Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean

Transkripsi

1 MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 7 Bab 7 Ekspektasi dan Fungsi Pembangkit Momen: Cintailah Mean Ilustrasi 7. Seorang peserta kuis diberi dua buah pertanyaan (P-, P-2), yang harus dijawab dengan urutan yang ditentukan oleh peserta kuis sendiri. Jika dia menjawab P-i, i, 2, terlebih dahulu maka dia dibolehkan menjawab pertanyaan P-j, j i apabila dia menjawab P-i dengan BENAR. Tentu saja jika dia menjawab SALAH maka dia tidak dapat melanjutkan menjawab pertanyaan berikutnya. Peserta kuis akan mendapatkan uang tunai sebesar Rp i jika dia menjawab P-i dengan benar (dia mendapatkan uang sebesar Rp +Rp 2 jika menjawab BENAR untuk kedua pertanyaan). Jika peluang dia tahu jawaban pertanyaan P-i adalah q i, pertanyaan mana yang harus dia jawab pertama kali agar dia dapat memaksimalkan uang tunai yang dapat diraih (expected winnings)? Definisi 7. Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) x x p X (x) dan E(X) x f X (x) dx dimana p X dan f X adalah fungsi peluang dari X. Catatan:. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi mean momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 4. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Contoh.. Rombongan mahasiswa sebanyak 2 orang akan berangkat ke Jogja dengan menggunakan 3 bis. Ada 36 mahasiswa di bis, 4 mahasiswa di bis 2 dan 44 mahasiswa di bis 3. Ketika bis sampai tujuan, seorang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan X menyatakan banyaknya mahasiswa di bis dimana seseorang tersebut terpilih. Hitung E(X). ( )

2 MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab Jika X P ois(λ), tentukan E(X). ( λ) 3. Misalkan X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin,, dan peluang: p( ).2, p().5, p().3 Hitung E(X 2 ). (.5) Latihan. Jika X memiliki fungsi peluang f(x) π ( + x 2 ) < x < maka E(X) 2 π x f(x) dx x π ( + x 2 ) dx dy, y x2 π ( + y) 2 ( ) lim ln( + b) ln b SIFAT-SIFAT EKSPEKTASI. E(g(X)) g(x) f X(x) dx 2. E(a X + b Y ) a E(X) + b E(Y ) 3. E(XY ) E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. 4. E(X) P (X > x) dx, untuk X > (*) 5. E(X r ) xr f X (x) dx (momen ke-r) 6. E((X µ X ) r ) (x µ X) r f X (x) dx (momen pusat ke-r) 7. E((X µ X ) 2 ) V ar(x) E(X 2 ) (E(X)) 2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. 8. E(e tx ) etx f X (x) dx M X (t) (fungsi pembangkit momen) 9. M X () E(X), M X () E(X2 )

3 MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 7 3 Latihan.. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak: y p(y) Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan banyak pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol? P (Y 3).4 P ( sukses ) p E(W ) n p 4 (.4).6 2. Misalkan X peubah acak dengan M X (t) sebagai fungsi pembangkit momen. Didefinisikan f(t) ln M X (t). Tunjukkan bahwa f () V ar(x) saat t, f (t) M X(t)/M X (t) f (t) M X (t) M X(t) (M X (t))2 (M X (t)) 2 f () M X () M X() (M X ())2 (M X ()) 2 E(X 2 ) (E(X)) 2 V ar(x) dimana M X (), M X () E(X), M X () E(X2 ). 3. Diketahui fungsi peluang: Hitung E(X) dan P (/2 < X < 3/2) f(x) c (4x 2x 2 ), < x < 2 2 f(x) dx 2 c(4x 2x 2 ) dx Diperoleh c 3/8. E(X) x 3/8 (4x 2x 2 ) dx

4 MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 7 4 P (/2 < X < 3/2) 3/2 /2 3/8 (4x 2x 2 ) dx /6 4. Diketahui X B(n, p). Buktikan: ( ) E X + p + q( qn ) Bukti: ( ) E X + n i + n!(n i)! i! pi q n i n n!(n i)! (i + )! p i q n i i i n i n+ j C n+ i+ pi+ q n i Cj n+ p j q n+ j [ C n+ p q n+ ] ( q n+ ) p + q qn+ p + q( qn ) 5. Diketahui: Tentukan E(X k ), k 2, 3 f(x) Γ(r) (λ x)r λ exp( λ x) X Gamma(r, λ) dengan M X (t) ( λ t) r. M X(t), M X (t) 6. Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter θ. Tunjukkan bahwa: E ( X n) θ E ( (X + ) n )

5 MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 7 5 Bukti: E ( X n) i n e λ λ i / i! λ i i n e λ λ i / i! i i n e λ λ i / (i )! i (j + ) n e λ λ j+ / j! j (j + ) n e λ λ j / j! j λ E ( (X + ) n ) 7. Misalkan X menyatakan lama (jam) mhs belajar TP dan fungsi peluang X adalah sbb: f(x) { x 2, 2 x < 3 4, 4 < x < 6 (a) Berapa persen mhs menghabiskan waktu lebih dari 5 menit utk belajar TP? (b) Berapa rata-rata lama waktu mhs belajar TP? (c) Jika seorang mhs menghabiskan waktu lebih dari 3 menit, berapa peluang mhs itu selesai belajar kurang dari 4.5 jam? (d) Hitung P (X 2), P (X 3), P (X E(X)), P (X < E(X)) (a) P (X > 2.5) (x 2) dx /4 dx (b) E(X) /3 (c) P (X < 4.5 X > 3/6) P (3/6 < X < 4.5)/P (X > 3/6) (d) P (X E(X)), P (X < E(X)) P (X < /3) /2 8. Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi

6 MA38 Teori Peluang - Khreshna Syuhada Bab 7 6 F (x), x < 2.2, 2 x <.5, x < 2.2.6, 2.2. x < q, 3 x < q, 4 x < 5.5, x 5.5 dan diketahui P (X > 3.3).25. a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X atau M X (t) b. Gunakan M X (t) untuk menentukan Var(X). a. b. p( 2).2, p().3, p(2.2)., p(3) q, p(4) q, p(5.5).4 2q P (X > 3.3) p(4) + p(5.5) q +.4 2q.25 q.5 M X (t) E(e tx ) e tx p(x) e 2t p( 2) + e t p() + e 2.2t p(2.2) + e 3t p(3) + e 4t p(4) + e 5.5t p(5.5).2 e 2t e 2.2t +.5 e 3t +.5 e 4t +. e 5.5t M X(t).2 e 2t e 2.2t +.5 e 3t +.5 e 4t +. e 5.5t.4 e 2t +.22 e 2.2t +.45 e 3t +.6 e 4t +.55 e 5.5t M X()