Peluang dan Distribusinya

Transkripsi

1 Part I Peluang dan Distribusinya Fungsi Himunan Peluang Misalkan B menyatakan himunan dari setia hasil yang mungkin (outut) dari suatu ekserimen acak, maka B disebut ruang samel. De nition Jika P (C) terde nisi untuk suatu tie subset dari ruang B dan jika. P (C) ;. P (C [C [C [) = P (C )+P (C )+P (C )+; dengan himunan C i ; i = ; ; ; ; masing-masing tidak memunyai titik yang sama (masingmasing dua himunan saling leas),. P (B) = ; maka P disebut fungsi himunan eluang dari hasil ekserimen acak. Untuk setia subset C dari B; banyaknya P (C) disebut eluang bahwa hasil dari ekserimen acak adalah suatu elemen dari himunan C; atau eluang dari kejadian C; atau ukuran eluang dari himunan C Theorem Untuk setia C B; P (C) = P (C ); dengan C = komlemen dari C Proof. Diketahui B = C [ C dan C \ C =? Berdasarkan de nisi () dan (), dieroleh P (B) = = P (C [ C ) = P (C) + P (C ); sehingga P (C) = P (C ) (terbukti) Theorem Peluang dari himunan kosong adalah nol, yaitu P (?) = Proof. Ambil C =?; sehingga C = B Dari teorema dieroleh P (?) = P (B) = = Jadi teorema terbukti.

2 Theorem 4 Jika C dan C adalah subset dari B sedemikian sehingga C C ; maka P (C ) P (C ) Proof. Tulis C sebagai gabungan himunan yang saling leas, yaitu Dari de nisi () dieroleh C = C [ (C \ C ) dan C \ (C \ C ) =? P (C ) = P (C ) + P (C \ C ) Berdasarkan de nisi () dieroleh P (C \ C ) ; sehingga P (C ) P (C ) Jadi teorema terbukti. Theorem 5 Untuk setia C B; P (C) Proof. Karena? C B; maka berdasarkan teorema, P (?) P (C) P (B) atau P (C) Jadi teorema terbukti. Theorem 6 Jika C dan C adalah subset dari B maka P (C [ C ) = P (C ) + P (C ) P (C \ C ) Proof. Himunan C [ C dan C daat dinyatakan sebagai gabungan dari himunan yang tidak beririsan sebagai berikut Dari de nisi ), Maka C [ C = C [ (C \ C ) dan C = (C \ C ) [ (C \ C ) sehingga dengan substitusi dieroleh P (C [ C ) = P (C ) + P (C \ C ) ; dan P (C ) = P (C \ C ) + P (C \ C ) P (C \ C ) = P (C ) P (C \ C ) ; P (C [ C ) = P (C ) + P (C ) P (C \ C ) Terbukti.

3 Examle 7 Dua koin dilantunkan dan hasilnya adalah asangan terurut. Ruang samelnya daat dinyatakan sebagai B. Jika C adalah kejadian munculnya keala (H) ada lantunan ertama dan C adalah kejadian munculnya keala (H) ada lantunan ke dua, tentukan eluang munculnya H ada lantunan ertama atau kedua. Misalkan B menyatakan ruang samel dan C ; C ; C ;... adalah subset dari B. Jika subset-subset tersebut tidak memunyai elemen yang sama, maka disebut himunan yang saling leas dan kejadian C ; C ; C ;... disebut kejadian yang saling leas. Peluang dan Kebebasan Bersyarat Misalnya fungsi himunan eluang P (C) dide nisikan ada ruang samel B dan misalkan C adalah subset dari B, sehingga P (C ) > Elemen dari C adalah keluaran (outcome) dari ekserimen acak. Ambil C sebagai ruang samel. Misalkan C adalah subset lain dari B. Peluang bersyarat dari kejadian C ; diketahui kejadian C adalah Exercise P (C j C ) = P (C \ C ) P (C ). Peluang suatu enerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat teat waktu adalah P (B) = ; ; eluang samai teat waktu P (S) = ; dan eluang berangkat dan samai teat waktu P (B \ S) = ; 7 Cari eluang bahwa esawat (a) Samai teat waktu bila diketahui berangkat teat waktu, (b) Berangkat teat waktu bila diketahui samai teat waktu.. Misalkan ada sekotak sekering berisi sekering, lima di antaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu ersatu secara acak tana engembalian, beraakah eluang kedua sekering tersebut cacat?. Suatu kantong berisi 4 bola merah dan bola hita, dan kantong kedua berisi bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong ertama dan dimasukkan ke kantong kedua tana melihatnya. Beraakah eluang mengambil bola hitam dari kantong kedua? 4. Dua dadu dilantunkan dua kali. Beraakah eluang jumlah 7 dan dalam dua kali lantunan? 5. Tiga kartu diambil satu ersatu tana engembalian dari sekotak kartu yang berisi 5. Cari eluang bahwa kejadian A \ A \ A terjadi, bila

4 A adalah kejadian bahwa kartu ertama As berwarna merah, A adalah kejadian kartu kedua atau Jack dan A adalah kejadian kartu ketiga lebih besar dari tai lebih kecil dari 7. Variabel Acak. Bertie Diskrit De nition 9 Perhatikan sebuah ekserimen acak dengan ruang samel B. Sebuah fungsi X, yang mengkaitkan sebuah elemen c B satu dan hanya satu bilangan riil X(c) = c, disebut variabel acak. Ruang samel X adalah himunan bilanganbilangan riil A = fx x = X(c); c Bg. Bisa saja himunan B memunyai elemen bilangan riil. Jika ini terjadi, maka X(c) = c, sehingga A = B. Examle Ekserimen acak elemaran sebuah koin. Ruang samel yang berkaitan dengan ekserimen adalah B = fc c =ekor (T ) atau keala (H)g. Misalkan X suatu fungsi sehingga X(C) =, jika c = T dan X(C) =, jika c = H Jadi X adalah fungsi bernilai riil yang terde nisi ada ruang samel B yang membawa kita dari ruang samel B ke ruang bernilai riil A = f; g. Dikatakan X adalah variabel acak dan ruang samel yang berkaitan dengan X adalah A = f; g. Misalkan X adalah variabel acak yang terde nisi ada ruang samel B dan misalkan A adalah ruang samel dari X. Misalkan A adalah subset dari A. Peluang dari A adalah P (X A) = P x (A) = P (C); dengan C = fc c B dan X(c) Ag Peluang P x (A) sering disebut sebagai eluang terinduksi. Fungsi P x (A) memenuhi kondisi, dan ada de nisi fungsi himunan eluang, sehingga P x(a) juga meruakan fungsi himunan eluang, dengan sifat-sifat. P x (A) = P (C),. P x (A) = P (C) =, karena B = fc c B dan X(c) Ag,. P x (A [ A ) = P x (A ) + P x (A ), dengan A dan A kejadian yang saling bebas dan A [ A = C, di mana C = fc c B dan X(c) A g [ fc c B dan X(c) A g. 4

5 Examle Perhatikan sebuah barisan dari elemaran yang bebas dari sebuah koin, yang menghasilkan keala (H) atau ekor (T ). Dalam setia elemaran, diasumsikan bahwa H dan T serua, sehingga P (H) = P (T ) =. Ruang samel B terdiri dari barisan seerti T T HT HHT Misalkan variabel acak X sama dengan banyaknya lemaran yang dibutuhkan untuk memeroleh keala (H) yang ertama. Pada contoh barisan di atas, X =. Ruang samel dari X adalah A = f; ; ; g. Dengan demikian X =, jika barisan mulai dengan H, sehingga P (X = ) =, dan X = jika barisan mulai dengan T H, sehingga P (X = ) = (=)(=) = =4. Secara umum, jika X = x, dengan x = ; ; ; ; maka ada x ekor (T ) yang mengikuti keala (H), yaitu T T T T T H, di mana ada x ekor dalam T T T T. Jadi dari syarat kebebasan dieroleh P (X = x) = x = x ; dengan x = ; ; ; Dari tiga ilustrasi variabel acak di atas, daat dilihat bahwa banyaknya titik dalam ruang A adalah berhingga, seerti f; g; f; ; g, dan f; ; ; g Ada sebuah fungsi, yaitu P (X = x); yang menggambarkan bagaimana eluang didistribusikan terhada ruang ADari tiga ilustrasi tersebut, ada rumus sederhana untuk fungsi tersebut, sebut saja ; x f; g; ; x f; ; g; x x ; x f; ; ; g Selanjutnya, jumlah f(x) atas semua x A sama dengan X = + = ; x= X = x = ; X x = + + x= x= + = = Jika A A; maka eluang dari X A; daat diketahui dengan enjumlahan P (X A) = P A f(x) Untuk ilustrasi, dengan menggunakan variabel acak ada 5

6 contoh sebelumnya, daat dihitung eluang X x P (X = ; ; ) = = = 7 ; x= P (X = ; ; 5; ) = = 4 = Misalkan X menyatakan sebuah variabel acak dengan ruang berdimensi satu A Perhatikan bahwa A memuat banyaknya titik yang terhitung. Dengan kata lain, A memuat berhingga banyak titik-titik dari A; sehingga daat digolongkan ke dalam koresondensi satu-satu dengan bilangan bulat ositif. Ruang yang demikian disebut himunan titik-titik diskrit. Misalkan sebuah fungsi f(x) sedemikian sehingga f(x) > ; x A; dan X A Jika fungsi himunan eluang P (A); A A, daat dinyatakan dalam P (A) = P (X A) = X A f(x); maka X disebut variabel acak bertie diskrit dan f(x) disebut fungsi keadatan eluang (.d.f) dari X Misakan variabel acak X memunyai fungsi himunan eluang P (A); dengan A adalah himunan satu dimensi. Ambil x adalah bilangan riil dan misalkan himunan A adalah himunan tidak terbatas dari - samai x; termasuk x sendiri. Untuk semua himunan A, diketahui P (A) = P (X A) = P (X x) Peluang tersebut bergantung ada titik x; sehingga disebut sebagai fungsi dari titik x Fungsi titik ini dinyatakan dalam simbol F (x) = P (X x); dan disebut fungsi distribusi (kadang-kadang disebut sebagai fungsi distribusi kumulatif) dari variabel acak X Karena F (x) = P (X x); maka dengan f(x) fungsi keadatan eluang bertie diskrit, berlaku F (x) = X wxf(w) Examle Misalkan variabel acak bertie diskrit X memunyai fungsi keadatan eluang x 6 ; untuk x = ; ; ; untuk x lainnya Maka fungsi distribusi dari X adalah >< F (x) = > ; x < ; 6 ; x < ; 6 ; x < ; ; x 6

7 Bila fungsi distribusi tersebut dinyatakan dalam bentuk gra k, maka bentuknya adalah fungsi tangga. Karena fungsi F (x) juga meruakan suatu eluang, maka sifat-sifat F (x) daat dinyatakan sebagai berikut. F (x). F (x) meruakan fungsi takturun,. F (y) = ; untuk setia titik y yang kurang dari nilai terkecil dalam ruang X 4. F (z) = untuk setia titik z yang lebih besar dari nilai terbesar dalam ruang X 5. Jika X adalah variabel acak bertie diskrit, maka F (x) adalah fungsi tangga dan ketinggian tangga ada x di ruang X sama dengan eluang P (X = x). Bertie Kontinu Misalkan X menyatakan variabel acak dengan ruang satu dimensi A; yang terdiri dari sebuah selang (interval) atau gabungan dari interval. Misalkan fungsi f(x) nonnegatif sedemikian sehingga Z f(x)dx = A Jika fungsi himunan eluang P (A); A A, daat dinyatakan oleh f(x) dengan Z P (A) = P (X A) = f(x)dx; maka X disebut variabel acak bertie kontinu dan f(x) disebut fungsi keadatan eluang (.d.f) dari X De nition Fungsi f(x) adalah fungsi keadatan eluang (.d.f.) variabel acak bertie kontinu X; yang dide nisikan di atas himunan semua bilangan real R; bila. f(x) ; untuk semua x R. R f(x) dx = br. P (a < X < b) = f(x) dx a 7 A

8 Examle 4 Misalkan variabel acak bertie kontinu X sama dengan jarak (dalam ukuran feet = kaki) di antara rekaman jelek dari suatu komuter bekas. Bila diketahui ruang dari X adalah A =fx < x < g Misalkan model eluang untuk X diberikan oleh fungsi keadatan eluang.d.f 4 e x=4 ; x A Fungsi tersebut selalu nonnegatif, atau f(x) ; untuk x A; dan xz h 4 e x=4 dx = e x=4i x = Jika ingin diketahui eluang bahwa jarak di antara rekaman yang jelek lebih besar dari emat uluh, maka A = fx 4 < x < g dan P (X A) = xz 4 4 e x=4 dx = e Misalkan ruang bertie kontinu dari variabe acak X adalah A = fx < x < g dan fungsi keadatan eluang dari X adalah e x ; x A Maka.d.f dari X adalah < e x ; < x < ; ; untuk x lainnya Dengan merujuk ada.d.f dari X tersebut dieroleh Z f(x) dx = Z Z dx + e x dx = Jika f(x) adalah.d.f dari variabel acak tie kontinu X dan jika A adalah himunan fx a < x < bg; maka P (A) = P (X A) daat ditulis sebagai Jika A = fag; maka P (a < X < b) = P (A) = P (X A) = P (X = a) = Z b a f(x) dx Z a a f(x) dx =

9 Jadi jika X variabel acak bertie kontinu, eluang dari setia himunan yang memuat satu titik adalah nol. Oleh sebab itu, daat ditulis P (a < X < b) = P (a X b) Hal ini daat mengubah nilai.d.f. dari variabel acak bertie kontinu X di satu titik tana mengubah distribusi dari X Sebagai contoh,.d.f. < e x ; < x < ; untuk x lainnya daat ditulis sebagai tana mengubah P (A) De nition 5 < e x ; x < ; untuk x lainnya Fungsi Distribusi (kumulatif) F (x) suatu variabel acak bertie kontinu X dengan fungsi keadatan eluang.d.f. f(x) diberikan oleh xz F (x) = P (X x) = f(t) dt; untuk < x < Akibatnya de nisi di atas daat ditulis sebagai dan bila fungsi turunannya ada. Examle 6 P (a < X < b) = F (b) df (x) dx ; F (a); Misalkan variabel acak X yang bertie kontinu memunyai.d.f. < x ; < x < ; untuk x lainnya. Fungsi distribusi dari X adalah F (x) = = Z xz dw = ; x < ; w dw = x w = x ; x 9

10 Examle 7 Misalkan bahwa galat suhu reaksi, dalam C; ada ercobaan laboratorium yang dikontrol meruakan variabel acak X; yang memunyai fungsi keadatan eluang < x ; < x < ; untuk x lainnya.. (a) Tunjukkan bahwa de nisi.d.f. yang ke- berlaku. (b) Tentukan P ( < x ) (c) Carilah F (x) dari.d.f. di atas. (d) Dengan menggunakan akibat De nisi distribusi kumulatif, hitunglah P ( < x ) Jawab. (a) R f(x) dx = R x R (b) P ( < x ) = (c) F (x) = xr x f(t) dt = dx = x 9 dx = x 9 xr = = = 9 t dt = t 9 < F (x) = x = x + 9 ; x x + 9 ; x < ; x (d) P ( < x ) = F () F () = 9 9 = 9 Kesimulan dengan memerhatikan jawab b) dan d) disimulkan bahwa menghitung eluang dengan menggunakan fungsi keadatan eluang mauun akibat de nisi fungsi distribusi, menghasilkan nilai yang sama. Exercise. Perhatikan beberaa variabel acak berikut. Tentukan mana yang kontinu dan mana yang diskrit. (a) A banyaknya kecelakaan kendaraan bermotor er tahun di Bandung. (b) B lamanya waktu ertandingan seakbola. (c) C banyaknya susu yang dihasilkan seekor sai betina dalam setahun. (d) D banyaknya telur yang dihasilkan seekor ayam betina dalam sebulan.

11 (e) E banyaknya SIM yang dikeluarkan setia bulan di kota X. (f) F berat adi yang dihasilkan er hektar.. Misalkan Y suatu variabel acak yang menyatakan banyaknya muncul muka dikurangi banyaknya muncul belakang dalam tiga kali lantunan sebuah uang logam. Tuliskan unsur-unsur ruang samel T untuk ketiga lantunan uang dan ada setia titik samel, kaitkan suatu nilai y dari Y. Perhatikan fungsi berikut (a) c(x + 4); untuk x = ; ; ; (b) c ; untuk x = ; ; x x Tentukan nilai c agar kedua fungsi tersebut daat menjadi fungsi distribusi eluang dari variabel acak X 4. Dari sebuah kantung yang berisi 4 uang logam ratusan dan uang logam lima uluhan. uang diambil secara acak tana engembalian, Cari distribusi eluang jumlah J dari ketiga uang tersebut. 5. Carilah distribusi eluang banyaknya CD lagu jazz bila 4 CD diilih secara acak dari suatu kumulan CD yang terdiri atas 5 CD Jazz, CD Klasik, dan CD Rock. Nyatakan dalam suatu rumus. 6. Distribusi eluang X; banyaknya cacat er m serta sintetis dalam gulungan yang lebarnya seragam, diberikan oleh x 4 f(x),4,7,6,5, Buatlah distribusi kumulatif dari variabel acak X tersebut. 7. Suatu bank menawarkan obligasi bagi langganannya dengan tahun jatuh temo yang berlainan. Bila distribusi kumulatif T diketahui, lamanya dalam tahun samai jatuh temo, diberikan oleh ; t < >< 4 ; t < F (t) = ; t < 5 > 4 ; 5 t < 7 ; t 7 Carilah (a) P (T = 5) (b) P (T > ) (c) P (; 4 < T < 6)

12 4 Sifat-sifat Fungsi Distribusi Pada sub bab. sebelumnya, telah dide nisikan fungsi distribusi dari suatu variabel acak X sebagai F (x) = P (X x) Konse ini digunakan dalam sub bab. untuk mencari eluang distribusi variabel acak bertie kontinu. Dalam istilah.d.f. f(x) diketahui bahwa fungsi distribusi F (x) = X wxf(w); untuk variabel acak bertie diskrit, dan F (x) = xz f(w) dw; untuk variabel acak bertie kontinu. Jadi fungsi distribusi F (x) bertie kontinu atau diskrit, bergantung keada aakah variabel acaknya bertie diskrit atau kontinu. Remark 9 Jika X adalah variabel acak bertie kontinu, maka.d.f. f(x) memunyai aling banyak sejumlah berhingga diskontinuitas ada setia interval berhingga. Hal ini berarti bahwa. distribusi fungsi F (x) kontinu di mana-mana, dan. turunan F (x) terhada x ada dan sama dengan f(x) ada setia titik kontinuitas f(x); yaitu F (x) = f(x) ada setia titik kontinuitas f(x) Jika X adalah variabel acak bertie diskrit, maka daat diastikan bahwa f(x) bukan turunan dari F (x) terhada x; tetai f(x) meruakan turunan dari F (x) terhada ukuran enghitungan. Turunan ini sering disebut densitas (keadatan). Dengan demikian, turunan-turunan ini disebut fungsi keadatan eluang. Ada beberaa sifat dari fungsi distribusi yang daat disebutkan sebagai konsekuensi dari sifat-sifat fungsi himunan eluang. Beberaa di ataranya ada di bawah ini. Dalam menyebutkan sifat-sifat ini, sebaiknya kita tidak membatasi X sebagai variabel acak bertie diskrit atau bertie kontinu. Simbol F () dan F ( ) digunakan dalam arti lim F (x) dan lim F (x) Simbol x! x! fx x < g dan fx x < g meruakan limit dari himunan fx x bg dan fx x bg; jika b!. F (x) ; karena P (X x)

13 . F (x) fungsi tak turun dari x Jika x < x ; maka fx x x g = fx x x g [ fx x < x x g; dan P (X x ) = P (X x ) + P (x < X x ) Yaitu F (x ) F (x ) = P (x X x ). F () = dan F ( ) = ; karena himunan fx x g adalah ruang satu dimensi dan himunan fx x g adalah himunan kosong. Dari bukti sifat, jika a < b; maka P (a < X b) = F (b) F (a) Misalkan kita ingin menggunakan F (x) untuk menghitung eluang P (X = b) Untuk itu, misalkan h > ; lim h! P (b h < X b) = lim [F (b) F (b h)] h! Secara intuitif lim P (b h < X b) ada dan sama dengan P (X = b); h! karena jika h menuju nol, limit himunan fx b h < x bg adalah himunan yang memuat titik tunggal x = b Fakta bahwa limit ini adalah P (X = b) meruakan sebuah teorema yang diterima tana bukti. Dengan demikian, kita unya P (X = b) = F (b) F (b ); di mana F (b ) adalah limit kiri dari F (x) di x = b Peluang bahwa X = b adalah tinggi tangga dari F (x) ada x = b Oleh sebab itu, jika fungsi distribusi F (x) adalah kontinu di x = b; maka P (X = b) = 4. F (x) adalah kontinu dari kanan, atau dikatakan kontinu kanan. Untuk membuktikan sifat ini, dengan h > ; lim h! P (a < X Xa + h) = lim [F (a + h) F (a)] h! Pernyataan berikut diterima tana bukti teorema, dengan h > ; lim P (a < X a + h) = P (?) = h! Jika h! ; limit himunan fs a < x a + hg adalah himunan kosong. Dengan demikian kita menulis = F (a+) F (a); di mana F (a+) adalah limit kanan dari F (x) di x = a Oleh sebab itu, F (x) kontinu kanan di setia titik x = a

14 Misalkan ada sebuah ekserimen, seseorang memilih secara acak sebuah titik dari selang tertutu [a; b]; a < b; ada sebuah garis real. Jadi ruang samel B adalah [a; b] Misalkan variabel acak X adalah fungsi identitas yang terde nisi ada B Maka ruang A dari X adalah A = B Misalkan diasumsikan bahwa jika sebuah interval A adalah subset dari A; maka eluang dari kejadian A adalah sebanding dengan anjang A Oleh sebab itu, jika A adalah selang [a; x]; x b; maka P (A) = P (X A) = P (a X x) = c(x a); di mana c adalah konstanta roorsionalitas. Pada eksresi di atas, jika diambil x = b; maka = P (a X b) = c(b a); sehingga c = =(b a) Jadi akan ada sebuah model eluang jika diambil fungsi distribusi dari X adalah F (x) = P (X x); menjadi < ; x < a x a F (x) = b a ; a x b; ; b < x Dengan demikian,.d.f dari X; F (x); daat ditulis < b a ; a x b; ; yang lainnya. Turunan dari F (x) tidak ada di x = a atauun di x = b; tetai himunan fx x = a; bg adalah himunan dari eluang berukuran nol, dan kita memilih untuk mende nisikan f(x) sama dengan =(b a) ada dua titik, untuk kenyamanan. P.d.f ini konstan ada A Jika.d.f. dari satu atau lebih variabel bertie kontinu atau bertie diskrit adalah konstan ada ruang A; dikatakan bahwa eluang terdistribusi secara seragam atas A Jadi dalam contoh di atas, dikatakan bahwa X memunyai distribusi seragam atas selang [a; b] Berikut ini adalah contoh distribusi yang bukan bertie kontinu atauun diskrit. Examle Misalkan diketahui fungsi distribusi < ; x < ; x+ F (x) = ; x < ; ; x Sebagai contoh, P < X = F F ( ) = 4 = 4 4

15 dan P (X = ) = F () F ( ) = = Kita lihat bahwa F (x) tidak selalu meruakan fungsi kontinu, atauun fungsi diskrit. Dengan demikian, distribusi yang berkaitan juga bukan distribusi bertie kontinu atauun diskrit, tai daat digambarkan sebagai camuran dari kedua tie. Distribusi yang meruakan camuran dari tie kontinu dan diskrit kenyataannya sering dijumai dalam raktek. Sebagai ilustrasi, dalam uji kehiduan, misalnya diketahui bahwa lama hidu, sebut saja X; melebihi bilangan b; tetai nilai teatnya tidak diketahui. Hal ini disebut censoring. Sebagai contoh, hal ini daat terjadi jika sebuah subyek dalam suatu enelitian kanker menghilang; eneliti tahu bahwa subyek tersebut hidu beberaa bulan, tetai waktu teatnya tidak diketahui. Examle Perusahaan reasuransi menaruh erhatian ada kerugian besar karena mereka setuju, sebagai ilustrasi, untuk menutu kerugian diakibatkan kerusakan angin, yaitu antara juta dolar dan juta dolar. Sebut saja X sama dengan ukuran kerugian akibat angin dalam jutaan dolar, dan misalkan X memunyai fungsi distribusi >< ; < x < ; F (x) = > +x ; x < Jika kerugiannya di antara juta dolar dilaorkan hanya sebagai, maka fungsi distribusi dari distribusi censor ini adalah >< ; < x < ; F (x) = +x ; x < ; > ; x < ; h i yang memunyai loncatan (+) = di x = Misalkan X menyatakan variabel acak dengan ruang samel A Pandang fungsi Y = u(x) dari variabel acak X Karena X adalah sebuah fungsi yang terde nisi ada sebuah ruang samel B maka Y = u(x) adalah fungsi komosit yang terde nisi ada B Yaitu Y = u(x) sendiri adalah variabel acak yang memunyai ruang samel sendiri C = fy y = u(x); x Ag dan memunyai fungsi himunan eluang sendiri. Jika y C; maka kejadian Y = u(x) y muncul jika dan hanya jika kejadian X A A; di mana A = fx u(x) yg Distribusi fungsi dari Y adalah G(y) = P (Y y) = P [u(x) y] = P (A) Berikut ini adalah contoh yang menggambarkan sebuah metode encarian fungsi distribusi dan.d.f dari suatu fungsi variabel acak. Metode ini disebut teknik fungsi distribusi. 5

16 Examle Misalkan < ; untuk < x < ; ; untuk x yang lain. adalah.d.f. dari variabel acak X De nisikan variabel acak Y dengan Y = X Jika y ; eluang P (Y y) adalah sama dengan P (X y) = P ( y X y) Dengan demikian, fungsi distribusi dari Y, yaitu G(y) = P (Y y); diberikan oleh ; y < ; >< R y G(y) = dx = y; y < ; y > ; y Karena Y adalah variabel acak bertie kontinu,.d.f. dari Y adalah g(y) = G (y) di semua titik kontinuitas dari g(y) Jadi daat dituliskan < y ; < y < ; g(y) = ; untuk y lainnya. Exercise. Diketahui fungsi distribusi < ; x < ; x+ F (x) = 4 ; x < ; ; x Gambarkan gra k F (x) dan kemudian hitung (a) P ( < X ) (b) P (X = ) (c) P (X = ) (d) P ( < X ). Misalkan = < ; < x < ; ; untuk x lainnya, adalah.d.f. dari X; Tentukan fungsi distribusi dan.d.f. dari Y = X Petunjuk P (Y y) = P ( X y) = P (X y ); < y < 6

17 . Misalkan adalah.d.f. dari X 4 x < 6 ; < x < ; ; untuk x lainnya, (a) Gambarkan fungsi distribusinya dan.d.f. dari X ada himunan sumbu yang sama. (b) Jika Y = jxj ; hitung P (Y ) (c) Jika Z = X ; hitung P Z 4 4. Misalkan X memunyai.d.f. < 4x ; < x < ; ; untuk x lainnya. Tentukan fungsi distribusi dan.d.f dari Y = ln X 4 5. Misalkan < ; < x < ; untuk x lainnya, adalah.d.f dari X Tentukan fungsi distribusi dan.d.f. dari Y = X Petunjuk Perhatikan P (X y) untuk dua kasus y < dan y < 4 6. Jumlah jam, diukur dalam satuan jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin engisa debu setahun, berbentuk eubah acak kontinu X dengan fungsi adat < x; < x < ; x; x < ; ; untuk x lainnya. Cari eluangnya bahwa dalam setahun keluarga itu akan menggunakan mesin enghisa debu (a) kurang dari jam, (b) antara 5 dan jam. 7. Umur enyimanan (dalam hari) dari suatu obat tertentu dalam botol berbentuk eubah acak dengan fungsi adat < ; x > ; (x+) ; untuk x lainnya. Cari eluangnya bahwa suatu botol akan tahan disiman ; 7

18 (a) aling sedikit hari, (b) antara samai hari.

19 5 Eksektasi Variabel Acak Misalkan X variabel acak yang memunyai fungsi keadatan eluang (.d.f ) f(x) sehingga memunyai konvergensi absolut yang tertentu, sebut saja, X jxj f (x) ada untuk kasus diskrit atau x Z jxj f(x) ada untuk kasus kontinu. Eksektasi variabel acaknya adalah = E (X) = X x xf(x); untuk kasus diskrit, atau = E(X) = Z xf(x); untuk kasus kontinu. Kadang-kadang eksektasi E(X) disebut eksektasi matematik dari X atau nilai haraan dari Xatau rataan X Examle 4 Misalkan variabel acak X yang bertie diskrit memunyai.d.f.seerti ditunjukkan dalam tabel berikut x 4 4 f(x) ; jika x tidak sama dengan salah satu dari emat bilangan bulat ositif ertama. Hal ini menggambarkan bahwa tidak dierlukan rumus untuk menggambarkan.d.f. E(X) = () Examle () + () + (4) = = ; Misalkan X memunyai.d.f. < 4x ; < x < ; ; untuk x lainnya Maka E(X) = Z x 4x dx = Z 4x 4 dx = 4x5 5 = 4 5 9

20 Misalkan suatu fungsi variabel acak X dengan ruang samel A Sebut saja fungsi ini Y = u(x) Untuk kemudahan, misalkan X bertie kontinu dan y = u(x) adalah fungsi dari X yang kontinu naik, dengan fungsi inversnya x = w(y); yang juga naik. Sehingga Y adalah variabel acak dan fungsi distribusinya adalah G(y) = P (Y y) = P (u(x) y) = P [X w(y)] = Z w(y) f(x)dx; dengan f(x) meruakan.d.f. dari X Berdasarkan teorema dasar kalkulus, < G (y) = f [w(y)] w (y); y B; g(y) = ; untuk yang lainnya, dengan B = fy y = u(x); x Ag Berdasarkan de nisi, diketahui konvergensi absolut, maka nilai haraan dari Y adalah E(Y ) = Z y g(y)dy Karena y = u(x); bagaimana E(Y ) dibandingkan dengan integral I = Z u(x) f(x)dx Untuk menjawab itu, ubah variabel integrasi melalui y = u(x) atau x = w(y) Karena dy dx = w y > ; maka Z Z I = y f [w (y)] w (y)dy = yg(y)dy Dalam kasus ini, E(Y ) = Z yg(y)dy = Z u(x)f(x)dx Hal ini secara umum benar dan juga tidak membuat erbedaan aakah X bertie diskrit atau kontinu dan Y = u(x) tidak erlu meruakan fungsi naik dari X Jika Y = u(x) memunyai eksektasi, maka daat dicari dari E[u(X)] = Z u(x)f(x)dx; ()

21 dalam kasus kontinu dan E[u(X)] = X x u(x)f(x); () dalam kasus diskrit. Dikatakan E [u(x)] ad.alah eksektasi (eksektasi matematik atau nilai haraan) dari u(x) Remark 6 Jika eksektasi matematik dari Y ada, maka integral (atau jumlah) dari Z j yj g(y) dy atau X x y g(y) ada. Oleh sebab itu, keberadaan E [u(x)] menyebabkan integral (jumlah) yang berkaitan konvergen absolut. Fakta-fakta yang berguna tentang eksektasi, jika mereka ada. Jika k suatu konstanta, maka E(k) = k Dengan mengganti u = k; dan mengingat bahwa integral (jumlah) dari suatu konstanta kali sebuah fungsi adalah konstanta kali integral (jumlah) suatu fungsi. Tentu saja, integral (jumlah) dari fungsi f adalah.. Jika k suatu konstanta dan v adalah suatu fungsi, maka E(kv) = k E(v) Dengan mengganti u = kv dan menulis kembali eksresi ada ersamaan di atas k kali integral (jumlah) dari hasil vf. Jika k dan k adalah konstanta dan v dan v adalah fungsi, maka E(k v + k v ) = k E(v ) + k E(v ) Dengan mengganti u = k v + k v ; maka integral (jumlah) dari (k v +k v ) f sama dengan integral (jumlah) dari k v f lus integral (jumlah) dari k v f Alikasi yang berulang dari sifat ini menunjukkan bahwa jika k ; k ; ; k m adalah konstanta dan v ; v ;..., v m adalah fungsi, maka E(k v + k v + + k m v m ) = k E(v ) + k E(v ) + + k m E(v m ) Sifat eksektasi ini mengarahkan kita ke simbol E sebagai oerator linier. Examle 7 Misalkan X memunyai.d.f. ( x); untuk < x < ; ; untuk x yang lainnya.

22 Maka E(X) = = Z xf(x)dx = Z Z (x) ( x) dx x x dx = x x = ; E(X ) = = Z x f(x)dx = Z Z x ( x) dx x x dx = x x4 = 6 ; sehingga E(6X + X ) = 6 + = 5 6 Examle Misalkan X memunyai.d.f. x 6 ; untuk x = ; ; ; ; untuk x yang lain. Maka E(X ) = X x x X x x 6 = = 9 6 x= Examle 9 Misalkan sebuah segmen garis horisontal yang anjangnya 5 dibagai secara acak menjadi bagian. Jika X adalah anjang sisi yang sebelah kiri, maka masuk akal bila diasumsikan bahwa X memunya.d.f. 5 ; < x < 5 ; untuk x yang lain. ; Nilai haraan dari anjang X adalah E(X) = Z xf(x)dx = Z 5 x dx = x 5 5 = 5 = 5

23 dan nilai haraan dari anjang 5 X adalah E(5 X) = = Z Z 5 (5 x) f(x)dx = x dx = x 5 Z 5 x (5 x) 5 = 5 dx 5 5 = 5 Namun, nilai haraan dari erkalian dua anjang tersebut sama dengan E [X(5 X)] = = Z Z 5 = 5 x (5 x) f(x)dx = x x dx = x 5 Z = 5 = 5 6 6= x (5 x) x dx 5 Jadi secara umum, nilai haraan dari suatu hasil kali tidak sama dengan hasil kali nilai haraan. Examle Carilah nilai haraan atau eksektasi dari banyaknya kimiawan dalam anitia orang yang diilih secara acak dari 4 kimiawan dan biolog. Solution Misalkan X menyatakan banyaknya kimiawan dalam anitia. eluang X adalah 4 x x 7 ; x = ; ; ; Distribusi Dengan erhitungan sederhana dieroleh f() = =5; f() = =5; f() = =5 dan f() = 4=5 Jadi nilai haraan dari X adalah = 4 E(X) = = = = ; Jadi bila suatu keanitian beranggotakan orang yang diilih secara acak berulang-ulang dari 4 kimiawan dan biolog, maka eksektasinya atau rataratanya akan beranggotakan,7 kimiawan.

24 Examle Dalam suatu ermainan, seseorang mendaat R 5 bila dalam lantunan uang logam muncul semua muka atau semua belakang, dan membayar R bila muncul muka satu atau dua. Beraakah haraan kemenangannya? Solution Ruang samel untuk kemungkinan hasil bila uang dilantunkan sekaligus, atau sama saja dengan bila uang dilantun kali, ialah T = fmmm; MMB; MBM; BMM; MBB; BMB; BBM; BBBg Daat dilihat bahwa tia titik samel bereluang sama dan masing-masing terjadi dengan eluang /. Cara lain adalah dengan menggunakan aturan erkalian eluang kejadian bebas ada semua unsur T. Sebagai contoh, P (MBB) = P (M)P (B)P (B) = = Peubah acak yang menjadi erhatian adalah Y; besarnya kemenangan, dan kemungkinan nilai Y adalah R 5 bila kejadian E = fmmm; BBBg yang muncul dan -R, bila kejadian E = fmmb; MBM; BMM; MBB; BMB; BBMg yang muncul. Karena E dan E terjadi masing-masing dengan eluang /4 dan /4, maka = E(Y ) = 5 + ( ) = 4 4 Dalam ermainan tersebut, si emain rata-rata akan kalah R er lantunan uang logam. Suatu ermainan diangga adil bila si emain, rata-ratanya tidak menang atau kalah. Dengan kata lain, nilai haraannya sama dengan nol. Examle 4 Sebuah mangkok berisi 5 chis, yang tidak daat dibedakan hanya dengan menyentuh. Tiga chis tersebut masing-masing ditandai dengan $ dan sisanya ditandai $4. Seorang emain yang ditutu matanya mengambil dua chi tersebut dari dalam mangkuk secara acak dan tana engembalian. Pemain tersebut dibayar dengan uang yang nilainya sama dengan banyaknya nilai dua chis yang ia ambil dan ermainan selesai. Jika untuk memainkan game tersebut biayanya $4,75, aakah kita mau berartisiasi untuk waktu yang lama? Karena kita tidak daat membedakan chisnya dengan sentuhan, kita asumsikan bahwa masing-masing dari asangan yang daat diambil tersebut, memunyai eluang yang sama untuk diambil. Misalkan variabel acak X meruakan banyaknya chis dari dua chi yang diilih, yang ditandai $, maka berdasarkan asumsi, X memunyai distribusi hiergeometrik.d.f. ( ( x)( x) ; x = ; ; ( 5 ) ; ; untuk x yang lain 4

25 Dengan erhitungan sederhana dieroleh " # f() = 5 = = ; " # f() = 5 = = 6 ; " # f() = = = 5 Jika X = x; maka emain tersebut menerima u(x) = x + 4( x) = x dolar. Oleh sebab itu, eksektasi matematikanya sama dengan E ( x) = atau sama dengan $4,4. Exercise 5 = X ( x) x= = X ( x) x= = 44 = 4; 4 x x 5. Misalkan X memunyai.d.f. (x+)=; untuk < x < 4; dan untuk x yang lainnya. Tentukan E(X); E[(X +) ] dan E[6x (X +) ]. Misalkan 5 ; x = ; ; ; 4; 5; dan untuk x lainnya, adalah.d.f. dari variabel acak bertie diskrit. Hitung E(X) dan E(X ) Dari hasi tersebut, carilah E[(X + ) ] dengan menuliskan (X + ) = X + 4X + 4. Banyaknya mobil X yang masuk ke suatu encuci mobil setia hari antara jam.-4. memunyai distribusi eluang x P (X = x) Misalkan g(x) = X menyatakan uah (dalam ribuan ruiah) ara karyawan yang dibayar erusahaan dalam jam tersebut. Cari haraan endaatan karyawan ada jam tersebut. 4. Misalkan X suatu eubah acak dengan fungsi keadatan x ; < x < ; untuk x yang lain. Hitunglah nilai haraan dari g(x) = 4X + 5

26 5. Sebuah mangkuk berisi chis, di mana di antaranya ditandai dengan $ dan dua sisanya ditandai dengan $5. Misalkan seseorang memilih chis dari dalam mangkuk secara acak tana engembalian, Jika orang tersebut menerima sejumlah uang dari nilai chis yang dieroleh, tentukan eksektasinya. 6. Misalkan X eubah acak yang menyatakan umur (jam) sejenis bola lamu. Fungsi keadatan eluangnya (.d.f.) diberikan oleh x ; jika x > ; untuk x lainnya. Hitunglah haraan umur jenis bola lamu tadi. 6

27 6 Beberaa Eksektasi Khusus Misalkan X adalah variabel acak bertie diskrit yang memunyai fungsi keadatan eluang (.d.f.) f(x) Maka E (X) = X x xf(x) Jika titik-titik diskrit dari ruang keadatan eluang ositif adalah a ; a ; a ;... maka E (X) = a f(a ) + a f(a ) + a f(a ) + Nilai rata-rata (mean) (jika ada) dari variabel acak X bertie diskrit atau kontinu adalah = E (X) Bila u (X) = (X ) ; dengan X adalah variabel acak bertie diskrit yang memunyai.d.f. f(x), maka E (X ) = X (x ) f(x) = (a ) f (a ) + (a ) f (a ) + Variansi dari X; dinyatakan dengan ; dan dide nisikan dengan (jika ada) adalah = E (X ) = E X X + Karena E adalah oerator linier, maka = E X E (X) + = E X + = E X Akar dari variansi adalah ; dan dinyatakan sebagai deviasi standar dari X Bilangan kadang-kadang dinyatakan sebagai ukuran disersi dari titik-titik suatu ruang, relatif terhada nilai rata-rata Jika ruangnya hanya memuat satu titik x di mana f(x) > ; maka = Remark 6. Misalkan variabel acak X bertie kontinu memunyai.d.f. < a ; a < x < a; ; untuk x lainnya, maka = a= adalah deviasi standar dari distribusi X. Misalkan variabel acak Y bertie kontinu memunyai.d.f. < 4a ; a < y < a g(y) = ; untuk x lainnya, maka = a= ; yang meruakan deviasi standar dari distribusi Y 7

28 Perhatikan bahwa deviasi standar dari Y lebih besar dari X Hal ini menunjukkan bahwa eluang untuk Y lebih terdistribusi secara luas (relatif terhada rata-rata nol) dariada eluang untuk X Misalkan ada bilangan ositif h, sehingga untuk h < t < h eksektasi matematik E(e tx ) ada. Jadi E(e tx ) = jika X variabel acak bertie kontinu atau Z e tx f(x)dx; E(e tx ) = X x e tx f(x); jika X variabel acak bertie diskrit. Eksektasi ini disebut fungsi embangkit moment (m.g.f.) dari X dan dinyatakan dengan M(t); yaitu M(t) = E(e tx ) Jika t = ; maka M() = Jika dua variabel memunyai m.g.f. yang sama, maka mereka memunyai distribusi yang sama. Berikut ini adalah contoh fungsi embangkit momen (m.g.f.) dari suatu variabel acak X bertie diskrit untuk semua bilangan riil t M(t) = et + et + et + 4 e4t Jika dimisalkan f(x) adalah.d.f. dari X dan misalkan a; b; c; d; meruakan titik-titik diskrit di ruang X dengan f(x) > ; maka M(t) = X x e tx f(x); atau et + et + et + 4 e4t = f(a)e at + f(b)e bt + Dengan membandingkan kedua ruas, daat diambil a = ; f(a) = 4 ; b = ; f(b) = ; c = ; f(c) = ; d = 4; f(d) = Atau lebih sederhana,.d.f. dari X adalah x < ; x = ; ; ; 4; ; untuk x lainnya. Dengan kata lain, misalkan X adalah variabel acak bertie kontinu dan diketahui M(t) = t ; t <

29 adalah m.g.f. dari X Berdasarkan de nisi, t = Z e tx f(x)dx; t < Suatu distribusi dengan.d.f < e x ; < x < ; ; untuk x lainnya memunyai m.g.f. M(t) = ( t) ; t < Jadi variabel acak X memunyai distribusi dengan.d.f. ini sesuai dengan enekanan ada ketunggalan m.g.f. Karena distribusi yang memunyai m.g.f. M(t) ditentukan oleh M(t); maka tidak mengherankan jika memeroleh beberaa sifat dari distribusi langsung dari M(t) Sebagai contoh, eksistensi M(t) untuk h < t < h menyebabkan turunan dari semua orde ada di t = Jadi dengan menggunakan teorema yang membolehkan kita untuk mengubah orde turunan dan integrasi, dieroleh dm(t) dt jika X bertie kontinu, atau dm(t) dt = M (t) = Z x e tx f(x)dx; = M (t) = X xe tx f(x); jika X bertie diskrit. Dengan mengambil t = ; dieroleh Turunan kedua dari M(t) adalah x M () = E(X) = M (t) = Z x e tx f(x)dx atau X x e tx f(x); x sehingga M"() = E X Dengan demikian, var (X) sama dengan = E(X ) = M () [M ()] Sebagai contoh, jika M(t) = ( t) ; t < ; seerti dijelaskan sebelumnya, maka M (t) = ( t) dan M (t) = ( t) Oleh sebab itu, = M () = dan M () = 9

30 sehingga = M () = = Cara lain untuk menentukan dan adalah dengan menghitungnya dari.d.f., yaitu Z Z = x f(x) dx dan = x f(x) dx Secara umum, jika m adalah bilangan bulat ositif dan jika M (m) (t) berarti turunan ke m dari M(t); dieroleh sehingga E(X m ) = M (m) () = E(X m ); Z x m f(x) dx atau X x x m f(x) Karena M(t) membangkitkan nilai-nilai dari E(X m ); dengan m = ; ; ; maka M(t) disebut fungsi embangkit momen (m.g.f. = moment-generating function). Namun kadang-kadang E(X m ) disebut momen distribusi ke-m atau momen ke-m dari X Examle 7 Misalkan X memunyai.d.f. < (x + ); < x < untuk x lainnya. Maka nilai rata-rata (mean) dari X adalah = Z x f(x) dx = Z x (x + ) dx = Z x + x dx = x + x = () + () ( ) + ( ) = + + = =

31 Variansi dari X adalah = Examle Z Z x f(x) dx = Z (x + ) x dx = x + x dx 9 = 4 x4 + x = 4 ()4 + () 4 ( )4 + ( ) = = 9 = 9 = 9 Jika X memunyai.d.f. < x ; < x < ; ; untuk x lainnya. maka nilai rata-rata dari X tidak ada, karena 9 9 Examle 9 = Z Z b = lim b! Z x f(x) dx = x Z x dx = x dx = lim (ln b ln ) b! x dx Misalkan X memunyai fungsi embangkit momen m.g.f. M(t) = e t = ; < t < Fungsi M(t) ini daat dinyatakan dengan deret MacLaurin sebagai berikut e t = = +! t +! t +! t + + k! = + t (!) + t4 (!) 4 + t6 (!) + + t k (k!) () k + = +! t + () () t 4 + 4! (5) () () t ! t k + (k ) () () t k + (k)!

32 Keterangan t 4 (!) 4 t 6 (!) = t4 = = () () () () t4 = () () t 4 ; 4! (5) () () 46 t6 = 456 t6 = dan seterusnya. (5) () () t 6 ; 6! Secara umum, deret MacLaurin untuk M(t) adalah M(t) = M() + M ()! = + E (X)! t + M ()! t + E X! t + M ()! t + E X! t + + M (m) () t m + m! t + + E (Xm ) t m + m! Jadi koe sien (t m =m!) dalam reresentasi deret MacLaurin dari M(t) adalah E(X m ); sehingga E(X k ) = (k ) (k ) ()() = (k)! k ; dengan k = ; ; ; dan k! E(X k ) = ; dengan k = ; ; ; Exercise 4. Carilah nilai rata-rata (mean) dan variansi (jika ada), dari setia distribusi berikut ini (! (a) x!( x)! ; untuk x = ; ; ; ; untuk xlainnya 6x( x); < x < ; (b) ; untuk x lainnya. =x (c) ; < x < ; ; untuk x lainnya. x. Misalkan ; x = ; ; ; meruakan.d.f dari variabel ; untuk x lainnya acak X Tentukan m.g.f., nilai rata-rata dan variansi dari X. Untuk setia fungsi keadatan eluang berikut, hitunglah P ( < X < + ) 6x( x); < x < ; (a) ; untuk x lainnya. x (b) ; x = ; ; ; ; untuk x lainnya.

33 4. Tunjukkan bahwa m.g.f. dari variabel acak X yang memunyai.d.f. =; < x < ; adalah ; untuk x lainnya, M(t) = e t e t t ; t 6= ; ; t =

34 7 Ketaksamaan Chebyshev Theorem 4 Misalkan u(x) adalah fungsi tak negatif dari suatu variabel acak X Jika E(u(X)) ada, maka untuk setia kontanta ositif c; berlaku P [u(x) c] E[u(X)] c Proof. Misalkan A = fx u(x) cg dan f(x) menyatakan fungsi keadatan eluang (.d.f.) dari X Maka E[u(x)] = Z Z u(x) f(x) dx = A Z u(x) f(x) dx + Z E[u(x)] u(x) f(x) dx Jika x A; maka u(x) c; sehingga Z Z E[u(x)] u(x) f(x) dx c f(x) dx A A A A u(x) f(x) dx Karena maka Jadi terbukti Z f(x) dx = P (X A) = P [u(x) c]; A E[u(x)] c P [u(x) c] P [u(x) c] E[u(x)] c Theorem 4 Ketaksamaan Chebyshev Misalkan variabel acak X memunyai distribusi eluang, dengan variansi dan mean ; maka untuk setia k > ; berlaku P (jx j k) k ; atau P (jx j < k) k 4

35 Proof. Pada teorema di atas, jika diambil u(x) = (X ) dan c = k ; maka dieroleh P [(X ) k ] E[(X ) ] k Karena (X ) k () jx j k dan E[(X ) ] = ; maka ketaksamaan di atas daat ditulis dalam bentuk P (jx j k) k = k Dari ketaksamaan Chebyshev tersebut terlihat bahwa =k meruakan batas atas dari eluang P [jx j kjadi ketaksamaan Chebyshev di atas terbukti. Keterangan P (jx j k) = P (X + k atau X k) k Dengan kata lain, =k meruakan batas atas dari eluang P (jx j k) Demikian ula untuk P (jx j < k) = P ( k < X < + k) =k Dengan demikian, =k meruakan batas bawah dari eluang P (jx j < k). Examle 4 Maka Dan Misalkan X memunyai.d.f sebagai berikut ; < x < ; untuk x lainnya. = E(X) = = = Z x f(x) dx = Z x x = 4 4 ( ) = = E(X ) = E(X ) = Z Z dx = x dx x f(x) dx = = Z x 6 Z dx = x dx = x = 6 + = 6 6 = 5

36 Jika k = =; maka eluang eksaknya adalah P (jx j k) = P (jxj =) = P (jxj < =) = = = = Z = f(x) dx = = Z = = = ; 7 6 dx = (x)j= = () = Berdasarkan ketaksamaan Chebyshev, eluang di atas memunyai batas atas =k = = (=4) = 4 Jadi nilai eluang eksaknya jauh lebih kecil dariada batas atasnya. Jika k = ; maka eluang eksaknya adalah P (jx j k) = P (jxj ) = P (jxj < ) = = = Z f(x) dx = Z dx = (x)j [ ( )] = () = = ; 4 Berdasarkan ketaksamaan Chebyshev, eluang tersebut di atas memunyai batas atas =k = = = Jadi nilai eluang di atas masih lebih kecil dariada batas atasnya. Jika diambil k = ; maka eluang eksaknya adalah P (jx j k) = P jxj = P jxj < = = = = Z = f(x) dx = = Z = = = ; 4 dx = (x)j= = 6 = Jadi nilai eluang di atas masih lebih kecil dariada batas atasnya, yaitu =k = = (9=4) = 4 9 = ;

37 Jika diambil k = ; maka eluang eksaknya adalah P (jx j ) = P (jxj ) = P (jxj < ) = = = Z + Z f(x) dx + Z Z Z f(x) dx Z C f(x) dx + f(x) dxa C f(x) dx + A = = dx = (x)j h = i = = = Z f(x) dx Jadi nilai eluang eksaknya masih lebih kecil dariada batas atasnya, yaitu =k = 4 = ; 5 Jika diambil k = ; maka nilai eluang eksaknya adalah P (jx j ) = P (jxj ) = P (jxj < ) = = = Z + Z f(x) dx + Z Z Z f(x) dx Z C f(x) dx + f(x) dxa C f(x) dx + A = = dx = (x)j h = i = = = Z f(x) dx Jadi nilai eluang eksaknya masih lebih kecil dariada batas atasnya, yaitu 7

38 =k = =9 Dari beberaa nilai k yang diberikan, nilai eluang eksak P (jx dan batas atas =k selalu berbeda, beraaun nilai k yang diambil. j k) Examle 44 Misalkan variabel acak X bertie diskrit dan memunyai eluang Nilai rata-ratanya adalah = E(X) = dan variansinya adalah x 6 f(x) X x ( ) x= + () 6 + () = = E(X ) = E(X ) X = x f(x) = ( ) x= = = 4 Fungsi distribusinya adalah >< F (x) = > ; x < ; x < 7 ; x < ; x Jika k = ; dan standar deviasi = =; maka eluang eksaknya adalah P (jx j k) = P jx j = P jxj = P jxj < = P < X < 7 = F F = 6 = = 4 Daat dilihat bahwa nilai eluang eksaknya masih lebih kecil dariada batas atasnya, yaitu =k =.

39 Jika k = ; maka eluang eksaknya adalah P (jx j k) = P jx j = P (jxj ) = P (jxj < ) = P ( < X < ) 7 = [F ( ) F ( )] = 6 = = = 4 Daat dilihat bahwa nilai eluang eksaknya sama dengan batas atasnya, yaitu =k = =4 Remark 45 Teorema Chebyshev berlaku untuk setia distribusi engamatan, sehingga hasilnya lemah. Tana mengetahui distribusi eluangnya, nilai eluangnya hanya daat diketahui dari batas atas atau bawah bawahnya saja. Namun bila distribusi eluangnya diketahui, maka nilai eluangnya secara eksak daat diketahui. Exercise 46. Jika X adalah suatu variabel acak dengan E(X) = dan E(X ) = ; gunakan ketaksamaan Chebyshev untuk menentukan batas bawah eluang P ( < X < ). Suatu variabel acak X memunyai rataan = ; variansi = 9; sedangkan eluang distribusinya tidak diketahui. Tentukan (a) P ( 4 < X < ) (b) P (jx j 6). Misalkan fungsi keadatan eluang dari variabel acak X berbentuk a b f(y) = x 5 ; x = ; ; ; 4; 5 ; untuk x lainnya (y + ) ; < y < 4 ; untuk x lainnya Hitung P ( < X < + ) dan bandingkan hasilnya dengan ertidaksamaan Chebyshev. 9