah-langkah